Đang tải... (xem toàn văn)
của CD, N là trung điểm của BH. a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành; b) Tính góc BMK. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD [r]
(1)ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:
1 a b c d
a b c b c d c d a d a b
Câu 2: Cho a b, hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a b chia cho dư ?
Câu 3: Cho a b c 2p Chứng minh : 2
2bc b c a 4p pa
Câu 4: Cho số nguyên a a a1, 2, 3, ,an Đặt
3 3
1 n
Sa a a a P a1 a2 a3 an
Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho
Câu 5: a) Cho x, y > Chứng minh 1
x y xy 2
1
xy xy
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh 1 16 acbc Câu 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức: 22
2
x x
A x
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy
Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’
Câu 8: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’
Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác a) Chứng minh: ' ' '
AA' ' '
HA HB HC
BB CC
;
b) Chứng minh: ' ' '
HA' ' '
AA BB CC
HB HC
;
Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E
(2)- ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 2)
Câu 1: a) Chứng minh rằng: 30 21
21 39 chia hết cho 45
b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: 5n226.5n82n1 59
Câu 2: Cho biểu thức
5
2
2
2
x x x x x
M
x x
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M
Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên
3
2
2
x x x
A
x
Câu 4: Cho biểu thức
M xa x b x b x c x c xa x
Tính M theo a b c, , biết 1
2 2
x a b c
Câu 5: Giải phương trình: 2 2
2x x 2016 4 x 3x1000 4 2x x 2016 x 3x1000 Câu 6: Tìm giá trị biến x để:
a) P
x2 x
2
đạt giá trị lớn nhất b)
x x
Q
x x
2
1
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 7: Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB MF, AD a) Chứng minh DE = CF; DECF
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm
của CD, N trung điểm BH
a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK
Câu 9:Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F.Chứng minh
2
DEF ABC
S S Với vị trí hai điểm E F SDEFđạt giá
trị lớn nhất?
Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F
a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm
(3)ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 3) Câu 1: Cho biểu thức
2 2 2
2 3
1
:
1
3
x x x x x
R
x x x x
x x
a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức R xác định; b) Tìm giá trị x để giá trị R 0;
c) Tìm giá trị x để R 1 Câu 2: Chứng minh:
a) 10 11 12
2 2
A chia hết cho
b) B6n1n 5 3n5 2 n1 chia hết cho 2, với nZ
c)
5 15 10
C n n n chia hết cho 30, với nZ
d) Nếu 2
; ;
ax yz b y xz cz xy Daxby cz chia hết cho a b c e)
4 12
Ex x x x bình phương số nguyên, với xZ f) 2018 2018
1
F x x x x chia hết cho x1 g)
1
n n
Gx x chia hết cho
1
n n
x x , với nN Câu 3: a) Tìm GTLN A x 2 x 4
b) Tìm GTNN biểu thức 2
x B
x x
, với 0 x
Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E
a) Chứng minh DE // BC
b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC,
90
A Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BDCM, BD cắt CA
ở E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD BE CA CE. . BC2
c)
45
ADE
Câu 6: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng:
a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi;
b)
,
AKF CAF AF FK FC
;
(4)- Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh rằng:
2
BAC BDC
BKC ………… HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) Câu 1: Cho ba số a b c, , khác thỏa mãn đẳng thức: a b c a c b b c a
c b a
Tính giá trị biểu thức: P b c a
a b c
Câu 2: Cho a a a1, 2, 3, ,a2018 2018 số thực thoả mãn
2 2
2
k
k a
k k
, với k1, 2,3, , 2018 Tính S2018 a1 a2 a3 a2017a2018
Câu 3: a) Biết 7,
3
a b 2a b 7 Tính giá trị biểu thức 3 7
a b b a
P
a b
b) Biết b 3a 2
6a 15ab5b 0 Tính giá trị biểu thức
3
a b b a
Q
a b a b
Câu 4: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: 2 2
x y z t x y z t Dấu đẳng thức xảy nào?
b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: 4 3
x y xy x y
Câu 5: Rút gọn:
a)
90.10k 10k 10k ,
M kN ; b) 2 2 2 2
20 18 19 17
N
Câu 6: Tính giá trị biểu thức 15 14 13 12
2018 2018 2018 2018 2018 2018
Px x x x x x ,
vớix2017
Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr:
a) MA MB
ND NC; b)
MA MB
NC ND c) MAMB NC, ND
(5)Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O giao điểm AE DF ; OA = 4OE;
3
OD OF Chứng minh ABCD hình bình hành. ………… HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm x y, biết :
a) 2
2
x xy y
b) 2
2
x y x xy y 2
2 16
x y x xy y c) 2
2
1
4
x y
x y
Câu 2: Giải biện luận nghiệm phương trình
1
m x x m theo m Câu 3: Giải phương trình:
a)
2 10 72
x x x
b) Giải phương trình:
2 2
2
2
3 25 20
1 1
x x x
x x x
Câu 4: Giải phương trình:
a)
2 2 2
99 99 99 99 99 99
99 98 97 96 95 94
x x x x x x x x x x x x
b) 1
2017 2018 2019
x x x
Câu 5: a) So sánh hai số 32
3
A 16
3 3 3
B
b) 2019 2018 2019 2018
C
2
2
2019 2018 2019 2018
D
Câu 6: Cho x y, hai số khác nhau, biết 2
x y y x Tính giá trị biểu thức 2
2 3
Ax xyy x y
Câu 7: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: IA KB
ID KC
Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr:
a)Tổng AH AK
AB AC không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC
b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm bất kỳ tam giác ABC
Chứng minh rằng: a MA MB MC
Câu 10: Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr:
(6)- b) Điểm F nằm tia phân giác MCN
90
ACF ;
c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) ……… HẾT.…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) Câu 1: Cho a b c 0 Chứng minh rằng: a3 b3 a c b c abc2 0
Câu 2: Cho 2
10
x y z Tính giá trị biểu thức:
2 2 2 2
P xyyzzx x yz y xz z xy Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)
1
x x ; b)
1 x x c)
1
x x ; d)
1 x x
Câu 4: Chứng minh ba số , ,a b c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 1 1 2018 a b c ba số , ,a b cphải có số 2018
Câu 5: Giải phương trình sau: a)
2
2
2 2
b x
x a x a
b x x b
( Phương trình ẩn x ) b)
x20001x2001 x20011x2002 x20091x20101011 c)
2
2
2009 2009 2010 2010 19
49
2009 2009 2010 2010
x x x x
x x x x
Câu 6: a) Cmr : x1x2x3x4 1
b) Cho số dương a b thỏa mãn điều kiện a b 1 Cmr : 1 1
a b
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E
a) Chứng minh : AE = AB ;
b) Gọi M trung điểm BE Tính AHM
Câu 9:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC
a) Chứng minh: BD CE BC AH3;
(7)Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M đoạn CH lấy điểm N cho
90
AMC ANB Chứng minh rằng: AM = AN
……… HẾT …………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng:
a) Đa thức 95 94 93
M x x x x x chia hết cho đa thức 31 30 29
N x x x x x b) Đa thức
3
1985 1979
3
x x x
P x có giá trị nguyên với x số nguyên Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức 3
Ax y z kxyzchia hết cho đa thức x y z
b) Tìm đa thức bậc ba P x , biết chia P x cho x1, cho x2, cho x3 dư P 1 18
Câu 3: Cho biểu
2
2
1
:
2 1
x x x x
P
x x x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để
2 P
c) Tìm giá trị nhỏ nhất P x1
Câu 4: Rút gọn phân thức: a)
3 3
2 2
3
x y z xyz
A
x y y z z x
; b)
3 3
2 2 2
3 3
x y y z z x
B
x y y z z x
Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
ax y ay x xy a
Câu 6: Chứng minh rằng: a)
2 2
2 2
a b c c b a
b c a b a c b) x8x7x2 x
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK ; b)
AH BH CK
Câu 8: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC
(8)- Cmr : NI vng góc với BC
Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC
Cmr: HM vuông góc với PQ
……… HẾT………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 8) Câu 1: Chứng tỏ đa thức: 4 3 2
1 21 31
A x x x x không âm với giá trị biến x
Câu 2: a) Rút gọn phân thức:
40 30 20 10
45 40 35
1
x x x x
A
x x x x
b) Rút gọn phân thức:
x x x x
B
x x x x
24 20 16
26 24 22
Câu 3: Cho số a b c, , khác 0, thoả mãn a b c 1 1
a b c
Tính giá trị biểu thức 23 23 5 2019 2019
a b a b a b
Câu 4: Giải phương trình sau:
a) 1 2017 2016
2 2018 x 2016 2017
; b)
1 1 2017
3 6 10 x x1 2019 c) 59 57 55 53 51
41 43 45 47 49
x x x x x
; d) 1.2 2.3 3.4 98.99 2018 323400
x
e) 2 2 2 2 1
5 12 20 11 30
x x x x x x x x Câu 5: Cho x y z, , số dương thỏa mãn xyyzzx8xyz Chứng minh rằng: x y z
Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 2
2a b4ab a cac 4b c2bc 4abc
Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm bất kỳ thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE
Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP/ /AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC2 AB MI
Câu 9: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR:
a)
AE EK EG; b) 1
(9)c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị không đổi Câu 10: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho
AD = BE Gọi M điểm bất kì thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC)
Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị khơng đổi ……… HẾT .………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
a) a b c 2 a b c 24b2; b) 2 2 2
a b c b c a c a b c) 2 3 2 3 23
a b c a b c Câu 2: Thực phép tính:
a)
6
3 3 3
1 2.3
2 125 18 10
A
b)
3
3 2
x y xy xy B
x y x y xy x y
Câu 3: Cho a b c
b c c a a b Chứng minh rằng:
2 2
0
a b c
b c c a a b
Câu 4: Chứng minh 1 1
a b c a b c abc 2
1 1
2 a b c
Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số
b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26
c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120
Câu 6: Cmr: a) 2
4
a b c a b c b) a4 b4 4ab
Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a) Chứng minh: tam giác ADI cân
b) Chứng minh: AD BD BI DC
c) Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều ấy
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số Cmr: AE = DF; AE DF
Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S,
(10)- Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr:
2
APQ AMN
S S ………… HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 10) Câu 1: Tìm GTNN của:
a) 16 2007, 3
A x x
x
; b)
2
2
2 2018 , 2018
x x
B x
x
; c)
3
2000 , x
C x
x
Câu 2: a)Xác định nN để 11
4 13 n A
n
số tự nhiên; b) Chứng minh rằng:
6 19 24
Bn n n chia hết cho c) Tính tổng
1 1
2.5 5.8 S n
n n
Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2
2 15
x x x x ; b) 2
2 18 20
x x x x ; c)
3
x x x x ; d)
8 15
x x x x Câu 4: Tìm tất số tự nhiên k để đa thức
2 15
f k k k chia hết cho g k k Câu 5: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x y
a) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 2
3
M x y ;
b) Tìm giá trị lớn nhất biểu thức N xy
Câu 6: Cho x y z, , thỏa điều kiện x y z 0và xyyzzx0 Hãy tính giá trị biểu thức: 2017 2018 2019
1
S x y z
Câu 7: Hai đội bóng bàn hai trường A B thi đấu giao hữu Biết đấu thủ đội A phải gặp đối thủ đội B lần số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ hai đội Tính số đấu thủ đội
Câu 8: Cho góc xOy điểm M cố định thuộc miền góc Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự A,B Gọi S S1, theo thứ tự diện tích tam giác MOA, MOB
Cmr:
1
1
S S không đổi
Câu 9: Cho tam giác ABC Các điểm D,E,F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2 Các điểm I, K theo thứ tự chia cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2 Chứng minh: IK //BC
Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC
a) Chứng minh IK// AB
(11)……… HẾT………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 11) Câu 1: Cho
2 2
1 1
x y x y
P
x y y x y x x y
a) Tìm ĐKXĐ P, rút gọn P
b) Tìm x y, nguyên thỏa mãn phương trình P2 Câu 2: Xác định số hữu tỉ a bsao cho:
a)
4
x chia hết cho
x ax b ; b) ax4bx31 chia hết cho x12 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 2
4 8
x x x x x x ; b) 2
2 12
x xyy x y
Câu 4: Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức:A20n16n 3n chia hết cho 323
Câu 5: Chứng minh rằng: a) x34x 1 3x2 với
0
x ;
b) x1x3x4x 6 0; c) a24b24c2 4ab4ac8bc
Câu 6: Rút gọn biểu thức:
a) 1 22 3 4 5
x x x x
M
x x
b) 1 2 4 8 1616
1 1 1
N
x x x x x x
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia HC lấy điểm K cho AH = HK Vẽ KEBC E AC
a) Gọi M trung điểm BE Tính BHM
b) Gọi G giao điểm AM vói BC Chứng minh: GB AH BC HKHC Câu 8:Cho tam giác ABC,
90
A , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH I
Giả sử BH = AC Chứng minh: CI tia phân giac ACB Câu 9:
a) Cho tam giác ABC có
120 , ,
A AB cm AC cm Tính độ dài đường phân giác AD
b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1
(12)- Câu 10: Cho tam giác ABC có AB6cm AC, 8cm, đường trung tuyến BD CE vuông góc với Tính độ dài BC.
………… HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 12) Câu 1: Cho a + b + c = a2 b2 c2 1 Tính giá trị biểu thức M a4 b4 c4
Câu 2: a) Cho x, y số dương thoả mãn 2x3y7 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức Q
x y
b) Tìm GTLN 2
A x y xy x y
Câu 3:Chứng minh với số thực a, b khác ta có bất đẳng thức sau: a22 b22 a b
b a b a
Câu 4: Giải phương trình sau:
a) x3 3 x 13 56 b) x6 4 x84 16 c) x43x34x23x 1
Câu 5: Cho đa thức
2 13
P x x x x x
a) Phân tích P x thành nhân tử
b) Chứng minh P x với xZ Câu 6: Cho phân thức 43 2
3
x x
A
x x
a) Rút gọn A
b) Tính x để A1
Câu 7: Cho hình vng ABCD Trên tia BC lấy điểm M nằm đoạn BC tia CD lấy điểm N nằm đoạn CD cho BM = DN Đường vng góc với MA M đường vng góc với NA N cắt F Chứng minh:
a) AMFN hình vng; b) CF vng góc với CA
Câu 8: Cho hình vng ABCD có giao điểm đường chéo O Kẻ đường thẳng d bất kỳ qua O Chứng minh rằng: Tổng bình phương khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng d số không đổi
Câu 9: a) Chứng minh BĐT:
2
2
2
x y
x y
b) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm O tam giác vẽ
, ,
ODBC DBC OECA ECA OF AB FAB
Tìm vị trí điểm O để tổng 2
(13)Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có
90
AD , AB7cm DC, 13cm BC, 10cm Đường trung trực BC cắt đường thẳng AD N Gọi M trung điểm BC Tính MN
……… HẾT………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 13) Câu 1: a) Chứng minh:
2
2
2
a
b c ab ac bc
b) Chứng minh: 4
a b c abc a b c
c) Chứng minh:
2
1 1
513 n n 1 với nN n, 1 d) Chứng minh:
2
1 1
925 2n1 với nN n, 1 e) Cho a b dấu Chứng minh:
2
2
a b a b
b a b a
Câu 2: a) Cho x y 1, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 3
Ax y b) Tìm GTNN 2
5 4 2023
B x y xy x y Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
4x 4x 5x 2x1; b)
3x 11x 7x 2x1
Câu 4: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd, biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố
Câu 5: a) Cho 2 2 x y
x y , tính
2
2
2
x xy y
A
x xy y
b) Cho x y z
a b c, tính
2 2
2
x y z
B
ax by cz
Câu 6: Cho biểu thức:
2
3 2
3
:
3 27 3 27
x x x
P
x x x x x x x x
a) Rút gọn P;
b) Với x0 P khơng nhận giá trị nào? c)Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
Câu 7: Cho tam giác ABC vng A Dựng AD vng góc với BC D Đường phân giác BE cắt AD F Chứng minh: FD EA
FA EC
Câu 8: Cho tam giác ABC Kẻ phân giác ngồi góc B cắt AC I D ( theo thứ tự A, I, C, D ) Từ I D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB M N
a) Tính AB MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI E cắt BD F Chứng minh:
BI IC AI IE CECF
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh
(14)- b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh IHJ tam giác vuông cân
Câu 10: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm Đường trung trực AD cắt đường thẳng BC K Tính độ dài KD
……… HẾT………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 14)
Câu 1: Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n1 chữ số 1, c số gồm n chữ số nN* Cmr: a b 6c8 số phương
Câu 2: Cho 322 19
1 2
M N x
x x x x
Tính M N ? Câu 3: Cho ba số dương a b c, ,
a) Chứng minh rằng:a b c 1
a b c
;
b) Chứng minh rằng:
a b c
b c c a a b
c) Giải phương trình: a b x b c x c a x 4x
c a b a b c
Câu 4: Cho biểu thức: 2 : 38 2 23
5 12
x x x
Q
x x x x x x
a) Rút gọn Q;
b) Tìm giá trị x để Q0,Q1; c) Tìm giá trị x để Q0
Câu 5: Cho a b c 0, chứng minh: Pa3 b3 c3 3abc0
Câu 6: Tìm số nguyên dương n để n1 4n29 số phương
Câu 7: Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến, AD đường phân giác Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC 24cm2 Tính diện tích tam giác ADM
Câu 8: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB AC theo thứ tự E F
a)Chứng minh điểm D chuyển động cạnh BC tổng DE + DF có giá trị không đổi b)Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF K Chứng minh K trung điểm EF
Câu 9: Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng vng góc với CI I cắt AC, BC theo thứ tự M, N Cmr:
a) Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI b)
2
AM AI
BN BI
Câu 10: Cho tam giác ABC cân A có BC = 2a, M trung điểm BC Lấy điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho DMEB
(15)b) Cmr: DM tia phân giác góc BDE
c) Tính chu vi tam giác AED ABC tam giác
……… HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 15) Câu 1: Cho phân thức:
2
3
4
2
a a
A
a a a
a) Rút gọn A;
b) Tìm aZ để A có giá trị nguyên
Câu 2: Cho 2
2
1
:
x x a
x x
Tính
4
4
1
:
M x x
x x
theo a
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức sau :
a)
2
2
a b c d
a c b d
; b) ab bc ca 0 a b c 0
Câu 4: Một đoàn học sinh tổ chức tham quan ô tô Nếu tơ chở 22 học sinh cịn thừa học sinh Nếu bớt ô tô phân phối học sinh tơ cịn lại Biết tơ chở khơng q 32 người, hỏi ban đầu có tơ có tất học sinh tham quan?
Câu 5: a) Cho a b c, , ba số dương khác thỏa mãn: ab bc ca
a b b c c a ( Với giả thiết tỉ số có nghĩa ) Tính: M ab bc ca2 2 2
a b c
b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết:
2 2 2017
1
2.3 3.4 n n 6045
c) Tính: 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2017.2019 M
Câu 6: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm A D Gọi I, K theo thứ tự trung điểm MB MC Gọi E giao điểm DI AB, F giao điểm DK AC Cmr: EF //IK.
Câu 7: Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo Lấy điểm G, H thứ tự thuộc cạnh BC, CD cho
45
GOH Gọi M trung điểm AB Cmr:
a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB; b) MG //AH
Câu 8: Cho tam giác ABC hình bình hành AEDF có EAB F, AC D, BC Tính diện tích hình bình hành, biết 2
3 , 12
EBD FDC
S cm S cm
Câu 9:Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD, DC Gọi I, H theo thứ tự giao điểm AF với BE, BD Tính SEIHD
Câu 10: Cho hình thang ABCD AB/ /CD AB, CD Gọi O giao điểm AC với BD I giao điểm DA với CB Gọi M N trung điểm AB CD
a) Chứng minh: OA OB IA IB
OC OD IC ID
(16)- c) Giả sử 3ABCD diện tích hình thang ABCD S Hãy tính diện tích tứ
giác IAOB theo S.
……… HẾT………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 16)
Câu 1: Chứng minh
4
M n n n n n chia hết cho 16, với nZ
Câu 2: a) Cho a b 1 ab0 Chứng minh: 3 3 22 2 2
1
ab
a b
b a a b
b) Giải phương trình:
2
2
1
x x
x
Câu 3: Tìm số nguyên dương n để n1988n19871 số nguyên tố
Câu 4: Cho a b c, , ba cạnh tam giác
a)Chứng minh rằng: ab bc caa2b2c22ab bc ca
b)Chứng minh rằng: a b c 2 3ab bc ca thì tam giác tam giác
Câu 5: a) Tìm GTNN củaAx2y2 biết x y
b) Tìm GTNN Bx4 3 x2
c) Tìm GTNN Cx1x3x5x7 d) Tìm GTLN
2
2019 x D x
x
với x0
Câu 6: Cho biểu thức
3
24 12
a a a
E với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên
Câu 7: a)Cho , ,a b c số thực thỏa mãn điều kiện: abc2019 Chứng minh rằng: 2019
1
2019 2019 2019
a b c
ab a bc b ca c
b) Cho x y Chứng minh rằng: 2017 2017 2018 2018
x y x y
Câu 8: Cho hình vuông ABCD, tia đối tia CD lấy điểm E Đường thẳng qua A vng góc với
BE F, cắt DC G Gọi H, I, J, M, K giao điểm GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH
8.1.a) Chứng minh: ; EF EF
DG GF BC
CE
AD GF Từ suy DG CE 2CD EG3CD b) Tìm GTLN ABCD
AEG
S S
8.2.a) Chứng minh: BHA CEB DAE CDH b) Chứng minh: AEDH
c) Chứng minh: AI/ /DJ/ /GB
d) Chứng minh: AF B đồng dạng với ABH ; AFD đồng dạng với ADH Từ có nhận xét AFD ADH
8.3.a) Chứng minh:
(17)
8.4 Chứng minh: Khi E thay đổi tia đối tia CD BM
CJ khơng đổi 8.5 Qua này, em khai thác thêm nhiều tính chất thú vị
……… HẾT…………
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 17) Bài Cho 3y x Tính giá trị biểu thức
2
x x y
M
y x
Bài a) Chứng minh: 12 12 12 12
2
H
n
với nN n, 2 b) Chứng minh: 13 13 13 13
3 12
K
n
với nN n, 3 Bài Cho biểu thức
2 2
3
, *
1.2 2.3 3.4
n
P n N
n n
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P n99 Bài Cho đa thức
2017 2016 2017
Ex x x
a) Phân tích đa thức E thành nhân tử;
b) Tính giá trị E với x nghiệm phương trình:
1 x x
Bài So sánh A B, biết: A20172016201620162017 ; 2017 20172016
2017 2016
B
Bài Tìm giá trị nhỏ nhất 2
2
Q x x giá trị x tương ứng
Bài Cho ABC cân A với A góc nhọn; CD đường phân giác ACB DAB; qua D kẻ đường vng góc với CD, đường cắt đường thẳng CB E Chứng minh:
2 BD EC
Bài Cho tứ giácABCD Đường thẳng qua A song song vớiBC, cắt BD P đường thẳng qua B song song với AD cắt ACtại Q Chứng minh PQ//CD
Câu Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có
90
A , E giao điểm hai đường chéo, F hình chiếu E lên AB
a) Chứng minh ∆BFC ∆AFD
b) Gọi K giao điểm AC DF Chứng minh KE.FC = CE.FK.
Câu 10 Cho ba số x, y, z a) Chứng minh 2
x y z xyyzzx; b) Khi 673
3 x y z
(18)-
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 18) Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x319x30
b) Chứng minh: 9n2 12n3nN hai số nguyên tố c) Chứng minh: số có dạng n6n42n32n2 với
nN n1 khơng phải số phương
Câu a) Chứng minh rằng: A2n1 2 n1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số nguyên n để
13
Bn n số phương? Câu Giải phương trình sau:
a)
2 x x x b) x 1 2x 3 x 4
Câu Với a b c, , 0 Hãy chứng minh BĐT: a) ab bc 2b
c a ; b)
ab bc ca
a b c
c a b ; c)
3 3 3
2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
Câu a) Cho
4
x x Tính
4 2
1
x x
E
x
b) Cho
2
1 x
a
x x Tính
2
1 x F
x x
theo a
Câu Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P 1 xy, x, y số thực thoả mãn điều kiện:
2013 2013 1006 1006
2
x y x y
Câu Cho tam giác ABC có ABACBC chu vi 18cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC, biết độ dài số nguyên dương BC có độ dài số chẵn
Câu Cho tam giác ABC có AC = 3AB số đo góc A 600 Trên cạnh BC lấy điểm D
cho
30
ADB Trên đường thẳng vng góc với AD D lấy điểm E cho DE = DC (E A
cùng phía với BC) Chứng minh AE//BC
Câu 9.Cho tam giác ABC, M trung điểm AC đường thẳng AD, BM CE đồng qui K (KAM D; BC E; AB) Hai tam giác AKE BKE có diện tích 10 20 Tính diện tích tam giác ABC
Câu 10 Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC (Q khác B, C) Trên AQ lấy điểm P (P
khác A, Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB, AC M, N a) Chứng minh rằng: AM AN PQ
AB AC AQ b) Xác định vị trí điểm Q để
27
AM AN PQ
(19)-HẾT -
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 19) Câu a) Cho 2
2
a b Chứng minh rằng: a b 2
b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh:
4a a b a 1 a b 1 b 0 c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác
Chứng minh: abcb c a a c ba b c
Câu a) Cho a a1, 2, ,a2m,mN* thoả mãn a1a2 a2m
Tìm GTNN biểu thức A x a1 x a2 x a2m1 x a2m
b) Cho a a1, 2, ,a2m1,mN m, 2 thoả mãn a1a2 a2m1 Tìm GTNN biểu thức B x a1 x a2 x a2m2 x a2m1
Câu Rút gọn biểu thức:
4 4
4 4
1 21 4 11 23
P
Câu Giải phương trình:
2
2
1
4 7
x x
x x x x
Câu 5.Cho m, n số thực thay đổi cho m2n2 5 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:Q m n mn1
Câu 6.Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên
Câu 7. Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E F trung điểm AC BD Gọi G giao điểm đường thẳng qua E vng góc với AD với đường thẳng qua F vng góc với BC So sánh GA GB
Câu 8.Cho tam giác ABC cân A 0
90
A , có BH đường cao, BD phân giác góc
,
ABH H DAC Chứng minh rằng: BH
CD
Câu a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a b c
b c c a a b
b) Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A DBC Gọi ka khoảng cách từ D đến AB ( AC) Tương tự, gọi BE phân giác góc B EACvà
b
k khoảng cách từ E đến BA ( BC), gọi CF phân giác góc C FABvà kc
khoảng cách từ F đến CA ( CB) Gọi h h ha, b, c tương ứng chiều cao kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác cho Tìm giá trị bé nhất biểu thức a b c
a b c
k k k
h h h
Câu 10 Cho hình bình hành ABCD có A900 Dựng tam giác vuông cân tại A BAM DAN (B N thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh AC vng góc với MN
(20)-
ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 20)
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS
NĂM HỌC 2018-2019
Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 02 trang)
Họ và tên thí sinh:
………
Số báo danh: ………
Chữ ký thí sinh: ………
Câu 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức
2
2 10
:
4 2
x x
M x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị M , biết
2 x
c)Tìm giá trị x để M 0 d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức 3
3
Aa b c abc thành nhân tử Từ suy điều kiện a b c, , để
3 3
3
a b c abc
b) Cho 1
x y z Tính giá trị biểu thức sau: 2 yz zx xy B
x y z
c) Cho x y z, , ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 3
3
x y z xyz Tính
2019 2019 2019 2019
x y z
C
x y z
d) Giải phương trình sau: 3
2018 2019 4037
x x x
Câu 3.(4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất biểu thức 42
2
x K
x
b) Xác định hệ số hữu tỉ a bsao cho
f x x ax b chia hết cho
1
g x x x
Câu 4.(3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có
120
A Đường phân giác góc D qua trung điểm I cạnh AB
a) Chứng minh: AB2AD
b) Kẻ AH DC H( DC) Chứng minh: DI 2AH c) Chứng minh: ACAD
Câu 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, kẻ đường cao BD và CE Qua C kẻ đường thẳng vng góc với cạnh AC, đường thẳng cắt đường thẳng AB tại điểm F
a) Chứng minh:
.AF
(21)Câu 6.(2,0 điểm) Cho hình thang vng ABCD
(AD90 )và DC2AB, H hình chiếu D
trên AC M trung điểm đoạn HC Chứng minh: BM MD -HẾT -
Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ
Câu 1: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh
rằng:1 a b c d
a b c b c d c d a d a b
Vì a b c d, , , 0 ta có: a a a 1
a b c d a b c a c ; 2
b b b
a b c d b c d b d c c c 3
a b c d c d a c a ; 4
d d d
a b c d d a b db Lấy (1), (2), (3) (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta điều phải chứng minh
( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a b c d, , ,
Chứng minh rằng: a b c d
a b c b c d c d ad a b có giá trị khơng ngun ) Câu 2: a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho a5m3 (1)
b chia cho dư nên tồn số tự nhiên n cho b5n2 (2) Từ (1) (2) suy a b 5m3 5 n2 5 mn2m3n 1 Suy a b chia cho dư
Câu 3: Ta có : 2p a b c Do đó, 4p p a2p2p2a
2
2
a b c a b c a bc b c a
KL :…
Câu 4: Cho số nguyên a a a1, 2, 3, ,an Đặt
3 3
1 n
Sa a a a P a1 a2 a3 an
Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho HD: Xét hiệu: SP
Chứng minh:
1
a a a a a với số ngun a Sau sử dụng tính chât chia hết tổng suy đpcm
Câu 5: a) Cho x, y > Chứng minh 1
x y xy 2
1
xy xy HD: Dùng biến đổi tương đương
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh 1 16 acbc Theo câu a, ta có:
1 4 16
4 16
(22)-
d C' N'
G' M' A' B'
N G M
A
B C
Dấu “ =”
, , , , 1
1 4
1
a b c a b c
a b
a b c a b c
ac bc a b
c
c b a c c
Câu 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức: 22
x x
A x
HD: + Tìm GTLN:
Ta có:
2
2
2 2
2 1
2
2
2 2
x x x
x x
A
x x x
Dấu “ =” 2
1
x x
Suy GTLN(A) = x + Tìm GTNN:
Ta có:
2
2
2
2 2
2 2
2 1
2 2 2 2
x x x
x x x x
A
x x x x
Dấu “ =” 2
2
x x
Suy GTNN(A) =
2 x
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy
Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’
HD: C/m: AA 'CC'BB' DD' 2OO'
Câu 8:
Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vuông góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’
HD: Gọi M, N trung điểm AB GC Kẻ MM'd NN'd
Chỉ ra: ' 1AA ' ' 1
MM BB ; ' 1 ' ' 2
GG MM NN ;
' 1 ' ' 3
NN GG CC
y x
O' O
D' A'
C' B' C
A B
(23)H C' B'
A' A
B C
K A
B C
D E
Từ (1), (2) (3) biến đổi suy đpcm
Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác a) Chứng minh: ' ' '
AA' ' '
HA HB HC
BB CC
Ta có: ' ; ' ; '
AA ' ' '
HBC HAC HAB
ABC ABC ABC
S S S
HA HB HC
S BB S CC S
Suy ' ' '
AA' ' '
HBC HAC HAB ABC ABC ABC ABC ABC
S S S S
HA HB HC
BB CC S S S S
b)C/ m BĐT phụ : a b c 1
a b c
Dấu «= » a b c * Chú ý: Dấu «= » ABC
Câu 10:
HD: Để làm xuất tỉ số KE
KD ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC Theo hệ đl Talet, ta có: KE KC EC
KD KG DG Mà BD = EC (gt)
Do đó, KE BD 1 KD DG
Mặt khác, DB DG DB AB 2 BA AC DG AC Từ (1) (2) suy KE AB
KD AC ( không đổi) (đpcm)
(24)-
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: a) Chứng minh rằng: 30 21
21 39 chia hết cho 45.
HD: Đặt 30 21
21 39
M
Nhận xét 45 = 5.9 mà hai số nguyên tố (1) Vậy để c/m M 45 ta cần c/m M M
Thật vậy, 30 21 30 30 21 21
21 39 21 39
M (2)
(Vì 30 30
21 1 21 5 21 21
39 1 39 1 5) Mặt khác, 30
21 321 39 33921 Do đó, M 9(3) Từ (1), (2) (3) suy đpcm
* Chú ý: n n
a b a b
b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 2
5n 26.5n 8 n 59
Ta có: 2
5n 26.5n 8 n 51.5n8.64n 59.5n8 64n5n 59 ( Vì 64n5n 64 5 )
Suy đpcm
Câu 2: Cho biểu thức
5
2
2
2
x x x x x
M
x x
a) Rút gọn M
HD: ĐKXĐ:
2 x x x2x40 x x 4
Ta có: 4 2
2 2
x x x x x x x x x x
2
x x x
2
2
x x
2 1
x x x x
Suy
2
3 1
, 2;
4
x x x
M x x
x
b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M Đề M 0
3 1
(25)1
x x
( thỏa ĐKXĐ )
Vậy,
1
x M
x
Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên
3
2
2
x x x
A
x
HD: ĐKXĐ: 2 1
2 x x
Ta có:
2
3
2
2
2
1
2 2
x x x
x x x
A x
x x x
Để A có giá trị nguyên x nguyên 2x 1 U 4 4; 2; 1;1; 2; 4 Lập bảng:
2x +1 -4 -2 -1
2x -5 -3 -2
x
2
2
-1
2
3 Vậy, x 1; 0
Câu 4: Ta có:
M x ax bx ab x bx cx bc x ax cx ca
4x 2x a b c ab bc ca
Từ 1 2
2 2
x a b c x a b c Thay 2 vào 1 ta M ab bc ca
Câu 5: Giải phương trình: 2x2 x 2016 24 x23x100024 2 x2 x 2016x23x1000
Ta có: 2x2 x 2016 24 x23x100024 2 x2 x 2016x23x1000
2x2 x 201624 2 x2 x 2016x23x1000 4 x23x10002 0
2
2x x 2016 2x x 2016 2 x 3x 1000 2 x 3x 1000
2x x 2016 x 3x 1000
7x162 0 16
7 x
(26)-
1
H
J
F I
E
C
A B
D
M
a) P
x2 x
2
đạt giá trị lớn nhất HD: Ta có:
P
x2 x x
1 1
5
2 1 5 ( Vì >
2
1 5 x ) Dấu « = » 2
1
x x
Suy GTLN(P) =
5 x b) Q x x
x x
2
1
2
đạt giá trị nhỏ nhất HD: ĐKXĐ: x 1
Ta có:
x x
x x Q
x
x x x x
2
2 2
1 1
1 1 1
1
2 1 1
Đặt 1 t
x
Ta có:
Q t t t
2
2 3
1
2 4
Dấu « = » 1 1
2 2
t t x
x
Suy GTNN(Q) =
4 x
Câu 7: a) Chứng minh DE = CF; DECF
HD: C/m EBEM AF Suy AEDF Khi đó, AED DFC c g c Suy DECF
Ta lại có:
1
180 180 90
FJD F D AEDD
Suy DECF J
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy Tương tự, c/m ECBF
Ta có MAMC ( BD trục đối xứng hình vng ) MAEF ( AEMF hcn ) Do đó, MCEF Suy MFC FDE c c c( )
Suy FEDMCF
Ta lại có :
EF 90
FED C ( EFJ vuông J ) Vì
EF 90
MCF C
Gọi H giao điểm CM EF
90
EHC
(27)N
K M
H C
A B
D
I D
A
B C
E
F
2
1
O F E
A B
C
c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? C/m BĐT phụ:
2
2 x y xy
Dấu “ =” x y Áp dụng BĐT trên, ta có:
2
AF
.AF
2
AEMF ABCD
AE AB
S AE S
( không đổi ) Dấu “ =” AEAFMEMFMlà trung điểm BD
Suy GTLN ( SAEMF)
1 4SABCD
M trung điểm BD
Câu 8:
a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; HD: Ta c/m: MN/ /CK MNCK
b) Tính góc BMK
+ C/m N trực tâm tam giác BMC (?) + Suy NCMB mà MK/ /NC ?
KL: MK MB hay
90
BMK
Câu 9:Chứng minh
DEF ABC
S S
Với vị trí hai điểm E F SDEFđạt giá trị lớn nhất?
HD: ( Vẽ điểm phụ )
Gọi I điểm đối xứng E qua D
C/m được: BED CID c g c Suy SBED SCID
Ta lại có: SDEF SDFI SDICF
Suy SDEFSDFCSCID SDFCSDBE 1 Ta lại có : SDEF SAFDE 2
Cộng (1) (2) vế theo vế, ta : 2SDEF SDFCSBED SAEDF SABC
Do đó,
DEF ABC
S S (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy EF trùng với AC AB Khi đó, EF
2
D ABC
GTLN S S
(28)-
a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân;
Vì AE // BC (gt) nên theo đl Ta-let ta có: OE OA 1 OB OC Vì BF // AD (gt) nên theo đl Ta-let ta có: OB OF 2
OD OA Từ (1) (2) suy OE OB OA OF
OB OD OC OA hay
OE OF
ODOC
Theo đl Ta – let đảo suy EF // DC Do đó, DEFC hình thang (3) Ta c/m ABC ABD c c c
Suy C1 D1 mà BCD ADC ? nên C2 D2 4
Từ (3) (4) suy EFCD hình thang cân b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm
Vì AB // CD EF // CD nên AB // EF Theo đl Ta-let ta có: EF OE AB OB mà
OE OA
OB OC (cmt) Suy EF OA 5
AB OC
Vì AB // CD nên theo đl Ta-let ta có AB OA 6 CDOC Từ (5) (6) suy EF AB
AB CD Suy
2
5
EF 2,5
10 AB
cm CD
(29)HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: Cho biểu thức
2 2 2
2 3
1
:
1
3
x x x x x
R
x x x x
x x
a) ĐKXĐ: x0;x 1;x1 b) Rút gọn:
2
1 , x R
x
x0;x 1;x1 Để
2
1
0
1 x R
x
x c)Ta có: 1
1
R R
R
+ Với R1, ta có:
2
1 1 x
x
, x0;x 1;x1 Giải pt 1
1 x
x
2
1 1
1
x
x x x x
x
( không thỏa ĐKXĐ )
+ Với R 1, ta có:
2
1 1 x
x
, x0;x 1;x1 Giải pt
2
1 1 x
x
2
2
1 0
2
x x x x x
( vô lý ) Vậy giá trị x để R 1
Câu 2: Chứng minh: a) 10 11 12
2 2
A chia hết cho Ta có: 10 11 12 10 10 10 10 2 10
2 2 2 2 2 2 7 A Vậy, 10 11 12
2 2
A chia hết cho
b) B6n1n 5 3n5 2 n1 chia hết cho 2, với nZ Ta có:B6n1n 5 3n5 2 n 1 24n102 12 n5 2 Vậy, B6n1n 5 3n5 2 n1 chia hết cho 2, với nZ
c) C5n315n210n chia hết cho 30, với nZ
Ta có:
5 15 10
C n n n n n n
Vì 5 n n 1n2 6 mà 5, 1 nên 5n n 1n2 30 Vậy,
5 15 10
C n n n chia hết cho 30, với nZ
d) Nếu 2
; ;
(30)-
Ta có:
x
Da bycz x yz x y xz y z xy z
3 2
x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx Vậy, Daxby cz chia hết cho a b c
e)
4 12
Ex x x x bình phương số nguyên, với xZ Ta có: Ex44x32x212x9 2
4 12
x x x x x
2 2
2 3
x x x x x x x x
Vậy, 4 3 2
4 12
Ex x x x x x bình phương số nguyên, với xZ
f) 2018 2018
1
F x x x x chia hết cho x1 Ta có : 2018 2018
1
F x x x x x Q x r Xét x1 2018 2018
1 1 1
r
Vậy, 2018 2018
1
F x x x x chia hết cho x1 g)
1
n n
Gx x chia hết cho
1
n n
x x , với nN
Ta có: Gx8nx4n 1 x8n2x4n 1 x4n x4n1 2 x2n x4nx2n 1x4nx2n1(1) Mặt khác, 4 2 2 2
1 1 1
n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x
Từ (1) (2) suy
1 1
n n n n n n n n
Gx x x x x x x x Vậy,
1
n n
Gx x chia hết cho
1
n n
x x , với nN Câu 3:
a) Tìm GTLN A x 2 x 4
Ta có: A x 2 x 42 x 4 x42
Đặt t x 0, đó: A 2t t2 t 12 1 Dấu “=”
5
x
t x
x
Suy
x GTLN A
x
b)Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 2
x B
x x
, với 0 x Ta có: 9 2 2
2 2
x x x x x
B
x x x x x x
Dấu “ =”
2
x x
x
x x
(31)D E
M A
B C
H D
E
A
B C
M
Chú ý: BĐT AM-GM cho số a b, không âm, ta có: a b
ab
Dấu “=” a b * Cách biến đổi B : Ta viết
2
x x x
B m n p
x x x x
Biến đổi đồng nhất thức hai vế, suy m1,n1,p1 Câu 4:
a) Chứng minh DE // BC
Theo t/c tia phân giác tam giác, ta có: DB MB 1
DA MA 2
EC MC
EA MA Mà MBMC gt 3
Từ (1), (2) (3) suy DB EC
DA EA Theo đl Ta-let đảo suy DE/ /BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE
Vì DE/ /BC (cmt) nên DI/ /BMvà IE/ /MC Do đó, DI AI 4
BM AM 5
EI AI
MC AM Từ (3), (4) (5) suy ID = IE (đpcm)
Câu 5:
a) EB.ED = EA.EC;
C/m: EAB đồng dạng EDC (g.g) Suy EA EB EA EC EB ED
ED EC (đpcm) b) BD BE CA CE BC2
Chỉ M trực tâm tam giác EBC nên EM BC H C/m: EHB đồng dạng CDB (g.g) nên BE BH
BC BD BE BD BH BC 1
Tương tự, C/m: EHC đồng dạng BAC (g.g) nên EC HC CE CA HC BC 2
BC AC
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:
BD BECA CE BHHC BCBC
c)
45
(32)-
x
G
K I
F C
A B
D
E
M
1
2
1
N K
E A
B C
D
Theo câu a, ta có: EA EC EB ED EA ED
EB EC
Từ c/m EAD đồng dạng EBC (c.g.c)
Suy
45
EDAECBACB ( Vì tam giác ABC vng cân A)
Câu 6:
a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; C/m: BAE DAFcgvgnk
Suy AEAF
Xét tam giác AEF cân A có AI đường trung tuyến nên đường cao Do đó, GKEF I (1)
Ta lại c/m IEG IKF g c g Do đó, GEFKmà GE // FK (gt) Suy EKFG hình bình hành (2)
Từ (1) (2) suy EKFG hình thoi
b)
,
AKF CAF AF FK FC
Ta có:
45
KAF ACF F chung Do đó, AKF đồng dạng CAF (g.g) Suy AF
AF
AF KF
KF CF
CF
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC khơng đổi Vì EKFG hình thoi nên KEKF KDDF KDBE
Chu vi tam giác EKC : KCECEK KC CE BEKD
= KCKD BEECCDBC2BC ( không đổi ) KL :
Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh rằng:
2
BAC BDC
BKC Gọi M, N giao điểm AB CK, CD BK
Sử dụng tính chất góc ngồi tam giác, ta có : KB1 A C1 M1 1
(33)Từ (1) (2) suy 2K A D B2C1 B1 C2 A D
( Vì theo gt B1B C2, 1C2) Do đó,
2
A D
K Vậy,
2
BAC BDC
BKC
………HẾT………… HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: Từ giả thiết, suy a b c a c b b c a
c b a
a b c a b c a b c
c a b
Xét hai trường hợp :
+ Nếu
c a b
a b b c c a
a b c P
a b c a b c
+ Nếu a b c 0 a b c P 2.2.28 KL :
Câu 2: Ta có :
2
2 2 2
2
1
2 1
1
k
k k
k a
k
k k k
k k
Do đó, S2018 a1 a2 a3 a2017a2018
2
2 2 2 2
1 1 1 2019
1 2 2018 2019 2019
Câu 3: a) Biết 7,
3
a b 2a b 7 Tính giá trị biểu thức 3 7
a b b a
P
a b
Ta có: 2 2 7 1
3 7 7 7
a b a b a b
a b b a a b
P
a b a b a b
Vậy, P0 7,
3
a b 2a b 7
b) Biết b 3a 6a215ab5b2 0 Tính giá trị biểu thức
3
a b b a
Q
a b a b
Ta có:
2
2
2 15
3 3 3
a b a b b a a b
a b b a a b ab
Q
a b a b a b a b a b a b
2 2 2 2
2
9 15 9
1
3
a b a b ab a b
a b a b a b
Vậy, Q1 b 3a 6a215ab5b2 0 Câu 4: a) Ta có: 2 2
x y z t x y z t
2 2
4x 4y 4z 4t 4xy 4xz 4xt
2 2 2
4 4 4
x xy y x xz z x xt t x
2 2 2
2 2
x y x z x t x
(34)-
M
N O
B K
D C
A
b) Ta có: 4 3 3 3
0
x y xy x yx xy y yx
3
0
x y x y
2
0
x y x y x xy y
2
2
0
2
x y x y y
(đúng)
Dấu “=” x y Câu 5: Rút gọn:
a)
90.10k 10k 10k ,
M kN ; 90.10k100.10k10.10k 0 b) 2 2 2 2
20 18 19 17
N
2 2 2
20 19 18 17
20 19 20 19 18 17 18 17 2 1 20 19 18 17 210
Câu 6: Tính giá trị biểu thức 15 14 13 12
2018 2018 2018 2018 2018 2018
Px x x x x x ,
vớix2017
Thay 2018 x vào P ta được:
15 14 13 12
1 1 1
Px x x x x x x x x x x x
15 15 14 14 13
1
x x x x x x x x
Vậy, P 1 x2017
Câu 7:
a) MA MB ND NC
Áp dụng đl Ta-let vào tam giác KND, KNC với AB // CD, ta có: MA KM, MB KM ND KN NC KN Suy MA MB 1
ND NC b) MA MB
NC ND
Áp dụng đl Ta-let vào tam giác ONC, OND với AB // CD, ta có: MA OM , MB OM NC ON ND ON Suy MA MB 2
(35)K
I F
A B
D C
E
D G E K
M A
B I C
I
K
O F
E C
A B
D
Nhân vế (1) với (2) ta được: 2
MA MB
ND NC NC ND Suy 2
MA MB hay MAMB Từ suy NCND Câu 8:
HD: Kẻ AK // BC, cắt EF I Lần lượt tính EI = 30, EF = 58
Câu 9:
Chứng minh DE =BK Kẻ MG // IE, ta có: BK BA 1
KI AC 2
DE MG MG BA
AE AG GC AC ( AGGC) Từ (1) (2) suy BK DE
KI AE mà KI AE suy DEBK(đpcm)
Câu 10:
Kẻ EI // DA, lấy K trung điểm CF Đặt OD = 2a, OF = 3a Tính OI = 0,5a, IF = 2,5a, EK = 2,5a Từ c/m EIKF hình bình hành nên FK // IE // AD Suy BC // AD Ta lại c/m BC = AD ( = 4EI )
Suy ABCD hình bình hành (đpcm)
(36)-
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: Tìm x y, biết :
a) 2
2
x xy y
x1 2 y22 0 x y 2
b) 2
2
x y x xy y 2
2 16
x y x xy y Ta có: 2 3
2
x y x xy y x y 2 3
2 16 16
x y x xy y x y Từ (1) (2) suy
2x 16 x Thay x2 vào (1) suy y 1 Vậy, x2 y 1
c) 2
2
1
4
x y
x y
( ĐK: x0,y0)
2
1
0
x y
x y
x x
y y x y 1
Vậy, x1,y1 x1,y 1 x 1,y1 x 1,y 1
Câu 2: Giải biện luận nghiệm phương trình m x2 1 x m theo
m
Ta có: 2
1 1 1 1
m x x m m x x m m x m m m x m (*) + Nếu m1 pt (*) trở thành 0x 0 x R
+ Nếu m 1 pt (*) trở thành 0x 2 x
+ Nếu m 1 pt (*) có nghiệm nhất 1 x
m
KL: + Nếu m1 pt (*) có vơ số nghiệm
+ Nếu m 1 pt (*) vơ nghiệm
+ Nếu m 1 pt (*) có nghiệm nhất 1 x
m
(37)a)
2 10 72
x x x
4 10 72
x x
7 72
x x
7 x
2
7
4 x x x x x Vậy, S 4; 4
b) Giải phương trình:
2 2
2
2
3 25 20
1 1
x x x
x x x
Điều kiện x 1 Dễ thấy hệ 2 x x x x
vô nghiệm nên x 2
Đặt 2: ( 2)( 1) 1 ( 2)( 1)
x x x x
y
x x x x
Chia vế phương trình cho cho
2 x x
ta được:
2
5
3 20 25 5
3 y y y y
*) Với y = 5, ta có:
4 ( 2)( 1)
5 1
( 2)( 1)
2
x
x x
x x
x x x
*) Với
y ,ta có:
2 34
( 2)( 1)
12
( 2)( 1) 6 34
x
x x
x x
x x x
Các nghiệm thỏa điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm:
4, , 34, 34
x x x x
Câu 4: a)
2 2 2
99 99 99 99 99 99
99 98 97 96 95 94
x x x x x x x x x x x x
2 2
2 2
99 99 99
1 1
99 98 97
99 99 99
1 1
96 95 94
x x x x x x
x x x x x x
2 2 2
99 100 99 100 99 100 99 100 99 100 99 100
99 98 97 96 95 94
x x x x x x x x x x x x
1 1 1
99 100
99 98 97 96 95 94
x x
(38)-
F E I K
M N A
B
C D
2
99 100
x x
( Vì 1 1 1 999897969594 ) 1 100
100
x
x x
x
b) Ta có: 1 1 1
2017 2018 2019 2017 2018 2019
x x x x x x
2019 2019 2019 1
2019
2017 2018 2019 2017 2018 2019
x x x
x
2019 x
( Vì 1
201720182019 ) 2019
x
Câu 5: a) Ta có: 16
3 3 3
B
B 1 3 3 21 3 41 3 81 3 161 B.2321 3 21 3 41 3 81 3 16 1
16
.2 3 3 B
16
.2 3 B
B.23161 3 16 1 32
.2
B A
Vậy, A2.B
b) C/m BĐT phụ:
2 2
2 2
x y x y x y
x y x y x y
với x y Xem x2019 y2018 suy CD
Câu 6: Cho x y, hai số khác nhau, biết 2
x y y x Tính giá trị biểu thức 2
2 3
Ax xyy x y
Ta có : 2
x y y x xyx y 1 Vì x y nên x y x y
Khi đó, 2 2 2 2
2 3 3
Ax xyy x y xy xy Vậy, A4 2
x y y x x y Câu 7:
Gọi N, M trung điểm AB, CD Vẽ AE, BF // DC Ta có : IA AE BF KB
(39)H
K A
B M C
K I H
A
B C
M
K H
O
F
C
A B
D
M N
Câu 8: a) Ta có : AH AK CM BM BC AB AC CB BC BC
khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC
b) + Nếu M thuộc tia đối tia CB AK AH AC AB + Nếu M thuộc tia đối tia BC AH AK
AB AC ( Chú ý : Vẽ hình theo trường hợp giải )
Câu 9: Kẻ MH AB MK; BC MI; AC Ta có : MA MB MCMHMKMI(1) Ta lại có : MAB MBC MAC
MAB MBC MAC
S S
S
MH MK MI S S S
AB BC AC a
2
2 3
4
ABC
a a
S
a a
(2)
Từ (1) (2) suy a
MA MB MC (đpcm) Câu 10: a)Tứ giác ANFM hình vng
Xét DAN BAM có AD = AB (gt),
90
ADN ABM , BM = DN (gt) Suy DAN =BAM (c.g.c)
Khi đó, AM AN NADMAB
Ta có:
90
NAM NADDAM MABDAM DAB
Tứ giác ANFM có MF // AN, AM // NF
90
NAM
nên tứ giác ANFM hình chữ nhật Mặt khác, AN = AM
Suy ANFM hình vng
b) Điểm F nằm tia phân giác MCN
90
ACF
Kẻ FH CN FK BM
Suy tứ giác CHFK hình chữ nhật, FH FK
Suy NFH MFK ( cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) Xét HFN KFM có : NFH MFK(cmt), NF = MF ( ?)
90
NHF MKF
Do đó, HFN= KFM (ch-gn) Suy FH = FK
Vậy, CF tia phân giác MCN, nghĩa F thuộc tia phân giác MCN
Do tứ giác ABCD hình vng nên CA phân giác NCB Suy
90
ACF ( hai tia phân giác hai góc kề bù )
c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) Hình vng ANFM có hai đường chéo AF MN cắt O nên O trung điểm AF trung điểm MN
Xét CMNcó
90 ,
2 MN
(40)- Do O nằm đường trung trực AC, suy O thuộc BD đường trung trực AC, nghĩa ba điểm O, B, D thẳng hàng
Ta có: BDAC( t/c đường chéo hình vng )
CFAC (cmt ) Khi đó, OB // CF
Vậy tứ giác BOFC hình thang
……… HẾT.………… HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ
Câu 1: Ta có: 3 2 3 2
a b a c b c abc a b a c b c abc
a b a 2ab b 2 c a2ab b 2 a2ab b 2a b c 0 ( Vì a b c 0 ) Câu 2: Ta có: Pxyyzzx2x2yz 2 y2xz 2 z2xy2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z x z xy z x yz xyz x y z x yz y x z xy z z x y xyz
2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 102 100
x x y y y z x z z x y x y z z x y z
( Vì 2
10
x y z ) Vậy, P100 2
10
x y z
Câu 3: a) Ta có: 5 2 2
1 1
x x x x x x x x x x 2
1 1 1
x x x x x x x x x x
b) Ta có: 5 3 3
1 1 1
x x x x x x x x x x x x
1
x x x x
c) Ta có: 8 2 2
1 1
x x x x x x x x x x 2
1 1
x x x x x x x
1
x x x x x x
d) Ta có: 2
1
x x x x x x x x
2
1 1 1 1
x x x x x x x x x x x x
1
x x x x x x
Câu 4: Từ a b c 2018 1 1
2018
a b c suy
1 1
a b c a b c
1 1
0 a b a b
a b c a b c ab c a b c
a b c a b c ab 0 a b b c c a0
0 0 a b b c c a
(41)Câu 5: Giải phương trình sau: a)
2
2
2 2
b x
x a x a
b x x b
( Phương trình ẩn x ) ( ĐK: x b )
2
2
2 2
1 a x x b a
x b x b
2 2
2
1
1 a x x b a
x b
2
1 a x a
( Vì 2
0 x b )
+ Nếu a1, phương trình có vơ số nghiệm xR x, b + Nếu a 1, phương trình vơ nghiệm ,S
+ Nếu a 1, phương trình có nghiệm nhất, 1 S
a
b)
x20001x2001 x20011x2002 x20091x20101011 ĐKXĐ: x 2000; 2001; ; 2010
Ta có:
x20001x2001 x20011x2002 x20091x20101011
1 1 1 10
2000 2001 2001 2002 2009 2010 11
x x x x x x
1 10 2000 2010 11
x x
x 200010x 2010 1011
x2000x201011
x 2011x 1999x 2011.1999
x2011x19990 2011
1999
x x
( Thỏa ĐKXĐ ) Vậy, S 2011; 1999
c)
2
2
2009 2009 2010 2010 19
49
2009 2009 2010 2010
x x x x
x x x x
( ĐKXĐ: x2009,x2010) Đặt a x 2010 a0, ta có pt viết theo ẩn a là:
2 2 2
2 2
1 19 19
49 3 49
1
a a a a a a
a a
a a a a
49a249a4957a257a19
2
3
8 30
5 a
a a a a a
a
(42)-
D K
M A
B C
M
F E
D H
B
A
C
+ Với
a , ta có: 2010 4023
2
x x + Với
2
a , ta có: 2010 4015
2
x x Vậy, 4015 4023;
2
S
Câu 6: a) Xét hiệu : Ax1x2x3x4 1 =
5
x x x x
Đặt
5
x x y Khi đó,
1 1
A y y y Vậy, x1x2x3x4 1
Dấu « = »
0 5
y x x
( giải tiếp tìm x )
c) Ta có: 1 1 a b a b b a a b 2.2 a b
a b a b a b b a b a
( Vì số dương a b thỏa mãn điều kiện a b 1) Vây, 1 1
a b
Dấu « = »
1 a b
Câu 7:
Kẻ CK // AD ( hình vẽ) Ta có : BA BD AK DC Ta lại có : BA AC2AM(gt)
Suy AK AM Từ c/m CAK BAM c g c nên ABM ACK
Suy
90
ABMBAD ACK K Vậy, ADBM
Câu 8: a) Chứng minh : AE = AB
Kẻ EFAH, suy tứ giác HDEF hình chữ nhật EFHD mà AH HD(gt)EF AH
Xét HBA FAE có
90
H F , EF AH (cmt) FEAHAB ( phụ với FAE )
Do đó, HBA = FAE(g.c.g) Suy AE AB
b) Gọi M trung điểm BE Tính AHM Do tam giác ABE vuông cân A nên
2 BE
AM
Lại có tam giác BDE vng D, có DM đường trung tuyến nên
(43)E D
H B
A
C
M N H
D I
A
B C
Xét AHM DHM có HM cạnh chung, AM MD (cmt), AH HD (gt) Do đó, AHM =DHM (c.c.c)
Suy
0
90 45
2
AHD
MHAMHD
Câu 9: a) Chứng minh:
BD CE BCAH : C/m HAB đồng dạng HCA (g.g)
Suy
AH HB
AH HB HC
HC AH
C/m BHD đồng dạng BHA (g.g)
Suy
BD HB
BH BD AB
BH AB
C/m CEH đồng dạng CHA (g.g)
Suy
CE CH
CH CE CA
CH CA
Mặt khác, tam giác ABC vng A, có AH đường cao, ta có: AH BC AB AC 2SABC
Từ điều kiện trên, ta có:
AH HB HC
4 2
AH BH HC BD AB CE AC BD CE AB AC BD CE BC AH
3
AH BD CE BC
(đpcm)
b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân
Gọi M trung điểm BC suy
2 BC
AM
Tứ giác ADHE hình chữ nhật (
90
A D E ) nên SADHE 2SADH mà SABC 2SADHE (gt) Do đó, 1 1
4
ADH ABC ADH
ABC
S
S S
S
Ta lại c/m DAH đồng dạng ABC (g.g)
2
1
ADH ABC
S AH AM
S BC BC
Từ (1) (2) suy AH AM HM ABCvuông cân A
Vậy, SABC 2SADHE tam giác ABC vuông cân A
Câu 10: Gọi BD CI hai đường cao tam giác ABC
+ C/m: AIN đồng dạng ANB g g , suy ra:
AN AI AB
+ C/m: ADM đồng dạng AMC g g , suy ra:
AM AD AC
Mặt khác, IAC đồng dạng DAB (g.g) Suy AI AD
AC AB hay AI AB AD AC 3 Từ (1), (2) (3) suy 2
AM AN AM AN (đpcm)
(44)
-
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: a) Ta có: 95 94 93
M x x x x x
64 31 30 32 31 30 31 30
x x x x x x x x x x x x x x
31 30 64 32
1
x x x x x x
31 30
x x x x Vậy, M N (đpcm)
b)Ta có:
3
1985 1979
3
x x x
P x
1 1
661 989
6
x x x x x x
x x x
Với xZ
661x 989x x Z , 2
1
x x x x x số nguyên chia hết cho Từ suy P x có giá trị nguyên với x số nguyên
Câu 2: a) Gọi thương phép chia 3
Ax y z kxyz cho đa thức x y z Q, ta có :
3 3
x y z kxyz= x y z Q
Đẳng thức với x y z, , nên với x1,y1,z 2 ta có:
3
3
1 1 k 2 1 Q 6 2k 0 k Vậy, 3
Ax y z kxyz chia hết cho đa thức x y zthì k 3
b) Từ đề suy P x 6 chia hết cho x1, cho x2, cho x3 Do đó, P x 6 chia hết cho x1x2x3
Đặt P x 6 m x. 1x2x3 với m Q ( P x có bậc ba ) Suy P x 6 m x. 1x2x3 với m Q
Theo giả thiết P 1 18, 18 2 3 4 m m Vậy, P x 6 x1x2x3
Câu 3: a) ĐKXĐ: x0;x1;x 1 Ta có:
2
1 1
:
1 1
1
x x x x x x
P
x x x x x x
x
2
2
1
:
1
x x x x x
x x x
2
1
:
1
x x x
x x x
2
1
1
1
x x x x x
x x
x
(45)Vậy, x P x
với x0;x1;x 1 b) Để
2
P với x0;x1;x 1 suy
2 1 x x
với x0;x1;x 1
1
2 1
1
x
x x x x
x
Vìx0;x1;x 1 nên chọn x
Vậy, 1
2
P x
c) Ta có:
2 1 1 1
1 1
1
1 1 1
x x
x x
P x x
x x x x x
Với x1 nên x 1 1
x Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x1
1
x ta có :
2 2
1
P x
x
Dấu « = » 1
1 x
x
với x1 x 2( thỏa ĐKXĐ) Vậy, GTNN P 4 x
Câu 4: * Nhớ : 3 3 3 1 2 2 2
3
a b c abc a b c a b b c c a Do đó, a b c 0 a b c 3
3
a b c abc a)
2 2
3 3
2 2 2
1
3 2
2
x y z x y y z z x
x y z xyz
A x y z
x y y z z x x y y z z x
b)
3 3
2 2 2
3 3
x y y z z x
B
x y y z z x
Ta có : 2 2 2
0 x y y z z x
Do đó, 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2
3
x y y z z x x y y z z x Ta lại có: xy y z z x0
Do đó, 3 3 3
3
xy yz z x xy yz zx
Từ (1) (2) suy
2 2 2
3
x y y z z x
B x y y z z x
x y y z z x
Câu 5: Ta có:
ax y ay x xy a
a x y a x x y x x y a
a x y a x x x y x x y a
(46)-
K H
F
D
A
B
C
3 3
a x y x a x x y
2 2
ax
x a x y x xy y x a x a x y
2 2
ax
x a x y x xy y x a
xyxay2axa2xy
xyx a x ya yaya xyxayax y a
Câu 6: a)
2 2
2 2
a b c c b a
b c a b a c Áp dụng BĐT 2
2
x y xy Dấu “=” x y
Ta có:
2
2
2 2
a b a b a b a
b c b c b c c
Tương tự, b22 c22 2.b 2
c a a
2
2 2
c a c
a b b
Lấy (1), (2) (3) cộng vế theo vế ta đpcm Dấu “=” a b c
b) Đặt Ax8x7x2 x x1x7x 1 x2 x1x7 1 x2 + Nếu x1
1
x , x1x7 1 0, cịn
0
x nên A0 + Nếu x1
1
x , x1x7 1 0,
0
x nên A0 Vậy,
1
Ax x x x với x Câu 7:
a) Cmr: AH =AK
Ta có: BD // CA AH AC
HB BD
mà BDAB nên AH AC AH AC HB AB AHHB ACAB
1
AH AC AC AB
AH
AB AC AB AC AB
Cũng từ CE // AB CE = AB, tương tự trên, ta tính AK AB AC 2
AB AC
Từ (1) (2) suy AH AK
b)
AH BH CK Ta có: AH AC
HB AB
CK AC
AK AB
2
AH CK
AH AK BH CK AH BH CK
BH AK
(47)I
E A
B C
H
F
D
G F E N
K H
D M A
B C
I
M
N
K P
H A
B C
Q
Câu 8:
Gọi K giao điểm AC FI, M giao điểm AB EH Ta có: FI MH 1
FK ME ; 2
DC DE
FK FE ;
BD FD BD ME FD FE MH DE 3
ME FE ME FE ME FE
Từ (1), (2) (3) suy FI DC
FK FK nên FI DC (đpcm)
Câu 9: Qua N kẻ EF // BC, c/m NE = NF (?)(1) Kẻ EG // HK, c/m KG = KF (?) (2)
C/m AH = AK, AE = AG ( Vì AHI AKI (ch-gn), AHKcân có EG//HG nên AEG cân) EH = GK (3)
Từ (2) (3) suy EH = KF, IHE IKF (c.g.c)IEIF(4)
Từ (1) (4) suy IEF cân I, có IN đường trung tuyến nên IN EF Do đó, IN BC
Câu 10: Qua C kẻ đường thẳng song song với PQ, cắt AB N, cắt AH K
Do HP = HQ nên KN = KC (?) Từ đó, KM đường trung bình CBN
Suy KM // NB KM CH
Khi đó, M trực tâm CHK nên HM NC
Suy HM PQ
(48)-
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: Chứng tỏ đa thức: 4 3 2
1 21 31
A x x x x không âm với giá trị biến x
Đặt
1
x y, ta có:
9 21 30
A y y y y y y y y
Khi đó, 2
3
Ax x x x với giá trị x (Đpcm ) Câu 2: a)
40 30 20 10 40 30 20 10
45 40 35 5 40 30 20 10 40 30 20 10
1
1 1
x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x x x x x
40 30 20 10
5
40 30 20 10
1
1
1
x x x x
x
x x x x x
b)
x x x x x x x x
B
x x x x x x x x x x x
24 20 16 24 20 16
26 24 22 24 20 2
1 1
x x x x
x
x x x x x
24 20 16
2
2 24 20 16
1
1
1
Câu 3: Từ a b c 1 1 1 1
a b c a b c a b c
0
0
0 a b
a b b c c a b c
c a
( Xem lại cách giải đề ) Đặt 23 23 5 2019 2019
P a b a b a b
+ Nếu a b 0 23 23 23 23
0
a b a b a b Vậy, P0 + Nếu b c 0 5 5
0
b c b c b c Vậy, P0 + Nếu c a 0 2019 2019 2019 2019
0
c a c a c a Vậy, P0 Kết luận: Với điều kiện cho P0
Câu 4: Giải phương trình sau:
a) 1 2017 2016
2 2018 x 2016 2017
1 2016 1 1
2 2018 x 2016 2017
1 2018 2018 2018 2018
2 2018 x 2017 2018
1 2018 1
2 2018 x 2018
(49)b)
1 1 2017
3 6 10 x x1 2019
2 2 2017
2.3 3.4 4.5 x x 2019
1 1 1 2017 x x 2019
1 2017 x 2019
1 2017 2.2019 x
1
1 2019 x
x 2018
c) 59 57 55 53 51
41 43 45 47 49
x x x x x
59 57 55 53 51
41 43 45 47 49
x x x x x
100 1 1 41 43 45 47 49
x
x 100 (?)
d) 1.2 2.3 3.4 98.99 2018 323400
x
* Nhớ công thức: 1.2 2.3 3.4 1 1
n n n
n n
( HS suy nghĩ c/m)
Ta có: 1.2 2.3 3.4 98.99 98.99.100 323400
1.2 2.3 3.4 98.99 2018 323400
x
323400 2018 2018
323400 x x
e)ĐKXĐ: x 2; 3; 4; 5; 6
2 2 2 2 1
5 12 20 11 30
x x x x x x x x
x 21x 3 x 31x 4 x 41x 5 x 51x 6 81
2
1 1
8 20
10
2 8
x
x x
x
x x x x
( thỏa ĐKXĐ )
Câu 5: Cho x y z, , số dương thỏa mãn xyyzzx8xyz Chứng minh rằng: x y z
Ta có: xyyzzx8xyz x x y2y z x2z x y2 0 Vì x y z, , 0 nên yz 2 zx 2 xy2 0 x y z
KL:…
Câu 6: Ta có : 2 2 2
2a b4ab a cac 4b c2bc 4abc
(50)-
H I
K
M N
D
A B
C E
P I
M
K F
A B
D C
K E
C
A B
D G
2
2ab a 2b ac a 2b c a 2b 2bc a 2b
2 2
a b ab ac c bc
a2b a 2b c c 2b c a2b2b c ca
Câu 7:
Gọi I giao điểm MN AC, H giao điểm KN DC
C/m MI = NI (?) suy EC = CH (?)
Lí luận NEH cân N ( ?) suy NC tia phân giác ENH mà MN NC, ENH KNE kề bù Suy NM tia phân giác KNE
Câu 8:
a) MP/ /AB Ta có: FP/ /AC CP AF
PB FB
;
AK/ /DC CM DC
AM AK
Tứ giác ADCF hình bình hành nên AF = DC Tứ giác BCDK hình bình hành nên FB = AK
Từ điều kiện ta có: CP CM MP/ /AB 1 PB AM
b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng Ta có: CP CM DC DC
PB AM AK FB ( Vì AK = FB ) ; FB/ /DC DC DI CP DI IP/ /DC
FB IB PB IB
hay IP/ /AB 2 Từ (1) (2) theo tiên đề Ơ-clit suy ba điểm M, I, P thẳng hàng
c) DC2 AB MI.
C/m MDC đồng dạng KMA ( ?) AK AM AK DC AM MC AB AC 3
DC MC DC MC DC MC
MI/ /AF AC AF AC DC 4
MC MI MC MI
Từ (3) (4) suy
AB DC
DC AB MI
DC MI (đpcm) Câu 9:
a)
(51)K H
A
B C
D
E
M
C/m
EK EB AE
AE EK EG
AE ED EG ( ?) b) Ta có: 1 AE AE
AE AK AG AK AG Ta có: AE DE; AE BE
AK DB AG BD nên
AE AE DE BE BD
AK AG BDBD BD Vậy, 1
AE AK AG (đpcm)
c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Ta có: BK AB ? BK CK 1
KC CG AB CG ? 2
KC CG AD KC
AD DG DG CG
Từ (1) (2) ta BK AD BK DG AB AD
AB DG (không đổi) Vậy,
Câu 10:
Ta có : MH MK BM MC ? CD BE BC BC C/m ACD CEB( ?)CDBE
Khi đó, MH MK MH MK MH MK CD
CD BE CD CD ( không đổi) ( ?)
(52)- HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a) 2 2
4
a b c a b c b a b c 2 a b c 2ba b c 2b a b c 2 a b c a3b c a b ca b c a 3bc
2a b ca b c
b) a b 2c2 b c2a2 c a2b2 ab2ac2bc2ab2ac2b c2 2
ab a b c a b c a b a b
a b ab c ca cb
a b b c a c
c) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 23
a b c a b c a b c a b c C/m: Nếu x y z 0 3
3
x y z xyz ( tự giải ) Ta có: 2 2 2
0 a b c a b c
Suy 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 23
a b c a b c a b c a b c 2 2 2
3 a b c a b c
3a2b2b2c2aca c Câu 2: Thực phép tính:
a)
6 6
3 3 3 3 3 3
1 2.3 2.3
2 125 18 10 5
A
6 6
3 3
1 2.3 5
2 5
b)
3
3 2
x y xy xy B
x y x y xy x y
2
2
1
1
xy x y xy
x y
x y x y
Vậy, B xy ,x y x y
Câu 3: Nhân hai vế a b c
b c c a a b với a b c 0, ta được:
2 2
a a b c b b c a c c a b
a b c
b c c a a b
2 2
a b c
a b c a b c
b c c a a b
2 2
0
a b c
b c c a a b
KL:
Câu 4: Bình phương hai vế 1 1
a b c , ta 2
1 1
2.a b c
a b c abc
(53)K I
D
H A
B C
Suy 12 12 12 2.1
a b c ( Vì a b c abc ) hay 2
1 1
2 a b c KL: …
Câu 5: a) Số cần tìm có dạng ab, với a b, N;1 a 9;0 b Theo đề ta có: 3 2 3
10
ab a b a b a b
Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải số lập phương ab phải số phương Do 10ab99ab27 ab64
+Nếu
27
ab a b ( phương )
+Nếu ab64 a b 10 ( khơng phương nên loại ) Vậy, số cần tìm ab27
b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x1 , , x x1 ( ĐK : x1,xN)
Ta có : x1xx x 1 x1x 1 26 3x2 1 26 x ( Vì x1,xN ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm 2, 3,
c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp x1 , , x x1 , x2 ( ĐK : x2,xZ ) Ta có : x1 x x1x2120 x x 1 x1x2120
2 120 121
x x x x x x x x
2
1 11
x x
Vì x2,xZ nên
1 11
x x x3x4 0 x ( Vì x 4 ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm 2, 3, 4,
Câu 6: Cmr: a) 2 2
0
4 4
a b c a b c a a b b c c
2 2
1 1
0
2 2
a b c
( Đúng )
Dấu “=”
2
a b c
b) a4b4 2 4aba42a b2 2b4 2a b2 24ab20 a2b22 2ab12 0
Dấu “=” a b a b Câu 7:
a) Chứng minh: tam giác ADI cân… Ta có: AIDBIH ( hai góc đối đỉnh )
0
90
BIHHBI ( tam giác HBI vuông H )
Suy
90
AIBIBH
Mặt khác,
90
(54)-
H E
A
B C
D
F
M x
N
F E
A B
D C
ABI HBI ( BD phân giác )
Suy AIDADI, tam giác AID cân A
b) Chứng minh: AD BD BI DC
Xét IABvà DCB có ABI CBD IAB, DCB ( phụ với ABC ) Do đó, IABđồng dạng DCB AB BI
BC BD
(1)
Mặt khác, ABC có BD đường phân giác nên AB AD BC DC (2) Từ (1) (2) suy BI AD AD BD BI DC
BD DC
c) Từ D kẻ DK vuông góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều Vì BD tia phân giác ABC nên DA = DK (?)
Mà IA = DA ( câu a) nên IA = DK
Tứ giác ADKI có IA = DK IA // DK ( vng góc với BC ) Suy ADKI hình bình hành
Ta lại có: IA = DA ( câu a) Suy ADKI hình thoi Câu 8: + Cmr: AE = DF
Vẽ EH AB Ta có : HE BE AD
AC BC AB , mà ACAB nên HE AD Từ giả thiết AD BE CF
AB BC CA mà ACAB nên ADCF Suy ADEH BH nên AH AF
Ta c/m AHE FAD(c.g.c)AEDF + Cmr: AE DF
(HS tự giải ) Câu 9:
Đặt SAEM x ( ĐK: x0)
Do
2
MF MD DF
MA ME AE nên EMF S x (1)
3
;
2
AMD DMF AMD
S x S S x
Từ đó, 25
AEFD
S x (2) Từ (1) (2) suy EMF
25 AEFD
S S
Tương tự, ENF EF 25 B C
(55)P
Q M
C
A B
D N
Suy EMF 6
25 25
N ABCD
S S S
Câu 10: Cmr:
2
APQ AMN
S S
Trước hết ta có: APQ APQ APN ?
AMN APN AMN
S S S AQ AP
S S S AN AM
Do đó, ta cần tính: AQ, AP
AN AM
Ta có: ? 3
4
AQ AB AQ AQ
QN DN AQ QN AN
Và 2
3
AP AD AP AP
PM BM APPM AM
Do đó,
4
APQ AMN
S AQ AP
S AN AM
1
APQ AMN
S S
(56)- HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 10
Câu 1: Tìm GTNN của:
a) Ta có: 16 2007 3 16 2010 3 16 2010 2.4 2010 2018
3 3
A x x x
x x x
( Vì x3 nên x 3 0, dùng BĐT Cơ-si cho hai số dương x3 16 x ) Dấu « = » 16 ,
3
x x x
x
Suy GTNN A 2018 x
b)
2
2
2 2018 , 2018
x x
B x
x
2 2
2
1 1 1 1 1
2
2018 2018 x x x x 2018 2018 2018 2018
2
2
1 2017 2017 2018 2018 2018 x
Dấu “=” 1 2018
2018 x
x
( thỏa x0) Suy
2
2017 2018
GTNN B x 2018
c)
3
2000 , x
C x
x
2000 1000 1000 3 1000 1000
3 3.100 300
x x x
x x x x x
Dấu “=” 1000
10
x x
x
( thỏa x0) Suy GTNN C 300 x 10
Câu 2: a) Xác định nN để 11 13
n A
n
số tự nhiên Để 11
4 13 n A
n
số tự nhiên
5n 11 4n 13 5 n 11 4n 13
5 4n 13 21 4n 13 21 4n 13
4n 13 U 21 1; 3; 7; 21
Lập bảng :
4n13 -21 -7 -3 -1 21
4n -8 10 12 14 16 20 34
n -2
2
5
3
2
4 17
2 Vì nN nên chọn n3; 4;5
(57)+ Với n3, ta có: 5.3 11 4.3 13
A N
( Loại ) + Với n4, ta có: 5.4 11
4.4 13
A N
( Nhận ) + Với n5, ta có: 5.5 11
4.5 13
A N
( Nhận ) KL : n 4;5
b) Chứng minh rằng:
6 19 24
Bn n n chia hết cho
Ta có: 3
6 19 24 18 24
Bn n n n n n n
1 1
n n n n n n n n n
Vì n1 n n1 ? 6n23n4 6 nên B (đpcm) c) Tính tổng
1 1
2.5 5.8 S n
n n
Ta có:
1 1
2.5 5.8 S n
n n
1 3
3 2.5 5.8 3n 3n
1 1 1 1 1
3 5 3 3 2
n
n n n n
Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2
2 15
x x x x Đặt
x x y, ta có:
2 15
y y y y
Vậy, 2
2 15
x x x x x x x x b) 2
2 18 20
x x x x Đặt
2
x xy, ta có:
9 20
y y y y
Vậy, 2
2 18 20
x x x x x x x x c)
3
x x x x Đặt
3
x x y, ta có:
6
y y y y
Vậy,
3 3
x x x x x x x x d)
8 15
x x x x Đặt
8
x x y, ta có:
8 15
y y y y
Vậy,
8 15 10 12
x x x x x x x x
Câu 4: Tìm tất số tự nhiên k để đa thức
2 15
f k k k chia hết cho g k k ĐKXĐ: k 3
Áp dụng định lí Bézout:
(58)- Câu 5: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x y
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
3
M x y
Từ 3x y y 3x 1,
Khi đó, 2 2 2
3 3
M x y x x x x x
2 1 1
12 12 12
2 12 16 48
x x x x x x
2
1 1
12
4 4
x
Dấu “=” 1;
4
x y
Suy 1;
4 4
GTNN M x y
b) Tìm giá trị lớn biểu thức N xy Từ 3x y y 3x 1,
Khi đó, 2
3 3
3 N xyx x x x x x
2
2 1 1 1
3
6 36 36 12 12
x x x
Dấu « = » 1
6
x x
Suy 1
12
GTLN N x
Câu 6: Ta có: x y z x y z2 0 2
2
x y z xy yz zx
2
0
x y z
( Vì xyyzzx0 ) x y z
Suy 2017 2018 2019
0 0
S
Vậy, S 0 x y z xyyzzx0
Câu 7: Gọi a b số đấu thủ đội trường A trường B, với a b, N* Theo đề bài, ta có: ab2a b a2b24
Nhận xét : Do a b, N* a Z b; 2 Z Lập bảng :
2
a -4 -2 -1
2
b -1 -2 -4
a -2
b -2
(59)K
A O
M B
K
N M
A
B C
D
E
F I
K
F C B A
E I D
Câu 8:
Vẽ MK/ /OA, ta có :
MOK MOA
MOB AOB
S S
OK AM
OB AB S S
1
2 2
1 1
MOK
MOK MOK
S S S S
S S S S S S S S S
( khơng đổi )
( Vì M cố định nên K cố định, SMOK khơng đổi )
Câu 9: Chứng minh: IK //BC.
Gọi M trung điểm AF, N giao điểm DM EF
Ta có:
2
AD AM
DB MC
nên DM // BC ( đl Ta-let đảo ) (1) MN // EC mà MF = FC nên EF = FN
Ta có : EF 1
EF 3
EK EK
EN EN mà
1 EI ED Do đó, EK EI
EN ED suy IK // DN ( đl Ta-let đảo ) (2) Từ (1) (2) suy IK // BC (đpcm )
Câu 10: a) Chứng minh IK// AB
Ta có: MI ID DM MC MK IK/ /AB
IA IB AB AB KB ( đl Ta-let đảo )
b) Cmr: EI =IK = KF Ta có : EI IK AI
DM MC AM
mà DM = MC nên EI = IK C/m tương tự, IK = KF
Vậy, EI =IK = KF ( đpcm)
(60)- HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11
Câu 1: Cho
2 2
1 1
x y x y
P
x y y x y x x y
a) Tìm ĐKXĐ P, rút gọn P
+ ĐKXĐ : x y 0,1 y 0,1 x x y y, 1,x 1 + Rút gọn :
2 2
1
1
x x y y x y x y
P x xy y
x y y x
Vậy, P x xyy với x y y, 1,x 1 b)Tìm x y, ngun thỏa mãn phương trình P2
Ta có : P 2 x xy y x1y 1 y1 1 yx 1
1 1
y x
1
1
y x
x y
2
x y
( thỏa ĐKXĐ )
Vậy, 2
0
x P
y
2
x y
Câu 2: Xác định số hữu tỉ a bsao cho: a)
4
x chia hết cho
x ax b ;
Ta có: 4 2
4 4 2 2
x x x x x x x x Do đó, để
4
x chia hết cho
x ax b a 2,b2 b)
1
ax bx chia hết cho x12
Ta có ax4 bx31 chia hết cho x12 thương có dạng ax2cx1 Ta viết:
1 1
ax bx x x ax cx với x
Tính 3 2
2 1 2
x x ax cx ax cx x ax cx xax cx
2 2
ax c a x c a x c x
Khi đó, 4
1 2
ax bx ax c a x ca x c x với x
Đồng nhất thức hai vế, ta
2
1
2
b c a a
c a b
c c
Vậy, a3,b 4
Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 2
4 8
x x x x x x ; Đặt
4
x x y ta được:
2 2 2 2 2 2
4 8
x x x x x x y xy x
2 2
2
y xy x xy x y x y x
(61)
5
x x x x
Vậy, 2
4 8
x x x x x x x25x8x2x4 b) 2
2 12
x xyy x y
Ta có: 2 2
2 12 12
x xyy x y xy x y x y x y
Vậy, 2
2 12
x xyy x y x y x y
Câu 4: Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức:A20n16n 3n chia hết cho 323
Ta có: 323 17.19 17,191 Ta cần c/m: A 17 A19 Ta có : A20n 16n 3n 20n3n 16n1
Mà 20n3n 20 3 hay 20n3n17 1
Và 16n1 16 1 ( n số chẵn ) hay 16n1 17 2 Từ (1) (2) suy A 17
Tương tự, A20n 16n 3n 20n 1 16n3n Mà 20n 1 20 1 hay 20n1 19 3
Và 16n3n 16 3 ( n số chẵn ) hay 16n 3n 19 4 Từ (3) (4) suy A 19
Vì A17 A 19 mà 17,191 suy A 323 (đpcm) Câu 5: Chứng minh rằng:
a)
4
x x x với x0
x x 22x2 1 với x0 ( Đúng )
b) Xét
1 7 12
x x x x x x x x Đặt
7
x x a Khi đó, ta có:
3
a a a
Vậy, x1x3x4x 6 (đpcm)
c) a24b24c2 4ab4ac8bca24ab4b24c24ac8bc0 a2b22.a2b 2c 2c 0
a2b2c20 ( Đúng ) Câu 6: Rút gọn biểu thức:
a)
2
2
5
1
5 5
x x x x
x x x x
M
x x x x
2
2 2
2
2
5 5
5
5 5
x x x x x x
x x
x x x x
b) 1 2 4 8 1616
1 1 1
N
x x x x x x
(62)-
I
G M
E
K H
A
B C
K I
M
H A
B C
2 16
2 16
1 x x x x x
4 4 8 1616 x x x x
8 8 1616 x x x
1616 1616 x x
32
32 x
Câu 7: a) Tính BHM Ta có: ?
2
AM BEMK
C/m MAH MKH c c c
0
1
45
AHM KHM AHK
0 0
180 180 45 135
BHM MHK
b) Chứng minh: GB AH BC HKHC
Kẻ EI // BC IAH, C/m IHKE hình chữ nhật
IE HK AH AIE BHA cgv gn AB AE
Tam giác ABE vuông cân A có BM = ME nên AG tia phân giác BAC
Do đó, BG AB BG AB 1 GC AC BC ABAC
Vì KE // AH nên HK AE HK AE HC AC HKHC AEAC Hay AH AB 2
HKHC ABAC ( Vì AH = HK, AB = AE ) Từ (1) (2) suy đpcm
Câu 8: Chứng minh: CI tia phân giác ACB. Kẻ MK BC K
Vì IH // MK nên IB BH AC 1
IM HK HK ( Vì BH = AC ) C/m ABC đồng dạng HAC (g.g )
Do đó, BC AC AC HC
2
2
BC AC BC AC
CM HK CM HK
(63)x x
E
D A
B
C
2y y 2x
x G D E
A
B
C
Câu 9:
a) Tính độ dài đường phân giác AD Kẻ DE // AB, c/m ADE
Đặt ADDEEA x
Ta có :
3
DE CE x x
AB CA
Giải x2cm Vậy, AD2cm
b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1
AD AB AC Tính BAC Kẻ DE //AB Đặt DEEA x Ta có :
1
DE CE x AC x x
AB CA AB AC AC
1 1
1
x x
AB AC AB AC x
Theo đề bài, ta có : 1 AD AB AC(2)
Từ (1) (2) suy ADx Khi đó, ADE suy
120
BAC
Câu 10:
Gọi G giao điểm BD CE Đặt GD = x, GE = y GB = 2x, GC = 2y Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng BGE, CGD ta có :
2 2 2
9
EG BG EB y x
Và 2 2
16 16
DG CG DB x y
Suy 2
5
x y
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng BGC, ta có : 2
2 2 2
2
BC BG CG x y x y
Từ (1) (2) suy
4.5 20
BC BC (cm)
………… HẾT…………
(64)- Câu 1: Ta có : 2 22
1 a b c
4 2 2 2
1 a b c a b b c c a
4 2 2 2
1
a b c a b b c c a
(1)
Ta lại có : 2
0
a b c a b c
2 2
2 2
2
2
a b c
a b c ab bc ca ab bc ca
2
2
ab bc ca ab bc ca
2 2 2
2
4
a b b c c a abc a b c
2 2 2
4 a b b c c a
Do đó, 4 1
1 M a b c
Câu 2: a) Ta có : Q 8 2x 3y
x y x y
8.2x 3.3y 2.4 2.3 7
x y
Dấu “=”
2
8
2
3
3
,
x y
x
x x
y y
y x y
Suy GTNN(Q) = 7 x 2, y1
b) Ta có: 2
A x y xy x y
2
2A x 2xy y x 2x y 2y xy 2 x 1 2 y12 2
A Dấu “=” x y
Suy GTLN(A) = 1 x y
Câu 3:Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: a22 b22 a b
b a b a
Ta có:
2
2
a b a b
b a b a
2
2 1
a b a b a b
b a b a b a
(65)2
2
2 1
a b a b a b
b a b a b a
2
1
a b a b
b a b a
2 2
2
1
a b a b a b ab a b ab
b a b a ab ab
2
2
2
1
2
0
a b b a b
ab
( Đúng )
Dấu “ =” a b Vậy, a22 b22 a b
b a b a
với a b, 0 Dấu “ =” a b Câu 4: Giải phương trình sau:
a) x3 3 x 13 56
HD: Chú ý: x + giá trị trung bình cộng x + x + 3, ta đặt x + = y Khi phương trình trở thành 3 3
1 56
y y
3
3 3 56
y y y y y y
6y 56
y + Với y3 x =
+ Với y 3 x = -5 Vậy S1; 5
b) x6 4 x84 16
Đặt x 7 y, phương trình cho trở thành: y1 4 y14 16 Rút gọn ta được: 4
2y 12y 2 16 y 6y 7 Đặt
0
y z , ta có: z26z 7
Giải phương trình z1 ( nhận ) z 7 ( loại ) Với z1
1
y y
Khi đó, x8 x6 Vậy S 6;8
* Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng xa 4 x b 4 c c 0, ta thường đặt
2 a b y x c) x43x34x23x 1
Ta thấy x0 không nghiệm pt cho Chia hai vế pt cho
0
x , ta :
2
2
3
3
x x
x x
2
1
3
x x
x x
Đặt x y x
2
1
2
x y
x
, ta
3
y y
(66)- +Với y 1, ta có : x 1
x
nên
2
2
1 0
2
x x x
( vô nghiệm ) +Với y 2, ta có : x
x
nên x12 0 x Vậy, S 1
Câu 5: a) Ta có :
2 13
P x x x x x
2x46x3 x3 3x25x215x2x6 3 2
2x x x x 5x x x
3
x x x x
2
3
x x x x x x
2
3 2 2
x x x x x x
3 2
x x x x
3 2
x x x x x
x3x22x x 1 x1 x3x2x1 2 x1
b)Chứng minh P x với xZ
Ta có: Px3x2x1 2 x1x3x2x1 2 x 2 3 2x3x2x1x 1 3 x3x2x1
Vì x3 , x2 hai số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Do đó, 3x3x2x1 6 (1)
Và x3 , x2 , x1 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết cho mà UCLN 2, 1 2.3 =6 Suy 2x3x2x1x1 6 (2)
Từ (1) (2) suy P x với xZ Câu 6: Cho phân thức 43 2
3
x x
A
x x
a) Rút gọn A
Ta có x33x 2 x1 2 x2 ĐKXĐ: 3 2
3 2
x x x x x x2 Ta lại có: 4 2 2 2
2 1
x x x x Suy
2 2
2
1 1
2
1
x x x
A
x
x x
Vậy,
2
1
x A
x
với x 1 x2
(67)H
K F
N
D
B
C A
M
d P
N
M Q
C D
B
O A
Ta có: A1
2 2
1
1
2
x x x
x x
2
2 3
0
2
x x x x x
x x
2
3
2
0
2
x
x x
( Vì
2
3
0
2
x
)
x
Kết hợp với ĐKXĐ, ta A 1 x x 1 Câu 7:
a) AMFN hình vng;
Theo đl Pi-ta-go, tam giác vng CMN ta có :
2 2
MN CM CN
2
2 2
2 CM BM BC BM BC BM BC
2
2 2
2 CN CDDN CD DN CD DN Mà BM DN AB, BC CDDA (gt)
Do đó, 2 2 2 2
MN CM CN BM AB DN AD AM AN Theo đl Pi-ta-go đảo, suy tam giác AMN vng A
Tứ giác AMFN có ba góc vng nên hình chữ nhật Ta c/m: ABM ADN(c.g.c) suy AM AN Khi đó, AMFN hình vng
b) CF vng góc với CA
Kẻ FH DN FK, CM kéo dài
C/m : HFN KFM( ch-gn)FHFK
Do đó, F nằm tia phân giác NCM
Khi đó, CF CA hai tia phân giác hai góc kề bù Vậy, CFCA ( đpcm )
Câu 8: Gọi chân đường vng góc kẻ từ đỉnh A, B, C, D hình vng đến đường thẳng d qua O M, N, P, Q Vì đối xứng ta có :
, , ,
AM CP BNDQ AOOC BODO
2 2 2
2
AM BN CP DQ AM BN C/m : AOM OBN ? , suy BN OM
Do đó,
2
2 2 2 2
2
2
AB
AM BN AM OM OA AB
Từ (1) (2) suy 2 2 2
2
AM BN CP DQ AB AB ( không đổi ) Câu 9: a) Chứng minh BĐT:
2
2
2
x y
(68)-
E F
I
D H B
A
O
C
N H
M
K
A B
D C
Ta có:
2
2 2 2
2
2
x y
x y x y x xyy
2 2
2 0
x xyy xy ( )
Vậy,
2
2
2
x y
x y Dấu “=” x y
b) Tìm vị trí điểm O để tổng 2
OD OE OF đạt giá trị nhỏ Kẻ AHBC H, OI AH I
Ta có: 2 2 2
OF
OE OE AE OA AI Mặt khác, ODIH
Suy
2 2
2 2 2
2
IH IA AH
OD OE OF IH AI ( không đổi )
Dấu “=”
2 AH
OA AI IH
O trung điểm AH
Suy
2
2 2
2 AH
GTNN OD OE OF O trung điểm AH
* Chú ý: BĐT
2
2
2
x y
x y Dấu “=” x y
Câu 10: Kẻ MH AD BK, CD
C/m: MH đường trung bình tứ giácABCD Do đó, 1 17 13 10
2
MH AB CD cm
Ta có: DK AB7cm KC, CD DK 13 6cm,
2 2
10
BK BC CK cm
C/m: MHN đồng dạng BKC(g.g)
Do đó, 10.10 12,5
8
MN MH MH BC
MN cm
BC BK BK
(69)HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 13 Câu 1: a) Chứng minh:
2
2
2
a
b c ab ac bc
Ta có:
2
2
2
a
b c ab ac bc
2
2
4 a
b c ab ac bc
2
2
2
4 a
ab ac b c bc
2
2
1
2
2
a
a b c b c
2
0
a b c
( Đúng ) Vậy, 2
2
a
b c ab ac bc
Dấu “=”
a
b c b) Chứng minh: 4
a b c abc a b c
* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương Ta có: 4
a b c abc a b c
4 2
0
a b c a bc ab c abc
4 2 4 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
a b a b b c b c c a c a
a b b c ab c b c c a abc c a a b a bc
2 2 2 2 22 2 2 2
0
a b b c c a ab bc bc ca ca ab
( Đúng )
Vậy, 4
a b c abc a b c Dấu “=” a b c
* Cách 2: Dùng BĐT phụ: 2
x y z xyyzzx. Dấu “=” x y z Ta có: 4 2 2 2
a b c a b c ab 2 bc 2 ca
ab bc bc ca ca ab abc a b c
Vậy, 4
a b c abc a b c Dấu “=” a b c
c) Chứng minh:
2
1 1
513 n n 2 với nN n, 1 Với kN k, 1 ta có:
2 2
2
1 1 1 1
2 2 2
1 k k k k k k k k
k k
Do đó,
2 2 2 2
2
1 1 1
5 13 n n 1 1 2 2 3 n n 1 1 1 1 1
2 2 n n
1 1 1 1 1.1
2 2 n n n 2
Vậy,
2
1 1
(70)
- d) Chứng minh:
2
1 1
925 2n1 với nN n, 1 Với kN k, 1 ta có:
2 2
1 1 1 1
4 4 4
2k k k k k k k k k
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1
925 2n1 2.1 1 2.2 1 2n1
1 1 1 1 1 1 1 1 4 n n 2 n n
1 1.1
4 n 4
Vậy,
2
1 1
925 2n1 4 với nN n, 1 e) Cho a b dấu Chứng minh:
2
2
a b a b
b a b a
Ta có:
2
2
2 2 2
a b a b a a b b a b
b a b a b b a a b a
2
1
a b a b
b a b a
2
1 2
a b
b a
( Vì c/m
a b
b a với a, b dấu) Dấu “=” a b
Vậy, a22 b22 a b
b a b a
với a b dấu Dấu “=” a b
Câu 2: a) Ta có: Ax3y3 xyx2xyy2x2xyy2 ( Vì x y 1) x2x1x 1 x2 ( Vì y 1 x )
3
3
x x
2
1 1
3
2 4
x
Dấu “=” x y
Suy 1
4
GTNN A x y b) Tìm GTNN 2
5 4 2023
B x y xy x y
Ta có: 2
5 4 2023
B x y xy x y
(71)2xy 2 y2 2 x1220182018 Dấu “=”
2
1
2
x y
x y
y x
Suy GTNN B 2018 x y 2 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x44x35x22x1
Ta viết
4x 4x 5x 2x 1 2x ax1 2x bx1 với x
=
4x 2a2b x ab4 x a b x 1 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: 2a2b4,ab 4 5,a b 2 a 1,b1 Vậy, 2
4x 4x 5x 2x 1 2x x
b)
3x 11x 7x 2x1
Ta viết
3x 11x 7x 2x 1 3x cx1 x dx1 với x
3x43dx33x2cx3cdx2 cx x2dx1
3x 3d c x cd x c d x
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: 3d c 11, 4cd 7,c d 2 c d, .(loại ) Khi đó, ta chọn cách viết khác
3x 11x 7x 2x 1 3xm x nx pxq với x
3
3x 3nx 3px 3qx mx mnx mpx mq
3x 3n m x 3p mn x 3q mp x mq
Đồng nhất hệ số hai vế ta 3n m 11, 3p mn 7, 3q mp 2,mq1 Xét hai trường hợp:
+TH1: m q 1, giải n4,p 1 ( nhận ) +TH2: m q 1, giải n p, ( loại )
Vậy,
3x 11x 7x 2x 1 3x1 x 4x x
Câu 4: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd, biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố
Vì abcd số phương d số nguyên tố có chữ số nên d 5
Đặt *
5 ,
abc m mN Khi m có chữ số tận (1) Mặt khác,
1000m 9999 suy 32 m 99( 2) Từ (1) (2) suy m35; 45;55; 65; 75;85;95
Suy
1225; 2025;3025; 4225;5625; 7225;9025
m
Ta lại có:
5 m abc
Do đó, chọn abcd2025;5625 Câu 5: a) Cho 2 2
8 xy
x y , tính
2
2
2
x xy y
A
x xy y
(72)- Ta có: 2 2
8 xy
x y suy
2
5 x y 8xy với x0 y0
Ta có:
2 2
2
2 2 2
5 10
2 10
2 5 10 10 18
x xy y x y xy
x xy y xy xy xy
A
x xy y x xy y x y xy xy xy xy
( xy0)
Vậy,
A với 2 2 xy
x y b) Cho x y z
a b c, tính
2 2
2
x y z
B
ax by cz
Đặt x y z k x ka y, kb z, kc
a b c với a b c, , 0 Khi đó,
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
k a b c
x y z k a k b k c
B
a b c
ax by cz a k b k c k k a b c
Vậy, B 2 12 2
a b c
x y z
a b c với a b c, , 0 c) Cho a b thỏa mãn: 2
3a 3b 10ab Tính C a b a b
Vì a b nên C a b
a b
Xét
2 2
2 2 2
2
2 2 2
3
2 10
2 3 10 16
a ab b a b ab
a b a ab b ab ab ab
C
a b a ab b a ab b a b ab ab ab ab
Suy
2
C C0 Vậy,
2
C với a b thỏa mãn: 2
3a 3b 10ab Câu 6: Cho biểu thức:
2
3 2
3
:
3 27 3 27
x x x
P
x x x x x x x x
a) Rút gọn P ĐKXĐ: x 3 Ta có:
3
:
9
3 9
x x x
P
x x
x x x x
2
2 2
3
3 3
:
9 9 3
x x
x x x x x
x x x x x x
Vậy, 3, 3 x P x x
b)Với x0 P khơng nhận giá trị nào? Ta có: 3,
3 x P x x
3 1 3 3 1 P
P x x x P P x
P
(73)F E
D B
A
C
F
E M
N
C I
A
B
D
Với 3 1 1
1
P
P P
x
P
P P
Vậy, với x0 P khơng nhận giá trị từ (-1) đến 1, tức P 1;1 c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
Ta có: 3, 3
x
P x
x
6
3
x
Z
x x
Suy x 3 U 6 1; 2; 3; 6 Lập bảng :
3
x -6 -3 -2 -1
x -3
Vậy, x0;1; 2; 4;5; 6;9 Câu 7:
Ta có: BF đường phân giác ABD, FD BD 1 FA BA BE đường phân giác ABC, EA BA 2
EC BC C/m: DBA đồng dạng ABC (g.g), DB BA 3
AB BC Từ (1), (2) (3) suy FD EA
FA EC (đpcm)
Câu 8: a) Tính AB MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm +C/m: MIB cân M MBMI 12cm
Vì MI // BC nên theo hệ định lý Ta-lét ta có:
12 12
30
20 5
AM IM AB
AB cm
AB BC AB
BD phân giác ngồi ABC, ta có: 30 20
DA BA
DC BC
Mặt khác, BC // MN nên theo đl Ta-lét ta có:
3
60 72
2
AN AD AB
BN cm MN cm
BN CD BN
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI E cắt BD F Chứng minh: BI IC AI IE CECF
Vì CE // BA (gt) nên IE IC IB IC IA IE
IB IA
Ta lại tính 12 18
CE IC BM
AB IA MA (1) 20
30
CF DC BC
(74)-
x
y J
I
H L
K
G
E D
B
A
C
E K
H
D A
B C
Từ (1) (2) suy CE CF CE CF
AB AB (đpcm) Câu 9:
a) Chứng minh CA = CK ; BA = BL BAD cân nên BADBDA
Mặt khác 0
90 90
AKCBKD BDA BADKAC ;
Suy ACK cân C hay CA = CK Tương tự, BA=BL.
b) Chứng minh IHJ tam giác vng cân
Từ giả thiết ta có IJ//BC, BD//GH//CE Áp dụng Thales:
IG DG BH GH GH
CK DC BC CE CK IG = GH (1) Tương tự, GJ = GH (2)
Hơn nữa, IJ//BC HG BC suy HG IJ (3) Từ (1), (2) (3) suy ta IHJ tam giác vuông cân H Câu 10:
Cách 1: Vẽ đường phân giác A, cắt đường BC E Ta có:
4
EB AB DB
EC AC DC Suy EBBC6cm ED, 8cm Khi đó,
2 ED
KD cm
Cách 2:
Ta có : ADKDABBAK ( Vì KAD cân K ) Mặt khác ADK DACC ( T/c góc ngồi )
Mà DAB DAC ( Vì AD phân giác ) Do đó, BAK C
Từ c/m KAB đồng dạng với KCA (g.g ) Suy KB AB
KA AC mà
2
AB DB
AC DC nên
1 KB KA Do đó,
2
KB KD Từ tính KD4cm
……… HẾT………
(75)Câu 1: Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n1 chữ số 1, c số gồm n chữ số nN* Cmr: a b 6c8 số phương
Ta có :
2
10 10 10
6 8
9 9
n n n
a b c
2
10 10.10 6.10 72
n n n
2
2
10 16.10 64 10
33 36
9
n n n
nso
Vậy, a b 6c8 số phương
Câu 2: Cho 322 19
1 2
M N x
x x x x
Tính M N ? ĐKXĐ : x 1,x2
Ta có :
2 32 19
1 2
M x N x x
x x x x
2 1 32 19 32 19
M x N x x M N x N M x
32, 19 17, 15 255
M N M N M N M N
Vậy, M N 255 với x 1,x2 Câu 3: Cho ba số dương a b c, ,
a) Chứng minh rằng:a b c 1
a b c
( HS tự giải ) b) Chứng minh rằng:
2
a b c
b c c a a b
* Cách 1: Ta có:
2
a b c
b c c a a b
1 1
a b c
b c c a a b
2
a b c a b c a b c
b c c a a b
2a b c 1
a b b c c a
a b b c c a 1
a b b c c a
( Đúng) ( theo câu a) Dấu “ =” a b c
KL:
2
a b c
b c c a a b Dấu “ =” a b c * Cách 2: Đặt x b c y, c a z, a b với x y z, , 0
Suy , ,
2 2
x y z x y z x y z
a b c Do đó,
2 2
a b c x y z x y z x y z
b c c a a b x y z
(76)-
1
1 1 2
2
y z x z x y x y x z y z
x x y y z z y x x x z y
2 2 2
1
3
2 2
x y z x y z
xy zx yz
Dấu “=” x y z a b c
c) Giải phương trình: a b x b c x c a x 4x
c a b a b c
Ta có: a b x b c x c a x 4x
c a b a b c
a b x b c x c a x 4x 1
c a b a b c
a b c x b c a x c a b x 4x a b c
c a b a b c
a b c x b c a x c a b x 4x a b c
c a b a b c
a b c x a b c x a b c x 4a b c x
c a b a b c
a b c x 1
a b c a b c
(*)
Xét A 1
a b c a b c
:
Khi đó, A a b c. a b c 1
a b c a b c
với a b c 0(gt) a b c 1
a b c
( theo câu a) Suy A0
Theo (*) suy a b c x x a b c
Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất x a b c
Câu 4: Cho biểu thức: 2 : 38 2 23
5 12
x x x
Q
x x x x x x
a) Rút gọn Q: Ta có:
2
3
1 :
2 2
x x x
Q
x x x x x x x
ĐKXĐ: x0,x 2,x 3 Suy
1 :
2 2 2
x x
Q
x x x x x
Vậy, x
(77)M D A
B C
K E F
M A
B D C
Ta có 4
6 x
Q x ( thỏa ĐKXĐ ) Ta có:
6 x
Q x ( không thỏa ĐKXĐ ) Vậy, x 4 Q0 khơng tồn x để Q1
c) Tìm giá trị x để Q0
Ta có: 4
6 x
Q x
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: Q 0 x x0,x 2,x 3 Câu 5: Cho a b c 0, chứng minh: Pa3 b3 c3 3abc0
Ta có: 3 1 2 2 2
3
Pa b c abc a b c a b b c c a Vì a b c 0 a b 2 b c 2 c a2 0 nên 3
3
Pa b c abc Dấu “=” a b c
Vậy, 3
3
Pa b c abc với a b c 0 Dấu “=” a b c Câu 6: Tìm số nguyên dương n để n1 4n29 số phương
Đặt 2
1 , 29 ,
n a n b a bN
Ta có: 2
4 25 2 25
b a b a b a
Mà b2a0 nên b2a0 b2a b 2a0 nên suy b2a1 b2a25 Do đó, a6 Vậy, n35
Câu 7: Theo t/c đường phân giác tam giác ta có:
0
6
DB DC DB DC
k k
AB AC
Suy DB6 ,k DC9k
Ta có: BCDBDC6k9k15k
Do đó, 15
2
k BM BC
Suy 15
2
k k
DM BMDB k Từ suy :15
2 10
ADM ABC
S DM k
k
S BC
Vậy, 1 2
.24 2,
10 10
ADM ABC
S S cm
Câu 8:
a) Ta có: DE DF BD DC BC ? AM AM BM MC BM Suy DEDF 2AM ( không đổi ) b) C/m FK KE KA EK FK
AM AM MC
(78)-
2 1
1
2
2
N M I A
B C
Vậy, K trung điểm EF
Câu 9:
a) Ta có : M1 A2I1
Mà
1 90
2
A B
M C A B
Suy I1B1
Do đó, AIM đồng dạng ABI g g b) Từ câu a, suy
AM AI
AI AM AB
AI AB (1)
Tương tự,
BI BN AB
Từ (1) (2) suy
2
AI AM
BI BN (đpcm ) Câu 10:
a) Cmr: BD.CE khơng đổi
Ta có: DMCDMECME DMC B BDM
Mà DMEB nên CMEBDM
Do đó, BDMđồng dạng CME (g.g)
Suy
BD MB
BD CE CM BM a
CM CE ( không đổi ) b) Cmr: DM tia phân giác góc BDE
Từ BDM đồng dạng CME ( câu a ) ta suy DM DB DM BD
ME CM ME BM ( Vì CM BM) Do đó, DMEđồng dạng DBM (c.g.c)
Suy MDEBDM
Vậy, DM tia phân giác góc BDE
c) Tính chu vi tam giác AED ABC tam giác
Từ câu b, suy DM tia phân giác góc BDE, EM tia phân giác góc CED Kẻ MH AB MI, DE MK, AC
Ta có: DH DI EI, EK Do đó, CADE AIAK2AK
Ta lại có ,
2
MC a
CK AC a nên AK 1,5a Vậy, chu vi tam giác AED 3a
……… HẾT………… HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 15 Câu 1: Cho phân thức:
2
3
4
2
a a
A
a a a
y x
I
K H
M A
B C
D
(79)a) Rút gọn A:
Ta có:
2
2
2
3 2
2
4
2 2 2
a a
a a
A
a a a a a a a a
ĐKXĐ: a 2 Khi đó,
2 A
a
với a 2
b) Tìm aZ để A có giá trị nguyên Để
2 A
a
có giá trị nguyên với aZ a 2
3 1 a a a
( thỏa ĐKXĐ ) Vậy, a3 a1 A nhận giá trị nguyên
Câu 2: Cho 2
2
1
:
x x a
x x
Tính
4
4
1
:
M x x
x x
theo a
Ta có:
4
2
2
1 1
:
1
x a
a x x x a
x x x a
Thay 1
1 a x a a
vào M , rút gọn ta
2 , 1 a M a a Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức sau :
a)
2
2
a b c d
a c b d
Áp dụng BĐT 2
4
xy xy Dấu “=” x y
Ta có:
2
4
2 2
a b c d a b c d
a c b d
Dấu “=” a b c d
b) ab bc ca 0 a b c 0
Ta có : a b c 0 a b c 2 0 a2b2 c2 2ab bc ca 0
ab bc ca
Dấu “=” a b c Câu 4:
+ Gäi sè « t« lóc đầu x ( x nguyên x 2) Số học sinh cắm trại là: 22x +
+ Theo giả thiết: Nếu số xe x1 số học sinh phân phối cho tất xe, xe chở số học sinh y (y số nguyên < y 30)
+ Do ta có phơng trình: 1 22 22 22 23
1
x
x y x y
x x
+ Vì x y số nguyên dơng, nên x1 phải ớc số 23 Mà 23 nguyên tố, nên: x 1 x x 1 23 x 24
Nếu x2 y22 23 4530 (trái giả thiết)
NÕu x24 th× y22 23 < 30 (thỏa điều kiện toán)
(80)-
N
F E
K I
A
B D C
M
O M
H G
D C
B A
Câu 5: a) Cho a b c, , ba số dương khác thỏa mãn: ab bc ca
a b b c c a ( Với giả thiết tỉ số có nghĩa ) Tính: M ab bc ca2 2 2
a b c
Ta có: ab bc ca a b b c c a
a b b c c a ab bc ca
1 1 1 1 a b c
b a c b a c a b c
Khi đó, 2 2 2 22
3
ab bc ca a
M
a b c a
Vậy, M 1 ab bc ca
a b b c c a
với a b c, , ba số dương khác b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết:
2 2 2017
1
2.3 3.4 n n 6045
Ta có:
1
2 2 10 18
1
2.3 3.4 2.3 3.4 4.5
n n
n n n n
1 1.2.3.4 4.5.6
1.4 2.5 3.6
2.3 3.4 4.5 2.3.4 3.4.5
n n n n n
n n n n n
Khi đó, ta có: 2017 6045 n
n
n 2015 Vậy, n2015
c) Ta có: 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2017.2019 M
16 2017.2019 1.3 2.4 3.5 2017.2019
1 2.2 3.3 4.4 2018.2018
2 1.3 2.4 3.5 2017.2019
2.3 2018 2.3 2018 2018 2018 2.3.4 2017 2.3.4 2019 2019 2019
Vậy, 2018 2019
M
Câu 6: Cmr: EF //IK.
Gọi N trung điểm AM C/m: ID KD ND
IE KF NA
(?)
Theo đl Ta –lét đảo suy EF //IK (đpcm )
* Chú ý: Có thể thay điều kiện:I, K trung điểm MB, MC điều kiện tổng quát I, K chia MB, MC theo tỉ số
Câu 7: a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB Ta có: HODBOG1800GOH 1800450 1350
0 0
180 180 45 135
OGBBOG OBG
Do đó,
135
HODOGB
(81)H/ H I
F E
D C
B A
b) MG //AH:
Từ câu a, suy HD DO OB BG
Đặt BMa AD2 ,a OBODa
Ta có: H BGD OB OD a 2.a 22 a aAD BM HD BM
AD BG
Từ đó, c/m ADH đồng dạng GMB(c.g.c) (?) Suy AHDGMBHABGMBMG/ /AH (đpcm ) Câu 8: C/m: EBD đồng dạng FDC(g.g) (?)
Suy
2
EBD FDC
S BE ED
S DF FC
Mà
2
3 1
12
EBD FDC
S S
Do
2
BE ED
DF FC
Suy AE = DF = 2DE , AF = ED=1 2FC
Vậy 2
2 2.3
ADE BED
S S cm ;
2
1
6
ADF FDC
S S cm ;SAEDF SADE SADF 12 cm2
Tổng quát, SBED m S, FDC n SAEDF 2 mn
Câu 9:
Trước hết tính SAIE,SDHF
Ta c/m AFBE (?)
Ta có: AIE đồng dạng ADF (g.g) (?) nên
2
1 ?
AF
AIE ADF
S AE
S
Ta có: 2
1 ?
5
ADF AIE
S cm S cm
Vì HH F' đồng dạng ADF (g.g) (?) có tỉ số đồng dạng
3nên ta tính
2 '
3
HH cm
Do đó,
3
DHF
S cm Từ suy 15
EIHD
S cm
Câu 10:
a) Chứng minh: OA OB IA IB
OC OD IC ID
Chứng minh được: OAB đồng dạng với OCDgg
Suy AB OA OB OA OB 1
CD OC OD OC OD
Chứng minh được: IAB đồng dạng với IDCgg
Suy AB IA IB IA IB 2
CD ID IC ID IC
Từ 1 2 suy OA OB IA IB
OC OD IC ID
F E
D
C B
A
O M B
N I
D C
(82)- b) Chứng minh: Bốn điểm ; ; ;I O M N thẳng hàng
Ta có: AB OA AM OA 3
CDOC CN OC BACDCA ( AB/ /CD soletrong, ) 4 Từ 3 4 suy OAM đồng dạng với OCN c g c
Do AOM CON Suy M O N, , thẳng hàng * Ta lại có: AB IA AM IA 5
CD ID DN ID Ichung 6
Từ 5 6 suy IAM đồng dạng với IDN c g c
Do AMI DNI Suy M I N, , thẳng hàng ** Từ * ** suy bốn điểm I O M N; ; ; thẳng hàng
c) Giả sử 3ABCD diện tích hình thang ABCD S Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S
Ta có 1 1
3 3 4
AOB AOB AOB
AOB ABD
AOD AOB AOD ABD
S S S
OB AB
S S
ODCD S S S S
Ta lại có 1 1
3 4
ABD ABD ABD
ABD ABCD
BDC ABD BDC ABCD
S AB S S
S S
S CD S S S
Do 1 7
16 16
AOB ABCD
S S S
Mặt khác
2
1 1 1
8
9 8
IAB IAB IAB
IAB ABCD
ICD ICD IAB ABCD
S AB S S
S S S
S CD S S S
Từ 7 8 suy 1 16 16
IAOB IAB AOB
S S S S S S
……… HẾT…………
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 16
Câu 1: Chứng minh
4
An n n n n chia hết cho 16, với nZ
Ta có:
4
(83)4 3 2 3 2
3 3 1 3 1
n n n n n n n n n n n n n n n n
4 4 3
1 3 1 1
n n n n n n n n n n
Vì n n 1là tích hai số nguyên liên tiếp nênn n 1 2
Suy 4
1
An n mà
2 16 Vậy, A16 với nZ
Câu 2: a) Cho a b 1 ab0 Chứng minh: 3 3 22 2 2
1
ab
a b
b a a b
Với a b 1 ab0, ta có:
2
3 4 2 2
3
3 3 3 3 3
1
1 1 1
a a b b a b a b a b a b
a b
b a a b a b a b a b a b ab a b
2
2 2 2
3
2
3
a b ab a b
a b ab
( Vì a b 1 ab0)
2 2 2
1 4
3
ab a b a b
ab a b
( Vì a b 1 ab0)
2 2
2 2
3
ab ab ab
ab a b a b
( Vì ab0) Vậy, 3 3 22 2 2
1
ab
a b
b a a b
với a b 1 ab0 b) ĐKXĐ: x 1, ta có:
2 x x x
2 2 2
5
2 1
1 1
x x x x
x
x x x x
2 2
2
3
2
3
1
3
1 2 5
1 x x x x x x
x x x
x + Xét phương trình:
1
2 1 1
2
x
x x x x
x
( thỏa ĐKXĐ)
+ Xét phương trình:
2
2 15
2 5
4
x x x x
Vậy, 1; S
Câu 3: Tìm số nguyên dương n để n1988n19871 số nguyên tố
+ Với n1 ta có 1988 1987
1 1
(84)- + Với n2,nZ ta có 1988 1987
1
n n n n
Mặt khác, ta có 1988 2 1986 3 662 662 3
1 1
n n n n n n n
* Chú ý : n n
a b a b
Mà 3
1 1
n n n n n n Suy 1988 2
1 n n n n
Tương tự, 1987 1986
1
n n n n n n
Khi đó, 1988 1987 1988 2 1987
1 1
n n n n n n n n n n Suy với n2,nZ 1988 1987
1
n n hợp số Vậy, n1 1988 1987
1
n n số nguyên tố Câu 4: Cho a b c, , ba cạnh tam giác
a) Chứng minh rằng: 2
2
ab bc caa b c ab bc ca
+Ta có: ab bc ca a2 b2 c2
2
2ab 2bc 2ca 2a 2b 2c
2 2 2
2 2
a ab b b bc c c ca a
a b 2 b c 2 c a2 0 ( Đúng )
Dấu “=” a b c tam giác tam giác
+ Theo BĐT tam giác ta có:
2
2 2
2
2
a ab ac
a b c
b c a b bc ba a b c ab bc ca
c a b c ca cb
Vậy, 2
2
ab bc caa b c ab bc ca với a b c, , ba cạnh tam giác b) Chứng minh rằng: 2
3
a b c ab bc ca tam giác tam giác Xét hiệu 2
3
a b c ab bc ca 2 2 2 a b b c c a
Suy a b c 2 3ab bc ca 2 2 2
2 a b b c c a a b c
Vậy, 2
3
a b c ab bc ca tam giác tam giác Câu 5: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2
Ax y biết x y
* Cách : Ta có: x+ y= x2+ 2xy+ y2= 16 (1) Ta lại có: (xy)2 0
x - 2xy+ y2 0 (2) Từ (1) (2) suy 2
x + 2y2 16 x2+ y2 Vậy giá trị nhỏ nhất 2
8
(85)* Cách 2: Ta có : x y y x
Suy Ax2y2 x2 4 x2 2x28x16 2x22 8 Dấu “=” 2
4
x x
y x y
Vậy, GTNN A 8 x y
b) Ta có : 2
3
Bx x x x x x x2123x12 5
Dấu “=” 1
x
x x
Suy GTNN (B ) = 5 x
c) Ta có:
1 21
C x x x x x x x x Đặt
4 13
t x x ( ý : 13 5 21
)
Khi đó,
8 64 64
C t t t
Dấu “=” 2 2 17
0 13 17
2 17 x
t x x x
x
d) Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt GTLN:
2
2019 x D x
x
với x0 *Cách 1: Đặt a2019
Khi
2 2 2
2 2
4 1
4
4 4
x a x a ax x a x a x a
x D x
a a
x a a x a a x a a x a
( Vì a0, x0 )
Dấu “=” x a x a
Suy 1 2019 4.2019
GTLN D x x a
a
*Cách 2: Đặt a20190 Ta có:
2
2
1
0
4
x a x a ax
ax x a
( Vì a0, x0 nên 4ax0) Suy
2
1
4
x x
D x
ax a
x a
( Vì a0, x0 ) Dấu “=” x a x a
Suy 1 2019 4.2019
GTLN D x x a
a
(86)-
K I M
G
H F
J
D C
A B
E
Câu 6: Cho biểu thức
3
24 12
a a a
E với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên
Vì a số tự nhiên chẵn nên a2 ,k kN
Do 2 3 2 1
24 12 24 12 6
k k k
a a a k k k k k k
E
Ta có: k k 1 2 k k 1 2 k1 2 Ta cần c/m: k k 1 2 k1 3 Thật vậy: + Nếu k3 ,n n N k 3thì k k 1 2 k1 3
+ Nếu k 3n1, n N 2k 1 3 n 1 6n3 k k 1 2 k1 3 + Nếu k3n2,n N k 3n3 3thì k k 1 2 k1 3
Mà 2, 1 k k 1 2 k1 6 Vậy,
24 12
a a a
E có giá trị nguyên với a số tự nhiên chẵn Câu 7: Ta có:
2019
2019 2019 2019
a b c
ab a bc b ca c 2019
abca b c
ab abca abc bc b ca c
( )
( ) 2019
a bca b bc
a b abc bc bc b bca bc b
2019
bca b bc
b abc bc bc b bca bc b
2019
2019 2019 2019
b bc
b bc bc b bc b
2019 2019
b bc
b bc
1.
Vậy, 2019
2019 2019 2019
a b c
ab a bc b ca c với abc2019
b) Cho x y Chứng minh rằng: x2017y2017x2018y2018 Xét hiệu: 2018 2018 2017 2017 2017 2017
1
x y x y x x y y
x20171yy2017y1( x y nênx 1 y) Do 2018 2018 2017 2017 2017 2017
1
x y x y y x y
(87)Câu 8:
8.1.a) Chứng minh: ; EF
EF
DG GF BC
CE
AD GF Từ đó suy DG CE 2CD EG3CD + C/ m: DGA đồng dạng FGE (g.g)
EF
DG DA DG GF
FG FE AD
Từ đó, ta có: 1 EF DA GF DG
+ C/ m: CEB đồng dạng FEG (g.g) CE CB CE CB FE 2
FE FG FG
Từ (1) (2) suy EF
EF EF
DA GF CB FE GF
DG CE CD
FG GF
( Vì ADBCCD) EF
EF GF
DG CE CD CD
GF
( BĐT Cô-si cho hai số không âm )
Dấu “=” EF EF
EF GF
GF FGE
GF
cân F Vì DG CE 2CD nên EG3CD
b) Tìm GTLN ABCD AEG
S S
Ta có: 2
1 3
ABCD AEG
S AD CD CD CD
S EG CD
AD EG
Suy
3
ABCD AEG
S
GTLN FGE
S
cân F 8.2.a) Chứng minh: BHA CEB DAE CDH
+ C/m: BHA CEB g c g ( BAH CBE phụ với ABF ) BHCECHDE
+ C/ m: DAE CDH c g c
b) Chứng minh: AEDH
Vì DAE CDH(cmt) nên AEDDHC, mà DHCADK AD / /CH slt, Do đó, AEDADK
Xét ADK có:
90
DAKADK DAEAED ( Vì ADE vng D ) Suy
90
AKD AEDH K c) Chứng minh: AI/ /DJ/ /GB
Ta C/m được: + I trực tâm tam giác HAE suy AI HE 3
+ J trực tâm tam giác HDE suy DJ HE 4 + B trực tâm tam giác HGE suy GBHE 5
Từ (3), (4) (5) suy AI/ /DJ/ /GB.
d) Chứng minh: AFB đồng dạng với ABH; AFD đồng dạng với ADH Từ đó có nhận xét về AFD ADH.
(88)-
AF AB AF AD
AB AH AD AH
( Vì ABAD)
Xét AFD ADH có: A - chung AF AD cmt AD AH
Do đó, AFD đồng dạng ADH(c.g.c) Suy AFD =ADH 8.3.a) Chứng minh:
KD KI KH Vì AI/ /DJ cmt nên KD KJ 6
KI KA
Vì AD/ /HJ ( vng góc với GE ) nên KH KJ 7 KD KA Từ (6) (7) suy
KD KH
KD KH KI
KI KD
b) Chứng minh: EJ.EK HJ HK HD EC + C/m: ECJ đồng dạng EKD(g.g)
Suy EC CJ EJ ED EJ.EK 8
EK KD ED EC
+ C/m: HCD đồng dạng HKJ(g.g) Suy HC CD HD HC HD HK 9
HK KJ HJ HJ
Mà DEHC cmt 10
Từ (8), (9) (10) suy EJ.EK HD HK EJ.EK HJ HD HK EC
EC HJ
c) Chứng minh: HJ HC EK EI.EF.HK
+ C/m: HJK đồng dạng HDC(g.g)
Suy HJ HK HJ HC HK HD HJ HC EK HK HD EK 11
HD HC
+ C/m: EFA đồng dạng EKI g g
Suy EF FA EA EF.EI EK EA HD EK 12
EK KI EI ( Vì EADH cmt ) Từ (11) (12) suy HJ HC EK EI.EF.HK(đpcm).
8.4 Chứng minh: Khi E thay đổi tia đối tia CD BM
CJ không đổi C/m: HMB đồng dạng EJC(g.g) Suy MB HB
CJ EC ( Vì HB = EC (cmt) ) Vậy, E di chuyển tia đối tia CD MB
CJ khơng đổi
8.5 Qua này, các em khai thác thêm nhiều tính chất thú vị ( HS tự giải) ……… HẾT………
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 17 Bài Cho 3y x Tính giá trị biểu thức
2
x x y
M
y x
(89)Ta có: 3y x x 3y6, 3y x
Do đó, 3 6
2 6
x x
x x y y
M
y x y x
Vậy,
2
x x y
M
y x
3y x
Bài a) Chứng minh: 12 12 12 12
2
H
n
với nN n, 2 Ta có:
2
1 1 1
2
4 2 2
n n n n n n
với nN n, 2
Do đó, 12 12 12 12 1 1 1 1
2 5 2 3
H
n n n n
Vậy, 12 12 12 12
2
H
n
với nN n, 2 b) Chứng minh: 13 13 13 13
3 12
K
n
với nN n, 3 Ta có:
3
1
1 1 1 1
1 1 1
n n
n n n n n n n n n n n n n
Do đó,
3 3
1 1 1 1 1 1
3 2.3 3.4 3.4 4.5 1
K
n n n n n
1 1 1
2 2.3 n n 2.3 12
Vậy, 13 13 13 13
3 12
K
n
với nN n, 3 Bài 3.Cho biểu thức
2 2
3
, *
1.2 2.3 3.4
n
P n N
n n
a) Rút gọn P: Ta có:
2 2
2 2
2
1
2 1
1 1
k k
k
k
k k k k k
với kN* Do đó,
2 2
3
, *
1.2 2.3 3.4
n
P n N
n n
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
1 2 1
n n
n n n n
(90)- Vậy,
2
2
, *
1 n n
P n N
n
b) Tính giá trị P n99 Tại n99 ta có
2
99 99 9999 10000 99
P
Vậy, 9999
10000
P n99
Bài Cho đa thức
2017 2016 2017
Ex x x
a) Phân tích đa thức E thành nhân tử;
4
4
3
2
2
2017 2016 2017 2017 2017 2017
2017
1 2017
1 2017
1 2017
E x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
b) Tính giá trị E với x nghiệm phương trình:
1 x x Ta có:
2
2
1 1
1
x x
x x
x x
*) 1 1 0
1
x
x x x x x x
x
*)
2
2
1 0
2
x x x x x
(vô nghiệm) Vậy với x 0 E 2017 ; x 1 E 6051
Bài So sánh A B, biết: A20172016201620162017 ; 2017 20172016
2017 2016
B
2017 2016
2016 2016 2016 2016 2016 2016
2016
2016 2016 2016
2017 2016 2017 2016 2017 2016
2017 2016 2017
A
2016 2016 2016
2016 2017 2016
2017 2016 2017
2017 2016 2016
2016 2017 2017
2017 2016 B
(91)K
E B C
A
D
O Q P
D C
A
B
Bài Tìm giá trị nhỏ nhất 2
2
Q x x giá trị x tương ứng Ta biết: A2 A2
Đặt: X 2x3 , X 0
Khi biểu thức (*) viết thành: 2
4 3
Q X X X Dấu “=” xảy X 2
2
2
x x
x
*) 2 5 x x x *) 2 1
2 x x x
Vậy minP3
1 x x
Bài Gọi K trung điểm cạnh EC
Ta có: DEC vng D (gt) có K trung điểm cạnh huyền EC
2 EC DK
DKKC KCD
cân K
KCD KDC
Vì ACDBCD(gtCD đường phân giácACB) nên KDCKCD ACD Ta lại có:BKDKCDKDC (góc điểm K KCD)
KCDACD
ACBDBC (gt ABC cân A)
DKB
cân D
2 EC
DB DK
(đpcm) Bài Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Áp dụng hệ định lý Talet, ta có:
- AP//BC (gt) OA OP
OC OB
- BQ//AD (gt) OQ OB
OA OD
OA OQ OP OB
OC OA OB OD
OQ OP
OC OD
(92)-
K
F E
D C B
A
Câu
a) Chứng minh ∆BFC ∆AFD Vì BC // AD nên ta có BC EB
AD ED (1) EF // AD nên ta có FB EB
FA ED (2) Từ (1) (2) suy BC FB
AD FA;
Lại có
( 90 )
AB Suy ∆BFC ∆AFD(c-g-c)
b) Gọi K giao điểm AC DF Chứng minh KE.FC = CE.FK.
∆BFC ∆AFDBFC DFACFEDFE
Hay FE phân đường giác ∆CFK
KE FK
F F
C C
KE CE CEFK
(đpcm)
Câu 10 Cho ba số x, y, z a) Chứng minh 2
x y z xyyzzx
Ta có 2
1
x y z xyyzzx
2
0
x y z xy yz zx
2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx
xy 2 yz 2 z x2 0
Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối nên bất đẳng thức đầu b) Khi 673
3
x y z Chứng minh
2019 xyyzzx Ta có 673 2 3.2019
3
x y z
x y z
2
2 3.2019
x y z xy yz zx
Kết hợp 1 2 ta có : 3xyyzzx3.2019 Hay xyyzzx2019
……… HẾT…………
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 18 Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
19 30
x x
Ta có: 3
19 30 10 30 10
x x x x x x x x
3 10 3 10
x x x x x x x x x x
(93)Vậy,
19 30
x x x x x
b) Chứng minh: 9n2 12n3nN hai số nguyên tố Gọi d UCLN9n2,12n3, dN*
Khi đó,
9 36
36 36 1
12 36
n d n d
n n d d d
n d n d
Vậy, 9n2 12n3nN hai số nguyên tố c) Chứng minh: số có dạng
2
n n n n với nN n1 khơng phải số phương Ta có 2
2 2
n n n n n n n n 2
1
n n n n n
2
1 1
n n n n n n n n
2 2
1 2
n n n n
Với nN n1thì 2 2
2 1
n n n n 2
2 2
n n n n n
Suy ra 2 2
1 2
n n n n với nN n1
2
n n khơng phải số phương Vậy, số có dạng
2
n n n n với nN n1 khơng phải số phương Câu a) Chứng minh rằng: A2n1 2 n1 chia hết cho với số tự nhiên n Theo giả thiết n số tự nhiên nên 2n1, , 2n n 1 ba số tự nhiên liên tiếp Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết 2n1 2 n n1 3 Mặt khác, 2 , 3n 1 nên 2n 1 2 n1 3
Vậy, A2n 1 2 n1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số nguyên n để
13
Bn n số phương? Ta có B số phương 4B số phương
Đặt
4Bk , kN
Khi đó, 2
4B4n 4n52k 2n 1 k 2n 1 k 51 Vì 2n 1 k 2n 1 k nên ta có trường hợp:
2 1 51 17
, , ,
2 51 17 1
n k n k n k n k
n k n k n k n k
Giải ta được: n 12,n 3,n13,n4
Vậy, n 12 n 3 n13 n4
13
Bn n số phương Câu Giải phương trình sau:
a)
2
x x x
Ta có
2
2
2
2
x x x
(94)- Do đó,
2
x x x
2
x x x
4
x x
x5x 1
1
x x
Vậy, S 1;5 b)
3
1
x x x
x x
ĐKXĐ: x0,x2 Ta có
3
3
1
2
x x x
x x x x x
x x
+ Với x2, ta có pt
0 ( )
2 3
3 x loai
x x x x x x x
x
+ Với x2, ta có pt
0 0
x x x x x loai
Vậy, S 3;1
c) Ta có: x 1 2x 3 x 4 x 2x 3 x 4 (*) Các giá trị đặc biệt : 1; 3;
2 x x x Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối :
x
1
x x 1 x 1 x 1 x1
2x3 2x3 2x3 2x3 2x3
x -x -x x x
VT 2x 2x4 2x2
+ Xét
x , pt cho trở thành 2x x ( nhận ) + Xét
2 x
, pt cho trở thành 2x 4 x ( nhận ) + Xét 0 x 1, pt cho trở thành 4 4 x ( nhận ) + Xét x1, pt cho trở thành 2x 2 x ( nhận ) KL : Pt cho có nghiệm : x 3; 0 x
Câu Với a b c, , 0 Hãy chứng minh BĐT: a) ab bc 2b
c a
Với a0,b0,c0 nên ab 0,bc
(95)Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ab c
bc
a ta
2
2 2
ab bc ab bc
b b
c a c a
Dấu “=” a c Vậy, ab bc 2b
c a với a b c, , 0 Dấu “=” a c b) ab bc ca a b c
c a b
Áp dụng kết câu a, ta có:
2 2 ab bc b c a ab ac a c b bc ca c a b
ab bc ca
a b c c a b
Dấu “=” a b c Vậy, ab bc ca a b c
c a b Dấu “=” a b c c)
3 3 3
2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
Ta có
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2
a b b c c a a b b c c a
ab bc ca b a c b a c
Áp dụng kết câu a, ta có:
2 2
2
2
2
2
2
2
2
a c a c ac
b b b b
b c bc
a a c
a b ab
c c c
3 3 3
2 2
a b b c c a
ab bc ca
ab bc ca a b c
c a b Dấu “=” a b c
Vậy,
3 3 3
2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
Dấu “=” a b c Câu a) Cho
4
x x Tính
4 2 x x E x
*Cách 1: Ta có
2
2
4 1 x x 3,
x x x x x x
x
4 2 2
2
1 1 1
3 3 15
x x x x x x x x x x x
E
x x x x x x
Vậy, E x4 x22 15 x
4
x x
*Cách 2:
2
2 2
4 2
2 2
1
1 15
15,
x x x x
x x x
E x
x x x x
(96)-
A
B C
D K
E
H
b) Cho 2 x
a
x x Tính
2
4
1 x F
x x
theo a + Xét x0 a 0 F
+ Xét x0thì a0
Ta có
2
4 2 2
1 1
x x x x
F a
x x x x x x x x
Mặt khác, 2 2 2 2 2 1
x x x x x a x a
x x x a a x x a
Từ 1 2 suy
2
1 2
a a
F a
a a
Vậy, 2
a F
a
1 x
a x x
Câu Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P 1 xy, x, y số thực thoả mãn điều kiện:
2013 2013 1006 1006
2
x y x y
Ta có: 2013 2013 1006 1006 2013 20132 2012 2012
2
x y x y x y x y (2)
Mặt khác: 2013 20132 2013 2013
4
x y x y (3)
Từ (2) (3) suy ra: 2012 2012 2013 2013
4x y 4x y
Hay : 2012 2012
4x y (1xy)0 Do P 1 xy0 Đẳng thức xảy khi: 2013 2013
1
xy x y (4) Từ (1) (4) ta có:
2013 2013 2013 2013
1
1
x y x
y
x y
Vậy Min (P) = x = y =1
Câu Vì ABACBC nên 2BCABAC3BC ABACBC18BC6 1 Theo BĐT tam giác ta có: BC ABAC2BCABACBC18BC9 2 Từ 1 2 suy 6BC9 mà BC có độ dài số chẵn Do BC8cm Tương tự, c/m 2AB AC8 ABAC10
Suy AB3cm AC, 7cm AB4cm AC, 6cm
Vậy, AB3cm AC, 7cm BC, 8cm AB4cm AC, 6cm BC, 8cm Câu Chứng minh AE//BC
Gọi K giao điểm AC DE Vì:ADB 30 ;0 ADK 900
Suy KDC 600 Và DEC
Nên ABCDKC (g.g)
DK AB
DC AC
Do 1 1(1)
3
KD
DK DC DE
KE
Kẻ CHDE (HDE)
DH DE
2 KH
KD ;
(97)A
B Q C
P N M
E F
20 10 E
D M
K
C B
A
Nên theo Talet ta có:
KC KH
KA KD (2)
Từ (1), (2) AKE CKD nên theo Talet AE//CD Câu 9 Tính diện tích tam giác ABC
+ Gọi h khoảng cách từ K đến AB, ta có:
/
/ 2
AKE BKE
S AE h AE AE
S BE h BE BE
+ Suy ra:
2
ACE
BCE ACE BCE
S
S S
S
+ Tương tự: AKM
AKM CKM CKM
S MA
S S
S MB
Đặt xSAKM SCKM, ta có:
20 10 30
ABM CBM BCK BCK
S S x x S S
Do đó, SBCK SBEK 20 30 50
Mà BE = 2AE SAEC 25SABC 75 (đvdt) Câu 10.a) Chứng minh rằng: AM AN PQ
AB AC AQ Gọi E, F giao điểm NP, MP với BC Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có:
;
AM FC AN BE
AB BC AC BC
PQ EQ FQ EQ FQ EF
AQ BQ QC BQ QC BC
Từ đó: AM AN PQ FC BE EF
AB AC AQ BC BCBC (đpcm) b) Xác định vị trí điểm Q để
27
AM AN PQ
AB AC AQ Áp dụng câu a) BĐT Cauchy cho số dương: AM AN PQ, ,
AB AC AQ: 1= AM AN PQ 33 AM AN PQ
AB AC AQ AB AC AQ
1
27 AM AN PQ
AB AC AQ
Dấu “=” xảy
3
AM AN PQ
AB AC AQ
Khi MN//BC Vì AQ qua trung điểm MN nên Q trung điểm BC Vậy, Q trung điểm BC
27
AM AN PQ
AB AC AQ
-HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 19 Câu a) Cho 2
2
a b Chứng minh rằng: a b 2 Ta có 2
2
a b mà 2
2aba b 2
Do 2 2
2 2 2
a b ab a b a b a b Vậy, 2
2
(98)- b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh:
4a a b a1 a b 1 b 0
Đặt
4 1
B a a b a a b b a aba a ab a b b
Đặt
ma ab a , ta có:
2 2
4 4
B m m b b m mb b m b
Vậy,
4a a b a 1 a b 1 b 0 Dấu “=” 2m b 0 2a2aba b c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác
Chứng minh: abcb c a a c ba b c
Đặt b c a x 0, a c b y 0,a b c z xyz0 x y ,a y z ,b z x 2c
C/m BĐT phụ: xyyzzx8xyz với x y z, , 0 Thật vậy, ta có 2 2 2
4 , ,
xy xy yz yz zx zx
Suy 2 2 2 2 2
64
xy yz zx x y z xy yz zx xyz xyyzzx8xyz ( hai vế không âm)
Do đó, xyyzzx8xyz với x y z, , 0 Dấu “=” x y z Áp dụng BĐT trên, ta có 2a 2b 2c 8 b c a a c ba b c
abcb c a a c ba b c
Vậy, abcb c aa c ba b c Dấu “=” a b c tam giác cho Câu a) Ta có: A x a1 x a2 x a2m1 x a2m
x a1 x a2 x am am1 x am2 x a2mx
x a 1 x a 2 x a m am1x am2x a2mx
am1am2 a2m a1a2 am
Dấu “=” am x am1
Vậy, GTNN A am1am2 a2m a1a2 am Dấu “=” am x am1
b) Ta có:B x a1 x a2 x a2m2 x a2m1
x a1 x a2 x am am1 x am2 x a2m1x
x a 1 x a 2 x a m1 0 am1x am2x a2m1x
am1am2 a2m1 a1a2 am1
Dấu “=” x am
Vậy, GTNN B am1am2 a2m1 a1a2 am1 Dấu “=” x am
Câu Rút gọn biểu thức:
4 4
4 4
1 21 4 11 23
P
Xét 2 2 2 2
4 2 2 2 1 1
(99)Do đó,
4 4
4 4
1 21 4 11 23
P
2 2 2
2
2 2 2
0 20 22 1 1
24 577 22 24
Câu Giải phương trình:
2
2
1
4 7
x x
x x x x Ta có:
2 2
2
1
4 7 14 10 14
x x x x
x x x x x x x x
+ Với x0 không nghiệm phương trình
+Với x0 phương trình cho viết lại:
14 14
2x 2x 10
x x
Đặt y 2x 14 x
, phương trình viết lại theo ẩn y
1
y y
4 y y y y
2
7
7
y
y y
y
+ Với y0
2x 9x140 ( vơ nghiệm ) + Với y0 1
8 â
7
x
x x nh n
x
Vậy, S 1;
Câu Cho m, n số thực thay đổi cho m2n2 5 (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:Q m n mn1 (2)
Từ (2) ta có: 2Q2mn2mn2 Do đó: 2 2
2Q m n m n 2m2n2mn2 m n 1211
Suy ra:2Q 1 m2n2 4 (do (1)) Q Dấu “=” xảy
2
2
1
2
m n
m n
m n m
n
Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2
Câu 6.Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Giả sử 3
7p 1 m m , mà p 2 m Khi
(100)-
O
L K
D
B C
A
kc
kb ka
ha
A' F'
F
E' E
D'
D A
B C
Vì 7, p số nguyên tố,
1 1, 1
m m m nên từ (*) suy m 1
1
m m
3
) 73; 512 7.73
a m m p m ,
2
b)m m m m
Giải ta m = m = -3 khơng thỏa mãn điều kiện m3 Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm
Câu 7. So sánh GA GB Gọi I trung điểm AB
Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆ABC IE // BC Mà GF BC GF IE (1)
Chứng minh tương tự GE IF (2) Từ (1) (2) G trực tâm ∆EIF
IG EF (3) Dễ chứng minh EF // AB (4) Từ (3) (4) IG AB
Vậy ∆AGB cân G GA = GB
Câu Chứng minh rằng: BH CD
Kẻ DK vng góc với AC D, KAB, kẻ DL vng góc với BC L, Gọi O giao điểm DL BH
Ta có
90
DBCDBHHBC AKD C
1 0
90 90 90 180 90 45
2 A C C C
Suy tam giác BDL vuông cân LBLDL C/m: BLO DLC cgv gnk
Suy BO = DC
Mà BH = BO + OH > BO Do đó, BH > DC Suy BH
CD (đpcm)
Câu 9.a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a b c
b c c a a b ( Xem câu 3b đề 14)
b) Tìm giá trị bé nhất biểu thức a b c
a b c
k k k
h h h
Đặt BCa AC, b AC, b Ta có 1
2
ABC a
S a h
G
D C
A
B
F E
(101)Mặt khác, 1 2
ABC ABD ADC a
S S S b c k
Từ (1) (2) suy a a
k a
h b c
Tương tự, b , c
b c
k b k c
h ca h a b
Suy
2
a b c
a b c
k k k a b c
h h h b c caa b ( theo câu a)
Suy
2
a b c
a b c
k k k
GTNN a b c
h h h
Lúc tam giác ABC
Câu 10 ABCD hình bình hành nên
0
180
DAB CDA
Từ giả thiết ta lại có
0
180
MANDABMABDAN
Suy MAN CDA
Từ MAN CDA c g c( )
Do AMN DCABAC Lại có AB AM
Suy MN AC.
-HẾT -
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 20 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS
D
A
B N
M
(102)- ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018-2019
Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
*****
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Bảng hướng dẫn chấm gồm trang) -
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống nhất thực Hội đồng chấm thi
3- Điểm tồn thi khơng làm trịn số II- Đáp án thang điểm:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 4,00 đ
a) Rút gọn
2
2 10
:
4 2
x x
M x
x x x x
1,00 đ ĐKXĐ: x 2
Ta có:
2 2 6
:
2 2 2
x x x x
M
x x x x x x
Vậy, ,
2
M x
x
0,25 đ 0,50 đ
0,25 đ b) Tính giá trị M , biết
2
x 1,00 đ
Ta có: 1
2
x x x + Với
2
x ( thỏa ĐKXĐ) 3
2
M
+ Với
2
x ( thỏa ĐKXĐ) 5
2
M
Vậy,
2
x
M M
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
c) Tìm giá trị x để M 0 1,00 đ
Ta có: 2
2
M x x
x
(thỏa ĐKXĐ)
Vậy, M 0 x
0,50đ 0,50 đ d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên. 1,00 đ
Để
2 M
x
có giá trị nguyên x nguyên x 2thì 2 x U 1 1;1 Giải x1 x3 ( thỏa ĐKXĐ)
(103)Suy x 1;3 M có giá trị nguyên. 0,25 đ
Câu 4,00 đ
a) Phân tích đa thức 3
3
Aa b c abc thành nhân tử Từ suy điều kiện , ,
a b c để a3 b3 c3 3abc
1,00 đ
Ta có: 3 3 1 2 2 2
Aa b c abc a b c a b b c c a Để 3
3
a b c abc
3 3
3
a b c abc
2 2 2
1
0
2 a b c a b b c c a
a b c
a b c
0,50 đ
0,25 đ
0,25 đ
b) Cho 1 1
x y z .Tính giá trị biểu thức sau: 2 yz zx xy B
x y z
1,00 đ Áp dụng câu a), 1
x y z nên 3
1 1
3
x y z xyz ( ĐKXĐ: x y z, , 0) Ta có: B yz2 zx2 xy2 xyz3 xyz3 xyz3
x y z x y z
xyz 13 13 13 xyz.3
x y z xyz
Vậy, B3khi 1 x y z
0,25 đ
0,50 đ
0,25 đ
c) Cho x y z, , ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 x3y3z3 3xyz Tính
2019 2019 2019 2019
x y z
C
x y z
.
1,00 đ
Áp dụng câu a), vìx y z, , ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0và
3 3
3
x y z xyz nên x y z Do đó,
2019 2019 2019 2019
2019 2019 2018
3
3
x y z x
C
x y z x
Vậy, 20181
3
C với x y z, , ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z
3 3
3
x y z xyz
0,25 đ
0,50 đ
0,25 đ
d) Giải phương trình: 3
2018 2019 4037
x x x 1,00 đ
Ta có: x 2018 x 2019 2x 4037 x2018 3 x2019 3 4037 2 x3 0
Vì x2018 x2019 4037 2 x0 nên theo câu a) ta có: x2018 3 x2019 3 4037 2 x30
3x2018x2019 4037 2 x0
0,25 đ
(104)-
2018 2018
2019 2019
4037 4037
2
x x
x x
x
x
Vậy phương trình cho có tập nghiệm : 2018; 2019;4037
S
0,25 đ
0,25 đ
Câu 4,00 đ
a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức 42
2
x K
x
2,00 đ
Ta có:
2 2 2
2
2 2
2
3 4 1
2 2 2 2
x x x
x x x x
K
x x x x
Dấu “=” x x Suy
2
GTNN K x
0,50 đ
0,25 đ 0,25 đ
Ta có:
2
2
2 2
4 4
3 4 4
2 2
x x x
x x x x
K
x x x
2
2
2
4 2
2
2
x x x
x x
Dấu “=” 1
x x
Suy
2 GTLN K x
0,50 đ
0,25 đ
0,25 đ
b) Xác định hệ số hữu tỉ a b cho f x x4ax2b chia hết cho
1
g x x x 2,00 đ
Phép chia hết f x x4ax2b cho g x x2 x có đa thức thương dạng
h x x cx b
Ta viết x4ax2 b x2 x 1x2cx b với x
Ta có: x2 x 1x2cx b x4c x bx3 2 x3 cx2bxx2 cx b
x4 c 1x3 b c 1x2 b c x b
Suy x4ax2 b x4 c 1x3 b c 1x2 b c x b với x
Đồng nhất thức hai vế, ta được: c 1 0,b c 1 a, b c Suy a b c
Vậy, a b
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
(105)Câu
E
H
B A
C M
I
D
3,00 đ
a) Chứng minh: AB2AD 1,00 đ
Ta có: AB = 2AI (Vì I trung điểm AB ) (1) Ta lại có:ADI IDC( Vì DI là phân giác ADC), mà AIDIDC( Vì AB // DC, slt)
Do đó, ADI AID suy ADI cân A nên ADAI 2 Từ (1) (2) suy AB2AD
0,25 đ
0,50 đ 0,25 đ
b) Kẻ AH DC H( DC) Chứng minh: DI 2AH 1,50 đ
Gọi M trung điểm DC, E giao điểm AM DI
Ta có
2
DADM AB
và
0
60
ADM nên tam giác ADM Suy DI đường phân giác nên đường cao
Do đó, DI AM E
Vì ADM có AH, DE hai đường cao nên AH DE 3 Vì ADI cân A, có AEDItại E nên DI 2DE 4 Từ (3) (4) suy DI 2AH.
0,50 đ
0,50 đ
0,25 đ
0,25 đ
c) Chứng minh: ACAD 0,50 đ
Xét tam giác ADC có AM đường trung tuyến
AM DM DC nên DAC900 Vậy,AC AD.
0,50 đ
Câu
F
E D
B C
A 3,00 đ
a) Chứng minh hệ thức:
.AF
AB AE 1,50 đ
Ta có : BD/ /FC( vng góc với AC ) Suy
AF
AD AB
AC (1)
Ta lại có: ABAC AEAD (?) (2) Từ (1) (2) suy
AF
AE AB
AB ,
2
.AF
AB AE .
(106)- b) Chứng minh: CE BE
CF BF
1,50 đ + C/m : BCE CBD ch gn
Suy BCEDBC
+ Mặt khác, DBCBCF ( Vì BD // FC, slt ) Suy BCEBCF
Khi CB đường phân giác ECF Suy CE BE
CF BF ( đpcm )
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
Câu
K
M H
C
A B
D
Chứng minh: BM MD
2,00 đ
Gọi K trung điểm DH
C/m: MK đường trung bình DHC Suy KM/ /DC 1
2
KM DC
Ta lại có:
AB DC AB // DC (gt) (2) Từ (1) (2) suy ABKMvà AB/ /KM
Do đó, ABMK hình bình hành, cho ta BM / /AK(3) Vì MK/ /AB AB AD gt( ) nên MK AD
Trong tam giác ADM có MK AD DH AM nên K trực tâm tam giác ADM, AK DM (4)
Từ (3) (4) suy BM MD(đpcm)
0,50 đ