TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN.. I.TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1.[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN I.TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Tìm nguyên hàm các hàm số f(x) = x2 – 3x + x f(x) = f(x) = f(x) = x +3 x x −1 x2 2 x −1 ¿ ¿ ¿ ¿ 3 ĐS F(x) = x − x + ln x +C 3 ĐS F(x) = x − +C x ĐS F(x) = lnx + + C x ĐS F(x) = f(x) = √ x+ √ x + √ x −3 √x √ x √ x −1 ¿2 ¿ f(x) = ¿ ¿ x −1 f(x) = √x f(x) = sin2 x x3 − x + +C x 2x 3x 4x + + +C ĐS F(x) = ĐS F(x) = f(x) = √ x −3 √ x +C ĐS F(x) = x − √ x+ ln x+C ĐS F(x) = x − x +C ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = x+ sin x+C ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13 f(x) = ĐS F(x) = tanx - cotx + C 1 sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos2 x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos x +C 16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos x −cos x +C 17 f(x) = ex(ex – 1) 2x x ĐS F(x) = e − e + C 18 f(x) = ex(2 + e− x ¿ cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + và f(1) = x ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = f’(x) = √ x − x và f(4) = ĐS f(x) = GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG x 2a + +C ln a ln 3 x+1 e +C x3 x − +1 x √ x x 40 − − 3 TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (2) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN + và f(1) = x2 f’(x) = x - ĐS f(x) = x + + x − x f’(x) = 4x – 3x + và f(-1) = ĐS f(x) = x – x + 2x + f’(x) = ax + ĐS f(x) = x + + b , f ' (1)=0 , f (1)=4 , f (−1)=2 x2 x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u(x)] u' (x) dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒ dt=u '( x )dx I = ∫ f [u( x)] u' ( x)dx=∫ f (t) dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm các hàm số sau: −2 x ¿5 ¿ ¿ dx ¿ ∫¿ ∫ (5 x −1)dx dx ∫ √2 x − x +1 ¿7 xdx ¿ ∫¿ ∫ 3x dx √5+ x x 3+5 ¿ x2 dx ¿ ∫¿ 1+ √ x ¿2 ¿ x¿ √ 10 dx ¿ ∫¿ ∫ x e x +1 dx 13 ∫ sin x cos xdx 14 tgxdx ∫ cos x 17 dx ∫ sin x e√x ∫ √ x dx 21 ∫ dx √ − x2 18 e dx √ ex − 25 ∫ x √1 − x dx 28 ∫ x2 +x +1 29 ∫ cos x sin2 xdx ∫ √ x 2+1 xdx 11 ∫ lnx x dx x ∫ x2 +5 dx sin x ∫ cos x dx dx ∫ cos x x ∫ ∫ √ −2 x dx 15 ∫ cot gxdx 16 19 ∫ tgxdx 20 23 ∫ √ 1− x dx tgx 22 ∫ cose x dx 26 ∫ 1+ x2 30 ∫ x √ x −1 dx 12 24 dx 27 ∫ dx 31 dx ∫ e x +1 x dx √1 − x 32 ∫ x √ x +1 dx GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (3) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I Hay ∫ u(x ) v ' ( x)dx=u(x ) v ( x )−∫ v (x) u' ( x)dx ∫ udv=uv −∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ (x2 +5) sin xdx ∫ ( x +2 x+ 3) cos xdx ∫ x sin2 xdx ∫ ln xdx ∫ x ln xdx ∫ e √ x dx x 13 ∫ dx cos x 17 ∫ e x cos xdx 21 ∫ x lg xdx ∫ x cos xdx ∫ x cos xdx ∫ x e x dx 10 ∫ ln2 x dx 11 ∫ √x ln xdx 12 15 ∫ sin √ x dx ∫ xtg2 xdx 19 ∫ x ln(1+ x 2)dx ∫ x e x dx ln(1+ x) 22 ∫ x ln (1+ x) dx 23 ∫ dx x2 14 16 18 20 ∫ ln( x 2+1) dx ∫ x xdx 24 TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 ( x x ) dx ∫ x x ∫( x x 1)dx ∫(2sin x 3cosx x)dx 2 ∫x dx ∫ x 1dx 1 x ∫(e x)dx ∫( x x x )dx 10 ∫( x x x x )dx 11 e2 ∫(x 1).dx 13 14 7x x dx ∫ x 17 ( x 1).dx ∫ x x ln x 1 x 15 ∫ e dx x x 21 e e 25 cos3 x.dx ∫ sin x ∫ x.dx ∫ x2 -1 19 tgx dx ∫ cos2 x dx ∫ e e x 22 4x 8x 23 ∫ (2 x + x+1) dx −1 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 26 ∫ (2 x − x − )dx 3 x 1)( x x 1)dx dx ∫ x2 16 20 e x e x dx x x ∫ e e 24 dx ∫ sin x 27 ∫ x ( x − 3) dx −2 x x 2 ∫( 12 ln dx x 1)dx 18 x ∫(e x 1)dx x 1)( x 2 ∫( ∫(3sin x 2cosx x )dx 3 28 ∫ (x −4 )dx −3 TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (4) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN ∫ 29 ( 1 + dx x2 x3 √e x 30 ∫ x −2 dx x ) 31 ∫ dx x 16 ∫ √ x dx 32 e e 33 ∫ √ x +5 −7 x dx x 34 ∫ ( 4x− 3 √x ) dx II PHƯƠNG PH Á P ĐẶT ẨN PHỤ: ∫sin xcos xdx ∫ 4sin xcosxdx 6 1 ∫x x 1dx 13 ∫cot gxdx dx ∫ x e ∫ sin x ∫ 10 cosxdx e ∫ 18 sin x cosxdx ∫e 22 ∫sin 29 x2 x3 sin(ln x ) dx ∫ x 37 e2 dx ∫ cos (1 ln x) e ∫ 45 e ∫x 11 1 dx x 1 x sin(ln x ) dx ∫ x 49 x 1 15 x ∫e 23 x3 1 12 1 ∫(1 3x 16 2 sin ∫ xdx ∫e 2 ) dx dx xcos xdx 20 x2 2 ∫sin xdx xcos xdx 24 sin x ∫x sin xdx dx 19 cosx sin xdx x dx 1 ∫ ∫cot gxdx ∫tgxdx 27 28 1 ∫x x 1dx ∫x x dx ∫x e ln x dx x 30 31 dx e 41 ∫x x dx 26 ∫ 4sin xcosxdx 33 cosx ∫x x 1dx dx ∫1 3cosx dx ∫ x 1 ∫tgxdx xcos xdx 25 3 dx ∫ 14 x x ∫e x sin x dx ∫ cosx 17 21 2 ∫sin xcos xdx ∫x x dx ∫x 34 35 e e ∫ 38 1 3ln x ln x dx x ∫ 39 1 x dx ∫ x 1 42 ∫ 46 e ∫ 50 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG x 1 e 43 ∫ x dx 3ln x ln x dx x ∫ 47 1 x3 1 32 dx ∫ 36 e2 2ln x 1 x x 1dx dx x dx x 1 x 1 dx x 40 44 ∫x x 1dx e ∫ 48 1 ln x dx x e2 e e 2ln x 1 dx ∫ 51 x ln x dx ∫ x ln x e 52 ln x dx ∫ x ln x e TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (5) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN e 53 dx ∫ cos (1 ln x ) e x x3 5dx 54 ∫ 4 x dx x dx ∫ (2x 1)3 ∫x 65 2x dx 4x dx x x 1 cos xdx 56 ∫ x dx sin 2x dx ∫ cos x 62 66 xdx 67 71 ∫x 64 4sin x ∫1 cos xdx 68 2x dx ∫ cos 1+ 2sin x ∫(sin x cos6 x)dx sin 2x cos 2x dx sin x cos x dx x ∫ e π 4x 11 dx 5x 70 0 60 63 2xdx 74 ∫ e − x dx −1 ∫x x dx 2x ∫cos x dx ∫ cos 5− sin x 59 ∫x ∫ e x+3 dx x dx 2x ∫ π 73 ∫ 58 69 55 ∫ sin ∫ 57 61 ∫ 72 75 π 3x dx ∫ sin cos x +1 76 cos x −sin x (¿)dx π ∫¿ 0 x +2 dx x +2 x − ∫ 77 −2 sin 4x ∫1 cos 81 e 85 ∫ 1 89 x ∫x (1 x ) dx ∫x 93 ∫ dxx −x −3 ln e + 2e −1 dx ∫ cos x 90 79 83 86 dx x2 +2 x+5 x dx 82 ln dx ln x dx x 78 ∫ tg4 x dx ∫ cos 2x 2+sin x ¿2 ¿ ¿ sin x 94 ¿ π ∫cos x sin2 xdx ∫cos x 80 84 cos x sin x dx ∫ sin x 91 88 x)3dx cos x ∫6 5sin x sin x dx π dx ∫ sin x2 92 √ cos x+ sin x π 95 ∫ ln(tgx) dx π sin x xdx ∫sin 2x(1 sin e dx ln x dx ∫ x 87 ∫cos 96 π ∫ (1− tg8 x)dx ∫¿ GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (6) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN π 97 ∫ sin x − cos x dx π √ 1+sin x π 2 x+ sin x dx ∫ sin √1+3 cos x 98 π cos x dx ∫ sin1+2 xcos x 99 100 π ∫ (e sin x +cos x)cos xdx e x 101 ∫ dx 1+ √ x −1 ∫ 102 √1+3 ln x ln x dx 1− 2sin x ∫ 1+ sin x dx 103 x π 104 ∫1 cos x sin x dx 105 1 dx ∫ x2 ∫ 106 x ∫ x dx 3x dx x2 110 113 1 1 x4 dx ∫ 1 x6 ∫ ∫ 117 2 109 dx 107 x2 1 x 1 dx ∫ x x 1 dx ∫x ∫x 108 x dx 112 1 x ∫x dx 115 cos x ∫ cos upload.123doc.net x x2 x dx x2 111 ∫ (1 x ) 114 x2 dx ∫x ∫ 116 dx cos x dx cos x dx 119 ∫ dx x +2 x+2 120 −1 ∫ dx 1+ √1+3 x x √ x −1 dx ∫ 121 x −5 ln2 125 ∫ ex dx 122 ∫x x 1 dx x 1 dx ∫ 3 x 126 123 ∫ x3 1 x dx 124 ∫x x dx √3 ∫x x 1dx 127 128 ∫ dx √5 x √ x +4 III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 1.Tính các tích phân sau e e ln x dx x ln xdx ∫ ∫ x 1 e e ln x dx x ln xdx ∫ ∫ x ∫( x cosx) s inxdx GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG e ∫x ln( x 1)dx ∫x ln( x ∫x ln xdx ln xdx e 1)dx ∫x e ( x ) ln xdx ∫ x 10 2 ∫ln( x x)dx 11 ∫x tan xdx 12 TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (7) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN ln x dx x5 ∫ ∫x.e dx ∫ 15 π 3x xe x dx x cos xdx 13 14 2.Tính các tích phân sau ∫ (x −1) cos xdx e x cos xdx ∫ 16 ∫ π ∫ (2− x)sin xdx π ∫ x sin xdx e e ∫ x ln xdx ∫ (1− x ) ln x dx ∫ x ln x dx 1 ∫ x ln (3+ x 2) dx ∫ (x +1) e x .dx ∫ x cos x dx 10 ∫x ln 14 17 18 ln(1 x) dx 21 x ln x ∫( x 1) e xdx 15 x sin x dx x 2x 19 dx 2 sin xdx ∫sin ∫x sin x cos xdx 20 ∫x(2 cos ∫cos x.ln(1 cos x)dx 24 e 30 ∫ (x −2)e2 x dx 27 π ∫ x ln(1+ x 2)dx 28 ∫ (x+ cos x) sin xdx x 1)dx 26 23 ∫xtg xdx xdx 16 ∫(x ln x) dx 29 ∫ ln x dx √x ∫ (x2 +2 x) sin x dx 0 e 22 dx ∫e x ∫ cos ∫(x 1) e ∫ 12 ∫ x cos x dx 1 e ∫x cos xdx π ln x dx ∫ x 13 e 11 25 π π ∫ (2 x +7)ln( x +1)dx 31 ∫ ln (x − x )dx 32 0 III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: b x −1 dx ∫ dx ∫ x22−3 (x +a)(x +b) x +2 a x +3 ¿ x+1 ¿3 ¿ ¿ x+ 2¿ ¿ ¿ 2 ¿ 1− x 2008 x ∫ x (1+ x2008 ) dx ¿ ¿ 1 ∫¿ ∫¿ 1 x +1 dx ∫ x x++1 x +1 dx ∫ x x+2 +1 x +9 dx ∫ x x−2 6−3x x++2 −1 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (8) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN 2 x −1 ¿ ¿ ¿ x ¿ 1+x ¿n ¿ ¿ 2n−3 x 10 ¿ ∫¿ x2 − ∫ x (x +3 x2 +2) dx 11 12 ∫ x (1+1 x 4) dx ∫¿ 2 ∫ +1 x dx 1+ x ¿ ¿ ¿ x ¿ 13 14 ∫ 1+xx dx 15 ∫ x2 −21 x+ dx 16 ∫¿ 2 18 ∫ x3 +3 x+ dx x − x+2 17 ∫ dx x −2 x + x ∫ 1+1x3 dx 19 x dx ∫ 1− 1+ x 20 1 x4 dx ∫ 2− 1+ x 21 25 dx x2 x ∫ 22 ∫ x + xx6 ++1x +2 dx ∫( 23 1 x4 dx ∫ 1 x ∫ x−1 − x −1 dx x+2 x−2 −3 ) dx ∫ ( 2x+1 ) 27 26 24 x 11 dx x2 5x 28 −2 x+1 ) dx ∫ ( 2xx−−1 −1 +2 dx ∫ xx −1 29 ∫ ( 30 x2 +2 x+ ∫ x+ dx 0 31 ∫ −1 ( x 2+ x+1 − x +1 dx x−1 ) 32 x 2+ x −2 − x+1 dx x +1 ) ∫ dx x2 +4 x+ 33 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GI Á C: π ∫ sin2 x cos xdx π ∫ sin2 x cos xdx π ∫ (2sin x − sin x cos x −cos x )dx π ∫ (sin3 x +cos 3) dx GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG π ∫ cos x (sin x +cos x) dx π ∫ sin x cos5 x dx TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (9) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN π ∫ dx π sin x π 10 π dx ∫ 2+sin x 11 13 π π x dx ∫ cos 2− cos x 14 π 17 x dx ∫ sin 1+ cos2 x 12 π x dx ∫ cos 1+ cos x 15 cos x ∫ 1+ cos x dx 18 π 20 ∫ sin x − cos x +1 dx π sin x +2 cos x+ − ∫¿ ∫ dx sin x cos x π π ∫ dx 2 sin x+ 2sin x cos x − cos x π dx ∫ sin x +cos x +1 π π ∫ dx 2− cos x π x dx ∫ sin 2+sin x 1− cos x ¿ ¿ ¿ cos xdx 19 ¿ 16 ∫ (sin10 x +cos 10 x − cos4 x sin4 x )dx π 21 π ∫ tg3 xdx π π 22 ∫ cot g π π 25 ∫ 28 π x dx 23 dx π ∫ dx 2sin x +3 cos x + √ 13 29 π 2π x +7 cos x +6 dx ∫ sin sin x +5 cos x +5 x dx ∫ 1+4 sin cos x 27 ∫ √1+sin x dx 30 π 1+ cos x+sin x dx ∫ sin x +cos x 32 ∫ dx π sin x − sin x 3x dx ∫ sin 1+ cos x ∫ 1+1tgx dx π π π 33 π x dx ∫ sin cos x 1+sin x ¿ dx sin x ¿ π 34 24 π 26 π cos x cos( x+ ) xdx π 31 ∫ tg π 3 π 35 ∫|cos x|√ sin x dx ∫¿ 36 sin3 x −sin x √ dx ∫ π sin3 xtgx 37 π ∫ dx 1+ sin x+cos x 38 40 π 4 xdx ∫ sin 1+cos x π 43 ∫ π dx π sin x sin( x+ ) GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG π π ∫ dx 2sin x +1 39 π 41 ∫ cos x sin5 xdx π π ∫ dx sin x +3 π 44 ∫ π dx π sin x cos( x + ) 42 ∫ dx sin x cos x π π 45 sin2 xdx ∫ cos x π TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (10) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN sin x+ cos x ¿3 ¿ ¿ sin xdx 47 ¿ π tgxtg (x+ ¿ )dx π 46 ∫¿ 2+sin x ¿2 ¿ ¿ sin x 48 ¿ π π ∫¿ ∫¿ π 49 50 ∫ sin √3 x dx 1+sin x x e dx ∫ 1+ cos x 52 π π 51 ∫ x cos xdx ∫ sin x e x+1 dx π π 53 π − 0 x sin x dx ∫ sin tgx+cot g x 54 π π 2 xdx ∫ sin sin x − sin x +6 ∫ cos (ln x)dx 55 ln(sin x ) 56 ∫ dx π cos x π ∫ x sin x cos xdx 58 π π3 59 57 ∫ (2 x −1)cos x dx π π ∫ xtg ∫ e x sin2 xdx 60 xdx 0 π 61 ∫ e sin x sin x cos3 xdx 62 π ∫ ln (1+ tgx ) dx sin x+ 2cos x ¿ ¿ ¿ dx 63 ¿ π ∫¿ π (1− sin x) cos x ∫ (1+sin x )(2− cos2 x) dx 64 67 4sin x dx cos x π ∫ sin 2x cos xdx 70 ∫sin 2x sin xdx 65 cos x(sin x cos x)dx 66 ∫ π ∫ π ∫ cos x cos xdx 68 π − ∫ sin x sin xdx − 69 71 π π ∫ sin2 xdx V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: √3 ∫ dx √5 x √ x +4 dx ∫ 2 x √ x −1 ∫ dx x √ x +1 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 2 ∫ √ x 2+2008 dx ∫ dx − √3 √2 (2 x+ 3) √ x +12 x +5 ∫ dx √ x +2008 TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (11) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN ∫ x √1+ x dx 1− x ¿3 ¿ ¿ √ ¿ √3 ∫¿ x +1 ∫ 2 dx x √ x +1 √2 10 ∫ √ 1+ x dx 1−x 11 1− x ¿ ¿ ¿ √¿ 12 dx ¿ 1+ x ¿3 ¿ ¿ √¿ dx ¿ √2 ∫¿ ∫¿ 13 ∫ √ 1+ x dx 14 16 19 28 ∫ √3 31 ln 34 π 18 x +x 21 23 ∫ dx √ x +1+1 24 ∫ x 15 √ 1+3 x dx √1+ x 26 ∫ dx x √ e +1 27 ∫ dx −1 1+ x + √ x 2+1 e 29 ∫ √ 12 x − x −8 dx 30 ∫ √1+3 lnx x ln x dx 4 32 ∫ xdx √ x +1 1 dx x+ sin x dx ∫ sin √1+3 cos x π e x dx √e x +1 ∫ xdx ∫ cos √7 +cos x ln ∫ √ 1− cos3 x sin x cos5 xdx ln 15 π ∫ cos xdx √ 2+ cos x 20 ∫ x √10 − x dx π x dx √1 − x 17 ∫ sin x √cos x −cos x dx ∫ 3x dx √ 1+ x 22 ∫ x dx2 x+ √ x +1 ∫ π √7 25 √2 ∫ √ x − x + x dx 33 ∫ x (e x + √3 x +1)dx −1 x ∫ lnx √xln x+1 dx ln 35 cos x +2 √ tgx cos2 x dx ∫ cos x π 3 e +1 ¿ ¿ ¿ √¿ 36 e x dx ¿ √ ln ∫¿ 37 π xdx ∫ cos √ 2+ cos x 38 2a 40 π ∫ cos xdx 39 √1+ cos x ∫ 3x+2 √ x +3 dx ∫ √ x 2+ a2 dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:Bµi a toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], đó: a ∫ f ( x)dx=∫[ f ( x)+ f (− x )]dx −a VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- π ; π ] tháa m·n f(x) + f(-x) = √ 2− 2cos x , 2 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (12) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN 3π f ( x)dx ∫ TÝnh: 3π − + sin x dx ∫ x 1+ x −1 +) TÝnh a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], đó: ∫ f ( x)dx = −a π VÝ dô: TÝnh: ∫ ln(x +√ 1+ x 2) dx ∫ cos x ln(x +√ 1+ x 2) dx −1 − π a a ∫ f ( x)dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], đó: =2 −a x cos x dx sin x ∫ |x|dx ∫ x − x +1 −1 VÝ dô: TÝnh a b>0, ∀ a) VÝ dô: TÝnh: dx ∫ x1++1 2x x cos x dx ∫ sin x sin3 1+e x −3 VÝ dô: TÝnh − π π π ], th× π ∫ f (sin x)=∫ f ( cos x)dx π π sin 2009 x ∫ sin2009 x +cos 2009 x dx x dx ∫ √ sin√xsin + √ cos x π Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], đó: π ∫ xf (sin x) dx= π2 ∫ f ( sin x ) dx 0 π VÝ dô: TÝnh π x dx ∫ 1+ sin x x sin x dx ∫ 2+cos x b Bµi to¸n 6: b b ∫ f (a+ b − x) dx=∫ f ( x) dx a a π VÝ dô: TÝnh (1 π 2 Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; a f (x ) ∫ 1+ b x dx=∫ f ( x )dx −a Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], đó: ∫ f ( x) dx x dx ∫ 1+x sin cos2 x ⇒ b ∫ f (b − x )dx=∫ f ( x )dx π ∫ sin x ln (1+ tgx ) dx Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a+T ∫ a T f ( x)dx=∫ f ( x)dx nT ⇒ T ∫ f ( x )dx=n∫ f ( x)dx 0 2008π VÝ dô: TÝnh C¸c bµi tËp ¸p dông: GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG ∫ √ 1− cos x dx TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (13) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN 1−x ∫ √1+2 x π dx −1 ∫ cos x ln( − tga cot ga e e +∫ ∫ xdx 1+ x x − x +x ∫ cos x − π 1− x )dx 1+ x − x+1 dx sin x+nx sin(¿)dx π 2π ∫ dx (1+e x )(1+ x2 ) −1 π2 ∫¿ x dx ∫ 4x+− cos sin x − π x dx ∫ sin 1+ cos x −π2 √ dx =1 x (1+ x ) (tga>0) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫|x − 1| dx 1 ∫|x − x +3|dx −3 ∫ x| x − m|dx π ∫ |sin x|dx − π π π ∫ √1 −sin x dx −π 3π ∫ √ tg2 x+ cot g x − dx π ∫ |sin x|dx π 2π ∫ √1+cos x dx ∫ (|x+2|−|x − 2|)dx 10 −2 ∫x π 3 ∫|2 x − 4|dx 11 ∫ cos x √ cos x − cos3 x dx 12 π − 3x 2dx 1 13 17 ∫x ∫( x x )dx 3 2 ∫ 14 2 2dx x2 15 x ∫2 4dx ∫ cos2xdx 16 sin xdx 18 ∫|x − x|dx VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = và đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = và đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = Bài 1: Cho (p) : y = x2+ và đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (14) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) và 0x có diện tích phía trên 0x vµ phÝa díi 0x b»ng Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn ¿ x − x3 o≤ x≤1 y=0 ¿ y ={ { ¿ Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn Bµi 5: Cho a > TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi nhÊt Bµi 6: Tính diện tích các hình phẳng sau: x2 y y x 1.(H1): 2.(H2) : y x 4.(H4): x y y x 5.(H5): y 2 x ln x y x y 0 x e 7.(H7): x 1 y 2y x 0 10.(H10): x y 0 ¿ y =2 x+1 13 y=x − ¿{ ¿ ¿ x2 y= 16 y= 1+ x ¿{ ¿ GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG y x 4x y x y x 2x 8.(H8): y x 4x ¿ (C): y=√ x (d ): y =2− x (Ox) 11 ¿{{ ¿ ¿ y=− √ − x 14 x 2+3 y =0 ¿{ ¿ ¿ y 2=2 x 17 y=x , y=0 , y=3 ¿{ ¿ ¿ x 2+2 ax +3 a2 y= 1+ a4 Tìm a để diện tích lớn a2 − ax y= 1+ a4 ¿{ ¿ 3x y x y x 0 3.(H3): y x 0 6.(H6): x y 0 9.(H9): 3 y x x 2 y x ¿ (C): y=e x (d): y=2 12 ( Δ): x =1 ¿{{ ¿ ¿ y=√ x 15 x+ y − 2=0 y=0 ¿{{ ¿ ¿ y=ln x , y=0 18 x= , x =e e ¿{ ¿ TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (15) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN ¿ y= 19 1 ; y= 2 sin x cos x π π x= ; x= ¿{ ¿ ¿ y=x − x +5 21 y=−2 x+ y=4 x −11 ¿{{ ¿ 24 27 30 33 36 39 42 ¿ y=x − 1/❑ y=x /+5 ¿{ ¿ ¿ y=x +2 y =4 − x ¿{ ¿ ¿ y=x y=0 x=−2 ; x=1 ¿{{ ¿ ¿ y=x +2 x y =x+ ¿{ ¿ ¿ y=2 x y=x − x −1 y=2 ¿{{ ¿ ¿ y=x − x+2 /❑ y=− x ¿{ ¿ ¿ x2 y= √x −x x=0 ; x=1 ¿{ ¿ GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 20.: y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) ¿ y =− x 2+ x −5 22 y=− x + x − y=3 x − 15 ¿{{ ¿ 25 28 31 34 ¿ y=− x − x /+ y =0 ¿{ ¿ ¿ y=x − x +2 y=x +4 x +5 y =1 ¿{{ ¿ ¿ y=sin x −2 cos x y =3 x=0 ; x=π ¿ {{ ¿ ¿ y=2 x −2 x y=x +3 x −6 x=0 ; x=4 ¿{{ ¿ ¿ y=x − x+2 /❑ 37 y =2 ¿{ ¿ ¿ y=x − x +3 /❑ 40 y=3 ¿{ ¿ ¿ y=sin/ x /❑ 43 y=x /− π ¿{ ¿ ¿ y =x y= x 23 y=0 x =e ¿{{{ ¿ ¿ y=− x − x /+ 26 y =0 ¿{ ¿ ¿ y=x − 1/❑ 29 y=− x 2+7 ¿{ ¿ ¿ y=x +3+ x 32 y=0 ¿{ ¿ ¿ y=x − x+6 /❑ 35 y =6 ¿{ ¿ ¿ y=x − x+6 /❑ 38 y=x +1 ¿{ ¿ ¿ y=e Ï −x 41 y=e x=1 ¿{{ ¿ ¿ y =2 x 2 44 y=x − x − y=8 ¿{{ ¿ TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (16) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN ¿ y =2 x 45 x +2 y +1=0 y=0 ¿{{ ¿ y x (a x ) 46 a ¿ y 2=x − 1/❑ 48 x=2 ¿{ ¿ ¿ x= y − 1/❑ 49 x=2 ¿{ ¿ ¿ x =0 ; x= √2 34 x y= ; y=0 √ 1− x ¿{{ ¿ ¿ y=x x2 y= 27 37 27 y= x ¿{{ ¿ ¿ √ y= − 33 x2 x2 √2 ¿{ ¿ y= ¿ y =6 x 36 x 2+ y =16 ¿{ ¿ x+ 1¿ ¿ x=sin πy 47 ¿ ¿ y =¿ y +1 ¿2 ¿ y=sin x 32 ¿ x=0 ¿ x=¿ ¿ y=5 x− y=0 35 x=0 ; y=3 − x ¿{{ ¿ 4− x¿ ¿ y =4 x 38 ¿ ¿ y =¿ ¿ ¿ y=/log x /❑ ¿ y=x y=0 ax= y 39 40 ay=x (a>0) 41 y=sin x + x x= , x=10 0≤x ≤π 10 ¿{ ¿{{ ¿ ¿{{ ¿ ¿ y =2 x x −1 ¿ ¿ 42 43.x2/25+y2/9 = vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4) ¿ ¿{ 27 y 2=8 ¿ 44 Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt ¿ y=x − x + x −3 45 y =0 ¿{ ¿ Công thức: O TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY y x a a x b (C ) : y f ( x ) y 0 GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG b x y b x 0 a O y b (C ) : x f ( y ) y a x TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (17) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN b b V =π ∫ [ f (x ) ] dx V =π ∫ [ f ( y) ] dy a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn các đường : y x; y 2 x; y 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2) và y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a Trục Ox b Trục Oy 2 Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x ; y x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox y x2 ; y x 1 Bài 5: Cho miền D giới hạn các đường : Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn các đường y = 2x2 và y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn các đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn các đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn các đường y = x √ ln (1+ x 3) ; y = ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x − 2¿ ¿ y=4 ¿ ¿ y=¿ ¿ y=x , y =4 x 2 y=4 ¿{ ¿ ¿ y= x +1 y=0 , x=0 , x=1 ¿{ ¿ ¿ y=2 x − x2 y=0 ¿{ ¿ quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (18) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM TOÁN ¿ y=x ln x y =0 x=1 ; x =e ¿ {{ ¿ ¿ y=x (x> 0) 6.(D) y=− x +10 y=1 ¿{{ ¿ ¿ y =x2 y=√ x ¿{ ¿ quay quanh trôc a) 0x; quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2 quay quanh trôc a) 0x; MiÒn h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 2 MiÒn (E): x + y =1 ¿ y=xe Ï y=0 10 x=1 ,;0 ≤ x ≤1 ¿{{ ¿ ¿ y=√ cos x+ sin x y =0 11 π x= ; x=π ¿ {{ ¿ ¿ y =x 12 y=10 −3 x ¿{ ¿ quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc 0x; quay quanh trôc 0x; quay quanh trôc 0x; 13 H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y x−4 x=0 ; x=2 14 y= ❑ ❑ { ¿ y =√ x −1 y=2 15 x=0 ; y=0 ¿{{ ¿ quay quanh trôc 0x; GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG quay quanh trôc a) 0x; b) 0y TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (19)