a Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất... Chia cả hai vế của PT cho x ta được:..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH HÀ TRƯỜNG THCS TT THANH HÀ ĐỀ THI HSG LỚP Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1.(2,0 điểm) a) Cho hàm số y = ax + b Biết f(1) f(2); f(5) f(6) và f(999)=2012 Tính f(2013) b) Rút gọn biểu thức: A 2( x y x)( x y y ) x y với mọi x, y Câu 2.(2,0 điểm) a) Chứng minh a a không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a b) Tìm các số nguyên dương x, y khác cho: xy y x Câu 3.(2,0 điểm) a) Giải phương trình x x 2 x b) Giải phương trình nghiệm nguyên x y 7 Câu 4.(1,5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Chứng minh a bc b ca c ab 1 ab bc ca Câu 5.(2,5 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt OC, cắt tiếp tuyến A và cắt tiếp tuyến B nửa đường tròn (O) D, E và H Gọi F là giao điểm AE và BD a) Xác định vị trí M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ AB b) Chứng minh EA EF= ====HẾT==== Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh SBD: (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN ( Đáp án có trang) Câu Nội dung chính a) Vì f(1) f(2) nên a 0 (1) f(5) f(6) nên a 0 (2) Điểm 0,5 Từ (1) và (2) suy a = Do đó f(2013) = f(999) = 2012 b) A 2( x y x)( x y y ) x y 0,5 = 2( x y ) x y ( x y ) xy x y 0,25 x2 y ( x y) x y ( x y) 0,5 x y x y x y (vì x y x y ) 0,25 a) N a a = ( a 2)( a 3) 0,25 Vì ( a 2) ( a 3) chia hết cho nên a 2; a cùng chia hết cho cùng không chia hết cho 0,25 *Nếu a 2; a cùng chia hết cho thì (a 2)(a 3) chia hết cho 25 mà không chia hết cho 25 suy N không chia hết cho 25 0,25 *Nếu a 2; a cùng không chia hết cho thì (a 2)(a 3) không chia hết cho ( là số nguyên tố) suy N không chia hết cho 5, đó N không chia hết cho 25 0,25 Vậy N không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a x b) Giả sử x y Chia hai vế PT cho x ta được: x y x yx xx x x Vì y x mà x là số nguyên dương nên y x Đặt y kx (k N , k 2 ) 0,25 kx x k x x k k1 Theo bài ta có x (kx) ( x ) (kx ) x kx x k (1) 0,25 (3) k1 k1 Ta thấy x 2 (vì x 1 thì k 1 ) Do đó x 2 (2) k1 k Từ (1) và (2) suy k 2 nên 2k 2 (3) 0,25 Dễ thấy k 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy Do đó k 2 Thay k 2 vào (1) ta x 2 y 2.2 4 0,25 Thử lại x 2; y 4 thỏa mãn đề bài Vì vai trò x, y ( x, y ) 2; , 4; a) ĐKXĐ: x 1 x 3x 2 x ( x x 4) ( x x 1) 0 x 0 x 2(T / m) x 0 ( x 2)2 ( x 1) 0 Vậy phương trình có nghiệm x 2 x 5x x x2 x y 7 y 1 x 5 b) x2 t t Z Đặt Do đó x 5t y 3 4t x 5t (t Z ) y t Vậy nghiệm phương trình là 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì a b c 1 , nên áp dụng BĐT Cauchy ta có: 0,25 b c 2 bc a +b+c a bc a bc a a 2a bc a bc a 2a bc bc a bc a bc a bc a bc 0,5 (1) Chứng minh tương tự ta có: b ca b ca (2) c ab c ab (3) 0,25 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta a bc b ca c ab a b c ab bc ca Hay a bc b ca c ab 1 ab bc ca a b c Dấu xảy và a) Ta có AE//BH( cùng vuông góc với AB) nên tứ giác ABHE là hình 0,5 (4) thang vuông Do đó S ABHE ( AE BH ) AB EH AB 2 (theo tính chất hai 0,5 tiếp tuyến cắt nhau) S ABHE nhỏ EH nhỏ EH BH ABHE là hình chữ nhật M là điểm chính cung AB Vậy Min S ABHE 2 R M C b) Xét hình thang ABHE có OA=OB, OD//AE//BF DE DF 0,5 DEF=DHB( g c g ) EF=BH 0,5 mà BH HM ; EA EM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy AE.EF=EM.MH (1) Lại có OE là tia phân giác AOM ; OH là tia phân giác BOM 0,5 mà AOM và BOM là hai góc kề bù nên EOH 90 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác EOH vuông H ta có EM MH OM AB F (2) 0,5 AB AE.EF Từ (1) và (2) suy H D M C E A O Kí duyệt B Thị trấn Thanh Hà ngày tháng năm 2012 Người đề Nguyễn Đăng Thành (5)