Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h... Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương...[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm có 04 câu, 01 trang) Câu I: (6,0 điểm) Tìm x biết: x a) 3 b) 3x 17 12 22 13 13 11 c) x = 2 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 11 13 13 15 19 21 d) Câu II: (8,0 điểm) Cho S = 21 + 22 + 23 + + 2100 a) Chứng minh S 15 b) Tìm chữ số tận cùng S c) Tính tổng S Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là số chính phương không? Tại sao? Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 199 200 101 102 200 a) 51 52 100 1 99 b) 2 Câu III: (3,0 điểm) Một ô tô từ A lúc 8h Đến 9h ô tô khác cùng từ A Xe thứ đến B lúc 2h chiều Xe thứ hai đến xớm xe thứ nửa Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ cách A bao nhiêu km vận tốc nó lớn vận tốc xe thứ là 20km/h Câu IV: (3,0 điểm) 9999 10000 Cho A = So sánh A với 0,01 n 10 Chứng minh rằng: , với n N Hết - (2) Câu Đáp án a) 1,5 điểm Câu I: x (6,0 điểm) 3 1 x 1 x 12 1 : x = 12 x = 12 1 x= b) (1,5 điểm) 3x 1 17 12 3x = -12 + 17 3x =5 3x + = 3x + = - 3x =4 3x =-6 x = x =-2 Vậy x = ; x = - c) (1,5 điểm) 22 13 x 13 11 1 11 13 22 13 3 2.11.13 13 11 2 = 65 66 143 = 88 52 429 12 = 465 155 d) (1,5 điểm) Điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (3) Câu II: (8 điểm) 2 19 21 Vì 11 13 13 15 1 1 1 19 21 = 11 13 13 15 1 10 = 11 21 231 10 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 231 Nên ta có 20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19 [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 2,04 : (x + 1,05) = 0,12 x + 1,05 = 2,04 : 0,12 x + 1,05 = 17 x = 17 - 1,05 x = 15,95 (3,0 điểm) a) (1,25 điểm) S = 21 + 22 + 23 + + 2100 Tổng trên gồm 100 số hạng chia thành nhóm, nhóm có số hạng ta có: S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + + (297 + 298 + 299 + 2100) = (1 + + 22 + 23) + 25 (1 + + 22 + 23) + + 297 (1 + + 22 + 23) = 15 + 25 15 + + 297 15 = 15 (2 + 25 + + 297) 15 (ĐPCM) b) (0,75 điểm) Vì S 15 S (1) Lại có tất các số hạng S chia hết cho nên S (2) Từ (1) và (2) S 10 hay S có chữ số tận cùng là c) (1,0 điểm) 2S - S = (21 + 22 + 23 + + 2100) - (21 + 22 + 23 + + 2100) S = (22 + 23 + 24 + + 2101) - (21 + 22 + 23 + + 2100) hay S = 2101 - 2 (2,0 điểm) Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x Ta có: (x - 1) : + = n (x - 1) : =n-1 x-1 = (n - 1) x-1 = 2n - x = 2n - + x = 2n - Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là ; ; ; ; ; 2n - Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: + + + + (2n - 1) = (2n - + 1) n : = 2n n : = n2 là số chính phương 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (4) Vậy tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là số chính phương 0,75đ 0,25đ (3,0 điểm) a) (1,5 điểm) 1 1 199 200 Ta có 1- 1 1 199 200 = 1+ 1 1 1 1 1 1 1 199 200 200 = 1 1 199 200 = 1 1 100 1 1 200 (ĐPCM) = 101 102 103 b) (1,5 điểm) 99 .100 (2 100) Ta có: 99 = = = = Câu III: (3 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2.3.4.5.6 99.100 1.2 2.2 2.3 2.50 0,25đ 99 100 2.3 .50 2.2.2 0,25đ 50 thõa sè 51 52 53 99 100 2.2.2 0,25đ 50 thõa sè 51 52 53 100 (ĐPCM) = 2 Thời gian xe thứ hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h Thời gian xe thứ hai hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h h = Một xe thứ : (quãng đường AB) Một xe thứ hai : (quãng đường AB) 1 Phân số 20km là : - = 18 (quãng đường AB) Vậy quãng đường AB dài : 20 : 18 = 360 (km) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ (5) Câu IV: (3 điểm) Vận tốc xe thứ là : 360 = 60 (km/h) Khi hai xe cùng bắt đầu chúng cách 60km (vì xe thứ trước xe thứ hai giờ) Do đó, chúng gặp (kể từ xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = (h) Nơi gặp cách A là: 60 + 60 = 240 km (1,5 điểm) 9999 A = 10000 10000 10001 Đặt B = 9999 10000 ; ; ; ; 10000 10001 Vì Nên A < B mà A > ; B > 9999 .10000 10000 10001 A2 < A B = 9999 10000 10000 10001 = 1 0,01 = 10001 10000 100 A < (0,01) Hay A < 0,01 (1,5 điểm) n n 1 Ta có: + + + + n = Vì n N n (n + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có thể có các tận cùng là: 0; ; n n 1 không có tận cùng là n n không có tận cùng là 10, với n N (ĐPCM) * Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng cho điểm tối đa - Tùy theo bài làm học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm Hết 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ (6) Người hướng dẫn chấm Tổ trưởng chuyên môn Hiệu trưởng (7)