Đang tải... (xem toàn văn)
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất... Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.. AC AB AI IC. AC AB MA CM.. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị th[r]
wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : +x x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = Cho b) a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = Gv: Nguyễn Văn Tú Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2011-2012 0,5 0,5 5,0 3,0 2 − x ≠ x ≠ x − ≠ ⇔ x ≠ ±2 2 + x ≠ x − 3x ≠ x ≠ x − x ≠ 1,0 + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( )= = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x) x ( x − 3) = 1,0 x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 0,25 x −3 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x−3> ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x −3 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔ x − = −4 x = 11(TMDKXD ) ⇔ x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 0,25 0,5 0,25 121 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Gv: Nguyễn Văn Tú 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 Từ : x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = Ta có : a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: ·ABC = ·ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC Gv: Nguyễn Văn Tú K 0,25 0,25 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 b Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = a b c a2 b2 c2 c Cho + + = Chứng minh rằng: + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Câu2 Cho biểu thức: 10 − x x A= + + ÷: x − + x + ÷ x −4 2−x x+2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chng minh rng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 + + ≥9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Điểm ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x − 30x + 31x − 30 = Gv: Nguyễn Văn Tú (2 điểm) (2 điểm) Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán (x Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP ) − x + ( x − 5) ( x + 6) = Vì x2 - x + = (x - ) + >0 (*) ∀x (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x = ⇔ x + = x = − a b c c Nhân vế của: + + =1 b+c c+a a+b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm 10 − x x + + Biểu thức: A = ÷: x − + x + ÷ x −4 2−x x+2 −1 a Rút gọn kq: A = x−2 1 −1 b x = ⇒ x = x = 2 Câu (6 điểm) 4 A = c A < ⇔ x > −1 d A ∈ Z ⇔ ∈ Z ⇒ x ∈ { 1;3} x−2 ⇒A= (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm a Chứng minh: c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn ⇔ ME = MF (AEMF hình vng) ⇒ M trung điểm BD Gv: Nguyễn Văn Tú (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu 4: (2 điểm) b c 1 = + + a a a a c 1 a Từ: a + b + c = ⇒ = + + b b b a b 1 = + + c c c 1 a b a c b c ⇒ + + = + + ÷+ + ÷+ + ÷ a b c b a c a c b ≥3+2+2+2=9 Dấu xảy ⇔ a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) (1 điểm) §Ị thi S Câu : (2 điểm) Cho P= a3 − 4a2 − a + a − 7a + 14a − a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 ®iĨm) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : a) Giải phơng tr×nh : A= a b c + + ≥3 b+ca a+cb a+bc Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iĨm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chøng minh : a) BD.CE= BC Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số ®o chu vi ®¸p ¸n ®Ị thi häc sinh giỏi Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 3 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a ≠ 2; a ≠ Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a +1 a−2 0,25 a−2+3 ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, = 1+ a2 a2 mà Ư(3)= { 1;1;3;3} 0,25 Từ tìm đợc a { 1;3;5} 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho [ ] 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a + 2ab + b ) − 3ab = [ =(a+b) (a + b) − 3ab ] 2 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; [ ] Do vËy (a+b) (a + b) − 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 ≥ nªn P=(x2+5x)2-36 ≥ -36 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 Câu : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Phơng trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 1 − = x + x + 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,25 0,25 y+z x+z x+ y ; 0,5 ;b = ;c = 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z Thay vào ta đợc A= + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ 0,25 Câu : (3 đ) a) (1đ) Từ ®ã suy a= Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ = 120 − Mˆ V× Mˆ =600 nªn ta cã : Mˆ = 120 − Mˆ Suy Dˆ = Mˆ y A x E Chøng minh ∆ BMD ∾ ∆CEM (1) Suy D BD CM , tõ BD.CE=BM.CM = BM CE BC Vì BM=CM= , nên ta cã BD.CE= BC b) (1®) Tõ (1) suy 0,5 B 2 M C 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có = CM EM BD MD = BM EM Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ = D , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) Gv: Nguyễn Văn Tú 0,5 0,5 0,5 0,25 Trường THCS Thanh Mỹ wWw.VipLam.Info Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a ) ( x − 10 ) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x + ax + b chia heát cho đa thức B ( x ) = x − x + Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P= Câu 2đ 1 1 + + + +