Giải tích lũy đẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thùy Trang GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thùy Trang GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo cho góp ý quý báu suốt thời gian qua để tơi hồn thành luận văn Thạc sĩ Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cơ thuộc khoa Tốn Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt hai năm học qua Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên Cao học Toán Giải tích khóa 24 gia đình ln động viên, khuyến khích giúp đỡ thời gian tơi học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2015 Học viên Cao học khóa 24 Lê Thùy Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU .2 MỞ ĐẦU Chương GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng nửa vành lũy đẳng 1.2 Định lý Giải tích lũy đẳng 1.3 Độ đo tích phân lũy đẳng.5 21 Chương ÁNH XẠ TRONG CÁC NỬA 32 MÔ ĐUN LŨY ĐẲNG 32 2.1 Ánh xạ khơng gian hàm liên tục có giá trị nửa mô đun 32 2.2 Ánh xạ khả nghịch ánh xạ compact 37 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỘT SỐ KÝ HIỆU Những ký hiệu sau sử dụng luận văn:   : tập hợp tự nhiên   : tập hợp số thực  = +   + : không gian vectơ cột n chiều x = ( xi )i =1 với phần tử [ 0; +∞ ] n n 1, 2, , n ) xi ∈  + ( i =  max S : giá trị lớn tập S thường gọi giá trị cực đại (maximum)  S : giá trị nhỏ tập S thường gọi giá trị cực tiểu (minimum)  sup S: cận hay cận nhỏ tập S  inf S: cận hay cận lớn tập S  exp( x ): hàm nghịch đảo hàm ln ( x )  = a Quan hệ thứ tự Perato ngược:  Metric Hausdorff: d H ( X , Y ) = max sup inf d ( x, y ) ,sup inf d ( x, y )   E = End ( M ) tập tự đồng cấu M (nghĩa tập ánh xạ h : M → M an ) ≤ b ( b1 , , bn ) ⇔ = ≥ bi ∀i ( a1, ,=   x∈X 1, n  y∈Y thỏa mãn h ( a ⊕ b )= h ( a ) ⊕ h ( b ) ∀a, b ∈ M ) y∈Y x∈X  MỞ ĐẦU Trong Giải tích thơng thường, hàm số, độ đo, metric,… nhận giá trị trường số với phép cộng, nhân tự nhiên Giải tích lũy đẳng hình thành từ năm cuối thập niên 80 kỉ 20 cơng trình nhà tốn học Xơ viết V Maslov học trị ông Giải tích lũy đẳng nghiên cứu hàm số, độ đo, … nhận giá trị nửa vành lũy đẳng tức nửa vành với phép cộng ⊕ có tính chất a ⊕ a = a Ví dụ đơn giản thường dùng nửa vành lũy đẳng tập  ∪ {+∞} với phép cộng ⊕ phép nhân  định bởi: a ⊕ b = max {a, b} ab = a +b (1) Một số ánh xạ không gian hàm với phép tốn thơng thường cộng hàm nhân hàm với số, khơng ánh xạ tuyến tính khơng gian hàm ta xét phép tốn (1) chúng trở thành tuyến tính Nhờ vậy, chúng dễ nghiên cứu Đây lý mà Giải tích lũy đẳng thu hút quan tâm nghiên cứu đơng đảo nhà Tốn học năm gần Giải tích lũy đẳng tìm ứng dụng rộng rãi sâu sắc lĩnh vực như: Tính tốn khoa học, Phương trình vi phân, Xây dựng nghiệm tiệm cận phương trình Vật lý – Tốn, Tốn kinh tế, Xác suất thống kê,… Giải tích lũy đẳng lĩnh vực Toán học, chưa phổ biến rộng rãi cộng đồng Toán học nước ta Các tài liệu tham khảo đề tài tiếng việt chưa có nhiều Do đó, việc tìm hiểu Giải tích lũy đẳng đề tài có ý nghĩa khoa học thực tiễn học viên Cao học Mục tiêu luận văn trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, kết nửa nhóm nửa vành lũy đẳng, Khơng gian metric có giá trị nửa vành lũy đẳng, Độ đo lũy đẳng tích phân theo độ đo lũy đẳng, Ánh xạ compact không gian lũy đẳng,… Luận văn viết dựa việc tìm hiểu sách chuyên khảo báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp kiến thức thu trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học chi tiết Sử dụng kiến thức phương pháp suy luận môn Giải tích hàm, Giải tích thực, Tơ pơ đại cương, Đại số đại cương Luận văn chia thành chương, gồm: Chương 1: Giải tích lũy đẳng: trình bày khái niệm nửa nhóm lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng Tiếp theo phát biểu định lý Giải tích lũy đẳng hệ tính tương tự giải tích hàm thơng thường Cuối cùng, xây dựng độ đo tích phân lũy đẳng 1.1 Nửa nhóm nửa vành lũy đẳng 1.2 Định lý Giải tích lũy đẳng 1.3 Độ đo tích phân lũy đẳng Chương 2: Ánh xạ nửa mơ đun lũy đẳng: trình bày lớp ánh xạ quan trọng Giải tích lũy đẳng gồm ánh xạ khả nghịch ánh xạ compact 2.1 Ánh xạ khơng gian hàm liên tục có giá trị nửa mô đun 2.2 Ánh xạ khả nghịch ánh xạ compact Chương GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG Giải tích lũy đẳng xây dựng khái niệm nửa vành lũy đẳng 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng nửa vành lũy đẳng 1.1.1 Định nghĩa.5 - Nửa nhóm lũy đẳng tập hợp khác rỗng M trang bị phép toán ⊕ giao hốn, kết hợp (phép cộng thơng thường) thỏa mãn: a với a ∈ M ; i Phần tử trung lập thỏa ⊕ a = a với a ∈ M ii Điều kiện lũy đẳng: a ⊕ a = - Quan hệ thứ tự phận nửa nhóm lũy đẳng định nghĩa bởi: a ≤ b ⇔ a⊕b = a Thật vậy:  a ⊕ a = a ⇔ a ≤ a : tính phản xạ ≤  a ≤ b ⇔ a = a ⊕ b = b ⊕ a = b : tính phản đối xứng ≤  b ≤ a  a ≤ b a ⊕ b = b ⊕ a = a ⇔  b ≤ c b ⊕ c = c ⊕ b = b  a ⊕ c = ( a ⊕ b ) ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c ) = a ⊕ b = a ⇒ a ≤ c : tính bắc cầu ≤ ⊕ = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ = ⊕ = c a c b a c b a b a a ) ( ) (   Khi  Phần tử trung lập phần tử lớn ( a ≤ 0, ∀a ∈ M ) Ghi chú: Nếu cặp điểm tập hợp thứ tự phận M có inf ta có inf {a, b} thể định nghĩa phép tốn lũy đẳng a ⊕ b = (1.1) Quan hệ thứ tự ngược lại, liên quan đến phép toán nửa nhóm, cho cơng thức: a⊕b = sup {a, b} - Một nửa nhóm lũy đẳng M gọi nửa vành lũy đẳng M trang bị thêm phép tốn  kết hợp (phép nhân thơng thường) thỏa mãn: i Phần tử đơn vị thỏa  a = a với a ∈ M ; ii  phân phối với ⊕ , nghĩa là: a  ( b ⊕= c) (a  b) ⊕ (a  c) (b ⊕ c )  a = (b  a ) ⊕ (c  a ) ; , iii  a= 0, ∀a Tính phân phối ii kéo theo tính chất thứ tự phận: ∀a, b, c a ≤ b ⇔ a  c ≤ b  c - Một nửa vành lũy đẳng M gọi giao hoán (abel) phép toán  giao hốn - Một nửa nhóm (nửa vành) lũy đẳng M gọi nửa nhóm (nửa vành) lũy đẳng metric có metric ρ : M × M →  thỏa mãn tính chất sau: i Phép toán ⊕ (tương ứng phép toán  ) liên tục tập thứ tự bị chặn không gian tô pô sinh metric ρ , ii ρ ( a ⊕ b, c ⊕ d ) ≤ max ( ρ ( a, c ) , ρ ( b, d ) ) (tiên đề minimax), (1.2) iii a ≤ b ⇒ ρ ( a, b ) = sup ( ρ ( a, c ) , ρ ( c, b ) ) (tiên đề đơn điệu) (1.3) c∈[ a ,b ] Tiên đề minimax kéo theo tính liên tục ⊕ bất đẳng thức minimax: n  n  i =j =     ( ρ  ⊕ , ⊕ b j  ≤ max ρ , bπ ( i ) π i ) với π hoán vị tập {1, , n} Do metric ρ đơn điệu nên tập thứ tự bị chặn bị chặn theo metric - M Cho tập hợp X , = ( M , ⊕, ρ ) nửa nhóm lũy đẳng metric Tập B ( X , M ) ánh xạ bị chặn (có miền giá trị thứ tự bị chặn) từ X vào M nửa nhóm lũy đẳng metric với phép tốn ⊕ theo điểm (ϕ ⊕ψ )( x ) =ϕ ( x ) ⊕ψ ( x ) , ∀ϕ ,ψ ∈ B ( X , M ) , x ∈ X , quan hệ thứ tự phận tương ứng, metric ρ (ϕ ,ψ ) = sup x ρ (ϕ ( x ) ,ψ ( x ) ) , thỏa (1.2) (1.3) A Cho tập hợp X , =  ( A, ⊕, , ρ ) nửa vành lũy đẳng metric Tập B ( X , A ) mang cấu trúc nửa mô đun – A ; phép nhân  phần tử thuộc A xác định B ( X , A ) sau: ϕ )( x ) ( a = a  ϕ ( x ) ∈ B ( X , A ) với x ∈ A (Nửa mô đun – A không gian hàm có giá trị A (bị chặn) X )  Nếu X không gian tô pô ký hiệu C ( X , A ) nửa mô đun hàm liên tục B ( X , A )  = hạn, X Nếu X hữu { x1, , xn } , n ∈ } , thể đồng với nửa= mô đun An C ( X , A ) B ( X , A ) trùng có {( a1, , an ) : a j ∈ A} Mọi vectơ a ∈ An biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính a = ⊕ ( a j  e j ) với n j =1 {e j , j = 1, , n} , e j = (0; 0; ; 1 ; ; ) hệ sở chuẩn An Tương tự đại j số tuyến tính, ta chứng minh phép đồng cấu m : An → A (hay gọi hàm n tuyến tính An ) có dạng m ( a ) = ⊕ mi  , mi ∈ A Do đó, nửa mơ đun i =1 hàm tuyến tính An đẳng cấu với A Tương tự, phép tự đồng cấu n H : An → An (ánh xạ tuyến tính An ) có dạng ( Ha ) j = ⊕ h kj  ak , xác định ma k =1 31 { } Chọn phủ hữu hạn Vx Thì infx∈V xj (f n j K j =1, ,k ρ + h )  → infx∈V xj ( f + h) A với j Với n đủ lớn, suy m f ( h )  → m f ( h ) º n Tiếp theo ta xây dựng tính lũy đẳng tương tự định lý Banach – Alaoglu Định lý 1.11.4 Quả cầu đơn vị không gian metric ( C0∞ ( X ) ) compact tô ∗ pô yếu; nghĩa là, dãy bị chặn fn : X → A chứa dãy hội tụ yếu C0∞ ( X ) Hệ 1.2 Cho dãy fn : X → A mà tồn lim m f ( h ) ∀h ∈ C0∞ ( X ) Khi fn bị chặn n →∞ n ( fn ( x ) ≥ M ∀n, x ) hội tụ yếu C0∞ ( X ) hàm nửa liên tục Định lý 1.12.4 Với h ∈ C0 ( X ) dãy fn : X → A , ta có lim m f ( h ) = m f ( h ) với f n →∞ n hàm nửa liên tục Để kết thúc phần này, ta hàm – δ giải tích lũy đẳng cho bởi: 1 0 δy ( x) =  Thật vậy, mδ ( x ) inf = = (δ y ( x )  h ( x ) ) h ( y ) y x=y x≠y 32 Chương ÁNH XẠ TRONG CÁC NỬA MƠ ĐUN LŨY ĐẲNG 2.1 Ánh xạ khơng gian hàm liên tục có giá trị nửa mơ đun Trong phần này, ta nghiên cứu tính chất tổng quát ánh xạ tuyến tính liên tục nửa mô đun C0 ( X ) (hoặc phép đồng cấu nửa mô đun C0 ( X ) ), nghĩa là, ánh xạ liên tục B : C0 (Y ) → C0 ( X ) với: B (a  h ⊕ c  g= ) a  B ( h ) ⊕ c  B ( g ) , a, c ∈ A h, g ∈ C0 (Y ) (trong A nửa vành đại số lũy đẳng giới thiệu ví dụ 1.1.2; X , Y khơng gian tơ pô compact địa phương tách được) Định lý 2.1.4 Cho B : C0 (Y ) → C0 ( X ) (tương ứng B : C0∞ (Y ) → C0∞ ( X ) ) ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó: Tồn ánh xạ b : X × Y → A nửa liên tục biến thứ hai thỏa ( Bh )( x ) = inf b ( x, y )  h ( y ) y (2.1) Ánh xạ b ( x, y ) nửa liên tục theo ( x, y ) Với ( x0 , y0 ) ∈ X × Y , ∀ε > , tồn lân cận nhỏ tùy ý U x0 ⊂ X , U y0 ⊂ Y cho: sup inf b ( x, y ) < b ( x0 , y0 ) + ε x∈U x0 y∈U y0 Với tập compact tùy ý KY ⊂ Y tồn tập compact K X ⊂ X cho b ( x, y ) = (tương ứng ρ ( b ( x, y ) , ) < ε ∀ε > ) với x ∈ K X y ∈ KY Với B : C0∞ (Y ) → C0∞ ( X ) , hạt nhân b ( x, y ) bị chặn X × Y (i.e b ( x, y ) ≥ M > −∞ ) 33 Ngược lại, b : X × Y → A thỏa tính chất – (2.1) xác định ánh xạ tuyến tính liên tục Chứng minh ( ⇒ ) Lấy cố định x , ( Bh )( x ) ánh xạ tuyến tính liên tục C0 ( X ) (tương ứng C0∞ ( X ) ) Ta chứng minh – Theo định lý 1.2 suy B biểu diễn dạng (2.1) có hạt nhân ( )( x) b : X × Y → A nửa liên tục biến thứ hai Hơn nữa, b ( x, y ) = B δ y hàm giá trị ánh xạ liên tục B hàm – δ 1 δ y ( z) =  0 z=y z≠y – Giả sử b ( x0 , y0 ) ≠ Vì b ( x, y ) = B (δ y ) ( x ) nên với ε > , tồn lân cận nhỏ tùy ý U y0 V y0 y0 hàm h ∈ C0 (Y ) cho y0 ∈ V y0 ⊂ Vy0 ⊂ U y0 , h ≡ V y0 h ≥ , supp0 h ⊂ U y0 và, b ( x0 , y0 ) − ε < Bh ( x0 ) ≤ b ( x0 , y0 ) (2.2) Suy ra, với x , inf b ( x, y ) ≤ inf y∈U y0 y∈U y0 ( b ( x, y ) + h ( y ) ) = Bh ( x ) ≤ inf b ( x, y ) y∈Vy0 (2.3) Vì ánh xạ Bh liên tục nên tồn lân cận nhỏ tùy ý U x0 ⊂ X x0 cho Bh ( x ) − Bh ( x0 ) < ε với x ∈ U x0 Do đó, từ (2.2) (2.3) suy inf b ( x, y ) ≥ ( Bh )( x ) > ( Bh ) ( x0 ) − ε > b ( x0 , y0 ) − 2ε , y∈Vy0 inf b ( x, y ) ≤ ( Bh )( x ) < ( Bh ) ( x0 ) + ε ≤ b ( x0 , y0 ) + ε y∈U y0 34 Hai bất đẳng thức suy khẳng định 2, Hàm h ∈ C0 (Y ) đồng với KY – giá compact (tương ứng, tiến đến vô cực) n→∞ → −∞ với dãy Cho b ( xn , yn )  {( xn , yn )} ⊂ X × Y Khi tồn dãy tăng {an } với an → +∞ cho b ( xn , yn ) + an → −∞ Xét hàm h ∈ C 0∞ (Y ) thỏa mãn h ( yn ) = an với n (để xây dựng h , xét bao đóng { yn } Y – compact hóa điểm, sau áp dụng bổ đề Urysohn mở rộng) Suy Bh ∉ C 0∞ ( X ) (mâu thuẫn) ( ⇐ ) Ta chứng minh b nửa liên tục ánh xạ B (2.1) biến ánh xạ nửa liên tục có giá supp0 compact Y thành ánh xạ nửa liên tục X Các khẳng định khác chứng minh dễ dàng Cho supp0 h= K ⊂ Y ánh xạ b h nửa liên tục Thì Bh ( x0= ) inf {b ( x0 , y ) + h ( y )= } b ( x0 , y0 ) + h ( y0 ) ∀y0 y Giả sử h ( y0 ) ≠ b ( x0 , y0 ) ≠ 0, , m , lân cận U j y j Do K compact nên tồn hữu hạn điểm y j ∈ K , j = cho U j ⊃ K lân cận V0 ⊂ X x0 cho: j b ( x, y ) + h ( y ) > b ( x0 , y0 j ) + h ( y0 j ) − ε ∀y ∈ U j , x ∈ V0 = Bh ( x ) inf ( b ( x, y ) + h ( y ) ) > ( Bh ) ( x0 ) − ε với x ∈ V0 º Khi j y∈U j 35 Hàm b ( x, y ) (2.1) xác định ánh xạ B gọi hạt nhân tích phân (lũy đẳng), (2.1) dạng lũy đẳng ánh xạ tuyến tính L2 ( X ) : ( Kh )( x ) = ∫ k ( x, y ) h ( y ) dy Ta suy công thức hợp cho hạt nhân tích phân Cho B : C (Y ) → C ( Z ) D : C ( Z ) → C ( X ) ánh xạ tuyến tính liên tục Khi hạt nhân tích phân d  b D  B : C (Y ) → C ( X ) biểu thị qua hạt nhân d b D B công thức: d  b ( x, y ) = inf d ( x, z )  b ( z , y ) (2.4) z Thật vậy, = D  B ( h )( x ) inf = d ( x, z )  ( Bh )( z ) inf d ( x, z )  inf ( b ( z , y )  h ( y ) ) z z y ( ) = inf inf d ( x, z )  b ( z , y )  h ( y ) y z Ngoài ánh xạ d  b (2.4) nửa liên tục biến thứ hai Bây ta đưa tiêu chuẩn cho hội tụ mạnh dãy ánh xạ Mệnh đề 2.1 Dãy ánh xạ tuyến tính liên tục Bn : C (Y ) → C ( X ) có hạt nhân tích phân bn , hội tụ mạnh đến ánh xạ B (nghĩa là, lim= Bn h Bh, h ∈ C (Y ) C ( X ) ) n→∞ có hạt nhân tích phân b hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) Với x0 ∈ X , y0 ∈ Y tùy ý ε > , tồn lân cận nhỏ tùy ý U ⊂ X x0 , V0 ⊂ Y y0 , N ∈  : inf bn ( x, y ) − inf b ( x, y ) < ε metric ρ A với x ∈ U , n > N y∈V0 y∈V0 36 (b) Với tập compact tùy ý KY ⊂ Y , tồn tập compact K X ⊂ X cho b bn đồng thời với x ∈ K X , y ∈ KY Chứng minh ( ⇒ ) Tính chất (b) dễ dàng chứng minh Bây giờ, ta chứng minh tính chất (a) Xét trường hợp b ( x0 , y0 ) ≠ Theo định lý 2.1 tồn lân cận nhỏ tùy ý U ⊂ X x0 , V ⊂ Y y0 cho: b ( x0 , y0 ) − ε < inf b ( x, y ) ≤ b ( x0 , y0 ) + ε y∈V , x ∈U (2.5) Do tồn lân cận nhúng y0 Y , y0 ∈ V0 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V1 ⊂ V2 lân 0,1, ) cận U x0 ∈ X thỏa (2.5) với x ∈ U ,V j ( j = Xét hàm h ∈ C0 (Y ) mà supp0 h ⊂ V2 , h ≡ V1 h ≥ Khi ( Bn h ) ( x ) − Bh ( x ) < ε , với x ∈ U Suy inf bn ( x, y ) ≤ ( Bn h ) ( x ) ≤ ( Bh )( x ) + ε y∈V2 ≤ inf b ( x, y ) + ε ≤ b ( x0 , y0 ) + 2ε ≤ inf b ( x, y ) + 3ε y∈V1 y∈V2 Và inf bn ( x, y ) ≥ ( Bn h ) ( x ) ≥ ( Bh )( x ) − ε y∈V1 ≥ inf b ( x, y ) − ε ≥ b ( x0 , y0 ) − 2ε ≥ inf b ( x, y ) − 3ε y∈V2 y∈V1 Tương tự xét cặp (V0 ,V1 ) , ta suy tính chất (a) ( ⇐ ) Với hàm h ∈ C0 (Y ) , x0 ∈ X ε > , tồn lân cận U ⊂ X x0 cho ( Bn h ) ( x ) − ( Bh )( x ) < ε metric ρ A với x ∈ U Sử dụng tính chất (b), ta có 37 ∞    supp0 Bn h  ∪ supp0 Bh nằm tập compact X º  n=1  Một cách tương tự với giải tích hàm, ta phát biểu dãy ánh xạ tuyến tính Bn : C (Y ) → C ( X ) hội tụ yếu ánh xạ B với h ∈ C0 (Y ) , g ∈ C0 ( X ) có: lim Bn h, g n→∞ với tích vơ hướng , A A = Bh, g A xác định công thức (1.12) Mệnh đề 2.2 Một dãy ánh xạ Bn có hạt nhân bn hội tụ yếu ánh xạ B có hạt nhân b dãy ánh xạ bn : X × Y → A hội tụ yếu b : X × Y → A khơng gian C0 ( X × Y ) Mệnh đề 2.3 (tiêu chuẩn cho hội tụ dãy ánh xạ Bn : C 0∞ (Y ) → C 0∞ ( X ) ) Dãy Bn hội tụ B dãy hạt nhân tích phân bn ( x, y ) hội tụ hạt nhân tích phân b ( x, y ) B Mệnh đề 2.4 (dạng lũy đẳng định lý bị chặn Banach – Steinhaus) Cho {Bα : C ∞ (Y ) → C ∞ ( X )} họ ánh xạ mà với h ∈ C 0 ∞ (Y ) họ ánh xạ Bα h bị chặn ( Bα h ≥ M > −∞ ∀α ) Khi họ {bα } hạt nhân tích phân bị chặn  > −∞ ∀x, y, α bα ( x, y ) ≥ M 2.2 Ánh xạ khả nghịch ánh xạ compact Định lý 2.2.4 (cấu trúc ánh xạ khả nghịch) Cho B : C0 (Y ) → C0 ( X ) D : C0 ( X ) → C0 (Y ) , B : C 0∞ (Y ) → C 0∞ ( X ) D : C 0∞ ( X ) → C 0∞ (Y ) 38 hai ánh xạ tuyến tính khả nghịch Thì tồn phép đồng phôi β : X → Y ánh xạ liên tục ϕ : X → A , ψ : Y → A không nhận giá trị cho ϕ ( x ) ψ ( β ( x ) ) ≡ ánh xạ B , D cho bởi: ( Bh )( x ) = ϕ ( x )  h ( β ( x ) ) , (2.6) ( Dg )( y ) = ϕ ( y )  g ( β −1 ( y ) ) (2.7) Chứng minh Định lý 2.1 công thức hợp (2.4) cho phép ta viết điều kiện để B D khả nghịch với dạng hai phương trình hạt nhân tích phân b d tương ứng B D : 1, x = z  d ( y, z ) b=  d ( x, z )  inf b ( x, y )= , y 0, x ≠ z (2.8) 1, y = t  b ( y, t )  inf d ( y, x = )  b ( x, t ) d= x 0, y ≠ t Khi đó, với x ∈ X , ∃y ( x ) ∈ Y : b ( x, y ( x ) ) ≠ d ( y ( x ) , x ) ≠ Với y ∈ Y , ∃x ( y ) ∈ X : d ( y, x ( y ) ) ≠ b ( x ( y ) , y ) ≠ Hơn nữa, y ( x ) x ( y ) xác định nhất, 1, , mâu thuẫn với (2.8) Do đó, tồn y1 ≠ y2 , d ( yi , x ) ≠ nên d  b ( yi , y ( x ) ) ≠ 0, i = b ( x) song ánh β : X → Y cho b ( x, y ) ≠ ⇔ d ( y, x ) ≠ ⇔ y = ( ) Suy hàm ϕ ( x ) = b ( x, b ( x ) ) y ( y ) = d y, β −1 ( y ) thỏa mãn ϕ ( x ) ψ ( β ( x ) ) ≡ , (2.6), (2.7) Tính liên tục ϕ ,ψ , β chứng minh phản chứng º Do vậy, ánh xạ khả nghịch hợp ánh xạ đường chéo (nghĩa là, phép nhân với hàm khác nơi) với “phép đổi biến” 39 Hệ 2.1 Nếu nửa mô đun tô pô C0 ( X ) C0 (Y ) đồng phơi X Y khơng gian tô pô đồng phôi Hệ 2.2 Ánh xạ B : C0 ( X ) → C0 ( X ) gọi đối xứng Bϕ , h A = ϕ , Bh A , ϕ , h ∈ C0 ( X ) Một cách khác, B đối xứng hạt nhân tích phân đối xứng Từ định lý 2.2 cho thấy ánh xạ khả nghịch đối xứng có dạng: ( Bh )( x ) = ϕ ( x )  h ( β ( x ) ) , = với β β −1 : X → X phép đồng phôi ϕ : X → A , ϕ ( x ) = ϕ ( β ( x ) ) ánh xạ liên tục Hệ 2.3 Một ánh xạ khả nghịch B gọi trực giao B −1 = B ' liên hợp B với tích vơ hướng C0 ( X ) Mỗi ánh xạ trực giao C0 ( X ) tạo phép biến đổi X Hệ 2.4 Nếu X tập hữu hạn, X = {1, , n} , C ( X , A ) = An ánh xạ An → An biểu diễn ma trận n × n nhận giá trị A Từ định lý 2.2, có “rất ít” ánh xạ khả nghịch An ; cụ thể hợp ma trận đường chéo với hoán vị phần tử sở tắc Một kết khác suy từ định lý 2.2 tất tự đẳng cấu nửa đại số ánh xạ phép tự đẳng cấu Định lý 2.3.4 Phép tự đẳng cấu F (nghĩa là, phép đồng phơi bảo tồn phép cộng ⊕ phép hợp ánh xạ) nửa đại số ánh xạ tuyến tính C0 ( X ) biến ánh xạ B với hạt nhân tích phân b thành ánh xạ F ( B ) với hạt nhân tích phân Fb theo cơng thức: Fb ( x, y ) = ϕ ( x ) − ϕ ( y ) + b ( bb ( x) , ( y )) , (2.9) 40 với β : X → X phép đồng phôi ϕ : X → A \ {0} liên tục Nói cách khác, FB = C  B  C −1 , với C ánh xạ khả nghịch hợp ánh xạ đường chéo (ánh xạ phép nhân  với ϕ ) với ánh xạ đổi biến Chứng minh Vì ánh xạ X × X → A tương ứng – với hạt nhân tích phân, ta suy dạng tổng quát phép đẳng cấu nửa mơ đun ánh xạ từ định lý 2.2, có dạng: ϕ ( x, y )  b ( bb b ( x, y ) → Fb ( x, y ) = ( x, y ) , ( x, y ) ) , = với β ( β1, β ) : X × X → X × X (2.10) phép đồng phôi Cho hnx ( x ) dãy dạng – δ C0 ( X ) , là, dãy ánh xạ liên tục cho hnx ( x ) ≥ với x ∈ X , hnξ (ξ ) = , supp0 hnξ ⊂ U n (ξ ) , với {U n (ξ )} lân cận sở điểm ξ (nếu X không thỏa tiên đề đếm thứ nhất, dãy khơng tồn tại, ta lấy lưới thay thế) Cho ξ ,η , ζ điểm tùy ý X Xét dãy Bnξ ,η , Bηn ,ζ : C0 ( X ) → C0 ( X ) ánh xạ lũy đẳng có hạt nhân tích phân bnx ,h ( x, y ) = hnx ( x )  hhn ( y ) , bhn ,ζ ( x, y ) = hhn ( x )  hnζ ( y ) Khi đó, với cơng thức hợp, Bnξ ,η  Bηn ,ζ = Bnξ ,ζ , Bnξ ,ζ có hạt nhân: bnx ,ζ ( x, y ) = hnx ( x )  hnζ ( y ) Áp dụng công thức (2.10) vào hai vế FBnξ ,ζ = FBnξ ,η  FBηn ,ζ lấy giới hạn n → ∞ Ta thu kết quả: 41 ϕ ( x, y )  δ βx ( x, y )  δ βz ( x, y ) = inf ϕ ( x, z )  ϕ ( z , y )  δ βx ( x, z ) z  δ βη ( x, z )  δ βη ( z , y )  δ βz ( z , y ) 2 1 0 với δ yx =  x= y x≠ y (2.11) , Tập x = β1 ( x, y ) ζ = β ( x, y ) Thì (2.11) ϕ ( x, y ) ≠ Do đó, vế phải (2.11) khác nên với η , tồn z0 = z ( x, y,η ) cho: β1= ( x, z0 ) β= ( x, y ) x , β 2= ( z0 , y ) β= ( x, y ) z , (2.12) β= ( z0 , y ) β= ( x , z0 ) η β1 ( z0 , y ) ξ= , β ( z0 , y ) z và= , β ( x, y ) ζ với β = ( β1 , β ) β1 ( x, y ) x= Tập η = ξ Thì= = ánh xạ X × X → X × X song ánh có z0 z= ( x, y , x ) x Từ (2.12), ta thấy β1 ( x, x ) = β1 ( x, y ) , nghĩa β1 ( x, y ) = β1 ( x ) không phụ thuộc vào biến thứ hai Tương tự, cho η = ζ (2.11) ta có β ( x, y ) = β ( y ) không phụ thuộc vào biến thứ Cuối cùng, từ phương trình cuối (2.11) có β1= ( x ) β ( x ) ∀x ∈ X Do đó, phép đồng phơi β = ( β1, β ) tích hai phép đồng phôi đồng X , β ( x, y ) = ( β ( x ) , β ( y ) ) Khi đó, từ (2.12) có ϕ ( x, y ) = ϕ ( x, z )  ϕ ( z , y ) với z = β −1 (η ) ( z tùy ý η tùy ý) , y ) ϕ ( x ) − ϕ ( y ) với ϕ : X → A \ {0} Suy ϕ ( x= Do (2.10) trùng với (2.9) º 42 Các ánh xạ khả nghịch C0 ( X ) lập thành nhóm Ánh xạ B1 B2 C0 ( X ) gọi liên hợp tồn ánh xạ tuyến tính khả nghịch C cho B1 = C −1B2C Nếu ánh xạ khả nghịch phép đổi biến C0 ( X ) ánh xạ liên hợp “biểu diễn tọa độ” ánh xạ Một lớp ánh xạ quan trọng khác ánh xạ compact hay ánh xạ hoàn toàn liên tục Định nghĩa 2.1.5 Một ánh xạ tuyến tính liên tục B : C0∞ (Y ) → C0∞ ( X ) gọi compact, hay hồn tồn liên tục, biến tập bị chặn theo metric thành tập tiền compact Để đơn giản, giả sử X khơng gian tách được, để tính tô pô xác định metric d Định lý 2.4.4 Một ánh xạ B compact hạt nhân tích phân b ( x, y ) liên tục theo x đồng bậc y (nghĩa là, điều kiện thỏa mãn: ∀ε > 0, ∃dd > : d ( x1 , x2 ) < ⇒ ∀y ρ ( b ( x1 , y ) , b ( x2 , y ) ) < ε ), tiến tới vô cực y ∈ Y (nghĩa là, ∀ε > 0, ∃K ⊂ X : K tập compact ∀x ∈ K , ∀y ρ ( b ( x, y ) , ) < ε ) Chứng minh dựa định lý Arzela – Ascoli, cho hàm nhận giá trị A phát biểu sau: Một tập M ⊂ C0∞ ( X ) tiền compact M bị chặn ( ϕ ( x ) ≥ c > −∞ ∀ϕ ∈ M ), liên tục đồng bậc tiến tới vơ cực Ở ta chứng minh tính cần thiết điều kiện đầu định lý 2.4; phần lại chứng minh đơn giản Sử dụng phản chứng Giả sử b ( x, y ) không liên tục đồng bậc theo x y 43 ( { }{ } ) Khi ∃ε > 0, {δ n } → , x1n , xn2 ⊂ X , { yn } ⊂ Y : d x1n , xn2 < d n (( ) ( ρ b x1n , yn , b xn2 , yn ) ) > 2ε (2.13) Do b , y nửa liên tục nên ∃{U n } ⊂ Y , yn ∈ U n : b( xni , y ) > b( xni , yn ) − ε n , y ∈U n , i = 1, với {ε n } dãy dương tùy ý, ε n → (giả sử b( xni , yn ) bị chặn) 1, supp0 hn ⊂ U n Hơn nữa, ta xây dựng dãy hàm liên tục hn ≥ 1, hn ( yn ) = cho: ( ) ( ) ( ) b xni , yn ≥ ( Bhn ) xni ≥ b xni , yn − ε n Bằng việc chọn dãy ε n : ρ (b( xni , yn ), b( xni , yn ) − ε n ) < ε ∀n , từ đánh giá cuối từ (2.13) có: ρ (( Bhn )( x1n ) , ( Bhn )( xn2 )) > ε (2.14) Do B compact nên tồn dãy {Bhnk } hội tụ v ∈ C0∞ ( X ) Với nk đủ lớn ta có ρ (( Bhnk )( x1nk ) , ( Bhnk )( xn2k )) ≤ ρ (( Bhnk )( x1nk ) , v( x1nk )) + ρ (( Bhnk )( xn2k ) , v( xn2k )) + ρ (v( x1nk ) , v( xn2k )) < ε Mâu thuẫn (2.14).º Hệ 2.5 Mỗi ánh xạ compact B : C0∞ (Y ) → C0∞ ( X ) mở rộng lên khơng gian hàm bị chặn có giá trị Y biến không gian vào C0∞ ( X ) 44 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận Việc thực đề tài giúp học viên thấy tương tự khác biệt vấn đề Giải tích thơng thường Giải tích lũy đẳng Học viên hiểu rõ kiến thức học Giải tích hàm, Giải tích thực, Tơ pơ đại cương, Đại số đại cương, thấy mối liên hệ chúng biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn tài liệu tham khảo tương đối đầy đủ Giải tích lũy đẳng cho sinh viên Đại học học viên Cao học chun ngành Tốn giải tích Kiến nghị Trong q trình thực luận văn có số vấn đề hấp dẫn, thú vị mà chưa giải cách trọn vẹn Để tránh lãng phí nghiên cứu trùng lắp, tơi hy vọng tiếp tục nghiên cứu lên Giải tích hàm lũy đẳng, số định lý tồn điểm bất động không gian lũy đẳng ứng dụng nó,… 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Tụy (2005), Lí thuyết hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Nguyễn Thị Bích Trang (2011), Nửa mơ đun nửa vành có đơn vị, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng Vassili N Kolokol’tsov, Victor P Maslov (1997), “Springer–Science+Business Media”, Idempotent Analysis and Its Applications, pp 5–8, 25–56 G L Litvinov, V P Maslov, A G Kushner, S N Sergeev (2012), Tropical and Idempotent Mathematics, pp 9, 10, 13–15 ... tích phân lũy đẳng 1.1 Nửa nhóm nửa vành lũy đẳng 1.2 Định lý Giải tích lũy đẳng 1.3 Độ đo tích phân lũy đẳng Chương 2: Ánh xạ nửa mô đun lũy đẳng: trình bày lớp ánh xạ quan trọng Giải tích lũy. .. ĐẦU Chương GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng nửa vành lũy đẳng 1.2 Định lý Giải tích lũy đẳng 1.3 Độ đo tích phân lũy đẳng. 5 21 Chương... chương, gồm: Chương 1: Giải tích lũy đẳng: trình bày khái niệm nửa nhóm lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng Tiếp theo phát biểu định lý Giải tích lũy đẳng hệ tính tương tự giải tích hàm thơng thường Cuối