Tổng hợp đề thi và lời giải vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Trị từ năm 2000

Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, nếu có cách giải khác đúng cho điểm theo quy định của ý (câu) đó. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không là[r]

 Sưu tầm

TUYỂN TẬP ĐỀ TOÁN VÀO 10

TỈNH QUẢNG TRỊ QUA CÁC NĂM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 21 tháng năm 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm : 120 phút

Câu (1,5 điểm)

Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau :

( )

2 7 81 14

0

1 1

. 1

1 1

A

x

B x

x

x x

= + −

>

 

 

= −  −  

≠ −

   

Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau :

2 2 3 8

)9 2 7 0 )

5 3 1

x y

a x x b

x y

+ =



− − =  − = −

 Câu (1,5 điểm) Cho hàm số

2

y = x có đồ thị ( )P

a) Vẽ đồ thị ( )P

b) Tìm giá trị tham số mđể đường thẳng ( )d :y=mcắt ( )P hai điểm

phân biệt A B, cho AB=10 Câu (1,5 điểm)

Một tàu du lịch xuất phát từ cảng Cửa Việt đến đảo Cồn Cỏ, tàu dừng lại đảo 40 phút quay điểm xuất phát Tổng thời gian chuyển Biết vận tốc tàu lúc lớn lúc hải lý/ cảng Cửa Việt cách đảo Cồn Cỏ 16 hải lý Tính vận tốc tàu lúc

Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCnhọn (AB≠ AC)nội tiếp đường tròn (O R; ).Các đường cao

BDvà CE(D∈AC E, ∈AB)của tam giác ABCcắt H Gọi Ilà giao điểm thứ

hai CEvà đường tròn ( )O .Chứng minh rằng:

a) AEHDlà tứ giác nội tiếp

b)  AHB= AIB

c) 2

4

AH +BC = R

Câu (0,5 điểm) Cho phương trình bậc hai 2 ( )

0; 0

ĐÁP ÁN Câu

( )

( ) ( )( )

( )

2 7 81 14 14 9 14 9 0

1 1 1

1 . 1 1

1

1 . 1

1 1

. 1

A

x x x

B x x x

x

x x x x

x x x x = + − = + − = >   − +   = −  −  = + − ≠ − −     + = + = Câu ( ) ( ) ( )( ) 2

)9 2 7 0 9 9 7 7 0

9 1 7 1 0 1 9 7 0

1 7 9

a x x x x x

x x x x x

x x − − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ − + = =   ⇔  = − 

Vậy 1; 7 9

S= − 

 

7 7

2 3 8 1

) 8 2

5 3 1 2

3

x

x y x

b x

x y y y

=  + = =  ⇔ ⇔  − =  = −  =   

Vậy ( ) ( )x y; = 1;2 Câu

a) Học sinh tự vẽ hình

b) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) :

1 2 2 2 2 2

2 ; ; ;

2 2

2 2

m

x y m

m m

x m A m B m

m

x y m

 = ⇒ =       = ⇔ ⇒   −       = − ⇒ = 

Vì AB=10

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 10 2 2 100 2 2

2 100 2 100 50

A B A B

y y x x

m m

m m

m m m

⇒ − + − =

 

⇔ − + + =

 

⇔ = ⇔ = ⇔ =

Câu Gọi xlà vận tốc lúc (x>4)⇒vận tốc lúc về: x−4 Suy thời gian lúc : 16,

x thời gian lúc về: 16

4

Nên tổng thời gian : 3 2 7( )

3 3 h

− = nên ta có phương trình

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

2

2

16 16 7

3 16 4 16 7 4

4 3

3 32 64 7 28 7 124 192 0

7 112 12 192 0 7 16 12 16 0 16( )

16 7 12 0 12

( ) 7

x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

x tm

x x

x ktm

+ = ⇔  − + = −

−

⇔ − = − ⇔ − + =

⇔ − − + = ⇔ − − − =

=  

⇔ − − = ⇔

 = 

Vậy vận tốc lúc 16 hải lý / Câu

a) Ta có: 0

90 90 180

ADH AEH

∠ + ∠ = + = ⇒tứ giác AEHDnội tiếp

b) Ta có :  AIC= ABC(tứ giác AIBCnội tiếp chắn cung AC)

90 ( )

BEC BDC gt BEDC

∠ = ∠ = ⇒ tứ giác nội tiếp

 

EBC EDA

⇒ = (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện)

  (1)

EIA AHE

⇒ =

Mặt khác  ADE= AHE(do tứ giác AEHDnội tiếp)

Tương tự ta có: BIC =BAC AIBC( tứ giác nội tiếp)

 (

BAC =DHC HEADlà tứ giác nội tiếp); DHC =IHB(đối đỉnh)

Nên BIC =IHB( )2

M H

A'

I E

D O A

Từ (1) (2) suy  AIB= AHB

c) Kẻ đường kính AOA',chứng minh BHCA'là hình bình hành nên HA'đi qua

trung điểm M BC 1

2

OM AH

⇒ = mà 1

2

BM = BC⇒ ∆OMI vuông I

(OM ⊥BC- tính chất đường kính dây cung)

Áp dụng định lý Pytago biến đổi ta có:

( )2 ( )

2 2 2

2 4 4 4 4

BC = BM = BM = BO −OM = R − OM

Mà 2 ( )2 2

2 4

AH = OM = OM

2 2 2

4 4 4 4

AH BC OM R OM R

⇒ + = + − =

Câu

Gọi mlà nghiệm chung phương trình: ax2 +bx+ =c 0 1( )và cx2 +bx+ =a 0 2( ) ( )

( )

2

0 3 0 4 am bm c

cm bm a

 + + =

 ⇒ 

+ + =

 Lấy ( ) ( )3 − 4 ta được:

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 0

1

1 0 1 0

1 a c m a c

m

a c m m do a c

m

− − − =

= 

⇔ − − = ⇔ − = ≠ ⇒  = −



Với m=1,pt (1)có hai nghiệm x2 =1;x1thỏa mãn x x1 2 c a

= 1

1.x c x c

a a

⇔ = ⇒ = , tương tự: x2 a c

= Áp dụng định lý Cơ si ta có:

2 . 2

a c a c

c + a ≥ c a = Dấu " "= xảy ( )

a c

a c ktm c a

⇔ = ⇔ =

Với m= −1,chứng minh tương tự x1 c,x2 a

a c

⇒ = − = −

Áp dụng bđt Cô – si x1 x2 c a 2

a c

⇒ + = − + − ≥ Dấu " "= xảy ⇔ =a c ktm( )

Câu (2,0 điểm)

Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau:

18 50

A= −

1

2

a B

a a a

−

 

= + 

− +

  với a>0, 4.a≠

Câu (2,5 điểm)

Cho hàm số

y= −x có đồ thị ( ).P

a) Vẽ ( ).P

b) Tìm tọa độ giao điểm ( )P đường thẳng ( ) :d1 y=2x−3

c) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d2) :y=2x+m cắt ( )P

hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn

1

1

x +x =

Câu (1,5 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 58 m diện tích 190 m2

Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất

Câu (3,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn ( ),O kẻ đến ( )O tiếp tuyến

,

MP MQ cát tuyến MAB không qua tâm (A B P Q, , , thuộc ( )O ) Gọi I trung điểm

của AB, E giao điểm PQ AB

a) Chứng minh MPOQ là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác MPE MIP đồng dạng với

c) Giả sử PB=a A trung điểm MB. Tính PA theo a

Câu (1,0 điểm) Giải phương trình

2x− +4 2− x =4x −20x+27

- HẾT -

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Khóa ngày 04 tháng năm 2019 Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀTHI CHÍNH THỨC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Khóa thi ngày 04 tháng năm 2019 Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

HDC gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu) Điểm tồn làm trịn đến 0,25

CÂU Ý YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐIỂM

1 (2 điểm)

18 50

2

A= −

= −

= −

0,5 0,5

1

2

a B

a a a

−

 

= + 

− +

 

2

( 2)( 2)

a a a

a a a

+ + − −

=

− +

2

a a

a a

− =

− =

0,25 0,5 0,25

2 (2,5 điểm)

a)

Lập bảng giá trị tương ứng

x -2 -1

2

y= −x -4 -1 -1 -4

Vẽ đồ thị

0,25

0,75

b)

Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P ( ) :d1

2

2

x x

− = −

2

x x

⇔ + − =

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=1; 3x2 = −

Suy giá trị tương ứng y1= −1; 9y2 = −

Vậy tọa độ giao điểm là: (1; 1)− ( 3; 9)− − 0,25

0,25

c)

Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P (d2) :

2 2

x x m

− = +

2 (1)

x x m ⇔ + + =

( )P cắt ( )d điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có

hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = − >' m 0⇔m<1 (*)Ta có:

1 2

1 2

5

x x

x x x x

+

+ = ⇔ =

2

5

5 m

m −

⇔ = ⇔ = − (thỏa mãn (*)) Vậy m= −5

0,25

0,25

3 (1,5 điểm)

Gọi chiều rộng mảnh đất x m( ), 0.x>

Khi chiều dài mảnh đất 29−x m( )

Diện tích mảnh đất

190 (m ), ta có phương trình:

(29 ) 190

x −x =

Biến đổi ta phương trình

29 190

x − x+ =

Giải phương trình ta x1 =19, 10.x2 =

Vậy kích thước mảnh đất 10mvà 19 m

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25

4 (3,0 điểm)

a) Ta có

 

90

MPO=MQO=

Suy tứ giác MPOQnội tiếp(đường trịn đường kính OM

)

0,5 0,5

b)

Xét ∆MPEvà ∆MIPcó



IMP chung (1)

Ta có MPE =MQP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì Ilà trung điểm ABnên OI⊥ ABsuy Ithuộc

đường trịn đường kính MO

Do đóMIP =MQP (cùng chắn cung MPcủa đường trịn

đường kính OM )

Suy MIP =MPE (2)

Từ (1) (2) ta được∆MPE∽∆MIP g ( −g)

0,25 0,25

0,25 0,25 Xét ∆MPAvà∆MBPcó

E I A

P Q

M O

c)



PMBchung

 

MPA=MBP(hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)

Suy ∆MPA∽∆MBP g ( −g)

Do 2

2

MP MA MB

MP MB MP

MB = MP⇒ = ⇒ =

Ta lại có

2 2

PA MP PB a

PA

BP = MB= ⇒ = =

0,25 0,25 0,25 0,25

5

(1,0 điểm)

2

2x− +4 2− x =4x −20x+27

ĐK: 2≤ ≤x

Ta có: ( )2

4x −20x+27= 2x−5 + ≥2

( )2

2

2 2 (2 4).(6 )

x x

x x x x

− + −

= − + − + − −

2 (2x 4).(6 )x 2x 2x

= + − − ≤ + − + − =

(2x 4).(6 )x

⇒ − − ≤

Do

2x− +4 2− x =4x −20x+27

2

5 (2 4).(6 )

2 20 27

x x

x

x x

 − − =



⇔ ⇔ =

− + =

 (TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm

x=

Chú ý: học sinh có thểsửdụng bất đẳng thức phụkhác.

0,25 0,25 0,25 0,25

Tổng điểm 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPTKhóa ngày 04 tháng năm 2019 Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phátđề)

Câu (2,0 điểm)

Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau:

5 50

A= −

1

2

a B

a

a a

−

 

= + 

− +

  với a>0 a≠4

Câu (2,5 điểm)

Cho hàm số

y=x có đồ thị ( ).P

a) Vẽ parabol ( ).P

b) Tìm tọa độ giao điểm ( )P đường thẳng y=3x−2 ( ).∆

c) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y=2x+m d( ) cắt ( )P tại hai

điểm phân biệt có hoành độ x x1, cho

2 2 10 x +x = Câu (1,5 điểm)

Một hình chữ nhật có chu vi 66 m Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài

18 m hình chữ nhật có diện tích 108 m2 Tính chiều dài chiều rộng

của hình chữ nhật ban đầu Câu 4.(3,0 điểm)

Từ điểm A nằm đường tròn ( ),O kẻ đến ( )O tiếp tuyến AB AC, cát

tuyến ADE không qua tâm (B C D E, , , thuộc ( )O ) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC F Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp

b) Hai tam giác ABF AHB đồng dạng với

c) AD AE = AF AH

Câu (1,0 điểm)

Giải phương trình

6 13

x − x+ = x+ + −x

- HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀTHI CHÍNH THỨC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Khóa thi ngày 04 tháng năm 2019 Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

HDC gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu) Điểm tồn làm tròn đến 0,25

CÂU Ý YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐIỂM

Câu (2 điểm)

5 2.4 25.2

A= −

5.2 2.5

= −

10 10

= −

0

=

0,25 0,25 0,25 0,25 Với a>0 a≠4, ta có

1

2

a B

a

a a

−

 

= + 

− +

 

2

( 2)( 2)

2

a a a

B

a

a a

a a

a a

a

+ + − − =

− +

− =

− =

0,25 0,5 0,25

Câu 2. (2,5 điểm)

a)

Bảng giá trị

x -2 -1

2 x

y= 1

Vẽ (P)

0,25

0,75 4

1

0 y

x 2 1 -1

-2 >

b)

Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P đường thẳng ( )∆ là:x2 =3x−2

2

3

2

x x x x

⇔ − + = =

 ⇔  =



Với x=1 y=1

Với x=2 y=4

Vậy tọa độ giao điểm (1;1)và (2; 4)

0,25 0,25 0,25 0,25

c)

Phương trình hoành độ giao điểm ( )P đường thẳng ( )d là: x2 =2x+m ⇔x2−2x− =m (1)

( )P cắt ( )d điểm phân biệt ⇔phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔' m m> −1 (*)

Khi 2

2

x x x x m

+ = 

 = −



Ta có 2

1 10 ( 2) 2 10 x +x = ⇔ x +x − x x =

4 2m 10 m

⇔ + = ⇔ = (thỏa mãn (*)) Vậy m=3 giá trị cần tìm

0,25

0,25

Câu 3:(1,5 điểm)

Gọix m ( ) chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu,

0

x>

Khi chiều dài hình chữ nhật ban đầu 33−x m( )

Chiều rộng hình chữ nhật sau tăng x+9 ( ).m

Chiều dài hình chữ nhật sau giảm

33− −x 18 15= −x m( )

Diện tích mảnh đất (15−x)(x+9)=108

Giải phương trình ta x1=9 x2 = −3(loại)

Vậy kích thước mảnh đất ban đầu 9m 24 m

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 4: (3 điểm)

a) Tứ giác ABOC có

 

90

ABO= ACO= (AB AC, tiếp

tuyến)

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (đường trịn đường kính AO)

0,5 0,5 F

H D

C B

O A

b)

Xét ABFvà AHBcó: 

BAHchung (1)

Vì H trung điểm DE nên OH ⊥DE suy Hthuộc

đường tròn đường kính AO

Do  AHB= ACB(cùng chắn cung AB đường trịn

đường kính AO)

Mà  ABC=ACB (tính chất hai tt cắt nhau)

suy  AHB= ABC (2)

Từ (1) (2) ta ∆ABF∽∆AHB g ( −g)

0,25 0,25

0,25 0,25

c)

ABF AHB

∆ ∽∆

2

(3) AB AF

AB AH AF AH AB

⇒ = ⇒ =

Xét ABD AEB có

Trong ( )O có  ABD=AEB (hệ góc tạo tia tiếp tuyến

và dây cung) 

BAE chung

Suy ∆ABD∽∆AEB g ( −g)

(4) AB AD

AB AD AE AE AB

⇒ = ⇒ =

Từ (3) (4) suy ra: AD AE =AF AH

0,25

0,25

0,25 0,25 Câu

(1điểm)

2

6 13

x − x+ = x+ + −x

Điều kiện: − ≤ ≤1 x

2

6 13 ( 3) 4

x − x+ = x− + ≥ Dấu "=" xảy

3

x= (1)

( )2

2

1 ( 1)(7 )

8 16 ( 3) 2.4 16

x x x x

x x x

+ + − = + + − = + − + + = + − − ≤ + =

1

x x

⇒ + + − ≤ Dấu "=" xảy x=3

(2)

Từ (1) (2) suy

6 13

x − x+ = x+ + −x

3

x=

Vậy nghiệm phương trình ban đầu x=3

0,25

0,25 0,25 0,25

MA TRẬN ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Nội dung Nhận biết Thông

hiểu Vận dụng V

ận dụng

cao Tổng điểm Căn thức (rút gọn, tính

giá trị) đ đ đ

Đồ thị, phương trình

bậc hai 1đ 1đ 0,5 đ 2,5 đ

Giải tốn cách lập trình, hệ phương

trình 1,5 đ 1,5 đ

Hình học phẳng (nội tiếp, đồng dạng, tiếp

tuyến, )

1 đ đ đ đ

Phương trình, hệ

phương trình đ đ

Tổng điểm đ 3,5 đ 2,5 đ đ 10 đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Khóa ngày 04 tháng năm 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊNKhóa ngày 04 tháng năm 2019 Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kểthời gian phát đề)

Câu (2,0 điểm)

1 Cho biểu thức 2( 1) 2

1 1

x x x x x

A

x x x x

− + −

= + −

+ − + − với x≥0, x≠1

Tìm tất giá trị x để A≤0

2 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình

2( 1)

x − m+ x− = có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 cho x1<x2 |x1|−|x2|= −4

Câu (2,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình

( )( )

2

6 13

2

x y

x x y x

+ =



 = + − −



2 Giải phương trình ( )3

3

x + x − = x − x −

Câu (2,0 điểm)

1 Cho số tự nhiên có chữ số abc Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21

chỉ a−2b+4c chia hết cho 21

2 Tìm tất số nguyên tố x y z, , thỏa mãn xy = −z

Câu 4. (3,0 điểm) Trên đường tròn ( )O đường kính AB lấy điểm C (C khác A B), điểm D nằm đoạn thẳng AB cho BD= AC Kẻ DE vng góc với AC E, đường phân giác góc BAC cắt DE ( )O G F (F khác A) Đường thẳng CG cắt AB ( )O theo thứ tự I H (H khác C) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AGDH nội tiếp đường tròn

b) Ba điểm H D, F thẳng hàng

c) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AD

Câu (1,0 điểm)

Cho a b c, , số dương thỏa mãn a+ + + =b c abc

Chứng minh 1

ab + bc + ca ≤

- HẾT -

Họvà tên thí sinh Sốbáo danh

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 04 tháng năm 2019.

Mơn thi: Tốn. (Hướng dẫn có trang)

HDC gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu) Điểm tồn làm trịn đến 0,25

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

1

2,0

điểm

1

2( 1)

A= x− + +x x− x 0.25

2 ( 1)( 2)

x x x x

= + − = − + 0,25

( x−1)( x+ ≤ ⇔2) x− ≤ ⇔ ≤ ≤1 0 x 0,25

Đối chiếu điều kiện giá trị cần tìm 0≤ <x 0,25

2

Vì ac= − <2 nên PT có hai nghiệm phân biệt x1<x2 nên x1< <0 x2 0,25

do − − = − ⇔ +x1 x2 x1 x2 =4 Theo định lí Vi et x1+x2 =2(m+1) 0,5

Nên 2(m+ = ⇔1) m=1 0,25

2 2,0 điểm 1 ( )( ) ( ) 2 13

6 13 6

13

2

2

6 x y

x y

x

x x y x

x x x

−  =  + =  ⇔  = + − −   −    = + −  −    

( 2)

2 13 x y x x −  =  ⇔  −  =

 0,

13 x y x −  =  ⇔   = ± 

Vậy nghiệm (x y; ) hệ phương trình là: ( )1; , 1;

− 

 

  0,5

2

( )3

6

3

x + x − = x − x − ( ) (2 3 )3 2( )

3 3

x x x x

⇔ + − + = −

Đặt:

,

x =a x − =b

Ta có phương trình: 3 3 ( )3 ( )

1 3

a + + =b ab⇔ a b+ + − ab a b+ − ab= 0.25

( ) ( ) (2 ) ( )

1

a b  a b a b  ab a b ⇔ + +  + − + + −  + + =

( )( 2 )

1

a b a b ab a b

⇔ + + + − − − + = 0,25

( ) (2 ) (2 )2 2

) a b ab a b a b a b a b

+ + − − − + = ⇔ − + − + − = ⇔ = =

1 x x

⇒ = − = (VN) 0,25

+) ( )( )

1 1 2

a b+ + = ⇒x + − + = ⇔x x− x + x+ = ⇔ =x

Vậy phương trình có nghiệm x=1 0,25

3

2,0 1

Ta có 4.abc=21 19( a+2b) (+ a−2b+4c) 0,25

điểm mà (4, 21)=1 nên abc21⇔ 4.abc21⇔ (a−2b+4c)21 0,25

2

Ta có y

z=x + , mà x y, số nguyên tố nên x≥2,y≥ ⇒ ≥2 z Do z

số nguyên tố lẻ

Vì xy = −z nên xy số chẵn, x=2 Khi z=2y+1

0,25 0,25 Nếu y lẻ 2y ≡2(mod 3)⇒2y+1 3 ⇒z3 vơ lý z số nguyên tố

Nếu y chẵn, y nguyên tố suy y=2 z=22+ =1 0,25

Vậy số cần tìm x= =y 2, 5.z= 0,25

4

3,0

điểm

a) Vì DE/ /BC nên    

ADE= ABC=AHC= AHG tứ giác

AGDH nội tiếp 1,0

b) Từ tứ giác AGDH nội tiếp, ta có:      

DHG=DAG=BAF=FAC=CHF=FHG 0,75

Suy hai tia HD HF trùng

Vậy H, D, F thẳng hàng 0,25

Gọi M giao điểm CD AF

Ta có: IA MD EC

ID MC EA = (Định lý Ceva)

MD AD

MC = AC (Phân giác)

EC DB AC

EA = DA= DA (Talet) 0,75

Suy ra: IA AD AC IA ID AC DA = ⇔ ID =

Vậy I trung điểm AD 0,25

5

1,0

điểm

1 1

2

1 1

a b c abc

a b c

+ + + = ⇔ + + =

+ + +

0.25 Đặt , ,

1 1

x y z

a b c

= = =

+ + +

Ta có x+ + =y z a 1 y z,b z x,c x y

x x y z

+ + +

= − = = =

0,25

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2 xy yz xz

x z y z y x z x x y z y

ab + bc + ca = + + + + + + + + 0,25

3

x y y z x z

x z y z y x z x x y z y

≤ + + + + + =

+ + + + + + 0,25

Tổng sốđiểm toàn 10 điểm

- Hết - M

E

H I G

D F

B O

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Khóa thi ngày 04 tháng năm 2018

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao

đề)

Câu (2,0 điểm)

a) Bằng phép biến đổi đại số rút gọn biểu thức: A=2 5+3 45

b) Giải phương trình:

6 5 0.

x − x+ =

Câu 2.(1,5 điểm)

Cho hai hàm số y x= 2

2

= − +

y x

a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị phương pháp đại số Câu 3.(1,5 điểm)

Cho phương trình ( )

2 3 0 1

x − x+ + =m (với x ẩn, m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình ( )1 có nghiệm

b) Gọi x x1, nghiệm phương trình ( )1 Tìm tất giá trị m để 2

1 3 4 0.

x +x − x x − =

Câu 4.( 1,5 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích

360m Nếu tăng chiều rộng 2m giảm

chiều dài 6m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính chu vi mảnh đất lúc đầu Câu 5.(3,5 điểm)

Cho đường trịn ( )O đường kính AB=6cm Gọi H điểm thuộc đoạn thẳng AB

sao cho AH =1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB, đường thẳng cắt

đường tròn ( )O tại C D Hai đường thẳng BC AD cắt M Gọi N

hình chiếu vng góc điểm M trênđường thẳng AB

a) Chứng minh tứ giác MNACnội tiếp

b) Tính độ dài CH tanABC

c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn ( )O .

d) Tiếp tuyến A đường tròn ( )O cắt NCở E Chứng minh đường thẳng

EB qua trung điểm đoạn thẳng CH

-HẾT -

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Khóa thi ngày 04 tháng năm 2018 Mơn thi: Tốn

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

1 2,0 điểm

a

A=2 5+3 9.5 0,25

=2 5+9 5 0,5

=11 0,25

b Phương trình

2

6 5 0

x − x+ = phương trình bậc hai với hệ số

1; 6;

= = − =

a b c có a+ + = + − + =b c ( )6 0,5

Suy phương trình có nghiệm x1=1,x2 =5 0,5

2 1,5 điểm

a

Vẽ đồ thị:

- Bảng giá trị hàm số = y x

x -2 -1

2

y=x 1

- Đồ thị hàm số =

y x đường cong parabol qua điểm có toạ

độ: (−2; 4) (, −1;1 0; 1;) ( ) ( ) ( ), , 2; ,

0,25 - Bảng giá trị hàm số y= − +x 2

x

2

y= − +x

- Đồ thị hàm số y= − +x đường thẳng qua hai điểm có toạ độ

( ) ( )0; , 2; 0,25

- Vẽ đồ thị hàm số

y=x 0,25

- Vẽ đồ thị hàm số y= − +x 0,25

b

Tọa độ giao điểm hai đồ thị nghiệm hệ phương trình

( ) ( )

1 2

y x y x  =  

= − + 

Thế ( )1 vào ( )2 ta phương trình: 2

2

x = − + ⇔x x + − =x

Phương trình có nghiệm: x=1, x= −2

Với x=1 thay vào (1) ta có y=1

Với x= −2 thay vào (1) ta có y=4

Vậy tọa độ giao điểm hai đồ thị A( )1;1 , (-2; 4)B 0,25

3 1,5 điểm

a Phương trình (1) có

' m m

∆ = − − = − −

Phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥'

' m m

∆ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ −

0,25 0,25 0,25

b

Với m≤ −2 phương trình ( )1 có nghiệm x x1, 2 Theo định lí Vi-ét ta có:

1

2 .

. 3

x x x x m

+ = 

 = +

 0,25

Mặt khác theo ra: 2

1 + −3 − =4

x x x x

( )2

1

⇔ x +x − x x − =

0,25 ⇔ −4 5(m+ − =3)

⇔ + =m

⇔ = −m 3 (thỏa mãn điều kiện m≤ −2)

Vậy với m= −3 giá trị cần tìm 0,25

4 1,5 điểm

Gọi x (m) chiều rộng mảnh đất lúc đầu (x > 0) Khi chiều dài mảnh đất lúc đầu 360( )m

x 0,25

Chiều rộng mảnh đất sau tăng thêm 2m là: x+2 ( )m

Chiều dài mảnh đất sau giảm 6m là: 360 ( )m

x − 0,25

Vì tăng chiều rộng 2m giảm chiều dài 6m diện tích mảnh đất

khơng đổi nên ta có phương trình:

( ) 360

2 360

x

x

 

+  − =

  0,25

Giải phương trình ta x1=10 (chọn) x2 = −12(loại) 0,25

Vậy chiều rộng mảnh đất lúc đầu 10 m

Chiều dài mảnh đất 360 36 10 = m

5 3,5 điểm

a

Vẽ hình để giải câu a 0,5

Ta có 

ACB=90 (góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) 0,25



ACM 90 ,

⇒ = 

ANM=90 (vì MN ⊥ AB) 0,25

Do  

ACM+ANM=180 Vậy tứ giác MNACnội tiếp 0,25 b

Từ giả thiết ta có: HO=2cm OC, =3cm 0,25

Xét tam giác vng OHCcó: CH = OC2−OH2 = 32−22 = 5( )cm 0,25

Trong tam giác vng BHCcó tanABC= CH HB

5

= 0,25

c

Vì tứ giác MNACnội tiếp nên ta có:

 ACN = AMN ( hai góc nội tiếp chắn NA)

Mặt khác  ADC = ABC( hai góc nội tiếp chắn CA) OBC

∆ cân O nên   ADC = ABC =BCO

Lại có: MN ⊥ AB CD; ⊥ AB⇒MN / /CD 0,25

nên  ADC = AMN (hai góc so le trong) ⇒  ACN = BCO 0,25

   

90

BCO ACO ACN ACO NC OC

⇒ + = + = ⇒ ⊥

Vậy NC tiếp tuyến đường tròn ( )O 0,25

d

Gọi I giao điểm BE CH , K giao điểm tiếp tuyến AE BM

Vì AElà tiếp tuyến ( )O nên  

90

OAE =OCE = nên tứ giác OAECnội

tiếp   AOE = ACE= ABC ⇒OE BK// 0,25

Mà O trung điểm AB E trung điểm AK

Vì HC AK// (cùng vng góc với AB) 0,25

Ta có: IC BI IH

EK = BE = EA mà EK =EA IC =IH

Vậy đường thẳng BE qua trung điểm đoạn thẳng CH 0,25

Tổng sốđiểm toàn 10 điểm

I E

O M

N A H B

C

Lưu ý:

Nếu học sinh làm câu 3b theo đề: 2

1

x +x − x x − = thì giám khảo chấm theo hướng dẫn sau:

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

3 b

Với m≤ −2 phương trình ( )1 có nghiệm x x1, 2

Theo định lí Vi-ét 2

2 (1).

. 3

x x x x m

+ = 

 = +



2

1 3 (2)

x − x + + = ⇔m x = x − −m

Mặt khác theo ra: 2

1

x +x − x x − =

1

2x 3x x (3)

⇔ − − = 0,25

Thế (1), (2) vào (3) ta có: 1

5 19

2(2 3) 3( 3)

4 m

x − − −m m+ − = ⇔ x = +

Thế vào phương trình cho ta có phương trình:

2

5 19 19

2

4

m m

m

+ +

  −  + + =

   

   

2

25m 166m 257

⇔ + + =

0,25 Giải phương trình ta có:

83 29 25

m= − + 83 29 25 m= − +

Đối chiếu điều kiện m≤ −2 ta có 83 29

25

m= − + 83 29 25

m= − + 0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUNKhóa ngày 04 tháng năm 2018 Mơn thi: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức 1 :

4

x x x

P

x

x x x

 + − 

= − 

−

+ + +

  với xlà số dương khác

b) Tìm tất giá trị a để đường thẳng y=2x+1 cắt đồ thị hàm số y=ax2

tại hai điểm A B cho AB= 15

Câu (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

( )

3

7

x y

xy x y

 − =



 − =



b) Giải phương trình 2

2

x − x + x− − =x

Câu (2,0 điểm)

a) Tìm tất cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn: (x−1)2(x2+4) (=4 y2+6y+9)

b) Tìm tất số nguyên dương n cho số n+234 n−37 lập

phương số nguyên dương Câu (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( ; ),O R 

45

BAC= Đường tròn ( ; )I r tiếp xúc với hai cạnh góc BOC đường tròn (O) Đường thẳng OC cắt đường

tròn ( )O tại D(D khác C) Gọi E điểm tiếp xúc đường tròn ( )I OC

a) Chứng minh ba điểm A O I, , thẳng hàng tính r theo R

b) Chứng minh DBA   = ABO=OBE=EBC Câu 5. (1,0 điểm)

Từ hình nón có chiều cao 30 cm, người thợ tiện hình trụ hình vẽ (Hình 1) Tính chiều cao hình trụ cho vật liệu bị loại bỏ (khơng thuộc hình trụ)

Câu (1,0 điểm)

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện x2+ −(3 x)2 ≥5 Tìm giá

trị nhỏ biểu thức: 4 ( )4 2( )2

3

Q=x + −x + x −x

- HẾT -

Họvà tên thí sinh Sốbáo danh

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 04 tháng năm 2018.

Mơn thi: Tốn. (Hướng dẫn có trang)

Câu Ý NỘI DUNG YÊU CẦU VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm

1

2,0

điểm

a)

( ) (2 )( )

1

:

2

2

2

x x x

P x x x x   + −   = −  + − +  +    ( )( ) ( )( )

( ) (2 )

1 2 2

2

x x x x x

x x x  + − − − +  +   =   + −   0,25 ( ) ( ) ( )

2 1

2

x x x x

x x x  − − − + −    =  + −    0,25

( 2) ( )

2

x x x x  −    =  + −    x − = − 0,5 b)

Gọi ( )d ( )P đồ thị hai hàm số cho

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số:

( )

2

2 1

ax = x+ ⇔ax − x− = 0,25

Để ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt phương trình ( )1 phải có nghiệm

phân biệt

( )1 có hai nghiệm phân biệt 0

1

a a

a a

≠ ≠

 

⇔

 + >  > −

  0,25

Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình (1) Khi tọa độ giao điểm ( 1; 1)

A x x + B x( 2; 2x2+1)

Theo định lí Vi-ét ta có:

1 2 x x a x x a  + =    = −  0,25

( )2 ( )2 ( )2

2

2 1 2

4

4 5

AB x x x x x x x x

a a

 

 

= − + − =  + −  =  + 

 

Theo đề ra:

2

2

2

4

15 15 15 4 2

3 a

AB AB a a

a a a

=     = ⇔ = ⇔  + = ⇔ + = ⇔  = −   

2 2,0 điểm a) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

3

7 ( )

7

2 2 2

x y x xy y x y x y xy

x y

xy x y xy x y xy x y

 − + + =  − − + =  − =  ⇔ ⇔    − = − = − =   

   0,25

Đặt u x y

v xy

= − 

 =

 Hệ trở thành

( )

3 7

2

2

u u v u u

u uv uv     + = + =  ⇔       =  

  = 0,25

3 1 2 u u v uv =  =  ⇔ ⇔ = =   0,25

Ta có hệ phương trình:

2 1 2 x y x y xy x y  =   = − =  ⇔  =  = −    = −  

Vậy hệ cho có nghiệm

1 x y =   =



1 x y = −   = −  0,25 b)

Giải phương trình: 2

2

x − x + x− − =x

Điều kiện xác định

2x +2x− ≥1

Ta có 2 2

2 2

x − x + x− − = ⇔x x + x− = x −x

Bình phương hai vế ta có phương trình hệ quả:

4

2

x − x −x − x+ =

0

x= khơng thỏa mãn phương trình, chia hai vế cho x2 ta có phương trình:

2

1

2

x x x x   + −  + − =   0,25

Đặt t x x

= + Phương trình trở thành

2

3 t t t t = −  − − = ⇔  =  0,25

Với t = −1 ta có phương trình

1

x x x

x

+ = − ⇔ + + = ptvn

Với t =3 ta có phương trình

3

1 2

3

3

2 x

x x x

x x  − =   + = ⇔ − + = ⇔  + =  0,25 Thử lại ta có nghiệm phương trình:

2

x= +

Lưu ý: Nếu học sinh biến đổi

2

x − x −x − x+ = thành

( )( )

3 1

x − x+ x + + =x và giải nghiệm mà không thểhiện cách biến đổi thì chỉcho tối đa 0,5 điểm.

0,25

3 a) Viết lại: ( )2( 2 ) ( )

1

2,0

điểm *Xét

1

x− = ⇔ =x ta có y= −3. 0,25

*Xét x− ≠ ⇔ ≠1 x

Từ đẳng thức ( )2( 2 ) ( )

1

x− x + =  y+  suy x2+4 số

phương

Do 2 ( )2

4

x <x + ≤ x + nên xảy trường hợp sau:

( )2

4

x + = x + x2+ =4 ( x +1)2

0,25

Trường hợp 1: 2 ( )2

4

x + = x + ⇔ =x

Lúc ( ) 2

2

4

y y

y = − 

+ = ⇔

  

  = −

 0,25

Trường hợp 2: 2 ( )2

4

x + = x + ⇔ x = Khơng có số ngun x thỏa mãn

Vậy cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn toán là: (1; ,− ) (0; 2), (0; 4)− − 0,25

b)

Giả sử tìm số n thỏa mãn yêu cầu Gọi a b, hai số nguyên dương

cho

3

234 37

n a

n b

 + =

 

− =



Trừ vế theo vế ta có 3 ( 2)

271 ( ) 271

a −b = ⇔ a−b a +ab+b = 0,25

Vì 271 số nguyên tố, a>b a b− <a2+ab b+ nên

( 2)

2

1 (1)

( ) 271

271 (2) a b

a b a ab b

a ab b

− = 

− + + = ⇔ 

+ + =

 0,25

Thế (1) vào (2) ta có pt:

3 270

10 b

b b

b

= 

+ − = ⇔ 

= −

 0,25

Với b= − <10 loại Với b=9 tìm a=10

Vậy số tự nhiên cần tìm n=766 0,25

4

2,0

điểm

a)

r r D

E

I

K

C B

Gọi K điểm tiếp xúc ( )O ( )I Suy O I K, , thẳng hàng (1)

Từ giả thiết suy ∆BOC vuông cân O OB OC, hai tiếp tuyến ( )I nên OK đường phân giác BOC ⇒OK ⊥BC(2)

0,25 Ta có ∆ABO= ∆ACO c( − −c c) suy AO đường phân giác BAC

(3)

AO⊥BC Từ (2) (3) ta có A O K, , thẳng hàng (4)

Từ (1), (4) suy A O I K, , , thẳng hàng 0,25

Trong tam giác OIE vng cân E có: r2+r2 =OI2 ⇔OI =r 0,25

Từ ta có ( )

1

R

r + = ⇔ =r R r =R −

+ Vậy r=R( 1− ) 0,25

b)

 

//

AK ⊥BC⇒AK DB⇒BAO=ABD mà BAO =ABO⇒ ABD= ABO (4) 0,25

Có OE= ⇒r DE= + = +R r R R 2− =R R 2

DB=R , suy DB=DE hay DBE =DEB. 0,25

Mặt khác    

90

DBE+EBC=DEB OBE+ = ⇒OBE =CBE (5)

 

45 (6)

DBO=OBC= 0,25

Từ (4), (5), (6) suy    DBA= ABO=OBE=EBC 0,25

5

1,0

điểm

Gọi r R, bán kính đáy hình trụ hình nón

Đặt DE= x, 0( < <x 30 ) Ta có ME BE AD = BD hay

(30 ) 30

30 30

R x

r x

r R

− −

= ⇒ = 0,25

Thể tích hình trụ ( ) ( )

2 2

2

30

30

30 30

R x R

V =π −  x=π −x x

  0,25

Phần vật liệu bỏ nhỏ thể tích hình trụ lớn hay ( )2

30−x x lớn

nhất (vì π,R số)

Ta có ( )2 ( )2

30 30

2

x x x x

− = − 30− +x 30− +x 2x=60 nên

( )2

30−x x đạt giá trị lớn 30− =x 2x⇔ =x 10 0,25

Vậy chiều cao hình trụ 10 cm 0,25

6

1,0

điểm

Đặt y= −3 x tốn cho trở thành: Tìm GTNN biểu thức: 4 2

6

Q=x +y + x y x y, số thực thay đổi thỏa mãn: 2

3

x y x y

+ =  

+ ≥



Gọi m≥0 cho 2

5

x +y = +m hệ trở thành

E

D

A C

B

2

3 (1)

(*) (2)

x y

x y m

+ =  

+ = + 

0,25 Từ (1) ta có y= −3 x vào (2) ta có:

2 2

(3 )

x + −x = + ⇔m x − x+ − =m

Phương trình có ∆ =' 2m+ ≥ ∀ ≥1 m nên hệ (*) có nghiệm với m≥0 0,25

Mặt khác 2 5 ( )2 2 5

2

m x +y = + ⇔m x+y − xy= + ⇔m xy= −

Từ 4 2 ( 2)2 2

6

Q=x +y + x y = x +y + x y

( )2 2

5 2 41 41

2 m

m  −  m m

= + +   = + + ≥

  với m≥0

Hay Q≥41 Đẳng thức xảy m=0 Thế vào hệ (*) ta có: 2 23

x y x y

+ =  

+ = 

Hệ có nghiệm

2

x y

=   =



2

x y

=   = 

Vậy giá trị nhỏ P 41, đạt x=1 x=2

Lưu ý: Nếu học sinh biến đổi 2

(2 4)(4 12 10) 41

Q= x − x+ x − x+ + và đánh giá

đúng giá trị nhỏ nhất Q mà không thể hiện cách biến đổi chỉcho tối đa 0,5

điểm.

0,25

0,25

Tổng sốđiểm toàn 10 điểm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2017-2018

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút(khôngkểthờigiangiaođề)

Câu 1.(2,0 điểm) Dùng phép biến đổi đại số để giải toán sau: a) Rút gọn biểu thức:

A = 27 −2 3− 48+1

B =

1 x

x : x

1 x 1 x

x

+ 

  



 − −

+ (với x >0) b) Giải phương trình: x2 +3x−4=0

Câu 2.(1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (P) đồ thị hàm số x y= a) Vẽ (P)

b) Xác định hệ số a để đường thẳng y=ax+3 (d), cho (d) cắt (P) điểm có

hồnh độ x =1 Câu 3.(1,5 điểm)

Cho phương trình sau: x2 −6x+m+1=0 (1) (với x ẩn số, m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm

b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x12 +x22 =20

Câu 4.(1,5 điểm) Một ca nơ xi theo dịng sơng từ A đến B, lại ngược dịng từ B A hết Tìm vận tốc riêng ca nơ (vận tốc ca nơ dịng nước đứng yên) Biết rằng, vận tốc dòng nước 4km/h khoảng cách từ A đến B 48km

Câu 5.(3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB với O tâm, M điểm (O) (M khác A B, MA < MB) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB chứa điểm M, vẽ hai tia tiếp tuyến Ax By (O) Tiếp tuyến M (O) cắt hai tia Ax, By C D

a) Chứng minh tứ giác OMCA nội tiếp

b) Gọi E giao điểm CD với AB Chứng minh EC.EM = EA.EO

c) Gọi I giao điểm BM với tia Ax Chứng minh C trung điểm AI d) Gọi H giao điểm AM với tia By Chứng minh ba điểm E, I, H thẳng hàng

……… HẾT ………

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017-2018

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI CHÍNH THỨC MƠN TỐN

Câu Tóm tắt lời giải Điểm

Câu 1: (2 điểm)

a) A = 27−2 3− 48+1 = 3.9−2 3− 16.3+1

= - - +

= 0.25 0.25 0.25 B = :

1  +

    − − + x x x x x

x (với

0

> x )

Với x>0 ta có: B =

1 : ) ( ) (  +     + − − + x x x x x x x x =       +       + x x x x ) ( = x 0.25 0.25 0.25 b) Phương trình x2 +3x−4=0 phương trình bậc theo x có hệ số

a = 1, b = 3, c = - => a + b + c =

=> Phương trình có nghiệm x = x = -

0.25 0.25

Câu 2:

(1,5

điểm)

a) Bảng giá trị

x -2 -1

2 x

y= 1

b) Xác định hệ số a để đường thẳng (d): y=ax+3 cắt (P) điểm có

hồnh độ x=1

Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 =ax+3

Vì (d) (P) cắt điểm có hồnh độ x=1 nên x=1 nghiệm

phương trìnhx2 =ax+3

=> = a + => a = -

0.25 0.25 0.25

Câu 3:

(1,5

điểm)

Cho phương trình ẩn x sau: x2 −6x+m+1=0 (1) (với m tham số)

a) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm

Phương trình (1) có: ∆’ = - (m + 1) = - m

Phương trình (1) có nghiệm ∆’ ≥  - m ≥

 m≤

0.25 0.25 0.25 b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình (1)

ta có:

  

+ =

= +

1

2

2

m x x

x x

Mặt khác: x12 +x22 =20  (x1 +x2)2 −2x1x2 = 20

 36 - 2(m + 1) = 20 => m = (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)

0.25 0.25 0.25

Câu 4:

(1,5

điểm)

Gọi vận tốc riêng ca nô x(km/h) x >

Khi đó:

Vận tốc ca nơ xi dịng từ A đến B là: x + (km/h)

Vận tốc ca nơ ngược dịng từ B A là: x - (km/h)

Thời gian ca nơ xi dịng hết quảng đường từ A đến B là:

4 48

+

x (giờ)

Thời gian ca nơ ngược dịng hết quảng đường từ B A là:

4 48

−

x (giờ)

Thời gian xuôi ngược dịng giờ, nên ta có phương trình

4 48

+

x + 48

− x =

=> 5x2 −96x−80=0 => x=20;

5 − =

x (loại)

Vậy vận tốc riêng ca nô là: 20km/h

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 5:

(3,5

điểm)

x y

C

H

I D

E A O B

a) Chứng minh tứ giác OMCA nội tiếp Có:

CA ⊥ OA A, CM ⊥ OM M (tính chất tiếp tuyến) => ∠CAO = ∠CMO = 900 => Tứ giác CMOA nội tiếp

0.5 0.5 b) Chứng minh EC.EM = EA.EO

Xét hai tam giác: EMA EOC có + Góc E chung

+ ∠EMA = ∠EOC (góc nội tiếp chắn cung) => hai tam giác EMA EOC đồng dạng

=>

EC EA EO

EM = => EC.EM = EA.EO

0.5 0.5 c) Gọi I giao điểm BM với tia Ax Chứng minh C trung điểm

AI Ta có:

CA = CM; OA = OM => OC đường trung trực đoạn AM => OC ⊥ AM

∠AMB = 900 => AM ⊥ BM => AM ⊥ BI

=> OC // BI => C trung điểm đoạn AI (Vì O trung điểm AB)

0.25 0.25 0.25 d) Gọi H giao điểm AM với tia By Chứng minh ba điểm E, I, H

thẳng hàng Ta có:

DM = DB; OB = OM => OB đường trung trực đoạn MB => OD ⊥ BM

∠AMB = 900 => AM ⊥ BM => AH ⊥ BM

=> OD // AH => D trung điểm đoạn BH (1) (Vì O trung điểm AB) Gọi H’ giao điểm EI By

Ta có: AI//BH’ (vì vng góc với AB) =>

ED EC DB CA ED EC DH

CI = =

; '

=>

DB CA DH

CI =

' , mà CI = CA (vì I trung điểm AI)

=> DH’ = DB => D trung điểm BH’ (2)

Từ (1) (2) => H’ ≡ H => ba điểm E, I, H thẳng hàng

0.25 0.25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ Năm học 2017 – 2018

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kểthời gian giao đề) Câu (1,0 điểm) Rút gọn:

𝐴 =

�3 +�5− �13 +√48

√6 +√2

Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức 𝑃 =𝑥𝑦2+𝑦𝑥2+𝑥+𝑦1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 𝑃

trong trường hợp sau:

a 𝑥,𝑦 số thực dương b 𝑥,𝑦 số nguyên dương Câu ( 2,0 điểm).

a Giải phương trình: 2√3− 𝑥+√2 +𝑥= b Giải hệ phương trình: � 𝑥3 +𝑦3+ = 3𝑥𝑦

𝑥2+ 2𝑥𝑦+ 2𝑦2 = 5 Câu 4.(1,5 điểm)

a Tìm chữ số tận 𝑎 = 201764

b Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 7(𝑥+𝑦) = 3(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2) Câu (2,5 điểm) Cho đường trịn tâm O, đường kính BC A điểm thuộc đường tròn ( A khác B,C), H hình chiếu A lên BC Vẽ đường trịn (I) có đường kính AH cắt AB AC M N

a Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp

b Vẽ đường kính AK đường tròn (O) Gọi E trung điểm HK Chứng minh EM = EN

Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Gọi M trung điểm BC Kẻ BH⊥AC

) AC H

( ∈ Đường thẳng vng góc với AM A cắt BH E Gọi F điểm đối xứng

với E qua A, K giao điểm CF AB Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK

- HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Môn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

(Đềgồm 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề

Câu (2,5 điểm) Cho

1

x x x x

P

x x x x x x

− +

= + +

−

+ − với 0< ≠x 1

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị P khi x=2

b) Tìm giá trị x để P=2

Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P):

y=x đường thẳng d: y=3x+m2 (m tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Chứng minh (P) cắt d 2 điểm phân biệt với m c) Gọi x x1, hoành độ giao điểm (P) d Tìm m để

2 2 17 x +x =

Câu (1,5 điểm) Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng trở lại bến A Biết khoảng cách hai bến 90 km, vận tốc dòng nước 2km/h, vận tốc riêng ca nô không đổi, thời gian ca nô xi dịng thời gian ca nơ ngược dịng 15 phút Tính vận tốc ca nơ lúc nước yên lặng

Câu (3,5 điểm)

1) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khác O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M nằm ngồi đường trịn; MA MB theo thứ tự cắt đường tròn C D (C khác A, D khác B) Gọi I giao điểm AD BC; K trung điểm MI

a) Chứng minh đường thẳng AD, BC MH đồng quy I b) Chứng minh

c) Chứng minh năm điểm C, D, K, I, O nằm đường tròn

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD CD > AB Gọi E,

F điểm nằm dây cung BC CD cho BE = AD, DF = AB; M trung điểm EF Chứng minh BM vuông góc DM

-HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm toàn làm tròn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

C1 2,0 đ

a) Ta có

( 1)( 1) ( 1)

x x x x

P

x

x x x x x

− +

= + +

−

+ − + − 0,25

1 1

1 1

1

x x x x x

x x x

x x

− + + +

= + + = =

− − −

+ − 0,75

c) Với P=2 Ta có ( )2

2

2 1

1

2

x x

x x x

x x

 = 

= ⇔ − − = ⇔ − ⇔ =

− =

 1,0

mỗi ý: 0,25đ

C2 2,0 đ

a) vẽ 0,5

b) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2

3

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có

9 4m 0, m

∆ = + > ∀ 0,25

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt (P) ln cắt d điểm 0,25

phân biệt với m

c) Vì x x1, hai nghiệm phương trình (1) nên

2 3;

x +x = x x = −m 0,25

nên 2

1 17 ( 2) 2 17

x +x = ⇔ x +x − x x = 0,25

do 2

1 17 17

x +x = ⇔ + m = ⇔ = ±m 0,25

53 1,0 đ

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng x (km/h, x > 0)

Vận tốc ca nơ lúc xi dịng ngược dịng x + 2, x-2 thời gian lúc ca nô xi dịng ngược dịng 90 90

2, 2

x+ x−

0,25

vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút = 0,25 giờ, nên có phương trình 90 90 0 25

2 2 ,

x− − x+ =

0,25

Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMDK), x = -38 (loại) 0,25 Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng 38 km/h 0.25

4

Dựng hình bình hành ABND Đặt α = ABK =ADK

Ta có BE= AD=BN; DF = AB=DK

và

 1 1( )

90 90

2

o o

BNE = − EBN = − ABC−α

 1 1( )

90 90

2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α  180o

BND= −α

0,5

M F

E N

B C

D

Cộng đẳng thức góc

  180o

ABC+ADC= nên ta

   

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF Suy MN =ME=MF

0,25

Ta có BN =BE MN; =ME⇒BM ⊥NE Tương tự DM ⊥NE

Vậy suy BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25

-HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

(Đềthi gồm có 01 trang)

Câu (2,0điểm) Cho biểu thức 1

1

1

x x x

M

x

x x x

+ +

= − +

−

− −

a) Tìm điều kiện x để M có nghĩa b) Rút gọn M.

c) Tính giá trị M khi x= +3 2

Câu (2,0điểm) Cho parabol (P): 2

y= x đường thẳng (d): y= − +3x m2 (m tham số)

a) Chứng minh (d) cắt (P) 2 điểm phân biệt với m

b) Gọi x x1, hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để 2x1 −x2 =12

Câu (1,5 điểm) Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 120km Vân tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10km/h, nên ô tô thứ hai đến B muộn ô tô thứ 24 phút Tìm vận tốc ô tô

Câu (3,5 điểm)

1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O; đường cao BE

và CF cắt (O) M, N Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn b) AB.AF=AC.AE

c) Hai đường thẳng EF và MN song song với d) Hai đường thẳng OA EF vuông góc với Câu (1,0 điểm) Giải phương trình ( )

8 15 15

x + x+ = x+ x +

-HẾT -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh:……… ; số báo danh:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2016-2017

Mơn thi: TỐN

(Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm toàn làm tròn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

C1 2,0 đ

a) Điều kiện xác định x≥0,x≠1

0,5 Ta có

( 1)( 1) 1 1 1 1

x x x x

P

x x

x x x

x x x

− +

= + + = + +

− −

− + −

+ − + 0,5

1

1

x x x x

x x

− + + +

= =

− − 0,5

c) Với x=8 Ta có

8

P= =

− 0,5

mỗi ý: 0,25đ

a) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2

3

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có

9 4m 0, m

∆ = + > ∀ 0,

phân biệt với m

c) Vì x x1, hai nghiệm phương trình (1) nên

2 3;

x +x = x x = −m 0,25

Cùng với ta có hệ 1 2

3 10

6

x x x

x x x

 − =  =

 ⇔

 

+ = − = −

 

 

0,25

nên ( )

1 − = −7 m ⇔ = ±m 0,5

5C3 1,5 đ

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng x (km/h, x > 0)

Vận tốc ca nơ lúc xi dịng ngược dịng x + 2, x-2 thời gian lúc ca nơ xi dịng ngược dịng 90 90

2, 2

x+ x−

0,

vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút = 0,25 giờ, nên có phương trình 90 90 0 25

2 2 ,

x− − x+ =

0,

Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMĐK), x = -38 (loại) 0,25 Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng 38 km/h 0.25

C4 3,5đ

a) Ta có  

90

ACB= ADB= (góc nội tiếp chắn

nửa đường trịn), nên  

180

ECM+EDM =

Vậy tứ giác CMDE nội tiếp đường tròn

0,5

Các tam giác ECM, EDM vng có chung cạnh huyền EM, vói I trung điểm EM, ta có

IC =ID=IE=IM Vậy trung điểm I của EM

tâm đường tròn ngoại tiếp CMDE

0,5

b) Ta có ∆ΜCB∽∆ΜDA(g.g) 0,5 nên MC MB MA MC MB MD

MD = MA⇒ =

0,5 c) Theo ta có AD, BC hai đường cao tam giác ABM nên E trực

tâm

0,5

I

E

C

D

B H O A

Vì MH vng góc AB nên MH đường cao tam giác ABM, MH

đi qua E Vậy điểm M, E, H thẳng hàng

0,5 d) Theo trên, có IC = ID OC = OD suy OI trung trực CD nên

OI ⊥CD

Các tam giác ICM, OAC cân I O nên có

   ,

ICM =IMC OCA=OAC

0,25

Suy    

90

ICM +OCA=IMC+OAC= (vì ∆ΑΗΜ vng H) IC⊥CO

Vậy IC tiếp tuyến đường tròn (O)

0,25

C5 1,0 đ

2

6 4

PT ⇔ −x x+ + x− x y+y = 0,25

( ) (2 )2

3

x x y

⇔ − + − = 0,25

3

6

2

x x

y x y

 − =  = 

⇔ ⇔ =

− = 

 Vậy ⇔( ) ( )x y; = 9;

0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút(khơng kểthời gian phát đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu (2,0điểm) Cho biểu thức 1

1

1

x x x

P

x

x x x

− +

= + +

−

+ −

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P.

c) Tính giá trị P khi x=8. Câu 2.(2,0điểm)Cho parabol (P):

y= x đường thẳng (d): 6

y= − +x m

(m tham số)

a) Chứng minh (d) cắt (P) 2 điểm phân biệt với m

b) Gọi x x1, hoành độ giao điểm (d) (P), định m để 3x1 −x2 =10

Câu (1,5điểm) Một ca nơ chuyển động thẳng xi dịng từ bến A đến bến B cách 90km, ngược dòng từ bến B trở lại bến A Biết vận tốc dịng nước 2km/h, vận tốc riêng ca nơ khơng đổi, thời gian ca nơ xi dịng thời gian ca nơ ngược dịng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nơ

Câu (3,5 điểm)Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H

(H khác O khác B); đường thẳng vng góc với OB H lấy điểm M nằm ngồi đường trịn (O); MA MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) C D (C khác A, D khác B) Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CMDE nội tiếp đường trịn, xác định tâm I đường trịn b) MA.MC = MB.MD

c) Ba điểm M, E, H thẳng hàng

d) IC tiếp tuyến đường trịn (O)

Câu (1,0điểm) Tìm tất cặp số ( )x y; thỏa mãn

5x−2 x(3 )+ y + y + =9 0 -HẾT -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh:……… ; số báo danh:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo khơng làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm tồn làm trịn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

1 2,0

đ

a) Điều kiện xác định x≥0,x≠1 0,5

Ta có

( 1)( 1) 1 1 1 1

x x x x

P

x x

x x x

x x x

− +

= + + = + +

− −

− + −

+ − + 0,5

1

1

x x x x

x x

− + + +

= =

− − 0,5

c) Với x=8 Ta có

8

P= =

− 0,5

2,0đ

a) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P):

2 2

6

x = − +x m ⇔x + x m− = (1)

0,25 Ta có

9 0

' m , m

∆ = + > ∀ 0,

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy (d) cắt (P) điểm phân biệt với m

2 6; x +x = − x x = −m

Cùng với ta có hệ 1 2

3 10

6

x x x

x x x

 − =  =

 ⇔

 

+ = − = −

 

 

0,25

nên ( )

1 − = −7 m ⇔ = ±m 0,5

5 1,5 đ

Gọi vận tốc riêng ca nô x km/h ( x > 2)

Vận tốc ca nơ xi dịng ngược dòng x + x-2 (km/h) thời gian ca nơ xi dịng, ngược dịng 90 90

2, 2

x+ x− (h)

0,

vì thời gian xi dịng thời gian ngược dòng là15 ' 1h

= , nên có phương trình 90 90 1

2 2 4

x− − x+ =

0,

Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMĐK), x = -38 (loại) 0,25 Vậy vận tốc riêng ca nô 38 km/h 0.25

3,5đ

a) Ta có  

90

ACB= ADB= (chắn cung nửa

đường tròn)

0,25 Nên tam giác ECM, EDM vng có chung

cạnh huyền EM, vói I trung điểm EM, ta có

IC =ID=IE=IM 0,

Vậy tứ giác CMDE nội tiếp đường tròn tâm I. 0,25 b) Ta có ∆ΜCB∽∆ΜDA(g.g) 0,5

Nên MC MB MA MC MB MD

MD = MA⇒ =

0,5 c) Theo ta có AD, BC hai đường cao tam giác ABM nên E trực

tâm

0,5

I

E

C

D

B H O A

Vì MH vng góc AB nên MH đường cao tam giác ABM, MH

đi qua E Vậy điểm M, E, H thẳng hàng

0,5 d) Các tam giác ICM, OAC cân I O nên có

   ,

ICM =IMC OCA=OAC

0,25

Suy    

90

ICM +OCA=IMC+OAC= (vì ∆AHM vng H) IC⊥CO

Vậy IC tiếp tuyến đường tròn (O)

0,25

1,0 đ

Phương trình cho viết:

2

6 4

x− x+ + x− x y+y = 0,25

( ) (2 )2

3

x x y

⇔ − + − = 0,25

3

6

2

x x

y x y

 − =  = 

⇔ ⇔ =

− = 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT Năm học 2016-2017

Môn thi: TỐN

Dành cho thí sinh thi vào chun tốn

Thời gian làm bài: 150 phút(khơng kểthời gian phát đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu (2,0điểm) Cho biểu thức 2

1

a a a a a a a a

E

a a a a

 + − − +  −

= − 

− − −

 

a) Với điều kiện a E có nghĩa b) Rút gọn E

c) So sánh E với

3

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình

1

x + − =x có hai nghiệm a, b (a < b) Tính giá trị

các biểu thức sau:

a) 3

( 1) ( 1)

M =a b+ +b a+

b)

4 52

N = a + a+ +a

Câu (1,5điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) cho

1

x xy

+

− số tự nhiên

Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O, hai đường kính AB CD khơng vng góc với Tiếp tuyến với (O) A cắt BC E, đường thẳng ED cắt (O) điểm thứ hai G, đường thẳng EG cắt AE F Chứng minh rằng:

a) BC.BE= BG.BF

b) Bốn điểm C, E, F, G nằm đường tròn c) OA CB FE

OB CE FA =

Câu (1,0 điểm)Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 2

4 a +b +c +abc= Chứng minh a b c+ + ≤3

-HẾT -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh:……… ; Số báo danh:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh thi vào chun tốn

Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kểthời gian phát đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu (2,0điểm) Cho biểu thức 1 12 1

1

x x

E

x x

x x

 

+ + −

=  − − 

+ − −  

a) Với điều kiện x E có nghĩa b) Rút gọn E

c) Tính giá trị E

2 x=− Câu (2,0 điểm)

1) Giải phương trình ( )

10 2 1 2 8 16 3 x + − x+ = x+ − x 2) Giải hệ phương trình

2

4

3 12 16

x y

y y x y x x

 = − − 



− − = − −



Câu (1,5điểm)

1) Tìm tất số tự nhiên n cho

4 14 7

A= n + n+ số phương

2) Cho đa giác lồi chu vi không vượt đơn vị Chứng minh tồn hình trịn bán kính đơn vị chứa đa giác

Câu (3,5 điểm)

1) Bên tam giác ABC vuông cân A lấy điểm P cho góc 

135

APB=

Đường thẳng BP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E Chứng minh rằng: a) PB=EC

b) 2 2 PC =PB + PA

c)

2 PC PA

PB

− ≥

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD CD > AB Trên dây cung BC, CD lấy điểm E, F cho BE = AD, DF = AB; gọi M trung điểm EF Chứng minh BM vng góc DM

Câu (1,0điểm) Xét số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

3 3 2

2 2

a b c a b c

a b c b +c +a ≥ b + c + a ≥ + +

-HẾT -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh:……….; Số báo danh:………

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm toàn làm tròn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

C1 2,0 đ

2

1 1

1

1

x x

E

x x

x x

 

+ + −

=  − − 

+ − −  

a) Điều kiện 1

0

x x − ≤ ≤ 

 ≠

 0,5

b) rút gọn ( )

2

2

1 1 1

1

x x

E x

x x x

+ + −  

=  − − 

 

2

2

1 1

1 x

x

x x x

 

+ −

=  − − 

  0,

Nếu 0< ≤x E= −1 0,25

Nếu − ≤ <1 x 0thì ( )

2 2

1

1

E x

x −

= + − 0,25

c) Khi

2 x=−

2

1

4 1

4

E= −  + −  = − −

  0,5

C2

2,0 1) Giải phương trình ( )

3

10 2 16

x + − x+ = x+ − x (1) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

đ

ĐKXĐ: 16

2 x

− ≤ ≤

( ) (( ) ) (( ) )

1 ⇔x −16x+ x+ −2 2x+ +1 8− −x 16 3− x =0 0,25

2

3 4

16

2 2 16

x x x x

x x

x x x x

− −

⇔ − + + =

+ + + − + −

( ) 1

4

2 2 16

x x x

x x x x

 

⇔ −  + + + =

+ + + − + −

 

0,25

Vì 16

2 x

− ≤ ≤ nên 1

4

2 2 16

x

x x x x

+ + + >

+ + + − + − 0,25

Do ( )

1 ⇔x −4x= ⇔ =0 x x=4 0,25

2) Giải hệ phương trình ( )

( )

4 12 16

x y

y y x y x x

 = − − 



− − = − −



ĐKXĐ x≥0,y≥4

( )2 ⇔(y− −4 x)(y− +4 x)=0

0,25 Dễ thấy x=0,y=4không thỏa mãn hệ nên từ điều kiện suy y− +4 x >0

Do ( )2 ⇔ − −y 4 x = ⇔ − =0 y 4 x

0,25 Thay vào (1): 4

8

x− x+ = ⇔ x =

7

x = 0,25

Vậy nghiệm (x,y)của hệ ( ) ( 2)

1;8 , ; 4+4.7 0,25

C3 1,5đ

1) Với n=0khơng thỏa mãn tốn 0,25

Xét n≥1 ta có: (2n+3)2 ≤4n2 +14n+ <7 (2n+4)2

Do A số phương nên 2 ( )2

4n +14n+ =7 2n+3 ⇔ =n 1

Vậy số cần tìm n=1

2) Gọi A, B hai điểm thuộc cạnh đa giác cho đường thẳng AB chia biên đa giác thành hai đường gấp khúc có độ dài Gọi O trung điểm AB Vẽ đường trịn tâm O bán kính

0,25 Ta chứng minh hình trịn chứa đa giác cho

Thật giả sử tồn điểm M thuộc cạnh đa giác M nằm (O) Khi MA+MB ≤ (*)

0,25 Gọi N điểm đối xứng M qua O

MA+MB = MA + NA≥ MN > 2r = mâu thuẫn với (*) suy điều phải chứng minh

0,25

C4 3,5đ

a) chứng minh PB = EC Từ giả thiết có 

45

APE=

và 

45

AEP=ACB= nên ∆AEP vuông cân A.

0,5

Suy ra: AP = AE  BAP=CAE (cùng phụ với CAP

) 0,25

Mặt khác AB = AC (gt)

nên ∆ABP= ∆ACE c g c( . )⇒PB=EC

0,25

b) 2 2 PC =PB + PA



90

BEC= (chắn nửa đường trịn) ⇒ ∆PEC vng E nên 2 2

2

PC =EC +PE =PB + PA (vì ∆APEvng cân A)

0,5

c)

2 PC PA

PB

− ≥

Áp dụng BĐT ( )

2 2

, ,

a b

a +b ≥ + ∀a b 0,25

Ta ( )2

2 2

2 2( )

2

PC =PB + PA ≥ PB+ PA ⇒ PC−PA ≥PB 0,5

P A

C B

2 PC PA

PB −

⇒ ≥ 0,25

2) Dựng hình bình hành ABND Đặt α =  ABN = ADN

Ta có BE=AD=BN; DF =AB=DN

nên

  1( )

90 90

2

o o

BNE= − EBN = − ABC−α

 1 1( )

90 90

2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α  180o

BND= −α

0,5

Cộng đẳng thức góc

  180o

ABC+ADC= nên ta

   

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF Suy MN =ME=MF

0,25

Ta có BN=BE MN; =ME⇒BM ⊥NE Tương tự DM ⊥NE

Vậy suy BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25 C5

1,0đ

a,b,c dương theo BĐT AM-GM ta có a2 b ;a b2 c ;b c2 a 2c

b + ≥ c + ≥ a + ≥ Cộng

vế theo vế BĐT ta a2 b2 c2 a b c

b + c + a ≥ + + 0,5

Với a,b,c dương, ta có 3 ( ) 2

a a

a b ab a b b a

b b

+ ≥ + ⇒ + ≥ +

Tương tự b23 c b2 b;c32 c2 c c + ≥ c + a + ≥ a +

Cộng vế theo vế BĐT ta a32 b32 c32 a2 b2 c2

b +c +a ≥ b + c + a

Vậy ta điều phải chứng minh

0.5 M

F

E N

B C

D

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho thí sinh thi vào chun tốn)

(Đềgồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề Câu (2,5 điểm) Cho 2 :

1 1

x x x x

P

x x x x x x x

 + +  + +

= + + 

− + + − + +

  với 0≤ ≠x 1

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị lớn P. Câu (2,5 điểm)

1) Giải phương trình 2

15 3 2 8

x + − x+ = x + 2) Giải hệ phương trình ( )( )

2

2

4 5 4 0

5 4 16 8 16 0

y x x

y x xy x y

 + + + =

 

− − + − + =

 Câu (1,5 điểm)

1) Tìm số nguyên dương n cho ( )( )

3 4 14 7

A= n+ n + n+ số phương 2) Cho hai số thực thay đổi thỏa mãna≠0,b≠0 (a+b ab) =a2 −ab+b 2 Chứng minh 13 13 16

a +b ≤

Câu (3,5 điểm)

1) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khác O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M nằm ngồi đường trịn; MA MB theo thứ tự cắt đường tròn C D (C khác A, D khác B) Gọi I giao điểm AD BC; K trung điểm MI

a) Chứng minh đường thẳng AD, BC MH đồng quy I b) Chứng minh

c) Chứng minh năm điểm C, D, K, I, O nằm đường tròn

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD CD > AB Gọi E,

F điểm nằm dây cung BC CD cho BE = AD, DF = AB; M trung điểm EF Chứng minh BM vng góc DM

-HẾT -

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo khơng làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm tồn làm trịn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

C1 2,0 đ

a) Ta có

0,25

0,75

c) Với P=2 Ta có ( )

2

3

2 1

1

2

x x

x x x

x x

 = 

= ⇔ − − = ⇔ − ⇔ =

− =

 1,0

mỗi ý: 0,25đ

C2 2,0 đ

0,5 0,25 0,25

( )( )

2

5 4 16 8 16 0 4 5 4 0

y − x − xy+ x− y+ = ⇔ y+ −x y− x− = 0,25 Với y = −4 x vào phương trình đầu 0,25

( ) (2 )( ) 2

4−x + x−4 5x+4 = ⇔ −0 6x +24x= ⇔ =0 x 0hoặc x=4

Với y =5x+4 vào phương trình đầu

( ) (2 )( ) 2

5x+4 + x−4 5x+4 = ⇔0 30x +24x = ⇔ =0 x 0hoặc 4 5

x = −

0,25

vậy nghiệm (x; y) hệ ( ) ( )0 4 4 0 4 0 5

; , ; ,− ; 

 

0,25

53 1,0 đ

Ta có ( )( )

4n +14n+ =7 n+3 4n+2 +1 n số nguyên dương nên 3

n+

2

4n +14n+7 nguyên tố Nên A số phương

4n +14n+7 số phương

0,25

Ta có ( )2 2 ( )2

2n+3 ≤4n +14n+ <7 2n+4 , n∀ ∈+

nên 2 ( )2

4n +14n+ =7 2n+3 ⇒ =n 1

0,25

với n=1 ta có A=102 số phương Vậy số cần tìm n=1 0,25

Từ giả thiết có a+ ≠b 0

( ) 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

4 a+b ab=4( a −ab+b )=3 a−b + a+b ≥ a+b >0.

do 0 a b 4. ab

+ < ≤

Nên Ta có ( )( )

2 2

3 3

1 1

16

a b a ab b a b

.

a b a b ab

+ − +  + 

+ = =  ≤

 

Dựng hình bình hành ABND Đặt α = ABK =ADK

Ta có BE= AD=BN; DF = AB=DK

và

 1 1( )

90 90

2

o o

BNE = − EBN = − ABC−α

 1 1( )

90 90

2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α  180o

BND= −α

0,5

Cộng đẳng thức góc

  180o

ABC+ADC= nên ta

   

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF Suy MN =ME=MF

0,25

Ta có BN =BE MN; =ME⇒BM ⊥NE Tương tự DM ⊥NE

Vậy suy BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25

-HẾT - M

F

E N

B C

D

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

(Đềgồm 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề Câu (2,5 điểm) Cho

1

x x x x

P

x x x x x x

− +

= + +

−

+ − với 0< ≠x 1

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị P khi x=2

b) Tìm giá trị x để P=2

Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P):

y=x đường thẳng d:

3

y= x+m (m tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Chứng minh (P) cắt d 2 điểm phân biệt với m c) Gọi x x1, hoành độ giao điểm (P) d Tìm m để

2 2 17 x +x =

Câu (1,5 điểm) Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng trở lại bến A Biết khoảng cách hai bến 90 km, vận tốc dòng nước 2km/h, vận tốc riêng ca nô khơng đổi, thời gian ca nơ xi dịng thời gian ca nơ ngược dịng 15 phút Tính vận tốc ca nô lúc nước yên lặng

Câu (3,5 điểm)

1) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khác O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M nằm ngồi đường trịn; MA MB theo thứ tự cắt đường tròn C D (C khác A, D khác B) Gọi I giao điểm AD BC; K trung điểm MI

a) Chứng minh đường thẳng AD, BC MH đồng quy I b) Chứng minh

c) Chứng minh năm điểm C, D, K, I, O nằm đường tròn

2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn BC > AD CD > AB Gọi E,

F điểm nằm dây cung BC CD cho BE = AD, DF = AB; M trung điểm EF Chứng minh BM vng góc DM

-HẾT -

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh:……… ; số báo danh:……… Chữ kí giám thị 1:……… ; chữ kí giám thị 2: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHÓA THI NGÀY 07 THÁNG NĂM 2016

Mơn thi: TỐN, (Dành cho tất cả thí sinh dự thi)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo khơng làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm tồn làm trịn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

C1 2,0 đ

a) Ta có

( 1)( 1) ( 1)

x x x x

P

x

x x x x x

− +

= + +

−

+ − + − 0,25

1 1

1 1

1

x x x x x

x x x

x x

− + + +

= + + = =

− − −

+ − 0,75

c) Với P=2 Ta có ( )2

2

2 1

1

2

x x

x x x

x x

 = 

= ⇔ − − = ⇔ − ⇔ =

− =

 1,0

mỗi ý: 0,25đ

C2 2,0 đ

a) vẽ 0,5

b) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2

3

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có

9 4m 0, m

∆ = + > ∀ 0,25

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt (P) ln cắt d điểm phân biệt với m

0,25 c) Vì x x1, hai nghiệm phương trình (1) nên

2 3;

x +x = x x = −m 0,25

nên 2

1 17 ( 2) 2 17

x +x = ⇔ x +x − x x = 0,25

do 2

1 17 17

x +x = ⇔ + m = ⇔m= ± 0,25

53 1,0

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng x (km/h, x > 0)

Vận tốc ca nơ lúc xi dịng ngược dòng x + 2, x-2 0,25

đ

thời gian lúc ca nơ xi dịng ngược dịng 90 90

2, 2

x+ x−

vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút = 0,25 giờ, nên có phương trình 90 90 0 25

2 2 ,

x− − x+ =

0,25 Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMDK), x = -38 (loại) 0,25 Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng 38 km/h 0.25

Dựng hình bình hành ABND Đặt α = ABK =ADK

Ta có BE= AD=BN; DF = AB=DK

và

 1 1( )

90 90

2

o o

BNE = − EBN = − ABC−α

 1 1( )

90 90

2

o o

DNF = − FDN = − ADC−α  180o

BND= −α

0,5

Cộng đẳng thức góc

  180o

ABC+ADC= nên ta

   

270 90

BNE+BND+DNF = ⇒ENF =

hay NE⊥NF Suy MN =ME=MF

0,25

Ta có BN =BE MN; =ME⇒BM ⊥NE Tương tự DM ⊥NE

Vậy suy BM ⊥DN(ĐPCM)

0,25

-HẾT - M

F

E N

B C

D

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2016-2017

Mơn thi: TỐN

Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên Thời gian làm bài: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

(Đềthi gồm có 01 trang) Câu (2,0điểm)

Cho biểu thức 1

1

1

x x x

M

x

x x x

+ +

= − +

−

− −

a) Tìm điều kiện x để M có nghĩa b) Rút gọn M.

c) Tính giá trị M khi x= +3 2

Câu (2,0điểm)

Cho parabol (P): 2

y= x đường thẳng (d): y= − +3x m2 (m tham số)

a) Chứng minh (d) cắt (P) 2 điểm phân biệt với m

b) Gọi x x1, hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để 2x1 −x2 =12 Câu (1,5 điểm)

Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 120km Vân tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10km/h, nên ô tô thứ hai đến B muộn ô tô thứ 24 phút Tìm vận tốc tơ

Câu (3,5 điểm)

1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O; đường cao BE

và CF cắt (O) M, N Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn b) AB.AF=AC.AE

c) Hai đường thẳng EF và MN song song với d) Hai đường thẳng OA EF vng góc với Câu (1,0 điểm)

Giải phương trình ( )

8 15 15

x + x+ = x+ x +

-HẾT -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh:……… ; số báo danh:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2016-2017

Mơn thi: TỐN

(Dành cho thí sinh dựthi vào trường chuyên)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

1) HDC trình bày bước lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ, có cách giải khác cho điểm theo quy định ý (câu)

2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm câu, ý hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi Điểm toàn làm tròn đến 0,25

Câu Đáp án Điểm

C1 2,0 đ

a) Điều kiện xác định x≥0,x≠1

0,5 Ta có

( 1)( 1) 1 1 1 1

x x x x

P

x x

x x x

x x x

− +

= + + = + +

− −

− + −

+ − + 0,5

1

1

x x x x

x x

− + + +

= =

− − 0,5

c) Với x=8 Ta có

8

P= =

− 0,5

mỗi ý: 0,25đ

a) phương trình hồnh độ giao điểm 2 2

3

x = x m+ ⇔x − x m− = (1) 0,25

Ta có

9 4m 0, m

∆ = + > ∀ 0,

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt (d) cắt(P) điểm phân biệt với m

0,25 c) Vì x x1, hai nghiệm phương trình (1) nên

2 3;

x +x = x x = −m 0,25

Cùng với ta có hệ 1 2

3 10

6

x x x

x x x

 − =  =

 ⇔

 

+ = − = −

 

 

0,25 nên ( )

1 − = −7 m ⇔ = ±m 0,5

5C3 1,5

Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng x (km/h, x > 0)

đ

thời gian lúc ca nô xi dịng ngược dịng 90 90

2, 2

x+ x−

vì thời gian xi dịng thời gian ngược dòng 15 phút = 0,25 giờ, nên có phương trình 90 90 0 25

2 2 ,

x− − x+ =

0, Giải phương trình ta có nghiệm x = 38 (TMĐK), x = -38 (loại) 0,25 Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng 38 km/h 0.25

C4 3,5đ

a) Ta có  

90

ACB= ADB= (góc nội tiếp chắn

nửa đường tròn), nên  

180

ECM+EDM =

Vậy tứ giác CMDE nội tiếp đường tròn

0,5

Các tam giác ECM, EDM vng có chung cạnh huyền EM, vói I trung điểm EM, ta có

IC =ID=IE=IM Vậy trung điểm I của EM

tâm đường tròn ngoại tiếp CMDE

0,5

b) Ta có ∆ΜCB∽∆ΜDA(g.g) 0,5

nên MC MB MA MC MB MD

MD = MA⇒ =

0,5 c) Theo ta có AD, BC hai đường cao tam giác ABM nên E trực

tâm

0,5 Vì MH vng góc AB nên MH đường cao tam giác ABM, MH

đi qua E Vậy điểm M, E, H thẳng hàng

0,5 d) Theo trên, có IC = ID OC = OD suy OI trung trực CD nên

OI ⊥CD

Các tam giác ICM, OAC cân I O nên có

   ,

ICM =IMC OCA=OAC

0,25

Suy    

90

ICM +OCA=IMC+OAC= (vì ∆ΑΗΜ vng H) IC⊥CO

Vậy IC tiếp tuyến đường tròn (O)

0,25

C5 1,0 đ

2

6 4

PT ⇔ −x x+ + x− x y+y = 0,25

( ) (2 )2

3

x x y

⇔ − + − = 0,25

3

6

2

x x

y x y

 − =  = 

⇔ ⇔ =

− = 

 Vậy ⇔( ) ( )x y; = 9;

0,5

I

E

C

D

B H O A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 10 tháng năm 2015

MƠN: TỐN (dành cho thí sinh dựthi chuyên)

Thời gian: 120 phút (không kểthời gian phát đề)

Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức 3

1 4 4

2

a

P a a

a

= + − +

−

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị P a= − 3. Câu 2.(2,0 điểm)

1. Giải phương trình 1 1 1.

4 4 3

x− + x+ =

2 Gọi x x1, hai nghiệm phương trình

2x −5x+ =1 0. Tính giá trị biểu thức sau: 2

1 2 ;

x +x x1 x2 +x2 x1

Câu 3.(1,5 điểm)

1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = −x2 Gọi A, B hai điểm

thuộc parabol (P) có hồnh độ −2 Hãy viết phương trình đường thẳng

qua hai điểm A B

2 Cho ba số nguyên a b c, , Chứng minh (a+ +b c)chia hết cho

thì 3

(a +b +c )chia hết cho

Câu 4.(1,5 điểm) Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc A với mức 420 ngày cơng Hãy tính số công nhân đội, biết đội tăng thêm người số ngày để hồn thành cơng việc A giảm ngày (cho suất lao động công nhân nhau)

Câu5.(3,0 điểm) Cho tam giác không vuông ABC (AB< AC), đường cao AH Từ H kẻ HE vuông góc với AB, HF vng góc với AC (E∈AB F, ∈AC) Đường thẳng EF

cắt đường thẳng BCtại D Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính CD Qua B vẽ đường thẳng vng góc với CD cắt nửa đường trịn K

a) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tam giác DEKđồng dạng với tam giác DKF.

-HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI

QUẢNG TRỊ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Khoá ngày10 tháng năm 2015

MƠN TỐN(CHUNG) -

Lưu ý : HDC gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác, cho điểm theo quy định câu ( phần) Điểm tồn cho lẻ đến 0,25đ, khơng làm trịn

Câu 1.(2,0 điểm)

a) P=1 4

a

a a

a

+ − +

− Điều kiện a≠2

0,25đ 3

1 ( 2)

2

a a

a a

a a

= + − = + −

− −

0,5đ =  −+ >



1 nÕu (1) nÕu < (2)

a a

a a

0,5đ b) Thế giá trị a= − vào (2) a= − 3<2

ta P= −1 3a= − −1 3( 3)= +1 3

0,25đ 0,5đ

Câu 2.(2,0 điểm)

1 Điều kiện x≠ ±4

1 1

4

x− + x+ =

Khi khử mẫu ta có phương trình : 3(

4 4) 16

x+ + −x =x −

0,25đ

2

6 16

x x

⇔ − − =

2 x

⇔ = − x=8 ( thỏa mãn điều kiện)

0,25đ 0,5đ 2. Theo định lý Vi-ét ta có 1 2

2

x +x = ; 1 2

x x = 0,25đ

Ta có 2

1

x +x

2

1 2

5 21

( ) 2

2

x x x x  

= + − =  − =

 

0,25đ Ta có x1 x2 +x2 x1 = x x1 2( x1 + x2)

Đặt

1 2

5 2

2

2

S = x + x ⇒S = +x x + x x = + ⇒ =S + 0,25đ

Do x1 x2 +x2 x1 2

= + 0,25đ

Câu (1,5 điểm)

1.Ta có: xA =1,A∈( )P ⇒ yA = − ⇒1 A(1; 1)−

xB = −2,B∈( )P ⇒ yB = − ⇒4 B( 2; 4)− − 0.25đ

Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax b+ (d)

Vì A(1; 1)− ∈ (d) nên: − = +1 a b (1)

Vì B( 2; 4)− − ∈ (d) nên: − = − +4 2a b(2) 0.25đ

Từ (1), (2) ta có hệ: 3

2

a b a a

a b a b b

+ = − = =

  

⇔ ⇔

− + = −  + = −  = −

   0.25đ

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y= −x 0.25đ

2 Ta có

( 1) ( 1)

a − =a a− a a+ tích ba số nguyên liên tiếp nên

3

6

a −a , tương tự b3−b6; c3−c6

0.25đ 3

( )

a b c a b c

⇒ + + − + + 

Mà (a+ +b c) 6 ⇒a3+ +b3 c36

0.25đ

Câu (1,5 điểm)

Gọi số công nhân đội x ( x> x nguyên)

Sau tăng, đội có x+5 (người)

Số ngày hồn thành cơng việc với x người 420

x (ngày)

Số ngày hồn thành cơng việc với (x+5) người 420

x+ (ngày)

Theo đầu ta có phương trình 420

x −

420 x+ =

Biến đổi, rút gọn ta phương trình

5 300

x + x− = (*)

0,25đ Giải phương trình (*) ta x1=15 ; x2 = −20(loại)

Trả lời : Số công nhân đội 15 người 0,5đ

Câu (3,0 điểm)

a) Từ giả thiết ta thấy tứ giác AEHFnội tiếp ,

nên  AEF = AHF( chắn cung AF)

 AHF = ACB ( phụ với góc HAF)

⇒  AEF =ACB Suy tứ giác BEFCnội tiếp

0,5đ 0,5đ 0,5đ b) Tứ giác BEFCnội tiếp

 

DEB DCF DEB

⇒ = ⇒ ∆ đồng dạng với ∆DCF g g( ) 0,25đ

,

DE DB

hay DB DC DE DF

DC DF

⇒ = = (1) 0,25đ

Mặt khác tam giác vng DKC, ta có :DK2 =DB DC (2)

Từ (1), (2)

DK DE DF

⇒ =

DE DK

DK DF

⇒ = màKDE (chung)

⇒∆DEKđồng dạng với ∆DKF c g c( )

0,25đ 0,25đ

0,5đ -HẾT -

K

D

E

F

H

B C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT QUẢNG TRỊ Khoá ngày 10 tháng năm 2015

MƠN: tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tốn)

Thời gian làm bài: 150 phút(khơng kể thời gian giao đề) Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức :

1

1 1

P x

x

x x x x x x

   

=     



 − − − + −  − − −

a) Tìm x để P có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức P

Câu 2.(2,0 điểm) Cho Parabol ( )P :

2

4 x

y= − đường thẳng (d) : y=m x( − −1)

a) Chứng minh (d) cắt ( )P hai điểm phân biệt

m thay đổi

b) Tìm giá trị m cho (d) cắt (P) hai điểm

( A; A), ( B; B)

A x y B x y thỏa mãn điều kiện x yA B+x yB Ađạt giá trị lớn

tính giá trị lớn Câu 3.(1,5 điểm)

1. Cho n số nguyên dương d ước nguyên dương 2n2

Chứng minh n2 +d không số phương

2. Tìm nghiệm ngun phương trình: x2−3y2+2xy−2x−10y+ =4 0 Câu 4.(1,5 điểm)

Cho 3 ,

1

x y

A

y x

= +

+ + trongđóx y, số dương thỏa mãn xy=1.

Chứng minh A≥1.

2. Giải phương trình x− +1 2x− =1

Câu 5.(3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân C có 

60

ACB< Gọi O, I theo thứ tự tâm đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC, D điểm thuộc cạnh BC cho DO vng góc với BI

1) Chứng minh tứ giác OIBD nội tiếp 2) Chứng minh DI song song với AC -HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI

QUẢNG TRỊ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Khóa ngày 10 tháng năm 2015 ĐỀCHÍNHTHỨC MƠN TỐN ( CHUYÊN)

-

Lưu ý : HDC gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác cho điểm

theo quy định câu Điểm tồn cho lẻ đến 0,25đ- khơng làm trịn. Câu (2,0 điểm)

a) Điều kiện x > ; x≠1

b) Đặt P M N

= ; Ta có 2

1 ( 1)( 1)

x M

x x x

  = −  − − +  = 2 ( 1)

( 1)( 1)

x x x − − + 0,5đ 0,5đ

1 ( 1)( 1)

N

x x x

 

= − 

− − +

 

1

( 1)( 1)

x

x x

− =

− + 0,5đ

P M N

= = ( 1)2 2

( 1)( 1)

x

x x

−

− + ×

( 1)( 1)

1

x x x

x x

− + = −

− +

0,5đ

Câu (2,0 điểm)

a) Phương trình hồnh độ giao điểm pa rabol (P) đường thẳng (d)

2

2

( 1) 4( 2)

4

x

m x x mx m

− = − − ⇔ + − + =

Vì 2

4( 2) (2 1)

4m + m+ = m+ + >

′

∆ = với m nên PT(1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy (P) (d) cắt Tại hai điểm phân biệt A, B

0,25đ 0,5đ b) Ta có y xA B +y xB A

2 2

1 1

( ) ( )

4x xA B 4x xB A x xA B x xB A 4x xA B xA xB

= − − = − + = − +

Theo định lý Vi-ét y xA B +y xB A=

2

( 4( 2).( )) 4( 1) 4

4 m m m

− − + − = − + + ≤

0,25đ 0,5đ Vậy max(y xA B+y xB A)=4 đạt m= −1 0,5đ

Câu (2,0 điểm)

3.1 Giả sử tồn số nguyên m để 2

(1)

n + =d m

Vì d ước

2n nên 2n2= kd, với k số nguyên dương

0,25đ Từ (1) suy 2 2

n k +dk =m k hay n k2 2+2n k2 =m k2 ⇔n k2( 2+2 )k =(mk)2 0,25đ

Suy (mk)2 n

 Do mk n Từ

2 2 mk k k n   + =  

Mà 2 2

2 ( 1)

k <k + k<k + k+ = k+ vơ lí

Vậy n2 +d khơng số phương 0,25đ

3.2 2

3 2 10

x − y + xy− x− y+ = ⇔x2+2(y−1)x−(3y2+10y−4)=0

2

(x y 1) (2y 2)

⇔ + − − + = −

⇔(3y+ +x 1)(y− + = =x 3) 1.7=(-1).(-7) 0,25đ

Ta có trường hợp sau :

3 1 1

; ; ;

3 3

y x y x y x y x

y x y x y x y x

+ + = + + = + + = − + + = −

   

 − + =  − + =  − + = −  − + = −

   

Xét trường hợp ta phương trình có nghiệm nguyên ( ; )x y

(3;1); (1; 3); ( 3;1); (7; 3).− − − 0,5đ Câu (2,0 điểm)

4.1 Với giả thiết xy=1 ta có

3 4 3

1 (1 )(1 )

x y x y x y

A

y x x y

+ + +

= + =

+ + + +

( 2 2) 2 ( )( 2)

1

x y x y x y x xy y x y xy

+ − + + − +

=

+ + +

( 2 2) ( )( 2 1)

2

x y x y x y

x y

+ − + + + −

=

+ +

0,25đ

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có 2

2

x +y ≥ xy= 0,25đ

Suy ( )(2 1)

x y A

x y

− + + −

≥ =

+ + ⇒ đpcm 0,5đ

4.2 Đk 1

2

x

x x

− ≥ 

⇔ ≥  − ≥



Bình phương hai vế ta x− +1 2x− +1 (x−1)(2x− =1) 27 3− x

⇔2 (x−2)(2x−2) =27 3− x 0,25đ

(đkx≤9 ),bình phương hai vế ta

4(x−1)(2x− =1) (27 )− x

150 725

x x

⇔ − + = (1) 0,5đ

Giải phương trình (1) ta x1=145(loai);x2 =5 thỏa đk

Vậy phương trình có nghiệm x=5 0,5đ

Câu ( 3,0 điểm) 5.1

Gọi M trung điểm AB Do tam giác ACB cân C nên C, I, O, M thẳng hàng 

60

vẽ cho 0,25đ) 0,25đ Gọi H giao điểm DO BI, ta có

 

HOI =IBM( phụ với BIM =HIO)

=IBD( IB phân giác ABC)

 

180

IOD IBD

⇒ + = nên tứ giác OIBD nội tiếp

0,5đ 5.2

Tứ giác OIBD nội tiếp ⇒OID =OBD

Mà OBD =OCD(do OB = OC) nên OID =OCB

Suy OID =OCA ID/ /CA

0,25đ 0,5đ Cho số thực x y, thỏa mãn 0≤ ≤ ≤y x 1.Tìm giá trị lớn biểu thức

2

x y y x

A

x y xy

− =

− − +

Vì 0≤ ≤ ≤y x 1nên 2− x− y+ xy = + −1 (1 x)(1− y) 1.≥ (1)

Vì

x ≥x nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta 2

1 1

2

4 4

y x+ ≥ yx + ≥ yx =x y

x y y x

⇒ − ≤

Kết hợp với (1) suy

4 A≤

2

0

(1 )(1 )

1

1

4

4

y x

x y x

A x x

y y x

≤ ≤ ≤ 



− − =  =

 

= ⇔ = ⇔

=

 

 =



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ Khóa ngày 10 tháng năm 2015

MƠN: TỐN (cho tất cảcác thí sinh dựthi chuyên) Thời gian làm 120 phút( không kể thời gian phát đề)

Câu 1: ( 2,0 điểm)

Cho biểu thức 2 1 : 1

2

1 1 1

 +  −

= + + 

− + + −

 

x x x

P

x x x x x

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P= 2

Câu 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai: 2 ( ) 2x +2mx+m - 2=0 1

a) Xác định m để phương trình có nghiệm b) Giải phương trình (1) với m =

c) Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức

1 2

2 4

= + + −

P x x x x

Câu 3: (1,5 điểm)

Hai đội công nhân xây dựng, làm chung 12 ngày làm xong cơng trình Nếu làm riêng đội thứ làm xong cơng trình nhanh đội thứ hai ngày Hỏi đội làm riêng ngày để làm xong cơng trình

Câu 4: (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình:

( ) ( )

( 1)( 1) 8

1 1 17

x y

x x y y xy

+ + =



 + + + + =



Câu 5: (3,0 điểm)

Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đường trịn Gọi I trung điểm dây MN, H giao điểm AO BC Chứng minh:

a) Năm điểm A, B, I, O, C nằm đường tròn b)

AB =AM.AN AHM =ANO

-HẾT -

Họvà tên thí sinh:……….SBD……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ Khóa ngày 10 tháng năm 2015

MƠN: TỐN (cho tất cảcác thí sinh dựthi chuyên) Thời gian làm 120 phút( không kể thời gian phát đề)

Lưu ý: HDC chỉ gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác, cho điểm theo quy định câu ( phần) Điểm tồn cho lẻ đến 0,25đ, khơng làm trịn

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Điều kiện: x≥0,x≠1 0,25đ

2 1

:

1 1

 +  −

= + + 

− + + −

 

x x x

P

x x x x x

( ) ( )

( )( )

2 1 2

1

1

 + + − − + + 

 

= ⋅

 − + +  −

 

x x x x x

x

x x x

(2 1)( 1)

 + + − − − − 

 

= ⋅

 − + +  −

 

x x x x x

x

x x x

( 1)(2 1)

− +

= ⋅

−

− + +

x x

x

x x x

2

=

+ +

x x

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ b) P= 1 ta có 2

1=

+ +

x x

( )

1 1 0

⇔ +x x+ = ⇔ +x x = ⇔ x x+ = ⇔ =x

0,25đ

0,25đ Câu 2

(2,0 điểm)

a) 2

' 2( 2) 4

∆ =m − m − = −m

Phương trình có nghiệm

2

' 0 4 0 2 2

⇔ ∆ ≥ ⇔ −m ≥ ⇔ − ≤ ≤m

0,25đ 0,25đ b) Với m =

(1) ( )

2 -1 1

⇔ x + x =

2

' 1 2.( 1) 3 0

∆ = − − = >

0,25đ

1

1 3

2 − +

⇒ =x ; 2 1 3

2 − − =

x 0,25đ

c) Ta có: x1 +x2 = −m;

2 2 − = m x x ( )( ) 2

2

2

−

= m − − = − − = + −

P m m m m m

Vì − ≤ ≤2 m 2 =>(m+2)(m− ≤3)

=> ( )( )

2

2 25 25

2

2 4

 

= + − = − + + = − −  + ≤

 

P m m m m m

Vậy GTLN P 25

4 ⇔m=

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 3

(1,5 điểm)

Gọi thời gian đội thứ làm xong cơng trình x (ngày), x > 12 Thời gian đội thứ hai làm xong công việc là: x + (ngày)

Một ngày đội thứ làm được:

x (cơng trình)

Một ngày đội thứ hai làm được:

7

+

x ( cơng trình)

Một ngày hai đội làm :

12( công trình)

Ta có phương trình: 1

7 12

+ =

+

x x (x ≠ 0; x ≠ - 7)

Biến đổi phương trình ta được: x2 - 17x - 84 =

Giải phương trình ta có: x1 =21 (TM); x2 = −4(loại)

Vậy đội hoàn thành cơng trình 21 ngày, đội hai hồn thành 28 ngày

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 4

(1,5 điểm) ( ) ( )

( 1)( 1)

1 17

x y

x x y y xy

+ + =



 + + + + =



2

xy x y

17

x x y y xy

+ + + = 

⇔ 

+ + + + =

 ( )2

xy x y

17

x y x y xy

+ + = 

⇔ 

+ + + − =

 (1)

Đặt S = +x y, P=xy

(1) 2

17

S P

S S P

Giải hệ ta được:

3 S P

=   =



6 13 S P

= −   = 

Theo định lý Viét đảo ta có x, y nghiệm phương trình:

2

4

X − X + = X2+6X +13=0

Từ hai nghiệm (x;y)của hệ là: (1:3); (3;1)

0,25đ

0,25đ 0,25đ Câu 5

(3,0 điểm)

a) Ta có: I trung điểm dây cung MN

OI MN

⇒ ⊥

Vì OBA  =OCA=OIA=1v,nên B, C, I, O, A đường tròn

đường kính OA

0,5đ

0,5đ b) Xét hai tam giác ABM ANB có:



A chung, ABM =BNA (cùng chắn BM)=> ∆ABM ∆ANB(gg)

Suy ra: AB AM

AB AM.AN

AN = AB ⇔ = (1)

Ta có AB AC hai tiếp tuyến (O), nên ABC tam giác cân A, AO phân giác góc BAC, đường cao tam giác

ABC, nên OA vng góc với BC H Trong tam giác vng OBA, ta có:

AB =AH.AO (2)

Từ (1) (2), suy ra: AM.AN AH.AO AM AH

AO AN

= ⇔ =

Mà A (chung) => ∆AMH ∆AON

=> AHM =ANO

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN THPT QUẢNG TRỊ Khoá ngày 10 tháng năm 2015

MƠN: tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tốn)

Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề) Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức :

1

1 1

P x

x

x x x x x x

   

=     



 − − − + −  − − −

a) Tìm x để P có nghĩa

c) Rút gọn biểu thức P

Câu 2.(2,0 điểm) Cho Parabol ( )P :

2

4 x

y= − đường thẳng (d) : y=m x( − −1)

a) Chứng minh (d) cắt ( )P hai điểm phân biệt

m thay đổi

b) Tìm giá trị m cho (d) cắt (P) hai điểm

( A; A), ( B; B)

A x y B x y thỏa mãn điều kiện x yA B+x yB Ađạt giá trị lớn

tính giá trị lớn Câu 3.(1,5 điểm)

1 Cho n số nguyên dương d ước nguyên dương 2n2

Chứng minh n2 +d khơng số phương

2. Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2−3y2+2xy−2x−10y+ =4 0 Câu 4.(1,5 điểm)

Cho 3 ,

1

x y

A

y x

= +

+ + trongđóx y, số dương thỏa mãn xy=1.

Chứng minh A≥1.

2. Giải phương trình

3+ +x 2− −x − − + + =x x

Câu 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) dây cung AB Lấy điểm E dây cungAB (E khác A B) Qua E vẽ dây cung CDcủa đường tròn (O) Trên hai tia DAvà DB

lần lượt lấy hai điểm P,Q đối xứng quaE

1) Chứng minh tam giác CMAđồng dạng với tam giác QED

2) Chứng minh đường tròn (I) tâm Itiếp xúc với PQtại Evà qua C qua điểm cố định E di động dây cungAB

-HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI

QUẢNG TRỊ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Khóa ngày 10 tháng năm 2015 ĐỀCHÍNHTHỨC MƠN TỐN ( CHUN)

-

Lưu ý : HDC gợi ý cách giải, thí sinh có cách giải khác cho điểm

theo quy định câu Điểm tồn cho lẻ đến 0,25đ- khơng làm trịn. Câu (2,0 điểm)

c) Điều kiện x > ; x≠1

b) Đặt P M N

= ; Ta có 2

1 ( 1)( 1)

x M

x x x

  = −  − − +  = 2 ( 1)

( 1)( 1)

x x x − − + 0,5đ 0,5đ

1 ( 1)( 1)

N

x x x

 

= − 

− − +

 

1

( 1)( 1)

x

x x

− =

− + 0,5đ

P M N

= = ( 1)2 2

( 1)( 1)

x

x x

−

− + ×

( 1)( 1)

1

x x x

x x

− + = −

− +

0,5đ

Câu (2,0 điểm)

a) Phương trình hồnh độ giao điểm pa rabol (P) đường thẳng (d)

2

2

( 1) 4( 2)

4 x

m x x mx m

− = − − ⇔ + − + =

Vì 2

4( 2) (2 1)

4m + m+ = m+ + >

′

∆ = với m nên PT(1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy (P) (d) cắt Tại hai điểm phân biệt A, B

0,25đ 0,5đ d) Ta có y xA B +y xB A

2 2

1 1

( ) ( )

4x xA B 4x xB A x xA B x xB A 4x xA B xA xB

= − − = − + = − +

Theo định lý Vi-ét y xA B +y xB A=

2

( 4( 2).( )) 4( 1) 4

4 m m m

− − + − = − + + ≤

0,25đ 0,5đ Vậy max(y xA B+y xB A)=4 đạt m= −1 0,5đ

Câu (1,5 điểm)

3.1 Giả sử tồn số nguyên m để 2

(1)

n + =d m

Vì d ước

2n nên 2n2= kd, với k số nguyên dương

0,25đ Từ (1) suy 2 2

n k +dk =m k hay n k2 2+2n k2 =m k2 ⇔n k2( 2+2 )k =(mk)2

Suy (mk)2 n

 Do mk n Từ

2 2 mk k k n   + =  

  số phương

Mà 2 2

2 ( 1)

k <k + k<k + k+ = k+ vơ lí

Vậy n2 +d khơng số phương 0,25đ

3.2 2

3 2 10

x − y + xy− x− y+ = ⇔x2+2(y−1)x−(3y2+10y−4)=0

2

(x y 1) (2y 2)

⇔ + − − + = −

⇔(3y+ +x 1)(y− + = =x 3) 1.7=(-1).(-7) 0,25đ

Ta có trường hợp sau :

3 1 1

; ; ;

3 3

y x y x y x y x

y x y x y x y x

+ + = + + = + + = − + + = −

   

 − + =  − + =  − + = −  − + = −

   

Xét trường hợp ta phương trình có nghiệm ngun ( ; )x y

(3;1); (1; 3); ( 3;1); (7; 3).− − − 0,5đ Câu (1,5 điểm)

4.1

Với giả thiết xy=1 ta có

3 4 3

1 (1 )(1 )

x y x y x y

A

y x x y

+ + +

= + =

+ + + +

( 2 2) 2 ( )( 2)

1

x y x y x y x xy y x y xy

+ − + + − +

=

+ + +

( 2 2) ( )( 2 1)

2

x y x y x y

x y

+ − + + + −

=

+ + 0,25đ

Theo bất đẳng thức Côsi ta có 2

2

x +y ≥ xy= 0,25đ

Suy ( )(2 1) x y A x y − + + − ≥ =

+ + ⇒ đpcm 0,25đ

4.2

Vì

(3+x)(2−x)= − − +x x nên có ĐK 3

2 x x x + ≥  ⇔ − ≤ ≤  − ≥ 

Đặt t= 3+ +x 2−x t ( >0) t2 = +5 (3+x)(2−x) = +5 − − +x2 x 6 2

2 x x t

⇒ − − + = −

0,25đ Thay vào phương trình ta 2

( 5)

t− t − + = ⇔ − − =t t

t t =  ⇔  = −

 Vì t>0 nên t=3

Từ 3+ +x 2− =x

Bình phương hai vế rút gọn ta 2

6

x x x x

− − + = ⇔ − − + =

2

2

x x x

x =  ⇔ + − = ⇔ 

= −

 (thỏa ĐK)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=1, 2x= 0,25đ Câu ( 3,0 điểm)

Gọi M giao điểm AB đường trịn (I) Vì tam giác CME nội tiếp (I), EP tiếp tuyến (I) nên CMA  =PEC=QED (1)

Mặt khác ,  BAC=BDC( chắn cung BC) (2)

0,5đ Từ (1) (2) suy tam giác CMA đồng dạng với tam giác QED (g-g)

(3)

AM DE

CM QE

⇒ =

0,5đ 0,25đ Tương tự DEP   =BMC, ADC=ABC nên tam giác BMC đồng dạng

với tam giác DEP ( g-g) BM DE DE (4)

CM PE QE

⇒ = =

0,5đ 0,25đ Từ (3) (4) ta có AM BM AM BM

CM =CM ⇒ =

Do đường trịn (I) ln qua trung điểm M AB điểm cố định 1,0đ

5.1

Gọi M trung điểm AB Do tam giác ACB cân C nên C, I, O, M thẳng hàng 

60

ACB< nên O nằm I C ( thể hình

vẽ cho 0,5đ)

0,5đ Gọi H giao điểm DO BI, ta có

 

HOI =IBM( phụ với BIM =HIO)

=IBD( IB phân giác ABC)

 

180

IOD IBD

⇒ + = nên tứ giác OIBD nội tiếp

1,0đ 5.2

Tứ giác OIBD nội tiếp ⇒OID =OBD

Mà OBD =OCD(do OB = OC) nên OID =OCB

Suy OID =OCA ID/ /CA

Cho số thực x y, thỏa mãn 0≤ ≤ ≤y x 1.Tìm giá trị lớn biểu thức

2

x y y x

A

x y xy

− =

− − +

Vì 0≤ ≤ ≤y x 1nên 2− x− y+ xy = + −1 (1 x)(1− y) 1.≥ (1)

Vì

x ≥x nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta 2

1 1

2

4 4

y x+ ≥ yx + ≥ yx =x y

x y y x

⇒ − ≤

Kết hợp với (1) suy

4 A≤

2

0

(1 )(1 )

1

1

4

4

y x

x y x

A x x

y y x

≤ ≤ ≤ 



− − =  =

 

= ⇔ = ⇔

=

 

 =

