Không gian BMO có trọng và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tùng KHƠNG GIAN BMO CÓ TRỌNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tùng KHƠNG GIAN BMO CÓ TRỌNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ XUÂN TRƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ thực Các nội dung nghiên cứu kết trích dẫn luận văn liệt kê đầy đủ danh mục tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Học viên cao học Nguyễn Thanh Tùng LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiê ̣u trường Đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m Thành phố Hờ Chí Minh, Phịng Sau đại học, Ban chủ nhiê ̣m khoa Toán – Tin, đã ta ̣o điề u kiê ̣n cho tơi hồn thành luận văn cao học Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn quý thầy tổ Giải tích, khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phớ Hờ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp học tập suốt trình học Cao học Mô ̣t cách đă ̣c biê ̣t, xin trân tro ̣ng gửi đế n thầ y – PGS TS Lê Xuân Trường – Giảng viên trường Đa ̣i ho ̣c Kinh Tế Thành phố Hồ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành sâu sắc nhấ t Chiń h thầ y là người đã giúp hiǹ h thành ý tưởng thực hiê ̣n luâ ̣n văn, đồ ng thời hướng dẫn mô ̣t cách rấ t tâ ̣n tình suố t quá triǹ h nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm động viên, giúp đỡ bạn bè gia đình giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Nguyễn Thanh Tùng MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH ĐIỀU HỊA 1.1 Khơng gian 1.1.1 Một số định nghĩa 1.1.2 Ví dụ khơng gian 1.2 Các lớp hàm trọng 1.3 Hàm chấp nhận 1.4 Một số toán tử tích phân kỳ dị 1.4.1 Toán tử Calderón-Zygmund 1.4.2 Hàm cực đại Hardy-Littlewood .9 1.4.3 Hàm radial cực đại 10 1.4.4 Hàm cực đại nửa nhóm Poisson 10 1.4.5 Hàm bình phương 𝑔 −Littlewood-Paley 11 Chương KHÔNG GIAN BMO CÓ TRỌNG 12 β 2.1 Không gian BMO (X,w) 12 β 2.2 Không gian BMO ρ  X,w  liên kết với hàm chấp nhận 21 Chương TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ 29 3.1 Tính bị chặn hàm radial cực đại hàm cực đại nửa nhóm Poisson 29 3.1.1 Tính bị chặn hàm radial cực đại .29 3.1.2 Tính bị chặn hàm cực đại nửa nhóm Poisson 35 3.2 Tính bị chặn hàm bình phương 𝑔 −Littlewood-Paley 36 3 Khơng gian Lp - yếu có trọng L p, (X,w) tính bị chặn L- / 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO .55 MỞ ĐẦU Giả sử L =   V tốn tử Schrưdinger n (n  3) V vị không âm thỏa mãn bất đẳng thức Hölder ngược Trong [5], tác giả giới thiệu không gian loại BMO BMOL ( n ) liên kết với tốn tử L khơng gian không gian BMO cổ điển John Nirenberg Điều quan trọng là, không gian BMO BMOL ( n ) phù hợp cho tính bị chặn tốn tử tích phân kì dị liên kết với tốn tử Schrưdinger L hàm cực đại HardyLittlewood, hàm bình phương tích phân bậc khơng ngun, xem [2, 3, 5, 8] Nối tiếp, khơng gian BMO có trọng BMOL ( n , w) liên kết với L quan tâm nghiên cứu, xem [2, 3, 11] Các tác giả [2, 3, 11] chứng minh tính bị chặn tốn tử tích phân kì dị biến đổi Riesz, tích phân bậc khơng ngun hàm bình phương BMOL ( n , w) Gần đây, D Yang phát triển lý thuyết không gian BMO liên kết với hàm chấp nhận không gian nhất, xem [19, 20, 21] Một không gian loại X theo nghĩa Coifman Weiss gọi không gian  X bổ sung thêm tính chất doubling ngược X Chúng ta biết không gian liên thơng khơng gian  Các ví dụ điển hình không gian  bao gồm không gian Euclidean, không gian Euclidean với hàm trọng thỏa mãn tính chất doubling, nhóm Heisenberg, nhóm Lie tăng trưởng đa thức biên miền đa thức kiểu mẫu không bị chặn , tổng quát hơn, không gian Carnot-Carathéodory với độ đo doubling Các kết chứa đựng nghiên cứu tốn tử Schrưdinger với phiên khác tốn tử Schrưdinger tốn tử Schrưdinger suy biến n tốn tử sub- Laplace Schrưdinger nhóm Heisenberg nhóm Lie phân Được thúc đẩy cơng trình có báo khơng gian BMO có trọng, xem [12, 13], mục đích luận văn nhằm mở rộng kết [19, 20, 21] cho không gian loại BMO có trọng liên kết với hàm chấp nhận Chính xác hơn, lấy  hàm chấp nhận khơng gian  Kết luận văn thiết lập lí thuyết khơng gian loại BMO có trọng BMO  ( X , w), BMO ( X , w) tính chất chúng, bao gồm bất đẳng thức John-Nirenberg cho không gian Áp dụng kết này, ta nghiên cứu tính bị chặn BMO  ( X , w), BMO ( X , w) số tốn tử tích phân kì dị hàm radial cực đại, hàm cực đại nửa nhóm Poisson, hàm bình phương g-Littlewood-Paley, tích phân bậc khơng ngun Kết luận văn mở rộng kết [19, 20] cho khơng gian loại BMO có trọng kết [2, 11] cho không gian  Các kết công bố [18] Cấu trúc luận văn gồm có mục lục, phần mở đầu, chương tài liệu tham khảo Chi tiết sau: phần mở đầu giới thiệu tổng quan vấn đề khảo sát luận văn điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương trình bày kết giải tích điều hịa khơng gian nhất, hàm cực đại Hardy-Littlewood, tốn tử Calderón-Zygmund, hàm trọng Muckenhoupt khơng gian Hardy BMO Chương dùng để đưa định nghĩa khơng gian loại BMO có trọng BMO  ( X , w), BMO ( X , w) chứng minh tính chất bao gồm bất đẳng thức John-Nirenberg cho BMO  ( X , w) BMO ( X , w) Cuối cùng, tính bị chặn BMO ( X , w) hàm cực đại radial S  , hàm cực đại nửa nhóm Poisson P  , hàm bình phương g -Littlewood-Paley tích phân bậc khơng ngun chứng minh chương Trong suốt luận văn này, tất số dương kí hiệu C chúng khác dòng Chúng ta viết A A B B tồn số dương C độc lập với tham số liên quan cho A  CB A B A , tương ứng Lấy cầu B số dương  > 0, ta viết  B để cầu có tâm B với bán kính gấp  lần bán kính B Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH ĐIỀU HỊA 1.1 Khơng gian 1.1.1 Một số định nghĩa Đầu tiên nhắc lại định nghĩa không gian theo nghĩa Coifman Weiss định nghĩa không gian  Định nghĩa sau trích dẫn từ [20] Giả sử ( X , d ) không gian mêtric với độ đo Borel quy  Với x  X r  (0, ) , đặt B( x, r ) = { y  X : d ( y, x) < r} Định nghĩa 1.1.1 Bộ ba ( X , d ,  ) gọi không gian tồn số A1 1, ) cho với x  X r  (0, ) , ta có  ( B( x,2r ))  A1 ( B( x, r )) <  (1) Định nghĩa 1.1.2 Lấy   (0, D] Bộ ba ( X , d ,  ) gọi không gian ( , D) tồn số A2  (0,1] A3 1,  ) cho với x  X , r  (0, diam( X ) / 2]  1, diam( X ) / (2r )] , A2   ( B( x, r ))   ( B( x,  r )  A3 D  ( B( x, r )), (2) diam( X ) = sup d ( x, y ) x , y X Định nghĩa 1.1.3 Một không gian gọi không gian  tồn  , D cho khơng gian ( , D) Định nghĩa 1.1.4 Một không gian ( X , d ,  ) gọi khơng gian D quy  ( B( x, r )) rD Từ sau, luôn đặt Vr ( x ) =  ( B ( x, r )) V ( x, y ) =  ( B( x, d ( x, y )) với x, y  X r  (0, ) Chú ý tính chất (2) dẫn đến D R   , r VR ( y ) Vr ( x) cho cầu B( x, r )  B( y, R)  X ; tồn số C   N  D cho N d ( x, y )   Vr ( x)  C 1   Vr ( y ), r   (3) theo x, y  X r > 1.1.2 Ví dụ khơng gian Các ví dụ sau trích dẫn từ [4] • X= n • X= n 1/ 2 n , d  x, y  = x  y =  j =1 x j  y j    , d  x, y  = nj =1 x j  y j j ,  độ đo Lebesgue , 1 , , , n > khác đơi một,  độ đo Lebesgue • X= n , d  x, y  = nj =1 x j  y j j , 1 , , , n > khác đôi một,  độ đo thỏa điều kiện doubling; lớp quan trọng độ  đo d   x  = d  x,0  dx   >  dx độ đo Lebesgue 1.2 Các lớp hàm trọng Trong phần sau ta xem X không gian RD Với  p   đặt p' liên hợp p , tức / p  / p' = Chúng ta nhắc lại định nghĩa hàm trọng Muckenhoupt [15] Định nghĩa 1.2.1 Ta nói w hàm trọng w đo khơng âm khả tích địa phương X 43  | Qt ( f  f B ( x, t ) )( x) | BMO   X , w  f   B  x0 , r   w  B  x0 , r     B  x0 , r    r   t  D ( p   1)   ( j  2)2  j   D ( p   1) j =1  ( B)  w( B)  r  f BMO   X , w   ( B)  t    D ( p   1) Bởi (Q3), ta thu | Qt ( f B ( x, t ) )( x) | | f B ( x, t ) | ( f t t   ( x) BMO  ( X , w)   max{1;( f  ( x) t   ( x) t  ( B )  w( B )  r   ( B )  t  ) D ( p   1) }( BMO  ( X , w) (1  ( 2 )  D ( p   1) t t   ( x) 2 )  ( B )  w( B ) r  D ( p   1) ( )  ( B) t ) D ( p   1) )(  t t   ( x) ) Nếu t   ( x), ta có | Qt ( f B ( x, t ) )( x) | f BMO  ( X , w)   ( B)  w( B)  r   ( B)  t   D ( p   1) Nếu t <  ( x), ta có | Qt ( f B ( x, t ) )( x) | f f Do  D ( p   1) BMO  ( X , w)   ( B)  w( B)  r   ( B)  t   D ( p   1) BMO  ( X , w)  ( B)  w( B)  r   ( B)  t   (1  ( t   D ( p   1) ) )  ( x0 ) 44 | Qt ( f )( x) | f BMO  ( X , w)   ( B)  w( B)  r   ( B)  t   D ( p   1) , (40) với x  B, t  [8r , ) Với t  [8r , ) x, y  B, ta có | Qt ( f )( x)  Qt ( f )( y ) | |  [Qt  x, z   Qt  y, z ][ f  z   f B  x, t  ]d   z  | X  | f B  x, t  ||  [Qt  x, z   Qt  y, z ]d   z  | X = J1  J Chú ý d ( x, y )  2r < t với x, y  B, t  8r , ) Bởi (Q2), t  8r , ) thật B( x,2 j t )  B( x0 ,2 j 1 t )  B( x,2 j  t ) với x  B, ta có J1 [ X  d  x, y  t  d  x, z  r ]  ( t ) 2 j V t [ ] f  z   f B  x, t  d   z  Vt  x   V  x, z  t  d  x, z   x j 1 t j =0 j 1 B  x , t  f  z   f B  x, t  d   z   w  j B  x , t    j    j    j B  x, t   j =0      j B  x ,t  w j B  x ,t  0 r j    j      t  j =0   j B  x0 , t     r   t    j B  x, t  Sử dụng w  Dp  X  , ta có  45  J1   B  x0 , r   w  B  x0 , r    r   D ( p   1)   t   B  x0 , r      j   2 j (  D( p   1)) j =0   D ( p   1)  ( B)  w( B)  r   ( B )  t  (41) Mặt khác, ta có với x, y  B,  [Qt  x, z   Qt  y, z ]d   z  X   d  x, y   t    t  d  x, y   Vt  x   V  x, y  ( t  d  x, y  ) d   z   X    r    j t  2 j j =0  r   t Bởi (Q3), ta có  [Qt  x, z   Qt  y, z ]d   z  X   Qt  x, z  d   z   Qt  y , z  d   z  X ( X  t t    x0  ) Vì r <   x0  / nên với  - h k n x, y  B, ta có J2  f B  x, t   [Qt  x, z   Qt  y, z ]d   z  X     ,   3  r 3  r  f B  x, t       t     x0   Bởi mệnh đề 2.2.4, ta có     ( t t    x0  2 ) 46 J2 f BMO  ( X , w)   ( B( x, t ))  w( B( x, t ))  ( x) D ( p   1) [1  ( ) ]  ( B( x, t )) t  2 )  r r min( , ( ) ( ) t  ( x0 ) Do x  B  x0 , r  , ta có B  x, t   B  x0 , 2t   B  x,3t  Do đó,  ( B( x0 , t ))  w( B( x0 , t ))  ( x0 ) D ( p   1) f BMO   X , w [1  ( ) ]  ( B( x0 , t )) t  J2  2 )  r r min( , ( ) ( ) t  ( x0 ) Sử dụng tính chất doubling ta có  J2   B  x0 , r   w  B  x0 , r     B  x0 , r   f BMO   X , w      min( , ) 3   ( x0 ) D ( p   1)  r   r t ( ) D ( p   1) [1  ( ) ]    r t  t    ( x0 )     D ( p   1)       ,   D ( p   1)     r 3   ( )    ( x0 )      ( B) w( B) f  ( B) BMO   X , w      ( B)  w( B) f  ( B) r  D ( p   1)) ( )  BMO  X , w  t   r 3  t  (42)   D ( p   1) r Kết hợp (41), (42) ý   t   r 3 , ta gọi kt ( x, y ) nhân liên kết etL Khi đó, nhân L / cho công thức  K ( x, y ) =  t / kt ( x, y ) dt t Định lí sau đưa tính bị chặn L / khơng gian có trọng loại BMO Điều xem mở rộng kết n [2, Định lý 1] cho khơng gian D  quy Định lý 3.3.1 Ta giả sử Với N > 0, tồn số C cho với x, y X , ta có kt ( x, y ) t  D / 2e  d  x , y 2 Ct  t t   1      x   y  N (46) Với N > 0,  > <  < 1,   , tồn số C cho kt  x, y   kt  x0 , y    d  x, x0    D / e   t t    d  x , y 2 Ct , với x, y x0 X cho d  x, x0  < t Lấy <  < D,  > 0,  = min(1,  ), D   p< D (   ) w  D  RH ' ,   w  RH ' Nếu f hàm khả tích địa p phương B cầu X tồn số C cho  | f | d   Cw( B) ( B) 1/ p f p, w B Chứng minh Chứng minh bổ đề gần đồng với chứng minh bổ đề 4.1 [8] Ta có kết đơn giản sau  Bổ đề 3.3.3 Với  > 0, ta có B( x , r ) d  z, x0  D  d  z r với x0  X , r > Chứng minh Chứng minh đơn giản ta bỏ qua chi tiết Chúng ta chuẩn bị xong để chứng minh định lí 3.1 Chứng minh Định lý 3 Ta kế thừa số ý tưởng [2] Ta cần chứng minh rằng: f khả tích địa phương B cầu X ,  w( B) B  (| f  B |)d   ( B) D p  f p, w Thật vậy, hệ điều kiện (a), ta có K ( x, y ) d ( x, y ) D   Do đó, ta có w( B) B  (| f  B |)d  | f ( y) | d  ( y)d  ( x)   w( B) B B d ( x, y) D  (48) 50 Lấy x0 tâm cầu B r bán kính Áp dụng định lí Tonelli bổ đề 3.3.3 tích phân cuối đánh sau: d  ( x) r  | f ( y ) |  d ( x, y ) D  d  ( y ) 2B B  | f ( y) | d  ( y) w( B)  ( B)   D p f p, w , 2B bất đẳng thức cuối lấy từ bổ đề 3.3.2 Do đó, (48) chứng minh Lấy B = B ( x0 , R ) với R =  ( x0 ) Viết f = f1  f , với f1 = f 2B , (48), ta có | w( B) B  ( B) / D 1/ p f  f1 | d  p, w Để xử lí cho trường hợp f , ta phân tích biểu diễn tích phân  sau Lấy x  B, ta có R2  f ( x) = e tL f ( x)t   / 1 dt  e tL f ( x)t  / 1dt (49) R2 Với x  B y  X \ B, ta có d ( x0 , y)  Cd ( x, y) Do với số hạng đầu (49), ta có R2 | e tL f ( x)t  / 1dt | =| R2   kt ( x, y ) f ( y ) d  ( y )t  / 1dt | X \ 2B R2   e d ( x, y ) D/2 X \ 2B t R   D 1 t   X \ 2B t ( d ( x, y ) R M  D   1 C t dt  / Ct  | f ( y ) | d  ( y )t  / 1dt ) M / | f ( y ) | d  ( y )dt | f ( y) | M X \ B d ( x0 , y ) d  ( y ), M số xác định sau C phụ thuộc theo M Phân tích miền lấy tích phân tích phân thứ hai thành tập 51 2k 1 B \ 2k B, áp dụng bổ đề 3.3.2 ta có  (2 B )c  | f ( y) | d ( x0 , y ) M d  ( y) =  | f ( y) |  k =1 k 1 B \ 2k B  RM R  d ( x0 , y ) M  2kM  d  ( y) | f ( y) | d  ( y) 2k 1 B k =1 D / pM  f p, w w(2k 1 B)2k ( D / p  M ) k =1  w( B) R  D / p  M f  2k ( D / p  M  D ) , p, w k =1 (50) bất đẳng thức cuối suy từ w  D Chuỗi cuối hội tụ M > D  D / p Do với M , ta có R2 | e tL f ( x)t  / 1 dt | w( B ) R R2 D / pM f t p, w ( M  D   ) / 1 dt w( B )  ( B) / D 1/ p 1 f p, w Với số hạng thứ hai (49), ta dùng điều kiện (46) Do đó, ta chọn M N  M  | e tL f ( x)t  / 1 dt | = R2    kt ( x, y ) | f ( y ) | d  ( y )t  / 1dt   t (  D  N ) / 1  ( x) N e  d ( x, y )  ( x) t R2 X \ B  R2 X \ B  N (  D  N ) / 1 R2 Khi x  B, ta có  ( x )  X \ 2B ( / Ct t d ( x, y ) | f ( y ) | d  ( y )dt ) M / | f ( y ) | d  ( y )dt  ( x0 ) = R Điều kết hợp với bất đẳng thức 52 cho ta  e | tL f ( x)t   / 1 dt | R N R2 ( M    D  N ) / 1 dt t R2 | f ( y) |  M X \ B d ( x0 , y ) d  ( y ) Vì M    D  N < 0, tích phân theo t hội tụ Do đó, phân tích tích phân thứ hai theo cách trên, số hạng cuối bị chặn Cw( B) R  D / p  D f  / D 1/ p 1 p, w = Cw( B)  ( B) f p, w , chứng minh w( B( x0 ,  ( x0 ))) B ( x  |  f | d  ( B( x0 ,  ( x0 ))) / D 1/ p f p, w ,  ( x )) Lấy B = B ( x0 , r ) với r <  ( x0 ) Ta đặt f = f1  f2 với f1 = f  B  cB =  etL f ( x0 )t  / 1dt r2 Bởi (48), ta có | w( B) B  ( f )  cB | d  w( B) B  (| f1 |) d   ( B) / D 1/ p f  | w( B) B p, w   ( f )  cB | w( B) B | d  ( f )  cB | d  Với số hạng thứ hai, ta chứng minh |  f ( x)  cB Lấy x  B phân tích | w( B)  ( B) / D 1/ p 1 f p, w (51)  f2 ( x) (49) Đối với số hạng đầu tiên, ta làm để có r2 |  etL f ( x)t / 1dt | w( B)  ( B) / D 1/ p 1 f p, w 53 Phần lại, định nghĩa cB , bị chặn  | e tL f ( x)t   / 1 dt  cB | r2 | kt ( x, y )  kt ( x0 , y ) || f ( y ) | d  ( y )t  / 1dt   r2 X \ 2B điều kiện (47), với <  <  tích phân cuối đánh giá  d ( x, y )2 d ( x, x0 )   D / ( ) t e Ct  C   r2 X \ 2B t | f ( y ) | d  ( y )t  / 1dt Vì d ( x0 , x) < r , áp dụng định lí Fubini, tích phân cuối bị chặn r   | f ( y) |   d ( x, y )2 t ( D   ) / e Ct r2 X \ 2B dt d  ( y ) t d ( x, y ) Bây giờ, phép đổi biến s = ta thu t r   | f ( y) | X \ B d ( x, y ) D     d  ( y ) s ( D   )/ e s / C ds s Vì tích phân theo s hữu hạn, ta cần đánh giá tích phân theo y Ta thực tính tốn tương tự (50) với M = D     Nhưng để chuỗi hội tụ ta cần  <   / D   / D  / p mà điều giả thiết  , lấy  đủ gần  Chú ý nơi mà ta dùng điều kiện  Bằng cách này, biểu thức bị chặn w( B)r  D / p  D f p, w (51) chứng minh Nhận xét 3.3.4 (a) Trong [5], tác giả chứng minh lũy thừa âm tốn tử Schrưdinger  n ánh xạ Ln /  vào BMOL ( n )  không gian thay phù hợp L , không gian nhỏ không gian cổ điển 54 BMO John-Nirenberg Trong [2], tác giả mở rộng kết [5] lập luận thích hợp  khơng gian có trọng yếu Lp với p  n /  Trong luận văn này, ta phát triển kết khơng gian D-chính quy X BMO ( X , w) Ta trường hợp w  1, p = D /  ,  = X= n , ta thu kết tốt [5] Lp chứa nghiêm ngặt không gian Lp yếu BMO ( X , w) không gian thật không gian John-Nirenberg cổ điển BMO (b) Ngồi tốn tử Schrưdinger n , kết ta định lí áp dụng cho tốn tử loại Schrưdinger nhóm Heisenberg groups nhóm Lie phân 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO H Aimar, R Macias (1984), " Weighted norm inequalities for the HardyLittlewood maximal operator on spaces of homogeneus type", Proc Amer Math Soc 91, 213-216 B Bongioanni, E Harboure, O Salinas (2008), " Weighted inequalities for negative powers of Schrödinger operators", J Math Anal Appl 348, 1227 B Bongioanni, E Harboure, O Salinas (2009), "Riesz transform related to Schrödinger operators acting on BMO type spaces", J Math Anal Appl 357, 115-131 R R Coifman, Guidoweiss (1971), Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes, Lecture Notes in Math, vol 242, Springer-Verlag, Berlin and NewYork J Dziuban s ki, G Garrigós, T Martínez, J Zienkiewicz (2008), "BMO spaces related to Schrödinger operators with potentials satisfying a reverse Hölder inequality", Math Z 249, 329-356 L Grafakos, L Liu, D Yang (2008), "Maximal function characterizations of Hardy spaces on -spaces and their applications", Sci China Ser A 51, 2253-2284 Y Han, D Müller, D Yang (2006), "Littlewood-Paley characterizations for Hardy spaces on spaces of homogeneous type", Math Nachr 279, 15051537 E Harboure, O Salinas, B Viviani (1997), "Boundedness of the fractional integral on weighted Lebesgue and Lipschitz spaces", Trans Amer Math Soc 349 (1), 235-255 56 S Hartzstein, O Salinas (2008), "Weighted BMO and Carleson measures on spaces of homogeneous type", J Math Anal Appl 342, 950-969 10 J Heinonen (2001), Lectures on analysis on mêtric spaces, Universitext, Springer-Verlag, New York 11 H Liu, L Tang, H Zhu (2012), "Weighted Hardy spaces and BMO spaces associated with Schrödinger operators", Math Nachr 357, 1-35 12 B Muckenhoupt, R Wheeden (1976), "Weighted bounded mean oscillation and the Hilbert transform", Studia Math 54 (3), 221-237 13 M Morvidone (1961), "Weighted spaces and the Hilbert transform", Rev Un Mat Argentina 44, 415-426 14 Z Shen (1995), " Lp estimates for Schrödinger operators with certain potentials", Ann Inst Fourier 45, 513-546 15 J O Strömberg, A Torchinsky (1989), Weighted Hardy spaces, Lecture Notes in Mathematics, 1381 Springer-Verlag, Berlin/New York 16 E Stein (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press, Priceton 17 E M Stein (1993), Harmonic analysis: Real variable methods, orthogonality and oscillatory integrals, Princeton Univ Press, Princeton, NJ, 18 N N Trong, N T Tung (2014), “ Weighted BMO Type Spaces Associated to Admissible Functions and Applications”, Acta Math Vietnam, DOI 10 1007/s40306-014-0109-5, Vol 39 (4) 19 D Yang, Y Zhou (2011), "Localized Hardy spaces H related to admissible functions on -spaces and applications to Schrödinger operators", Trans Amer Math Soc , 363, 1197-1239 20 D Yang, D Yang, Y Zhou (2010), "Localized BMO and BLO spaces on 57 RD-spaces and applications to Schrödinger operators", Commun Pure Appl Anal, 9, 779-812 21 D Yang, D Yang, Y Zhou (2010), "Localized Morrey-Campanato Spaces on Metric Measure Spaces and Applications to Schrödinger Operators", Nagoya Math J , 198, 77-119 22 J Zhong (1993), Harmonic analysis for some Schrödinger type operators, Ph D Thesis, Princeton University ... Trong [5], tác giả giới thiệu không gian loại BMO BMOL ( n ) liên kết với tốn tử L khơng gian không gian BMO cổ điển John Nirenberg Điều quan trọng là, không gian BMO BMOL ( n ) phù hợp cho tính... Chương KHƠNG GIAN BMO CĨ TRỌNG β 2.1 Khơng gian BMO (X,w) Trong mục này, nghiên cứu không gian BMO có trọng tính chất Định nghĩa 2.1.1 Giả sử   w hàm trọng Hàm f  L1loc ( X ) gọi thuộc BMO  (... doubling ngược X Chúng ta biết không gian liên thơng khơng gian  Các ví dụ điển hình không gian  bao gồm không gian Euclidean, không gian Euclidean với hàm trọng thỏa mãn tính chất doubling,