5 điểmCho hai hàm số 2 a Vẽ đồ thị của hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ của Oxy b Tìm tọa độ giao điểm AxA, yA của hai độ thị kết quả dưới dạng phân số hoặc hỗn số c Tính các góc của tam[r]
(1)KÌ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn toán Lớp Cấp THCS Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/03/2010 Chú ý: - Đề thi gồm trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này - Kết bài toán tính chính xác đến chữ số sau dấu phẩy Bài (5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : a b A= 1 1 + 1 3 5 2009 2011 B= 1 1 1 2 2 2009 20102 C = 291945 + 831910 + 2631931 + 322010 + 1981945 c Bài (5 điểm) a Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 10,45% năm Hỏi sau 10 năm tháng , người đó nhận bao nhiêu tiền vốn lẫn lãi Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước đó b Nếu với số tiền câu a, người đó gửi tiết kiệm theo loại kỳ hạn tháng với lãi suất 10,5% năm thì sau 10 năm tháng nhận bao nhiêu tiền vốn lẫn lãi Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước và rút tiền trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn là 0,015% ngày ( tháng tính 30 ngày ) c Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0,84% tháng Hỏi sau năm , người đó nhận bao nhiêu tiền vốn lẫn lãi Biết người đó không rút lãi Bài (5 điểm) a Tìm giá trị x biết x 2+ 2006 + 2008 + 3+ 2007 + 6+ =0 2+ 2005 + + 2009 + 1+ 9+ 3+ 1+ (2) 14044 =1+ 12343 7+ 1 3+ 1+ 9+ x+ b Tìm x ,y biết : y Bài (5 điểm) Tìm số dư ( trình bày cách giải) các phép chia sau: a 20092010 : 2011 ; b 2009201020112012 : 2020 ; c 1234567890987654321 : 2010 ; Bài (5 điểm) a Cho a = 11994 b P(x, y) = ; b = 153923 ; c = 129935 Tìm ƯCLN( a ; b; c) và BCNN( a; b; c); 3x y3 - 4x y2 + 3x y - 7x x y3 + x y2 + x y + với x = 1,23456 ; y = 3,121235 Bài (5 điểm) a Viết giá trị biểu thức sau dạng số thập phân A= ' sin 33o12' + sin 56o 48.sin 33o12' - sin 56o 48' 2sin 33o12' + sin 56o 48' +1 b Tính các tích sau : B = 26031931 x 26032010 ; C = 2632655555 x 2632699999 Bài (5 điểm) Tìm tứ giác có diện tích lớn nội tiếp đường tròn ( O , R) cố định ( trình bày cách giải) Tính chu vi và diện tích tứ giác đó biết R = 5, 2358( m) Bài ( điểm) Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx + dx + a Xác định các hệ số a, b, c, d biết P (–1) = ; P(1) = 21 ; P(2) = 120 ; P(3) = 543 ; b Tính giá trị đa thức x = –2,468 ; x = 5,555 ; c Tìm số dư phép chia đa thức P( x ) cho x + và 2x – n 9- 11 - 9+ 11 U = n n 11 Bài (5 điểm) Cho dãy số : với n = 0; 1; 2; 3; … a Tính số hạng U0; U1; U2; U3 ; U4 b Trình bày cách tìm công thức truy hồi Un+2 theo Un+1 và Un c Viết quy trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un Từ đó tính U5 và U10 Bài 10 (5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD chứa vừa khít đường tròn nó ( hình vẽ) , biết bán kính đường đường tròn 20 cm a Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài các hình tròn hình vẽ b Cho hình chữ nhật ABCD quay vòng xung quanh trục là đường thẳng qua tâm các đường tròn Tính thể tích vật thể tạo nên phần hình tìm câu a (3) BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI QUỐC GIA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2009 - 2010 – TẠI KHU VỰC LÂM ĐỒNG Ngày 19/03/2010 HƯỚNG DẪN GIẢI & ĐÁP SỐ (Các kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5) Bài (5đ) A = +++…+ = +++…+ = = ≈ 21,92209 B = ++…+ = 1+ – +1+ – +…+1+ – = 2010 – ≈ 2009,99950 C ≈ 541,16354 Bài (5đ) a Gọi a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất kỳ hạn và n là số kỳ hạn thì số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là : A = a(1+r)n + Lãi suất kỳ hạn tháng là = 2,6125% + 10 năm tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn + Số tiền nhận sau 10 năm tháng là : A = 250 000 00043 = 757 794 696,8 đ b + Lãi suất kỳ hạn tháng là = 5,25% + 10 năm tháng = 129 tháng = 21 kỳ hạn cộng thêm 90 ngày + Số tiền nhận sau 10 năm tháng là : B = 250 000 000(1+)21 = 732 156 973,7 đ + Số tiền B tính lãi suất không kỳ hạn 90 ngày tiếp theo, nhận số lãi là : C = 732 156 973,7 90 = 98 841 191,45 đ + Và số tiền nhận sau 10 năm tháng là : B + C = 830 998 165,15 đồng c Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng + Số tiền gốc và lãi cuối tháng là : a + ax = a(1+ x) đ + Số tiền gốc đầu tháng là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)2–1] = [(1+x)2–1] đ + Số tiền gốc và lãi cuối tháng là : [(1+x)2–1] + [(1+x)2–1].x = [(1+x)3–(1+x)] + Số tiền gốc đầu tháng là : [(1+x)3–(1+x)] + a = [(1+x)3–(1+x)+x] = [(1+x)3 – 1] đ + Số tiền gốc và lãi cuối tháng là : [(1+x)3 – 1] + [(1+x)3 – 1].x = [(1+x)3 – 1](1+x) + Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền gốc và lãi là : [(1+x)n – 1](1+x) đồng Với a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận là : D = [(1+ 0,0084)60–1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng Bài (5đ) a x = – 2,57961 b x = ; y = Bài (5đ) a 20092 ≡ 4(mod 2011) 200930 ≡ 415 ≡ 550 (mod 2011) 20092010 ≡ 55067 (mod 2011) Ta có : 550 ≡ 850 (mod 2011) 5506 ≡ 8503 ≡ 1798 (mod 2011) 55018 ≡ 17983 ≡ 1269 (mod 2011) 55054 ≡ 12693 ≡ 74 (mod 2011) Mà 55012 ≡ 17982 ≡ 1127 (mod 2011) Nên 55067 ≡ 74.1127.550 ≡ (mod 2011) Do đó 20092010 ≡ (mod 2011) Vậy số dư phép chia 20092010 : 2011 là b Số dư phép chia 200920102 : 2020 là 802 Số dư phép chia 802011201 : 2020 là 501 (4) Số dư phép chia 5012 : 2020 là 972 Vậy số dư phép chia 2009201020112012 : 2020 là 972 c Số dư phép chia 1234567890987654321 : 2020 là 471 Bài (5đ) a + Ta có = = ƯCLN(a,b) = 11994 : = 1999 Và ƯCLN(1999,c) =1999 Vậy ƯCLN(a,b,c) =1999 + BCNN(a,b) = 11994 77 = 923538 Ta có = = BCNN(923538,c) = 923538 65 = 60029970 Vậy BCNN(a,b,c) = 60029970 b 1,23456 3,121235 Ghi vào máy biểu thức (3X5Y3 – 4X3Y2 + 3X2Y – 7X) : (X3Y3 + X2Y2 + X2Y + 7) Ấn kết là : 2,313486662 Vậy P = 2,31349 Bài (5đ) a Ta có : A = = = Kết A ≈ 0,02515 B = (x.104 + y)(x.104 + y + 79) = x2.108 + 2xy.104 + 79x.104 + y2 + 79y Kết hợp tính trên máy và ghi trên giấy, ta : b Đặt x = 2603; y = 1931, ta có : x2.108 2xy.104 79x.104 y2 79y B 677560900000000 100527860000 2056370000 3728761 152549 677663488111310 b Đặt x = 26326 ; y = 55555 ; z = 99999, ta có : C = (x.105 + y)(x.105 + z) = x2.1010 + xy.105 + xz.105 + yz Kết hợp tính trên máy và ghi trên giấy, ta : x2.1010 xy.105 xz.105 yz B 6930582760000000000 146254093000000 263257367400000 5555444445 6930992277015844445 Bài (5đ) B a Dựng hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ cùng nội tiếp với đường tròn (O) cho MP BD Ta chứng minh S MNPQ lớn MNPQ là h.vuông M Thật vậy, gọi h là chiều cao MNP, h’ là chiều cao MBP A O thì h < h’ S MNP = < = S MBP dấu ‘=’ xảy N ≡ B là điểm chính cung MP Do đó, ta có : Q SMNPQ = SMNP + SMPQ < SMBP + SMDP = SMBPD = SMBD + SPBD < SABD + SCBD = SD ABCD N P C (5) Dấu ‘=’ xảy và MNPQ trùng với ABCD, tức là MNPQ là hình vuông SABCD = = 2R2 = 2(5,2358)2 = 54,82720328 Vậy SABCD = 54,82720 (cm2) PABCD = 4.AB = 4R = 4.5,2358 = 29,61815748 Vậy PABCD = 29,61816 (cm) Bài (5đ) a Ta có hệ phương trình : Vậy P(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + b P(–2,468) = – 44,43691 và P(5,555) = 7865,46086 c Số dư phép chia P(x):(x + 3) là P(–3) = –135 Số dư phép chia P(x):(2x – 5) là P() = 266,15625 Bài (5đ) a Thay n = ; ; ; ; vào công thức ta : n Un b 0 –1 –18 –254 –3312 Cho Un + = aUn + + bUn + c Thay n = ; ; vào công thức, ta hệ phương trình : Vậy Un + = 18Un + – 70Un Quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio 570MS, 570ES : Đưa U1 vào A, tính U2 đưa vào B: – 18 – 700 Lặp lại dãy phím : 18 – 70 (được U3) 18 – 70 (được U4) Do đó tính U5 = – 41836 Và U9 = – 982396816, ghi giấy tính U10 = – 12105999648 Bài 10 (5đ) a Ta có BC = 2R = 40 cm; AC = 6R = 120 cm + Diện tích hình chữ nhật ABCD là : S1 = AB.AC = 4800 cm2 + Diện tích hình tròn là : S2 = πR2 = 400π cm2 + Diện tích cần tìm là : S = S1 – 3S2 = 4800 – 1200π (cm2) S ≈ 1030,08881 (cm2) c b Khi cho hình trên quay vòng quanh trục là đường thẳng qua tâm các hình tròn thì h.chữ nhật tạo nên hình trụ có bán kính đáy R = 20 cm; hình tròn tạo nên hình cầu bán kính R = 20 cm + Thể tích hình trụ là : V1 = πR2h = π.202.120 = 48000π (cm3) + Thể tích hình cầu là : V2 = πR3 = π.203 = (cm3) + Thể tích cần tìm là : V = V1 – 3V2 = 16000π (cm3) V ≈ 50265,48264 (cm3) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC B C A D - Hết KÌ THI KHU VỰC GIẢI MÁY TÍNH TRÊN MÁY TÍN NĂM 2007 Lớp THCS Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13/03/2007 Bài (5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức lấy kết với chữ số phần thập phân : N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975 (6) b) Tính kết đúng (không sai số) các tích sau : P = 13032006 x 13032007 Q = 3333355555 x 3333377777 c) Tính giá trị biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’ M= 1+tgα2 1+cotg β2 + 1-sin α2 1-cos β2 1-sin 2 1-cos β2 (Kết lấy với chữ số thập phân) Bài (5 điểm)Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào ngân hàng theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất 0,65% tháng a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ngân hàng Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước đó b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất 0,63% tháng thì sau 10 năm nhận bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ngân hàng Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước đó (Kết lấy theo các chữ số trên máy tính toán) Bài (4 điểm) Giải phương trình (lấy kết với các chữ số tính trên máy) 130307+140307 1+x =1+ 130307-140307 1+x Bài (6 điểm) Giải phương trình (lấy kết với các chữ số tính trên máy) : x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1 Bài (4 điểm)Xác định các hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là và chia cho (x – 14) có số dư là (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài (6 điểm) Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại các giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận các giá trị 1, 2, 3, thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45 (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài (4 điểm)Tam giác ABC vuông A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = α = 37o25’ Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM A a) Tính độ dài AH, AD, AM b) Tính diện tích tam giác ADM (Kết lấy với chữ số phần thập phân) B H D M C Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chúng minh tổng bình phương cạnh thứ và bình phương cạnh thứ hai hai lần bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm và đường cao A AH = h = 2,75cm a) Tính các góc A, B, C và cạnh BC tam giác b) Tính độ dài trung tuyến AM (M thuộc BC) C B c) Tính diện tích tam giác AHM H M (góc tính đến phút ; độ dài và diện tích lấy kết với chữ số phần thập phân Bài (5 điểm)Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức : (7) n 13+ - 13- U = n n với n = 1, 2, 3, ……, k, … a) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1 y= x+2 y = - x+5 5 (1) và Bài 10 (5 điểm)Cho hai hàm số (2) a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A(xA, yA) hai độ thị (kết dạng phân số hỗn số) c) Tính các góc tam giác ABC, đó B, C thứ tự là giao điểm đồ thị hàm số (1) và độ thị hàm số (2) với trục hoành (lấy nguyên kết trên máy) d) Viết phương trình đường thẳng là phân giác góc BAC (hệ số góc lấy kết với hai chữ số phần thập phân) XA = y YA = B= x O C= A= Phương trình đường phân giác góc ABC : y= (8) ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN THCS Bài (5 điểm) a) N = 567,87 b) P = 169833193416042 Q = 11111333329876501235 c) M = 1,7548 Bài 2.(5 điểm) a) Theo kỳ hạn tháng, số tiền nhận là : Ta = 214936885,3 đồng b) Theo kỳ hạn tháng, số tiền nhận là : Tb = 211476682,9 đồng điểm điểm điểm điểm điểm điểm Bài (4 điểm) x = -0,99999338 điểm Bài (6 điểm) X1 = 175744242 X2 = 175717629 175717629 < x <175744242 điểm điểm điểm Bài (4 điểm) a = 3,69 b = -110,62 c = 968,28 điểm Bài (6 điểm) 1) Xác định đúng các hệ số a, b, c, d a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2962,5 ; d = 4211 điểm 2) P(1,15) = 66,16 P(1,25) = 86,22 P(1,35 = 94,92 P(1,45) = 94,66 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài (4 điểm) 1) AH = 2,18 cm AD = 2,20 cm AM = 2,26 cm 2) SADM = 0,33 cm2 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm Bài (6 điểm) Chứng minh (2 điểm) : a b = +HM +AH 2 0,5 điểm a c = -HM +AH 2 b +c = 0,5 điểm a +2 HM +AH 0,5 điểm (9) a2 0,5 điểm Tính toán (4 điểm) B = 57o48’ C = 45o35’ A = 76o37’ BC = 4,43 cm AM = 2,79 cm SAHM = 0,66 cm2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm điểm b +c =2m a Bài (5 điểm) a) U1 = ; U2 = 26 ; U3 = 510 ; U4 = 8944 ; U5 = 147884 U6 = 2360280 ; U7 = 36818536 ; U8 = 565475456 điểm b) Xác lập công thức : Un+1 = 26Un – 166Un-1 điểm c) Lập quy trình ấn phím đúng 26 Shift STO A x 26 - 166 x Shift STO B Lặp lại dãy phím x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B điểm Bài 10 (5 điểm) a) Vẽ đồ thị chính xác điểm 39 =1 34 34 b) 105 yA = =3 34 34 0,5 điểm xA = 0,5 điểm c) B = α = 30o57’49,52" C = β = 59o2’10,48" A = 90o d) Viết phương trình đường phân giác góc BAC : Hướng dẫn chấm thi : 0,25 điểm 0,5 điểm y = 4x - 35 17 ( điểm ) Bảo đảm chấm khách quan công và bám sát biểu điểm bài Những câu có cách tính độc lập và đã có riêng phần điểm thì tính sai không cho điểm Riêng bài và bài 5, kết toàn bài có đáp số Do đó có sai số so với đáp án mà chỗ sai đó sơ suất ghi số trên máy vào tờ giấy thi, thì cần xem xét cụ thể và thống Hội đồng chấm thi điểm Tuy nhiên điểm số cho không quá 50% điểm số bài đó Khi tính tổng số điểm toàn bài thi, phải cộng chính xác các điểm thành phần bài, sau đó cộng số điểm 10 bài (để tránh thừa điểm thiếu điểm bài thi) Điểm số bài thi không làm tròn số để xét giải thuận tiện (10) Lời giải chi tiết Bài (5 điểm) a) Tính trên máy :N = 567,8659014 567,87 b) Đặt x = 1303 ; y = 2006 ta có P = (x 104 + y)(x 104 + y + 1) Vậy P = x2.108 + 2xy 104 + x 104 + y2 + y Tính trên máy làm tính, ta có : x.10 = 169780900000000 2xy.104 = 52276360000 x.10 = 13030000 y2 = 4024036 y = 2006 P = 169833193416042 Đặt A = 33333, B = 55555, C = 77777 ta có : Q = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính trên máy làm tính, ta có : A2.10 10 = 11110888890000000000 AB.105 = 185181481500000 AC.105 = 259254074100000 B.C = 4320901235 Q = 11111333329876501235 M= c) Có thể rút gọn biểu thức 1+cosαsin β4 cosαsinβ tính trực tiếp M = 1,754774243 1,7548 Bài (5 điểm) a) - Lãi suất theo định kỳ tháng là : x 0,65% = 3,90% - 10 x 12 =20 10 năm kỳ hạn Áp dụng công thức tính lãi suất kép, với kỳ hạn tháng và lãi suất 0,65% tháng, sau 10 năm, số tiền vốn lẫn lãi là : 20 3,9 Ta =10000000 1+ = 214936885,3 100 đồng b) Lãi suất theo định kỳ tháng là : x 063% = 1,89% 10 x 12 =40 10 năm kỳ hạn Với kỳ hạn tháng và lãi suất 0,63% tháng, sau 10 năm số tiền vốn lẫn lãi là : 40 1,89 Ta =10000000 1+ = 21147668,2 100 đồng Bài (4 điểm)Đặt a = 130307, b = 140307, y = + x (với y 0), ta có : a b y 1 a b y Bình phương vế : a b y a b y 1 a b y a b y 2 2a 2 a b y a b 2a 1 y a b2 y 1 (11) 2a 1 4a y a :b 4b Tính 4a 4a 4b x y 4b 4b 130307 - 140307 - x 0,99999338 140307 Tính trên máy : Bài (6 điểm)Xét số hạng vế trái ta có : x + 178408256 - 26614 x+1332007 x 1332007 13307 Do đó : x 178408256 26614 x 1332007 x 1332007 13307 Xét tương tự ta có : x 178381643 26612 x 1332007 x 1332007 13306 Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình sau : x 1332007 13307 x 1332007 13306 1 Đặt y x 1332007 , ta phương trình : |y – 13307| + |y – 13306| = (*) + Trường hợp : y 13307 thì (*) trở thành (y – 13307) + (y – 13306) = Tính y = 13307 và x = 175744242 + Trường hợp : y 13306 thì (*) trở thành –(y – 13307) – (y – 13306) = Tính y = 13306 và đó x = 175717629 + Trường hợp : 13306 < y < 13307, ta có 13306 < x 1332007 < 13307 175717629 < x < 175744242 Đáp số : x1 = 175744242 x2 = 175717629 Với giá trị thỏa mãn điều kiện : 175717629 < x < 175744242 (Có thể ghi tổng hợp sau : 175717629 x 175744242) Bài (4 điểm)Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r P(a) = r Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 2197.a 169b 13.c 2008 27 a 9b 3c 2009 2744 196b 14c 2010 Tính trên máy và rút gọn ta hệ ba phương trình : Tính trên máy :a = 3,693672994 3,69;b = –110,6192807 –110,62;c = 968,2814519 968,28 Bài (6 điểm)Tính giá trị P(x) x = 1, 2, 3, ta kết là : 1+a-b+c+d-2007=9 32+16a-8b+4c+2d-2007=21 243+81a-27b+9c+3d-2007=33 1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 a-b+c+d=2015 16a-8b+4c+2d=1996 81a-27b+9c+3d=1797 256a-64b+16c+4d=1028 (1) (2) (3) (4) Lấy hai vế phương trình (1) nhân với 2, 3, trừ vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta hệ phương trình bậc ẩn : (12) -14a+6b-2c=2034 -78a+24b+6c=4248 -252a+60b-12c=7032 Tính trên máy a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211 Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007 A Q(1,15) = 66,15927281 66,16 Q(1,25) = 86,21777344 86,22 Q(1,35) = 94,91819906 94,92 Q(1,45) = 94,66489969 94,66 Bài (4 điểm) C B a) Dễ thấy BAH = α ; AMB = 2α ; ADB = 45o + α Ta có : AH = ABcosα = acosα = 2,75cos37o25’ = 2,184154248 2,18 (cm) AD H D M AH acos 2, 75cos37 o 25' 2, 203425437 2, 20(cm) sin(45o ) sin(45o ) sin 82o 25' AH acos 2, 75cos37 o 25' AM 2, 26976277 2, 26(cm) sin 2 ) sin 2 sin 74o50 ' b) S ADM HM HD AH HM=AH.cotg2α ; HD = AH.cotg(45o + α) S ADM a 2cos 2 cotg2 cotg(45o + ) Vậy : S ADM 2, 752 cos 37o 25' cotg74o 50' cotg82o 25' = 0,32901612 0,33cm2 Bài (6 điểm) a2 m + Giả sử BC = a, AC = b, AB = c, AM = ma.Ta phải chứng minh:b2 + c2 = a A Kẻ thêm đường cao AH (H thuộc BC), ta có: a c HM b ma + AH2 AC2 = HC2 + AH2 b2 = a HM C B + AH2 AB2 = BH2 + AH2 c2 = H M2 a2 a 2 m m Vậy b2 + c2 = + 2(HM2 + AH2) Nhưng HM2 + AH2 = AM2 = a Do đó b2 + c2 = a + (đpcm) 2, 75 3, 25 B = 57o47’44,78” 2, 75 3,85 C = 45o35’4,89”; A = 180o – (B+C) A= 76o37’10,33” BH = c cos B; CH = b cos C BC = BH + CH = c cos B + b cos C BC = 3,25 cos 57o48’ + 3,85 cos 45o35’ = 4,426351796 4,43cm h a) sin B = c = h b) sin C = b = (13) 2(b c ) BC 2(a b ) BC 2 AM = b) AM = = 2,791836751 2,79cm 1 1 o 4, 43 3.25 cos 57 48' = 0,664334141 0,66cm2 c) SAHM = AH(BM – BH) = 2,75 Bài (5 điểm) a) U1 = U5 = 147884 U2 = 26 U6 = 2360280 U3 = 510 U7 = 36818536 U4 = 8944 U8 = 565475456 b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1 510 a.26 b.1 26a b 510 8944 a.510 b.26 510a b26 8944 Theo kết tính trên, ta có: Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta có công thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1 c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS: Ấn phím: 26 Shift STO A x 26 - 166 x Shift STO B Lặp lại dãy phím x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B Bài 10 (5 điểm) a) Xem kết hình bên b) 12 x x 5 39 x A 1 34 34 y A 3 34 c ) tg 30o 57'49,52" 5 tg 59o 2'10,48" y=4x 3 -4 y= x + 5 B 90o A 90o c) Phương trình đường phân giác góc BAC có dạng y = ax + b Góc hợp đường phân giác với trục hoành là , ta có: 1800 45o 75o57'49,52" Hệ số góc đường phân giác góc BAC là tg 3,99999971 4, 00 A ;3 34 34 Phương trình đường phân giác là y = 4x + b (3) vì 39 35 4 b 34 17 thuộc đường thẳng (3) nên ta có: 34 35 y 4 x 17 Vậy đường phân giác góc BAC có phương trình là 12 34 A 35 17 y=39 -2 34 x +5 (14) BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO BẬC TRUNG HỌC NĂM 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp Cấp Trung học sở Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngaøy thi : 10/03/2006 Baøi : ( ñieåm ) Tính giá trị biểu thức điền kết vào ô vuông ' 12,35.tg 300 25.sin 23030' A ' 3, 063.cot g 3150 45.cos 350 20' a) ÑS : A = 7421892,531 5x y x y x 25 y B 2 x xy x xy x y b) ÑS : B = 7,955449483 x xy y 2 C 2 x y 16 x x y x y c) ÑS : C = , 788476899 Baøi : ( ñieåm ) Tìm soá dö moãi pheùp chia sau ñaây a) 103103103 : 2006 ÑS : 721 b) 30419753041975 : 151975 ÑS : 113850 c) 103200610320061032006 : 2010 ÑS : 396 Baøi : ( ñieåm ) Tìm các chữ số a , b , c , d , e , f phép tính sau Biết hai chữ số a , b kém ñôn vò a) ab5.cdef 2712960 ÑS : a = ; b = ; c = ; d = ; c = ; f = b) a 0b.cdef 600400 ÑS : a = ; b = ; c = ; d = ; c = ; f = c) ab5c.bac 761436 ÑS : a = ; b = ; c = Baøi : ( ñieåm ) Cho đa thức P( x) x ax bx c a) Tìm các hệ số a , b , c đa thức P(x) , biết x nhận các giá trị 1,2 ; 2, ; 3,7 thì P(x) có các giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 ÑS: a = 10 ; b = ; c = 1975 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 2x + ÑS: 2014 , 375 (15) c) Tìm giaù trò cuûa x P(x) coù giaù trò laø 1989 ÑS: x1 1; x2 1, 468871126; x3 9,531128874 Baøi : ( ñieåm ) Tìm tất các cặp số nguyên dương (m , n) có ba chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau : ) Hai chữ số m là hai chữ số n vị trí tương ứng ; chữ số còn lại m nhỏ chữ số tương ứng n đúng đơn vị ) Cả hai số m và n là số chính phương ÑS : n = 676 , m = 576 Baøi : ( ñieåm ) n Cho daõy soá Un 10 10 a) Tính caùc giaù trò ÑS : n n=1,2,3, U1 , U , U , U ; U1 1, U 20, U 303, U 4120 b) Xác lập công thức truy hồi tính U n 2 theo U n 1 và Un U2097 ÑS : n21 c) Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính U n 2 theo U n 1 vaø Quy trình aán phím : AÁn 20 STO SHIFT Un STO roài tính U , U , , U16 20 97 A SHIFT B Laëp ñi laëp laïi daõy phím 20 97 ALPHA A STO 20 97 ALPHA SHIFT A B SHIFT STO B Tính U , U , , U16 U 53009 U 660540 U 8068927 U11 1, 637475457 1011 U12 1,933436249 1012 U13 2, 278521305 1013 U 97306160 U14 2, 681609448 1014 U 1163437281 U15 3,15305323 1015 10 ÑS : U10 1,3830048110 U10 3, 704945295 1016 Baøi : ( ñieåm ) Cho tam giác ABC vuông A và có BC = AB = 2a ; với a = 12,75 cm Ở phía ngoài tam giác ABC , ta vẽ hình vuông BCDE , tam giác ABF và tam giác A ˆ ˆ a) Tính caùc goùc B, C , caïnh AC vaø dieän tích tam giaùc ABC (16) b) Tính diện tích tam giác ABF , ACG và diện tích hình vuông BCDE c) Tính dieän tích caùc tam giaùc AGF vaø BEF a ) B 600 ; C 300 AC 22, 0836478cm S ABC 140, 7832547 cm b) S BCDE 650, 25 cm S ABF 70, 39162735 cm S ACG 211,1748821 cm c ) S AGF 70, 39162735 cm ÑS: Baøi (5 ñieåm) S BEF 81, 28125 cm a 54756 15n Tìm các số tự nhiên n ( 1000 < n < 2000) cho với số đó n là số tự nhieân ÑS : n = 1428 ; n = 1539 ; n = 1995 Baøi (5 ñieåm) y x 1 y x 2 Hai đường thẳng vaø cắt điểm A Một đường thẳng (d) qua điểm H(5;0) và song song với trục tung Oy cắt đường thẳng (1) và (2) theo thứ tự các ñieåm B vaø C a) Vẽ các đường thẳng (1) , (2) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; ĐS : HS tự vẽ b) Tìm tọa độ các điểm A , B ,C ( viết dạng phân số ) ; 20 47 xA ; yA 18 xB 5; y B 4 xC 5; yC ÑS : c) Tính diện tích tam giác ABC ( viết dạng phân số ) theo đoạn thẳng đơn vị trên trục tọa độ là cm ; 125 S ABC 36 ÑS : d) Tính số đo góc tam giác ABC theo đơn vị độ ( Chính xác đến phút ) Vẽ đồ thò vaø ghi keát quaû ' ' ' ÑS : A 48 22 ; B 63 26 ; C 68 12 Baøi 10 (5 ñieåm) Đa thức P( x) x ax bx cx dx c có giá trị là 11 , 14 , 19 , 26 , 35 x theo thứ tự , nhận các giá trị tương ứng là , , , , a) Hãy tính giá trị đa thức P(x) x nhận các giá trị 11 , 12 , 13 ,14 , 15 , 16 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 10x ÑS : P(11) = 30371 ; P(12) = 55594 ; P(13) = 95219 ; P(14) = 154 ; P(15) = 240475 ; P(16) = 360626 (17) Bộ giáo dục và đào tạo §Ò thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CASIO vµ VINACAL N¨m häc: 2010 - 2011 Líp 9: THCS thi ngµy 11/03/2011 Chú ý: Các kết tính gần đúng không định cụ thể thì ngầm định tính chính xác đến ch÷ sè phÇn phËp ph©n sau dÊu phÈy C©u 1: TÝnh gi¸ trÞ cña mçi biÓu thøc sau 9,87 x 6,543 3, 214 A 22 13 17 19 23 B= 3 5 7 9 10 1111 12 C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña mçi biÓu thøc sau 1 1 2011.2012.2013.2014 C©u 1: A = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 Câu 2: Tìm x thỏa mãn đẳng thức sau đây: x 2011 1993 63 2010 1994 11 2009 2011 1995 2008 1996 2007 2007 2006 2008 2005 2009 2004 2000 2003 2001 2002 Câu 3: Một mảng bìa có dạng tam giác cân ABC, với AB = AC = 25cm và BC = 14cm làm nào để cắt từ mảnh bìa đó hình chữ nhật MNPQ có diện tích 17 diện tích tam giác ABC, đó các điểm M, N thuộc cạnh BC còn P, Q tơng ứng thuộc các cạnh AC và AB (Trình bày tóm tắt cách giải) C©u 4: BiÕt r»ng x lµ mét sè thùc kh¸c O, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2010, 2011x 2x 2012, 2013 2014, 2015x Q= (Tr×nh bµy tãm t¾t c¸ch gi¶i) Câu 5: Một số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số đó và viết thêm chữ số vào bên phải chữ số này thì đợc số có chữ số đồng thời số này gấp 34 lần số ban đầu Hãy tìm số đó (Trình bày tóm tắt cách giải) Câu 6: Một mảnh sân hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tơng ứng là 7,6m và 11,2m đợc lát kín bëi c¸c viªn g¹ch h×nh vu«ng cã c¹nh 20cm (Cho r»ng diÖn tÝch gi÷a c¸c phÇn tiÕp gi¸p gi÷a c¸c viên gạch là không đáng kể) Ngời ta đánh số các viên gạch đã lát từ hết Giả giử trên viên gạch thứ ngời ta đặt lên đó hạt đậu, trên viên thứ hai ngời ta đặt lên đó hạt đậu, trên viên thứ ngời ta đặt lên đó 49 hạt đậu, trên viên thứ ngời ta đặt lên đó 343 hạt đậu,…và đặt các hạt đậu theo cách đó viên gạch cuối cùng trên sân này Gọi S là tổng số các hạt đậu đã đặt lên các viên gạch sân đó Tìm ba chữ số tận cùng 6S + (Trình bày tóm tắt cách giải) Câu 7: Một cái sân hình chữ nhật đợc lát kín các viên gạch hình vuông có cạnh 5cm, xen kẽ viên màu đen với viên màu trắng và không có hai cùng mầu đợc ghép cạnh (Cho diện tích (18) các phần tiếp giáp các viên gạch là không đáng kể) Nếu hàng thứ theo chiều rộng sân này có 2011 viên màu đen và tất có 22210983 viên gạch đã đợc lát thì sân này có chiều dài và chiÒu réng lµ bao nhiªu mÐt? (Tr×nh bµy tãm t¾t c¸ch gi¶i) C©u 8: Mét hçn hîp gåm chÊt vµ nÆng 5327256605 gam BiÕt r»ng tØ lÖ khèi lîng gi÷a c¸c chÊt lµ nh nhau: tØ lÖ gi÷a chÊt thø nhÊt vµ chÊt thø hai lµ : 3, tØ lÖ gi÷a chÊt thø hai vµ chÊt thø ba lµ : 5, tØ lÖ gi÷a chÊt thø ba vµ chÊt thø t lµ 7: 6, tØ lÖ gi÷a chÊt thø t vµ chÊt thø n¨m lµ 11 : H·y t×m vµ cho biÕt mçi chÊt hçn hîp nµy nÆng bao nhiªu gam (Tr×nh bµy tãm t¾t c¸ch gi¶i) 0 Câu 9: Tứ giác ABCD có đờng chéo AC = 21cm và biết các góc DAC 25 , DCA 37 , BAC 350 vµ BCA 320 Tính chu vi P và diện tích tứ giác đó (Trình bày tóm tắt c¸ch gi¶i) C©u 10: Mét qu¶ bãng ræ theo tiªu chuÈn quèc tÕ cã d¹ng h×nh cÇu víi b¸n kÝnh R =12,09(cm) (nh hình bên) Ngời ta muốn tạo các túi hình hộp đứng có nắp bìa (cứng và nhẵn) để đựng đợc 12 bóng rổ nói trên Nếu cha tính diện tích cho các mép dán thì diện tích bìa ít để tạo đợc túi nh là bao nhiêu cm2 (Trình bày tóm t¾t c¸ch gi¶i) BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL NGUYÊN NĂM HỌC 2010 - 2011 – TẠI KHU VỰC MIỀN TRUNG TÂY Hướng dẫn chấm Ngày 11/03/2011 MÔN TOÁN - THCS Chú ý : - Với câu hỏi có yêu cầu trình bày tóm tắt tức là yêu cầu thí sinh trình bày tóm tắt các bước lập luận để cách tìm kết bài toán - Tổ chấm thảo luận để chia thang điểm cho có thể chấm điểm thành phần dựa vào cách trình bày lới giải thí sinh cách thích hợp - Các cách giải khác (nếu đúng) giám khảo cho điểm theo bài ,từng ý Bài ( điểm) Câu Câu Câu Kết - Đáp số A = 771 903 528.104 B = 3,0027 Điểm 2,5 2,5 Hướng dẫn chấm chấm kết hay đáp số thí sinh chấm kết hay đáp số thí sinh Bài ( điểm) Câu Kết - Đáp số Câu C = 0,0556 Câu D = 125,3899 Điểm 2,5 2,5 Hướng dẫn chấm chấm kết hay đáp số thí sinh chấm kết hay đáp số thí sinh Bài ( điểm) Kết - Đáp số Có hai cách để cắt hình chữ nhật , với điểm N thuộc đoạn HC mà HN = 6,7877 cm HN = 0,2123 cm Bài ( điểm) Hướng dẫn chấm - Lập luận đúng , có phương trình với x ( là HN HK) cho điểm - Sử dụng MTCT tìm đúng các giá trị x cho 1,5 điểm - Kết luận đúng cho 0,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho 1,5 điểm (19) Kết - Đáp số Giá trị nhỏ là 0,9980 đạt x =2012,2013 Hướng dẫn chấm - Biến đổi biểu thức dạng Q = k + N2 cho điểm - Sử dụng MTCT tìm đúng các giá trị x cho 1,5 điểm - Kết luận cho 0,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho 1,5 điểm Bài ( điểm) Kết - Đáp số abcd 4167 Hướng dẫn chấm - Lập luận đúng , đưa cách tìm số đó cho 3,5 điểm - Tìm đúng số này cho 1,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho 1,5 điểm Bài ( điểm) Kết - Đáp số Ba chữ số tận cùng là: x=8,y=0,z=5 Hướng dẫn chấm - Lập luận đúng , cách tìm số đó cho điểm - Tìm đúng số này cho 1,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho 1,5 điểm Bài ( điểm) Kết - Đáp số Chiều rộng R = 201,15 m Chiều dài D = 276,05 m Hướng dẫn chấm - Lập luận đúng cách tìm cho điểm - Tính đúng chiều rộng cho 1,5 điểm - Tính đúng chiều dài cho 1,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho điểm Bài ( điểm) Kết - Đáp số Chất thứ : 760 493 272 g Chất thứ hai : 140 739 908 g Chất thứ ba : 425 924 885 g Chất thứ tư : 222 221 330 g Chất thứ năm : 777 777 210 g Hướng dẫn chấm - Biết đạt ẩn và lập dãy tỉ số cho 2,5 điểm - Dùng MTCT tính đúng khối lượng chất cho 0,5 điểm , (tính đúng chất cho 2,5 điểm) - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho 2,5 điểm Bài ( điểm) Kết - Đáp số P = 49,5398 cm S = 136,3250 cm2 Hướng dẫn chấm - Biết kẻ thêm đường phụ để tạo các tam giác cách hợp lý để tính toán cho 1điểm - Dựa vào các hệ thức đã học tính diện tích S theo số đo (20) giả thiết cho 1,5 điểm - Dựa vào các hệ thức đã học tính chu vi P theo số đo giả thiết cho 1,5 điểm - Tính đúng S cho 0,5 điểm - Tính đúng P cho 0,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho điểm Bài 10 ( điểm) Kết - Đáp số Diện tích bìa ít để tạo hộp là 18709,5168 cm2 Hướng dẫn chấm - Có loại hộp có thể đựng 12 bóng đó (kích thước đáp án ) cho 1,5 điểm - Tính đúng diện tích toàn phần loại cho điểm( tính đúng ba loại cho điểm) - Kết luận đúng 0,5 điểm - Nếu thí sinh đưa kết đúng cho điểm (21) BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL ĐÁP ÁN NĂM HỌC 2010 - 2011 – TẠI KHU VỰC MIỀN TRUNG TÂY NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày 11/03/2011 MÔN TOÁN - THCS Bài (5điểm , câu đúng 2,5điểm ) A = 771 903 528.104 B = 3,0027 Bài (5điểm , câu đúng 2,5điểm ) C = 0,0556 x = 125,3899 Bài (5điểm) Kẻ đường cao AH, AH là trục đối xứng ABC và HC = HB = 7cm A Cũng tính HA = 24cm Giả sử N HC, gọi K là giao điểm AH với PQ, ta có : Q K P 1 SMNPQ = 17 SABC SHNPK = 17 SAHC = 17 84 (cm2) (1) y Đặt HN = x (0 < x < 7) thì NC = – x, đặt NP = y (0 < y < 24) x B M H N C NP NC (7 x).24 24x(7 x) = y SHNPK = xy = 7 Do NP // AH nên AH HK (2) 24x(7 x) 588 (1) & (2) = 17 84 24x – 168x + 17 = Dùng MTCT tìm : x1 = 6,787677528 và x2 = 0,212322471 Vậy có phương án cắt hình chữ nhật MNPQ là : Từ N HC cho HN = 6,7877cm HN = 0,2123cm kẻ đường thẳng song song với AH nó cắt AC P, kẻ PQ // BC (Q AB) và M đối xứng với N qua AH, MNPQ cần tìm Bài (5điểm ) C1 : Biến đổi Q thành bình phương 2010, 2011x 2x 2012, 2013 2009, 2011x x 2x 2012, 2013 Q 2014, 2015x 2014, 2015x = 2009, 2011 x 2x 2012, 2013 2009, 2011 2012, 2013x 2.2012, 2013.x+2012, 20132 2014, 2015 2014, 2015x 2014, 2015 2012, 2013.2014, 2015x 2009, 2011 2011, 2013 x 2012, 2013 2014, 2015 2012, 2013.2014, 2015 2012, 2013.2014, 2015 x 2009, 2011 2011, 2013 2014, 2015 2012, 2013.2014, 2015 Dùng MTCT tìm minQ = 0,9980 x = 2012,2013 C2 : Biến đổi Q thành phương trình bậc hai với tham số Q, tìm Q để pt có nghiệm Đặt A = 2010,2011; B = 2012,2013; C = 2014,2015, ta có : Ax 2x B Q= Ax QCx 2x B 0 (A QC)x 2x B 0 Cx (1) Pt (1) có nghiệm ’= – B(A – QC) ≥ QBC – AB + ≥ Dấu ‘ = ’ xãy pt (1) có nghiệm kép x = A QC AB Q BC Dùng MTCT tìm minQ = 0,9980 x = 2012,2013 Bài (5điểm ) C1 : Gọi số cần tìm là x có chữ số (x N và 1000 x 9999) (22) Ta có : 10x + 100008 = 34x 24x = 100008 x = 4167 C2 : Gọi số cần tìm là : abcd = a.10 b.10 c.10 d (a,b,c,d N và nhỏ 10) Số là : 1abcd8 1.10 10.abcd 10.abcd 100008 1abcd8 34.abcd 10.abcd 100008 34.abcd 24.abcd 100008 abcd 4167 Ta có : Vậy số cần tìm là 4167 Bài ( 5điểm) Số gạch lát trên mảnh sân hình chữ nhật : (7,6 11,2) : ( 0,2)2 = 2128 viên Theo đề ta có : 2126 2127 C1 : S = 2126 2127 đó 7S = 7(1 ) = 2127 2128 = 1+ – = S – + 72128 6S + = 72128 + C2 2126 2127 S = 7+7 2127 2128 (7 1)(1 73 2126 2127 ) 7 = = 2128 2128 2128 S S 6 5 6 = 72128 + Giả sử abc là số tận cùng 72128 , 72128 = k.1000 + abc, nên ta phải tìm 72128 abc (mod 1000) Ta có : 710 249 ( mod 1000) ; 720 2492 001 ( mod 1000) 72120 = (720)106 001( mod 1000) ; ta lại có 78 = 5764801 801 ( mod 1000) 72128 = 72120 78 001 801 801 (mod 1000) 6S + = 72128 + có ba chữ số tận cùng bên phải là ; ; Bài (5 điểm) Có khả xãy : + Nếu viên đầu tiên và viên cuối cùng hàng thứ theo chiều rộng là MẦU ĐEN thì số viên gạch hàng này có 2011 – = 4021 viên gạch + Nếu viên đầu tiên và viên cuối cùng hàng thứ theo chiều rộng là MẦU TRẮNG thì số viên gạch hàng này có 2011 + = 4023 viên gạch + Nếu viên đầu tiên và viên cuối cùng hàng thứ theo chiều rộng là có MẦU KHÁC NHAU thì số viên gạch hàng này có 2011 = 40 22 viên gạch Mà 2210 983 = 4023 5521 nên sân này lát theo khả thứ hai là 4023 viên theo chiều rộng , đó số viên gạch lát theo chiều dài là 5521 viện gạch Chiều rộng sân là : R = 4023.0,05m = 201,15 m Chiều dài sân là : D = 5521.0,05m = 276,05 m Bài ( điểm) Gọi tên các chất thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm theo thứ tự là : a , b, c, d , e a b c d 11 Ta có : b ; c ; d ; e và a + b + c + d + e = 327 256 605 a b b c c d d e a b b c c d d e ; ; ; 11 12 ; 12 15 ; 77 66 ; 66 42 a b c c d e 8.77 12.77 15.77 & 15.77 15.66 15.42 (23) a b c d e a bcd e 327 256 605 1234567 4315 616 924 1155 990 630 = 616 924 115 630 Vậy : a = 1234567 616 = 760 493 272 c = 1234567 1155 =1 425 924 885 e = 1234567 630 = 777 777 210 b = 1234567 924 =1 140 739 908 d = 1234567 990 = 222 221 330 H Bài : ( điểm) C1 Gọi H và K tương ứng là hình chiếu A trên CD và CB Trong ACH tính AH= 21sin370 ; HC = 21cos370 21sin 37 0 Trong HAD tính AD = cos 28 ( HAD 28 ) Trong ACK tính AK = 21sin32 ; KC = 21cos32 D A N 25 35 M 21sin 320 Trong KAB tính AB = cos 23 Gọi M và M tương ứng là hình chiếu D và B trên AC 21.sin 370 sin 250 o Trong ADM tính DM = AD sin25 = cos 28 21.sin 37 sin 250 DM 21.sin 250 cos 28 sin 370 cos 280 Trong DCM tính CD = sin 37 21.sin 320 sin 350 0 Trong BNA tính BN = AB.sin35 = cos 23 37 32 B K 21.sin 320 sin 350 BN 21.sin 350 cos 23 sin 320 cos 230 Trong BNC tính BC = sin 32 21sin 37 21sin 320 21.sin 250 21.sin 350 P cos 280 cos 230 cos 280 cos 230 = 49,5398 (cm2 ) Chu vi tứ giác ABCD là : 1 S ABCD AC.DM AC.BN 2 Diện tích tứ giác ABCD : 212 sin 370.sin 250 sin 320.sin 350 AC DM BN 2 cos 280 cos 230 = = 136,3250 (cm2) C2 21 AD CD 0 Trong ADC : sin(180 25 37 ) sin 37 sin 25 21 AB BC 0 0 Trong ABC : sin(180 35 32 ) sin 32 sin 35 21sin 37 21.sin 250 CD sin1180 ; sin1180 21.sin 320 21.sin 350 AB BC sin1130 ; sin1130 AD sin 320 sin 350 sin 250 sin 37 21.sin 350 21.sin 250 21sin 37 21 0 0 0 sin113 sin113 sin118 sin118 = 49, P = sin113 + sin118 + sin118 = 5398(cm) 1 AD AC.sin 250 AB AC sin 350 AC ( AD.sin 250 AB sin 350 ) 2 SABCD = + = 212 sin 370.sin 250 sin 320.sin 350 21sin 37 21.sin 32 0 21( sin 25 sin 35 ) 0 sin118 sin1130 sin118 sin113 = = C (24) = 136,3250 (cm2) Bài 10 ( 5điểm) Gọi đường kính bóng rỗ là d : d = 2R = 24,18 (cm) Có loại hộp để đựng 12 bóng : + loại I có kích thước : 1d x 1d x 12d + loại II có kích thước : 1d x 2d x 6d + loại III có kích thước : 2d x 2d x 3d + loại VI có kích thước : 3d x 4d x 1d + Loại I có dtích xquanh là: (1d +1d).2.12d = 48d2; dtích đáy là : 2.(1d 1d) = 2d2 Stp = 50d2 + Loại II có dtích xquanh là: (1d +2d).2.6d = 36d2; dtích đáy là : 2.(1d 2d) = 4d2 Stp = 40d2 + Loại III có dtích xquanh là: (2d +2d).2.3d = 24d2; dtích đáy là : 2(2d.2d) = 8d2 Stp = 32d2 + Loại IV có dtích xquanh là: (3d + 4d).2.1d = 14d2; dtích đáy là : 2(3d.4d) = 24d2 Stp = 38d2 Vậy diện tích miếng bia ít tạo túi là : 32d2 = 32( 24.18)2 = 18709,5168cm2 (Hết) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL NĂM 2012 Chú ý: - Nếu đề bài không có yêu cầu riêng thì kết làm tròn đến chữ số thập phân (25) Bài (5 điểm) : Câu : Tính giá trị biểu thức: A x 98 x97 x96 x x 32 x31 x 30 x Khi x = Câu : Rút gọn B 1 1 1 1 2 5 10 2009 2013 2010 2014 (kết làm tròn đến chữ số thập phân) Bài (5 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các điểm A và B cùng y x y x 3 thuộc đồ thị hàm số , các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số , các y x 4 điểm C và A cùng thuộc đồ thị hàm số Câu : Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Câu : Tính số đo các góc B , C tam giác ABC theo “ độ , phút , giây ” Bài (5 điểm) : Câu Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt điểm O đường trung trực d đoạn thẳng AB điểm H cắt BD điểm M và cắt AC điểm N Biết NA = a , MB = b Tính diện tích S hình thoi ABCD a = 2603,1931cm , b= 26032,012cm Câu Một mảnh đất phẳng có dạng hình thang cân và chiều dài hai đáy là 40m và 100m còn chiều cao hình thang đó là 35m a) Tính độ dài cạnh bên mảnh đất b) Trên mảnh đất đó, người ta làm đường có chiều rộng nhau, tim đường tương ứng là đường trung bình hình thang và trục đối xứng nó Xác định chiều rộng đường đi, biết diện tích đường chiếm 25 diện tích mảnh đất U Bài (5 điểm) Cho dãy số n với n là số tự nhiên khác , có U1 = , U2 = ,U3= và Un+3 = 2Un+2 – 3Un+1 + 2Un Câu Viết quy trình bấm máy để tính Un+3 tính U19 , U20 , U66, U67 ; U68 Câu Viết quy trình bấm máy để tính tổng 20 số hạng đầu tiên dãy số đó Bài (5 điểm) 81 57 41 19 Câu Khi chia đa thức P( x) x ax bx cx x cho (x –1) số dư là và chia P(x) xho ( x – 2) số dư là – 81 57 41 19 a) Hãy tìm các số thực A , B biết đa thức Q ( x ) x ax bx cx Ax B chia hết cho đa thức x 3x b) Với giá trị A và B81vừa 57tìm , hãy tính giá trị đa thức R( x) Q( x) P( x) x x x 41 x19 x x = 1,032012 2 Câu Tìm hai số dương a , b cho phương trình x 17 x ax b 0 Có nghiệm nguyên x1 , x2 , x3 Biết phương trình bậc Ax Bx Cx D 0 có B x1 x2 x3 A C x1 x2 x1 x3 x2 x3 A D x1 x2 x3 A nghiệm x1 , x2 , x3 thì Bài ( điểm) Một vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m , chiều dài 350m và cuộn chặt xung quanh lõi hình trụ có đường kính là 10cm liên tục hết, cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục hình trụ Cho biết độ dày cuộn vải đó sau cuộn hết vải , biết vải có độ dày là 0,15mm ( kết tính theo xăng- ti- mét và làm tròn đến chữ số thập phân ) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL NĂM 2012 (26) Môn: Toán Lớp Cấp THCS ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài (5 điểm) Nội dung Viết tóm tắt cách giải và kết A = 73 786 976 303 428 141 057 Viết tóm tắt cách giải và kết B = 21,8325 Điểm 2,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung Điểm Tìm tọa độ điểm : A( 4,48622 ; 0,11482 ) ; B = (3,65028 ; –0,27924) ; C ( 4,34410 ; 0,23790) B 11 27 35 ; C 102 24 26 ' '' ' '' 2,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung Viết tóm tắt cách giải và kết S = 314 454,712 cm2 a) Kết : 46,09772 m b) Viết tóm tắt cách giải và kết chiều rộng lối 0,94178 m Điểm 2,5 0,5 2,0 Bài (5 điểm) Nội dung Viết đúng quy trình và tính U19 = 315 ; U20= – 142 U66 = 777 450 630 ; U67= –3 447 965 925 ; U68 = –9 002 867 182 Viết quy trình đúng và tính S20 = 272 Điểm 2,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung 1.a) Viết tóm tắt cách giải và kết A = 11 ; B = –13 b) Viết tóm tắt cách giải và kết : a 80 b 8 ; a 80 a 90 a 88 b 10 ; b 12 ; b 12 Điểm 1,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung Viết tóm tắt cách giải và kết 8,865cm Điểm 5,0 Ghi Chú : Các cách giải khác đúng thì giám khảo cho điểm theo câu , ý BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL NĂM 2012 (27) Môn: Toán Lớp Cấp THCS HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ Bài (5 điểm) : Câu : Tính giá trị biểu thức: A x 98 x 97 x 96 x x 32 x 31 x 30 x Khi x = Câu : Rút gọn : B 1 1 1 1 2 5 10 2009 2013 2010 2014 kết làm tròn đến chữ số thập phân Tóm tắt cách giải ( x 1)( x 98 x97 x 96 x 1) x99 ( x 33 1)( x 66 x 33 1) A x 66 x33 33 ( x 1)( x 32 x31 x30 x 1) x 33 = x 1 ( *) Thay x = vào (*) ta có : A = 266 +233 + = (233)2 + 233 + = 85899345922 + 8589934592 + =(85899.105 + 34592)2 + 8589934592 + =858992.1010 +2.85899.34592.105 + 345922 + 8589934592 + 858992.1010 2.85899.34592.105 345922 345922 A 7 8 0 1 9 6 0 0 0 0 0 7 3 Kết : A = 73 786 976 303 428 141 057 Ta có : B 1 1 1 1 2 5 10 2009 2012 2010 2014 = 1 1 1 5 2009 2013 6 10 2010 2014 1 1 2009 2013 10 2010 2014 4 2013 2014 21,83246658 Kết : A = 21, 8325 (28) Bài (5 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các điểm A và B cùng y x y x 3 thuộc đồ thị hàm số , các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số , các x 4 điểm C và A cùng thuộc đồ thị hàm số Câu Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Câu Tính số đo các góc B , C tam giác ABC theo “ độ , phút , giây ” x y 2x 3y 6 y x 3x 2y 8 + Tọa độ diểm A là nghiệm hệ pt x 4, 486216354 Giải hệ pt trên máy y 0,11482267 Do đó A( 4,48622 ; 0,11482 ) y x y 2x 3y 6 y x 5x 3y 9 + Tọa độ diểm B là nghiệm hệ pt x 3,65028154 Giải hệ pt trên máy y 0, 279240779 Do đó B = (3,65028 ; –0,27924) y x 5x 3y 9 y x 3x 2y 8 + Tọa độ diểm C là nghiệm hệ pt x 4,344098806 Giải hệ pt trên máy y 0, 237900077 Do đó C ( 4,34410 ; 0,23790) y x y x 3 , , Gọi 1 , 2 , 3 là góc tạo các đường thẳng y x 4 với trục Ox tan 1 tan tan(1800 ) ; ; Khi đó B 1 ; C Ta có : Quy trình bấm máy : SHIFT tan-1 ( SHIFT STO A SHIFT tan-1 ( SHIFT STO B 180 o, , , – SHIFT tan-1 ( SHIFT STO C ' ' ALPHA B – ALPHA A = o, , , ( B 11 27 35,36 ) ' ' ALPHA C – ALPHA B = o, , , ( C 102 24 , 26.5 ) (29) ' '' ' '' Kết B 11 27 35 ; C 102 24 26 Bài (5 điểm) : Câu Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt điểm O đường trung trực d đoạn thẳng AB điểm H cắt BD điểm M và cắt AC điểm N Biết NA = a , MB = b Tính diện tích S hình thoi ABCD a = 2603,1931cm , b= 26032,012cm Câu Mảnh đất phẳng có dạng hình thang cân và chiều dài hai đáy là 40m và 100m còn chiều cao hình thang là 35m a) Tính độ dài cạnh bên mảnh đất b) Trên mảnh đất đó ,người ta làm hai đường có chiều rộng nhau, tim đường tương ứng là đường trung bình hình thang và trục đối xứng nó Xác định chiều rộng đường đi, biết diện tích đường chiếm 25 diện tích mảnh đất AN AHNHN MBH a (g.g) a a B HN HB HA MB HB b b b (1) ( Do HA =HB) H AH HN N AO OB C O * AHN AOB (g.g) A OB HN HN a a OB OA OA AH HB b b D 2 * AHN vuông tạia 2H HN + HA = AN ( 2) a2 2 2 HA HA a HA a 2 b b Từ ( 1) và ( 2)2 2 M ab 4a b 2 HA2 AB HA a b2 a2 b2 a2 4a 2b2 2 OA OA 2 2 b * AOB vuông O OA + OB = AB = a 2 b 2 4a b 2ab a 2ab 2a b OA2 OA OB 2 2 (a b ) a b và b a b a b2 3 8a b 2ab 2a 2b 2 2 2 Vậy SABCD = OA.OB = a b a b = (a b ) = Kết qủa S =5314454,712 cm2 a) ta có : 35 30 46,09772229 Kết : độ dài cạnh bên : 46,09772 m b) Gọi chiều rộng lối đường là x ( m ) ĐK < x < 35 2 Diện tích đường dạng hình chữ nhật: 35x Diện tích đường dạng hình thang : 70x ( đường trung bình x chiều cao) Diện tích hai đường là : 35x +70x –x2 Diện tích hình mảnh đất : 70.35 2450 Theo đề bài ta có phương trình : 35x +70x – x2 = 25 2450 x 0,94178048 x2 – 105x + 98 = ; giải phương trình ta có : x 104,0582195 Kết x = 0,94178 m 40m x x 35m 30m 100m U Bài (5 điểm) Cho dãy số n với n là số tự nhiên khác , có U1 = , U2 = ,U3= và Un+3 = 2Un+2 – 3Un+1 + 2Un Câu Viết quy trình bấm máy để tính Un+3 tính U19 , U20 , U66 , U67 ; U68 Câu Viết quy trình bấm máy để tính tổng 20 số hạng đầu tiên dãy số đó 30m (30) Viết quy trình bấm máy tính U19 , U20 , U67 ; U68 SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C SHIFT STO D ( biến đếm ) D = D + 1: A = 2C–3B + 2A : D = D+1: B = 2A–3C +2B : D = D +1: C= 2B–3A + 2C = = = Kết U19 = 315 ; U20 = –142 ; U66 = 777 450 630 U67 = –347 965 925 ; U68= -9 006 867 182 Viết quy trình bấm máy SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C SHIFT STO D ( biến đếm ) SHIFT STO E ( tổng số hạng đầu tiên ) D = D + 1: A = 2C – 3B + 2A: E = E +A : D = D+1: B = 2A–3C +2B: E = E + B : D = D+1: C = 2B – 3A + 2C : E = E + C = = = Kết : S20 = 272 Bài (5 điểm) 81 57 41 19 Câu Khi chia đa thức P(x) = P( x) x ax bx cx x cho (x –1) số dư là và chia P(x) xho ( x – 2) số dư là –4 81 57 41 19 a) Hãy tìm các số thực A , B biết đa thức Q ( x ) x ax bx cx Ax B chia hết cho đa thức x x b) Với giá trị A và B81vừa 57tìm , hãy tính giá trị đa thức R( x) Q ( x) P( x) x x x 41 x19 x x = 1,032012 2 Câu Tìm hai số dương a , b cho phương trình x 17 x ax b 0 x, x , x Có B nghiệm nguyên x2 x3 x, x , x x1 rằng Biết phương A trình bậc : Ax Bx Cx D 0 có nghiệm thì C x1 x2 x1 x3 x2 x3 A D x1 x2 x3 A Tóm tắt cách giải81 57 41 19 a) P( x) x ax bx cx x cho (x –1) số dư là P (1) 1 a b c 2.1 5 a b c 1 + chia P(x) xho81( x – 57 2) được41 số dư19là – P (2) a b c 2.2 1 81 57 41 19 a b2 c2 81 57 41 19 + Có Q( x ) x ax bx cx Ax B chia hết cho đa thức x 3x = ( x 1)( x 2) Q(1) 0 1 a b c A B A B ( 1) Q(2) 0 281 a 241 b 219 c 219 A B 2 A B 9 ( 2) Giải hệ phương trình ( 1) và (2) A = 11 ; B = –13 (31) Kết : A = 11 ; B = –13 b) Kết : R(1,032012) = 13,57512 Tóm tắt cách giải 2 Do a , b dương nên x 17 x ax b với x 0 nên phương trình có các nghiệm nguyên thì các nghiệm đó là nguyên là số dương x1có x:2 x3 17 Ta x1 x2 x1 x3 x2 x3 a x1 x2 x3 b vì x1 x2 x3 x1 x2 x3 15 x1 x2 x3 17 với x1 ; x2 ; x3 là các số nguyên dương , ta có các khả xãy : 14 13 12 11 10 8 2 13 12 11 10 3 11 10 7 4 5 6 x x x b Kiểm tra trên máy : a, b (80,8);(80,10);(90,12);(88,12) Ta : tương ứng với các nghiệm ( 1, 8, 8) ;(2, 5, 10) ;( 3, 6, 8) ; ( 4, 4, 9) a 80 a 80 b Kết : ; b 10 ; a 90 b 12 ; Bài ( điểm) Một vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m , chiều dài 350m và cuộn chặt quanh lõi hình trụ có đường kính là 10cm liên tục hết, cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục hình trụ Cho biết độ dày cuộn vải đó sau cuộn hết vải , biết vải có độ dày là 0,1 5mm ( kết tính theo xăng ti mét và làm tròn đến chữ số thập phân ) Tóm tắt cách giải Giả sử sau cuộn hết tấp vải ta n vòng, đó : Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2R1 = .100mm Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2R2 = .( 100 + 2.0,15) mm Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2R3 = ( 100 + 4.0,15) mm Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2R4 = ( 100 + 6.0,15) mm Chiều dài vòng thứ n cuộn vải là : 2Rn = 100 +2(n –1).0,15 mm Tổng chiều dài n vòng cuộn vải là : Sn = .100 + .(100 + 2.0,15) + ( 100 + 4.0,15) + (100 + 6.0,15) + + 100 +2(n –1).0,15 = 350 000 100 .n + 2.0,15. ( n1(+ + + + + n -1) = 350 000 n 21) 100 .n + 2.0,15 = 350 000 0,15 n + 99,85 n – 350 000 = n 591,0178969 vòng Do đó chiều dày cuộn vải ( trừ lõi ) là : 591,0178969 0,15 = 8,865 cm Kết : 8,865 cm (32) (33)