Hàm số đạo hàm trong dạy học toán bậc trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thanh HÀM SỐ ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thanh HÀM SỐ ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TỐN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành : Lý luận Phương pháp Dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu cá nhân, trích dẫn trình bày luận văn hồn tồn xác đáng tin cậy LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, người tận tình giảng dạy, dẫn động viên giúp tơi có đủ niềm tin, động lực để hoàn thành nghiên cứu Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến: Cơ Lê Thị Hồi Châu sau học với Cô, tiếp thu thêm kiến thức Didactic Tốn mà cịn học tập tinh thần làm việc, nghiên cứu nghiêm túc Cô Vũ Như Thư Hương, người điều chỉnh cho sai sót, học Cơ khơng kiến thức Didactic Toán mà học sống để ngày tốt Thầy Lê Văn Tiến, Thầy mang đến cho lớp học thú vị quan trọng biết làm để thực nghiên cứu khoa học Cô Nguyễn Thị Nga, kiến thức Cô truyền đạt bổ ích cho cơng việc giảng dạy tơi Tôi cảm ơn nhận xét nhẹ nhàng đầy thuyết phục Cơ q trình giảng dạy Thầy Tăng Minh Dũng, Thầy giúp thực thấy lợi ích mơi trường tin học việc dạy học tốn Tơi xin cảm ơn Thầy Hamid Chaachoua Cơ Annie Besot góp ý, chia sẻ tài liệu để tơi có hướng tốt nghiên cứu Tơi xin cảm ơn Q Thầy, Cơ phịng Sau Đại học tạo thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cảm ơn lớp trưởng Trần Tố Nương tơi chia sẻ khó khăn, vui buồn suốt khóa học tất bạn lớp Cao học ngành Lí luận Phương pháp Dạy học mơn Tốn Khóa 25 tơi làm quen, học tập nghiên cứu Didactic Toán Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi tạo điều kiện, đồng nghiệp tổ Toán giúp đỡ tơi q trình học tập Tơi cảm ơn em học sinh lớp 12A15 trường THPT Nguyễn Trãi nghiêm túc, nhiệt tình giúp tơi hồn thành thực nghiệm Cuối cùng, biết ơn Ba Mẹ gia đình em trai tơi ln chăm sóc, động viên để tơi hồn thành khóa học PHẠM THỊ THANH MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục thuật ngữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chương PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ 1.1 Thời điểm 1: Định nghĩa hàm số đạo hàm 1.1.1 Về phần học 1.1.2 Các tổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm 16 1.2 Thời điểm 2: Đạo hàm với hình dạng đồ thị hàm số ban đầu 24 1.2.1 Về phần học: Những tiêu chuẩn thể mối quan hệ f f ' 24 1.2.2 Các tổ chức toán học 29 1.3 Kết luận chung 32 Chương HÀM SỐ ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA THPT VIỆT NAM 37 2.1 Định nghĩa hàm số đạo hàm 37 2.1.1 Cách ghi định nghĩa đạo hàm 37 2.1.2 Sự xuất hàm số đạo hàm 38 2.1.3 Mối liên hệ đạo hàm hàm số ban đầu 40 2.1.4 Kết luận 44 2.2 Các tổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm 45 2.2.1 Đối với sách giáo khoa 45 2.2.2 Đối với sách giáo khoa nâng cao 46 2.3 Kết luận chung 49 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 53 3.1 Mục tiêu đối tượng thực nghiệm 53 3.2 Nội dung thực nghiệm 53 3.3 Phân tích tiên nghiệm 58 3.3.1 Câu 1: Mối liên hệ f → f' từ phương diện đồ thị → đồ thị 58 3.3.2 Câu 2: Mối liên hệ f ' → f từ phương diện đồ thị → đồ thị 60 3.3.3 Câu 3: Mối liên hệ f ↔ f ' từ phương diện đồ thị ↔ đồ thị 61 3.3.4 Câu 4: Mối liên hệ f→ f ' từ phương diện biểu thức đại số → đồ thị 64 3.4 Phân tích hậu nghiệm 66 3.4.1 Ghi nhận tổng quát 66 3.4.2 Phân tích chi tiết kết thực nghiệm 67 3.5 Kết luận 78 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT KNV : Kiểu nhiệm vụ SBT : Sách tập SBT – CB11 : Sách tập Đại số Giải tích 11 Cơ SBT – CB12 : Sách tập Giải tích 12 Cơ SBT – NC11 : Sách tập Đại số Giải tích 11 Nâng cao SBT – NC12 : Sách tập Giải tích 12 Nâng cao SGK : Sách giáo khoa SGK – CB11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Cơ SGK – CB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 Cơ SGK – NC11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Nâng cao SGK – NC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao SGV : Sách giáo viên SGV – CB11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Cơ SGV – CB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 Cơ SGV – NC11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Nâng cao SGV – NC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao THPT : Trung học phổ thông tr : Trang VD : Ví dụ DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Bảng thống kê KNV hai thời điểm GT 34 Bảng 2.1 Bảng thống kê số lượng nhiệm vụ KNV SGK Việt Nam 50 Bảng 3.1 Bảng tổng hợp kết phân tích thực nghiệm câu 68 Bảng 3.2 Bảng tổng hợp kết phân tích thực nghiệm câu 70 Bảng 3.3 Thống kê số lượng lựa chọn đáp án học sinh trả lời không giải thích 70 Bảng 3.4 Bảng tổng hợp kết phân tích thực nghiệm câu 73 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong dạy học Toán bậc trung học Việt Nam, khái niệm đạo hàm đóng vai trị quan trọng Trong chương trình Giải tích 11, 12 hai ban Cơ Nâng cao, khái niệm đạo hàm giới thiệu đối tượng sau cơng cụ để giải nhiều tốn liên quan toán tiếp tuyến đường cong, khảo sát vẽ đồ thị hàm số Việc tính toán đạo hàm hàm số cho kết biểu thức, cho hàm số Và khái niệm đạo hàm khoảng định nghĩa SGK nên đặt câu hỏi sau để khởi đầu nghiên cứu mình: Hàm số đạo hàm xuất chương trình SGK hành Việt Nam? Mối liên hệ hàm số ban đầu hàm số đạo hàm thể SGK? 1.2 Tổng quan cơng trình nghiên cứu Đạo hàm nội dung quan trọng chương trình Tốn THPT Đạo hàm trở thành đối tượng nhiều cơng trình nghiên cứu, luận văn giáo dục học Chúng tơi tìm thấy luận văn chun ngành liên quan đến khái niệm đạo hàm:  Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM  Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu Didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM  Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm dạy học toán vật lý trường phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM  Trương Hữu Phúc (2014), Tiếp cận khái niệm đạo hàm dạy học Toán THPT, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM Trong luận văn trên, đặc biệt ý đến luận văn tác giả Trương Hữu Phúc Trong luận văn này, tác giả phân tích giáo trình Mỹ Calculus Early Transcendentals Sixth Edition, James Steward, McMASTER University SGK hành Việt Nam đối tượng tri thức đạo hàm xoay quanh phạm vi hoạt động tiếp cận, định nghĩa ý nghĩa tường minh đạo hàm Việc phân tích, so sánh hai tài liệu thực nghiệm quan sát dạy giáo viên, tác giả có kết luận: - Quá trình tiếp cận khái niệm đạo hàm SGK xây dựng không thỏa mãn đặc trưng khoa học luận khái niệm trình tiếp cận GT Mỹ - Đặc trưng tốc độ biến thiên đạo hàm không SGK Việt Nam thể rõ trình tiếp cận, không xây dựng thành ý nghĩa tường minh đạo hàm Mối liên hệ ý nghĩa hình học ý nghĩa vật lý khơng tồn mối quan hệ thể chế dạy học toán Việt Nam - Trong thực nghiệm nghiên cứu thực hành giảng dạy giáo viên trình tiếp cận đạo hàm, ý nghĩa giáo viên lựa chọn xây dựng ý nghĩa vật lý vận tốc cường độ tức thời; ý nghĩa không xây dựng ý nghĩa tốc độ biến thiên tức thời ý nghĩa hình học Sự lựa chọn giáo viên hoàn toàn tương đồng với hai SGK Việt Nam Bên cạnh nghiên cứu báo “Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm” tác giả Lê Thị Hoài Châu đăng tạp chí Khoa học trường ĐHSP TP HCM Trong viết, tác giả nêu nghĩa khác đạo hàm:  Đạo hàm – hệ số góc tiếp tuyến,  Đạo hàm – tốc độ biến thiên hàm số,  Đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số Từ đó, tác giả tìm hiểu thực trạng dạy học khái niệm đạo hàm bậc THPT, xem xét lựa chọn SGK giáo viên có ảnh hưởng lên kiến thức học sinh Các kết đạt là:  Học sinh không thấy mối quan hệ đạo hàm xấp xỉ affine hay công cụ xấp xỉ hình học đạo hàm chưa diện kiến thức học sinh  Khái niệm tốc độ biến thiên trung bình diện quan niệm học sinh Nhưng học sinh không thấy mối quan hệ tốc độ biến thiên tức thời với đạo hàm 77 Câu hỏi 1: không trả lời, Câu hỏi 2: trả lời cách dự đoán, Câu hỏi 3: trả lời cách dự đoán hàm số 2; hàm số dùng chiến lược CL3.3 “Nhận dạng biểu thức hàm số” Câu hỏi 4: dùng chiến lược CL4.1 “Nhận dạng đồ thị” CL4.4“Tập xác định hàm số đạo hàm” (Trích làm HS10) 78 3.5 Kết luận Thực nghiệm cho phép chúng tơi kiểm chứng giả thuyết đặt ra, cho thấy số hậu mối quan hệ thể chế lên quan hệ học sinh đối tượng hàm số đạo hàm: - Học sinh không huy động nghĩa hình học đạo hàm, mối quan hệ dấu hàm đạo hàm biến thiên hàm số ban đầu nhiệm vụ mà cần phải đọc biểu diễn đồ thị cho trước - Đứng trước nhiệm vụ có biểu diễn đồ thị, học sinh thường tìm cách xây dựng biểu thức đại số biểu diễn đồ thị tính đạo hàm chiến lược đắt giá chiến lược khác Sự thất bại học sinh trước tốn mà chúng tơi xây dựng (nhất câu hỏi 1, 3) khơng phải điều khó dự đốn Tuy nhiên, theo chúng tôi, tập gợi ý cho kiểu nhiệm vụ cần bổ sung dạy học toán Việt Nam muốn đề cập đến ý nghĩa ứng dụng đạo hàm hàm đạo hàm Ngồi ra, thơng tin thu thập qua thực nghiệm, với câu hỏi 4, giúp định hướng cho việc xây dựng đồ án dạy học tương lai 79 KẾT LUẬN Việc phân tích sách chun khảo có tầm ảnh hưởng lớn đến việc dạy học giải tích thực hàm biến Mỹ nước nói tiếng Anh, giáo trình Calculus Early Transcendentals Seventh Edition Stewart (2012), cho phép xác định cách thức kiểu nhiệm vụ đề cập đến ý nghĩa đạo hàm hàm đạo hàm dựa biểu diễn hàm số khác (biểu thức đại số, đồ thị bảng số) Những kiểu nhiệm vụ làm rõ giáo trình ngồi việc dùng làm sở tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam chúng gần với tri thức bác học tri thức SGK phổ thơng, ngồi ra, chúng hồn tồn đưa vào dạy học giải tích bậc phổ thơng chúng khơng dùng ngơn ngữ kĩ thuật q hình thức tốn học túy GT Mỹ nghiên cứu hàm số đạo hàm mối liên hệ với hàm số ban đầu nhìn từ phương diện đồ thị biểu thức đại số Đạo hàm cho phép nhìn thấy tính liên tục, biến thiên cực trị hàm số Việc xem xét đạo hàm hàm số đem đến hàm số mà tính chất xây dựng từ hàm số “sinh ra” nhờ huy động ý nghĩa hình học đạo hàm Việc xem xét ứng dụng đạo hàm dựa dấu đạo hàm cho thấy ảnh hưởng lên tính chất hàm số ban đầu GT Mỹ xem xét mối liên hệ nhìn từ phương diện đồ thị có tầm quan trọng khơng so với việc nhìn từ biểu thức đại số Phân tích chương cho thấy SGK có mong muốn đề cập đến mối liên hệ hai hàm số f f ' , mối liên hệ chủ yếu nhìn từ biểu thức đại số SGK chưa đề cập nhiều đến mối liên hệ nhìn từ phương diện đồ thị Kỹ thuật mà SGK quan tâm làm việc với đạo hàm tính đạo hàm hàm số cho biểu thức đại số quy tắc tính đạo hàm Nó thường xuyên xuất bước bước thực kỹ thuật KNV 80 Do chưa quan tâm sâu sắc đến mối liên hệ hai hàm số nhìn từ phương diện đồ thị nên SGK có KNV huy động đến ý nghĩa hình học đạo hàm Nghiên cứu thực nghiệm chương cho kết học sinh gặp nhiều khó khăn làm việc với đồ thị đối tượng hàm số đạo hàm Khi làm việc với đồ thị, học sinh ln tìm cách tìm lại biểu thức đại số hàm số Điều phù hợp với chọn lựa SGK, mối liên hệ hàm số đạo hàm hàm số ban đầu nhìn từ đồ thị không diện quan hệ học sinh Trong dạy học cần bổ sung kiểu nhiệm vụ liên quan đến đồ thị câu hỏi thực nghiệm gợi ý để giúp học sinh thấy mối liên hệ hai hàm số f f ' nhìn từ phương diện Chúng nghiên cứu giới hạn phạm vi hàm số đạo hàm cấp một, chưa nghiên cứu hàm số đạo hàm cấp cao Chúng chưa xây dựng tình để bổ sung kiến thức cịn thiếu cho học sinh, hướng mở cho nghiên cứu đề tài 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những vấn đề Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh Lê Thị Hồi Châu (2014), “Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Số 65 Nguyễn Huy Đoan (2014) Bài tập Đại số Giải tích 11 - Nâng cao, Nxb Giáo dục Nguyễn Huy Đoan (2008) Bài tập Giải tích 12 - Nâng cao, Nxb Giáo dục Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm dạy học tốn vật lý trường phổ thơng, Luận văn thạc sĩ trường ĐHSP Tp.HCM Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2011), Đại số Giải tích 11, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2009), Giải tích 12, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2011), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2013), Sách giáo viên Giải tích 12, Nxb Giáo dục 10 Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn thạc sĩ trường ĐHSP Tp.HCM 11 Trương Hữu Phúc (2014), “Tiếp cận khái niệm đạo hàm dạy học Toán THPT” Luận văn thạc sĩ trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 12 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2010), Đại số Giải tích 11 - Nâng cao, Nxb Giáo dục 13 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Giải tích 12 - Nâng cao, Nxb Giáo dục 14 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2013), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 Nâng cao, Nxb Giáo dục 15 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2013), Sách giáo viên Giải tích 12 - Nâng cao, Nxb Giáo dục 82 16 Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu Didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM 17 Vũ Tuấn (2013) Bài tập Đại số Giải tích 11, Nxb Giáo dục 18 Vũ Tuấn (2014) Bài tập Giải tích 12, Nxb Giáo dục Tiếng Anh 19 James Steward (2012), Calculus Early Transcendentals Seventh Edition, McMASTER University and University of Toronto (Giáo trình Mỹ) P1 PHỤ LỤC PHIẾU KHẢO SÁT Lớp:…………………………… Mã số học sinh:………………… Trước trả lời phiếu thực nghiệm, em cho biết học khảo sát hàm số chưa? Đã học aaaaaaaaaa Chưa học P2 PHIẾU THỰC NGHIỆM Thời gian: 45 phút Các tập không đánh giá điểm Học sinh Lưu ý: Học sinh nháp mặt sau phiếu Khơng sử dụng bút xóa, tẩy Rất mong hợp tác em! Lớp:…………………………… Mã số học sinh:………………… Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (0; 5) có biểu diễn đồ thị sau: 1.1 Bạn tính gần giá trị đạo hàm hàm số điểm nào? (Đánh dấu chéo vào trường hợp bạn lựa chọn trả lời tiếp)  Tại điểm: Tính cụ thể đạo hàm điểm ra:  Khơng thể tính gần đạo hàm điểm vì: 1.2 Hãy điểm mà bạn biết chắn rằng: - Đạo hàm mang giá trị dương: Giải thích bạn biết: P3 - Đạo hàm 0: Giải thích bạn biết: - Đạo hàm âm: Giải thích bạn biết: - Khơng có đạo hàm: Giải thích bạn biết: Em trả lời câu hỏi vì: P4 Câu 2: Cho hàm số y = f(x) có hàm số đạo hàm y ) = f )( x ) Hàm số đạo hàm y ) = f )( x ) xác định khoảng (0; 5) với biểu diễn đồ thị sau: Một ba đường cong tương ứng với đồ thị hàm số y = f(x) Đường cong Đường cong Đường cong P5 Theo em đường cong nào? Trả lời Đường cong: ………………………… Vì: P6 Câu 3: Cột thứ đồ thị hàm số y = f(x) Cột thứ hai đồ thị hàm số y = f )( x ) trình bày cách ngẫu nhiên Bạn đồ thị hàm đạo hàm tương ứng với đồ thị hàm số cho Đồ thị hàm số f Đồ thị hàm số f ' A B C D P7 Hãy trả lời cách điền chữ tương ứng vào ô trống - Hàm số: -  Giải thích lí do: - Hàm số: -  Giải thích lí do: - Hàm số: -  Giải thích lí do: P8 Câu 4: Cột thứ biểu thức đại số hàm số y = f(x) Cột thứ hai đồ thị hàm số đạo hàm y = f )( x ) trình bày cách ngẫu nhiên Bạn đồ thị hàm số đạo hàm tương ứng với hàm số cho Đồ thị hàm số y = f )( x ) Hàm số y = f(x) A y = 2sin x B y = -x + x C y = 2x + x +1 D P9 Hãy trả lời cách điền chữ tương ứng vào ô trống - Hàm số: -  Giải thích lí do: - Hàm số: -  Giải thích lí do: - Hàm số: -  Giải thích lí do: ... nghĩa hàm số đạo hàm Nhận xét: KNV T5 nhằm xây dựng mối liên hệ hai đồ thị hàm f hàm f ' như: điểm giá trị hàm số đạo hàm âm dương, điểm hàm số khơng có đạo hàm, đường tiệm cận đồ thị hàm số đạo hàm. .. tăng, giảm hàm số f cho thức đại số tăng giảm  bảng T : Dùng định nghĩa đạo hàm, tính đạo hàm hàm Hàm T7 : Cho đồ thị hàm số đạo hàm f ' hàm f Tìm 2: 3,09% khơng có đạo hàm có đồ thị f hàm số biểu... liên hệ hàm số ban đầu hàm số đạo hàm? 1.1.2 Các tổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm Vì mục tiêu nghiên cứu luận văn, chỉ KNV xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm Sau đó, tập trung