Dạng kakeya trong nhóm lie và không gian thuần nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Đức Mạnh DẠNG KAKEYA TRONG NHĨM LIE VÀ KHƠNG GIAN THUẦN NHẤT Chun ngành Mã số : Hình học tơpơ : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Hà Thanh, người tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho luận văn hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ Khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm q báu cho tơi suốt q trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Lê Đức Mạnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Cấu trúc luận văn .2 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm tôpô 1.2 Độ đo Lesbegue, độ đo Borel, nhóm xoắn, ánh xạ phủ 1.3 Đa tạp khả vi, nhóm Lie đại số Lie, khơng gian .18 Chương DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG  n 29 2.1 Tổng quan kết dạng đường Kakeya liên tục  n 29 2.2 Dạng đường Kakeya liên tục  n .32 Chương DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG NHĨM LIE LIÊN THƠNG 39 3.1 Dạng đường Kakeya liên tục nhóm Lie liên thơng 39 3.2 Dạng đường Kakeya liên tục không gian 53 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1917 nhà toán học người Nhật Soichi Kakeya đưa “bài toán Kakeya” tiếng cho  sau: ”diện tích bé mà cho phép quay đoạn thẳng độ dài đơn vị (cây kim) cách liên tục đủ 3600 mà không ngồi diện tích đó” Có nhiều nhà tốn học thời tìm đáp số cho toán trường hợp đặc biệt Pal (1920) đưa kết tam giác ABC có chiều cao 1, diện tích ABC = , nhiên Kakeya nhận thấy tiết kiệm cách quay đoạn thẳng đơn vị tam giác cong Deltoid (diện tích hình π ≈ 0,393 ) Kakeya giả thuyết tập có diện tích bé Năm 1928, nhà Toán học người Nga - Do Thái Abram Samoilovitch Besicovitch giải toán theo lối đáng kinh ngạc tìm diện tích nhỏ tùy ý mà cho phép quay đoạn thẳng độ dài đơn vị cách liên tục đủ vịng chí bỏ u cầu “quay liên tục” tồn tập hợp có độ đo mà chứa đoạn thẳng đơn vị theo hướng Tập gọi tập Kakeya - Besicovitch Sau ông xây dựng lại tập hợp “ kim Kakeya ” trường hợp tổng quát cho  n với yêu cầu biến đổi kim hàm theo hướng không cần liên tục có độ đo Borel chẵn Từ ông tồn tập Kakeya có độ đo Lebesgue  n , n ≥ Năm 1971 C.Fefferman sử dụng xây dựng để bác bỏ chứng minh đoán bội cầu cho Lp ( n ), p ≠ Những nghiên cứu ông có liên quan tới nhiều vấn đề giải tích điều hịa có ứng dụng nhiều giải tích đại Năm 2008 Zeev Dvir nghiên cứu kích thước tập Kakeya trường hữu hạn ứng dụng vào không gian vectơ Trên ứng dụng tốn Kakeya cho khơng gian hữu hạn chiều  n Như ta biết lí thuyết nhóm Lie phát triển mạnh mẽ nhánh đặc biệt từ hình học vi phân, móng cho lí thuyết đối xứng phương trình vi phân, có ứng dụng nhiều khơng học chuyển động mà hữu hiệu vật lí lượng tử trường hạt Chính ứng dụng mạnh mẽ từ việc xây dựng lại tập hợp kim Kakeya Besicovitch cộng thêm tầm quan trọng nhóm Lie phép biến đổi nó, luận văn xây dựng tập kim Kakeya tương tự với yêu cầu kim phải dời liên tục nghiên cứu hai biến đổi dạng Kakeya liên tục có hướng vơ hướng  n từ mở rộng cho nhóm Lie khơng gian Đó lý chọn đề tài: “dạng Kakeya nhóm Lie khơng gian nhất” làm đề tài luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn dựa báo tác giả B Murphy J.Pakianathan công bố năm 2015 Cấu trúc luận văn Luận văn nghiên cứu chủ yếu dạng đường Kakeya liên tục không gian  n từ mở rộng cho nhóm Lie khơng gian Ở luận văn tập trung nghiên cứu hai dạng Kakeya có hướng vơ hướng Luận văn gồm chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ chủ yếu trình bày khái niệm xuất luận văn Chương DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG  n trình bày khái niệm kết dạng đường Kakeya liên tục có hướng vơ hướng không gian  n , đồng thời sử dụng kiến thức tôpô đại số để chứng minh kết Chương DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG NHĨM LIE LIÊN THƠNG mở rộng trình bày vấn đề liên quan dạng đường Kakeya liên tục từ  n vào nhóm Lie khơng gian nhóm Lie Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chủ yếu chương giới thiệu khái niệm tôpô đại cương, độ đo dùng Chương Ngoài chương giới thiệu khái niệm tính chất liên quan nhóm Lie đại số Lie, không gian sử dụng Chương 1.1 Các khái niệm tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng T họ tập X cho: i/ ∅, X ∈ T ii/ U ,V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T iii/ Va ∈ T , ∀a ∈ I ⇒ Va ∈ T a∈I Khi T gọi tôpô X ( X , T ) không gian tôpô Mỗi phần tử T gọi tập T -mở hay đơn giản tập mở 1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T1 với cặp điểm phân biệt x1 , x2 ∈ X tồn tập mở U ⊂ X cho x1 ∈U x2 ∉U 1.1.3 Định nghĩa Một họ { As }s∈S tập X gọi phủ X A s = X Nếu s∈S X không gian tôpô tập As tập mở (đóng) ta gọi phủ { As }s∈S phủ mở (đóng) 1.1.4 Định nghĩa Một phủ A ' = { As ' }s '∈S ' X phủ phủ A = { As }s∈S X S ' ⊂ S As' = As với s ∈ S ' 1.1.5 Định nghĩa Tập A không gian tôpô X gọi tập compact phủ mở A chứa phủ hữu hạn nghĩa là: Nếu (Vα )∈I phủ mở A tồn n ααα , , , n ∈ I : A ⊂  Vα k =1 k Nếu X tập compact X gọi khơng gian compact 1.1.6 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact địa phương với x ∈ X tồn lân cận U x cho U không gian compact X Do không gian compact U không gian T1 nên tập { x} đóng U Điều suy { x} đóng X Tức khơng gian compact địa phương khơng gian T1 1.1.7 Định lí Nếu f : X → Y liên tục, A tập compact X f ( A) tập compact Y (Ảnh liên tục tập compact tập compact) 1.1.8 Định nghĩa Một không gian tô pô X gọi liên thông X viết dạng X ⊕ X X X tập khác rỗng X ⊕ ký hiệu tổng trực tiếp 1.1.9 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông địa phương với x ∈ X lân cận U điểm x tồn tập liên thông C ⊂ U cho x ∈ IntC 1.1.10 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông đường với cặp điểm x1 , x2 X tồn ánh xạ liên tục f : I → X từ đoạn đơn vị đóng I tới khơng gian X thỏa f (0) = x1 f (1) = x2 1.1.11 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông đường địa phương với x ∈ X lân cận U x tồn lân cận V x cho với y ∈V tồn ánh xạ liên tục f : I → U thỏa f (0) = x f (1) = y 1.1.12 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thơng đơn liên thơng đường ánh xạ liên tục f : S = ∂D → X mở rộng thành f : D → X (trong D - đĩa S đường tròn biên) 1.1.13 Định nghĩa Cho f : X → Y g : X → Y ánh xạ liên tục hai không gian tôpô X Y Ánh xạ f g gọi đồng luân tồn ánh xạ liên tục H : X × [0,1] → Y cho H ( x,0) = f ( x) H ( x,1) = g ( x) với x ∈ X Ánh xạ H với tính chất gọi phép đồng luân f g 1.1.14 Định nghĩa Hai không gian tôpô X Y gọi tương đương đồng luân (hay gọi kiểu đồng luân) tồn ánh xạ liên tục f : X → Y g : Y → X cho g  f đồng luân với ánh xạ đồng id X f  g đồng luân với ánh xạ đồng idY Cụ thể X Y tương đương đồng luân tồn ánh xạ liên tục f : X → Y g : Y → X phép đồng luân H : X × I → X , G : Y × I → Y ;1) gf ( x)∀x ∈ X G ( y;0) = y, G ( y= ;1) fg ( y )∀y ∈ Y = x, H ( x= cho H ( x;0) 1.1.15 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi co rút tương đương đồng luân với không gian quy gọn điểm 1.1.16 Mệnh đề Một không gian tôpô X co rút điều kiện sau thỏa: 1/ Tồn điểm x0 ∈ X phép đồng luân C : X × I → X cho C ( x, 0) = x C ( x,1) = x0 với x ∈ X 2/ Ánh xạ đồng id X X đồng luân không 1.1.17 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Một ánh xạ liên tục p :[0,1] → X gọi đường Một đường đơn hay cung α song ánh liên tục α :[0,1] → X 1.1.18 Định nghĩa Một tập X gọi đường cong đóng đơn X đồng phơi với tập gồm điểm nằm đường tròn 1.2 Độ đo Lesbegue, độ đo Borel, nhóm xoắn, ánh xạ phủ 1.2.1 Định nghĩa Cho tập hợp X ≠ ∅ Một họ N tập X gọi đại số tập X N thỏa điều kiện sau: 1/ X ∈ N ; A X \ A∈ N; 2/ A ∈ N ⇒ C X = n 3/ A1 , A2 , , An ∈ N ⇒  Ak ∈ N k =1 1.2.2 Mệnh đề Cho N đại số tập X Khi N có tính chất sau: 1/ ∅ ∈ N ; n 2/ A1 , A2 , , An ∈ N ⇒  Ak ∈ N ; k =1 3/ A, B ∈ N ⇒ A \ B ∈ N 1.2.3 Định nghĩa Cho tập hợp X ≠ ∅ Một họ M tập X gọi σ -đại số tập X M thỏa ba điều kiện sau: 1/ X ∈ M ; 2/ A ∈ M ⇒ C X A= X \ A ∈ M ; ∞ 3/ A1 , A2 , , An , ∈ M ⇒  Ak ∈ M k =1 1.2.4 Mệnh đề Cho M σ -đại số tập tập hợp X Khi M có tính chất sau: 1/ M đại số tập X ; 2/ ∅ ∈ M ; 44 Không gian chiều g tự đại số Lie song ánh tương ứng (mũ logarit tương ứng) với nhóm 1-tham số H G Trong trường hợp= G ( n , +) , đường thẳng qua gốc Với x ∈ G , xH lớp ghép trái H chuyển tiếp “song song” H qua điểm x Do cấu trúc nhóm Lie liên thơng, lớp ghép trái nhóm 1tham số đóng vai trị đường thẳng chạy  n P (g) không gian xạ ảnh không gian vectơ g , xem không gian lớp song song, nghĩa khơng gian nhóm 1-tham số G Với L ∈ P (g) ta ký hiệu nhóm 1-tham số tương ứng exp( L) Cấu trúc có nhiều tính chất tương tự với trường hợp  n Qua điểm x G , L ∈ P (g) , có lớp ghép trái (“đường song song”) x exp( L) mà qua x “Các đường song song” không cắt Với L ∈ P (g) , có tồn cấu trơn (, +) → exp( L) ⊆ G Tuy nhiên ý ánh xạ phép nhúng ảnh nhóm hình trịn (ánh xạ khơng cần đơn ánh) ảnh khơng cần phải tập đóng G (ví dụ đường dày đặc hình xuyến) Tương tự cố định tích xác định dương g , hàm xác định mặt cầu S (g) khơng gian nhóm tham số có hướng G , định hướng cảm sinh phép chuyển dịch từ tới điểm x ∈ S (g) nhóm tham số tương ứng G Bây khái quát hóa điều ( n , +) Định nghĩa 3.1.2.1 Cho G nhóm Lie liên thơng g đại số Lie Cố định định nghĩa tích dương g Một dạng đường Kakeya vô hướng liên tục G 45 ánh xạ liên tục σ : P(g) → G Không gian σ σ định nghĩa = bởi: σ  (σ ( L) ∗ exp( L)) , ∗ phép nhân G L∈P ( g ) = Tập kim Kakeya vô hướng liên hợp σ  (σ ( L) ∗ exp( I ( L))) L∈P ( g ) I ( L) khoảng có độ dài xung quanh điểm gốc L Với ≤ R < ∞ , độ dãn-R tập kim Kakeya tập thu I ( L) định nghĩa thay khoảng có độ dài R tính từ gốc L Chúng ta định nghĩa tương tự trường hợp có hướng khái niệm dạng đường Kakeya có hướng liên tục G cho ánh xạ liên  tục σ : S () → G , S (g) mặt cầu đơn vị g Ta gặp khó khăn nhóm Lie tổng quát không gian σ dạng σ nằm G không gian phương P (g) nằm đại số Lie g Để giải điều sử dụng ánh xạ mũ exp : g → G có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1.2.2 Một dạng đường Kakeya vô hướng liên tục σ : P(g) → G gọi tuyến tính tồn hàm nâng liên tục µ : P (g) → g cho exp µ = σ Chúng ta định nghĩa tương tự trường hợp có hướng S (g) thay cho P (g) Ánh xạ mũ ánh xạ trơn từ g tới G khơng cần phải tồn ánh chí cho nhóm Lie liên thơng (ví dụ nhóm Lie liên thơng G = SL(2, ) ánh xạ mũ khơng tồn ánh) Do khơng phải dạng đường Kakeya liên tục nhóm Lie G tuyến tính, ví dụ ảnh σ khơng nằm ảnh ánh xạ mũ khơng có hàm nâng tuyến tính 46 Tuy nhiên đạo hàm ánh xạ mũ 0∈ g ánh xạ đồng g → g nên ánh xạ mũ tạo vi phơi từ lân cận mở g tới lân cận mở phần tử đơn vị e G Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1.2.3 Một dạng đường Kakeya liên tục vô hướng σ : P(g) → G gọi Taut ảnh σ nằm lân cận mở e G vi phôi tới lân cận mở g qua (nghịch đảo địa phương của) ánh xạ mũ Ta định nghĩa tương tự cho trường hợp có hướng Chú ý dạng tự tuyến tính Do nhóm Lie liên thơng có nhiều dạng Taut trường hợp tổng quát ta có bao hàm sau: Dạng Taut ⊆ Dạng tuyến tính ⊆ Dạng liên tục Trong ( n , +) khái niệm trùng ta thấy nhóm Lie liên thơng lũy linh có số chiều lớn dạng liên tục tuyến tính Đầu tiên ta chứng minh kết tương tự  n với hạn chế: Định lí 3.1.2.4 (Dạng tuyến tính) Cho G nhóm Lie liên thơng σ : P(g) → G dạng vơ hướng tuyến tính Khi e ∈ σ Một kết tương tự cho dạng tuyến tính có hướng miễn số chiều G lẻ Chứng minh: Cho µ : P (g) → g hàm nâng liên tục σ Qua chứng minh định lí 2.2.1.3 ta thấy phải tồn đường L0 ∈ P (g) µ ( L0 ) ∈ L0 Do σ ( L0 ) ∈ exp( L0 ) 47 Điều kéo theo exp( L0 ) ⊆  L∈P ( g ) (σ ( L) ∗ exp( L)) = σ Mà e ∈ exp( L0 ) nên định lí chứng minh xong Việc chứng minh cho trường hợp có hướng làm tương tự việc sử dụng chứng minh định lí 2.2.2.1 với ràng buộc số chiều g G lẻ Vấn đề đặt thủ thuật dịch chuyển làm ( n , +) không cần thiết phải làm nhóm Lie tổng qt phép dịch chuyển trái (trong G) dạng tuyến tính (nâng được) không cần phải tạo dạng mà tuyến tính Ta chuyển dịch trái đại số Lie g điều không với ánh xạ mũ tương ứng trường hợp tổng quát Ví dụ e A+tB ≠ e AetB Khi ma trận A B khơng giao hốn, ta dễ dàng kiểm tra cách sử dụng đồng Baker- Campbell- Hausdorff Do nhóm Lie liên thơng tổng quát ta giải phần kết (mặc dù nhóm Lie lũy linh ta làm nhanh hơn) Định lí 3.1.2.5 (Dạng Taut) Cho G nhóm Lie liên thơng σ : P(g) → G dạng Taut vơ hướng Khi σ chứa lân cận mở phần tử đơn vị có độ đo Haar dương Ta có kết tương tự cho dạng Taut có hướng miễn G có số chiều lẻ Chứng minh: Cho σ dạng Taut Do không gian xạ ảnh (mặt cầu tương ứng) compact nên ảnh σ tập compact lân cận mở U phần tử đơn vị (tập mà đồng phôi tới lân cận mở g qua nghịch đảo địa phương ánh xạ mũ) Do ánh xạ nhân M : G × G → G liên tục nên M −1 (U ) lân cận mở e × Im(σ ) G × G Theo bổ đề ống[18] ta có lân cận mở V e để V × Im(σ ) ⊆ M −1 (U ) Cho W= V ∩ V −1 = V −1 {x −1 / x ∈V } Khi 48 W lận cận mở e G để w ∈W với tốn tử tịnh tiến trái Tw ta có Tw  σ dạng liên tục với ảnh U Taut Do Tw  σ = w * σ chứa e dựa vào định lí 3.1.2.4 Như σ chứa w−1 với w ∈W W ⊆ σ , điều chứng minh cho định lí trường hợp vơ hướng Việc chứng minh cho trường hợp có hướng tương tự Nói chung để có kết mạnh nhóm Lie liên thơng ta phải xem xét kĩ ánh xạ mũ Đây vấn đề nghiên cứu mạnh mẽ Nếu E ảnh ánh xạ mũ thực tế E sinh nhóm Lie liên thơng G nhóm Thật E * E = G [16] Tuy nhiên trường hợp tổng quát E ≠ G Được biết E = G trường hợp E nhóm Lie liên thơng compact, nhóm lũy linh liên thơng, nhóm Lie liên thơng giải theo kiểu E [16] Đặc biệt cho kết Dixmier Saito [8,21] phát biểu với nhóm đơn liên giải ánh xạ mũ tồn ánh song ánh vi phơi tồn cục Những điều kiện chứng minh tương đương với điều kiện biểu diễn liên hợp đại số Lie không tồn nghiệm ảo không tầm thường (đại số Lie giải theo kiểu E ) Đặc biệt điều áp dụng trường hợp đại số Lie lũy linh Do nhóm Lie lũy linh liên thông đơn, ánh xạ mũ vi phôi g → G trường hợp= G ( n , + ) Khi khơng có khác biệt khái niệm Taut, dạng tuyến tính liên tục Vì nhóm Lie liên thông lũy linh (hoặc tổng quát nhóm Lie liên thơng giải theo kiểu E ) phủ thành phần đơn liên, ánh xạ mũ giao hốn với ánh xạ phủ nên ta suy exp : g → G ánh xạ phủ Khi định lí khơng gian phủ phát biểu dạng đường Kakeya liên tục σ : P(g) → G hàm nâng liên tục nghĩa tuyến tính σ * -đồng cấu cảm sinh nhóm tầm thường 49 Nhóm π (G ) (chúng ta bỏ qua điểm sở thảo luận khơng gian liên thơng đường) giao hốn nhóm Lie H - khơng gian nhóm nhóm Lie liên thơng lũy linh (hoặc tổng qt nhóm Lie liên thông giải theo kiểu E ) tác động tự phủ phổ dụng  n , suy xoắn tự – định lí 19.3 trang 103 [13] (xem [5, tập trang 36] để có vài yếu tố cần thiết để chứng minh định lí 19.3) Mặc khác π ( P(g)) đẳng cấu với nhóm cyclic cấp n = tầm thường n ≤ Do n > , nhóm cyclic vơ hạn σ * phải tầm thường n ≠ khơng có nhóm đồng cấu khơng tầm thường từ nhóm xoắn đến nhóm xoắn tự Do có chứng minh: Định lí 3.1.2.6 Nếu G nhóm Lie liên thơng lũy linh ( tổng qt nhóm Lie liên thơng giải theo kiểu E ) có số chiều lớn , dạng Kakeya liên tục có hướng vơ hướng σ tuyến tính Hơn σ = G trường vô hướng trường hợp có hướng số chiều G lẻ Chứng minh Như giải thích đoạn trước định lí này, dạng liên tục vơ hướng (nâng) tuyến tính miễn ta có số chiều lớn Trong trường hợp dạng có hướng, phát biểu mặt cầu khơng gian vectơ thực có số chiều lớn đơn liên Do từ định lí 3.1.2.4, kết luận e ∈ σ cho dạng vơ hướng có hướng số chiều lẻ Bây ta cho toán tử tịnh tiến trái Tx Tx  σ dạng Tx  σ = x ∗ σ chứa e với x ∈ G σ chứa x −1 với x ∈ G từ suy σ = G Định lí 3.1.2.6 khơng hồn tồn thỏa số chiều tồn dạng mà khơng nâng đến đại số Lie, nghĩa khơng tuyến tính Tuy nhiên, cho kết σ = G với dạng Kakeya vô hướng liên tục Bây cố gắng 50 khử ràng buộc số chiều lớn định lí 3.1.2.6 Chỉ dùng trường hợp không tầm thường để chứng minh cho trường hợp số chiều Trong trường hợp số chiều 2, có nhóm Lie liên thông nâng lên tới đẳng cấu ( , +) , 2-hình xuyến S × S , hình trụ S ×  nhóm Afin  a b     / a > 0, b ∈   không Aben giải Đó chúng đại số    Lie chiều, nhóm Aben mà tương ứng nhóm đơn liên ( , +) nhóm khơng Aben dẫn đến nhóm Lie đơn liên với nhóm Affin Do nhóm Affin khơng có tâm nên nhóm Lie liên thông với đại số Lie chiều không Aben Vì có nhóm rời rạc ( , +) tự Aben với hạng nhỏ nên phủ hình trụ hình xuyến mục hồn thành (Bất kì dàn hạng  đẳng cấu với chuẩn tự đẳng cấu ( , +) hình xuyến hình trụ đẳng cấu với chuẩn Ánh xạ mũ vi phơi trường hợp ( , +) nhóm Affin định lí 3.1.2.6 cho trường hợp dạng Kakeya vô hướng liên tục tuyến tính Nếu σ : RP1 → S × S dạng Kakeya vô hướng liên tục hình xuyến ảnh σ * : π ( RP1 ) = → π ( S × S ) = ⊕  tự Aben với hạng nhỏ Nếu ảnh σ * tầm thường điều tương tự cho chuyển dịch (chúng đồng luân) hai dạng chuyển dịch tuyến tính ta dễ dàng chứng minh σ = G việc sử dụng thủ thuật chuyển dịch Cách khác ảnh σ * tự Aben với hạng Nhóm phủ tương ứng S × S hình trụ dạng tất chuyển dịch nâng tới hình trụ Do để chứng minh σ = G cho hình xuyến S × S ta chứng minh cho hình trụ S ×  51 Do để mở rộng phần định lí 3.1.2.6 mà phát biểu σ = G để cho tất nhóm Lie liên thơng giải theo kiểu E phần cịn lại chứng minh trường hợp G = S ×  ≅ * Cho σ : RP1 → * liên tục Chúng ta xem σ ánh xạ liên tục ) σ (−u ), có nghĩa xét dạng Kakeya có hướng qua S → * cho σ (u= họ đường thẳng hai lần, quy ước hướng ngược lần qua Tập dạng có hướng giống dạng vơ hướng Chú ý ánh xạ exp :  → * ánh xạ mũ phức, ánh xạ mũ cho nhóm Lie hình trụ * = K {2π in | n ∈ } Định lí khơng gian phủ phát biểu ánh xạ phủ với hạt nhân nâng σ đến đường p :[0, 2p ] →  , p (t ) gắn song song Lt đường hợp với trục x góc t rađian hướng bên ngồi từ gốc (Khi nhóm Lie * abel, ánh xạ mũ biến tất đường chí đường khơng qua gốc  thành lớp nhóm 1-tham số * ) Cần tập dạng Kakeya vơ hướng liên tục * chứa phần tử đơn vị 1, đủ để chứng minh p =  t∈[0,2p ] Lt chứa vài điểm K Nếu ta điều dạng Kakeya vơ hướng liên tục hình trụ * chứa phần tử đơn vị sử dụng thủ thuật chuyển dịch để chứng tỏ σ = * cho tất chúng Như đề cập trên, ta hoàn thành việc chứng minh σ = G với nhóm Lie liên thơng trường hợp số chiều Do cho p :[0, 2p ] →  ánh xạ liên tục cho Lt đường thẳng tạo góc t radian với trục- x , qua điểm p (t ) Chúng ta cần chứng minh p =  t∈[0,2p ] Lt ∅ chứa vài điểm K Giả sử điều khơng đúng, nghĩa p ∩ K = Định nghĩa H :[0, 2π ] ×  →  − K xác định H (t= , s ) p (t ) + seit Chú ý với t cố định, biến s , H (t , s ) quét đường Lt Đồng thời ý Im H 52 p H liên tục Bây ý đường t cố định, ánh xạ H xác định, mở rộng đến ánh xạ liên tục một-điểm compact hóa   cho H :[0, 2π ] × S → S − K liên tục, S mặt cầu Rieman Do H cho điểm sở trì đồng luân ánh xạ ht : S → S − K điểm sở điểm vô Chú ý hπ tương ứng với đường thẳng đứng tách rời từ K , phải đường x = c c ≠ Mặc khác h0 tương ứng với đường nằm ngang tách rời từ K phải đường y = d d ≠ 2π n với số nguyên n Cho a b điểm K mà điểm nằm điểm nằm d Khi xem H điểm sở trì đồng ln [0, 2π ] × S → S − {a, b} S − {a, b} đồng phôi với mặt phẳng thủng  − {0} qua phép chiếu từ điểm a ∈ S bao gồm phép chuyển dịch mà biến b thành Qua phép chiếu cải biên Ψ này, ánh xạ hπ rõ ràng hướng tới đồng luân không đường cong S →  − {0} ánh xạ h0 : S →  − {0} hướng tới đường cong không chứa quay quanh gốc Chúng đồng luân qua Ψ  H , ta có mâu thuẫn Do khơng có dạng đường liên tục p :[0, 2p ] →  có p tách rời từ K khơng có dạng Kakeya vơ hướng liên tục * có σ khơng chứa phần tử đơn vị Do dạng Kakeya vơ hướng liên tục hình trụ có khơng gian sở chứa phần tử đơn vị Do hồn thành việc chứng minh σ = G trường hợp số chiều đề cập Và có chứng minh: Hệ 3.1.2.7 Cho G nhóm Lie lũy linh liên thơng (tổng qt nhóm Lie liên thơng giải theo kiểu E ) cho σ dạng Kakeya vô hướng liên tục, 53 σ = G Kết tương tự giữ nguyên cho trường hợp có hướng số chiều G lẻ 3.2 Dạng đường Kakeya liên tục không gian Cho trước nhóm đóng K nhóm Lie G , K \ G đa tạp trơn ta có ánh xạ thương π : G → K \ G biến lớp ghép trái nhóm 1- tham số G thành tập hợp đánh dấu đường cong K \ G Do dạng đường Kakeya liên tục cho dạng đường Kakeya vô hướng liên tục = σ π  σ : P(g) → K \ G Hơn nữa, cho trước ánh xạ liên tục P (g) → K \ G , ta sử dụng lí thuyết phân thớ để xác định đến từ dạng Kakeya G Chúng ta nghiên cứu cách vắn tắt dạng mục Định nghĩa 3.2.1 Dạng G - Kakeya vô hướng liên tục X = K \ G ánh xạ liên tục σ : P(g) → X Chúng ta định nghĩa = σ  (σ ( L) ∗ exp( L)) với ∗ tác động phải L∈g G X Chúng ta nói dạng σ nâng lên thành dạng G có dạng Kakeya vơ hướng liên tục G σ : P (g) → G cho π  σ = σ ( ) π : G → K \ G ánh xạ chiếu Chú ý trường hợp σ = π σ Chúng ta có định nghĩa tương tự cho dạng Kakeya có hướng P(g) thay S (g) với định nghĩa tích xác định dương g Chú ý phân thớ phân thớ Serre nên vấn đề ánh xạ liên tục σ nâng trở thành vấn đề đồng luân, nghĩa σ đồng ln với σ σ có nâng liên tục σ Như vậy, yêu cầu dạng G - Kakeya σ X nâng đến dạng G có lớp đồng ln khơng có điểm sở σ thích hợp Bổ đề sau suy trực tiếp từ nhận xét trên: 54 Bổ đề 3.2.2 K \ G dạng G- Kakeya vô hướng liên tục X mà tập Cho σ : P (g) → X = hợp ảnh nằm không gian co rút X (giống đồ thị) Khi σ đồng luân với ánh xạ có nâng liên tục đến dạng Kakeya vô hướng liên tục G Phát biểu tương tự bảo toàn cho dạng có hướng K \ G xác định Nói chung dạng G- Kakeya có hướng liên tục σ : S (g) → X = lớp đồng ln khơng có điểm sở  S n −1 , X  n số chiều G Vì X liên thơng đường nên xác định quỹ đạo- π ( X ) C π n −1 ( X ) tác động π ( X ) π ∗ ( X ) Dạng nâng đến dạng Kakeya có hướng liên tục G vài phần tử C nằm ảnh π ∗ : π n−1 (G ) → π n−1 ( X ) điều xảy vài phần tử C nằm Ker toán tử bị chặn ∂ : π n −1 ( X ) → π n −2 ( K ) Sử dụng nhận xét biến thể tương đương cho khơng gian xạ ảnh, vấn đề nâng được giải hầu hết ví dụ Một dạng nâng đến nhóm Lie tất kết có nhóm Lie áp dụng Như ví dụ ghi nhận hệ sau: Hệ 3.2.3 Cho G nhóm Lie liên thơng giải theo kiểu E K nhóm đóng với khơng gian tương ứng X = K \ G Nếu σ dạng G- Kakeya vô hướng liên tục X mà nâng đến dạng G σ = X Kết luận tương tự bảo tồn với dạng có hướng số chiều G lẻ Hãy xem ví dụ đơn giản để minh họa cho dạng Kakeya không gian tổng quát Cho G = SO(3), G nhóm Lie liên thơng compact mà đồng phôi đến P không gian Đại số Lie so(3) đẳng cấu với đại số Lie cho  với tích có hướng móc Lie Cho vectơ khác v đại số Lie, hàm số mũ sinh phép quay quanh trục cho v theo hướng chiều kim đồng hồ 55 (quy tắc bàn tay phải) Do nhóm 1-tham số SO (3) tương ứng với đường thẳng  tập hợp phép quay đường thẳng Bây xét không gian SO(2) \ SO(3) mà vi đồng phôi với mặt cầu chuẩn S ⊂  Qua ánh xạ chiếu biến nhóm 1-tham số thành đường trắc địa đóng (đường trịn lớn đường cong hằng) Dạng SO (3) -Kakeya có hướng liên tục S ánh xạ σ : S ( ) → S tương ứng cho họ đường cong thay đổi liên tục S mà phủ tất “hướng” SO(3) Do có dư thừa hướng S (Để tránh dư thừa trường hợp tổng quát ta đồng khơng gian tiếp xúc khơng gian với không gian không gian tiếp xúc nhóm Lie G có tương ứng không gian với không gian xạ ảnh g dùng Tuy nhiên điều yêu cầu lựa chọn nâng nằm ngang phân thớ, nghĩa chọn liên thông cho K - phân thớ Chúng ta khơng nghiên cứu chủ đề đây.) Vì π ( SO(3)) = nên dạng SO(3) − Kakeya có hướng S σ : S ( 3= ) S → S nâng đến dạng Kakeya có hướng SO (3) có bậc ánh xạ nghĩa đồng luân với số 56 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu dạng đường Kakeya nhóm Lie khơng gian nhóm Lie Luận văn chia làm bốn chương, chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm tính chất liên quan khơng gian tơpơ, nhóm Lie đại số Lie, khơng gian nhất, số kiến thức tôpô đại số để sử dụng cho chương chương Tiếp theo chương xuất phát từ “bài toán Kakeya” cổ điển  , chương tập trung nghiên cứu tập hợp tương tự tập “cây kim Kakeya” với yêu cầu “cây kim” phải dời cách liên tục  n Chương nghiên cứu hai dạng đường Kakeya liên tục có hướng vơ hướng khơng gian  n Thông qua kết nghiên cứu dạng đường Kakeya liên tục có hướng vơ hướng  n chương 2, phần đầu chương mở rộng chúng cho nhóm Lie từ thấy số hạn chế dạng đường Kakeya liên tục cho nhóm Lie liên thơng tổng qt Cuối liên quan tới nhóm Lie tác động nhóm Lie phần sau chương trình bày cách vắn tắt dạng đường Kakeya liên tục khơng gian nhóm Lie Thơng qua dạng đường Kakeya liên tục nhóm Lie ta xây dựng dạng đường Kakeya liên tục không gian từ dùng kiến thức lí thuyết phân thớ để tìm hiểu mối quan hệ chúng Trong trình làm việc, trình độ thân cịn nhiều hạn chế nên dù có nhiều cố gắng cịn nhiều thiếu xót, nhiều định lí cần chứng minh cách tỉ mỉ cho trường hợp có hướng, vấn đề biến thể Lie biến thể rời rạc giả thuyết Kakeya nhóm Lie cần nghiên cứu rõ ràng 57 nữa, cần nghiên cứu sâu vấn đề dạng đường Kakeya liên tục không gian điển việc xây dựng liên thơng cho K - phân thớ để tránh dư thừa hướng S (vấn đề nêu cuối chương 3) Cuối hy vọng có hội để nghiên cứu sâu để tìm câu trả lời rõ ràng, đầy đủ cho vấn đề nêu TÀI LIỆU THAM KHẢO B Murphy J.Pakianathan (2015), Kakeya configurations in Lie groups and homogeneous spaces, Topology and its Applications 180, 1-15 A.S Besicovitch (1928), On Kakeya’s problem and a similar one, Math.Z 27, 312-320 A.S Besicovitch (1963), The Kakeya problem, Am Math Mon 70, 697-706 F Cunningham Jr (1971), The Kakeya problem for simply connected and for starshaped sets, Am Math Mon 78, 114-129 R Davies (1971), Some remarks on the Kakeya problem, Proc Camb Philos Soc 69, 417-421 J Dixmier (1957), L’application exponentielle dans les groupes de Lie Resolubles, Bull Soc Math Fr 85, 113-121 Z Dvir (2009), On the size of Kakeya sets in finite fields, J Am Math Soc 22, 1093-1097 C Fefferman (1971), The multiplier problem for the Ball, Ann Math 94, 330-336 M Moskowitz, R Sacksteder (2003), Exponential map and differential equations on real Lie groups, J Lie Theory 13, 291-306 10 F Warner (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM, vol 94, Springer- Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 11 L Wisewell (2005), Kakeya sets of curves, Geom Funct Anal 15, 1319-1362 58 12 T Wolff (1999), Recent Work Connected with the Kakeya Problem, Prospect Math., AMS ... gian nhóm Lie 3.1 Dạng đường Kakeya liên tục nhóm Lie liên thơng 3.1.1 Tổng quan kết dạng đường Kakeya liên tục nhóm Lie liên thơng Mọi nhóm Lie liên thơng có đại số Lie g [24, chương 3] đại số Lie. .. minh kết Chương DẠNG ĐƯỜNG KAKEYA LIÊN TỤC TRONG NHÓM LIE LIÊN THƠNG mở rộng trình bày vấn đề liên quan dạng đường Kakeya liên tục từ  n vào nhóm Lie khơng gian nhóm Lie 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN... nhóm Lie, ta cần tìm điều kiện để ánh xạ mũ ánh xạ phủ nhóm Lie Khi ta biết ánh xạ mũ ánh xạ phủ, ta sử dụng lí thuyết khơng gian phủ để nâng dạng Kakeya nhóm Lie G thành dạng Kakeya đại số Lie