Tổng hợp các đề thi và lời giải vào lớp 10 môn Toán các tỉnh năm 2020 - 2021

Mong được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các em h ọc sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn.. Chúc các th ầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất[r]



Sưu tầm

BỘ ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CÁC TỈNH NĂM 2020-2021

BỘ ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN

THPT CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN

LỜI NÓI ĐẦU

Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ Bộ GDĐT, tập trung vào kiến thức bản, trọng tâm kĩ vận dụng, viết theo hình thức Bộ đề ơn thi dựa đề thi năm 2020 tỉnh nước Mỗi đề thi có lời giải tóm tắt thang điểm chấm chi tiết

Hy vọng Bộ tài liệu ơn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học trường THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2021-2022 năm

Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ đội ngũ người biên soạn, song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong đóng góp thầy, cô giáo em học sinh toàn tỉnh để Bộ tài liệu hoàn chỉnh

MỤC LỤC

ĐỀ THI Trang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2020 – 2021

Khóa ngày 18/07/2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm 120 phút

Câu (3,0 điểm)

Giải phương trình hệphương trình sau:

4

7

) 3 3 3 ) ) 3 4 0

2 2

x y

a x b c x x

x y

+ = 

− = − + = − − =



Câu (2,0 điểm) Cho hàm số

y= x có đồthịlà parabol ( )P

a) Vẽđồthị ( )P hệtrục tọa độ

b) Viết phương trình đường thẳng ( )d có hệsốgóc −1và cắt parabol ( )P

điểm có hồnh độbằng

c) Với ( )d vừa tìm được, tìm tọa độgiao điểm cịn lại ( )d ( )P

Câu (2,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ( )

2 1 *

x − x+ − =m với mlà tham số

a) Tìm tất cảcác giá trị mđểphương trình ( )* có nghiệm

b) Tính theo mgiá trị biểu thức A= x13+ x23với x x1; 2là hai nghiệm phương trình ( )* Tìm giá trịnhỏnhất A

Câu (2,0 điểm)

Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( )O .Vẽ đường cao AA BB CC', ', 'cắt H

a) Chứng minh tứgiác AB HC' 'là tứgiác nội tiếp

b) Kéo dài AA'cắt đường tròn ( )O điểm D.Chứng minh tam giác CDH cân

Câu (1,0 điểm)

Cho ABCDlà hình vng có cạnh 1dm.

Trên cạnh ABlấy điểm E Dựng hình

chữnhật CEFGsao cho điểm Dnằm

cạnh FG.Tính SCEFG

F

G

A B

D C

ĐÁP ÁN

Câu

{ }

) 3 3 3 1 1 2. 2

7 3 9 3

)

2 2 7 4

a x x x S

x y y y

b

x y x y x

− = ⇔ − = ⇔ = =

+ = = =

  

⇔ ⇔

− + =  = −  =

  

Vậy hệcó nghiệm ( ) ( )x y; = 4;3

c) Ta có:

( ) ( )

( )( )

4 2 2

2

2

2

3 4 0 4 4 0 4 4 0

4 0 4 2

4 1 0

1 0 1( )

x x x x x x x x

x x x

x x

x x VN

− + = ⇔ − + − = ⇔ − + − =

 − =  = ⇒ = ±

⇔ − + = ⇔  ⇔

+ = = −

 

Vậy phương trình có nghiệm x= −2;x=2

Câu

a) Học sinh tựvẽparabol

y= x

b) Viết phương trình (d)

Gọi phương trình đường thẳng ( )d :y=ax+b

Vì đường thẳng ( )d có hệsốgóc −1nên a= −1nên ( )d :y= − +x b

Gọi giao điểm ( )d parabol ( )P M( )1;y

Vì M( ) ( )1;y ∈ P nên y2 =x2 = ⇒1 M( )1;1 Mà M( ) ( )1;1 ∈ d ⇒ = − + ⇒ =1 1 b b 2

Vậy phương trình đường thẳng ( )d :y = − +x 2

c) Tìm tọa độgiao điểm cịn lại

Ta có phương trình hồnh độgiao điểm ( )P ( )d là:

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 0 2 2 0

2 2 0 2 1 0

2 0 2 4

1 0 1 1

x x x x x x x

x x x x x

x x y

x x y

= − + ⇔ + − = ⇔ + − − =

⇔ + − + = ⇔ + − =

− = ⇔ = ⇒ = 

⇔  − = ⇒ = ⇒ =

Vậy tọa độgiao điểm lại (−2;4)

Câu

a) Tìm m đểphương trình (*) có nghiệm

Xét phương trình ( )

2 1 *

x − x+ − =m có ∆ = −' ( )1 −1.(m− = −1) 2 m

Đểphương trình ( )* có nghiệm 0 1 0( ) 2

' 0 2 0

a luon dung

m m

≠ ≠

 ⇔ ⇔ ≤

∆ ≥  − ≥

 

Vậy với m≤2thì phương trình (*) có nghiệm

Áp dụng hệthức Vi et vào phương trình (*) ta có: 2

2 1

x x

x x m

+ =



 = −

 Ta có:

( )

( ) ( ) ( )

3 3 2 2

1 1 2 2

3 3

1 2

3 3 3 3

3 2 3 1 2

8 6 6 14 6

A x x x x x x x x x x x x

x x x x x x m

m m

= + = + + + − −

= + − + = − −

= − + = −

Vì m≤2nên ta có: 6m≤12⇒14−6m≥14 12− ⇔ ≥A 2

Dấu " "= xảy m=2

Vậy giá trịnhỏnhất A= ⇔ =2 m 2

Câu

a) Chứng minh AB HC' 'là tứgiác nội tiếp

Ta có:  

' ' 90 , ' ' 90

BB ⊥ AC⇒ AB H = CC ⊥ AB⇒ AC H =

Tứgiác AB HC' 'có:  AB H' +AC H' =900 +900 =1800 ⇒ AB HC' 'là tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh ∆CDH cân

Ta có:    

' ' 90 ; ' ' 90

BAA + ABA = BCC + ABA =

' '

BAA BCC

⇒ = ∠

Lại có: ∠BAA'= ∠BCD(cùng chắn BD)

 ' ( ')

BCC BCD BAA

⇒ = = ∠

Xét ∆CDH có CA'vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên tam giác cân

Câu

H

A' C'

B'

D O A

B

Ta có:  DCG= BEC(cùng phụvới DCE)

Xét ∆DCGvà ∆ECBcó: G = =B 90 ,0 DCG =BEC cmt( )

( ) DC CG

DCG ECB g g

EC BC

⇒ ∆ ∆ − ⇒ =

( )2

. . 1.1 1

EC CG DC BC dm

⇒ = = =

Vậy

. 1

EFGC

S =EC CG = dm

F

G

A B

D C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀTHI CHÍNH THỨC

Đề số 2

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút

Ngày thi:21/07/2020 Bài (3,5 điểm)

a) Giải phương trình :

2 3 0

x + x− =

b) Giải hệphương trình: 3 1

5

x y

x y

+ = 

 − = − 

c) Rút gọn biểu thức : 4 20 5

2

3 5

A= − −

−

d) Giải phương trình :

2

2 1

3 0

1 1

x

x x

+

  − − =

 +  +

 

Bài (2,0 điểm)

Cho parabol ( )

:

P y = −x đường thẳng ( )d :y =mx−2(với mlà tham số)

a) Vẽparabol ( )P

b) Tìm tất cảcác giá trị tham số mđểđường thẳng ( )d cắt parabol ( )P hai

điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2thỏa mãn (x1+2)(x2 +2)=0

Bài (0,5 điểm)

Đoạn đường ABdài 5km,thường xuyên bịùn tắc nên thời gian xe mô tô hết

đoạn đường khoảng 30phút Do người ta xây tuyến đường cao

đi từA đến B qua C D hình vẽ

Hỏi mô tô từA đến B tuyến đường tiết kiệm khoảng thời gian

so với đường cũ ?

Bài (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn ( )O có đường kính AB.Lấy điểm C thuộc cung

ABsao cho AC >BC(C khác A C, ≠ B).Hai tiếp tuyến nửa đường tròn ( )O Avà

Ccắt M.

a) Chứng minh tứgiác AOCM nội tiếp

b) Chứng minh  AOM = ABC

A B

c) Đường thẳng qua Cvà vng góc với ABcắt MOtại H Chứng minh CM =CH

d) Hai tia ABvà MCcắt P, đặt COP=α

Chứng minh giá trị biểu thức ( )

2

. sin MCP

PA PC PM S

α

−

là số

Bài (0,5 điểm)

Cho ba sốthực dương a b c, , Tìm giá trịnhỏnhất biểu thức :

( )

1 2

2 2 5

P

ab bc a c a b c

= −

+ + + + +

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Giải phương trình

2 3 0

x + x− =

Phương trình có dạng a+ + = + − =b c 1 3 0nên có hai nghiệm phân biệt:

1 3 x x =   = −

 Vậy S= −{ }3;1

b) Giải hệphương trình

3 1 4 4 1

5 1 3 4

x y x x

x y y x y

+ = = − = −

  

⇔ ⇔

 − = −  = −  =

  

c) Rút gọn biểu thức

( ) ( )

2

4 3 5 4 3 5

4 20 2 5

5 5 5 5 3 5 5 5 2

2 3 5 2 4

3 5 A + + = − − = − − = − − = + − − = − − −

Vậy A= −2

d) Giải phương trình

2 2 1 3 0 1 1 x x x +   − − =  +  +  

Điều kiện: x≠ −1

( ) ( ) ( )

( )

2

2

2 2

2 1

3 0 2 1 3 1 0

1 1

4 4 1 3 6 3 0 2 3 0

0 ( )

2 3 0 3

( ) 2

x

x x x

x x

x x x x x x x

x tm x x x tm +   − − = ⇔ + − + − + =  +  +   ⇔ + + − − − − − = ⇔ − − = =   ⇔ + = ⇔  = − 

Vậy 3;0 2

S= − 

Bài 2.

a) Học sinh tự vẽđồthịhàm số b) Tìm giá trịm……….

Xét phương trình hồnh độgiao điểm : 2 ( )

2 2 0 *

x mx x mx

− = − ⇔ + − =

Phương trình ( )* có: ∆ =m2 −4.1.( )− =2 m2 + > ∀8 0( )m , phương trình ( )* ln có hai nghiệm phân biệt x x1, 2với m Nên đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P hai

điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2.Áp dụng định lý Vi – et ta có:

1

1 2

x x m

x x

+ = −



 = −

 Theo ta có:

( )( ) ( )

( )

1 2 2 0 2 4 0

2 2. 4 0 2 2 1

x x x x x x

m m m

+ + = ⇔ + + + =

− + − + = ⇔ = ⇔ =

Vậy m=1

Bài 3.

Gọi M N, hình chiếu vng góc Dvà Ctrên AB

Áp dụng định lý Pytagocho ∆ACNvng Nta có:

( )

2 2 891 9 11

0,3 0,03

10000 100

AN = AC −CN = − = = km

Ta có:CDMNlà hình chữnhật ⇒ NM =CD=4km

9 11 100 11

5 4 ( )

100 100

MB AB AN MN − km

⇒ = − − = − − =

Áp dụng định lý Pytago cho ∆BDM vuông M ta có:

2

2 100 11

0,03 0,702( )

100

DB= MB +DM =  −  + ≈ km

 

Thời gian mô tô hết quãng đường AClà : 1 0,3 0,03( ) 1,8

10

t = = h = (phút)

Thời gian mô tô hết quãng đường CDlà : 2 4 2 ( ) 8

30 15

t = = h = (phút)

Thời gian mô tô hết quãng đường DBlà: 3 0,702 0,02( ) 1, 2

35

t = ≈ h = (phút)

M N

A B

Nên thời gian mô tô tuyến đường : 1,8 1, 11+ + = (phút)

Bài 4.

a) Chứng minh tứgiác AOCM nội tiếp

Vì MA MB, tiếp tuyến ( )O nên  MAO=MCO=900

Xét tứgiác AOCM có : MAO +MCO=900 +900 =1800⇒Tứgiác AOCM tứgiác

nội tiếp

b) Chứng minh ∠AOM = ∠ABC

Vì AOCM tứgiác nội tiếp ( )cmt nên AOM = ∠ACM(hai góc nội tiếp chắn

)

AM Lại có:  ACM = ABC(cùng chắn AC) ⇒ ∠AOM = ∠ABC

c) Chứng minh CM =CH

Gọi CH ∩ AB={ }N

Theo ý b, ta có: AOM = ∠ABC

Mà hai góc ởvi trí đồng nên OM / /BC

  ( )

/ / 1

BC MH CHM BCH BCN

⇒ ⇒ = = (so le trong)

Ta lại có:

0 90 (

BCN ABC do BCN

∠ + ∠ = ∆ vuông N)

0 90

CAB ABC

∠ + ∠ = (phụnhau)⇒ ∠BCN = ∠CAB(cùng phụvới ∠ABC)

Lại có: ∠CAB= ∠CAO= ∠CMO= ∠CMH(hai góc nội tiếp chắn cung OC)

 ( )2

BCN CMH

⇒ =

Từ(1) (2) suy CHM =CMH ⇒ ∆CMHcân C⇒CH =CM dfcm( )

d) Chứng minh giá trịbiểu thức … số

α

P N

H M

B O

A

Xét ∆POCvà ∆PMAcó: APM chung;PCO = ∠PMA(=900)⇒ ∆POC∆PMA g g( )

. .

PC PO

PC PM PO PA

PA PM

⇒ = ⇒ = Lại có: 1 . .

2 ACP

S = CN AP Khi ta có:

( ) ( )

( )

2

. sin . sin

1 . 2

. sin 2. .sin

1 . 2

ACP

PA PC PM PA PO PA

S CN AP

PA PA PO OA

CN CN AP α α α α − − = − = =

Xét ∆OCN vng ta có: sin 1

sin

CN CN OA

OC OA CN

α

α

= = ⇒ =

( )

. sin 1

2sin 2

sin MCP

PA PC PM S α α α − ⇒ = =

Vậy ( ) ( )

. sin 2 MCP

PA PC PM

constast dfcm S

α

−

= =

Bài 5.Xét biểu thức : M = ab+2 bc +2(a+c)= ab + 4bc +2(a+c)

Áp dụng bất đẳng thức Co−sita có: 2

4 4 2 a b ab b c bc +  ≤   +  ≤ 

( ) (5 )

4 2

2

2 1 1

5

a b c

M ab b c a c

P

a b c a b c

+ + ⇒ = + + + =   ≥  −  + + + +  

Đặt 1 t

a+ +b c =

( ) 2

2 2 1 1 1 2 1 1 1 1

2 . 0

5 5 2 4 10 5 2 10 10 10

P t t t t  t 

⇒ ≥ − =  − + − =  −  − ≥ − = −

   

Dấu " "= xảy

2 3 4 8 1 1 3 2

a b a b

b c

c

a b c

   = = =    = ⇔     =   =  + + 

Vậy 1 2; 8

10 3 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

Đề số

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2020-2021

MƠN THI: TỐN Ngày thi:17/07/2020 Phần I TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

Câu Cho tam giác ABCvng Acó AB=5cm AC, =12cm.Độdài cạnh BCbằng:

( ) ( ) ( ) ( )

119 .13 .17 7

A cm B cm C cm D cm

Câu Nếu x≥3thì biểu thức (3−x)2 +1bằng:

. 4 . 2 .4 . 3

A x− B x− C −x D x−

Câu Cho hàm số

y=ax (alà tham sốkhác 0) Tìm tất cảcác giá trị ađểđồthịhàm

sốđã cho qua điểm M(−1;4)

. 1 . 4 . 4 . 1

A a= − B a= C a= − D a=

Câu Có giá trịnguyên dương tham số mđểphương trình

2

2 2 11 0

x + x+ m− = có hai nghiệm phân biệt ?

.6 .4 .7 .5

A B C D

Câu Giá trị biểu thức 2 8bằng:

.8 .16 .4 .2

A B C D

Câu 6.Biết phương trình

2 0

x + bx+ =c có hai nghiệm x1=1và x2 =3.Giá trị biểu

thức 3

b +c

.19 .9 19 .28

A B C − D

Câu Tìm tất cảcác giá trị ađểbiểu thức a+2có nghĩa :

. 2 . 2 . 2 . 2

A a≥ B a≥ − C a> D a> −

Câu Hàm sốnào hàm sốcho đồng biến  1

. 2020 1 . . 2020 3 . 1 4

2

x

A y = x+ B y = − C y = − x+ D y= − x

Câu Cho hai đường thẳng ( )d :y=4x+7và ( )d' :y=m x2 + +m 5(mlà tham sốkhác

0) Tìm tất cảcác giá trị mđểđường thẳng ( )d' song song với đường thẳng ( )d

. 2 . 2 . 4 . 2

A m= ± B m= − C m= D m=

Câu 10 Biết hệphương trình 2 7

2 2

x y

x y

− =



 + = −

 có nghiệm (x y0; 0) Khẳng định

sau ?

0 0 0 0

.4 1 .4 3 .4 1 .4 5

A x + y = B x + y = C x + y = − D x + y =

Câu 11 Cho hàm số y=10x−5.Tính giá trị ykhi x= −1

5 .15 15 .5

A − B C − D

Câu 12 Căn bậc hai số học 121là :

11 .11

Câu 13 Cho hệphương trình 2

2 3

x y

x y m

+ = 

 + =

 (mlà tham số) Tìm tất cảcác giá trị mđể

hệđã cho có nghiệm (x y0; 0)thỏa mãn 3x0 +4y0 =2021

. 2020 . 2021 . 2018 . 2019

A m= B m= C m= D m=

Câu 14 Cho đường thẳng ( )d :y =(m−3)x+2m+7(mlà tham sốkhác 3) Tìm tất

các giá trị m để hệsốgóc đường thẳng ( )d

. 2 . 5 . 6 . 0

A m= − B m= − C m= D m=

Câu 15 Cho tam giác ABCvuông A,đường cao AH,Biết BC=10cm AH, =5cm.Giá trị cosACBbằng:

1 1 3 2

. . . .

4 2 2 2

A B C D

Câu 16 Biết phương trình

2 15 0

x + x− = có hai nghiệm x x1, 2 Giá trị biểu thức 1.

x x bằng:

2 .15 .2 15

A − B C D −

Câu 17 Trong hình vẽbên dưới, hai điểm C D, thuộc dường trịn ( )O đường kính ABvà



35

BAC = Sốđo ADCbằng

0 0

.65 .35 .55 .45

A B C D

Câu 18.Cho đường tròn tâm O,bán kính R=10cm.Gọi ABlà dây cung đường

trịn cho, AB=12cm.Tính khoảng cách từtâm O đến dây cung AB.

( ) ( ) ( ) ( )

.8 .6 .2 .16

A cm B cm C cm D cm

Câu 19 Tính giá trịbiệt thức ∆của phương trình

2x +8x− =3 0

. 88 . 88 . 22 . 40

A∆ = B∆ = − C∆ = D∆ =

Câu 20.Cho đoạn thẳng AC B, điểm thuộc đoạn ACsao cho BC =3BA.Gọi ATlà

tiếp tuyến đường trịn đường kính BC T( tiếp điểm), BC =6cm.Độdài đoạn thẳng

AT bằng:A.3( )cm B.6( )cm C.5( )cm D.4( )cm

Phần II.TỰLUẬN (7,0 điểm)

Câu 1.(2,0 điểm)

A O

D

B

a) Giải hệphương trình 3 10

2 1

x y

x y

− =



 + = −



b) Rút gọn biểu thức 2 : 3

9 3 3

x x x

A

x

x x x

  +

= + 

−

− −

  với x>0,x≠9

Câu 2.(1,0 điểm) Cho phương trình: ( ) ( )

1 2 8 0 1

x − m+ x+ m− = , mlà tham số

a) Giải phương trình ( )1 m=2

b) Tìm tất cảcác giá trị mđểphương trình ( )1 có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn

( )( )

2

1 2 2 11

x +x + x − x − =

Câu (1,5 điểm) Một công ty X dựđịnh điều động sốxe để chở100tấn hàng Khi khởhành xe điều làm việc khác nên xecòn lại phải chởthêm

hàng so với dựđịnh Tính sốxe mà công ty X dựđịnh điều động, biết xe chởkhối

lượng hàng ?

Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O, bán kính R=3cm.Gọi A B, hai điểm phân biệt cốđịnh đường tròn (O R; )(ABkhơng đường kính) Trên tia đối tia BAlấy

một điểm M (M khác B) Qua M kẻhai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn cho

( ,C Dlà hai tiếp điểm)

a) Chứng minh tứgiác OCMDnội tiếp đường tròn

b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O R; )tại điểm E.Chứng minh



60

CMD= Elà trọng tâm tam giác MCD

c) Gọi Nlà điểm đối xứng M qua O Đường thẳng qua Ovng góc với MN

cắt tia MC MD, điểm Q Khi di động tia đối tia

tìm vịtrí điểm đểtứgiác có diện tích nhỏ

Câu (0,5 điểm) Cho hai sốdương thỏa mãn Chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

II.Tựluận

Câu

P M

,

BA M MPNQ

,

a b a+2b=1.

2

1 3

14 4

ab + a + b ≥

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B B B D C A B A B A

C C D C D D C A A D

7 21 3

3 10 2 6 20 1

) 1 1 3

2 1 2 1 3

2 2

y y

x y x y x

a y

x y x y x y y

= − = −

 

− = − = =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 + = −  + = −  = − −  =− +  = −

Vậy hệphương trình có nghiệm b) Điều kiện :

Câu

a) Giải phương trình khi

Với ta có phương trình

Phương trình có dạng nên có hai nghiệm

b) Xét phương trình

Ta có:

Vì nên phương trình ln có hai nghiệm phân

biệt với m, áp dụng hệthức Vi et ta có: Theo đềbài ta có:

Vậy thỏa đề

Câu

Gọi sốxe mà công ty dựkiến điều động

( ) (x y; = 1; 3− )

0; 9

x> x≠

( ) ( )( )

( )( )

3 3

2 3 2

: .

9

3 3 3 . 3 3

3 3

2

.

3 3

x x

x x x x x

A

x

x x x x x x x

x x x x x x x   − +   +   = +  = −   − − − − − +     − + − = = − +

( )1 m=2 2

m= x2 −3x− =4 0

1 4 0

a− + = + − =b c 4

1 x x =   = −  ( ) ( )

1 2 8 0 1

x − m+ x+ m− =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2

1 4 2 8 2 1 8 32

6 33 6 9 24 3 24 0

m m m m m

m m m m m m

∆ = − +  − − = + + − +

= − + = − + + = − + > ∀

( )2 ( )2

3 0 3 24 0 0

m− ≥ ⇒ m− + > ⇒ ∆ >

1

1

1

2 8

x x m

x x m

+ = +   = −  ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 2 2 2

2

1 2

2

2

2

2 2 11 2 2 4 11

2 7 0

1 2 8 2 1 7 0

2 1 2 8 2 2 7 0

0

2 0 2 0

2

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

m m m

m m m m

m

m m m m

m + + − − = ⇔ + − + − + + = ⇔ + − − + − = ⇔ + − − − + − = ⇔ + + − + − − − = =  ⇔ − = ⇔ − = ⇔  =  0; 2

m= m=

( )( 5, *)

Khi xe chởđược sốtấn hàng: (tấn hàng)

Sau điều xe làm việc khác, sốxe lại chởhàng :

Thực tếmỗi xe phải chởsốtấn hàng : (tấn hàng)

Thực tếmỗi xe phải chởthêm hàng nên ta có phương trình:

Vậy ban đầu cơng ty dựđịnh điều động xe

Câu

a) Chứng minh tứgiác nội tiếp

100

x

( )

5

x− xe

⇒ 100

5

x−

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

2

100 100

1 100 100 5 5

5

100 100 500 5 500 0

25 20 500 0 25 20 25 0

25( )

25 20 0

20( )

x x x x

x x

x x x x

x x x x x x

x tm

x x

x ktm

− = ⇔ − − = −

−

⇔ − + = − − =

⇔ − + − = ⇔ − + − =

= 

⇔ − + = ⇔  = −



25

P C

Q

D N

E O

A B M

Xét đường trịn tâm có tiếp tuyến

Tứgiác có: tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh trọng tâm

Xét đường trịn (O) có hai tiếp tuyến cắt nên

là tia phân giác Mà

Xét vng có

Ta có:

Lại có: nên đường trung trực đoạn Gọi giao điểm

của I

Theo hệthức lượng tam giác vng ta có:

Từđó ta có:

Xét tam giác có nên tam giác có

đường phân giác nên trung tuyến Lại có nên trọng

tâm tam giác

c) Tìm vịtrí M để

Vì đối xứng với qua nên

Xét hai tam giác vuông có cạnh chung,

Suy

Diện tích tứgiác :

Xét vng O có đường cao, theo hệthức lượng tam giác vuông ta

có:

O MC MD, ⇒OCM =ODM =900

OCMD OCM +ODM =900 +900 =1800 ⇒OCMD

E ∆MCD

,

MC MD M MC =MD MO

 CMD

  1 1 0

60 .60 30

2 2

CMD= ⇒OMD= CMD= =

ODM

∆ 

3 , 30

OD= =R cm OMD=

 ( ) ( )

0 3

sin 6 6 3 3

1 sin 30

2

OD OD

DMO OM cm EM OM OE cm

OM

= ⇒ = = = ⇒ = − = − =

MD MC

OD OC R

= 

 = =

 OM DC. I

OM DC⇒OM ⊥DC

ODM

2

2 3 3

.

6 2

OD

OD OI OM OI

OM

= ⇔ = = = 6 3 9

2 2

IM OM OI

⇒ = − = − =

3 2 2

9 3 3

2

ME

ME MI

MI = = ⇒ =

MCD MC =MD CMD=600 ∆MCD MI

MI 2 ( )

3

ME = MI cmt E

( )

MCD dfcm

min MNPQ

S

N M O OM =ON

,

OQM OPM

∆ ∆ OM OMQ =OMP

( )

OQM OPM g c g OP OQ

∆ = ∆ ⇒ =

MPNQ

1 1 1

. .2 .2 4. . 4 4. . 4

2 2 2

MPNQ OQM

S = MN PQ= OM OQ= OM OQ= S = OD MQ = R MQ

OQM

∆ OD

2

. .

Áp dụng bất đằng thức Cô si ta có: Hay

Từđó nhỏnhất

Khi đó: Xét có: chung; (cùng chắn

Đặt ( khơng đổi,

Ta có:

Vậy điểm thuộc tia đối tia cách B khoảng

không đổi tứgiác có diện tích nhỏ

Câu

.Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Lại có:

Vậy Dấu xảy

2

2 . 2 2

QM =DQ+DM ≥ DQ DM = R = R

min 2

QM = R⇔QD=DM =R

MPNQ

S 8R2 ⇔MQ=2R

&

MDB MAD

∆ ∆ DMB MDB = MAD BD)

2

( ) MD MB . .

MDB MAD g g MD MA MB MA MB R

MA MD

⇒ ∆ ∆ − ⇒ = ⇒ = ⇒ =

,

AB=a MB=x a a x, >0)

( ) 2 ( )

2 2 4

. 0 0

2

a a R

MA MB=R ⇔ x x+a =R ⇔ x +ax−R = ⇒ =x − + + do x>

M AB

2

4 2

a a R

MB= − + +

MPNQ 8R2

1 1

1 2 2 .2 2 2 2 2 1 2

2 8

a b a b ab ab ab ab

= + ≥ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≤

2 2 2

1 3 1 3 3 1 1 1

3

4 4 4 4 4 4 4

ab a b ab ab a b ab ab a b

 

+ = + + = +  + 

+ +  + 

1 1 4

x + ≥y x+ y

( )2

2 2

1 1 4 4

4 4ab +a +4b ≥ 4ab+a +4b = a+2b =

1 1 1

2 1

8 4 4.

8

ab

ab

≤ ⇒ ≥ =

2

1 1 1

3 2 3.4 14

4ab 4ab a 4b

 

⇒ +  + ≥ + =

+

 

2

1 3

14 4

ab +a + b ≥ " "=

1

1 2

2

1 2

4

a

a b

b  = 

= = ⇔ 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC CẠN

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (1,5 điểm)

a) Tính A= 12+ 27 −4 3

b) Rút gọn biểu thức 1 2 .2 6 0, 1

9 9

3 1

x x

x x

B

x x

x x

  +  ≥ ≠ 

= +   

≠ −

+ −  

 

Câu (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 5x− =7 0

b) Giải hệphương trình sau 2

2 1

x y

x y

+ = 

 − =



c) Hai lớp 9Avà 9Bcủa trường, quyên góp vởủng hộcác bạn học sinh vùng khó

khăn Lớp 9A bạn ủng hộ2 quyển, lớp 9B bạn ủng hộ3 quyển, cảhai lớp

ủng hộđược 160quyển Tính số học sinh lớp biết tổng số học sinh cảhai lớp 65 em

Câu (1,5 điểm)

a) Vẽđồthịhàm số

y= x

b) Đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung điểm có tung độbằng

cắt parabol

y=x hai điểm M N, Tính diện tích tam giác OMN

Câu (1,5 điểm) Cho phương trình ( )

2 1 2 0

x + m− x− m= (với m tham số)

a) Giải phương trình với m=1

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m

c) Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình Tìm mđể A=x12 +x22 −4x x1 2đạt giá trị

nhỏnhất

Câu (3,0 điểm)Cho nửa đường tròn ( )O đường kính MN,điểm Pthuộc nửa đường

trịn (PM >PN).Kẻbán kính OKvng góc với MNcắt dây MP E Gọi dlà tiếp

tuyến Pcủa nửa đường tròn Đường thẳng qua Evà song song với MNcắt dởF

Chứng minh rằng:

a) Tứgiác MPEOnội tiếp đường tròn

b) ME MP. =MO MN.

c) OF / /MP

d) Gọi Ilà chân đường cao hạtừ Pxuống MN.Hãy tìm vịtrí điểm Pđể IEvng

ĐÁP ÁN

Câu

) 12 27 4 3 2 3 3 3 4 3 3

a A= + − = + − =

b)Với x≥0,x≠1,x ≠9 Ta có:

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3

1 2 2 6 3 2

. .

9

3 1 3 3 1

3 1 2 6

3

3 1

x

x x x x

B

x

x x x x x

x

x

x x

+

  + − +

= +  =

−

+ − + − −

 

−

= =

−

− −

Câu

a) Giải phương trình:

7 7

5 7 0

5 5

x− = ⇔ =x S =   

 

b) Giải hệphương trình:

2 3 3 1

2 1 2 1

x y x x

x y y x y

+ = = =

  

⇔ ⇔

 − =  = −  =

  

Vậy hệcó nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1

c) Tính sốhọc sinh lớp

Gọi số học sinh lớp 9Avà lớp 9B x y, (học sinh) (x y, ∈*, ,x y<65) Tổng số học sinh lớp 65 nên ta có phương trình x+ =y 65 1( )

Sốquyển lớp 6A quyên góp : 2x(quyển)

Sốquyển lớp 6B quyên góp là: 3y(quyển)

Hai lớp quyên góp 160quyển vởnên ta có phương trình 2x+3y =160 2( )

Từ(1) (2) ta có hệphương trình:

65 3 3 195 35

( )

2 3 160 2 3 160 30

x y x y x

tm

x y x y y

+ = + = =

  

⇔ ⇔

 + =  + =  =

  

Vậy 9A: 35 học sinh, 9B: 30 học sinh

Câu

a) Học sinh tựvẽđồthị

b) Tính diện tích OMN

Đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độbằng nên có

Hồnh độcác điểm M N, nghiệm phương trình hoành độgiao điểm x2 =2

( )

( )

2;2 2

2 2;2

M x

x N

 −

 = 

⇔ ⇒

= −

 

 

Khi ta có: MN =2 2 Gọi { }H =MN ∩Oy⇒H( )0;2 ⇒OH ⊥MN OH =2

Vậy 1 . 1.2.2 2 2 2( )

2 2

OMN

S = OH MN = = dvdt

Câu

a) Giải phương trình m=1

Với m=1ta có phương trình x2+ − =x 2 0

Phương trình có dạng

2 1 0

2

x

a b c

x

= 

+ + = ⇒  = −

 Vậy với m= ⇔ = −1 S { 2;1}

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m

Xét phương trình ( )

2 1 2 0

x + m− x− m= ta có:

( )2 2 2 ( )2 ( )

2m 1 4.2m 4m 4m 1 8m 4m 4m 1 2m 1 0 m

∆ = − + = − + + = + + = + ≥ ∀

Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm với m

c) Tìm GTNN

Phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x x1, 2với m Áp dụng hệthức Vi –

et ta có:

1

2 1

2

x x m

x x m

+ = − +



 =

 Theo đềbài ta có:

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1 2 2

2 2 2

2

4 6

1 2 6.2 4 4 1 12 4 8 1

4 2 1 3 4 1 3

A x x x x x x x x

m m m m m m m

m m m

= + − = + −

= − + = − + + = + +

= + + − = + −

Vì ( )2 ( ) ( )2 ( )2 ( )

1 0 4 1 0 4 1 3 3

m+ ≥ ∀m ⇒ m+ ≥ ⇒ m+ − ≥ − ∀m

Vậy Amin = − ⇔ = −3 m 1

a) Tứgiác NPEOnội tiếp đường trịn

Vì ∠MPNlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ∠MPN =900⇒ ∠EPN =900

Xét tứgiác NPEOcó EPN +EON =900 +900 =1800 ⇒ NPEOlà tứgiác nội tiếp

b) ME MP. =MO MN.

Xét ∆MOEvà ∆MPNcó:PMN chung MOE ;  =MPN =900

( )

( ) MO ME . .

MOE MPN g g ME MP MO MN dfcm

MP MN

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

c) OF song song với MP

Vì EF / /MN gt( )mà MN ⊥OKnên EF ⊥OK ⇒OEF =900 =OPF⇒OEPFlà tứ

giác nội tiếp

Lại có NPEOlà tứgiác nôi tiếp (cmt)⇒5điểm O E P F N, , , , thuộc đường tròn nên tứgiác OEFNcũng tứgiác nội tiếp

 

180

EON EFN

⇒ + = mà  

90 ( ) 90

EON = gt ⇒EFN =

Xét tứgiác OEFNcó:   EON =OEF =EFN =900 ⇒OEFNlà hình chữnhật (tứgiác có

góc vng) 

90

ONF NF

⇒ = ⇒ tiếp tuyến ( )O N

d

x I

F E

K

O

M N

 

FNP NMP

⇒ = (cùng chắn NP)

Mà   NMP =OMP=OPM (do ∆OMPcân O)

  

FNP OPM OPE

⇒ = =

Mà FNP = FOP(hai góc nội tiếp chắn FP).⇒OPE =FOP

Mà góc ởvịtrí so le nên OF / /MP

d) Tìm vịtrí điểm P……

Đặt OI =x MN, =2R⇒IN = −R x(0< <x R)

Áp dụng hệthức lượng tam giác vng MPN ta có:

( )( )

2 2 2

.

PI =MI NI = R+x R−x =R −x ⇒PI = R −x

Ta có:OK / /PI(cùng vng góc với MN)nên áp dụng định lý Ta let ta có:

2

2

OE MO OE R R R x

OE

PI MI R x R x R x

−

= ⇒ = ⇔ =

+ +

−

Để IE ⊥MPthì IE/ /PN MP( ⊥PN), OIE =INP(hai góc đồng vị)

Xét tam giác OIEcó: 

( )

2

tanOIE OE R R x

OI x R x

−

= =

+

Xét tam giác vng IPNcó 

2

tanINP IP R x

IN R x

−

= =

−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

1

2

2

2

2

2 0

2 2 ( )

2 1 2 0( )

2 1 2 2 2 2 2 2

tan

2 2

2 1 2 2

1

2 1 2 1

R R x R x

R R x x R x

x R x R x

R Rx xR x x Rx R

x R R R tm

x R OI

x R R ktm

R R

R x R

INP

R x R R R

− −

⇒ = ⇔ − = +

+ −

⇔ − = + ⇔ + − =

 = − + = −



⇔ ⇒ = − =

 = − − < 

− −

− − −

⇒ ∠ = = = =

− − − − −

= = +

−

tan MNP tan INP 2 1

⇒ ∠ = ∠ = +

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút

I.Trắc nghiệm

Câu Đường thẳng y = −2 xcó hệsốgóc

0

.2 1 .45 .1

A B − C D

Câu Trong hàm sốsau, hàm sốnào hàm sốbậc ?

1

. . . . 2020

A y B y x C y x D y x

x

= = = = −

Câu Đường trịn (O R; )có hai bán kính OAvà OBvng góc với nhau, gọi Hlà trung

điểm đoạn thẳng AB.Khi đó, OHbằng:

2 3

. . . .

2 2 2 3

R R R R

A B C D

Câu Tam giác ABCvuông A, sin 2, 5

C = cạnh BC =10cm.Độdài cạnh ABlà

.2 .4 .6 .2 2

A cm B cm C cm D cm

Câu Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn ( )O .Các tiếp tuyến B C

đường tròn ( )O cắt M Sốđo góc BMCbằng:

0 0

.90 .120 .45 .60

A B C D

Câu 6.Hệphương trình 3 1

x y

x y

+ = 

 − =

 có nghiệm ( )x y; là:

( ) ( ) ( ) ( )

. 2; 1 2;1 1;2 . 1; 2

A − − B C D − −

Câu Biểu thức ( 7 −5) (2 + 2− 7)2 có giá trịbằng:

.7 .2 7 3 .2 7 3 .3

A B + C − D

Câu Khi x =6,biểu thức x+8có giá trịbằng:

.6 .8 .2 .14

A B C D

.6 .36 13 .9

A cm B cm C cm D cm

Câu 10 Phương trình có hai nghiệm −2?

2 2

. 6 1 0 . 6 0 . 6 1 0 . 6 0

A x − x+ = B x + − =x C x + x− = D x − − =x

Câu 11 Khi x =7,biểu thức 3 2

x+ có giá trịbằng:

1

1 3 . .1

3

A − B C D

Câu 12 Điều kiện xác định biểu thức 1−x

. 1 . 1 . 1 . 1

A x< B x≥ C x> D x≤

Câu 13 Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn ( )O .Đường cao AHcắt cung nhỏBC

tại M.Sốđo góc BCM

0 0

.45 .60 .50 .30

A B C D

Câu 14 Hệphương trình 1 2

x y

mx y

+ = 

 − =

 có nghiệm

. 1 . 1 . 1 . 0

A m≠ − B m= − C m≠ D m≠

Câu 15 Cho tam giác ABCvuông cân Anội tiếp đường trịn ( )O đường kính BC.tia phân giác góc ABCcắt đường trịn ( )O M (M ≠ B).Khi góc MOCcó sốđo

bằng

0 0

.60 .45 .22 33' .30

A B C D

Câu 16 Hình vng có diện tích

16cm .Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng

:

.2 2 .4 .2 2

A cm B cm C cm D cm

Câu 17 Đường thẳng y =2xđi qua điểm ?

( ) ( ) ( ) ( )

1;2 . 2;2 . 2; 1 . 2;1

A B C C D − − D B

Câu 18 Khi x =16,biểu thức 2 1

x x

+

− có giá trịbằng:

18 7

2 . .2 .

15 2

A − B C D

Câu 19 Phương trình

2x − − =x 6 0có hai nghiệm x x1, 2.Khi đó, tổng x1+x2bằng

1 1

. . 3 .3

2 2

A B − C − D

.4 .2 .2 6 2

A B C D −

Câu 21.Các giao điểm parabol ( ) :

P y =x đường thẳng ( )d :y = − +x 2là:

( )

. 1;1

A D − C(−2;4) B A. ( )1;1 B( )2;4

( )

. 1;1

C A C(−2;4) D.(−1;1)và B( )2;4

Câu 22 Tam giác ABCvng A, AB=3cm BC, =5cmthì tanCbằng:

3 5 4 3

. . . .

5 3 3 4

A B C D

Câu 23 Trong hệphương trình sau, hệnào vơ nghiệm ?

3 3 3 3

. . . .

2 0 2 2 9 2 0 2 2 6

x x y x y x y

A B C D

x y x y y x y

= + = + = + =

   

 + =  + =  =  + =

   

Câu 24 Cho tam giác ABCvuông A, cạnh BC =10cm,bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bằng:

.3 .4 .2,5 .5

A cm B cm C cm D cm

Câu 25.Đường thẳng y= + −x m 1cắt trục Oxtại điểm có hồnh độbằng 1khi

. 2 . 0 . 1 . 1

A m= B m= C m= D m= −

Câu 26 Tập nghiệm phương trình

3 2 0

x − x+ =

{ } { } { } { }

1; 2 . 1;2 1;2 . 1; 2

A − B − C D − −

Câu 27 Cho hai đường tròn (O;13cm)và (O';10cm)cắt hai điểm phân biệt A B, Đoạn OO'cắt ( ) ( )O ; O' Evà F.Biết EF =3cm,độdài OO'là

.20 .18 .19 .16

A cm B cm C cm D cm

Câu 28 Cho điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính AB=2 (R M không trùng với

, ).

A B Gọi dlà tiếp tuyến nửa đường tròn M P; Qlần lượt chân đường

vng góc hạtừ Avà Bxuống d.Khi đó, AP+BQbằng:

3

. 2 .2 . 3 .

2

R

A R B R C R D

Câu 29 Biết hệphương trình

( ) ( )

2 5

1 2 6

ax by

a x b y

+ =



 − + + =

 có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;2 Khi đó,

3a+4bbằng:

5

.8 .4 .7 .

2

A B C D

Câu 30 Giá trịnhỏnhất biểu thức

4 3

x − x+

.0 .

Câu 31 Có cặp sốnguyên a b, dểbiểu thức 93 62 3+ viết dạng

( )2

3

a+b với a b, ∈?

.1 .2 .0 .4

A B C D

Câu 32 Gọi M N, giao điểm parabol y =x2và đường thẳng y = +x 2.Diện tích

tam giác OMNbằng:

3 2

.6 . .3 .1,5

2

A B C D

II.Tựluận

Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình

6 8 0

x + x+ =

b) Rút gọn biểu thức 2 2 5

1

1 1

x P

x

x x

−

= + +

−

− + với x≥0,x≠1 Tìm xđể P=1

Câu (1,0 điểm)

Trong thư viện trường, tổng sốsách tham khảo môn Ngữvăn môn

Toán 155 Dựđịnh thời gian tới nhà trường cần mua thêm tổng số45

sách Ngữvăn Tốn, sốsách mơn Ngữvăn cần mua 1

3sốsách mơn Ngữ

văn có, sốsách mơn Tốn cần mua 1

4sốsách mơn Tốn có Hỏi sốsách

tham khảo mơn Ngữvăn Toán ban đầu lầbao nhiêu ?

Câu (2,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông A.Trên cạnh AClấy điểm M khác C cho

.

AM >MC Vẽđường trịn tâm Ođường kính MC,đường trịn cắt BCtại E

(E ≠C)và cắt đường thẳng BM D D( ≠ M)

a) Chứng minh ADCBlà tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh  ABM =AEM EM lầtia phân giác góc AED

c) Gọi Glà giao điểm EDvà AC.Chứng minh CG MA. =CA GM.

Câu (1,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai

0

ax − + =x c (xlà ẩn số) có hai nghiệm thực dương

1,

x x thỏa mãn x1+ x2 ≤1.Tìm giá trịnhỏnhất biểu thức

2

2

a c P

ac a − =

ĐÁP ÁN I.Phần trắc nghiệm

1B 2D 3B 4B 5D 6B 7D

8D

9A 10D 11D 12D 13D 14A 5B

16A

17A 18C 19A 20B 21C 22D 23B

24D

25B 26C 27A 28B 29A 30A 31C

32C

II Phần tựluận

Câu

a) Giải phương trình

( ) ( ) ( )( )

2

6 8 0 2 4 8 0 2 4 2 0

2 0 2

2 4 0

4 0 4

x x x x x x x x

x x

x x

x x

+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + =

+ = = −

 

⇔ + + = ⇔ ⇔

+ = = −

 

Vậy tập nghiệm S = − −{ 4; 2}

b) Rút gọn

Điều kiện: x≥0,x≠1

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) )

2 1 2 1 5

2 2 5

1

1 1 1 1

5 1

2 2 2 2 5 5 5 5

1

1 1 1 1 1 1

x x x

x P

x

x x x x

x

x x x x

x

x x x x x x

+ + − + −

−

= + + =

−

− + + −

−

+ + − + − −

= = = =

+

+ − + − + −

5

1 1 1 5 16( )

1

P x x tm

x

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =

+

Vậy x=16thì P=1

Câu

Gọi sốsách thâm khảo Ngữvăn Toán thư viện có x y, (cuốn)

(x y, ∈*, ,x y<155)

Ban đầu, thư viện có 155 sách tham khảo mơn nên ta có phương trình 155 (1)

Sốsách tham khảo môn Ngữvăn cần mua thêm 1

3x(cuốn)

Sốsách tham khảo mơn Tốn cần mua thêm 1

4 y(cuốn)

Thư viện mua thêm 45cuốn sách tham khảo mơn nên ta có phương trình:

( )

1 1

45 4 3 540 2

3x+4 y= ⇔ x+ y=

Từ(1) (2) ta có hệphương trình :

155 3 3 465 75 75( )

4 3 540 4 3 540 155 80( )

x y x y x x tm

x y x y y x y tm

+ = + = = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = −  =

   

Vậy ban đầu thư viện có 75cuốn sách tham khảo Ngữvăn, 80 sách tham khảo môn

Toán

Câu

a) ADCB tứgiác nội tiếp

Xét đường tròn ( )O ta có:MDClà góc nội tiếp chắn nửa đường trịn

 

90 90

MDC hay BDC

⇒ = =

Xét tứgiác ADCBcó ∠BAC = ∠BDC=900mà A D, đỉnh kềnhau

Nên ADCBlà tứgiác nội tiếp

G

D E

O

A C

B

b) Chứng minh  ABM = AEM và EM lầtia phân giác góc AED

Xét đường trịn ( )O ta có: MEClà góc nội tiếp chắn nửa đường trịn

 

90 90

MEC BEM

⇒ = ⇒ = (hai góc kềbù)

Xét tứgiác ABEM ta có: BAM +BEM =900 +900 =1800 ⇒ ABEM tứgiác nội tiếp

 

ABM AEM

⇒ = (cùng chắn cung AM)

Ta có: MED =MCD(hai góc nội tiếp chắn MDcủa (O)) ( )1

Vì ADCBlà tứgiác nội tiếp (cmt)⇒  ACD= ABD(hai góc nội tiếp chắn AD) (2)

Lại có  ABM = AEM cmt( )hay  ABD= AEM (3)

Từ(1), (2), (3)⇒  AEM =MED⇒MElà phân giác AED dfcm( )

c) Chứng minh CG MA. =CA GM.

Xét ∆AEGta có: EM phân giác tam giác (cmt) AE AM

EG MG

⇒ = (tính chất

đường phân giác) AE AM

EG MG

⇒ = (tính chất đường phân giác)

Lại có : ME ⊥EC cmt( )⇒EClà đường phân giác đỉnh E ∆AEG

AE AC

EG CG

⇒ = (tính chất đường phân giác)

. . ( )

AM AC AG

AM CG AC MG dfcm

MG CG EG

 

⇒ = = ⇒ =

 

Câu Tìm giá trịnhỏnhất của….

Phương trình

0

ax − + =x c có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2

0 0

1

0 1 4 0

4

1 0

0 0

0

0 0

a a

ac ac

b a

a a c

c c

a a

≠ ≠

 



∆ >  − > >



 



 

⇔− > ⇔ > ⇔ >

   >

  

> > 

 

 

Áp dụng hệthức Vi – et ta có:

1

1

x x a c x x

a  + = 



 =



Theo đềbài ta có: ( )

1

1

1 1 1 0 1

x x a do a a

a

Lại có: 1 1 1

4 4 4

ac c

a

≤ ⇒ ≤ ≤

2

2

2

2 2

1 1 1

1 1 2 3

4 4 2 1 1 1

1 1 1 1 5 5

2 2 1

4 4 4 4

a a

a c

P

ac a a a

a

− + −

−

⇒ = ≥ = = − ≥ − = − =

+ + +  +   + 

   

   

Dấu " "= xảy

1 1

1 1

4 4

a a

ac c

= =

 

 

⇔ ⇔

= =

 

 

Vậy

1 3

1 5

4

a MinP

c =   = ⇔ 

SỞ GIÁO DỤC, KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BẠC LIÊU

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn thi: TỐN (Khơng chun) Ngày thi: 14/07/2020

Thời gian: 120 phút (Không kểthời gian giao đề) Câu (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A=2 3+5 48+ 125−5 5

b) Tìm điều kiện xđểbiểu thức B= 3x−4có nghĩa

Câu (4,0 điểm)

a) Giải hệphương trình : 3 4 5

4 3

x y

x y

+ =



 − = 

b) Cho ( )

: 2

Parabol P y = x đường thẳng ( )d :y =3x+b.Xác định giá trị b

bằng phép tính đểđường thẳng ( )d tiếp xúc với parabol ( )P

Câu (6,0 điểm)

Cho phương trình: ( ) ( )

1 0 1

x − m− x− =m (với mlà tham số)

a) Giải phương trình ( )1 khi m=4

b) Chứng minh phương trình ( )1 ln có nghiệm với giá trị m

c) Xác định giá trị mđểphương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn x1(3+x1)+ x2(3+ x2)= −4

Câu (6,0 điểm)

Cho đường tròn tâm Ođường kính AB=2 R Gọi Ilà trung điểm đoạn thẳng

,

OA Elà điểm thay đổi đường trịn ( )O cho Ekhơng trùng với Avà B.Dựng

đường thẳng d1và d2lần lượt tiếp tuyến đường tròn ( )O Avà B Gọi d

đường thẳng qua Evà vng góc với EI.Đường thẳng dcắt d d1, 2lần lượt M N,

a) Chứng minh tứgiác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh ∆IAEđồng dạng với ∆NBE.Từđó chứng minh IB NE. =3IE NB.

c) Khi điểm Ethay đổi, chứng minh tam giác MNIvng I tìm giá trịnhỏnhất

ĐÁP ÁN

Câu

a) Rút gọn biểu thức:

Ta có:

2 3 5 48 125 5 5 2 3 5.4 3 5 5 5 5 2 3 20 3 22 3

A= + + − = + + − = + =

b) Tìm điều kiện x

Biểu thức B= 3x−4có nghĩa chỉkhi 3 4 0 3 4 4

3

x− ≥ ⇔ x≥ ⇔ ≥x

Vậy biểu thức B= 3x−4có nghĩa 4

3

x≥

Câu

a) Giải hệphương trình: Ta có:

4 8 2 2

3 4 5

3 2 3 1

4 3

4 4 4

x x x

x y

x

x y y y y

= = =

  

+ =

 ⇔ ⇔ ⇔

 − =  = −  = −  = −

   

Vậy nghiệm hệphương trình ( ); 2; 1

4

x y = − 

 

b) Cho parabol ……

Xét phương trình hồnh độgiao điểm ( )P ( )d :

( )

2

2x =3x+ ⇔b 2x −3x− =b 0 *

Sốgiao điểm ( )P ( )d sốnghiệm phương trình hồnh độgiao điểm,

dó để ( )d tiếp xúc với parabol ( )P phương trình ( )* phải có nghiệm kép

( )2 ( ) 9

0 3 4.2. 0 9 8 0

8

b b b

⇔ ∆ = ⇔ − − − = ⇔ + = ⇔ = −

Vậy để ( )d tiếp xúc với parabol ( )P 9

8

b= −

Câu

a) Giải phương trình m=4

Thay m=4vào phương trình ( )1 ta có:

( ) ( ) ( )( )

2

3 4 0 4 4 0 4 4 0

1 0 1

1 4 0

4 0 4

x x x x x x x x

x x

x x

x x

− − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =

+ = = −

 

⇔ + − = ⇔ ⇔

− = =

Vậy m=4thì tập nghiệm phương trình S = −{ 1;4}

b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m

( )

2

1 0 (1)

x − m− x− =m có:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

1 4.1. 2 1 4

2 1 1 0

m m m m m

m m m m

∆ = − − − = − + +

∆ = + + = + ≥ ∀ ∈

Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m

c) Xác định giá trị mđểphương trình…………

Theo ý b: ta có: ( )2

1

m

∆ = +

Đểphương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thì ∆ >0

1 0 1

m m

⇔ + ≠ ⇔ ≠ − Khi áp dụng định lý Vi – et ta có:

( )

1

1

1

1

x x m

m

x x m

+ = −



≠ −

 = −

 Theo bải ta có:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

1 2 1 2

2

2

1 2 2

2 2

3 3 4 3 3 4

3 4 3 2 4

3 1 1 2. 4 3 2 0

1 2 1 1 2 0

1 0 1( )

2 0 2( )

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

m m m m m

m m m m m

m m ktm

m m tm

+ + + = − ⇔ + + + = −

⇔ + + + = − ⇔ + + + − = −

⇔ − + − − − = − ⇔ + + =

⇔ + + + = + + =

+ = = −

 

⇔ ⇔ 

+ = = −

 

Vậy m= −2thỏa mãn yêu cầu toán

Câu

d

d1 d2

N M

I O B

A

a) Chứng minh tứgiác AMEInội tiếp

Vì d1là tiếp tuyến ( )O Anên IAM=900 Vì d ⊥EI E nên IEM=900

Xét tứgiác AMEI có IAM +IEM =900 +900 =1800

Vậy tứgiác AMEIlà tứgiác nội tiếp (Tứgiác có tổng hai góc đối bằng180 )0

b) Chứng minh ∆IAEđồng dạng với ∆NBE.Từđó chứng minh IB NE. =3IE NB. Vì AEBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AEB =900

Ta có:       0( )

90 ; 90

AEI+IEB= AEB= BEN+IEB=IEN = do d ⊥IE

  AEI BEN

⇒ = (cùng phụvới IEB)

Xét ∆IAEvà ∆NBEcó:  AEI =BEN cmt( );IAE =NBE(góc nội tiếp góc tạo tiếp

tuyến dây cung chắn BE)

( ) IE IA

IAE NBE g g

NE NB

⇒ ∆ ∆ ⇒ = (hai cạnh tương ứng)⇒IA NE. =IE NB. (1)

Mà Ilà trung điểm OA gt( )⇒OA= 2IA

Lại có Olà trung điểm AB⇒ AB=2OA=4IA

4 3

IB AB IA IA IA IA

⇒ = − = − = Khi ta có:

( )1 ⇔3 IA NE=3IE NB. (nhân cẩ2 vếvới 3)⇒IB NE. =3IE NB dfcm. ( )

c) Chứng minh ∆MNIvuông I tìm GTNN SMNItheo R

Xét tứgiác BNEIcó: IEN =90 (0 do d ⊥IEtại E)



2 90 (

IBN = do d tiếp tuyến đường tròn (O) B)

  0

90 90 180

IEN IBN

⇒ + = + =

⇒Tứgiác BNEIlà tứgiác nội tiếp (Tứgiác có tổng hai góc đối 180 )0

   INE IEB ABE

⇒ = = (hai góc nội tiếp chắn cung IE)

Lại có : Tứgiác AMEI tứgiác nội tiếp (ý a)   

IME IAE BAE

⇒ = = (hai góc nội tiếp chắn cung IE)

Xét tam giác MNIcó:

   

90

INE+IME =ABE +BAE = (do AEB =90 (0 cmt)nên ∆AEBvuông E)

MNI

⇒ ∆ vuông I (tam giác có tổng hai góc nhọn

90 )

Ta có: 1 .

2 MNI

S∆ = IM IN

Đặt  ( 0) 

0 90 90

Xét ∆AIM vng ta có: cos

cos

AI AI

IM IM

α

α

= ⇒ =

Xét ∆BINvng ta có: ( )

( )

0

0 cos 90

sin cos 90

BI BI BI

IN IN

α

α α

− = ⇒ = =

−

1 1 .

. . .

2 2 cos sin sin cos

MNI

AI BI AI BI

S IM IN

α α α α

∆

⇒ = = =

Ta có: 4 ( ) 1 , 3 3

4 2 4 2

R R

AB= AI cmt ⇒ AI = AB= BI = AB=

2 3

4 sin cos MNI

R S

α α

∆

⇒ =

Do 3

4

R

khơng đổi nên diện tích tam giác MNIđạt giá trịnhỏnhất ⇔sin cosα α đạt giá

trị lớn

Vì 0

0 < <α 90 nên sin ,cosα α >0 Áp dụng BĐT Cơ – si ta có:

( )

2

sin cos 1

sin cos

2 2

α α

α α ≤ + = ∀α

2

3 1 3

: .

4 2 2

AMI

R R

S∆

⇒ ≤ = Dấu " "= xảy

0

2

sin cos 1

sin cos 45

sin cos 2

α α

α α α

α α

= 

⇔ ⇒ = = ⇒ =

= 

Vậy giá trịnhỏnhất diện tích tam giác MNIlà

2 3

2

R

, đạt 

45

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số7

ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRUNG HỌC PHỔTHÔNG CÔNG LẬP

NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn: TỐN (chung)

Thời gian: 120 phút (không kểphát đề)

Câu (1,0 điểm)

a) Trục thức ởmẫu biểu thức 18 3

b) Tìm xbiết: 4x + 9x =15

Câu (1,0 điểm) Cho hàm sốbậc y=(7− 18)x+2020

a) Hàm sốtrên đồng biến hay nghịch biến ? Vì ?

b) Tính giá trị ykhi x= +7 18

Câu (1,0 điểm) Cho hàm số 2

y = x có đồthị ( )P

a) Vẽ ( )P

b) Tìm tọa độ điểm thuộc ( )P có tung độbằng 2

Câu (2,5 điểm)

a) Giải phương trình:

5 7 0

x + x− =

b) Giải hệphương trình : 7 18

2 9

x y

x y

− = 

 + =



c) Tìm giá trị tham sốm đểphương trình

( )

2

2 5 3 6 0

x − m+ x+m + m− = có hai nghiệm phân biệt

Câu (1,0 điểm) Với giá trịnào tham số mthì đồthịhai hàm số y = + +x (5 m)và

( )

2 7

y= x+ −m cắt điểm nằm trục hoành

Câu (0,75 điểm) Cho tam giác ABCvng Bcó đường cao BH H( ∈AC),biết

6 , 10 .

AB= cm AC = cm Tính độdài đoạn thẳng BC BH, .

Câu (0,75 điểm) Trên đường tròn ( )O lấy hai điêm A B, cho AOB=650và điểm C hình vẽ Tính sốđo  AmB ACB, sốđo ACB

Câu (2,0 điểm)

m

650 O C

Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường trịn ( )O có đường cao BE CF, cắt H (E∈AC F, ∈AB)

a) Chứng minh tứgiác AEHFnội tiếp

b) Chứng minh AH ⊥BC

c) Gọi P G, hai giao điểm đường thẳng EF đường tròn (O) cho điểm E

nằm hai điểm Pvà điểm F.Chứng minh AOlà đường trung trực đoạn

thẳng PG

ĐÁP ÁN

Câu

a) Ta có: 18 18 3 6 3

3

3 = =

b) Tìm x biết:

( )

4 9 15 0 2 3 15

5 15 3 9( )

x x x x x

x x x tm

+ = ≥ ⇔ + =

⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy x=9

Câu

a) Hàm số y=(7− 18)x+2020có a= −7 18

Ta có: 7= 49 > 18 ⇔ −7 18> ⇔ >0 a 0nên hàm sốđã cho đồng biến R

b) Tính giá trị…

Thay x= +7 18và hàm số y=(7− 18)x+2020 ta được:

(7 18 7)( 18) 2020 49 18 2020 2051

y= − + + = − + =

Vậy với x = +7 18thì y=2051

Câu

a) Học sinh tựvẽ(P)

b) Tìm tọa độ……

Gọi điểm N x( );2 thuộc ( )P :y =2x2

Ta có: 2 1

2 2 1

1

x

x x

x

= 

= ⇔ = ⇔  = −



Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đềbài ( ) (1;2 ; −1;2)

Câu

a) Giải phương trình :

5 7 0

x + x− =

Ta có: ( )

5 4.1. 7 53 0

∆ = − − = > nên phương trình cho có hai nghiệm

5 53

2

5 53

2

x x

 − +

=  

 − −

Vậy phương trình cho có nghiệm: 5 53 2

x= − ±

b) Giải hệphương trình

7 18 9 27 3 3

2 9 7 18 7.3 18 3

x y x x x

x y y x y y

− = = = =

   

⇔ ⇔ ⇔

 + =  = −  = −  =

   

Vậy hệcó nghiệm ( ) ( )x y; = 3;3

c) Tìm giá trị m……

Xét phương trình: ( )

2 5 3 6 0

x − m+ x+m + m− =

Ta có:

( ) ( 2 ) 2 2

' m 5 m 3m 6 m 10m 25 m 3m 6 7m 31

∆ = − +  − + − = + + − − + = +

Đểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt

31

' 0 7 31 0

7

m m

∆ > ⇔ + > ⇔ > −

Vậy với 31

7

m> − phương trình cho có hai nghiệm phân biệt

Câu

Xét đường thẳng ( )d :y = + +x (5 m)có a=1và đường thẳng ( )d' :y=2x+(7−m)có

' 2

a =

Vì a≠a'nên hai đường thẳng ( ) ( )d , d' cắt Gọi M x y( ); giao điểm hai đường thẳng ( ) ( )d , d' Vì M x y( ); thuộc trục hoành nên M x( );0

Lại có M x( );0 thuộc ( )d :y = + +x (5 m)nên ta có: x+ + = ⇔ = − −5 m 0 x 5 m

Vì ( ) ( );0 ' : 2 (7 ) 2 7 0 7 2

m

M x ∈ d y= x+ −m ⇒ x+ − = ⇔ =m m −

7

5 7 2 10 3 3 1

2

m

m − m m m m

⇒ − − = ⇔ − = − − ⇔ = − ⇔ = −

Vậy m= −1là giá trị cần tìm

Câu

10 cm 6 cm

H A

Xét tam giác ABCvuông B, theo định lý Pytagota có:

2 2 2 2

10 6 64 64 8

AC =AB +BC ⇔BC = AC −AB = − = ⇒BC= = cm

Xét ∆ABCvng Bcó chiều cao BH,theo hệthức lượng tam giác vuông ta có:

. 6.8

. . 4,8( )

10

AB BC

BH AC AB BC BH cm

AC

= ⇔ = = =

Vậy BC=8cm BH, =4,8cm

Câu 7.

Ta có: AOBlà góc ởtâm chắn cung AmBnên sd cung AmB =AOB=650 Lại có:

   0

360 360 65 295

sd ACB+sd AmB= ⇒sd ACB= − = 

ACBlà góc nội tiếp chắn AmBnên  1  1.650 32,50

2 2

ACB= sd AmB= =

Vậy   

65 , 295 , 32,5

sd AmB= sd ACB= ACB=

Câu 8.

a) Chứng minh tứgiác AEHFnội tiếp

m

650

O C

A

B

Q

P I

D

E F

K

H O

A

Ta có:  

90 , 90

CF ⊥ AB⇒ AFC= BE⊥ AC⇒ AEB=

Tứgiác AFHEcó AFH +AEH =900 +900 =1800 ⇒Tứgiác AFHEnội tiếp

b) Chứng minh AH ⊥ BC

Kéo dài AHcắt BCtại D

Do BE CF, đường cao tam giác BE∩CF ={ }H nên H trực tâm ABC

∆ ⇒ ADlà đường cao ∆ABC⇒ AD⊥BC⇒ AH ⊥BC dfcm( )

c) Chứng minh AOlà đường trung trực đoạn thẳng PG

Xét tứgiác BFECcó BFC =BEC=900nên tứgiác nội tiếp (hai đỉnh kềnhau

nhìn cạnh đối diện góc nhau)

  AFE ACB

⇒ = (cùng bù với BFE) 1( )

Kẻđường kính AA',Gọi Ilà giao điểm AOvà PG

Tứgiác BACA'nội tiếp nên BAA '= BCA'(cùng chắn BA') 2( )

Từ(1) (2) suy :    AFE+BAA'= ACB+BC A'

Mà   

' ' 90

ACB+BCA = A CA= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên  

' 90

AFE+BAA = hay  AFI +FAI =900



90

AIF AO PG

⇒ = ⇒ ⊥ I.

I

⇒ trung điểm PG(tính chất đường kính dây cung)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH ĐỊNH

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số8

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

Mơn thi: TỐN Ngày thi: 18/7/2020 Thời gian làm bài: 120 phút Bài (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: 1 3

2

x

x

+ = −

2 Cho biểu thức 2 2 2 .( 1)( 0; 1)

1 1

x x

A x x x

x x

 + − 

= −  − ≥ ≠

+ −

 

a) Tính giá trị biểu thức Akhi x=4

b) Rút gọn biểu thức Avà tìm giá trị lớn A

Bài (2,0 điểm)

Cho parabol ( )

:

P y =x đường thẳng ( )d :y=2(m−1)x−2m+5(mlà tham số)

a) Chứng minh đường thẳng ( )d cắt Parabol ( )P hai điểm phân biệt với

mọi giá trịm

b) Tìm giá trị mđểđường thẳng ( )d cắt Parabol ( )P hai điểm phân biệt có

hồnh độtương ứng x x1, 2dương x1 − x2 =2

Bài (1,5 điểm)

Trong kỳthi chọn học sinh giỏi lớp cấp trường, tổng số học sinh đạt giải hai lớp 9 1A 9 2A 22 em, chiếm tỉ lệ 40%trên tổng số học sinh dựthi hai lớp Nếu tính riêng lớp lớp 9 1A có 50%học sinh dựthi đạt giải lớp 9 2A có 28% học sinh dựthi đạt giải Hỏi lớp có tất cảbao nhiêu học sinh dựthi ?

Bài (3,5 điểm)

Cho đường trịn tâm O, đường kính ABvà dlà tiếp tuyến đường tròn ( )O

tại điểm A Trên đường thẳng d lấy điểm M (khác A) đoạn OBlấy điểm N (khác

Ovà B).Đường thẳng MNcắt đường tròn ( )O hai điểm Cvà D cho Cnằm

M D.Gọi Hlà trung điểm đoạn thẳng CD

a) Chứng minh tứgiác AOHM nội tiếp đường tròn

b) Kẻđoạn DK song song với MO K( nằm đường thẳng AB).Chứng minh

 

MDK =BAH MA2 =MC MD.

c) Đường thẳng BCcắt đường thẳng OM điểm I Chứng minh đường thẳng

AI song song với đường thẳng BD

Bài (1,0 điểm)

Cho x y, sốthực dương thỏa mãn x+ =y 10.Tìm giá trị xvà yđểbiểu

thức ( )( )

1 1

ĐÁP ÁN Bài 1.

1

1) 3 1 2 6 7

2

x

x x x x

+

= − ⇔ + = − ⇔ =

Vậy S ={ }7 2)

a) Thay x=4(tmdk)vào biểu thức A ta có:

( )

4 2 2 4 2 4 2

1 .3 2

3 1

4 1 4 1

A= + − −  − = −  = −

+ −  

 

Vậy khi x= ⇒ = −4 A 2 b) Rút gọn:

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 1

2 2 2 2

. 1 . 1 1

1 1 1

. 1

x

x x x

A x x x

x x x

x x x x

 + −  + − −   = − − = − +  + −  +   = − − = − + Ta có:

( ) ( ) 2

2 1 1 1 1 1

2. .

2 2 4 2 4

A= − −x x = − x − x +   + = − x −  +

   

 

 

Vì ( )

2

1 1

0 0, 1

2 4

x A x x

 −  ≥ ⇒ ≤ ∀ ≥ ≠

 

 

Dấu " "= xảy 1 1( )

2 4

x x tm

⇔ = ⇔ =

Vậy max 1 1

4 4

A = ⇔ =x

Bài 2.

a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

Phương trình hồnh độgiao điêm (P) (d) là:

( ) ( ) ( )

2

2 1 2 5 2 1 2 5 0 *

x = m− x− m+ ⇔x − m− x+ m− = Phương trình (*) có:

( )2 2 2 ( )2

' m 1 2m 5 m 2m 1 2m 5 m 4m 4 2 m 2 4

∆ = − − + = − + − + = − + + = − +

Vì ( )2 ( ) ( )2 ( )

2 0 2 2 0

m− ≥ ∀m ⇒ m− + > ∀m

b) Tìm giá trịm

Xét phương trình ( ) ( )

2 1 2 5 0 *

x − m− x+ m− =

Đểđường thẳng ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2dương thì:

( ) ( )

0 0

5

0 2 1 0

2

0 2 5 0

m

S m m

P m

∆ > ∀ 

∆ > 



 > ⇔ − > ⇔ >

 

 >  − >

 

1

1

2 2

2 5

x x m

x x m

+ = −



 = −

 Theo đềbài ta có:

( )

( )

2

1 2 2

2 2

2 4 2 4

2 2 2 2 5 4 2 6 2 2 5 2 5 3

3 0 3 3

6 9 2 5 8 14 0

3 2 5

4 2( )

4 2( )

x x x x x x x x

m m m m m m

m m m

m m m m m

m m

m tm

m tm

− = ⇔ − = ⇔ + − =

⇔ − − − = ⇔ − = − ⇔ − = −

− ≥

  ≥  ≥



⇔ ⇔ ⇔

− + = − − + =

− = −

  



 = + ⇔ 

= − 

Vậy m= +4 2thỏa mãn toán

Bài 3.

Gọi số học sinh dựthi lớp 9 1A 9 2A x y, (học sinh) (x y, ∈)

Vì số học sinh đạt giải 22em, chiếm tỉ lệ 40%trên tổng số học sinh dựthi hai lớp nên ta có phương trình (x+ y).40%=22⇔ + =x y 55 1( )

Nếu tính riêng lớp thì:

Lớp 9 1A có số học sinh đạt giải 50% 1 2

x= x(học sinh)

Lớp 9 2A có số học sinh đạt giải 28% 7 25

y = y(học sinh)

Vì cảhai lớp có 22 học sinh đạt giải nên ta có phương trình:

( )

1 7

22 25 14 1100 2 2 x+ 25y= ⇔ x+ y =

Từ(1) (2) ta có hệphương trình:

55 25 25 1375 11 275 30

( )

25 14 1100 25 14 1100 55 25

x y x y y x

tm

x y x y x y y

+ = + = = =

   

⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = −  =

   

Vậy số học sinh dựthi 9 1: 30A học sinh; 9 : 25A học sinh

a) Chứng minh AOHM tứgiác nội tiếp

Ta có: MAlà tiếp tuyến ( )O ⇒MAO =900

Hlà trung điểm CD⇒OH ⊥CD={ }H (đường kính – dây cung)

 

90

OHC OHM

⇒ = =

Xét tứgiác AOHM có: MAO +OHM =900 +900 =1800mà hai góc đối diện nên

AOHM tứgiác nội tiếp (đpcm)

b) Chứng minh ∠MDH = ∠BAH và MA2 =MC MD.

Ta có: DK / /MO gt( )⇒ ∠MDK = ∠DMO(hai góc so le trong)

Vì AOHM tứgiác nội tiếp (cm câu a)⇒HMO =HAO(cùng chắn OH)

Hay BAD =DMO⇒BAH =MDK(=DMO dfcm)( )

Xét ∆AMCvà ∆DMAta có: Mchung; MDA =MAC(cùng chắn AC)

( ) AM MC . ( )

AMC DMA g g MA MC MD dfcm

DM MA

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇔ =

c) Chứng minh AI / /BD

F J

E I

K H

D C

B O

A M

Gọi Elà giao điểm MOvà BD.Kéo dài DK cắt BC F

Xét tứgiác AHKDcó  HAK =KDH (câu b)

AHKD

⇒ tứgiác nội tiếp (hai đỉnh kềcùng nhìn cạnh đối diện góc

nhau)⇒ ∠DAK = ∠DHK(góc nội tiếp chắn DK)

Mà ∠DAK = ∠DCB(cùng chắn DB)nên DHK =DCB

Hai góc ởvịtrí đồng vịnên HK / /CB⇒HK / /CF

Trong tam giác DCF, HK / /CF H, trung điểm CD nên K trung điểm FD

DK KF

⇒ = Lại có: DK / /MO⇒DF / /IE DK FK BK

OE OI BO

 

⇒ = = 

 

Mà DK =FK cmt( )⇒OE =OI

Xét tứgiác AIBEcó hai đường chéo IEvà ABcắt trung điểm Ocủa đường

nên AIBElà hình bình hành ⇒ AI / /BE⇒ AI / /BD dfcm( )

Bài 5.

Ta có:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

4

4 4 2

2

2

4 2

2

4

1 1 1 2 1

2 2 1

4. . 4 2 1

100 40 2 1

2 40 101

A x y x y xy x y xy xy

x y xy xy xy

x y x y xy xy xy xy

xy xy xy

xy xy xy

= + + = + + + = + − + +

 

= + −  − + +

= + − + + − + +

= − + + +

= + − +

Đặt t =xy.Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

( )2

5 0

2 4 2

x y

x y

xy  +  +

< ≤  = =

 

Khi ta có: 5

2 40 101 0

2

A= +t t − t+  < ≤t 

 

( ) ( )

( ) ( )

4 2

2 2

2

8 16 10 40 40 45

4 10 2 45 45

A t t t t

A t t

= − + + − + +

= − + − + ≥

Dấu " "= xảy

2 2

4 0

2( )

2 0 10

xy t

t tm

t x y

= 

 − = 

⇔ ⇔ = ⇔

− =  + =

 

Khi dó x y, nghiệm phương trình :X2 − 10X + =2 0

10 2 2

10 2

2

X X

 −

=  

 +

= 

( ) 10 2 10 2

; ;

2 2

x y  − + 

⇒ =  

 hoặc ( )

10 2 10 2

; ;

2 2

x y =  + − 

 

Vậy Amin =45⇔ ( ); 10 2; 10 2

2 2

x y  − + 

⇒ =  

 hoặc

( ) 10 2 10 2

; ;

2 2

x y =  + − 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH DƯƠNG ĐỀTHI CHÍNH THỨC

Đề số

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2020-2021

Mơn thi : TỐN Ngày thi : 09/7/2020

Thời gian làm : 120 phút (khơng tính

phát đề) Bài (2 điểm)

Giải phương trình, hệphương trình sau:

2 3 1

1) 12 0 2) 8 9 0 3)

6 2

x y

x x x x

x y

+ = − 

+ − = + − = 

+ = 

Bài (1,5 điểm)

Cho phương trình :

2020 2021 0

x − x+ = có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Khơng giải

phương trình, tính giá tịcác biểu thức sau :

2

1

1

1 1

1) 2)x x

x + x +

Bài (1,5 điểm)

Cho Parabol ( ) 3

: 2

P y = x đường thẳng ( ): 3 3

2

d y= − x+

1) Vẽđồthị (P) ( )d mặt phẳng tọa độ

2) Tìm tọa độcác giao điểm ( )P ( )d phép tính

Bài (1,5 điểm )

Cho biểu thức 1 1 : 1

1 2

x A

x x x x x x x

+

 

= + 

− − − +

 

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức Akhi x= −8 2 7

Bài (3,5 điểm)

Cho đường trịn (O cm;3 )có đường kính ABvà tiếp tuyến Ax.Trên Axlấy điểm Csao cho AC=8cm BC, cắt đường trịn ( )O D.Đường phân giác góc CADcắt

đường tròn ( )O M cắt BCtại N

1) Tính độdài đoạn thẳng AD

2) Gọi Elà giao điểm ADvà MB.Chứng minh tứgiác MNDEnội tiếp

trong đường tròn

3) Chứng minh tam giác ABNlà tam giác cân

ĐÁP ÁN Bài 1.

( ) ( ) ( )( )

2

2

1) 12 0

3 4 12 0

3 4 3 0

3 4 0

3 0 3

4 0 4

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

+ − =

⇔ − + − =

⇔ − + − =

⇔ − + =

− = =

 

⇔ ⇔ 

+ = = −

 

Vậy tập nghiệm phương trình S ={3; 4− }

4

2)x +8x − =9 0

Đặt 2( )

0 ,

t = x t≥ phương trình cho trởthành : t2 + − =8t 9 0

Phương trình có dạng a+ + = + − =b c 1 9 0nên phương trình có hai nghiệm

1

2

1( )

9( )

t tm

t ktm

=   = −



2

1 1 1

t= ⇒ x = ⇔ = ±x

Vậy tập nghiệm phương trình S = ±{ }1

3 1 6 2 2 3 4 1 1

3)

6 2 6 2 4 4

x y x y x x

x y x y y y

+ = − + = − − = − =

   

⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = −  = −

   

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) (x y; = 1; 4− )

Bài 2.

Xét phương trình : ( )

2020 2021 *

x − x+ =

Ta có:

' 1010 2021 1018079 0

∆ = − = > ⇒Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 1,

x x

Áp dụng định lý Vi−etta có:

1

2020 2021

x x

x x

+ =



 =



1

1 2

1 1 2020

)

2021

x x

a

x x x x

+

+ = =

( )2

2 2

1 2

) 2 2020 2.2021 4076358.

Bài 3.

1) Học sinh tự lập bảng vẽđồthị

2) Xét phương trình hoành độgiao điểm ( )P ( )d ta có:

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

3 3

3 3 3 6 3 3 6 0

2 2

2 0 2 2 0

2 2 0 1 2 0

3

1 0 1

2 2 0

2 6

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x y

x

x y

= − + ⇔ = − + ⇔ + − =

⇔ + − = ⇔ + − − =

⇔ + − + = ⇔ − + =



− = = ⇒ =

 

⇔ ⇔

 + =

  = − ⇒ =

Vậy tọa độgiao điểm A(−2;6)và 1;3 2

B 

 

Bài 4.

1) Rút gọn biểu thức A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 0

1 1 1

:

1

1 2

2 1 . 1

1 1

. .

1 1

1 . 1 1

1

x x

A

x

x x x x x x x

x x x x x

x x

A

x x

x x x x x x

A x

>

 

+

 

= +   

≠

− − − +

   

  − + + −

 

= + =

 − −  + − +

 

= −

2) Tính giá trịbiểu thức Akhi x = −8 2 7 Điều kiện : 0< ≠x 1 Ta có:

( ) ( )

( )

2

2

8 2 7 7 2 7.1 1 7 1

7 1 7 1 7 1 0

x

x Do

= − = − + = −

⇒ = − = − − >

Thay x = 7−1(tmDKXD)vào biểu thức A ta có:

7 1 7 2

A= − − = −

Vậy x = −8 2 7thì A= 7 −2

1) Tính độdài đoạn thẳng AD

Vì ADBnội tiếp nửa đường trịn (O) nên ADB=900 ⇒ AD⊥BDhay AD⊥BC

Ta có: Axlà tiếp tuyến ( )O Anên Ax⊥ ABhay AB⊥ AC

ABlà đường kính (O cm;3 )nên AB=2.3=6(cm)

Do ∆ABCvng A có đường cao AD

Áp dụng hệthức lượng tam giác vuông ABCta có:

2 2

1 1 1

AD = AB + AC

2 2

1 1 1 1 25 576

4,8( )

6 8 576 25 cm

AD AD

⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Vậy AD=4,8cm

2) Chứng minh MNDElà tứgiác nội tiếp

Ta có : 

( ) 90

AD⊥BC cmt ⇒EDN =

M

F E

N

D C

B O

Tương tựta có AMBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( )O nên AMB=900

AM BM

⇒ ⊥ hay 

90

AN ⊥BM ⇒EMN =

Xét tứgiác MNDEcó EDN +EMN =900 +900 =1800

Vậy tứgiác MNDElà tứgiác nội tiếp

3) Chứng minh ∆ABNlà tam giác cân

Ta có: CAN = ABM (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn AM)

 

MAD=MBD(hai góc nội tiếp chắn MD)

Mà CAN =MAD gt( )⇒ ABM =MBD,do BM tia phân giác ABN

Xét ∆ABNcó BM đường cao đồng thời đường phân giác nên tam giác ABN cân

( )

B dfcm

4) Chứng minh N E F, , thẳng hàng

Xét ∆ABNcó AD⊥BN cmt( ); BM ⊥ AN cmt( ); AD∩BM ={ }E (gt)

E

⇒ trực tâm tam giác ABN

Do NElà đường cao thứba tam giác ABNnên NE ⊥ AB

Lại có : EF ⊥ AB gt( )

⇒Qua điểm Enằm đường thẳng ABkẻđược hai đường thẳng EF NE,

vng góc với AB⇒ NE≡EF(Tiên đềƠ clit)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 10

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2020 ĐỀTHI MƠN TỐN (CHUNG)

Thời gian : 120 phút (không kểphát đề) Ngày thi 17/07/2020

Câu (2,0 điểm)

1 Tính giá trịcác biểu thức sau :

( )2

64 49 4 7 7

A= − B= + −

2 Cho biểu thức 2 3,( 0)

2

x x

Q x

x +

= − ≥

+

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tìm giá trị xđểbiểu thức Q=2

Câu (2,0 điểm)

1 Cho

( ) :

parabol P y =x đường thẳng ( )d :y=2x+3

a) Vẽparabol ( )P đường thẳng ( )d mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độgiao điểm parabol ( )P đường thẳng ( )d phép tính

2 Khơng sử dụng máy tính, giải hệphương trình sau : 2 3 3

3 6

x y

x y

− =



 + = 

Câu (2,5 điểm)

1 Cho phương trình ẩn x:x2 −5x+(m−2)=0 (1)

a) Giải phương trình ( )1 với m=6

b) Tìm mđểphương trình ( )1 có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2thỏa mãn hệ thức

1

1 1 3

2

x + x =

2 Một đất hình chữnhật có chiều dài chiều rộng 4mvà có diện tích

2

320m .Tính chu vi đất

Câu (1,0 điểm)

Cho tam giác ABCvng A,có cạnh 

8 , 60

AC= cm B= Tính sốđo góc Cvà

độdài cạnh AB BC, ,đường trung tuyến AM tam giác ABC

Câu (2,5 điểm)

Từmột điểm Tởbên đường tròn ( )O ,Vẽhai tiếp tuyến TA TB, với đường tròn ( ,A Blà hai tiếp điểm) Tia TOcắt đường tròn ( )O hai điểm phân biệt Cvà D (C

nằm T O) cắt đoạn thẳng ABtại điểm F

a) Chứng minh : Tứgiác TAOBnội tiếp

c) Vẽđường kính AGcủa đường trịn ( )O .Gọi Hlà chân đường vng góc kẻtừ

điểm Bđến AG I, giao điểm TGvà BH.Chứng minh Ilà trung diểm

BH

ĐÁP ÁN

Câu

( )2

1) 64 49 8 1

4 7 7 4 7 7 4 7 7 4

A B

= − = − =

= + − = + − = + − =

2) a) Rút gọn biểu thức Q

Với x≥0ta có:

( 2)

2

3 3 3

2 2

x x

x x

Q x

x x

+ +

= − = − = −

+ +

Vậy với x≥0thì Q= x −3

b) Tìm giá trị x để Q=2

Ta có: Q= ⇔2 x − = ⇔3 2 x = ⇔ =5 x 25(tm)

Vậy để Q=2thì x=25

Câu

1) a) Học sinh tựvẽ(P) ( )d

b) Tìm tọa độgiao điểm

Xét phương trình hồnh độgiao điểm ( )P ( )d ta có:

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 3 2 3 0 3 3 0

1 3 1 0 1 3 0

1 0 1 1

3 0 3 9

x x x x x x x

x x x x x

x x y

x x y

= + ⇔ − − = ⇔ + − − =

⇔ + − + = ⇔ + − =

+ = = − ⇒ =

 

⇔ ⇔ 

− = = ⇒ =

 

Vậy ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có tọa độ (−1;1)và ( )3;9 2) Giải hệphương trình……

3 9

2 3 3 3

6

3 6 1

3

x

x y x

x

x y y y

= 

− = =

 ⇔ ⇔

 + =  −  =

=

  

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 3;1

Câu

1 a) Giải phương trình m=6

Với m=6thì phương trình (1) trởthành:

( ) ( ) ( )( )

2

5 4 0 4 4 0 1 4 1 0

1

4 1 0

4

x x x x x x x x

x

x x

x

− + = ⇔ − − + = ⇔ − − − =

= 

⇔ − − = ⇔  =

Vậy với m=6thì tập nghiệm phương trình S ={ }1;4

b) Tìm m để………

Đểphương trình ( )1 có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2thì

0 0 0 S P ∆ >   >   > 

( )2 ( )

5 4. 2 0

25 4 8 0 33 4 0 33

5 0( ) 2

2 2 4

2 0

m

m m

luon dung m

m m

m

 − − − >

  − + >  − >



⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ < <

> >

 

 − ≥ 

Khi áp dụng hệthức Vi – et ta có:

1

5 2

x x

x x m

+ =



 = −

 Theo đềbài ta có:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 2

1 2

1 2

1 1 3 3

2 3

2 2

4 2 9 4 5 2 2 9 2

9 2 8 2 20 0 *

x x

x x x x

x x x x

x x x x x x m m

m m

+

+ = ⇔ = ⇔ + =

⇔ + + = ⇔ + − = −

⇔ − − − − =

Đặt t = m−2(t ≥0), phương trình (*) trởthành:

( ) ( ) ( )( )

2

9 8 20 0 9 18 10 20 0 9 2 10 2 0

2( ) 2 0

2 9 10 0 10

9 10 0 ( )

9

t t t t t t t t

t tm t

t t

t t ktm

− − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = =  − =   ⇔ − + = ⇔ ⇔  + = = −  

Với t = ⇒2 m− = ⇔ − = ⇔ =2 2 m 2 4 m 6(tm)

Vậy m=6

2 Tính chu vi đất

Gọi chiều rộng đất x m( ) (, x>0)⇒Chiều dài đất x+4( )m

Vì đất có diện tích

320m ,nên ta có phương trình :

( )

( ) ( ) ( )( )

2

4 320 4 320 0 16 20 320 0

16 20 16 0 16 20 0

16 0 16( )

20 0 20( )

x x x x x x x

x x x x x

x x tm

x x ktm

+ = ⇔ + − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ − + = − = =   ⇔ ⇔ + = = −  

⇒Chiều rộng đất 16 ,m chiều dài đất 16+ =4 20m

Vậy chu vi đất : (16+20 2) =72( )m

Vì ∆ABCvng A nên B + =C 900(phụnhau)⇒ =C 900 − =B 900 −600 =300 Ta có:

( )

0

0

0

0

8 8 3

tan 60

tan 60 3 3

8 16 3

sin 60 ( )

sin 60 3 3

2

AC AC

AB cm

AB

AC AC

BC cm

BC

= ⇒ = = =

= ⇒ = = =

Tam giác ABCvng Acó đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên:

( )

1 1 16 3 8 3

.

2 2 3 3

AM = BC = = cm

Vậy  8 3 16 3

30 , ,

3 3

C= AB= AM = cm BC= cm

Câu

8 cm

600

M A

B

C

K I H

G

F D

C

B A

a) Chứng minh tứgiác TAOHnội tiếp

Ta có: TA TB, hai tiếp tuyến ( )O A, B (gt)

 

90

TA OA

TAO TBO

TB OB

⊥ 

⇒ ⇒ = =

⊥ 

Xét tứgiác TAOBta có: TAO TBO + =900+900 =1800, mà hai góc hai góc đối diện nên TAOBlà tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh: TC TD. =TF TO.

Ta có:OA=OB= ⇒R Othuộc đường trung trực AB

TA TB= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)⇒T thuộc đường trung trực AB TO

⇒ đường trung trực AB⇒TO⊥ AB={ }F

Áp dụng hệthức lượng cho ∆TAOvng Acó đường cao AFta có:

2

. (1)

TA =TF TO

Xét ∆TACvà ∆TDAta có:



Tchung; TDA TAC = (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn AC)

( )

2

( ) TA TC . 2

TAC TDA g g TA TC TD

TD TA

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Từ(1) (2) ( 2)( )

. .

TF TO TC TD TA dfcm

⇒ = =

c) Chứng minh Ilà trung điểm BH

Gọi AB∩TG ={ }K

Ta có: AT OA AT AG BH / /AT  ABH TAB

BH AG

⊥ ⇒ ⊥



⇒ ⇒ =

 ⊥

 (so le trong)

Mà TA TB= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ∆TABcân T

   

TAB TBA ABH TBA BK

⇒ = ⇒ = ⇒ phân giác TBH

Ta có: 

90

ABG= (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒BA⊥BGhay BK ⊥BG

Do BGlà phân giác ngồi TBH

Áp dụng định lý đường phân giác ta có: BI KI GI

BT = KT =GT

Lại có KI BI ;GI IH

KT = AT GT = AT (định lý Ta – lét )

Do BI IH BI IH

AT = AT ⇒ =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 11

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÔNG LẬP

Năm học 2020 – 2021

Mơn thi: TỐN Thời gian : 120 phút Bài (1,0 điểm)

Rút gọn biểu thức A=( 6 + 3 3) −3 2

Bài (2,0 điểm)

Giải phương trình hệphương trình sau:

2 7

) 2 3 0 )

2 5

x y

a x x b

x y

+ = 

+ − = 

− = 

Bài (2,0 điểm)

a) Vẽđồthị hàm số

y =x mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Cho hàm số y =mx+ncó đồthịlà ( )d .Tìm giá trị mvà nbiết ( )d song song với

đường thẳng ( )d' :y = +x 3và qua điểm M ( )2;4

Bài (1,0 điểm)

Lớp 9Acó 80quyển dựđịnh khen thưởng học sinh giỏi cuối năm Thực tếcuối năm tăng thêm 2học sinh giỏi, nên phần thưởng giảm 2quyển vởso với dựđịnh

Hỏi cuối năm lớp 9Acó học sinh giỏi, biết phần thưởng có sốquyển

bằng

Bài (4,0 điểm)

Cho nửa đường tròn ( )O đường kính AB =2 R Trên đoạn thẳng OBlấy điểm M

(M khác Ovà B).Đường thẳng vng góc với MNtại Ncắt tiếp tuyến Ax By,

nửa đường tròn ( )O Cvà D (Ax By, nửa đường tròn thuộc nửa

mặt phẳng bờ AB)

a) Chứng minh tứgiác ACNM nội tiếp

b) Chứng minh AN MD. =NB CM.

c) Gọi Elà giao điểm ANvà CM.Đường thẳng qua Evà vng góc với BD,cắt

MDtại F.Chứng minh N F B, , thẳng hàng

d) Khi 

60 ,

ABN = tính theo Rdiện tích phần nửa hình trịn tâm O bán kính R

nằm ∆ABN

Bài 1.

( 6 3 3) 3 2 18 3 3 3 2 3 2 3 2 3

A= + −

= + −

= + −

=

Vậy A=3

Bài Giải phương trình hệphương trình

( ) ( ) ( )( )

2

) 2 3 0 3 3 0 3 3 0

1 0 1

1 3 0

3 0 3

a x x x x x x x x

x x

x x

x x

+ − = ⇔ + − − = ⇔ + − + =

− = =

 

⇔ − + = ⇔ ⇔

+ = = −

 

Vậy S={ }1; 3−

7 3 12 4

)

2 5 7 3

x y x x

b

x y y x y

+ = = =

 ⇔ ⇔

 − =  = −  =

  

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 4;3

Bài 3.

a) Học sinh tựvẽ(P)

b) Tìm m n …………

Vì đường thẳng ( )d song song với đường thẳng ( )d' :y = +x 3nên ta có 1

3

m n

=   ≠  Khi phương trình đường thẳng ( )d có dạng y = +x n n( ≠3)

Mà M( ) ( )2;4 ∈ d ⇒ = + ⇔ =4 2 n n 2(tm) Vậy m=1,n=2

Bài 4.

Gọi số học sinh giỏi lớp 9Atheo dựđịnh x(học sinh) (x∈*)

⇒Dựđịnh, phần thưởng có sốquyển vở: 80

x (quyển vở)

Số học sinh giỏi thực tế lớp 9Alà :x+2(học sinh)

⇒Thực tế, phần thưởng có sốquyển vởlà : 80

2

x+ (quyển vở)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

80 80

2 80 2 80 2 2

2

80 160 80 2 4

2 80 0 10 8 80 0

10 8 10 0

10( )

10 8 0

8( )

x x x x

x x

x x x x

x x x x x

x x x

x ktm

x x

x tm

− = ⇔ + − = +

+

⇔ + − = +

⇔ + − = ⇔ + − − =

⇔ + − + =

= − 

⇔ + − = ⇔  =



Vậy cuối năm lớp 9A có 8+ =2 10học sinh giỏi

Bài 5.

a) Chứng minh tứgiác ACNM nội tiếp

Vì AClà tiếp tuyến ( )O Anên MAC =900

Vì MN ⊥CDtại Nnên ∠MNC = ∠MND=900

Xét tứgiác ACNM có: MAC +MNC=900 +900 =1800

ACNM

⇒ tứgiác nội tiếp (tứgiác có tổng hai góc đối

180 )

b) Chứng minh AN MD. =NB CM.

Vì BDlà tiếp tuyến ( )O B nên ∠MBD=900

Xét tứgiác BMNDcó: ∠MBD+ ∠MND=900+900 =1800

BMND

⇒ tứgiác nội tiếp ⇔ ∠MDN = ∠MBN (cùng chắn cung MN)

x

y

1

1 1

1

F E

D C

O

A B

N

ABN MDC

⇒ ∠ = ∠

Vì ACNM tứgiác nội tiếp (câu a)⇒ ∠MAN = ∠MCN (cùng chắn cung MN)

 

BAN MCD

⇒ =

Xét ∆ABNvà ∆CDN có: ∠ABN = ∠MDC cmt( );∠BAN = ∠MCD cmt( )

( ) AN NB

ABN CDM g g

CM MD

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ AN MD. =NB CM dfcm. ( )

c) Chứng minh N F B, , thẳng hàng.

Gọi E=BN ∩DM,ta chứng minh EF ⊥BD

Vì ∆ABN  ∆CDM cmt( )nên  ANB=CMDmà ANB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường

tròn)   

90 90

CMD ENF EMF

⇒ = ⇒ = =

Xét tứgiác MENFcó ENF +EMF =900 +900 =1800

MENF

⇒ tứgiác nội tiếp (tứgiác có tổng hai góc đối

180 ).

 

1

N E

⇒ = (hai góc nội tiếp chắn cung MF)

Mà N 1= D1(hai góc nội tiếp chắn cung BM)⇒E 1 =D1( )1

Vì ∆BDM vng B nên  D1+BMD=900(hai góc nhọn tam giác vng phụ

nhau)

Mà    0 0

1 180 180 180 90 90

BMD+CMD+M = ⇒ ∠M + ∠BMD= − ∠CMD= − =

 ( )

1 2

D M

⇒ =

Từ(1) (2) suy  E1 =M1mà hai góc ởvịtrí so le nên

/ / / /

EF AM hay EF AB Lại có AB⊥BD gt( )⇒EF ⊥BD

Vậy đường thẳng qua Evng góc với BDcắt MDtại F∈BN dfcm( )

d) Khi 0,

60

ABN

∠ = , tính theo R diện tích …

Xét tam giác vng ABN vng N có AB=2 ,R ABN=60 (0 gt)ta có:

.sin 2 sin 60 3

AN = AB ∠ABN = R =R

0 .cos 2 cos 60

BN = AB ∠ABN = R =R

2

1 1 3

. 3.

2 2 2

ABN

R

S AN BN R R

⇒ = = =

Diện tích nửa hình trịn tâm (O R; )là 1

2 r

S = πR

Vậy diện tích phần nửa hình trịn tâm O, bán kính R nằm ∆ABNlà:

( )

2

2

1 3

3

2 2 2

r ABN

R R

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CÀ MAU

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

Đề số 12

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn thi:Tốn (khơng chun) Ngày thi: 23/7/2020 Thời gian : 120 phút

Bài (1,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A=(5− 11 5)( + 11)− −(3 3)2

b) Rút gọn biểu thức ( )( ) 0

0

x y y x x y x

B

y xy

+ −  > 

=  

>

 

Bài 2.(1,0 điểm)

a) Giải hệphương trình:

3x x 10 0

− + + =

b) Giải hệphương trình : 3 2 4

4 13

x y

x y

+ = −



− + = − 

Bài 3.(1,5 điểm) Cho Parabol ( ) 3 :

2

P y= x

a) Vẽđồthị ( )P

b) Tìm mđểđường thẳng ( )d :y= +x mcắt ( )P hai điểm phân biệt

Bài 4.(1,5 điểm) Vừa qua, phủđã điều chỉnh giảm 10%giá bán lẻđiện từbậc đến bậc cho khách hàng sử dụng điện sinh hoạt bịảnh hưởng dịch Covid – 19 ba

tháng 4,5,6 năm 2020 Cụthểnhư sau:

BẬC

GIÁ BÁN ĐIỆN

(đã làm trò đến đơn vịđồng/kWh)

Tháng (trước điều chỉnh)

Tháng (sau điều chỉnh)

Bậc 1: Cho kWh từ0 – 50 1678 đồng/kWh 1510 đồng/kWh

Bậc 2: Cho kWh từ51 – 100 1734 đồng/kWh 1561 đồng/kWh

Bậc 3: Cho kWh từ101 – 200 2014 đồng/kWh 1813 đồng/kWh

Bậc 4: Cho kWh từ201 – 300 2536 đồng/kWh 2282 đồng/kWh

Bậc 6: Cho kWh từ401 trởlên 2927 đồng/kWh 2927 đồng/kWh Dựa vào số liệu bảng trên, giải tốn sau:

Gia đình dì Năm Huệđa trảtổng cộng 249580đồng tiền điện sinh hoạt cho hết tháng

3 tháng năm 2020 Biết hai tháng gia đình dì Năm Huệtiêu thụ hết 155

kWh tháng mức điện tiêu thụchưa đến 100 kWh lớn 50 kWh Hãy tính

xem điện tiêu thụtrong tháng gia đình dì Năm Huệlà kWh ?

Bài 5.(1,5 điểm) Cho phương trình : ( )

2 4 8 0

x − m+ x+m − = (m:tham số)

a) Giải phương trình m= −1

b) Tìm mđểphương trình cho có hai nghiệm x x1, 2và A= +x1 x2 −3x x1 2đạt giá trị

lớn nhất, tìm giá trị lớn

Bài 6.

Câu 1.Cho tam giác ABCcó góc nhọn Vẽcác đường cao BD CE, tam giác .

ABC Gọi Hlà giao điểm BD CE,

a) Chứng minh tứgiác ADHEnội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng: DE AC. = BC AE.

c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh OA⊥DE

Câu Tàu ngầm ởtrên mặt biển đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt

nước biển góc

20

a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống 400mthì ởđộsâu mét

b) Tàu phải chạy mét đểđạt đến độsâu 1000 ?m

(Lầm tròn kết quảđến mét) ĐÁP ÁN

Bài 1.

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2

) 5 11 5 11 3 5 25 11 9 6 5 5 6 5

0 )

0

a A

x y y x x y x xy x y x y

b B x y

y

xy xy

= − + − − = − − − + =

+ −  >  + −

=  = = −

>

 

Bài 2.

4

) 3 10 0

a − x +x + =

Đặt

t =x , phương trình thành:

( ) ( ) ( )( )

2

3 10 0 3 6 5 10 0 3 2 5 2 0

2( )

2 3 5 0 5 2

( ) 3

t t t t t t t t

t tm

t t x

t ktm

− + + = ⇔ − + − + = ⇔ − − − − =

=  

⇔ − − − = ⇔ − ⇒ = ±

3 2 4 3 2 4 11 22 2 )

4 13 8 2 26 4 13 5

x y x y x x

b

x y x y y x y

+ = − + = − = =

   

⇔ ⇔ ⇔

− + = − − + = −  = −  = −

   

Vậy ( ) (x y; = 2; 5− )

Bài 3.

a) Học sinh tựvẽparabol (P)

b) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

⇔phương trình hồnh độgiao điểm 3 ( )

1

2x = +x m có hai nghiệm phân biệt

Ta có ( )

1 ⇔3x −2x−2m=0

1

' 6 0

6

m m

∆ = + > ⇔ > −

Vậy 1 6

m> −

Bài 4.

Gọi mức tiêu thụtháng tháng nhà a b k, ( W ,50h <a b, <100) Theo ta có hệ:

( ) ( )

155

50.1678 50 1734 50.1510 50 1561 249580

155 75

( )

1734 1961 254930 80

a b

a b

a b a

tm

a b b

+ = 

 + − + + − =



+ = =

 

⇔ ⇔

+ = =

 

Vậy mức tiêu thụđiện tháng 80 Wk h

Bài 5.

a) Với m= −1ta có:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

2

2 1 4 1 8 0 6 7 0

7 7 0 7 7 0

7

7 1 0

1

x x x x

x x x x x x

x

x x

x

− − + + − − = ⇔ − − =

⇔ − + − = ⇔ − + − =

= 

⇔ − + = ⇔  = −



Vậy m= − ⇒ = −1 S { 1;7}

b) Đểphương trình cho có nghiệm

( )2 2

' 0 m 4 m 8 0 8m 24 0 m 3

⇔ ∆ ≥ ⇔ + − + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −

Áp dụng hệthức Vi – et ta có: ( )

2

2 4

8

x x m

x x m

+ = +

 

= −

( ) ( )

1 2

2

3 2 4 3 8

1 1

3 2 32 3 32

3 3

A x x x x m m

m m m

= + − = + − −

 

= − + + = −  −  + +

 

Do ( )

2

1 1 97

0 3 32

3 3 3

m m A

 −  ≥ ∀ ≥ − ⇒ ≤ + =

 

 

Vậy 97 1( )

3 3

MaxA= ⇔ =m tmdk

Bài 6.

Câu

a) Theo giảthiết, ta có:  

90

AEH =ADH = ⇒tứu giác ADHEnội tiếp đường tròn

b) Vì  

90 ( )

BDC =BEC = gt nhìn cạnh BC nên BEDClà tứgiác nội tiếp

     

180 180

BED BCD BCA BCD BED DEA

⇒ + = ⇒ = = − =

Xét ∆AEDvà ∆ACBcó: DAEchung;  DEA=BCA cmt( )

( ) AE AC . . ( )

AED ACB g g DE AC BC AE dfcm

DE BC

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

c) Gọi OA∩ED={ }F

Ta có:     ( )

180 180 1

AFD= −FAD−FDA= −OAC−EDA

Xét ∆OACcó OA=OC⇒ ∆OACcân O

H F

D E

O B

A

 1800  ( )

90 2

2

AOC

OAC − ABC

⇒ = = −

Lại có: EDA = ABC(do ∆AED∆ACB) 3( )

Từ(1), (2), (3)  ( ) 

180 90 90

AFD ABC ABC

⇒ = − − − =

( )

AF FD hay AO ED dfcm

⇒ ⊥ ⊥

Câu

a) Tàu ởđộsâu:

.sin 20 137( )

AC=BC ≈ m

b) Sốmét tàu chạy: 0 10000 2924( )

sin 20 sin 20

AC

BC= = ≈ m

200

400m

A C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 13

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 1O THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Khóa ngày : 24 tháng năm 2020 MƠN: TỐN

Thời gian làm : 120 phút

A.PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Căn bậc ba 1728là :

.12 .42 .576 .1728

A B C D

Câu 2.Hàm sốnào hàm sốbậc ?

2 2

. . 5 16 . 5 7 .

A y B y x C y x D y x

x

= − = − = − = −

Câu Hàm số 1 2

y= − x có đồthịlà hình vẽnào ?

Câu 4.Nghiệm hệphương trình 2 1

2 4

x y

x y

+ = − 

 + =

 là:

( ) ( ) ( ) ( )

3; 2 . 3;2 . 2;3 2; 3

Câu 5.Diện tích hình trịn có bán kính R=5cmbằng

2 2

.20 .25 .50 .10

A πcm B πcm C πcm D πcm

Câu 6.Điều kiện xđểbiểu thức x−4có nghĩa :

. 4 . 4 . 4 . 4

A x≤ B x≤ − C x≥ D x≥ −

Câu 7.Từmột điểm M nằm bên ngồi đường trịn (I R; )vẽhai tiếp tuyến MP MQ, (hình

minh họa phía dưới) Gọi Hlà giao điểm PQvà IM.Khẳng định dướu sai ?

2 2

. . . .

A MP =IM −IP B HP=HQ C IM =R D MP=MQ

Câu Cho tứgiác ABCDnội tiếp đường trịn ABC =60 0 Sốđo góc ADCbằng

0 0

.180 .60 .90 .120

A B C D

Câu 9.Tập nghiệm phương trình

2 8 0

x + x− = là:

{ } { } { } { }

. 4; 2 2;4 . 2;4 . 4;2

A − − B C − D −

Câu 10 Điểm dây giao điểm đường thẳng ( )d :y=2x+1và parabol

( )

: 3 ?

P y= x

( ) ( ) ( ) ( )

. 1;3 1;3 1; 3 . 1; 1

A − B C − D − −

H

Q P

I M

600

D C

Câu 11.Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụcó kích thước

hình vẽbên Thẻtích bồn chứa xăng (lấy giá trịgần π =3,14và

kết quảlàm tròn đến chữsốthập phân thứnhất )

3 3

.12,9 .8,1 .12,1 .64,8

A m B m C m D m

Câu 12.Một khu vườn hình chữnhật có chu vi 260mvà hai lần chiều dài lớn ba

lần chiều rộng 10 m Chiều dài chiều rộng khu vườn :

.76 ,54 .54 ,76 .80 ,50 .50 ,80

A m m B m m C m m D m m

Câu 13.Giá trị biểu thức 3 5−4 125+ 180bằng:

.29 11 5 11 .29 5

A B − C − D

Câu 14 Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình 2x2 +5x+ =1 0.Giá trị biểu thức

1 3

x +x − x x bằng:

4 .1 1 .4

A − B C − D

Câu 15 Tất cảgiá trịtham số msao cho hệphương trình 4 1

1

mx y

x y

+ =



 − = −

 có nghiệm

nhất :

. 1 . 4 . 1 . 4

A m≠ − B m≠ − C m≠ D m≠

Câu 16 Cho đường tròn ( )O có bán kính R=5cmvà đường thẳng ( )d cắt ( )O hai

điểm phân biệt A B, cho AB=6cm.Khoảng cách từtâm Ođến đường thẳng ( )d

bằng: A cm.8 B.12cm C cm.2 D cm.4

Câu 17 Cho đường thẳng ( )d1 :y =ax+bđi qua điểm M( )1;2 đồng thời song song với đường thẳng ( )d1 :y=3x+4.Giá trị biểu thức a2 +b2bằng:

.28 .27 .10 .52

A B C D

3,64m

Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ, cho M(−1;2 ,) ( ) (N 2;1 ,P 1; ,− ) (Q −2;1 ) Điểm có

tọa độlà nghiệm hệphương trình 3 1?

2 0

x y

x y

+ = 

 + =



A Điểm Q B Điểm M C Điểm N D Điểm P

Câu 19 Cho hàm số y= − +3x bcó đồthịđi qua điểm M(− −1; 2) Giá trị bbằng

.5 .1 7 5

A B C − D −

Câu 20 Từđỉnh tịa nhà cao 70 ,m người ta nhìn thấy tơ đỗởvịtrí A

với góc

50 (minh họa hình vẽ) Khoảng cách từA đến vịtrí B tịa nhà

(Kết quảlàm tròn đến chữsốthập phân thứnhất)

.45,0 .58,7 .83, 4 .53,6

A m B m C m D m

B.PHẦN TỰLUẬN (6,0 điểm)

Câu (1,5 điểm) Giải phương trình hệphương trình sau :

2 2 6

)3 5 2 0 )4 3 1 0 )

2 3 10

x y

a x x b x x c

x y

− + = − 

+ − = + − = 

− =



Câu (1,0 diểm)

a) Vẽđồthị hàm số

2

y = x

b) Tìm tất cảcác giá trị tham số msao cho phương trình

2

2 3 6 0

x − mx+m − m+ = có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn

( )

2

1 2 7 12

x + x −x x = x + x −

Câu (1,0 điểm) Một trường THCS A tổ chức cho giáo viên học sinh tham quan khu du lịch sinh thái vào cuối năm học Giá vé vào cổng giáo viên học sinh

70 m

500

lần lượt 70000đồng 50 000 đồng Nhằm thu hút khách du lịch vào dịp hè, khu du

lịch giảm 10% cho vé vào cổng Biết đoàn tham quan có 150 người tổng số

tiền mua vé 7 290000đồng Hỏi trường THCS Acó giáo viên

học sinh du lịch ?

Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn AB< AC.Vẽđường cao AH,

đường trịn đường kính HBcắt ABtại D đường trịn đường kính HCcắt AC E

a) Chứng minh tứgiác ADHEnội tiếp

b) Gọi Ilà giao điểm hai đường thẳng DEvà BC.Chứng minh IH2 =ID IE.

c) Gọi M N, giao điểm đường thẳng DEvới đường trịn đường kính

HB đường trịn đường kính HC.Chứng minh giao điểm hai đường

thẳng BM CN nằm đường thẳng AH.

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

1A 2C 3A 4C 5B 6C 7C 8D 9D 10B

11A 12C 13B 14A 15B 16D 17A 18D 19D 20B

II Tựluận

Câu

( ) ( ) ( )( )

2

)3 5 2 0 3 6 2 0

3 2 2 0 2 3 1 0

2 2 0

1

3 1 0

3

a x x x x x

x x x x x

x x

x x

+ − = ⇔ + − − =

⇔ + − + = ⇔ + − =

= −  + =

 

⇔ ⇔



− = =

 

4

)4 3 1 0

b x + x − =

Đặt ( )

0

x =t t≥ ⇒ ptthành: 4t2 + − =3t 1 0

( ) ( ) ( )( )

2

4 4 1 0 4 1 1 0

1( )

1 4 1 0 1 1

( )

4 2

t t t t t t

t ktm

t t

t tm x

+ − − = ⇔ + − + =

= −  

⇔ + − = ⇔

 = ⇒ = ±



Vậy 1

2

S = ± 

 

2 4

2 6 2

) 6

2 3 10 2

2

y

x y y

c y

x y x x

− =



− + = − = −

 ⇔ ⇔

 − =  = +  =

  

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) (x y; = 2; 2− )

a) Học sinh tự vẽđồthị(P) b) Tìm tất cảgiá trịm………

Phương trình 2

2 3 6 0

x − mx+m − m+ = có hai nghiệm x x1, 2 ⇔ ∆ >' 0

2

3 6 0 2

m m m m

⇔ − + − > ⇔ >

Vậy m>2thì phương trình cho có hai nghiệm x x1, 2phân biệt

Áp dụng hệthức Vi – et ta có:

2

2

3 6

x x m

x x m m

+ =



 = − +

 Theo đềbài ta có:

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

2

1 2

2

7 12

3 7 12 0

4 3 3 6 7.2 12 0

x x x x x x

x x x x x x

m m m m

+ − = + −

⇔ + − − + + =

⇔ − − + − + =

2

2

4 3 9 18 14 12 0

5 6 0 6 6 0

m m m m

m m m m m

⇔ − + − − + =

⇔ − − = ⇔ − + − =

( 6) ( 6) 0 ( 6)( 1) 0 6( )

1( )

m m m m m

m tm

m ktm

⇔ − + − = ⇔ − + =

=  ⇔  = −

Vậy m=6

Câu

Gọi sốgiáo viên x(người), (ĐK: x∈*,x<150)⇒Số học sinh : 150−x(người)

Sốtiền phải trảcho sốvé giáo viên: 70000x(đồng)

Sốtiền phải trảcho sốvé học sinh 50000 150( −x)(đồng)

Nên tổng sốtiền phải trảlịa 70000x+50000 150( −x)(đồng)

Vì khu du lịch giảm 10%cho vé vào cổng đoàn tham quan phải trảlà 7 290000

đồng nên ta có phương trình:

( ) ( )

( )

70000 50000 150 .90% 7 290000

7 5 150 .90% 729

7 5 150 810 7 750 50 810

2 60 30( )

x x

x x

x x x x

x x tm

+ − =

 

 

⇔ + −  =

⇔ + − = ⇔ + − =

⇔ = ⇔ =

Câu

a) Chứng minh tứgiác ADHEnội tiếp

Ta có: BDH góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BH ⇒BDH=900



CEH góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính CH ⇒CEH =900

Xét tứgiác ADHEta có: ADH +AEH =900 +900 =1800 ⇒ ADHElà tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh: .

IH =ID IE

Ta có: ADHElà tứgiác nội tiếp (cmt)⇒ ∠DAH = ∠DEH (cùng chắn DH)

Hay BAH = ∠IEH,lại có BAH = BHD(cùng phụvới ∠DBH)

 ( )

BHD IEH BAH

⇒ = = hay BHD =IEH

Xét ∆IDH ∆IHEta có: ∠Ichung;  IHD=IEH cmt( )

( ) ID IH . ( )

IDH IHE g g ID IE IH dfcm

IH IE

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

c) Chứng minh giao điểm hai đường thẳng BM CN, nằm đường thẳng AH

Gọi giao điểm BM CN K

Ta có: ∠BMHlà góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BH ⇒ ∠BMH =900

Hay MH ⊥ BK, chứng minh tương tự ⇒NH ⊥ KC

Vì ADHElà tứgiác nội tiếp (cmt) nên DAH =DEH(cùng chắn cung DH)hay

 

BAH =MEH

Vì BDMHlà tư giác nội tiếp đường trịn đường kính BD MH,

K

I

N

M E

D

H A

 

HME DBH

⇒ = (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện)

Hay EMH =ABH mà BAH +ABH =900 ⇒MBH +HME =900



90

MHE

⇒ = hay MH ⊥HE

Mà HE⊥ AC⇒MH / /AC

Lại có: MH ⊥ BK cmt( )⇒BK ⊥ AC, chứng minh tương tự: CK ⊥ AB

K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 14

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

Mơn Tốn

Thời gian làm : 120 phút

Câu (4,0 điểm)

1) Thực phép tính: 5 9 −3 4

2) Tìm ađểđồthịhàm số y=ax+5đi qua điểm M(3; 1− )

3) Giải hệphương trình:

2x −3x+ =1 0

4) Giải hệphương trình: 4 5 3

3 5

x y

x y

+ =



 − = 

Câu (2,0 điểm)

Bác An x ô tô từCao Bằng đến Hải Phòng Sau nửa quãng đường,

bác An cho xe tăng vận tốc thêm 5km h/ nên thời gian nửa quãng đường sau

thời gian nửa quãng đường đầu 30phút Hỏi lúc đầu bác An xe với vận tốc bao

nhiêu ? Biết khoảng cách từCao Bằng đến Hải Phòng 360km.

Câu (1,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông A.Biết AB=6cm AC, =8cm.

a) Tính độdài cạnh BC

b) Kẻđường cao AH.Tính độdài đoạn AH

Câu (2.0 điểm)

Qua điểm Anằm đường tròn ( )O vẽhai tiếp tuyến ABvà ACcủa đường

tròn ( ,B Clà tiếp điểm)

a) Chứng minh ABOClà tứgiác nội tiếp

b) Kẻđường thẳng qua diểm Acắt đường tròn ( )O hai điểm Evà F cho E

nằm A F Chứng minh BE CF. =BF CE.

Câu (1,0 điểm)

Tìm giá trịnhỏnhất, giá trị lớn biểu thức

2 1

2 3

A

x

=

ĐÁP ÁN Bài 1.

1) Ta có: 5 9 −3 4 =5.3 3.2 15 6− = − =9

2) Vì đồthịhàm số y=ax+5đi qua điểm M(3; 1− )nên thay x=3,y = −1vào hàm số y=ax+5ta được: − =1 a.3 5+ ⇔3a = − ⇔ = −6 a 2

Vậy a = −2

3) Ta có:

2x −3x+ =1 0

Phương trình có dạng a+ + =b c 0nên có hai nghiệm

1 1 2

x x

=    = 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm 1; 1

2

x= x=

4) Ta có:

( )

1

4 5 3 4 5 3 17 17 2

3. 1 5

3 5 4 12 20 3 5 1

y

x y x y y x

x

x y x y x y y

= − 

+ = + = = − =

   

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 − =  − =  = +  = − +  = −

    

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) (x y; = 2; 1− )

Bài 2.Gọi vận tốc lúc đầu bác An x km h( / )(x>0)

Nửa quãng đường đầu nửa quãng đường sau dài : 360 : 180(= km)

Thời gian bác An nửa quãng đường đầu 180

x (giờ)

Trên nửa quãng đường sau, bác An với vận tốc x+5(km h/ )

Thời gian bác An nửa quãng đường sau 180

5

x+ (giờ)

Vì thời gian nửa quãng đường sau thời gian nửa quãng đường đầu 30phút

1 2

= giờnên ta có phương trình

( )

( )

180 5 180

180 180 1 1 180 900 180 1

5 2 5 2 5 2

x x x x

x x x x x x

+ − + −

− = ⇔ = ⇔ =

+ + +

( )

2

2

2

900 1

5 1800 5 1800 0

5 2

5 4. 1800 7225 85

x x x x

x x

⇔ = ⇔ + = ⇔ + − =

+

Nên phương trình có hai nghiệm

5 85

45( ) 2

5 85

40( ) 2

x ktm

x tm

− −

 = = −



 − +

 = =



Vậy lúc đầu bác An với vận tốc 40km h/

Bài 3.

a) Xét ∆ABCvuông A,theo định lý Pytago ta có:

2 2 2

6 8 100 100 10( )

BC = AB +AC ⇔ BC = + = ⇒BC = = cm

Vậy BC =10cm

b) Xét ∆ABCvuông tạiA,có chiều cao AH,theo hệthức lượng tam giác vng,

ta có : . . . 6.8 4,8( )

10

AB AC

AH BC AB AC AH cm

BC

= ⇔ = = =

Vậy AH =4,8cm

Bài 4.

H A

a) ABlà tiếp tuyến với ( )O nên OB⊥ AB⇒OBA =900

AClà tiếp tuyến với ( )O nên OC ⊥ AC⇒OCA =900

Tứgiác ABOCcó OBA + ACO=900 +900 =1800

Do ABOClà tứgiác nội tiếp (tứgiác có tổng hai góc đối 180 )0

b) Xét ∆ABEvà ∆AFBcó: Achung ;  ABE = AFC(cùng chắn cung BE)

( ) AB BE AE

ABE AFB g g

AF BF AF

⇒ ∆ ∆ ⇒ = = (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

. .

AB BF AF BE

⇒ =

.

AB = AE AF

Xét ∆ACEvà ∆AFCcó:



Achung;  ACE = AFC(góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn CE)

( ) AC CE AE

ACE AFC g g

AF CF AC

⇒ ∆ ∆ ⇒ = = (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

. .

AC CE AE CF

⇒ = Ta có:

2

. . ; . .

. . . . . .

. . . . .

AB BF AF BE AC CE AE CF

AB BF AC CE AF BE AE CF

AB BF CE AE AF BE CF

= =

⇒ =

⇒ =

Mà

. ( ) . . ( )

AB = AE AF cmt ⇒BF CE=BE CF dfcm

Bài 5.

E C

B

O A

Điều kiện:

2

2

3 0

3

2 3 0

x

x x

 − ≥

 ⇔ ≤



− − ≠

 Ta có:

2 2

2

2

0 3 3 0 3 3 3 3 3 0

3 3 0 2 3 2 3 2

1 1 1

2

2 3 2 3

1 1

2 2 3

x x x

x x

x A

≤ ≤ ⇒ − ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − ≥

⇒ ≥ − ≥ ⇔ − ≤ − − ≤

⇒ ≥ ≥

− − −

⇒ ≤ ≤ −

Vậy GTNNcủa Alà 1 0

2 ⇔ =x ; GTLNcủa Alà 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐĐÀ NẴNG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 15

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10

TRUNG HỌC PHỔTHÔNG NĂM HỌC 2020 – 2021

MƠN THI: TỐN Thời gian:120 phút Bài (2,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A= 3+ 12 − 27 − 36

b) Cho biểu thức

( ) 0

2 1 3 5

1

1 . 1

x x

B

x

x x x x

>

 

−

= − +  

≠

− −   Rút gọn biểu thức B

tìm xđể B=2

Bài (1,5 điểm)

Cho hàm số 1

2

y = x

a) Vẽđồthị ( )P hàm sốđã cho

b) Đường thẳng y=8cắt đồthị ( )P hai điểm phân biệt Avà B,trong điểm B có

hồnh độdương Gọi H chân đường cao hạtừ A tam giác OAB, với Olà gốc

tọa độ Tính diện tích tam giác AHB(đơn vi đo trục xentimet)

Bài (1,5 điểm)

a) Giải phương trình:

3x −7x+ =2 0

b) Biết phương trình

19 7 0

x − x+ = có hai nghiệm x x1, 2,khơng giải phương

trình, tính giá trịbiểu thức:

( 2 )2 ( 2 )2

2 2 38 1 3 2 38 2 3 120

P=x x − x +x x − +x x − x +x x − +

Bài (2,0 điểm)

a) Một sốtựnhiên nhỏhơn bình phương 20 đơn vị Tìm sốtựnhiên

b) Qng đường ABgồm đoạn lên dốc đoạn xuống dốc Một người xe

đạp từA đến B hết 16 phút từ Bvề A hết 14phút Biết vận tốc lúc lên dốc

10km h/ , vận tốc lúc xuống dốc 15km h/ (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc

vềlà nhau) Tính quãng đường AB

Bài (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm Ođường kính AB.Trên cung

nhỏ BCcủa đường trịn (O) lấy điểm D(không trùng với B C) Gọi Hlà chân đường

vng góc kẻtừC đến AB H( ∈AB)và Elà giao điểm CH với AD

a) Chứng minh tứgiác BDEH tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh

. .

AB = AE AD+BH BA

c) Đường thẳng qua Esong song với AB,cắt BCtại F.Chứng minh rằng:



90

CDF = đường tròn ngoại tiếp tam giác OBDđi qua trung điểm đoạn

.

ĐÁP ÁN Bài 1.

) 3 12 27 36

3 2 3 3 3 6 6

6

a A

A

= + − −

= + − − = −

⇒ = −

b)Rút gọn B

Với x>0,x ≠1,ta có:

( ) ( )

( ) (( ))

2 1 3 5 2 1 3 5

1 . 1 . 1

4 1

4 4 4

. 1 . 1

x x x x

B

x x x x x x

x x

x

x x x x

− − + + −

= − + =

− − −

− −

= = =

− −

Vậy B 4 x =

Để B 2 4 2 x 2 x 4( )tm

x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy để B=2thì x=4

Bài 2.

a) Học sinh tựvẽđồthị(P)

b) Tính diện tích tam giác AHB

Xét phương trình hồnh độgiao điểm (P) đường thẳng y=8ta có:

( )

2 4 4;8

1

8 16

2 4 (4;8)

x A

x x

x B

 = ⇒ −

= ⇔ = ⇔ 

= − ⇒

Gọi Klà giao điểm đường thẳng y=8với trục tung ⇒K( )0;8 Ta có: ∆AOBcân O,có OK ⊥ AB OK, =8cm AB, =8cm

2

1 1

. .8.8 32( )

2 2

OAB

S OK AB cm

⇒ = = =

Áp dụng định lý Pytago cho ∆OBK vng K ta có:

( )

2 2

8 4 4 5

OB= OK +KB = + = cm

Lại có: 1 . 1. .4 5 32 16 5( )

2 2 5

OAB

S = AH OB= AH = ⇔ AH = cm

Áp dụng định lý Pytago vào ∆ABHvng H ta có:

2

2 2 16 5 8 5

8

5 5

BH = AB −AH = −  =

 

( )2

1 1 16 5 64

. . . 12,8

2 2 5 5 5

ABH

S AH BH cm

⇒ = = = =

Bài 3.

a) Giải phương trình :

3x −7x+ =2 0

Phương trình có :

7 4.3.2 25 0

∆ = − = > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

7 25

2 6

7 25 1

6 3 x x  + = =    − = = 

Vậy phương trình cho có tập nghiệm 1;2

3

S =  

 

b) Tính giá trịbiêu thức ………

Xét phương trình

19 7 0

x − x+ = có ∆ =192−4.7=333> ⇒0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệthức Vi – ét ta có:

1 19 7 x x x x + =   = 

Ta có x x1, 2là hai nghiệm phương trình cho

2

1

2

2

19 7 0

19 7 0

x x x x  − + =  ⇒  − + =  Theo đềbài ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 1 2 2

2

2

2 1 2 2

2 2

2 1 2

2 38 3 2 38 3 120

2 19 7 14 3 2 19 7 14 3

17 17 17 7 17 19 1900

P x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

= − + − + − + − +

   

=  − + − + −  +  − + − + − 

= − + − = − + = − =

Bài 4.

a) Tìm sốtựnhiên đó.

Gọi sốtựnhiên cần tìm x x( ∈), Bình phương sốtựnhiên x x2

Vì sốtựnhiên cần tìm nhỏhơn bình phương 20 đơn vịnên ta có phương trình:

( ) ( ) ( )( )

2 2

20 20 0 5 4 20 0

5 4 5 0 5 4 0

5 0 5( )

4 0 4( )

x x x x x x x

x x x x x

x x tm

x x ktm

− = ⇔ − − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ − + = − = =   ⇔ ⇔ + = = −  

Vậy sốtựnhiên cần tìm 5

b) Tính quãng đường AB

Gọi quãng đường lên dốc lúc x km( ), quãng đường xuống dốc lúc y km( )

Suy Quãng đường lên dốc lúc vềlà y km( ), xuống dốc lúc vềlà x km( )

Thời gian lúc 16 phút 4

15

= giờnên ta có phương trình:

( )

4

3 2 8 1

10 15 15

x y

x y

+ = ⇔ + =

Thời gian lúc vềlà 14phút 7

30

= (giờ) nên ta có phương trình:

( )

7

3 2 7 2

10 15 30

y x

x y

+ = ⇔ + =

Từ(1) (2) ta có hệphương trình:

5 10

3 2 8 9 6 24 2

( ) 7 2

3 2 7 4 6 14 1

3

x

x y x y x

tm x

y x x y y y

= 

+ = + = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = −  =

   

Vậy quãng đường ABlà 2 3(+ = km)

Bài 5.

a) Chứng minh tứgiác BDEH là tứgiác nội tiếp

Vì ADBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( )O nên ADB=900hay EDB =900 Lại có: CH ⊥ AB gt( )nên CHB =900 ⇒EHB=900

Xét tứgiác BDEH có: EDB +EHB=900 +900 =1800 ⇒BDEHlà tứgiácnội tiếp

I

F E

H O B

A

b) Chứng minh

. .

AB = AE AD+BH BA

Vì ABCDlà tứgiác nội tiếp ( )O nên  ADC = ABC(cùng chắn AC) 1( ) Ta lại có:

 

90

ABC +CAB= (do ∆ABCcó ACB=90 )0

 

90 (

ACH +CAB= do ACH∆ vuông H)

 ( )2

ABC ACH

⇒ = (cùng phụ CAB)

Từ(1) (2) suy  ADC= ACH(= ABC)hay  ADC = ACE

Xét ∆ACEvà ∆ADCcó: CADchung ; ACE = ADC cmt( )⇒ ∆ACE∆ADC g g( )

( )

2

. *

AC AE

AC AE AD

AD AC

⇒ = ⇒ =

Xét ∆ABCvuông C, đường cao CH ta có:

( )

2

. 2 *

BC =BH BA (hệthức lượng tam giác vuông)

Từ(*) (2*) suy 2

. .

AC +BC = AE AD+BH BA

Lại có ∆ABCvng C nên AC2 +BC2 = AB2(định lý Pytago) Vậy

. .

AB = AE AD+BH BA

c) Đường thẳng E…………

*)Vì EF / /AB gt( )nên CFE =CBA(đồng vị)

Mà CBA =CDA(hai góc nội tiếp chắn AC)⇒CFE =CDA

⇒Tứgiác CDFElà tứgiác nội tiếp (Tứgiác có hai đỉnh kềnhau nhìn cạnh

dưới góc nhau)  

180

CDF CEF

⇒ + =

Ta lại có:



 

0

0 0

( )

90

/ / ( )

180 180 90 90 ( )

CH AB gt

EF CH CEF

EF AB gt

CDF CEF dfcm

⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ =

 

⇒ = − = − =

*)Gọi Ilà giao điểm CF đường trịn ngoại tiếp ∆OBD Ta có:

     

90 ; 90

ADB= ADF +FDB= CDF = ADF +CDA=

  FBD CDA

⇒ = (cùng phụvới ADF)

Mà CDA =CBA(hai góc nội tiếp chắn AC)⇒FDB =CBA(=CDA)

Mà CBA  =OBI =ODI(hai góc nơi tiếp chắn cung OI)

        ( )3

FDB ODI FDB ODF ODI ODF ODB IDF

Ta có: tứgiác CDFEnội tiếp (cmt) nên IFD   =CFD=CED=AEH (hai góc nội tiếp

chắn CD)

Ta lại có:    

90 ; 90

AEH +EAH = ABD+BAD=

Mà EAH =BADnên   AEH = ABD=OBD⇒ ∠IFD= ∠OBD( )4

Lại có : OD=OB(=bán kính)nên ∆OBDcân O, OBD = ∠ODB(5)

Từ(3), (4); 5( )suy ∠IDF = ∠IFD⇒ ∆IDFcân I ⇒ID=IF( )3*

Ta có:

90

IDF IDC CDF

∠ + ∠ = ∠ =

0 90 (

IFD ICD do CDF

∠ + ∠ = ∆ vuông D)

IDC ICD ICD

⇒ ∠ = ∠ ⇒ ∆ cân I nên IC =ID( )4 *

Từ(3*) (4*) suy IC =IF(=ID)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐAK LAK ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 16

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

Mơn thi:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kểphát đề

Câu (2,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức

4 3

M = a + atại a=2

2) Giải hệphương trình: 2 1

3 2

x y

x y

− =



− + = 

3) Giải phương trình:

2x −9x+ =4 0

Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức 1 ( 1)( 6) : 2 1 9

3 6 4

x x x

P

x

x x

 + +  +

 

= +

 + −  −

 

1) Tìm điều kiện xđểbiểu thức P có nghĩa rút gọn P

2) Tìm giá trị xsao cho xvà Plà sốnguyên

Câu (2,0 điểm)

1) Tìm a b, đểđường thẳng y =ax+bsong song với đường thẳng y =4x+5và cắt

đồthịhàm số

y=x hai điểm A x y( 1; 1) (,B x y2; 2)phân biệt thỏa mãn

2

1 10

x +x =

2) Một vườn cỏhình vng ABCDcó cạnh 20m

như hình vẽ Người ta buộc dê sợi

dậy thừng dài 20mtại trung điểm E cạnh AB.

Tính diện tích phần cỏmà dê có thểăn

(kết quảlàm trịn đến hai chữ số thập phân Câu (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn (O R; )và ( '; )O R cắt haiđiểm Avà B

cho AB=R.Kẻđường kính ACcủa đường trịn ( )O .Gọi Elà điểm bất kỳtrên cung

nhỏ BC E( ≠B C; ), CBvà EBlần lượt cắt đường tròn ( )O điểm thứhai Dvà F

a) Chứng minh 

90

AFD=

b) Chứng minh AE= AF

c) Gọi P giao điểm CEvà FD.Gọi Qlà giao điểm APvà EF.Chứng minh

APlà đường trung trực EF

D A

d) Tính tỉsố AP

AQ

Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , sốthực dương thỏa mãn a+ + =b c 1.Tìm giá trịnhỏ

nhất biểu thức : ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 1 1

2 2 2

c a b

Q

b c bc c a ca a b ab

− − −

= + +

+ + + + + +

ĐÁP ÁN

Câu

2

1) 4.2 3 10

2 1 3 7

2)

3 2 1 2.3 3

M a

x y y x

x y x y

= + =

− = = =

  

⇔ ⇔

− + =  = +  =

  

Vậy hệcó nghiệm ( ) ( )x y; = 7;3

3)Giải phương trình:

2x −9x+ =4 0

Phương trình có ( )2

9 4.2.4 49 0

∆ = − − = > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

2

9 49 1

4 2

9 49 4 4

x x

 −

= =

 

+

 = =



Vậy 1;4 2

S=  

 

Câu

1) Tìm điều kiện rút gọn P

Điều kiện:

0 0

0

9 0 9

9

4 36

6 4 0

x x

x

x x

x x

x

 ≥  ≥

≥ 

 − ≠ ⇔ ≠ ⇔

   ≠



 − ≠  ≠

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6

1 2 1

: 9

3 6 4

1 7 6 2 1

:

3 3 3 2 3

2 3

3 7 6 6 9 2

. .

2 1 2 1

3 3 3

3 2 2 6

.

2 1 2 1

3

x x x

P

x

x x

x x x

x x x x

x

x x x x x

x x

x x x

x x x x x  + +  +   = +  + −  −    + +  +   = +  + − +  −   − − + + + + + = = + + − + + + + = = + + +

2) Điều kiện x≥0,x≠9

Để xlà sốngun xphải sốchính phương

Ta có: 2 6 2 1 5 1 5

2 1 2 1 2 1

x x

P

x x x

+ + +

= = = +

+ + +

Để 5 5 2( 1)

2 1

P x

x

∈ ⇒ ∈ ⇒ +

+

   hay 2 x + ∈1 U(5)={ }5;1 (do2 x + >1 0

2 1 1 0

( )

4

2 1 5

x x tm x x  + =  = ⇒ ⇔ = + =  

Vậy x∈{ }0;4 thỏa mãn tốn

Câu

1)Tìm a,b để….

Vì đường thẳng y=ax+bsong song với đường thẳng y =4x+5nên 4

5 a b =   ≠ 

Khi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y =4x+b b( ≠5)

Xét phương trình hồnh độgiao điểm đường thẳng y=4x+b b( ≠5)và parabol

( )

2 2

: 4 4 0 *

y=x x = x+ ⇔b x − x+ =b

Đểđường thẳng y =4x+b b( ≠5)cắt parabol (P) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

( )2

' 0 2 b 4 b 0 b 4

1

1

4

x x

x x b

+ =



 =

 Theo ta có:

( )2

2

1 2

2

10 2 10

4 2 10 3( )

x x x x x x

b b tm

+ = ⇔ + − =

⇔ − = ⇔ =

Vậy a=4,b=3

2) Tính diện tích….

Ta có: EM =EN =20cm

Vì Elà trung điểm ABnên 1 10( )

2

EA=EB= AB= m

Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ta có:

( )

2 2 2

20 10 300 300 10 3

BM =EM −EB = − = ⇒BM = = m

Tương tựta có: AN =BM =10 3( )m

( ) ( )

2

2

1 1

. .10.10 3 50 3

2 2

1 1

. .10.10 3 50 3

2 2

BEM

AEN

S BE BM m

S EA AN m

= = =

= = =

D E

A

B M C

Xét tam giác vng BEM ta có:cos 10 1 600 20 2

BE

BEM BEM

BM

= = = ⇒ ∠ =

Tương tựxét tam giác vng AEN ta có: cos 10 1  600

20 2

AE

AEN AEN

EN

∠ = = = ⇒ =

Ta có:

  

  



0

0 0

0

180

180 180 60 60

60

BEM AEN MEN

MEN BEM AEN

MEN

+ + =

⇒ = − − = − −

⇒ =

Diện tích hình quạt EMN,bán kính ( )

2

2 .60 200 20 :

360 3

qEMN

R

m S =π = π m

Vậy diện tích phần dê có thểăn :

( )2 200

50 3 50 3 382,64

3

BEM AEN EMN

S =S +S +S = + + π ≈ m

Câu

Q

P F

B O

A O' D

C

1) Chứng minh  90

AFD=

Ta có:ABClà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O R; )

0

90 90

ABC ABD

⇒ ∠ = ⇒ ∠ = (hai góc kềbù)

Mà ABDlà góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên ADlà đường kính (O R'; ) Lại có : AFDlà góc nội tiếp chắn cung AD⇒ AFD=900(dfcm)

2) Chứng minh AE =AF

Ta có:  AEB= ACB(hai góc nội tiếp chắn cung ABcủa ( )O )hay

( )1

AEF ACD

∠ = ∠

AFB ADB

∠ = ∠ (hai góc nội tiếp chắn cung ABcủa ( )O' )

Hay  AFE = ADC( )2

Ta có: AD=AC =2R⇒ ∆ADCcân A⇒  ACD= ADC ( )3

Từ(1), (2), (3) ⇒ AEF =AFE ⇒ ∆AEFlà tam giác cân⇒ AE= AF

3) Chứng minh APlà đường trung trực EF

Ta có: AE= AF cmt( )⇒ Athuộc đường trung trực EF. ( )4

Xét ∆AEPvà ∆AFPta có:

 

( ); 90 ;

AE =AF cmt AEP= AFD= APchung⇒ ∆AEP= ∆AFP ch( −cgv)⇒PE=PF

(hai cạnh tương ứng nhau)

P

⇒ thuộc đường trung trực EF ( )5

Từ(4) (5) suy APlà đường trung trực EF dfcm( )

4) Tính tỉ số AQ

AP

Ta có: APlà đường trung trực EF cmt( )⇒ AP⊥EF ={ }Q

Áp dụng hệthức lượng cho ∆AFPvuông F có đường cao FQta có:

2

2

2

. AF AQ AQ

AF AQ AP AP

AQ AP AF

= ⇒ = ⇒ =

Xét ∆AFQvng Qta có:

1

sin sin

2

AQ AQ AB

AFQ ADB

AF AF AD

∠ = ⇒ ∠ = = =

2

1 1

4 4

AQ AQ

AF AP

 

⇒  = ⇒ =

  Vậy

1 4

AQ AP =

Do , , 0 0 , , 1 1

a b c

a b c

a b c

> 

⇒ < <  + + =

 Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

2 2

2 2 4 9 2 2 4 4 9 3

2 ( , 0)

4 2

1 1 2 1 2 1

. .

3 3 3 1

2

2

b c

b c

bc

b c b c

b c bc b c

b c b c

b c bc do b c

c c c c

b c b c a

b c bc

+ +   ≤ =   + + ⇒ + + ≤ + + = + +

⇒ + + ≤ = >

− − − −

⇒ ≥ = =

+ + −

+ +

Chứng minh tương tựta có:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 2

2

1 2 1 1 2 1

. ; .

3 1 3 1

2 2

a a b b

b c

c a ca a b ab

− − − −

≥ ≥

− −

+ + + +

Khi ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2

3 1 1 1

3

1 1 1 3 1

2 2 2 4

. . .

3 1 1 1 3 3 3 3 1 3

c a b

Q

b c bc c a ca a b ab

c a b

a b c

a b c

c a b

a b c a b c

− − − = + + + + + + + +  − − −  ≥  + +  − − −     − + +   − + − + −   − ≥ = = = − + − + − − + + −

Dấu " "= xảy 1

1 3

a b c

a b c

a b c

= = 

⇔ + + = ⇔ = = =



Vậy 4 1

3 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐĂK NÔNG ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số17

KỲTHI TUYỂN SINH 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

MƠN THI :TỐN (Đềthi chung) Thời gian: 120 phút

Bài (2,0 điểm)

a) Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình x2 −3x+ =2 0 Tính tổng S = +x1 x2và tích P=x x1 2

b) Giải phương trình: 2

5 2 1

x − + =x x + x−

c) Giải hệphương trình 4 3 10

2 3

x y

x y

− = −



 + = 

Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức 1 1

4 2 2

x A

x x x

= + +

− − + với x≥0,x≠4

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm tất cảcác giá trị xđể A>1

Bài (2,0 điểm)

a) VẽParabol ( )

: 2

P y= x

b) Cho phương trình: ( )

2 1 3 1 (

x − m+ x+m + m− = mlà tham số)

Tìm tất cảcác giá trị mđểphương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa

2

1 10.

x +x =

Bài (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn Hai đường cao tam giác ABClà AD BE,

cắt H D( ∈BC E, ∈AC)

a) Chứng minh: CDHElà tứgiác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: HA HD. =HB HE.

c) Gọi điểm Ilà tâm đường tròn ngoại tiếp tứgiác CDHE.Chứng minh IElà tiếp

tuyến đường tròn đường kính AB

Bài (1,0 điểm) Cho sốthực dương x y, >1 Tìm giá trịnhỏnhất biểu thức

2

1 1

x y

P

y x

= +

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Tính tổng S tích P

Phương trình

3 2 0

x − x+ = có a+ + = − + =b c 1 3 2 0nên có hai nghiệm phân biệt: 1 2 x x =   =

 Khi ta có:

1

1

1 2 3

1.2 2

S x x

P x x

= + = + =



 = = =

 Vậy S =3;P=2

2

) 5 2 1 2 5 1 3 6 2

b x − + =x x + x− ⇔ x+ = + ⇔x x= ⇔ =x

Vậy nghiệm phương trình S ={ }2

4 3 10 4 3 10 11 22 2

)

2 3 4 8 12 3 2 1

x y x y y y

c

x y x y x y x

− = − − = − = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = −  = −

   

Vậy hệcó nghiệm ( ) (x y; = −1;2)

Bài 2.

a) Rút gọn biểu thức:

Với x≥0,x≠4ta có:

( )( )

( )( ) ( ( )( ) )

1 1 2 2

4 2 2 2 2

. 2

2

2

2 2 2 2

x x x x

A

x x x x x

x x

x x x

x

x x x x

+ + + − = + + = − − + − + + + = = = − − + − +

b) Tìm tất cảcác giá trịx

Ta có:

( )

2

1 1 0

2 2

2

0 2 0 2 0 4

2

x x x

A

x x

x do x

x

− +

> ⇔ > ⇔ >

− −

⇔ > ⇔ − > > ⇒ >

−

Kết hợp với điều kiện, ta có x>4(tm)

Bài 3.

a) Học sinh tự vẽ

b) Tìm tham sốm……….

Đểphương trình ( ) ( )

2 1 3 1 *

x − m+ x+m + m− = có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thì

' 0

∆ >

( )2 2 2 2

1 3 1 0 2 1 3 1 0

2 0 2

m m m m m m m

m m

⇔ + − − + > ⇔ + + − − + >

Khi đó, áp dụng định lý Vi−etta có: ( )

2

2 1 2 2

3 1

x x m m

x x m m

+ = + = +

 

= + −



Theo ta có: 2

1 10

x +x =

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

1 2

2 2

2

2

2

2 10

2 2 2 3 1 10

4 8 4 2 6 2 10

2 2 4 0 2 0

2 2 0 1 2 1 0

1

2 1 0 ( )

2

x x x x

m m m

m m m m

m m m m

m m m m m m

m

m m tm

m

⇔ + − =

⇔ + − + − =

⇔ + + − − + =

⇔ + − = ⇔ + − =

⇔ − + − = ⇔ − + − =

= 

⇔ + − = ⇔  = −



Vậy m=1hoặc m= −2

Bài 4.

a) Chứng minh tứgiác CDHE nội tiếp

Ta có: AD BE, hai đường cao

{ }

{ }  

( ) AD BC D 90

ABC gt ADC BEC

BE AC E

⊥ =



∆ ⇒ ⇒ = =

⊥ =



Xét tứgiác CDHEta có: HDC +HEC =900+900 =1800 ⇒CDHElà tứgiác nội tiếp

b) Chứng minh HA HD. =HB HE.

Xét ∆HAEvà ∆HBDta có:

I H

O

D

E A

 

AHE= BHD(đối đỉnh);  AEH =BDH =900

( )

( ) AH HE . .

AHE BHD g g AH DH BH EH dfcm

BH HD

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

c) Chứng minh IElà tiếp tuyến ……….

Xét tứgiác ABDEta có: ADB = AEB=900, mà hai đỉnh D E, hai đỉnh liên tiếp tứ

giác ⇒ ABDElà tứgiác nội tiếp

Lại có: ∆AEBvng E⇒ A B D E, , , thuộc đường trịn tâm O đường kính AB

Ta có: ABDElà tứgiác nội tiếp (cmt)⇒ EDC=BAE(góc ngồi đỉnh góc

tại đỉnh đối diện ) (1)

Ta có: Ilà tâm đường trịn ngoại tiếp tứgiác CDHE⇒Ilà trung điểm HC

ECH

∆ vng E có đường trung tuyến 1

2

EI ⇒EI =HI = HC(đường trung tuyến

ứng với cạnh huyền tam giác vuông)

HEI

⇒ ∆ cân I ⇒IEH =IHE(tính chất tam giác cân) hay ∠IEH = ∠EHC (2)

Tứgiác CDHElà tứgiác nội tiếp (cmt)⇒CDE =CHE(cùng chắn EC) (3)

Từ(1), (2), (3) suy   EDC=BAE =HEI AOE

∆ cân O (OA=OE)⇒OEB =OBE(tính chất tam giác cân)

Hay BAE =OEAmà OBE +BAE =900 ⇒OEB +HEI =900 ⇒OE ⊥EI

EI

⇒ tiếp tuyến đường trịn đường kính AB dfcm( )

Bài 5.

Áp dụng BĐT Cơ – si ta có:

( )

1 2 1 1 2 1

x= − + ≥x x− = x− ( ) ( )

2

2 4 1

4 1

1 1

x x

x x

y y

−

⇒ ≥ − ⇒ ≥

− −

Tương tựta có: ( )

2 4 1

1 1

y y

x x

− ≥

− − Khi ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2 4 1 4 1 4 1 4 1

2 . 8

1 1 1 1 1 1

x y x y

x y

P

y x y x y x

− − − −

= + ≥ + ≥ =

− − − − − −

Dấu " "= xảy

1 1

1 1 2

1 1

1 1

x

y x y

x y

y x



 − = 

⇔ − = ⇔ = =

 − −

 =

− −



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐIỆN BIÊN

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số18

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2020 – 2021

Mơn : TỐN chung Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1.(3 điểm)

1) Rút gọn biểu thức

12 27 48

1 2 2 5

4

2 2

A

x x x

B

x

x x

= + −

+ +

= + −

−

− +

2) Giải hệphương trình : 2 12

3 1

x y

x y

+ =



 − = 

Câu 2.(1,0 điểm) Một phịng họp có 180 người xếp dãy ghế Nếu thêm

80 người phải kê thêm dãy ghếvà dãy ghếtăng thêm người Hỏi lúc đầu

phịng họp có dãy ghế?

Câu (2đ) Cho phương trình ( )

2 4 5 0 (

x − mx− m− = mlà tham số)

1) Giải phương trình (1) m= −2

2) Tìm mđểphương trình ( )1 có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn:

( )

2

1

1 33

1 2 4059

2x − m− x +x − m+ 2 =

Câu 4.(3 điểm) Trên nửa đường trịn đường kính AB,bán kính R.Lấy hai điểm I Q, cho Ithuộc cung AQ.Gọi C giao điểm hai tia AI BQ H, , giao điểm hai dây

AQvà BI.Chứng minh rằng:

1) Tứgiác CIHQlà tứgiác nội tiếp

2) CI AI. = HI BI.

3) AI AC. +BQ BC. không đổi

Câu 5.(1,0 điểm )

1) Cho hai sốthực dương a b, thỏa mãn 2a+3b=4.Tìm giá trịnhỏnhất biểu

thức Q 2002 2017 2996a 5501b

a b

= + + −

ĐÁP ÁN Bài 1.

1) Rút gọn biểu thức

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ()( ) )

12 27 48 2 3 3 3 4 3 3

0

1 2 2 5

4 4

2 2

1 2 2 2 2 5 3 2 2 4 2 5

2 2 2 2

3 2

3 6 3

2

2 2 2 2

A

x

x x x

B

x x

x x

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

x

x x x x

= + − = + − =

≥

 

+ +

= + −  

≠ −

− +  

+ + + − − − + + + − − −

= =

− + − +

− −

= = =

+

− + − +

2) Giải hệphương trình :

2 12 2 12 7 14 2

3 1 6 2 2 3 1 5

x y x y x x

x y x y y x y

+ = + = = =

   

⇔ ⇔ ⇔

 − =  − =  = −  =

   

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;5

Bài

Gọi sốdãy ghếlúc đầu có phịng họp x(dãy) (x∈N*)

Vì lúc đầu phịng họp có 180 người nên sốngười xếp dãy ghếlà: 180

x (người)

Sốngười có phịng họp sau thêm 80 người: 180 80+ =260(người)

Vì lúc sau phải kê thêm hai dãy ghé nên sốdãy ghé lúcsau : x+2(dãy)

⇒Sốngười xếp mọt dãy ghếlúc sau : 260

2

x+ (người)

Vì lúc sau dãy tăng thêm người nên ta có phương trình:

( )

( ) ( ) ( )( )

2

2 260 180

3 260 180 360 3 2

2

80 360 3 6 3 74 360 0

3 54 20 360 0 3 18 20 18 0

20 ( )

3 20 18 0 3

18( )

x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

x ktm

x x

x tm

− = ⇔ − − = +

+

⇔ − = + ⇔ − + =

⇔ − − + = ⇔ − − − =

 = 

⇔ − − = ⇔

Vậy lúc đầu phòng họp có 18 dãy ghế

Bài 3.

1) Giải phương trình m= −2

Thay m= −2vào phương trình ( )1 ta có: x2 +4x+ =3 0

Ta có a− + = − + =b c 1 4 3 0nên phương trình có hai nghiệm

2 1

3

x x

= − 

 = − 

Vậy m= −2thì tập nghiệm S = − −{ 1; 3}

2) Tìm m

Phương trình (1) có 2 ( ) 2 ( )2 ( )

' m 4m 5 m 4m 5 m 2 1 0 m

∆ = − − = − + = − + > ∀

Do phương trình (1) ln có hai nghiệm x x1, 2với m/

Áp dụng hệthức Vi – et ta có:

1

2

4 5

x x m

x x m

+ =



 = − −

 Theo ta có:

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2

1

2

1 1

2

1 1

2

1 1

1 33

1 2 4059

2 2

2 1 2 4 33 8118

2 2 2 4 8085

2 4 5 2 2 8085 5

2 4 5 2 8080

x m x x m

x m x x m

x mx x x m

x mx m x x

x mx m x x

− − + − + =

⇔ − − + − + =

⇔ − + + − =

⇔ − − − + + = −

⇔ − − − + + =

Vì x1là nghiệm phương trình (1) nên ta có x12 −2mx1−4m− =5 0 Do :

( )* ⇔2(x1+x2)=8080⇔ +x1 x2 =4040⇔2m=4040⇔ =m 2020 Vậy m=2020

Bài 4.

H C

B O

A I

1) Tứgiác CIHQnội tiếp

Vì ∠AIB,∠AQBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên

  

90 90

AIB= ∠AQB= ⇒CIH =CQH =

Xét tứgiác CIHQcó: CIH +CQH =900+900 =1800nên CIHQlà tứgiác nội tiếp

2) Chứng minh CI AI. = HI BI.

Xét ∆AHIvà ∆BCIcó: HAI =CBI(cùng chắn cung IQ);  AIH =BIC =900 ( ) HI AI

AHI BCI g g

CI BI

⇒ ∆ ∆ ⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

. . ( )

CI AI HI BI dfcm

⇒ =

3) Chứng minh AI AC. +BQ BC. ln khơng đổi Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

2

. . . . . .

. . . .

. .

AI AC BQ BC AC AC IC BQ BQ QC AC AC IC BQ BQ QC

AQ QC AC IC BQ BQ QC AQ BQ QC QC BQ AC IC

AB QC BC AC IC

+ = − + + = − + +

= + − + + = + + + −

= + −

Xét ∆AQCvà ∆BICcó:



ICQchung;  AQC=BIC=900 ⇒ ∆AQC ∆BIC g g( )

. . . . 0

AC IC QC BC QC BC AC IC

⇒ = ⇒ − =

Vậy 2 ( )2 2

. . 2 4

AI AC+BQ BC= AB = R = R không đổi (đpcm)

Bài 5.

1) Tìm giá trịnhỏnhất Q

( )

( )

2002 2017 2002 2017

2996 5501 8008 2017 5012 7518

1 1

2002 4 2017 2056 2 3

a

Q a b a b a b

a b a b

Q a b a b

a b

   

= + + − = +  + + − +

   

   

=  + +  + − +

   

1 1

2002 2017 2056.4 2002.2 2017.2 10024 2018 2018

CO SI

a b a b

a b a b

Q

−

   

=  + +  + − ≥ + − =

   

⇒ ≥

Dấu " "= xảy

1 4

1 1

2 1

2 3 4

a a

a b

b

b

a b

 = 

  =

 

⇔ = ⇔

  =

+ =

Vậy min 2018 1; 1 2

Q = ⇔ =a b=

2) Tính diện tích ngũ giác

Theo ta có, SBCD =SECD =1

Hai tam giác có chung cạnh đáy CD,nên khoảng cách từB, E đến CD nhau,

đó BE/ /CD Chứng minh hồn tồn tương tự, ta có:

/ / , / /

AD BC CE AB Gọi { }H =BD∩CE

Ta có: / / / /

/ / / /

AE BD AE BH

ABHE

CE AB HE AB

⇒ 

⇒

 ⇒

 hình bình hành nên SABE =SHBE =1

Đặt SBCD =x(0< <x 1) Ta có:SHCD =SBCD −SHBC =SCDE −SHDE

1 SHBC 1 SHDE SHBC SHDE

⇒ − = − ⇒ =

Ta lại có: 1 1

3 1 0

1

HBC HBE

HCD HDE

S BH S x

x x

S DH S x x

−

= = ⇒ = ⇔ − + =

−

Ta có ( )2

3 4.1.1 5 0

∆ = − − = > nên phương trình có hai nghiệm

3 5

( 2

3 5

( )

2

x ktm

x tm

 +

=  

 −

= 

Vậy 1 1 3 5 2. 5 1 5 5

2 2 5

ABCDE ABE HBE HCD HBC HDE

S =S +S +S +S +S = + + − + − = +

x H E

A

B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG NAI

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 19

THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn : Tốn

Thời gian làm bài:120 phút

Câu (1,75 điểm)

1) Giải hệphương trình 3 5 7

2 4 1

x y

x y

− =



 + =



2) Giải phương trình

12 16 0

x − x + =

3) Giải phương trình:

( )( )

1 1 3

1 1 2 2

x− + x− x− = x

Câu (2,0 điểm)

1) Vẽđồthị ( )P hàm số

2

4

x y =

2) Tìm tham sốthực mđểhai đường thẳng y =2xvà y=(m2 +m x) +1cắt

3) Tìm sốthực ađểbiểu thức 1 6 2

2 a

a− + − xác định

Câu (1,75 điểm)

1) Cho hình cầu có thểtích ( )3

288π cm Tính diện tích mặt cầu

2) Một nhóm học sinh giao xếp 270quyển sách vào tủởthư viện

thời gian định Khi bắt đầu làm việc nhóm bổsung thêm học sinh nên

mỗi giờnhóm xếp nhiều dựđịnh 20quyển sách, vậy, khơng

hồn thành trước dựđịnh giờmà vượt mức giao 10quyển sách Hỏi số

quyển sách giờnhóm dựđịnh xếp ?

3) Cho x x1, 2là hai nghiệm phương trình x2 −2x− =1 0.Hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm ( ) ( )x1 , x2

Câu (1,25 điểm)

1) Rút gọn biểu thức 8 5 6 0

4 4

2 4

a

a a a a

P

a a

a a

 −  + +  ≥ 

=  + +  −  ≠ 

 

  

2) Tìm sốthực xvà ythỏa mãn

3

3

18 18

x y

y x

 = +

 

= +



Câu (2,75 điểm) Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn ( )O có hai đường cao

,

BE CF cắt trực tâm H AB, <AC.Vẽđường kính ADcủa ( )O .Gọi K giao

của đường thẳng AHvới đường tròn ( )O K, khác A.Gọi L P, giao điểm

hai đường thẳng BCvà EF AC, KD

1) Chứng minh tứgiác EHKPnội tiếp đường tròn tâm Icủa đường tròn thuộc

đường thẳng BC

2) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC.Chứng minh AH =2OM

3) Gọi T giao điểm đường tròn ( )O với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK T,

khác K.Chứng minh ba điểm L K T, , thẳng hàng

Câu (0,5 điểm)

Cho ba sốthực dương a b c, , thỏa mãn abc =1.Chứng minh

( 2 2 2)3 ( )

9

a +b +c ≥ a+ +b c

ĐÁP ÁN

Câu

1) Giải hệphương trình:

3

22 11

3 5 7 6 10 14 2

5 7

2 4 1 6 12 3 1

3

2

y x

x y x y

y

x y x y x

y 

= − =

 

− = − =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = +  −

    =



Vậy hệphương trình có nghiệm ( ); 3; 1

2 2

x y = − 

 

2) Giải phương trình:

12 16 0

x − x + =

Đặt ( )

0

x =t t ≥ Khi ta có phương trình t2 −12t+16=0

Phương trình có

' 6 16 20 0

∆ = − = >

⇒Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

6 2 5( )

6 2 5( )

t tm

t tm

 = − 

= + 

Với 2 ( )2 ( )

6 2 5 6 2 5 5 1 5 1

t = − ⇔ x = − ⇔ x = − ⇒ = ±x −

Với ( )2 ( )

6 2 5 5 1 5 1

t = + ⇒x = + ⇒ = ±x +

Vậy tập nghiệm phương trình cho S = −{ 5 1;1− − 5; 1; 1− + }

3) Giải phương trình:

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

1 1 3

2 2 2 3 1 2

1 1 2 2

2 4 2 3 9 6 7 6 0

6 6 0 6 6 0

1( )

6 1 0

6( )

x x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x ktm

x x

x tm

+ = ⇔ − + = − −

− − −

⇔ − + = − + ⇔ − + =

⇔ − − + = ⇔ − − − =

= 

⇔ − − = ⇔  =



Vậy S ={ }6

Câu

1) Học sinh tựvẽđồthị(P)

2) Tìm tham sốm

Hai đường thẳng y=2xvà y =(m2 +m x) +1cắt chỉkhi :

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 0 2 2 0

1 2 1 0 1 2 0

1 2

m m m m m m m

m m m m m

m m

+ ≠ ⇔ + − ≠ ⇔ − + − ≠

⇔ − + − ≠ ⇔ − + ≠

≠ 

⇔  ≠ −



3) Tìm sốthực a

Biểu thức 1 6 2

2 a

a− + − xác định

2 0 2

2 3

6 2 0 3

a a

a

a a

− > >

 

⇔ ⇔ ⇔ < ≤

− ≥ ≤

 

Vậy với 2< ≤a 3thì biểu thức 1 6 2

2 a

a− + − xác định

Câu

1) Tính diện tích mặt cầu

Gọi Rlà bán kính hình cầu

Vì khối cầu có thểtích ( )3

288π cm nên 4 288 216 6( )

3πR = π ⇔R = ⇔ =R cm

Vậy diện tích mặt cầu 2 ( )2

4 4 6 144

S = πR = π = π cm

2) Tính sốquyển sách…

Gọi sốquyển sách giờnhóm dựđịnh xếp x(quyển) (ĐK: x∈*)

⇒Thời gian dựđịnh xếp xong 270 270( )h x

Vì giờnhóm xếp nhiều dựđịnh 20 sách nên sốsách thực tếmỗ

Vì nhóm xếp vượt mức giao 10 sách nên nhóm xếp 270 10+ =280(quyển) nên thời gian thực tếsắp xếp xong 280 sách là: 280 ( )

20 h

x+

Vìthực tếhồn thành trước dựđịnh giờnên ta có phương trình:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

270 280

1 270 20 280 20

20

270 5400 280 20

30 5400 0 60 90 5400 0

60 90 60 0 60 90 0

60 0 60( )

90 0 90( )

x x x x

x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x tm

x x ktm

− = ⇔ + − = +

+

⇔ + − = +

⇔ + − = ⇔ − + − =

⇔ − + − = ⇔ − + =

− = =

 

⇔  ⇔ 

+ = = −

 

Vậy sốquyển sách dựđịnh giờnhóm xếp 60quyển

3) Hãy lập phương trình ………

Xét phương trình

2 1 0

x − x− = có ac= − <1 0nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Gọi x x1, 2là hai nghiệm phân biệt phương trình x2 −2x− =1 0,áp dụng định lý Vi-et

ta có:

1

2 1

x x

x x

+ =



 = −



Vì hai nghiệm x x1, 2trái dấu nên khơng tính tổng qt, ta giảsử x1< <0 x2

Khi ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

1 2 1 2

3

2

3 3 3 3

1 2

3 3

. 1 1

S x x x x x x x x x x

x x x x

P x x x x x x

= + = − + = − + −

= − − −

= = − = − = − − =

Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

4 2 4. 1 8

8 8

x x x x x x

x x x x Do x x

− = + − = − − =

⇒ − = ⇔ − = >

Khi ta có: ( ) ( )3 ( ) ( )3

1 8 3. 8 8 8 3 8 10 2

S = x + x = − = − =

Vì ( )2

4 10 2 4.4 184 0

S − P= − = > nên ( ) ( )x1 , x2 nghiệm phương trình

2

10 2 1 0

X − X + =

Vậy ( ) ( )3

1 ,

x x nghiệm phương trìnhX2 −10 2X + =1 0

1)Rút gọn biểu thức… Với a ≥0,a≠4ta có: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3

8 5 6

.

4

2 4

2 2 3 6

.

2 4 2 2

2 2 4 2 3 2

.

2 4 2 2

3

2 3

2

a a a a

P

a

a a

a a a a

P

a a a a

a a a a a a

P

a a a a

a

P a a

a  −   + +  =    −  + +      −    + + +     =  + +   − +       − + + + + + = + + − + + = − = + −

2)Tìm sốthực x, y

Xét hệphương trình

3 18 (1) 18 (2) x y y x  = +   = +

 Trừvếtheo vế phương trình (1) (2) ta có:

( )( ) ( )( )

( )( )

3 2 2

2

2

0

0

x y y x x y x xy y x y x y

x y x xy y x y

x y

x xy y x y

− = − ⇔ − + + = − − + ⇔ − + + + + = =  ⇔  + + + + = 

TH1: x= ythay vào (1) ta có:

3

18 18 0

x =x + ⇔ x −x − =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2

27 9 0

3 3 9 3 3 0

3 3 9 3 0

3 2 6 0

3

2 6 0( 0)

x x

x x x x x

x x x x

x x x

x

x x VN do

⇔ − − + = ⇔ − + + − − + = ⇔ − + + − − = ⇔ − + + = = 

⇔  + + = ∆ <



TH2: 2

0

x +xy+ y + + =x y

Vì

3

3

18 18 18 0

0

18 18 18 0

x y x

x y

y x y

 = + ≥ ⇒ ≥ >

 ⇒ + >



= + ≥ ⇒ ≥ >



Lại có: ( )

2

2 2 1 1 3 1 3

2 0 ,

2 4 4 2 4

x +xy+y =x + x y+ y + y =x+ y + y ≥ ∀x y

Do 2 ( )

0 ,

x +xy+ y + + > ∀x y x y , phương trình x2+xy+ y2 + + =x y 0vơ nghiệm Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 3;3

Câu

1) Chứng minh EHKPlà tứgiác nội tiếp

Ta có: BElà đường cao ∆ABC⇒BE⊥ AChay BEC= ∠HEC =900

AKD

∠ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

90

AKD

⇒ ∠ =

Xét tứgiác EHKPcó: ∠HEP+ ∠HKP=900 +900 =180 ,0 mà hai góc đối diện nên

EHKPlà tứgiác nội tiếp (đpcm)

Có 90

HKP

∠ = góc nội tiếp chắn cung HP⇒HPlà đường kính đường trịn

ngoại tiếp tứgiác EHKP⇒Tâm Icủa đường tròn trung điểm HP

Gọi Jlà giao điểm AKvà BC

Ta có: HBJ =HAC(cùng phụvới ∠ACB)

KBC KAC

∠ = ∠ (hai góc nơi tiếp chắn cung KC)hay ∠JBK = ∠HAC

( )

HBJ JBK HAC BJ

⇒ ∠ = ∠ = ∠ ⇒ phân giác HBK

Ta có: AHlà đường cao ∆ABC⇒ AH ⊥BC ={ }J ⇒BJ đường cao ∆BHK

Xét ∆BHKta có: BJ vừa đường cao, vừa đường phân giác từđỉnh B tam giác

BHK

⇒ ∆ cân B BJ đường trung tuyến ∆BHK⇒J trung điểm HK

Gọi I'là giao điểm BCvà HP

Ta có: AJ ⊥BC ={ }J mà KP⊥ AH ={ }K ⇒BC/ /KPhay JI'/ /KP

I

P T'

J L

E

M H

F

D K

O A

Xét ∆HKPta có: Jlà trung điểm HK cmt IJ( ); / /KP cmt( )⇒I J' đường trung

bình ∆HKP⇒I'là trung điểm HP⇒ ≡I I'hay I∈BC dfcm( )

2) Chứng minh AH =2OM

Ta có:

90

ABD ACD

∠ = ∠ = (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AB BD

AC CD

⊥ 

⇒  ⊥



Mà ( ) / /

( ) / /

AB EF gt CF BD

BE AC gt BE CD

⊥

 

⇒

 ⊥ 

  hay

/ / / /

BH CD

CH BD

 

 ⇒BDCH hình bình hành

BC

⇒ cắt HDtại trung điểm đường, lại có M trung điểm BC gt( )

M

⇒ trung điểm HD.Xét ∆AHDta có:

,

O M trung điểm AD HD, ⇒OM đường trung bình ∆AHD

/ /

2 ( )

1 2

OM AH

AH OM dfcm

OM AH

 

⇒ ⇒ =

= 

3) Chứng minh L K T, , thẳng hàng

Gọi T'là giao điểm tia LKvới đường tròn ( )O

Xét tứgiác BFECta có: BFC = ∠BEC=90 0 mà đỉnh F E, đỉnh kềnhau

Nên BFEClà tứgiác nội tiếp ⇒LFB =LCE(góc ngồi đỉnh góc

đỉnh đối diện)

Xét ∆LFBvà ∆LCEta có:



Lchung;

( ) ( ) LF LB . .

LFB LCE cmt LFB LCE g g LE LF LB LC

LC LE

∠ = ∠ ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Ta có tứgiác BCT K' nội tiếp đường trịn ( )O

'

LKB LCT

⇒ ∠ = ∠ (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện)

Xét ∆LBKvà ∆LCT'ta có: Lchung; LKB =LCT cmt'( )⇒ ∆LBK ∆LT C g' ( −g)

. . '

'

LB LK

LB LC LK LT

LT LC

⇒ = ⇒ = . . '( . )

'

LF LK

LE LF LK LT LB LC

LT LE

⇒ = = ⇒ =

Xét ∆LFKvà ∆LT E' ta có:

' ; ' ( )  '

'

LF LK

ELT chung LFK LT E c g c LFK LET

LT = LE ⇒ ∆ ∆ − − ⇒ =

'

EFKT

⇒ tứgiác nội tiếp (tứgiác có góc ngồi góc đỉnh đối diện)

'

T

⇒ thuộc đườngtròn ngoại tiếp tam giác EFK

' , ,

T T L K T

⇒ ≡ ⇒ thẳng hàng.(đpcm)

Ta có: 2 2 2 ( )2 ( ) 2

a +b +c = a+ +b c − ab+bc+ca

Mà ( ) ( )

2

2 2 2

2

2

2 2 2

2

ab a b

bc b c ab bc ca a b c

ca c a

 ≤ +



≤ + ⇒ + + ≤ + +



 ≤ +



( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

2

2 2 2

3 6

2 2

2

1 3

3 1

27

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c

⇒ + + ≥ + + − + +

⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +

⇔ + + ≥ + +

Ta cần chứng minh:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

6

5 1

9 243

27

243 0

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c

+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +

 

⇔ + +  + + − ≥

Vì a b c, , > ⇒ + + >0 a b c 0

Do ta cần chứng minh ( )5 ( )5

243 0 243 3

a+ +b c − ≥ ⇔ a+ +b c ≥ ⇔ + + ≥a b c

Áp dụng BĐT Cơ si ta có: a+ + ≥b c 33 abc =3

Dấu " "= xảy 1 1

a b c

a b c

abc

= = 

⇔ ⇔ = = =

= 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 20

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2020 – 2021

MƠN TỐN (cơ sở) Ngày thi: 23/7/2020 Câu (2,0 điểm)

1 Tính giá trịbiểu thức F = 49 + 25

2 Tìm điều kiện xđểbiểu thức H = x−1có nghĩa

Câu (2,0 điểm)

1 Hàm số y =3x+2là hàm sốđồng biến hay nghịch biến R ? Vì ?

2 Cho parabol ( )

: 2

P y = x Điểm M( )2;8 có thuộc ( )P hay khơng ? Vì ?

Câu (2,0 điểm)

1 Giải hệphương trình: 2 3

3

x y

x y

− = 

 + = 

2 Nhà bạn Lan cách trường học 5km,nhà bạn Mai cách trường học 4km.Mai bắt đầu

đi học sớm Lan5 phút hai bạn gặp cổng trường lúc giờ50 phút

sáng Hỏi Mai bắt đầu học lúc giờ?

Câu (1,0 điểm)

Hộp sữa Ơng Thọlà hình trụ có chiều cao 8cmvà bán kính đường trịn đáy

bằng 3,8cm.Tính thểtích hộp sữa (lấy π ≈3,14;kết quảlàm trịn đến chữ số thập phân thứ

hai)

Câu (1,0 điểm)

Tính chiều rộng ABcủa dịng sơng

(hình vẽ) Biết BC =9 ,m BD=12m

Câu (2,0 điểm)

Cho đường tròn ( )O điểm Anằm ( )O Vẽcác tiếp tuyến AM, AN

với ( )O M N( , tiếp điểm)

1) Chứng minh tứgiác AMON tứgiác nội tiếp

2) Biết 

10 , 60

OA= cm MAN = Tính phần diện tích tứgiác AMONnằm bên

ngồi đường tròn ( )O

C A

B

ĐÁP ÁN

Câu

1)F = 49 + 25 = + =7 5 12

2) Biều thức H = x−1có nghĩa ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 1 0 x 1

Câu

1) Đồng biến hay nghịch biến ?

Hàm số y =3x+2là hàm só đồng biến a = >3 0

2) Điểm M( )2;8 có thuộc (P) khơng ? Vì ?

Thay tọa độđiểm M( )2;8 vào hàm số y =2x2ta có: 8=2.22 ⇔ =8 8(luôn đúng) Vậy M( ) ( )2;8 ∈ P

Câu

1) Giải hệphương trình

2 3 3 6 2

3 3 1

x y x x

x y y x y

− = = =

 ⇔ ⇔

 + =  = −  =

  

Vậy hệphương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;1

2) Mai bắt đầu học lúcmấy giờ?

Gọi thời gian bạn Mai từnhà đến trường ( ) 1

12

x h x> 

 

Vì Mai bắt đầu học sớm Lan phút hai bạn gặp lúc nên thời gian Mai

đi từnhà đến trường nhiều Lan từnhà đến trường

5phút 5 1 ( )

60 12 h

= = nên thời gian Lan từnhà đến trường: 1 ( )

12

x− h

⇒Vận tốc xe bạn Mai là: 4(km h/ )

x

Vận tốc xe bạn Lan : 5 60 ( / )

1 12 1

12

km h x

x

=

− −

Vì vận tốc xe bạn Lan lớn vận tốc xe bạn Mai 8km h/ nên ta có

phương trình: 60 4 8

12x−1− =x

( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

15 1

2 15 12 1 12 1 24 5 1 0

12 1

24 8 3 1 0 8 3 1 3 1 0 3 1 8 1 0

x x x x x x

x x

x x x x x x x x

⇔ − = ⇔ − + = − ⇔ − − =

−

1 ( )

3 1 0 3

8 1 0 1

( ) 8

x tm

x x

x ktm

 =  − =



⇔ + = ⇔ 

  = −



Nên thời gian Mai từnhà đến trường 1 20

3h= phút

Vậy Mai bắt đầu học lúc 6giờ50 phút – 20 phút =6giờ30 phút

Câu Thểtích hộp sữa Ơng Thọ: 2

3,14.3,8 8 362,73( )

V =πr h≈ ≈ cm

Câu

Xét tam giác ACDvuông D có đường cao DBta có:

2

.

DB = AB BC(hệthức lượng tam giác vuông)

2

12 AB.9 AB 12 : 16( )m

⇒ = ⇔ = =

Vậy chiều rộng dịng sơng AB=16cm Câu

C A B

D

I

N M

1) Chứng minh tứgiác AMONlà tứgiác nội tiếp

Ta có: AM AN, tiếp tuyến M N,

( )  

90

OM AM

O AMO ANO

ON AN

⊥ 

⇒ ⇒ = =

⊥ 

Xét tứgiác AMONta có:  AMO+ANO=900 +900 =1800 ⇒ AMONlà tứgiác nội tiếp

2) Tính phần diện tích …………

Ta có: AM AN, hai tiếp tuyến cắt A AO

⇒ phân giác ∠MAN(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 1

30 2

MAO= MAN =

Xét ∆AMOvuông M ta có:



( )

0

0

2

2

.cos 10.cos30 5 3( )

.sin 10.sin 30 5

1 1 25 3

. .5.5 3

2 2 2

25 3

2 2. 25 3

2 AMO

AMON AMO

AM AO MAO cm

OM R AO MAO cm

S OM AM cm

S S cm

= ∠ = =

= = = =

⇒ = = =

⇒ = = =

Ta có: AMONlà tứgiác nội tiếp (cmt)

 

180

MAN MON

⇒ + = (tính chất tứgiác nội tiếp)

  0

180 180 60 120

MON MAN

⇒ = − = − =

Mà ∠MON góc ởtâm chắn cung MN ⇒sd MN =1200

( )

2

2

( )

. . .5 120 25

360 360 3

quat MON

R n

S π π π cm

⇒ = = =

Nên diện tích phần cần tìm 25

25 3 ( )

3 AMON quat

S =S −S = − π cm

Vậy diện tích cần tìm 25

25 3 ( )

3 cm π

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 21

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

Mơn thi:TỐN (Khơng chun) Thời gian làm bài:120 phút

Câu (2,0 điểm)

a) Khơng sử dụng máy tính bỏ túi, giải hệphương trình 3 5

2 4

x y

x y

+ = 

 − = 

b) Giải phương trình :

6 8 2 2020

x − x+ = x−

Câu (2,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng ( )d :y= −x 2mvà parabol

( )

: 2 .

P y = x Xác định giá trị tham số mđểđường thẳng (d) cắt parabol

( )P hai điểm phân biệt

b) Rút gọn biểu thức 3( 1) 1 2 0

1

2 2 1

x x x x x

P

x

x x x x

+ − + +  ≥ 

= − −  

≠ + − + −  

Câu (2,0 điểm)

a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải phương trình:

4 5 0

x − x− =

b) Cho phương trình ( )

4 1 3 2 5 0,

x − m+ x+ m + m− = với mlà tham số Xác định

giá trị tham số mđểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2sao cho

( )

2

1 4 1 3 2 5 9

x + m+ x + m + m− =

Câu (1,0 điểm)

Quãng đường từA đến B dài 100km Cùng lúc, xe máy khởi hành từA

đến B xe ô tô khởi hành từB A Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến B Giả sử vận tốc hai xe không thay đổi suốt quãng đường

đi Biết vận tốc xe máy nhỏhơn vận tốc xe tơ 20km/h Tính vận tốc xe Câu (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2 R Gọi C trung điểm đoạn thẳng

OA, qua C kẻ dây cung MNvng góc với OA.Gọi Klà điểm tùy ý cung nhỏ BM (K

không trùng với B M H), giao điểm AK MN

a) Chứng minh tứ giác BCHKlà tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh .

AH AK = R

ĐÁP ÁN Câu 1.

3 5 6 2 10 7 14 2

)

2 4 2 4 5 3 1

x y x y x x

a

x y x y y x y

+ = + = = =

   

⇔ ⇔ ⇔

 − =  − =  = −  = −

   

Vậy ( ) (x y; = 2; 1− )

b)

( )

2

2 2

2

6 9 2 2020 1010

6 9 4 8080 2020

2017

3 8074 4080391 0 2023

3

x x x x

x x x x

x

x x

x

− + = − ≥ ⇒ − + = − +

=   ⇔ − + = ⇔

 = 

Câu 2.

a) Ta có phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d) là:

( )

2

2x = −x 2m⇔2x − +x 2m=0 *

(d) cắt (P) hai điểm phân biệt chi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

( )2 1

0 1 4.2.2 0

16

m m

⇒ ∆ > ⇔ − − > ⇔ <

Vậy 1

16

m< thỏa đề

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

3 1 1 2 0

)

1

2 2 1

3 3 3 1 1 2 2

2 1

3 3 3 1 4 4 6

2 1 2 1

x x x x x

b P

x

x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x

x x x x

+ − + +  ≥ 

= − −  

≠

+ − + −  

+ − − + − − + +

=

+ −

+ − − + − − − − −

= =

+ − + −

( )( )

( 32)( 21) 31

x x x

x

x x

− + −

= =

− + −

( ) ( )

( )( )

2

) 4 5 0 5 5 0 5 5 0

5

5 1 0

1

a x x x x x x x x

x

x x

x

− − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = =

 ⇔ − + = ⇔  = −



Vậy S ={5; 1− }

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

) 4 1 3 2 5 0(1)

' 2 1 3 2 5 2 9 1 8 0

b x m x m m

m m m m m m

− + + + − =

∆ = − +  − + − = + + = + + >

⇒phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, áp dụng Vi et ta có:

1

2

4 4

3 2 5

x x m

x x m m

+ = + 

 = + − 

Vì x1là nghiệm phương trình (1)

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2

1

2

1 1

1

2

4 1 3 2 5 9

4 1 3 2 5 4 1 4 1 9

0 4 1 9

1

4 4 3 4

4 4 4 4 3

4 4 3 7

4

x m x m m

x m x m m m x m x

m x x

m m

m m

m

m

⇒ + + + + − =

⇔ − + + + − + + + + = ⇔ + + + =

 = −  + =



⇔ + + = ⇔ ⇔ 

+ = −

  = −



Vậy 1; 7

4 4

m∈ − − 

 

Câu 4.

Gọi vận tốc xe máy x km h( / )(x>0)thì vận tốc tơ: x+20(km h/ )

Thời gian kể từlúc hai xe khởi hành đến lúc gặp là: 100 ( )

2x+20 h

Quãng đường xe máy 30 phút 3 ( )

2

x km

Quãng đường xe máy hai khoảng thời gian quãng đường AB nên ta

( )

2

100 3

100 200 6 60 200 2 20

2 20 2

40( )

6 140 4000 0 50

( )

3

x x

x x x x

x

x tm

x x

x ktm

+ = ⇔ + + = + +

=   ⇔ − − = ⇔

 = − 

Vậy vận tốc xe máy: 40km h/ , vận tốc ô tô: 60km h/

Câu 5.

a) Ta có: 

90

AKB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); BCH =900(MC ⊥ AB)

Do  

180

HKB+BCH = Vậy tứ giác BCHKnội tiếp

b) Chứng minh

.

AK AH = R

Ta có: MClà đường trung trực OAnên MA=MOvà OM =OA= R,nên

OM =OA=MA= ⇒ ∆R OAM dều, ∠MOA=600

Xét ∆ACHvà ∆AKBcó: ∠ = ∠ =C K 90 ,0 ∠Achung⇒ ∆ACH ∆AKB

. .

AC AH

AK AH AB AC

AK AB

⇒ = ⇒ =

Mặt khác tam giác AMBvuông M có MClà đường cao ứng với cạnh huyền nên

2

.

AC AB= MA = R (hệ thức lượng) Vậy AK AH. = R2

c) Ta có:Tứ giác OMANcó hai đường chéo OAvà MNvng góc trung

điểm C đường nên hình thoi Do

2 120

MON MOA

∠ = ∠ =

Từđó  1 60 ( 2

MKN = MON = góc nội tiếp góc tâm chắn cung MN)

Mặt khác MK =KI ⇒ ∆MKIđều ⇒MK =MI =KI

I H

N M

C B

O A

Ta có: BClà trung trực MN nên BM =BN,và MNB =MAB=600(góc nội tiếp

chắn cung BM), ∆BMNđều, suy BMN =60 ,0 MB=MN

Ta có:     0( )

60 1

KMN =KMB+BMN =KMB+

Ta lại có:     0( )

60 2

KMN =NMI +KMI =NMI +

Từ(1), (2) suy KMB = NMI,vì MN =MB MI, =MKnên ∆MNI = ∆MBK c g c( )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ GIANG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 22

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

MƠN: TỐN (chung) Ngày thi: 30/07/2020

Câu (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức 2

5

x A

x

+ =

−

3 20 2

25 5

x B

x x

−

= +

− +

a) Tính giá trị biểu thức Akhi x=9

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị xđể A=B x( −4)

Câu (1,5 điểm)

Cho phương trình ( ) ( )

2 1 2 0 (

x − m+ x+m + m= với mlà tham số)

a) Giải phương trình (1) m=1

b) Tìm giá trị m đểphương trình ( )1 có hai nghiệm trái dấu

Câu (2,0 điểm)

Quãng đường từA đến B dài 90km.Một người xe máy từA đến B Khi đến B

người nghỉ30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc 9km h/ Thời

gian kể từlúc bắt đầu từA đến B trở Alà Tính vận tốc xe máy lúc từ A

đến B

Câu (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( )O điểm Anằm bên ngồi đường trịn ( )O .Qua điểm Adựng

hai tiếp tuyến AM AN, đến đường tròn ( )O với M N, tiếp điểm Một đường thẳng

dđi qua Acắt đường tròn ( )O hai điểm Bvà C (AB< AC,đường thẳng dkhông

qua tâm O)

a) Chứng minh tứ giác AMON tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh

.

AN = AB AC

c) Hai tiếp tuyến đường tròn ( )O B C cắt K Chứng minh

điểm Kluôn thuộc đường thẳng cốđịnh đường thẳng dthay đổi

đường thẳng dthỏa mãn điều kiện đề

Câu (1,0 điểm)

Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 7.

2

x+ ≥y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

13 10 1 9

3 3 2

x y

P

x y

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) ĐKXĐ: x≥0,x≠25

Với 9( ) 9 2 5 2 9 4

x= tmdk ⇒ =A + = −

−

b) ĐKXĐ: x≥0,x≠25 Ta có:

( )

( )( ) ( )( )

3 5 20 2

3 20 2

25

5 5 5

5 1 5 5 5 x x x B x

x x x

x x x x − + − − = + = − + + − + = = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

) 4 0; 25

2 1

4

5 5

2 4 6 0

3 2 6 0 . 3 2 3 0

3

2 3 0 9( )

2( )

c A B x x x

x

x

x x

x x x x

x x x x x x

x

x x x tm

x ktm = − ≥ ≠ + ⇔ = − − − ⇒ + = − ⇔ − − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =  = ⇔ + − = ⇔ ⇒ = = − 

Vậy x=9

Câu 2.

a) Với m=1,ta có:

( ) ( )

( )( )

2

2

2.2 1 2 0 4 3 0

3 3 0 1 3 1 0

1

1 3 0

3

x x x x

x x x x x x

x x x x − + + = ⇔ − + = ⇔ − − + = ⇔ − − − = =  ⇔ − − = ⇔  = 

Vậy với m=1thì tập nghiệm S ={ }1;3

b) Đểphương trình ( )1 có hai nghiệm trái dấu

1 0 2 0 2 0

x x m m m

⇔ < ⇔ + < ⇔ − < <

Vậy − < <2 m 0thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Câu 3.

Gọi vận tốc xe từA đến Blà v km h v( / , >0)

Thời gian 90;

v Thời gian vềlà :

90 9

v+ Vì cảđi lẫn về(có nghỉ ) giờnên ta có

phương trình: 90 30 90 5

60 9

v + +v+ =

( )

( ) ( )

( )( )

2

2

2

90 810 90 9 20 90 1

9 2 9 2

9 40 180 31 180 0

36 5 180 0 36 5 36 0

36( )

5 36 0

5( )

v v v

v v v v

v v v v v

v v v v v v

v tm

v v

v ktm

+ + +

⇔ = ⇔ =

+ +

⇔ + = + ⇔ − − =

⇔ − + − = ⇔ − + − = =

 ⇔ + − = ⇔  = −



Vậy vận tốc lúc 36(km h/ )

Câu 4.

a) Vì AM AN, tiếp tuyến M, N ( )O ⇒  AMO =ANO=900 ⇒Tứ giác

AMON nội tiếp đường trịn đường kính AO dfcm( )

b) Dễ chứng mnh ∆AMO= ∆ANO(cạnh huyền – cạnh góc vng)⇒ AM = AN

Xét ∆ABN ∆ANCta có:

 ;  

BAN chung BNA=BCN =NCA(tính chất góc tạo tiêp tuyến dây cung)

Suy ABN ANC g g( ) AB AN

AN AC

∆ ∆ ⇒ =

. ( )

AB AC AN dfcm

⇒ =

c) Gọi KMcắt (O) N'

D

N M

E

K C

O

A

Vì tứ giác MBN C' nội tiếp ⇒ ∆KBN'∆KMB⇒KN KM'. =KB2

Gọi KOcắt BCtại E

Dễ thấy   

90 5

OEA= =ONA=OMA⇒ điểm O M N E A, , , , thuộc đường tròn

(1)

Áp dụng hệ thức lượng ∆KBOvuôn B, đường cao BE,ta có:

. '. '

KE KO=KB =KN KM ⇒ ∆KN E ∆KOM

 

' ' 180 '

OM N OMK N EK OEN

⇒ = ∠ = ∠ = −  

' ' 180

OMN OEN

⇒ + =

⇒Tứ giác MOEN'nội tiếp hay điểm M O E N A, , , ', thuộc đường tròn, kết

hợp với (1) suy N ≡N'hay K∈MN cốđịnh

Câu 5.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

1 1 9 9

2 2 2 ; 2 . 6

2 2

x x y y

x x y y

+ ≥ = + ≥ =

Ta có:

( )

13 10 1 9

3 3 2

7 1 9 7 7 97

2 . 2 6

3 2 3 2 6

97 6

P x y

x y

x y x y

x y

P

= + + +

 

 

= + + +  + + ≥ + + =

   

⇒ ≥

Vậy

1 97

2 6

3

x MinP

y

 =  = ⇔ 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số23

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu (2,0 điểm)

1) Giải phương trình

2 3 0

x − x− =

2) Giải hệphương trình 3( 3 5) 2

2 3

x y x y

x y

 + + = + 

+ = − 

Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A=2 3− 27 + 4−2 3

2) Cho biểu thức : 1 0

1 1

1

x

x x x

B

x x

x x x

  −  > 

= −   

≠ −

+ +  

 

Rút gọn biểu thức B.Tìm tất cảcác giá trị xđể biểu thức Bnhận giá trị âm

Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P, ( )có phương trình y=2x2

và đường thẳng ( )d có phương trình y=2x+m m( tham số)

1) Tìm mđểđường thẳng ( )d qua điểm M(−2;3)

2) Tìm điều kiện mđểparabol (P) cắt đường thẳng ( )d , xác định mđể

( )2 ( )

1 2

1−x x +2 y + y =16

Câu (4,0 điểm)Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O R; ) Hai đường cao BE CF, tam giác ABCcắt H Đường thẳng AHcắt BCtại D

cắt đường tròn (O R; )tại điêm thứhai M

1) Chứng minh tứ giác AEHFnội tiếp

2) Chứng minh BClà tia phân giác EBM

3) Gọi Ilà tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh IElà tiếp tuyến

của đường tròn ngoại tiếp ∆BCE

4) Khi hai điểm B C, cốđịnh điểm Adi động đường tròn (O R; )nhưng

thỏa mãn điều kiện tam giác ABCcó ba góc nhọn Chứng minh OA⊥EF.Xác định vịtrí điểm A để tổng DE+ EF+ FDđạt giá trịlớn

Câu (0,5 điểm)

Cho ba sốdương a b c, , thỏa mãn abc=1.Chứng minh :

1 1 1 1

2

2 3 2 3 2 3

ĐÁP ÁN Câu 1.

( ) ( ) ( )( )

2

1) 2 3 0 3 3 0

3 3 0 3 1 0

3 1

x x x x x

x x x x x

x x

− − = ⇔ − + − =

⇔ − + − = ⇔ − + = =

 ⇔  = −

Vậy S ={3; 1− }

( )

3 3 5 2 8 15 6 12 1

2)

2 3 3 2 2

2 3

x y x y x y y x

x y x y y

x y

 + + = +  + = −  = −  =

⇔ ⇔ ⇔

  + = −  = − −  = −

+ = −   



Vậy nghiệm hệphương trình ( ) (x y; = 1; 2− )

Câu 2.

1) Rút gọn biểu thức

( )2

2 3 27 4 2 3

2 3 9.3 3 1 2 3 3 3 3 1

3 3 1 1

A= − + −

= − + − = − + − = − + − = −

2) Rút gọn B tìm x…………

Điều kiện x>0,x≠1

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 1

: .

1

1 1 1

. 1 1 1

1

1 1

x x x x x x

B

x

x x x x x x

x x x x

x

x x x

  − − −

= −  =

−

+ + + −

 

− − +

= = −

− +

Với x>0,x≠1ta có B< ⇔0 x − < ⇔1 0 x < ⇔ <1 x 1

Kết hợp với điều kiện ta có 0< <x 1thì B nhận giá trị âm

Câu 3.

1) Tìm m

Vì M(2; 3− ∈) ( )d nên thay x= −2,y =3vào phương trình ( )d :y=2x+mta có:

( )

3=2. − + ⇔ = − + ⇔ =2 m 3 4 m m 7

Vậy với m=7thì đường thẳng ( )d qua điểm M (−2;3)

Ta có phương trình hồnh độgiao điểm (P) (d) : ( )

2

2x =2x+ ⇔m 2x −2x− =m 0 *

Đểparabol (P) cắt đường thẳng ( )d hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai

nghiệm phân biệt

( )2 ( ) 1

' 1 2. 0 1 2 0

2

m m m

⇒ ∆ = − − − > ⇔ + > ⇔ > −

Khi áp dụng hệ thức Vi – et ta có:

1

1

1 2

x x m x x

+ = 

 

= − 

Theo ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

1 2

2 2 2

1 2

2

1 2

2

2

2

2

1 2 16

1 2 2 2 16

1 4 2 16

1 4 1 2. 16

2 2

1 4 4 16 5 11 0

4 4

20 44 0 22 2 44 0

22 2 22 0 22 2 0

22( ) 2( )

x x y y

x x x x

x x x x x x

m m

m m

m m m

m m m m m

m m m m m

m ktm

m tm

− + + =

⇔ − + + =

 

⇔ − +  + − =

   

⇔ +  +  + =

   

⇔ + + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − − =

⇔ + − + = ⇔ + − =

= −  ⇔  =

Vậy m=2

Câu 4.

P K

A'

N I

H D F

E

M O A

B

1) Chứng minh AEHFlà tứgiác nội tiếp

Ta có: BE CF, đường cao ∆ABC

{ }

{ }  900

BE AC E

AFC AEB

CF AB F

⊥ = 

⇒ ⇒ = ∠ =

⊥ = 

Xét tứ giác AEHFta có :  AEH + AFH =900+900 =1800 ⇒ AEHFlà tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh BClà tia phân giác BEM

Ta có:  

0

0 90 90

DAC ACD

DAC EBC

EBC ECB

∠ + ∠ =

 ⇒ =



∠ + ∠ =

 (cùng phụgóc DAC)

Hay ∠MAC = ∠EBC

Lại có: ∠MAC = ∠MBC(cùng chắn cung MC)

 ( )

MBC EBC MAC BC

⇒ = = ⇒ phân giác ∠EBM dfcm( )

3) Chứng minh IElà tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ∆BCE

Ta có :

90

AEH

∠ = góc nội tiếp chắn cung AH

AH

⇒ đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AEHF

I

⇒ trung điểm AH

Ta có: ∆BEClà tam giác vng E

⇒Đường trịn ngoại tiếp ∆BECcó tâm trung điểm BC

Gọi Nlà trung điểm BC⇒N tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BEC

1 2

NB NE BC

⇒ = = (tính chất tiếp tuyến tam giác vuông)

BNE

⇒ ∆ cân N ⇒ ∠NBE= ∠NEBhay ∠DBE= ∠NEB

Ta có IElà đường trung tuyến ∆AEHvuông E 1

2

EI IH AH IEH

⇒ = = ⇒ ∆ cân I⇒ IEH =IHE mà IHE =BHD(hai góc đối đỉnh)⇒IEH =BHD

Lại có : 0

90 90

HBD BHD IEH BEN

∠ + ∠ = ⇒ ∠ + ∠ =

Hay IE⊥EN ⇒IElà tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆BEC dfcm( )

4) Xác định vịtrí điểm A………

Gọi EF∩OA={ }K

Kẻđường kính AP

Khi ta có ∠ACPlà góc nội tiếp chắn nửa đường trịn⇒ ∠ACP=900

0

90 90

APC PAC hay OAC APC

⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =

Xét tứ giác BCEF có: BFC =BEC=90 ,0 mà hai đỉnh E, F kề nhau⇒BCEFlà tứ giác

nội tiếp ⇒FBC =AEF (góc ngồi góc đỉnh đối diện)

0 90

AEF APC APC OAE AEF EAO

⇒ ∠ = ∠ ⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =

Hay AO⊥EF ={ }K (dfcm)

Chứng minh tương tựta có: OB⊥FD OC, ⊥ ED

Ta có: 1 .

2 OEAF

S = OA EF(tứgiác có hai đường chéo vng góc)

Tương tự: 1 . ; 1 .

2 2

OFBD ODCE

S = OB FD S = OC DE

( )

1 1 1

. . .

2 2 2

1 2

2

OEAF OFBD ODCE

ABC ABC

S S S OA EF OB FD OC DE

S

S R EF FE DE EF FE DE

R

⇒ + + = + +

⇒ = + + ⇒ + + =

Kéo dài ONcắt (O) A'⇒ A N' ⊥BC ON( ⊥BC)

Khi ta có: 1 . 1 '

2 2

ABC

S = AD BC≤ A N BC

Đặt BC=a

Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ONCta có:

2

2 2

4

a ON = OC −CN = R −

2

2

2

' '

4 2 4

4

ABC

a a a

A N OA ON R R S R R

a

a R R

EF FD DE

R

 

⇒ = + = + − ⇒ ≤  + − 

 

 

+ −

 

 

 

⇒ + + ≤

Dấu " "= xảy ⇔ ≡A A',khi điểm Alà điểm cung lớn BC

Câu 5.

Đặt a = x, b = y, c =z

Khi ta có: x y z, , >0và xyz = abc =1, Khi yêu cầu toán trở thành chứng minh:

1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2

x+ y+ + y+ z+ + z+ x+ ≤

Ta có: x+2y+ = + + + +3 x y y 1 2

( ) ( )

1 2 2 1

1 1 1

2 3 2 1 .

2 3 2 1

x y y xy y

x y xy y

x y xy y

⇒ + + + + ≥ + +

⇒ + + ≥ + + ⇒ ≤

+ + + +

Chứng minh tương tựta có:

( ) ( )

1 1 1 1

;

2 3 2. 1 2 3 2. 1

y+ z+ ≤ yz + z + z+ x+ ≤ zx + x +

Khi ta có:

1 1 1

2 3 2 3 2 3

1 1 1 1

.

2 1 1 1

x y y z z x

xy y yz z zx x

+ +

+ + + + + +

 

≤  + + 

+ + + + + +

 

Đặt 1 1 1

1 1 1

A

xy y yz z zx x

= + +

+ + + + + + ta có:

2

1 1 1

1 1 1

1

1

1

1

1 1

1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2

A

xy y yz z zx x

xy y

A

xy y xy z xyz xy xyz xy y

xy y

A

xy y y xy xyz xy y

x y y z z x

= + +

+ + + + + +

= + +

+ + + + + +

= + + =

+ + + + + +

⇒ + + ≤

+ + + + + +

Dấu " "= xảy 1 1 1

x y z

x y z

xyz

= = = 

⇔ ⇒ = = = =



Khi ta có a = b = c = ⇔ = = =1 a b c 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số23b

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

CHUYÊN

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn : TOÁN (chung)

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu (2,0 điểm)

1 Rút gọn biểu thức A= 50− 32 − 3+2 2

2 Cho biểu thức 2 1 . 1 0

1

2 2 1

x

x x

B

x

x x x x

>  

− +

 

= +    ≠

+ + −

    Rút gọn biểu thức Bvà

tìm giá trị xđể B=3

Câu (2,0 điểm)

1 Giải phương trình

5 6 0

x − x− =

2 Giải hệphương trình : 3 2 1

3 4

x y

x y

 − = 



+ = 

Câu (1,5 điểm)

1. Cho hàm số 2( )

0

y =ax a ≠ có đồ thịlà parabol

hình Xác định hệ số a

2. Cho phương trình 1 2

(

2x = +x m mlà tham số) Chứng

minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân

biệt x x1, 2với m∈ Tìm giá trị mđể

3

1 20

x = −x

Câu (3,5 điểm)

Cho đường trịn ( )O ,đường kính ABcốđịnh Điểm H cốđịnh nằm hai điểm Avà Osao cho AH <OH.Kẻ dây cung MNvng góc với ABtại H Gọi Clà điểm tùy

ý thuộc cung lớn MNsao cho Ckhông trùng với M N, B.Gọi Klà giao điểm AC

và MN.

1) Chứng minh tứ giác BCKHnội tiếp

2) Chứng minh tam giác AMKđồng dạng với tam giác ACM

3) Cho độdài đoạn thẳng AH =a.Tính AK AC. −HA HB. theo a

4) Gọi Ilà tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MKC.Xác định vịtrí điểm Cđểđộ

dài đoạn thẳng IN nhỏ

Câu (1,0 điểm)

Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn abc+ + =a b 3ab.Tìm giá trị nhỏ

biểu thức

1 1 1

ab b a

P

a b bc c ac c

= + +

ĐÁP ÁN Câu 1.

( )

( ) ( ()( ) )

2

1) 50 32 3 2 2 25.2 16.2 2 1

5 2 4 2 2 1 1

0

2 1 1

2) .

1

2 2 1

1 2

2 1 1 1

. .

1 1

2 . 2

1 1 1

3 3 1 3 2 1 ( )

2 4 A x x x B x

x x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x

x

B x x x x x tm

x = − − + = − − + = − − − = − >   − +   = +    ≠ + + −     − + − + + + + = = = − − + + + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy 1

4

x= B=3

Câu 2.

( ) ( ) ( )( )

2

1) 5 6 0 6 6 0

6

6 6 0 6 1 0

1

x x x x x

x

x x x x x

x − − = ⇔ − + − = =  ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔  = − 

Vậy S={6; 1− }

( )

3 2 1 3 2 1 11 11

2) 0

3 4 3 9 12 4 3

1 1 1( ) 1 1 1

x y x y y

y

x y x y x y

x y y tm x x y  − =  − =  =

 > ⇔ ⇔

   + = + = = −        =   =  =  ⇔ ⇔ = =    = −  

Vậy ( ) ( ) (x y; ∈{ 1;1 ; 1; 1− )}

Câu 3.

1) Khi ( ( )) ( )2

2 4 2;4 4 . 2 1

x= − ⇒ =y do M − ⇒ =a − ⇔ =a

2) Ta có: 1 2

2x = +x m ( )

2

2 2 0 1

x x m

⇔ − − =

( )2 ( 2) 2

' 1 1. 2m 2m 1 0

∆ = − − − = + > ⇒phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Vi – et :

2

2 2

x x

x x m

( ) ( )

( )

( )

3 3 3

3

1 2

1 2

2

2 2

20 20 20

3 20 0

2 2 3. 2 20 0

2 4 6 20 0 6 6 1 1

x x x x x x

x x x x x x

m

m m m m

= − ⇔ = − ⇔ + = ⇔ +  + − − =

 

⇔  − − − =

⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

Vậy m= ±1thì thỏa đề

Câu 4.

a) Có 

90

AH ⊥MN ⇒KHB= mà KCB=900

⇒Tứ giác BCKHcó KHB +KCB=900 +900 =1800⇒BCKH tứ giác nội tiếp

b) Xét ∆AMKvà ∆ACM có:

 ; 

A chung AMK = ACM (cùng chắn AM)⇒ ∆AMK ∆ACM g g( )

c) 2( )

. 1

AK AM

AMK ACM AK AC AM

AM AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Xét ∆AMHvà ∆MBHcó: H 1 =H2(=90 ;0) MAH = ∠HMB(cùng phụ HMA) ( )

2

( ) HA HM . 2

AMH MBH g g HA HB HM

HM BH

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Từ(1) (2) ta có:

2 2

. .

AK AC −HA HB=AM −HM =AH =a

d) Vì AM tiếp tuyến ( )I (do AMK =MCA cmt( )mà góc góc nội tiếp , góc góc tạo tiếp tuyến dây cung)⇒ ∈I MB

Ta có: ⇔khoảng cách từ xuống nhỏ

I K

N M

B O

A H

,

NI BM

⇒ ⊥ khoảng cách từ Nđến tâm I nhỏ Clà giao điểm (I IM; )

và (O)

Vậy Clà hình chiếu Ntrên BM

Câu 5.

Từ giả thiết c 1 1 3

a b

⇒ + + =

Đặt 1 x;1 y c; z x y z 3

a = b = = ⇒ + + =

Và P 1 1 1

xy x y yz y z zx z x

= + +

+ + + + + +

( ) ( ) ( )

3 3 3

3 xy x y 3 yz y z 3 zx z x

= + +

+ + + + + +

Ta có:

( )

( ) ( ) ( )

3 3

2

2 3 2 3 2 3

3 3 3

18 3 18 3

2 9 15

xy x y

xy x y

P

xy x y yz y z zx z x

xy yz zx x y z xy yz zx

+ + + + + ≤

⇒ ≥ + +

+ + + + + + + + +

≥ =

+ + + + + + + + +

Lại có: ( )

2 3 3

x y z xy+ yz+zx≤ + + =

Do 18 3 3

3 15

P≥ =

+

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số24

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020-2021

Khóa ngày 17/7/2020

Đềthi mơn: TỐN

Ngày thi: 18/07/2020

Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức 1

2

x A

x

+ =

+

3 5

1 1

x B

x x

+

= −

−

− với x≥0,x≠1

1) Tính giá trị biểu thức A x=4 2) Chứng minh 2

1

B x

= +

3) Tìm tất cảgiá trị xđể biểu thức P=2AB+ xđạt giá trị nhỏ

Bài II (2,0 điểm)

1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệphương trình

Quãng đường từ nhà Anđến nhà Bình dài 3km.Buổi sáng, An từnhà An đến nhà

Bình Buổi chiều ngày, An xe đạp từnhà Bình vềnhà An quãng đường

đó với vận tốc lớn vận tốc Anlà 9km h/ Tính vận tốc An,biết

thời gianđi buổi chiều thời gian buổi sáng 45phút (Giảđịnh Anđi

với vận tốc khơng đổi tồn bộqng đường đó)

2) Một quảbóng bàn có dạng hình cầu có bán kính 2cm.Tính diện tích bề

mặt quảbóng bàn (lấy π ≈3,14).

Bài III (2,5 điểm)

1) Giải hệphương trình:

3

2 5

1 1

4 3

1

x y x

y

 + =

 −

 

 − =

 −



2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,xét đường thẳng ( )d :y=mx+4với m≠0

a) Gọi Alà giao điểm đường thẳng ( )d trục Oy.Tìm tọa độđiểm A

b) Tìm tất cảgiá trị mđểđường thẳng ( )d cắt trục Oxtại điểm B cho OAB

∆ tam giác cân

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn đường cao BE.Gọi Hvà Klần lượt chân

các đường vng góc kẻ từđiểm Eđến đường thẳng AB BC,

1) Chứng minh tứ giác BHEKlà tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh BH BA. =BK BC.

3) Gọi Flà chân đường vng góc kẻ từđiểm Cđến đường thẳng ABvà Ilà trung

điểm đoạn thẳng EF.Chứng minh ba điểm H I K, , ba điểm thẳng hàng

Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình:

3 2 1

ĐÁP ÁN Bài I.

1) Tính giá trịbiểu thức….

Thay x=4(tmdk)vào biểu thức 4 1 2 1 3

2 2 4

4 2

A= + = + =

+ +

2) Với x≥0,x ≠1ta có:

( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) )

3 1 5

3 5

1

1 1 1

2 1

3 3 5 2 2 2

)( ) 1

1 1 1 1 1 1

x x

x B

x

x x x

x

x x x

dfcm x

x x x x x x

+ − − +

= − =

−

− + −

−

+ − − −

= = = =

+

+ − + − + −

3) Tìm xđể Pmin

Với x≥0;x≠1ta có:

1 2 4

2 2. .

2 1 2

4

2 2

2

x

P AB x x x

x x x

P x

x

+

= + = + = +

+ + +

= + + − +

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai sốdương 2; 4

2

x

x

+

+ , ta có:

( )

4 4

2 2 2 2 4 4

2 2

4

2 2 2

2

x x

x x

x

x

+ + ≥ + = =

+ +

⇒ + + − ≥ +

Dấu " "= xảy 2 4 ( 2)2 4 2 2 0( ) 2

x x x x tm

x

⇔ + = ⇔ + = ⇒ + = ⇔ = +

Vậy Pmin = ⇔ =2 x 0

Bài II.

1) Giải tốn cách lập phương trình

Gọi vận tốc Anlà x km h( / )(x>0)⇒Thời gian bộ: 3( )h x

Vận tốc xe đạp An: x+9(km h/ )⇒Thời gian xe đạp : 3 9

x+

Vì An xe đạp nhanh bộlà 45phút 3( )

4 h

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

2

3 3 3 1 1 1

4 9 4 9

9 4 9 4

4 36 4 9 9 36 0

12 3 36 0 12 3 12 0

3( )

3 12 0

12( )

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x tm x x x ktm − = ⇔ − = ⇔ + − = + + + ⇔ + − = + ⇔ + − = ⇔ + − − = ⇔ + − + = =  ⇔ − + = ⇔  = − 

Vậy vận tốc Anlà 3km h/

2) Tính diện tích bềmặt quảbóng bàn

Diện tích bề mặt quảbóng bàn: 2 ( )2

4 4.3,14.2 50, 24

S = πR ≈ = cm

Vậy diện tích cần tìm ( )2

50, 24 cm

Bài III.

1) Giải hệphương trình

3 2 5 1 1 4 3 1 x y x y  + =  −    − =  − 

Điều kiện : y≠1

Đặt 1 ( 0)

1 u u

y− = ≠ , ta có hệphương trình:

1

7 7

2 3 5 4 6 10

1 3

1 1 2( )

4 3 4 3

1 4

x u

x u x u

u

u y tm

x u x u x

y =  =  + = + =  ⇔ ⇔ ⇔  − =  − =  = +  = ⇒ = ⇔ =     − 

Vậy hệcó nghiệm ( ) ( )x y; = 1;2

2) a) Tìm tọa độđiểm A

Vì Alà giao điểm đường thẳng ( )d trục Oy nên hoành độđiểm Alà xA =0

Gọi A(0;yA).Vì A(0;yA)∈dnên ta có: yA =m.0+ = ⇔4 4 yA =4

Vậy A( )0;4 giao điểm đường thẳng ( )d trục Oy

b) Tìm tât cảcác giá trịcủa m….

Vì Blà giao điểm ( )d cắt trục Oxnên tung độđiểm Blà yyB =0

Gọi B x( B;0 ;) B x( B;0) ( )∈ d nên ta có: 0 m x. B 4 xB 4(m 0)

m

−

= + ⇒ = ≠

Suy B 4;0 AB 4

m m

− −

  ⇒ =  

 

Theo câu a) ta có: A( )0;4 nên OA= =4 4 Vì ∆OABcân O nên OA OB 4 4

m

4 4

4 4 1( )

4 4 4 1( )

4

m m tm

m

m m tm

m

−  =

  = −  = − ⇔ ⇔  ⇔ 

= =

 

 = 

Vậy m= −1;m=1thỏa mãn toán

Bài IV.

1) Chứng minh BHEKlà tứgiác nội tiếp

Ta có :  ( )  0( )

90 , 90

BHE = do EH ⊥ AB BKE= do EK ⊥BC

Tứ giác BHEKcó BHE +BKE=900 +900 =1800nên tứ giác nội tiếp (tứgiác có tổng

hai góc đối ( )

180 ) dfcm

2) Chứng minh BH BA. =BK BC.

Theo câu a) tứ giác BHEKnội tiếp nên  BKH =BEH(cùng chắn cung BH)

Ta có:

 

90 (

BEH +EBH = do BHE∆ vuông H)

 

90 (

BAE +EBH = do ABE∆ vuông E) nên BEH =BAE(cùng phụ với EBH)

Mà BKH =BEH cmt( )nên BKH =BAE(=BEH)

Xét ∆BHKvà ∆BCAcó:

1

1 2

1 2

I F

K H

E O

A



ABCchung;   BKH =BAE =BAC cmt( )⇒ ∆BHK ∆BCA g g( )

BH BK

BC BA

⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng tỉlệ)⇒BH BA. =BC BK.

c) Chứng minh H I K, , thẳng hàng

Gọi I'là giao điểm HKvà EF

Xét tứ giác BFECcó : BFC =BEC =90 (0 gt)nên tứ giác nội tiếp (tứgiác có đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau)⇒ B1 = F1(cùng chắn EC)

Ta có: EH / /CF(cùng vng góc với AB)⇒ F1 = E1(so le trong)  B1=E1( )1 Theo câu a, tứ giác BHEKnội tiếp nên B 1=H1(cùng chắn EK) 2( )

Từ(1) (2) ta suy H 1 = E1

'

I HE

∆ có H 1 =E1nên tam giác cân⇒I H' =I E' ( )3

Lại có:   

1 90

H +H =BHE= ;F 2 +E1=90 (0 do HFE∆ vuông H)

Nên H 2 =F2hay tam giác I HF' cân I'⇒I H' = I F' ( )4

Từ ( )3 ( )4 ⇒I E' =I F' hay Ilà trung điểm EF

Do I'≡Inên ba điểm H I K, , thẳng hàng (đpcm)

Bài V.

Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

2

3 2 1

2 2 3 2 2 2

2 2 2 3 2 2 0

2 1 2 1 3 2 2 3 2 1 0

2 1 1 3 2 1 0

x x x

x x x

x x x

x x x x x

x x x

+ − = +

⇔ + − = + ⇔ − − − + =

⇔ − + − + + − − − + = ⇔ − + − + − − =

Vì ( )2 ( )2

1 0; 1 0

x− ≥ x − ≥ ( 3x− −2 1)2 ≥0với 2 3

x≥ nên:

( )2 ( ) (2 )2

2 1 1 3 2 1 0

1 0 1

1 0 1 1( )

3 2 1

3 2 0

x x x

x x

x x x tm

x x

− + − + − − = − =

  =

 

⇔ − = ⇔ = ⇔ =  − − =  − =



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰNHIÊN

Đề số24b

ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020

MƠN THI: TỐN (cho tất cảcác thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

Câu I (4 điểm)

1) Giải hệphương trình :

( )

2

3

7

9 70

x y xy

x xy x y

 + + = 



= + − 

2) Giải phương trình: 11 5− +x 8 2x− =1 24+3 (5−x)(2x−1)

Câu II (2 điểm)

1) Tìm x y, nguyên dương thỏa mãn x y2 2−16xy+99=9x2 +36y2 +13x+26y

2) Với a b, số thực dương thỏa mãn

2

2≤2a+3b≤5 ;8a+12b≤2a +3b +5ab+10

Chứng minh rằng: 2

3a +8b +10ab≤21

Câu III (3 điểm)

Cho tam giác ABCcó BAClà góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường

tròn (O) Điểm Dthuộc cạnh BCsao cho ADlà phân giác BAC.Lấy điểm M N,

thuộc (O) cho đường thẳng CM BN, song song với đường thẳng AD

1) Chứng minh AM = AN

2) Gọi giao điểm đường thẳng MNvới đường thẳng AC AB, E F,

Chứng minh bốn điểm B C E F, , , thuộc đường tròn

3) Gọi P Q, theo thứ tựlà trung điểm đoạn thẳng AM AN, .Chứng minh đường thẳng EQ FP AD, , đồng quy

Câu IV (1 điểm)

Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a+ + =b c 3.Chứng minh rằng:

( )

( ) (( ) ) (( ) )

2 2

2 2 4

2 2 2

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b

+ + +

+ + ≥

ĐÁP ÁN Câu I.

1) Giải hệphương trình:

( )

2

3

7 (1)

9 70 (2)

x y xy

x xy x y

 + + = 



= + − 

Nếu x= y,hệphương trình trở thành 7 3 7 3 8 0 0 x x x x   = = ±  ⇔   =

  = (Vơ nghiệm), x≠ y

Nhân hai vế phương trình ( )1 với x− ≠y 0ta có:

( ) ( )( 2 ) ( ) 3 ( ) ( 3) ( )

1 ⇔ x− y x + y +xy =7 x− y ⇔ x − y =7 x− y ⇔10 x − y =70 x−y

Thếvào phương trình ( )2 ta có:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3 3 3

2

2

2 9 10 10 0

2 0 3

2 2 5 0

2 5 0 4

x xy x y x xy y

x y

x y x xy y

x xy y

⇔ = + − ⇔ + − = − =  ⇔ − + + = ⇔  + + = 

Ta có: ( )3 ⇔ =x 2y

Thếvào phương trình (1) ta có: 2 2 1 2

4 2 7 7 7

1 2

y x

y y y y

y x = ⇒ =  + + = ⇔ = ⇔  = − ⇒ = −  ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

4 2 4 0 2 4 0

2 0

2 2 0 0( )

0

x xy y y x y y

x y

x y y x y ktm

y ⇔ + + + = ⇔ + + = + =  ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = = 

Vậy nghiệm hệphương trình ( ) ( ) (x y; ∈{ 2;1 ; − −2; 1)}

2) Giải phương trình: 11 5− +x 8 2x− =1 24+3 (5−x)(2x−1) ( )( ) ( )

11 5− +x 8 2x− =1 24+3 5−x 2x−1 *

ĐKXĐ: 5 0 1 5

2 1 0 2

x x x − ≥  ⇔ ≤ ≤  − ≥ 

Đặt : ( )

( )

2

2

5 0 5

2 1

2 1 0

x a a a x

b x

x b b

 − = ≥  = −  ⇒   = −  − = ≥   ( ) 2

2a b 2 5 x 2x 1 9

Khi ta có: 112 82 24 3 (1)

2 9 (2)

a b ab

a b + = +   + = 

Giải phương trình ( )1 ta có: ( )1 ⇔11a−3ab=24 8− b⇔a(11 3− b)=24 8− b( )*

Với 11 3 0 11 ( )* 0 16

3 3

b b a

− = ⇔ = ⇒ ⇔ = − (vô lý) 11 3

b

⇒ = khơng nghiệm

phương trình (*)

24 8 8 24

11 3 3 11

b b

a

b b

− −

⇒ = =

− − , Thay

8 24 3 11 b a b − =

− vào ( )2 ta được:

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( )

2

2 2

2 2

4

3

8 24

2 2 9

3 11

2 64 384 576 9 66 121 9 9 66 121

128 768 1152 9 66 121 81 594 1089 0

9 66 168 174 63 0 3 22 56 58 21 0

1 3 19 37 21 0 1 1 3 3 7 0

b

b b

b b b b b b b

b b b b b b b

b b b b b b b b

b b b b b b b b

−   ⇔   + = −   ⇔ − + + − + = − + ⇔ − + + − + − + − = ⇔ − + − + = ⇔ − + − + = ⇔ − − + − = ⇔ − − − − =

2 1 1

1 0 1 2 1 1 1( )

3 0 3 2 1 3 2 1 9 5( )

3 7 0 7 7 49 29

2 1 2 1 ( )

3 3 9 9

x

b b x x tm

b b x x x tm

b

b x x x tm

    − =     − = = − = =       ⇔ − = ⇔  = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =      − =   =  − =  − =  =    

Vậy phương trình có tập nghiệm 1;29;5

9

S =  

 

Câu II.

1) Tìm x y, nguyên dương thỏa mãn: x y2 2−16xy+99=9x2 +36y2 +13x+26y

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2

16 99 9 36 13 26

20 99 9 36 36 13 26

20 100 1 3 2 13 2 *

x y xy x y x y

x y xy x xy y x y

x y xy x y x y

− + = + + +

⇔ + + = + + + +

⇔ + + − = + +

Đặt ( )

( )

2 0

10 10

x y a a

xy b b

+ = > 



+ = > 

( ) 2

* b 1 9a 13a

( ) ( )( ) 2 2 2

13 169 169

9 2.3 1

6 36 36

13 133

3 18 13 36 133

6 36

18 6 13 18 6 13 133 (1)

a a b

a b a

a b a b

⇔ + + − = −  

⇔ +  − = ⇔ + − =  

⇔ − + + + =

Ta lại có : a b, > ⇒0 18a+6b+13 18> a−6b+13>0

Lại có 133 133.1 19.7= =

( )

11

( )

18 6 13 0 18 6 120 3

18 6 13 1 18 6 12 19

1

18 6 13 19 18 6 32 6

( )

18 6 13 7 18 6 6 25

18

b

tm

a b a b a

a b a b

a

a b a b

ktm

a b a b

b  =    + + =  + =  =     − + =  − = −       ⇒ ⇔  ⇔ ⇔  =  + + = + =        − + = − = −      = −   ( ) ( )( )

3 2 3 2

2 3 3 2

3 2 1

10 11 1 2 3 1 0

3 2

3 2 1 1( )

( )

2 1 1 0 2 1( )

1

x y x y

x y x y

y y

xy xy y y

x y

x y x tm

y ktm

y y y tm

y = − = −  + = = −    ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ − = + = = − + =     = −   = −    = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =     = 

Vậy phương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1

2) Với a b, là sốthực dương thỏa mãn 2≤2a+3b≤5 ;( )

2

8a+12b≤2a +3b +5ab+10 Chứng minh 3a2 +8b2 +10ab≤21 2( )

Giải

( )2 ⇔8a+12b≤(2a+3b a)( +b)+10≤5(a+b)+10

3a 7b 10.

⇔ + ≤ Mặt khác 2a+3b≤5

Dựđoán dấu " "= xảy ⇔ = =a b 1 Ta có:

( ) ( ) ( )

2

3 8 10 3 4 . 2

I

a + b + ab= a+ b a+ b



Áp dụng bất đẳng thức ( )

2

4

A B

AB≤ + , ta có:

( ) ( ) ( ) (9 12 7 14 )2

21. 3 3 4 7 2

4

a b a b

( ) (16 26 ) (2 )2

21. 8 13

4

a b

I + a b

⇒ ≤ = +

Ta biểu diễn 8a+13btheo 3a+7b 2a+3bbằng cách đồng hệ số

Xét 8a+13b=x(3a+7b) (+ y 2a+3b)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

8 13 3 2 . 7 3 .

2

3 2 8 5

7 3 13 17

5

2 17 2 17

21. 8 13 3 7 2 3 .10 .5 21

5 5 5 5

21.

a b x y a x y b

x

x y

x y

y

I a b a b a b

I

⇔ + = + + +

 =  + =

 

⇔ ⇔

+ =

  =



   

⇒ ≤ + = + + +  ≤ +  =

   

⇒ ≤

Dấu " "= xảy ⇔ = =a b 1

Câu III.

1) Chứng minh AM = AN

K Q

P

F

E N

M

D O A

B

Ta có:  NBA=DAB(so le BN / /AD)

 ( )

DAB= DAC gt ;DAC = ACM (so le CM / /AD)

   

NBA MCA sd AN sd AM

⇒ = ⇒ = (trong đường trịn, hai góc nội tiếp

chắn hai cung nhau)

Vậy AM = AN(trong đường tròn, hai dây căng hai cung nhau)

2) Chứng minh điểm B C E F, , , cùng thuộc đường tròn.

Ta có:  1(  )

2

AEF = sd AN +sd CM (góc có đỉnh ởbên đường tròn)

 

( )

1

2 sd AM sd CM

= + 1  

2sd AC ABC

= = (góc nội tiếp nửa sốđo cung bị chắn)

Vậy tứ giác BCEFlà tứ giác nội tiếp (tứgiác có góc ngồi góc đỉnh đối diện

bằng nhau) hay B C E F, , , thuộc đường tròn

3) Chứng minh đường thẳng EQ FP AD, , đồng quy

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt tam giác AHN,cát tuyến EKQ, ta có:

. . 1 . 1

EN KH QA EN KH

EH KA QN = ⇒ EH KA = (do Qlà trung điểm AN gt( )nên QA=QN)

( )

EN KA

I

EH KH

⇒ =

Gọi AD∩PE={ }K' Ta chứng minh K'≡ K

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt tam giác AHM,cát tuyến PKFta có:

' '

. . 1 . 1

' '

FM K H PA FM K H

FH K A PM = ⇒ FH K A = (Do Plà trung điểm AM gt( )nên PA=PM)

( ) '

'

FM K A

II

FH K H

⇒ =

Ta chứng minh EN FM FM FH FM FH HM ( )*

EH FH EN EH EN EH HN

−

= ⇔ = = =

− (tính chất dãy tỉ số

bằng nhau)

Vì BN / /AD/ /CM nên áp dụng định lý Ta – let ta có: HM DC

HN = DB

Lại có : DC AC

DB = AB(định lý đường phân giác), đó: ( )1

HM AC

HN = AB

Xét ∆AEFvà ∆ABCcó:  AEF = ABC cmt BAC( ),chung ( ). AC AF( )2

AEF ABC g g

AB AE

Từ(1) (2) HM AF ( )3

HN AE

⇒ =

Tiếp tục áp dụng định lý đường phân giác tam giác AEFta có: AF HF( )4

AE = HE

Từ(3) (4) ta suy HM HF,

HN = HE ( )* chứng minh, tức ( )

EN FM

III EH = FH

Từ ( ) ( ) ( )I , II , III suy '

'

KA K A

KH = K H , K ≡ K'

Vậy EQ FP AD, , đồng quy K

Câu IV.Với a b c, , >0,a+ + =b c 3ta có:

( )

( ) (( ) ) (( ) ) (( ) ) (( ) ) (( ) )

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a a bc b b ca c c ab a a bc b b ca c c ab

P

b ab c c bc a a ca b ab ab c bc bc a ca ca b

+ + + + + +

= + + = + +

+ + + + + +

Áp dụng BĐT ( )

2

2 2 a b c

a b c

x y z x y z

+ + + + ≥

+ + ta có:

( )

( ) ( ( ) )

2

2 2 2

2

2 2 2

3 3

2

a b c abc a b c abc

P P

a b b c c a abc a b c ab bc ca

+ + + + + +

≥ ⇒ ≥

+ + + + + + +

Đặt ,

a b c p ab bc ca q abc r + + =   + + =   = 

áp dụng BĐT Schur ta có: ( 2)

9r≥ p 4q− p

( ) ( )

9abc 3 4 ab bc ca 9 3abc 4 ab bc ca 9

⇒ ≥  + + − ⇔ ≥ + + −

Khi ta có:

( )

( )

2

2 2

2

4 9

a b c ab bc ca

P

ab bc ca

 + + + + + −    ≥ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) 2 2 2 2 2 9

3 2 9 4

4

a b c ab bc ca

P

ab bc ca

ab bc ca ab bc ca

P P

ab bc ca ab bc ca

 + + + + + −    ≥ + +  + + + −  + +   ≥ ⇒ ≥ = + + + +

Dấu " "= xảy ⇔ = = =a b c 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Đề số24c

CỘNG HÒA XA HỘI CHỦNGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tựdo – Hạnh phúc

ĐỀCHÍNH THỨC

Bài (2,0 điểm)

Cho biểu thức 4 8 : 1 2

4

2 2

x x x

P

x

x x x x

   − 

= +   −  −

+ −

   với x>0;x≠4;x≠9

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm msao cho m( x −3 ) P> +x 1đúng với giá trị x>9

Bài (3,0 điểm)

a) Trong hệtrục tọa độ Oxycho hai đường thẳng ( )d1 :y =5x+9và

( ) ( )

2 : 4 3

d y= m − x+ m (mlà tham số) Tìm giá trị mđểhai đường thẳng

1

d d2là song song

b) Cho phương trình: ( )

2 1 2 5 0

x − m− x+ m− = (mlà tham số) Tìm giá trị

mđểphương trình có nghiệm x x1, 2thỏa mãn:

( )( )

1 2 2 1 2 0

x − mx + m− x − ≤

c) Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từA đến Bdài 120km Vì

giờ ô tô thứ nhát chạy nhanh ô tô thứhai 10kmnên đến Btrước ô tô thứ hai

là 0, 4giờ Tính vận tốc tơ, biết vận tốc ô tô không đổi

quãng đường AB.

Bài (1,5 điểm)

Bác An muốn làm cửa sổ khn gỗ, phía có dạng nửa hình trịn, phía có dạng hình chữ nhật Biết : đường kính nửa hình trịn

cạnh phía hình chữ nhật tổng độ dài khn gỗ(các đường in

đậm vẽtrong hình bên, bỏqua độrộng khuôn gỗ) 8 m Em giúp bác

An tính độ dài cạnh hình chữ nhật để cửa sổcó diện tích lớn Bài (3,0 điểm)

Cho đường tròn ( )O điểm nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến ABvới

đường tròn ( )O (B tiếp điểm) đường kính BC.Trên đoạn thẳng COlấy điểm I(I

khác C O) Đường thẳng IAcắt ( )O hai điểm Dvà E(Dnằm A E) Gọi H

là trung điểm đoạn thẳng DE

a) Chứng minh AB BE. =BD AE.

b) Đường thẳng dđi qua điểm Esong song với AO, dcắt BCtại điểm K.Chứng

minh HK / /CD

c) Tia CDcắt AOtại điểm P,tia EOcắt BPtại điểm F.Chứng minh tứ giác BECF

là hình chữ nhật

0 , , 1

3

1 1 1

x y z

x y z

y zx z xy x yz x y z

< ≤    + + =  + + + + + + + +  ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Rút gọn biểu thức P

Với x>0,x≠4,x≠9 ta có:

( )( ) ( )

4 8 1 2 4 8 1 2

: :

4

2 2 2 2 2 . 2

x x x x x x

P

x

x x x x x x x x x x

       −     −  = +   −  = + −    − + − + − + −         ( ) ( )( ) ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) )

4 2 8 1 2 2 8 4 8 2

: .

1 2 4

2 2 2 2 2

2 4 . 2

8 4 4

.

3 3

2 2 2 3

x x x x x x x x x x

P

x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x

x x x x

− + − − − − + − = = − − + − + − − + − + + = = = − − − + + −

Vậy 4

3 x P x = −

b) Tìm msao cho m( x −3 ) P> +x 1đúng với giá trị x>9 Điều kiện: x>9.∀ >x 9,Ta có:

( ) ( )

( )

4

3 1 3 1

3 1

4 1 4 1 1 4 1

x

m x P x m x x

x

mx x m x m

x

− > + ⇔ − > + −

⇔ > + ⇔ − > ⇔ − >

Vì x>9nên 1 1 9

x <

Do 4m 1 1, x 9

x

− > ∀ > 4 1 1 9

m− ≥ 4 10 5

9 18

m m

⇔ ≥ ⇔ ≥

Vậy 5

18

m≥

Bài 2.

a) Tìm giá trịcủa mđểhai đường thẳng d d1, 2song song

2 3

4 5 9

3 3

3 9 3

3

m

m m

m m

m m

m

 =  − =  = 

⇔ ⇔ ⇔ = − ⇔ = −

≠ ≠

   ≠



Vậy m= −3thì đường thẳng d1và d2song song

b) Tìm m để ( )( )

1 2 2 1 2 0

x − mx + m− x − ≤

Xét phương trình: ( )

2 1 2 5 0

x − m− x+ m− = , ta có:

( )

( ) ( )

2 2

2

' 1 2 5 2 1 2 5

4 4 2 2 2 0

m m m m m

m m m m

∆ = − − + = − + − +

= − + + = − + > ∀ ⇒Phương trình cho ln có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2với m

Áp dụng hệ thức Vi et ta có: 2

2 2

2 5

x x m

x x m

+ = − 

 = − 

Vì x1là nghiệm phương trình ta có:

( )

( )

2

1 1 1

2

1 1 1

2 1 2 5 0 2 2 2 5 0

2 2 1 2 4 0 2 2 1 2 2

x m x m x mx x m

x mx m x x mx m x

− − + − = ⇔ − + + − =

⇔ − + − + − = ⇔ − + − = − −

Theo đềbài ta có:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

2

1 2

1 2

2 2 1 2 0 2 2 2 0

2 2 0 2 4 0

2 5 2 2 2 4 0 2 1 4 4 0

3

2 1 4 4 0 2 3

2

x mx m x x x

x x x x x x

m m m m

m m m m

− + − − ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≥

⇔ − − − + ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤

Vậy 3

2

m≤ thỏa mãn điều kiện tốn

c) Tính vận tốc ô tô

Gọi vận tốc ô tô thứ x km h( / )(x>10)

⇒Thời gian ô tô thứ hết quãng đường ABlà 120( )h x

Vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứhai 10km h/ ⇒Vận tốc ô tô

thứhai : x−10(km h/ )

⇒Thời gian ô tô thứhai hết quãng đường ABlà : 120 ( )

10 h

x−

Vì tơ thứ đến B trước ô tô thứhai 0, 4 2 5

( ) ( )

( )( )

2

2

120 120 2

5.120 5.120. 10 2 10

10 5

600 600 6000 2 20 2 20 6000 0

10 3000 0 60 50 3000 0

60 0 60( )

60 50 0

50 0 50

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x

x x tm

x x

x x

− = ⇔ − − = −

−

⇔ − + = − ⇔ − − =

⇔ − − = ⇔ − + − =

− = =

 

⇔ − + = ⇔  ⇔  + = = −

 

Vậy vận tốc ô tô thứ 60km h/ vận tốc ô tô thứhai:60 10− =50(km h/ )

Bài Tính độdài cạnh diện tích lớn

Gọi đường kính nửa hình trịn x m( )(0< < ⇒x 8) Bán kính nửa đường tròn ( ) 2

x m

Khi cạnh phía hình chữ nhật: x m( )

Gọi cạnh cịn lại hình chữ nhật y m( )(0< <y 8) Độ dài nửa đường trịn phía trên: 1 ( )

2 2

x

x π m

π =

Khi ta có tổng độ dài khn gỗ: 2 8 1 2 8

2 2

x

x y x y

π + + = ⇔π +  + =

   

2

2 8 1 4

2 4

y π x y π + x

⇔ = − +  ⇔ = − 

   

Diện tích cửa số:

2 2

1

2 2 8

x x

S = π   +xy=π +xy

 

2

2

2

2

2

2 2

4 4

8 4 8 4

1 4

4 4

8 2 8

4 32 4 16 16 16

. . 2

8 4 8 4 4 4

x x

S x x S x x

S x x S x x

S x x S x x

π π π π

π π

π π

π π π π

  +    +  ⇔ = +  −  ⇔ = + − 

   

 

+  

⇔ = − +  + ⇔ = − +  

 

+   +    

⇔ = −  − ⇔ = −  − +  −  

+ + + +

       

2

4 16 32 32

.

8 4 4 4

S π x

π π π

+  

⇔ = −  −  + ≤

+ + +

 

Dấu " "= xảy 16 0 16 ( )

4 4

x x tm

π π

⇔ − = ⇔ =

+ +

( )

4 16 4 2

2 16 4 16 4 8 8

4 . ( )

4 4 4 4 4

y π π π π π tm

π π π π

+ − +

+ + − −

⇒ = − = = =

+ + + +

Vậy cửa sổcó diện tích lớn độ dài cạnh hình chữ nhật là: 16 4m

π +

cạnh bên hình chữ nhật 8 ( )

4 cm π +

Bài 4.

a) Chứng minh AB BE. =BD AE.

Xét ∆ABDvà ∆AEBcó: Achung;  ABD= AEB(góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến

dây cung chắn BD)⇒ ∆ABD∆AEB g g( )

AB BD

AE BE

⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng tỉlệ )⇒ AB BE. =BD AE dfcm. ( )

b) Chứng minh HK / /CD

Vì Hlà trung điểm DE gt( )nên OH ⊥DE(tính chất đường kính dây cung)

 

90 90

OHD OHA

⇒ = ⇒ =

Xét tứ giác OBAHcó : OHA =90 (0 cmt OBA); =900(do ABlà tiếp tuyến ( )O )

 

⇒ + = + = ⇒

d

F P

Q

K H D

E C

B

O A

 

OAH OBH

⇒ = (hai góc nội tiếp chắn cung OH)

Mà OAH =HEK(so le d / /OA)

  

OBH HKE HBK

⇒ = = ⇒Tứ giác BEKH tứ giác nội tiếp (Tứgiác có hai đỉnh kề

nhau nhìn cạnh góc nhau)

  

HKB HEB DEB

⇒ = = (hai góc nội tiếp chắn cung HB)

Mà DEB =DCB(hai góc nội tiếp chắn BD) ⇒HKB = DCB(hai góc nội tiếp

chắn cung BD)⇒ HKB=DCB(=DEB) Lại có hai góc vịtrí đồng vị

/ / ( )

HK CD dfcm

⇒

c) Chứng minh BECF là hình chữnhật

Kẻ tiếp tuyến AQvới đường tròn ( ) (O Q≠ B)

Xét tứ giác OBAQcó: OBA OQA + =900 +900 =1800 ⇒OBAQlà tứ giác nội tiếp (Tứ

giác có tổng hai góc đối

180 )

  

OBQ OAQ PAQ

⇒ = = (hai góc nội tiếp chắn cung OQ)

Lại có: OBQ  =CBQ=CDQ(hai góc nội tiếp chắn cung CQ)

 ( )

PAQ CDQ OBQ

⇒ = = ⇒Tứ giác APDQlà tứ giác nội tiếp (Tứgiác có góc ngồi

bằng góc đỉnh đối diện)⇒  ADP= AQP(hai góc nội tiếp chắn AP)

Mà  ADP=CDE(đối đỉnh)⇒CDE =CBE(hai góc nội tiếp chắn CE)

 AQP CBE ( )1

⇒ =

Xét ∆ABPvà ∆AQPcó: AP chung; BAP =QAP(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); AB= AQ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)⇒ ∆ABP= ∆AQP c g c( )

  (2)

ABP AQC

⇒ = (hai góc tương ứng)

Từ(1) (2) ⇒CBE =ABP(=AQP)

     

90

CBE CBF ABP CBF EBF ABC

⇒ + = + ⇒ = =



EBF

⇒ góc nội tiếp chắn nửa đườn trịn (O) nên EFlà đường kính ( )O

O

⇒ trung điểm EF

Xét tứ giác BECF có hai đường chéo BC EF, cắt trung điểm đường

BECF

⇒ hình bình hành Lại có: 

90 ( )

EBF = cmt nên BECF hình chữ nhật

Bài 5.

Ta có:

2

1 1

x x

xy y

 ≤ ⇒ ≤ 

≤ 

( )

2

2

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

x xy y x xy zx y zx

x xy xz y zx y xz x x y z

x

y xz x y z

⇒ + ≤ + ⇒ + + ≤ + +

⇒ ≥ ⇒ ≤

+ + + + + + + +

⇒ ≤

+ + + +

Chứng minh tương tựta có: 1 ; 1

1 1

y z

z xy ≤ x y z x yz ≤ x y z

+ + + + + + + +

Cộng vếtheo vế bất đẳng thức ta : 3

1 1 1

x y z

y xz + z xy + x yz ≤ x y z

+ + + + + + + +

Dấu " "= xảy ⇔ = = =x y z 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số25

KỲTHI TUYỂN SINH 1O THPT

Năm học 2020-2021

Mơn thi: TỐN CHUNG

Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau:

( )

( )

2 2

) 1 2 1

2 1

1 1 3

) 1 0

3

a P

b Q x

x x x

 − 

= +  − −

 

  

= −  +  > +

  

Câu (2,5 điểm)

a) Giải phương trình:

5 36 0

x + x − =

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường thẳng ( )d :y =(a−1)x+bđi qua điểm

( 1; 2)

M − − song song với đường thẳng ( )d' :y=3x−1 Tìm số avà b

Câu (1,5 điểm)

Trong quý I, hai tổ A B sản xuất 610sản phẩm Trong quý II,số sản

phẩm tổ Atăng thêm 10%,tổ Btăng thêm 14%so với quý I,cả hai tổ sản xuất 681

sản phẩm Hỏi quý I, tổ sản xuất sản phẩm Câu (1,0 điểm)

Cho tam giác ABCvng A,có đường cao AH H( ∈BC).Biết độ dài cạnh AB

bằng 5cm,đoạn BH 3cm.Tính độ dài cạnh ACvà BC.

Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O,đường kính MN,điểm I thay đổi đoạn

OM

(Ikhác M) Đường thẳng qua Ivng góc với MNcắt ( )O Pvà Q.Trên tia đối tia

NM lấy điểm Scốđịnh Đoạn PScắt ( )O E,gọi H giao điểm EQvà MN

a) Chứng minh tam giác SPNvà tam giác SMEđồng dạng

b) Chứng minh độdài đoạn OHkhơng phụ thuộc vào vịtrí điểm I

Câu (1,0 điểm) Cho a b, số thực dương thỏa mãn a(2a− +1) (b 2b− =1) 2ab

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

2020 2020

a b

F

b a

+ +

= +

ĐÁP ÁN Câu 1.

( ) 2( 2 1) ( ) ( )( )

2 2

) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

a P

 − 

 −   

= +  − = + − = + − = − =

 

− −

   

( ) ( ) ( )

1 1 3

1 3

3 3

.

3 3

3 3 3

. 3

Q

x x x

x x x

x

x x x x

x x x

x x

x x

  

= −  +  +

  

 +  +

 

= −

 + + 

 

− − + −

= =

+

Vậy Q 3 x

= − với x>0

Câu 2.

a) Giải phương trình

5 36 0

x + x − =

Đặt 2( )

0

t =x t≥ , ta có phương trình: t2 + −5t 36=0

( ) ( ) ( )( )

2

2

9 4 36 0 9 4 9 0 4 9 0

4 0 4( )

4 2

9 0 9( )

t t t t t t t t

t t tm

x x

t t ktm

⇔ + − − = ⇔ + − + = ⇔ − + = − = =

 

⇔ ⇔  ⇒ = ⇒ = ± + = = −

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=2;x= −2

b) Tìm số avà b

Vì hai đường thẳng ( )d ( )d' song song với nên 1 3 4

1 1

a a

b b

− = =  ⇔  ≠ −  ≠ −

 

Suy đường thẳng ( )d :y=3x+b b( ≠ −1)

Vì đường thẳng ( )d qua điểm M (− −1; 2)nên thay x = −1;y= −2vào hàm số 3

y= x+bta được: − =2 3.( )− + ⇔ =1 b b 1(thỏa mãn)

Vậy a =4,b=1

Câu 3.

Gọi số sản phẩm tổ A tổ B sản xuất quý Ilần lượt x y, (sản phẩm) (0<x y, <610)

Vì quý I, hai tổ A Bsản xuất 610sản phẩm nên ta có phương trình: 610

x+ =y

Trong quý II:

TổA tăng thêm 10%so với quý I nên tổ Asản xuất (1 10%+ )x=1,1xsản phẩm

Tổ Btăng thêm 14%so với quý I nên tổ B sản xuất (1 14%+ )y=1,14y(sản phẩm)

610 1,1 1,1 671 0,04 10 250 250( )

1,1 1,14 681 1,1 1,14 681 610 610 250 360( )

x y x y y x x tm

x y x y x y y y tm

+ = + = = = =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = −  = −  =

    

Vậy quý I, Tổ Asản xuất 360sản phẩm, tổ B sản xuất 250sản phẩm

Câu 4.

Xét tam giác ABCvuông Acó đường cao AH,theo hệ thức lượng tam giác vng ta có:

2

2 5 25

. ( )

3 3

AB

AB BH BC BC cm

BH

= ⇔ = = =

Xét ∆ABCvuông A, theo định lý Pytagota có:

2

2 2 2 2 25 400

5

3 9

400 20 ( )

9 3

BC AB AC AC BC AB AC

AC cm

 

= + ⇔ = − ⇔ =  − =  

⇒ = =

Vậy 25 , 20

3 3

BC= cm AC = cm

Câu 5.

H A

B C

H

E N

Q P

O M

I

a) Chứng minh ∆SPN ∆SME

Ta có : bốn điểm P E M N, , , thuộc (O) nên tứ giác PENM nội tiếp

 

EPN EMN

⇒ = (góc nội tiếp chắn cung EN)

Xét ∆SPNvà ∆SMEcó : S chung EPN ;  =EMS cmt( ) ( ) ( )

SPN SME g g dfcm

⇒ ∆ ∆

b) Chứng minh độdài đoạn OHkhông phụthuộc vào I

Từ câu a, SPN SME SP SN

SM SE

∆ ∆ ⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng tỉlệ)

( )

. . 1

SP SE SM SN

⇒ =

Ta có:   1   

2

PEH =PEQ= sd PQ=sd =PM =POM

     

180 ; 180

PEH +SEH = POM +POS = ⇒SEH =POS

Xét ∆SEH ∆SOPcó:  SEH =POS cmtt S( );chung

( ) SE SH

SEH SOP g g

SO SP

⇒ ∆ ∆ − ⇒ = (Hai cặp cạnh tương ứng tỉlệ)

( )

. . 2

SE SP SO SH

⇒ =

Từ(1) (2) suy SO SH. SM SN. SH SM SN.

SO

= ⇒ =

Mà S M N O, , , cốđịnh nên SM SN SO, , không đổi ⇒SHkhông đổi

OH SO SH

⇒ = − không đổi

Vậy độ dài OHkhơng phụ thuộc vào vịtrí điểm I dfcm( )

Câu 6.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

2

2

2 1 2 1 2 2 2

2 2 6

3

2 6 6. .

4 2

a a b b ab a b a b ab a b a b ab

a b ab a b ab

a b

a b a b ab a b

− + − = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ + + − + =

+

⇔ + − + = ≤ = +

( ) (2 ) 3( )2

2 0

2

a b a b a b

⇒ + − + − + ≤

( ) (2 )

1

0 0 2

2 a b a b a b

⇔ + − + ≤ ⇔ ≤ + ≤ Ta có:

3 3

2020 2020 2020 2020

a b a b

F

b a b b a a

+ +

3 4

1 1 1 1

2020 2020

a b a b

b a b a ab ab b a

        = + +  + = + +  + 

   

   

Áp dụng BĐT ( )

2

2 x y

x y

a b a b

+ + ≥

+

1 1 4

a + ≥b a+bta có:

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

4

2

2

2

2

2

2

3

1 1 4

2020 2020.

2

8080 8080 1 8080

2

4 4 8072 4 4 8072

3 . . 4042

2 2 2

4042

a b

a b

ab ab a b ab a b

a b

a b a b

a b a b a b a b

a b a b

a b a b a b a b a b

F

+

   

+ + + ≥ +

    +

 

+

≥ + = + + ≥ + +

+ + + +

+ +

= + + + ≥ + =

+ + + + +

⇒ ≥

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số26

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: TOÁN Thời gian làm :120 phút Câu (2,0 điểm)

1) Giải phương trình sau

a) b)

2) Cho phương trình Gọi hai nghiệm phương trình

Hãy tính giá trị biểu thức Câu (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường

thẳng Câu (2,0 điểm)

a) Một đoàn xe nhận chở 480 hàng Khi khởi hành, đoàn có thêm xe nên

mỗi xe chởít so với dựđịnh Hỏi lúc đầu đoàn xe có ? Biết xe chở khối lượng hàng

b) Cho hệphương trình với tham số

Tìm để hệphương trình có nghiệm thỏa mãn

Câu (3,0 điểm)

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn Gọi chân đường

cao thuộc cạnh trực tâm Vẽđường kính

a) Chứng minh tứ giác hình bình hành

b) Trong trường hợp không cân, gọi trung điểm Hãy chứng

minh phân giác điểm nằm đường

tròn

c) Khi đường tròn cốđịnh, điểm thay đổi đường trịn cho

ln nhọn, đặt Tìm vịtrí điểm để tổng

lớn tìm giá trịlớn theo Câu (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng: 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 3 2 3 2 3 2

a + b + +b + c + + c + a + ≤

1 8

x− =

(2 ) 3 0

x +x − =

2

3 1 0

x − x+ = x1 x2

2

1

A=x +x

( )

1 2 6

: 1 0

3 3 3

x

A x

x x x x x x

   

= +   − +  >

+ + +

   

( 1;4)

M −

2 1

y = x−

( 1) 3

: m x y

m

mx y m

 + − = 

+ = 

m (x y0; 0) x0 + y0 >0

ABC

∆ (O R; ) D E F, ,

, ,

BC CA AB H ∆ABC. AK

BHCK ABC

∆ M BC.

FC DFE M D F E, , ,

BC (O R; ) A

ABC

∆ BC=a. A P=DE+EF +DF

a R

, ,

ĐÁP ÁN Câu 1

Vậy tập nghiệm phương trình

Phương trình có dạng nên có hai nghiệm

Vậy

2) Xét phương trình có nên phương trình ln có hai

nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Vi – et ta có:

Vậy Câu 2.

a) Rút gọn biểu thức

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(−1;4)và song song với đườn

thẳng

Gọi đường thẳng cần tìm

Vì song song với đường thẳng nên phương trình đường thẳng có dạng

1 8 9

1) ) 1 8

1 8 7

x x a x x x − = =   − = ⇔ ⇔  − = − = −  

{9; 7}

S = −

( )

) 2 3 0 2 3 0

b x +x − = ⇔ x + x− =

1 3 0

a+ + = + − =b c 1

3 x x =   = − 

{ }1; 3

S = −

2

3 1 0

x − x+ = ∆ =32 −4.1.1 5= >0

1 2 3 1 x x x x + =   = 

( )2

2 2

1 2 2 3 2.1 7

A=x +x = x +x − x x = − =

7

A=

( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

1 2 6

: 1

3 3 3

3 2 3 6

:

3 . 3 3

. 3

. 1

3 2 6 6

. 3

x A

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x

x x     = +   − +  + + +       + − + +   = +  + +  +   + + + = = = + − − + + + 2 1

y = x−

d

d y =2x−1 d

( )

2 1

Vì nên thay tọa độđiểm vào phương trình đường thẳng ta có:

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm

Câu 3.

a) Tính sốxe ?

Gọi sốxe lúc đầu đoàn xe (chiếc),

Lúc đầu xe chở số hàng : (tấn)

Khi khởi hành có thêm xe nên sốxe lúc sau (xe) Lúc sau xe chở số hàng : (tấn)

Vì lúc sau xe chở hàng so với dựđịnh nên ta có phương trình:

Vậy lúc đầu đồn xe có 12

b) Tìm m để hệphương trình có nghiệm thỏa mãn

Ta có :

Hệphương trình cho có nghiệm có nghiệm

Khi ta có:

Với hệphương trình có nghiệm

Theo ta có: ( 1;4)

M − ∈d M d

( )

4=2. − + ⇔ =1 c x 6(tm)

2 6

y = x+

x (x∈*) 480 x 3 x+ 480 3 x+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

480 480 60 60

8 1

3 3

60 3 60 3 60 180 60 3

3 180 0 15 12 180 0

15 12 15 12 15 0

12 0 12( )

15 0 15( )

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x tm

x x ktm

− = ⇔ − = + + ⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ + − = ⇔ + − − = ⇔ + − + ⇔ − + = − = =   ⇔ ⇔ + = = −  

(x y0; 0) x0 +y0 >0

(m 1)x y 3 (m 1)x m mx 3 (2m 1)x m 3 *( )

mx y m y m mx y m mx

 + − =  + − + =  + = + ⇔ ⇔    + = = − = −    ( )* ⇔ 1

2 1 0

2

m m

⇔ + ≠ ⇔ ≠ −

( ) 3 1

*

2 1 2

m x m m +   ⇔ =  ≠ −  +  

( 3) 2

2 3 2

2 1 2 1 2 1

m m m m m m m m

y m mx m y y

m m m

+ + − − −

⇒ = − = − ⇔ = ⇔ =

+ + +

⇒ 1

2

m≠ − ( )

2

0

3 2

; ;

2 1 2 1

m m m

x y

m m

 + −  =  + + 

 

0 0

Vì

Vậy Câu 4.

a) Chứng minh tứgiác là hình bình hành

Ta có: góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) hay

Mà hay

Ta có: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) hay

Mà

Từ(1) (2) suy tứ giác hình bình hành

( )

2

3 2 3

0 0 1

2 1 2 1 2 1

m m m m m

m m m

+ − − +

⇔ + > ⇔ >

+ + +

( ) ( )

2

2 1 1 11 1 11

3 2 . 0

2 4 4 2 4

1 1

1 2 1 0

2 2

m m m m m m

m m TMDK m

 

− + = − + + = −  + > ∀  

 

⇒ ⇔ + > ⇔ > −  ≠ − 

 

1 2

m> −

I

A'

M F

E

D

K H

O A

B C

BHCK

ABK 

90

ABK

⇒ = AB⊥BK

( ) / /

CF ⊥ AB gt ⇒CF BK CH / /BK( )1

ACK 

90

ACK

⇒ = AC⊥CK

( )

( ) / / / / 2

BE⊥ AC gt ⇒BE CK hay BH CK

b) Chứng minh là phân giác

Xét tứ giác ta có: , mà hai góc vịtrí đối diện

nên tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn HD) 3( )

Xét tứ giác có mà hai góc vịtrí đối diện

nên tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn (4)

Xét tứ giác ta có: tứ giác nội tiếp (dhnb)

Từ

Hay phân giác

Xét vng E có đường trung tuyến

EBM

⇒ ∆ cân M (góc ngồi tam giác) Lại có

là tứ giác nội tiếp thuộc

đường trịn

c) Tìm vịtrí điểm A…….

Gọi

Ta có: (hai góc nội tiếp chắn cung

Xét tứ giác có tứ giác tứ giác nội tiếp (tứ giác có đỉnh kềcùng nhìn cạnh góc nhau)

(góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp )

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Chứng minh tương tựta có :

Ta có: (tứgiác có hai đường chéo vng góc)

FC DFE

BFHD BFD +BHD=900+900 =1800

BFHD ⇒ HFD=HBD

AEHF  AEH +AFH =900 +900 =180 ,0

AEHF ⇒ HFE=HAE HE)

AEDB  AEB =ADB=900 ⇒AEDB

  ( )5

DAE DBE

⇒ =

( ) ( ) ( )3 , , 5 ⇒EAD   =EFH =HFD=HBD  

EFC=CFD⇒FC DFE (dfcm)

EBC

∆ 1

2

EM ⇒EM =BM = BC

     2

MEB EBM EMC MEB EBM EBM

⇒ = ⇒ = + =

 2 2 2( )

EFD= HFD= HBD= EBM cmt

 ( 2)

EMC EFD EBM

⇒ = = ⇒EFDM ⇒E F D M, , ,

{ }

EF∩OA= I

 

FAI = BCK BK)

BFEC BEC =BFC =90 (0 gt), BFEC

 

AFI ACB

⇒ =

    

90

FAI AFI BCK ACB ACK

⇒ + = + = =

OA EF

⇒ ⊥

,

OB⊥FD OC ⊥ED

1 . 2 OEAF

S = OA EF

1 1

. ; .

2 2

OFBD ODCE

Kéo dài cắt (do Khi ta có:

Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ta có:

Dấu xảy điểm điểm cung lớn

Vậy đạt giá trịlớn điểm điểm cung lớn

Câu Chứng minh 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 3 2 3 2 3 2

a + b + +b + c + +c + a + ≤

Ta có:

Áp dụng Bất đẳng thức Cơ si ta có:

Chứng minh tương tự:

Khi ta có:

1 1 1

. . .

2 2 2

1 1 1

. . .

2 2 2

2 OEAF OFBD ODCE

ABC

ABC

S S S OA EF OB FD OC DE

S R EF R FD R DE

S

EF FD DE

R

⇒ + + = + +

⇒ = + +

⇒ + + =

OM ( )O A'⇒ A M' ⊥BC OM ⊥BC)

1 1

. ' .

2 2

ABC

S = AD BC≤ A M BC

OMC

2

2 2

4

a OM = OC −CM = R −

2

2

2

' '

4 2 4

4

ABC

a a a

A M OA OM R R S R R

a

a R R

EF FD DE

R

 

⇒ = + = + − ⇒ ≤  + − 

 

 

+ −

 

 

 

⇒ + + ≤

" "= ⇔ ≡A A', A BC

P=DE+EF+DF A

BC

2 2 2

2 3 1 2

a + b + =a +b +b + +

2

2

2 1 2

a b ab

b b

 + ≥ 



+ ≥ 

( )

( )

2 2

2

1 2 2 2 2 2 1

1 1

2 3 2 1

a b b ab b ab b

a b ab b

⇒ + + + + ≥ + + = + +

⇒ ≤

+ + + +

( ) ( )

2 2

1 1 1 1

;

2 3 2 1 2 3 2 1

Ta có:

Vậy dấu xảy

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2 1 1 1

a b b c c a ab b bc c ca a

 

+ + ≤  + + 

+ + + + + +  + + + + + + 

2

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1

1 1 1 1

ab b bc c ca a

ab b

ab b ab c abc ab bca ab b

ab b ab b

ab b b ab ab b ab b

+ +

+ + + + + +

= + +

+ + + + + +

+ +

= + + = =

+ + + + + + + +

2 2 2

1 1 1 1

.

2 3 2 3 2 3 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHỊNG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số27

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2020-2021

ĐỀTHI MƠN TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài (1,5 điểm) Cho hai biểu thức

; (với x>0)

a) Rút gọn biểu thức biểu thức

b) Tìm giá trị đểgiá trị biểu thức ba lần giá trị biểu thức Bài (1,5 điểm)

a) Cho hàm số có đồthì đường thẳng Xác định giá trị

biết song song với đường thẳng cắt trục hồnh

điểm có hồnh độ b) Giải hệphương trình

Bài (2,5 điểm)

1) Cho phương trình ( ẩn số, tham số)

a) Giải phương trình với

b) Xác định giá trị đểphương trình có hai nghiệm cho biểu

thức đạt giá trị nhỏ

2) Bài tốn có nội dung thực tế

Một nhà máy theo kếhoạch phải sản xuất thùng nước sát khuẩn thời

gian quy định (sốthùng nước sát khuẩn nhà máy phải sản xuất ngầy

bằng nhau) Đểđẩy nhanh tiến độ cơng việc giai đoạn tăng cường phịng

chống đại dịch COVID-19, ngày nhà máy sản xuất nhiều dựđịnh 35

thùng sát khuẩn Do đó, nhà máy hồn thành cơng việc trước thời hạn ngày Hỏi theo kếhoạch, ngày nhà máy phải sản xuất thùng nước sát khuẩn

Bài (3,5 điểm)

3 7 28 175 3

A= − + −

1

x x x x

B

x x

− +

= +

+

A B

x A B

y =ax+b ( )d . a

b ( )d 1 2020

2

y= − x+ ( )d

5

−

( ) ( )

( ) ( )

3 1 2 2 10

4 2 2 2

x x y

x x y

− + − = 



− − − = 

( ) ( )

2

2 1 1 1

x − m+ x+m − = x m

( )1 m=7

m ( )1 x x1,

2

1 2

M =x +x −x x

2100

1 Qua điểm nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến đường

tròn tiếp điểm) Gọi trung điểm đoạn thẳng giao

điểm thứ hai đường thẳng với đường tròn giao điểm thứ hai

đường thẳng với đường tròn Chứng minh

a) Tứ giác tứ giác nội tiếp tam giác đồng dạng với tam giác b)

c) tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp

2 Một hình nón có bán kính đáy diện tích xung quanh Tính

chiều cao hình nón

Bài (1,0 điểm)

a) Cho hai số thực Chứng minh

b) Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh:

A ( )O AB AC

(B C E AC F,

EB ( ),O K

AF ( )O

ABOC ABF

AKB

. .

BF CK =CF BK

FCE CBE

∆ ∆ EA ∆ABF

5cm,

65πcm .

,

x y 2 1( 2)

3

x −xy+ y ≥ x +xy+ y

, ,

x y z x + y + z =2.

2 3

y y

x x z z

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Rút gọn biểu thức Avà B

( ) ( )

3 7 28 175 3 3 7 2 7 5 7 3 6 7 3

1 . 1

1 2 1

1 1

A

x x x x

x x x x

B x x x

x x x x

= − + − = − + − = −

− +

− +

= + = + = − + = −

+ +

b) Tìm xđể A=3B

( )

3 6 7 3 3 2 1

6 7 3 6 3 6 6 7

7 7( )

A B x

x x

x x tm

= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy x=7thì A=3B

Bài 2.

a) Xác định giá trịa b

Vì đường thẳng ( )d :y =ax+bsong song với đường thẳng 1 2020

2

y = − x+ nên

1 2 2020

a b

 = −    ≠ 

Khi phương trình đường thẳng ( )d có dạng ( ): 1 , 2020

2

d y = − x+b b≠

Vì ( )d cắt trục hồnh điểm có hồnh độ −5nên đường thẳng ( )d qua điểm

(−5;0) Thay tọa độđiểm (−5;0)vào phương trình đường thẳng ( )d ta có:

( )

1 5

0 . 5 ( )

2 b b 2 tm

= − − + ⇔ = −

Vậy 1

2

a = − 5

2

b= −

b) Giải hệphương trình ( ) ( )

( ) ( )

3 1 2 2 10

4 2 2 2

x x y

x x y

− + − = 



− − − = 

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

3 1 2 2 10 3 3 2 4 10

4 8 2 2

4 2 2 2

x x y x x y

x x y

x x y

− + − =

  − + − =

 ⇔

  − − + =

− − − =  

3

5 4 13 5 4 13 11 33 3

1

3 2 10 6 4 20 3 2 10 3.3 2 10

2

x

x y x y x x

x y x y x y y y

= 

− = − = = =

    

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ = + = + = + = =

Vậy nghiệm hệphương trình ( ); 3;1 2

x y =  

 

Bài 3.

1. Cho phương trình….

a) Giải phương trình ( )1 với m=7

Với m=7ta có phương trình:

( )

2 2

2 1 7 1 0 16 48 0

x − + x+ − = ⇔ x − x+ = ⇔ x2 −4x−12x+48=0 ( 4) 12( 4) 0 ( 12)( 4) 0

12 0 12

4 0 4

x x x x x

x x

x x

⇔ − − − = ⇔ − − =

− = =

 

⇔ ⇔

− = =

 

Vậy với m=7thì phương trình có tập nghiệm S ={4;12}

b) Tìm 2

1 2

Min M =x +x −x x

Phương trình ( ) ( )

2 1 1 1

x − m+ x+m − = có hai nghiệm x x1, 2

( )2 2 2 2

' 0 1 1 0 2 1 1 0

2 2 0 1

m m m m m

m m

⇔ ∆ ≥ ⇔ + − + ≥ ⇔ + + − + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −

Áp dụng hệ thức Vi ét ta có: 2

2 2

1

x x m

x x m

+ = + 

 = −

 Theo đềbài ta có:

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1 2 2

2 2 2 2

2

2

3

2 2 3 1 4 8 4 3 3

8 7 8 16 9 4 9

M x x x x x x x x

m m m m m

m m m m m

= + − = + −

= + − − = + + − + = + + = + + − = + −

Với ( )2 ( )2

1 4 3 4 9 4 9 0 0

m≥ − ⇒ + ≥ ⇒m m+ ≥ ⇔ m+ − ≥ ⇒MinM =

Dấu " "= xảy ⇔ = −m 1(tm)

Vậy m= −1thỏa đề

2) Bài tốn có nội dung thực tế

Gọi sốthùng nước sát khuẩn ngày nhà máy sản xuất theo kếhoạch x(thùng)

(x<2100,x∈*)

⇒Thời gian dựđịnh nhà máy sản xuất xong 2100thùng nước sát khuẩn 2100

x (ngày)

Thực tế, ngày nhà máy sản xuất sốthùng nước sát khuẩn x+35(thùng)

⇒Thời gain thực tế nhà máy sản xuất xong 2100thùng nước sát khuẩn: 2100 35

x+ (ngày)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

2100 2100

3 2100 35 2100 3 35

35

2100 73500 2100 3 105 3 105 73500 0

35 24500 0 175 140 24500 0

175 140 175 0 175 140 0

175 0 175( )

140 0 140( )

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x ktm

x x tm

− = ⇔ + − = + +

⇔ + − = + ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − − =

⇔ + − + = ⇔ + − = + = = −

 

⇔ ⇔  − = =

 

Vậy theo kếhoạch, ngày nhà máy sản xuất 140thùng nước sát khuẩn

Bài 4.

a) Tứgiác là tứgiác nội tiếp

Ta có: hai tiếp tuyến

Xét tứ giác ta có: mà hai góc đối nên tứ giác nội tiếp

K F

E

C B

O A

ABOC ∆ABF ∆AKB

,

AB AC ( )O B C, OB AB

OB AC

⊥  ⇒  ⊥

 ⇒  ABO= ACO

0 90

=

ABOC  ABO+ACO=900 +900 =1800

Xét ta có: chung; (cùng chắn

b) Chứng minh

Ta có: (các cặp cạnh tương ứng tỉlệ )

Xét có: chung; (cùng chắn

(các cặp cạnh tương ứng tỉlệ) Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

c) Chứng minh EA tiếp tuyến……

Ta có: (góc nội tiếp góc tiếp tuyến dây cung chắn

Lại có: tứ giác nội tiếp đường trịn

(góc ngồi điểm góc đỉnh đối diện)

Xét ta có: chung;

Vì

Xét ta có: chung;

(hai góc tương ứng)

Mà góc nội tiếp chắn cung đường trịn ngoại tiếp

được tạo dây cung ( nằm đường tròn)

là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Bài Tính chiều cao hình nón

ABF

∆ ∆AKB A  AKB= ABF BF)

( )( )

ABF AKB g g dfcm

⇒ ∆ ∆ −

. .

BF CK =CF BK

( ) AB BF AF

ABF AKB cmt

AK KB AB

∆ ∆ ⇒ = =

ACF

∆ ∆AKC A  AKC = ACF CF)

( )

( )

ACF AKC g g dfcm

⇒ ∆ ∆ − AC CF AF

AK KC AC

⇒ = =

AB=AC

. . ( )

AB AC BF CF

BF KC KB CF dfcm

AK AK KB KC

⇒ = = = ⇒ =

 

BKC =BCE BC)

BFCK ( )O

 

EFC BKC

⇒ =

 ( )

EFC BCE BKC

⇒ = =

FCE

∆ ∆CBE E EFC =ECB cmt( ) ( )( )

FCE CBE g g dfcm

⇒ ∆ ∆

2

( ) FE CE .

FCE CBE cmt CE FE BE AE

CE BE

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =

EA EF

EB EA

⇒ =

AEF

∆ ∆BEA AEB EA EF(cmt) AEF BEA c( g c)

EB = EA ⇒ ∆ ∆ − −

 

FAE ABE

⇒ =



ABE BF ∆ABF



FAE AF AE E

AE

Ta có:

Áp dụng định lý Pytago ta có chiều cao hình nón là:

Bài 5.

a) Chứng minh

Ta có:

(ln đúng)

Dấu " "= xảy x= y Vậy ta có đpcm

b) Đặt

0

0 2

0

a x

b y a b c

c z

 = >

 = > ⇒ + + = 



= > 

ta được:

3 3

2 2 2

4 4

3 2 2 2

a b c

VT

a ab b b bc c c ca a

a b c

a a b ab b b c bc c c a ca

= + +

+ + + + + +

= + +

+ + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức ( )

2

2 a b

a b

x y x y

+ + ≥

+ ta có:

l h

R

65

5 65 13

5 xq

S πRl πl π l π cm

π

= ⇔ = ⇔ = =

2 2

13 5 12( )

h= l −R = − = cm

( )

2 1 2

3

x −xy+ y ≥ x +xy+ y

( )

2 1 2

3

x −xy+ y ≥ x +xy+ y ⇔3x2 −3xy+3y2 ≥x2 +xy+y2

( )2

2 2

2x 4xy 2y 0 x 2xy y 0 x y 0

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

4

3 2 2 2 2

4 4

3 2 2 2

2

2 4

3 2

3 2 2

a b

a b

a a b ab b b c bc a a b ab b b c bc

a b c

a a b ab b b c bc c c a ca

a b c

c c a ca

a a b ab b b c bc

+

+ ≥

+ + + + + + + + +

⇒ + +

+ + + + + +

+

≥ +

+ + + + + + +

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

3 2 2 2

a b c

a a b ab b b c bc c c a ca

+ + ≥

+ + + + + + + +

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )

2

2 2

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

3 3

2 2 2

1 1 1 2 2

. .

2 1 1 1 2 1 1 2 3 3

2

( )

3

a b c

a a b c b a b c c a b c

a b c a b c

a b c

a b c a b c

a b c

a b c

a b c

dfcm

a ab b b bc c c ca a

+ + =

+ + + + + + + + + + + +

= =

+ + + + + +

+ +

 

=  + + ≥ = = + +

 

⇒ + + ≥

+ + + + + +

Dấu " "= xảy 2 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH HẬU GIANG

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số28

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUN

NĂM HỌC 2020-2021

MƠN TỐN – THPT

Thời gian làm : 90 phút

A. Trắc nghiệm (2,0 điểm)

Câu 1.Tìm số thực mđể hàm số y=(2−m x) +1nghịch biến 

. 0 . 2 . 2 . 2

A m> B m< C m≠ D m>

Câu Phương trình

5 6 0

x − x− = có nghiệm dương ?

.0 .1 .2 .3

A B C D

Câu Tìm điều kiện xđể biểu thức 2

3

x

P x

x

+

= +

− có nghĩa

. 3 . 0 . 0

A x > B x≥ C x≥ x≠3 D x. ≠3

Câu Cho P= 53 20 7− = +a b 7 với a b, sốnguyên Tính a−b

.7 .73 7 3

A B C − D −

Câu Cho tam giác ABCvuông Avà AB=3,BC =5.Tính tanACB

 5  3  4  3

.tan .tan .tan .tan

3 5 3 4

A ACB= B ACB= C ACB= D ACB=

Câu Tính thể tích V khối hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng chiều cao

là a a a, ,3

3 3

. 3 . 6 . . 2

AV = a B V = a C V =a D V = a

Câu Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác vng cân có cạnh góc vng a 2.

Tính diện tích Scủa hình trịn ( )O

2 2

1

. . 4 . . 2

2

AV = πa B V = πa C V =πa D V = πa

Câu Tính thể tích V khối cầu có bán kính R=2a

3 3

4 32

. . . 4 . 8

3 3

AV = πa B V = πa C V = πa D V = πa

B.Tựluận (8,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A=7 20−3 25

2) Tính giá trị biểu thức 3 4

2

B x

x

= + + x=9

3) Rút gọn biểu thức 5 5

1 2 1 2

C= −

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình

2x −6x+ =1 0

2) Giải hệphương trình: 2 3

2 5

x y

x y

− = 

 + = 

Câu III (1,5 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy,cho hàm số y= x2có đồ thị ( )P đường thẳng

: 2 1

d y= x− +m (với mlà tham số)

1) Vẽđồ thị ( )P

2) Tìm tất cảcác giá trị tham số mđểđường thẳng dcắt đồ thị ( )P hai điểm

phân biệt Avà Bcó hồnh độlần lượt x x1, 2thỏa mãn điều kiện x12 +x22 =2(x1+x2)

Câu IV (2,0 điểm) Cho đường trịn ( )O có bán kính R=2avà điểm Anằm ngồi đường

trịn ( )O .Kẻđến ( )O hai tiếp tuyến AM AN, (với M N, tiếp điểm

1) Chứng minh bốn điểm A M N O, , , thuộc đường tròn ( )C .Xác định

tâm bán kính đường trịn ( )C

2) Tính diện tích Scủa tứ giác AMON theo a,biết OA=3a

3) Gọi M 'là điểm đối xứng với M qua O Plà giao điểm đường thẳng AO

và ( )O P, nằm bên ngồi đoạn OA.Tính sinMPN

Câu V (0,5 điểm)

Cho xvà ylà hai số thực khơng âm thỏa mãn x+ =y 4.Tìm giá trị nhỏ giá trịlớn biểu thức 4

4 3

ĐÁP ÁN

A. Trắc nghiệm

1D 2B 3A 4A 5D 6B 7C 8B

B. Tựluận

Câu I.

1) Rút gọn biểu thức

7 20 3 25 7.2 5 3.5 14 15

A= − = − = −

2) Tính giá trịbiểu thức

Điều kiện x> ⇒0 thay x=9(tmdk)vào B ta có:

3 3 15

9 4 3 4

2.3 2

2 9

B= + + = + + =

3) Rút gọn biểu thức

5 5 5 2 5 2 10 2

10 2

1 2 1

1 2 1 2

C = − = + − + = = −

− −

− +

Câu II.

1) Giải phương trình

2x −6x+ =1 0

Ta có:

' 3 2.1 7 0

∆ = − = > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

3 7

2

3 7

2

x x

 + =  

 − = 

Vậy 3 7

2

S =  ± 

 

 

2) Giải hệphương trình 2 3

2 5

x y

x y

− = 

 + = 

11

2 3 4 2 6 5 11 5

2 5 2 5 2 3 7

5

x

x y x y x

x y x y y x

y

 = 

− = − = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = − 

    =



Vậy hệphương trình có nghiệm nhất( ); 11 7;

5 5

x y =  

 

Câu III.

1) Học sinh tựvẽ ( )P

2) Tìm tất cảgiá trịcủa tham sốm

Xét phương trình hoành độgiao điểm 2 ( )

2 1 2 1 *

x = x− + ⇔m x − x+ − =m

Đểđường thẳng ( )d cắt đồ thị ( )P hai điểm phân biệt phương trình ( )* phải có hai

Áp dụng hệ thức Vi et ta có: 2

2 1

x x

x x m

+ = 

 = −

 Theo đềbài ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

1 2 2

2

2 2 2

2 2 1 2.2 2 1 0 1( )

x x x x x x x x x x

m m m tm

+ = + ⇔ + − = + ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ =

Vậy m=1thỏa mãn đề

Câu IV.

1) Xác định tâm bán kính

Gọi Ilà trung điểm OA

Ta có: 

90 (

OMA= AM tiếp tuyến với ( )O )⇒ ∆AMO vuông M

Có MI trung tuyến ⇒MI =IO=IA( )1



90 (

ONA= ANlà tiếp tuyến ( )O )⇒ ∆ANOvuông N

Có NI trung tuyến nên NI =IO=IA( )2

Từ(1) (2) suy IO=IA=IM =INnên điểm A M N O, , , thuộc đường tròn ( )C tâm I bán kính ( )

2

OA

R= dfcm

2) Tính diện tích S……

Gọi Elà giao điểm MNvà OA

Ta có:OM =ON =Rvà AM = AN(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA

⇒ đường trung trực MN ⇒OA⊥MN trung điểm Ecủa MN

Tam giác OMAvng M, theo định lý Pytagota có:

E P

M' N

M

I O

( ) ( )2

2 2

3 2 5 5

AM =OA −OM = a − a = a ⇒ AM =a

Tam giác AMOvng M có MElà đường cao nên:

. 2 5 2 5

. .

3 3

2 5 4 5

2 2.

3 3

OM AM a a a

ME OA OM AM ME

OA a

a a

MN ME

= ⇒ = = =

⇒ = = =

Tứ giác OMANcó hai đường chéo OA MN, vng góc nên:

1 1 4 5

. . .3 2 5

2 2 3

OMAN

a

S = OA MN = a = a

Vậy

2 5

OMAN

S = a

3) Tính sin MPN

Nối M'với N ta có: MPN =MM N' (hai góc nội tiếp chắn MN)

 

sinMPN sinMM N'

⇒ =

Tam giác MNM'có MNM'=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác

vuông N

 4 5 5

sin ' : 4

' 3 3

MN a

MM N a

MM

⇒ = = =

Vậy sin 5 3

MPN =

Câu V.

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

4 2

2

4 2

2

2

4 3 2 4 3

2 2 4 3

4 4 2 4 3

256 64 2 4 3

2 68 259

P x y xy x y xy xy

x y xy xy xy

x y xy x y xy xy xy

xy xy xy

xy xy

= + − + = + − − +

 

= + − − − +

= + − + + − − +

= − + − +

= − +

Đặt t =xy,áp dụng BĐT Cơ si ta có:

0 4 0 4

2

x y

xy  +  t

≤ ≤  = ⇒ ≤ ≤

  Khi đóta có:

( ) ( )2

2 2

2 68 259 2 34 17 319 2 17 319

P= t − t+ = t − t+ − = t− −

( ) ( )

( )

2

2 2

2

2

13 17 17 2.13 2. 17 2.17

2.13 319 2. 17 319 2.17 319

19 259

t t

t P

⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤

⇔ − ≤ − − ≤ −

⇔ ≤ ≤

Vậy min 19 4 4 2

4 2

xy x

P t

x y y

= =

 

= ⇔ = ⇔ ⇔ + = =

 

min

0 0; 4

259 0

4 0; 4

xy x y

P t

x y y x

= = =

 

= ⇔ = ⇔ ⇔

+ = = =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒCHÍ MINH

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số 29

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔTHÔNG

NĂM HỌC 2020-2021

MƠN THI: TỐN Ngày thi: 17 tháng năm 2020

Thời gian làm : 120 phút Bài (1,5 điểm)

Cho parabol ( ) 1

: 4

P y = x đường thẳng ( ): 1 2

2

d y= − x+

a) Vẽ ( )P ( )d hệtrục tọa độ

b) Tìm tọa độgiao điểm ( )P ( )d phép tính

Bài (1,0 điểm)

Cho phương trình:

2x −5x− =3 0có hai nghiệm x x1; 2

Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức A=(x1+2x2)(x2 +2x1)

Bài (0,75 điểm)

Quy tắc sau cho ta biết CAN CHI, năm X

Đểxác định CAN,ta tìm sốdư rtrong phép chia X cho 10 tra vào bảng

Đểxác định CHI,ta tìm sốdư strong phép chia X cho 12 tra vào bảng

Ví dụ: năm 2020 có CAN Canh, có CHIlà Tí

Bảng

r

CAN Canh Tân Nhâm Quý Giáp Ất Bính Đinh Mậu Kỷ

Bảng

s 10 11

CHI Thân Dậu Tuất Hợi Tí Sửu Dần Mẹo Thìn Tỵ Ngọ Mùi

a) Em sử dụng quy tắc đểxác định CAN CHI, năm 2005

b) Bạn Hằng nhớrằng Nguyễn Huệlên ngơi hồng đế, hiệu Quang Trung vào năm

Mậu Thân không nhớrõ năm mà nhớlà kiện xảy

ra vào cuối kỷ18.Em giúp Hằng xác định xác năm năm bao

nhiêu ?

Bài (0,75 điểm)

Cước điện thoại y(nghìn đồng) số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả

tháng, phụ thuộc vào lượng thời gian gọi x(phút) người tháng Mối liên

hệ hai đại lượng hàm số bậc y =ax+b.Hãy tìm a b, biết nhà

bạn Nam tháng gọi 100phút với số tiền 40nghìn đồng tháng

gọi 40phút với số tiền 28nghìn đồng

Bài 5.

Theo quy định cửa hàng xe máy, đểhoàn thành chỉtiêu tháng,

nhân viên phải bán trung bình xe máy ngày Nhân viên

hồn thành chỉtiêu tháng nhân lương 8000000đồng Nếu

bán vượt chỉtiêu Trong tháng (có 31 ngày), anh Thành nhận số tiền 9800000đồng (bao gồm cảlương tiền thưởng thêm tháng đó) Hỏi anh

Thành bán xe máy tháng 5, biết xe máy bán

cửa hàng thu lời 2500000đồng

Bài 6.

Anh Minh vừa xây hồtrữ nước cạnh nhà có hình dạng hộp chữ nhật

có kích thước 2m×2m×1m Hiện hồ

chưa có nước nên anh Minh phải sơng láy nước Mỗi lần sông anh gánh

đơi nước đầy gồm thùng hình trụ

nhau có bán kính đáy 0, ,m chiều cao

0, 4m

a) Tính lượng nước ( )3

m anh Minh đổvào hố sau lần gánh (ghi kết quảlàm tròn

đến chữ số thập phân).Biết trình gánh nước vềthì lượng nước bịhao hụt

khoảng 10%và cơng thức tính thểtích hìn trụlà V =πR h2

b) Anh Minh phải gánh lần đểđầy hồ Bài (1,0 điểm)

Sau buổi sinh hoạt ngoại khóa, nhóm bạn Thư rủnhau ăn kem quán gần trường Do quán khai trương nên có khuyến mãi, bắt đầu từly thứ5 giá

mỗi ly kem giảm 1500đồng so với giá ban đầu Nhóm Thư mua ly kem với số

tiền 154 500đồng Hỏi giá ly kem ban đầu ? Bài 8.

Cho đường tròn tâm O;bán kính Rvà điểm Anằm ngồi đường trịn cho

2

OA> R Từ Akẻ hai tiếp tuyến AD AE, đến đường tròn ( )O D E( , hai tiếp điểm) Lấy điểm M nằm cung nhỏ DEsao cho MD>ME.Tiếp tuyến đường tròn ( )O M

cắt AD AE, I J, Đường thẳng DEcắt OJtại F

a) Chứng minh OJ đường trung trực đoạn thẳng MEvà OMF =OEF

b) Chứng minh tứ giác ODIM nội tiếp điểm I D O F M, , , , nằm đường tròn

c) Chứng minh  JOM =IOAvà sinIOA MF IO

=

h=0,4m

ĐÁP ÁN Bài a) Học sinh tự vẽ ( )P ( )d

b) Ta có phương trình hồnh độgiao điểm:

( ) ( )

( )( )

2 2

2

1 1

2 2 8 2 8 0

4 2

4 2 8 0 4 2 4 0

2 1

4 2 0

4 4

x x x x x x

x x x x x x

x y

x x

x y

= − + ⇔ = − + ⇔ + − = ⇔ + − − = ⇔ + − + =

= ⇒ = 

⇔ + − = ⇔  = − ⇒ = 

Vậy tọa độgiao điểm ( )P ( )d ( ) (2;1 ; −4;4)

Bài Không giải phương trình, tính…….

Ta có phương trình:

2x −5x− =3 0

Vì aac<0nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Ta – let :

1

5 2 3 2

x x x x

 + = 

 −  = 

Ta có:

( )( )

( ) ( )

( )

2

1 2 1 2 1

2

2

1 2 2

2

1 2

2 2 2 2 4

2 5 2 2 5

5 3

2 2. 11

2 2

A x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

= + + = + + +

 

= + + =  + − +    

= + + =   + − =    

Vậy A=11

Bài 3.

a) Xác định can, chi năm 2005

Ta có : 2005chia 10được 200,dư nên r =5,tra vào bảng 1, ta có CANlà Ất

2005 chia 12 167,dư nên s=1,tra vào bảng ta có CHIlà Dậu

Vậy năm 2005có CAN Ất CHIlà Dậu

b) Xác định năm Quang Trung lên ngơi hồng đế

Gọi năm X Vì kiện xảy vào kỷ18 nên ta có: X =17ab a b( , ∈)

Vì năm X năm Mậu Thân nên X chia 10 dư X chia hết cho 12

Vì X chia cho 10 dư nên X có chữ số tận ⇒ =b 8

⇒Năm có dạng X =17 8a

Mà X chia hết cho 12 nên X chia hết cho

Ta có: 1 7+ + + =a 8 16+achia hết a∈{2;5;8}

Mà X chia hết 2

8

a a

=   =

 ⇒Năm cần tìm 1728hoặc 1788

Lại có năm cuối kỷ18 (gt) nên năm cần tìm 1788

Bài Tìm a, b

Trong tháng nhà bạn Nam gọi 100 phút với số tiền 40000đồng nên ta có: ( )

40=a.100+ ⇔b 100a+ =b 400 1

Trong tháng nhà bạn Nam gọi 40 phút với số tiền 28000đồng nên ta có: 28=a.40+ ⇔b 40a+ =b 28 (2)

Từ(1) (2) ta có hệphương trình :

1

100 40 60 12

5

40 28 28 40

20

a b a a

a b b a

b



+ = = =

 ⇔ ⇔

 + =  = − 

   =

Vậy 1; 20 5

a = b=

Bài Sốxe máy bán tháng……….

Số tiền thưởng anh Thành nhận : 9 800 000 000 000 800 000− = (đồng)

Tiền lãi sốxe máy anh Thành bán vượt tiêu là: 1800000 : 8%=22500000 (đồng)

Sốxe máy bán vượt chỉtiêu : 22 500 000 :2 500 000=9(chiếc)

Sốxe máy anh Thành bán : 31 9+ =40(chiếc)

Vậy tháng anh Thành bán 40chiếc xe máy

Bài 6.

a) Thể tích thùng nước lần anh Minh gánh :

( )

2

1 2 2 0, 0, 4 0,032

V = πR h= π = π m

Trong trình gánh, lượng nước bịhao hụt 10%nên lượng nước thực tế anh Minh gánh sau lần : ( )3

0,032 90% 0,09

V = π ≈ m

b) Thể tích hồnước hình chữ nhật: ( )3

2.2.1 4

V = = m

Sốlần anh Minh cần gánh đểđược đầy hồnước :

0 400 44 45

9

V n

V

   

=  = = + =

    (lần)

Bài 7.

Gọi giá ly kem ban đầu x(đồng) (DK x: >0)

Giá ly kem (từly thứ5) sau giảm giá 1 500đồng x−1 500(đồng/ly)

Với số tiền 154500đồng nên ta có phương trình:

( )

4 5 1500 154500 4 5 7500 154500

9 162000 18000( )

x x x x

x x tm

+ − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =

a) Chứng minh OJlà đường trung trực đoạn thẳng MEvà OMF =OEF

Ta có: AE JI, tiếp tuyến đường trịn ( )O E M,

Mà AE∩JI ={ }J nên JE =JM(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: OE=OM( )=R nên OJ đường trung trực đoạn ME dfcm( )

Xét ∆OEFvà ∆OMFcó: OFchung; EOF =MOF(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

( ) ( )

OE =OM =R ⇒ ∆OEF = ∆OMF c g c

 

OMF OEF

⇒ = (hai góc tương ứng ) (đpcm)

b) Chứng minh ODIM là tứgiác nội tiếp I D O F M, , , , cùng nằm

đường trịn

Vì ADlà tiếp tuyến với ( )O D nên AD⊥OD⇒ODA =900 ⇒ODI =900

MI tiếp tuyến với ( )O B nên OM ⊥MI ⇒OMI =900

Tứ giác ODIM có: ODI +OMI =900 +900 =1800nên tứ giác nội tiếp (tứgiác có tổng

hai góc đối

180 ) Vậy tứ giác ODIM tứ giác nội tiếp

Theo câu a, EOF =MOF ⇒EOM=2MOF

 1 1

2 2

MOF EOM sd cung ME

⇒ = = (góc tâm sốđo cung bị chắn)

Nên   1

2

MOF =MDF= sd cungME

 

Xét tứ giác OFMDcó MOF =MDF cmt( )nên tứ giác nội tiếp (tứgiác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện góc nhau),

do điểm O F M D, , , thuộc đường tròn F

J I

E D

O

Mà tứ giác ODIM nội tiếp (cmt) nên điểm O D I M, , , thuộc đường tròn

Vậy điểm O D I M F, , , , thuộc đường tròn

c) Chứng minh  JOM =IOA……

Xét ∆MOI ∆DOI có:OM =OD( )=R OI, chung; IM = ID(tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau)⇒ ∆MOI = ∆DOI c( − − ⇒c c) MIO =DIO(2 góc tương ứng)

Tứ giác OFMInội tiếp (cmt)⇒OFM +MIO=1800(tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà MIO =DIO cmt( )nên OFM +DIO=1800

Lại có    

180

OIA+DIO= ⇒OFM =OIA

Xét tứ giác OEADcó OEA ODA + =900 +900 =1800nên tứ giác nội tiếp (tứgiác có

tổng hai góc đối 180 )

 

OED OAD

⇒ = (hai góc nội tiếp chắn OD)

Mà OED  =OEF =OMF(theo câu b) nên OMF  =OAD=OAI

Xét ∆OFM ∆OIAcó:

 ( ); ( )

OFM =OIA cmt OMF =OAI cmt ⇒ ∆OFM ∆OIA g g( )

 

FOM IOA

⇒ = (hai góc tương ứng)⇒  JOM =IOA dfcm( )

  ( )

sinIOA sinJOM JM 1

OJ

⇒ = =

Tứ giác OFMInội tiếp (cmt)⇒  JFM =MIO(góc ngoại 1đỉnh góc đỉnh

đối diện)

Xét tam giác ∆JFM ∆JIOcó:



Jchung;   JFM =MIO= JIO cmt( )⇒ ∆JFM ∆JIO g g( )

JM MF

OJ IO

⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng tỉlệ ) ( )2

Từ(1) (2) suy IOA MF (dfcm)

IO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒCHÍ MINH TRƯỜNG PHỔTHƠNG NĂNG KHIẾU

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10

Đề số29b

ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Năm học 2020 – 2021

Môn thi: TỐN (khơng chun)

Thời gian làm 120 phút, không kểgiao đề

Câu (1,0 điểm) Cho ba biểu thức

( ) ( ( ) ()( ) )

3

2

1

8 ,

4

3

x x x x

M N

x x x

+ − −

−

= =

− +

+ +

và

2

x P

x

= + a) Tìm tất số thực xthỏa mãn M = −x 4

b) Trong trường hợp biểu thức M N, Pxác định, rút gọn biểu thức Q=MN +P

Câu (3,0 điểm)

a) Giải phương trình ( ) 3 3

4 5 0

1

x x

x x

x

 − + + 

+ −  =

−

 

b) Cho hai số thực m n, thỏa mãn hai đường thẳng ( )d :y=mx+nvà

( )d1 :y= +x 3m+2n−mncắt điểm I( )3;9 Tính giá trị mnvà

m n

c) Cho hình chữ nhật ABCDcó chu vi 28(cm)và nội tiếp đường tròn ( )C có

bán kính R=5(cm).Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Câu (2,0 điểm) Gọi ( ) ( )P , d đồ thị hàm số y = x2và y =2mx+3

a) Chứng minh đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tai hai điểm phân biệt

( 1, 1)

A x y ,B x y( 2, 2)với số thực m.Tính y1+ y2theo m

b) Tìm tất số thực msao cho y1−4y2 = −x1 4x2 +3x x1 2

Câu (1,0 điểm) Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) ngày liên tiếp ngày (kể từ ngày thứhai) nhập lượng gạo 120%lượng gạo nhập

vào kho ngày trước Sau đó, từ ngày thứnăm kho ngừng nhập ngày kho lại

xuất lượng gạo 1

10lượng gạo kho ởngày trước Hãy tính lượng gạo kho

hàng nhập ngày thứ trường hợp sau :

a) Ngày thứ ba, sau nhập xong kho có 91tấn gạo

b) Tổng số gạo xuất ngày thứnăm thứsáu 50,996tấn gạo,

Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABCnội tiếp đường trịn ( )T có tâm O, có AB= AC,và



90

BAC > Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC.Tia MOcắt đường tròn ( )T

điểm D.Đường thẳng BClần lượt cắt đường thẳng AOvà ADtại điểm N P,

a) Chứng minh tứ giác OCMNnội tiếp BDC=4.ODC

b) Tia phân giác BDPcắt đường thẳng BCtại điểm E.Đường thẳng MEcắt

đường thẳng ABtại điểm F.Chứng minh CA=CPvà ME ⊥DB

c) Chứng minh tam giác MNEcân Tính tỉ số DE

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Tìm xkhi M = −x 4

Xét biểu thức

( )2 8 3 1 x x M x − =

+ + (ĐKXĐ: x≥0)

Ta có: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2

2 2 2 4

8

3 2 1

3 1 3 1

2 2 4

2

2 4

x x x x

x x M

x x

x x

x x x

x x x − − + + − = = = + + + + + + + − + + = = − + +

Khi M = −x 4

( ) ( )( ) ( )( )

2

2 4 2 2 2 2

2 0

2 2 1 0 4( )

1 0( )

x x x x x x

x

x x x tm

x VN ⇔ − = − = − ⇔ − = − +  − = ⇔ − + − = ⇔ ⇔ = + = 

Vậy x=4thì M = −x 4

b) Tính Q=M N. +P

ĐKXĐ: 0

4 x x ≥   ≠ 

Ta có: 2,

2

x

M x P

x = − = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ( )( ) ) 2 3

1 1 1 1 1 1

1 1

4 3 1 4 3 1

2 2 1 1 2 1 2 3 1 2

4 3 1 4 3 1 4

x x x x x x

x x

N

x x x x

x x x x x x

x x x x x

  + − + + + + − + − + − −   = = − + − + + + + − + − + + = = = − + − + −

( ) 2

. 2

4 2 2

1 2 2

x

Q M N P x

x x x x x ⇒ = + = − + − + = + = + +

Vậy Q=1

a) Giải phương trình ( ) 3 3

4 5 0

1 x x x x x  − + +  + −  = −   ĐKXĐ:

3 0 3

0 0 0 1 1 1 0 x x x x x x x x + ≥   ≥ − ≥  ≥ ⇔ ≥ ⇔    ≠   − ≠  ≠ 

Ta có:

( ) 3 3 4 5 0 ( )( )1

4 5 0

1 3 3 0 2

x x

x x

x x

x x x

 + − =  − + + 

+ −  = ⇔ 

−  − + + =

  

Xét phương trình ( )

1 :x +4x − =5 0

Đặt 2( )

0

t =x t≥ , phương trình (1) trởthành:

( ) ( )

( )( )

2

2

4 5 0 5 5 0 1 5 1 0

1( )

1 5 0 1 1( )

5( )

t t t t t t t t

t tm

t t x x tm

t ktm + − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = =  ⇔ − + = ⇔  = − ⇔ = ⇔ = ± 

Xét phương trình (2): x− +3 3+ = ⇔x 0 3+ = −x 3 xvới x≥0,x≠1

( )2 2

3 0 3 3

3 6 9 7 6 0

3 3

x x x

x x x x x

x x − ≥   ≤  ≤  ⇔ ⇔ ⇔ + = − + − + = + = −     ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3

1 6 1 0 6 1 0

6 6 0

3 3

1

6 6( )

1 1( )

x x

x

x x x x x

x x x

x x

x

x x ktm

x x tm

≤ ≤ ≤    ⇔ ⇔ ⇔ − − − = − − = − − + =    ≤ ≤     ⇔ = ⇔ = ⇔ =    =  =  

Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ =x 1không thỏa mãn

Vậy S= ±{ }1

b) Hai đường thẳng d y: =mx+mvà d1:y = +x 3m+2n−mncắt điểm

( )3;9

I Tính m n. và m

n

Vì d ∩ =d1 { }I nên

9

9 3 9 4 4

9 3 3 2 6 3 2 9 3

6 3. 2

4 4

9 9

4 4

3

5 3

5

4 4

m

m m m

m n mn m n mn

n n

m m

n n

 = 

= + =

  

⇒ ⇔ ⇔

= + + − = + −

   = + −

 

 = =    ⇔ ⇔

 = −  = −

 

 

Vậy . 9. 3 27

4 5 20

m n= − = −

 

9 3 9 5 15

: .

4 5 4 3 4

m n

−     = − =  = −

   

c) Hình chữnhật ABCDcó chu vi 28(cm)và nội tiếp đường trịn (C) có bán

kính R=5( )cm .Tính diện tích tứgiác ABCD

Theo ta có: Hình chữ nhật ABCDcó chu vi 28(cm)nên có nửa chu vi 14(cm) Đặt AB= x cm( ).(ĐK: 0< <x 14)⇒CD=14−x cm( )

Gọi O= AC∩BD,Khi Olà tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD

Hình chữ nhật ABCDnội tiếp đường trịn có bán kính R=5( )cm

( ) ( )

5 2 10

OA cm AC OA cm

⇒ = ⇒ = =

Áp dụng định lý Pytagotrong tam giác vng ABCta có:

C B O

A

( )

( ) ( )

( )( )

2

2 2 2 2

2

2

14 10 28 196 100

2 28 98 0 14 48 0

6 8 48 0 6 8 6 0

6 0 6

6 8 0 ( )

8 0 8

AB BC AC x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x TM

x x

+ = ⇒ + − = ⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔ − + =

⇔ − − + = ⇔ − − − = − = =

 

⇔ − − = ⇔ ⇔ − = =

 

Với x= ⇒6 AB=6( )cm BC, =8( )cm ⇒Diện tích hình chữ nhật ABCDlà

2

6.8 48( )

S= = cm

Với ( ) ( )2

8 8( ), 6 ABCD 8.6 48

x= ⇒ AB= cm BC = cm ⇒S = = cm

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCDbằng 48cm2

Câu 3.

Gọi ( ) ( )P , d lần lượt đồthịcủa hàm số y= x2và y =2mx+3

a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A x y( 1; 1)và ( 2; 2)

B x y và tính y1+ y2theo m

Xét phương trình hồnh độgiao điểm hai đồ thị ( )P ( )d ta có:

( )

2

2 3 2 3 0 *

x = mx+ ⇔ x − mx− =

Phương trình ( )* có ∆ =' m2 + > ∀3 0( )m ⇒Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân

biệt x x1, 2với m

Hay với mthì đường thẳng ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt A x y( 1; 1)và ( 2; 2)

B x y

Ta có A B, ∈( )d nên: 1

2

2 3

2 3

y mx

y mx

= + 

 = + 

Áp dụng hệ thức Viet vào phương trình ( )* ta có: 2

2 3

x x m

x x

+ = 

 = −

 Khi ta có:

( )

1 2

2

2 3 2 3 2 6

2 2 6 4 6

y y mx mx m x x

m m m

+ = + + + = + + = + = +

Vậy

1 4 6

y + y = m +

b) Tìm msao cho y1−4y2 = −x1 4x2 +3x x1 2

Với mthì đường thẳng ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt A x( 1;2mx1+3)và ( 2;2 3)

B x mx + Áp dụng hệ thức Vi−etta có:

1

2 (1)

3 (2)

x x m

x x

+ = 

 = − 

( )

( )( )

1 2 2

1 2 1 2

1

1

1

4 4 3 2 3 2 3 4 3.( 3)

2 3 8 12 4 9 2 8 4 0

1

2 1 0

2 1 4 0 2

4 0

4

y y x x x x mx mx x x

mx mx x x mx x mx x

m m

m x x

x x

x x

− = − + ⇔ + − + = − + − ⇔ + − − = − − ⇔ − − + =



− = =

 

⇔ − − = ⇔ ⇔

 − =

  =

Với x1=4 ,x2 thay vào ( )2 ta có: 4x22 = − ⇒3 Phương trình vơ nghiệm

Vậy 1

2

m= thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 4.

a) Ngày thứba nhập xong có kho 91 gạo

Gọi lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ x(tấn ) (ĐK: x>0) Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứhai : x.120% 1, 2= x(tấn)

Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứba : 1, 120% 1, 44x = x(tấn)

Sau ngày thứba, lượng gạo có kho : x+1, 2x+1, 44x =3,64x(tấn)

Vì ngày thứ ba, sau nhập xong kho có 91 nên ta có phương trình:

91

3,64 91 25

3,64

x= ⇔ =x = (tấn ) (thỏa mãn)

Vậy ngày thứ 3, sau nhập xong, kho có 91 gạo lượng gạo kho hàng

nhập ngày thứ 25tấn

b) Tổng sốgạo xuất ngày thứ5, thứ6 50,966tấn

Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứtư 1, 44 120% 1,728x = x(tấn)

Sau ngày thứtư, lượng gạo có kho : x+1, 2x+1, 44x+1,728x=5,368x(tấn)

Từ ngày thứ5 kho ngừng nhập ngày kho lại xuất lượng gạo 1

10lượng

gạo kho ởngày trước nên:

Số gạo xuất ngày thứ5 : 1 .5,368 0,5368

10 x= x(tấn)

Số gạo lại sau ngày thứ5 : 5,368x−0,5368x=4,8312x(tấn)

Số gạo xuất ngày thứ6 : 1 .4,8312 0.48312

10 x= x(tấn)

Vì tổng số gạo xuất ngày thứ5, thứ6 50,996tấn nên ta có phương trình: 0,5368x+0, 48312x=50,966⇔1,01992x=50,966⇔ =x 50(tm)

Vậy tổng số gạo xuất ngày thứ5, thứ6 50,996tấn lượng gạo kho

Câu 5.

a) Chứng minh OCMNlà tứgiác nội tiếp BDC =4ODC

*) Ta có : AB= AC gt( )⇒ Athuộc đường trung trực BC OB=OC(cùng bán kính)⇒Othuộc trung trực BC

Khi ta có OAlà trung trực BC ⇒OA⊥BC⇒ONC =900

Vì M trung điểm AC(gt) nên OM ⊥ AC(quan hệvng góc đường kính

dây cung)  90

ONC

⇒ =

Xét tứ giác OCMNcó ONC =OMC =90 (0 cmt),suy OCMNlà tứ giác nội tiếp (Tứ

giác có đỉnh kề cạnh nhìn cạnh đối góc nhau)

*)Xét ∆ACDcó DM ⊥ AC OM( ⊥ AC)⇒DM đường cao đồng thời đường

trung tuyến suy ∆ACDcân D nên DM đường phân giác ADC

 2 (1)

ADC ODC

⇒ =

I

F E P N

D

M A

O

Ta có : AB= AC gt( )nên sd AB= sd AC(trong đường tròn hai dây căng

hai cung nhau)⇒ ADB= ADC(trong đường trịn, hai góc nội tiếp chắn hai cung

bằng nhau)

AD

⇒ phân giác BDC⇒BDC =2ADC (2)

Từ(1) (2) suy BDC=4.ODC (dfcm)

b) Phân giác góc BDPcắt BC E, MEcắt AB F Chứng minh CA=CPvà ME

vng góc với DB

Ta có : sd AB =sd AC cmt( )

   

  

  

 

( )

sd AB sd BD sd AC sd BD sd AD sd AC sd BD

sd CD sd AC sd BD do AD CD sd AD sd CD

⇒ + = +

⇒ = +

⇒ = +

= ⇒ =

Lại có :  1 

2

DAC = sd CD(góc nội tiếp chắn cung CD)

 1(  )

2

APC = sd AC+sd BD (góc có đỉnh nằm phía đường trịn chắn cung AC BD, )

   

DAC APC hay PAC APC

⇒ = =

Suy ∆ACP cân C (tam giác có hai góc nhau)⇒CA=CP dfcm( )

Ta có :  APC =DPB(hai góc đối đỉnh )

 

PAC =DBP(hai góc nội tiếp chắn cung CD)

Mà  APC=PAC(do tam giác ACPcân C) (cmt)  

DPB DBP BDP

⇒ = ⇒ ∆ cân D, phân giác DEđồng thời đường cao nên

DE ⊥BC

Xét tứ giác CDEM có CED =CMD=900 ⇒Tứ giác CDEM tứ giác nội tiếp (tứ giác

có đỉnh kềnhau nhìn cạnh đối diện góc nhau)

  

MEC MDC ADM

⇒ = = (hai góc nội tiếp chắn cung MC)

Mà  MEC =BEF(đối đỉnh)⇒BEF = ADM( )3

Ta có:  

90

ADM + DAM = (do tam giác ADM vuông M)

 

90

ADE+DPE= (do tam giác DEPvuông D)

Mà DAM  = APC=DPEnên   ADM = ADE=EDB (4)

 

Gọi EF∩BD={ }I Ta có: DEI    +EDB=DEI +BEF =DEB=900

DEI

⇒ ∆ vuông I⇒DI ⊥IEhay ME ⊥DB dfcm( )

c) Chứng minh tam giác MNEcân Tính DE

DF

Ta có:  1 

2

DBA= sd ADlớn 1(  ) 1(  ) 

2 sd CD sd AC 2 sd CD sd AB CPD

= + = + = (góc có

đỉnh ởbên đường tròn)  

180 DBA 180 CPD

⇒ − = −

  

DBF DPE BDE

⇒ = = ⇒BDlà tia phân giác EBF( )*

BEF

⇒ ∆ cân B (phân giác BIđồng thời đường cao)

 ( )5

BEF BFE

⇒ = (góc ởđáy tam giác cân)

Ta có:  ANM = ACO(góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp

)

OCMN mà   ACO=OAC=OABnên  ANM =OAB, hai góc lại vịtrí so le

 

/ /

MN AF NME BFE

⇒ ⇒ = (hai góc so le ) (6)

Từ(5) (6) suy BEF  =NME =NEM

Suy ∆MNEcân N dfcm( ) Vì ∆BEFcân B(cmt) nên BE =BF

Xét ∆BDEvà ∆BDFcó: BE =BF cmt BD( ); chung;EBD =FBD(theo ( )* ) ( )

BDE BDF c g c DE DF

⇒ ∆ = ∆ ⇒ = (hai cạnh tương ứng) Vậy DE 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH HỊA BÌNH

ĐỀCHÍNH THỨC

Đề số30

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 YHPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

ĐỀTHI MƠN TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I (2,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức sau:

) 16 5 ) 8 2

a A= + b B= −

2) Giải phương trình sau:

2

) 3 2 ) 4 0

a x− = b x − =

Câu II (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai đường thẳng ( )d1 :y=(m−1)x+2và ( )d2 :y= −x 3.Tìm mđểhai đường thẳng cho song song với

2) Cho phương trình :

4 2 1 0(

x + x+ m+ = mlà tham số)

a) Giải phương trình với m=1

b) Tìm mđểphương trình có nghiệm kép

Câu III (2,0 điểm)

1) Cho tam giác ABCvng A, có AB=6cm ABC, =60 0 Tính chu vi tam giác

ABC

2) Một ti vi giảm giá hai lần, lần giảm giá 10%so với giá bán, sau

giảm giá lần giá cịn lại 16 200000đồng Hỏi giá ban đầu ti vi ?

Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB( ≠ AC)có đường cao AD, BE CF,

cắt H

1) Chứng minh rằng: Tứ giác AEHFlà tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh  ADE= ADF

3) Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác EDFđi qua trung điểm M

cạnh BC

Câu V (2,0 điểm)

1) Tìm số thực x y z, , thỏa mãn: x2 + y2 +4z2 −4x−2y+4z+ =6 0 2) Cho số thực x y, thỏa mãn x>2yvà xy=3

Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 4 11 2

x y

P

x y

+ − =

ĐÁP ÁN Câu I.

1) )a A= 16+ = + =5 4 5 9 b B) = 8− 2 =2 2− 2 = 2

( ) { }

( )( ) { }

2

2) ) 3 2 3 3 4 7( ) 7

2

) 4 0 2 2 0 2

2

a x x x x tm S

x

b x x x S

x

− = ≥ ⇔ − = ⇔ = = =



− = ⇔ − + = ⇔  = − = ± 

Câu II.

1) Tìm m….

Hai đường thẳng ( )d1 :y=(m−1)x+2và ( )d2 :y= −x 3song song với

khi 1 1 2

2 3( )

m

m luon dung

− = 

⇔ ≠ − ⇔ = 

Vậy với m=2thì ( ) ( )d1 / / d2

2) a) Giải phương trình với m=1

Với m=1,phương trình thành: x2 +4x+3có dạng a− + =b c 0nên có hai nghiệm

2 1

3

x x

= − 

 = −

 Vậy x∈ − −{ 1; 3} khi m=1

b) Tìm m đểphương trình có nghiệm kép

Phương trình

4 2 1 0

x + x+ m+ = có nghiệm kép

( )

2

' 0

3

2 2 1 0

2

m m

⇔ ∆ =

⇔ − + = ⇔ =

Vậy với 3

2

m= phương trình có nghiệm kép

Câu III.

1) Tính chu vi tam giác ABC

Xét tam giác vng ABCta có: 6cm

600

A