Biết SMOB = a2; SNOC =b2; Tính diện tích hình bình hành AMON.
Trang 1Trờng thcs thanh thùy Đề thi olympic toán lớp 8
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút Câu 1: (6 điểm): Giải các phơng trình sau:
a 27 2 8 3 37 92
x
−
b (x 2000) (1x 2001) (+ x 2001) (1x 2002) + +(x 2013) (1x 2014) =1415
c x2 (x+4,5) = 13,5
Câu 2: (5điểm)
a Tìm phần d khi chia đa thức f(x) cho đa thức x2 - x
Biết rằng khi chia f(x) cho x; cho x-1 thì các số d lần lợt là 1 và 2
b Xác định a, b để đa thức f(x) = 2x3 +ax + b chi cho x+ 1 d -6 chia cho x-2 d 21
Câu 3: (2 điểm) Cho a, b, c>0 và a+ b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 1 1 1
a b c+ +
Câu 4 (7 điểm):
1.Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi O là giao điểm của hai đờng chéo Qua O
kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J chứng minh rằng:
a 1 1 1
OI = AB CD+ b 2 1 1
IJ = AB CD+
2 Cho tam giác ABC, vẽ hình bình hành AMON sao cho M∈AB, O ∈BC và N∈
AC Biết SMOB = a2; SNOC =b2; Tính diện tích hình bình hành AMON
Trang 2Trờng thcs thanh thùy Hớng dẫn chấm olympic toán 8
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút
1 (6
điểm) a ĐKXĐ: x- Quy đồng khử mẫu: 7 (x-1) + 8( x+1) = 37-9x≠ ±1
- Giải ra: x = 1,5
- Kết luận: x=1,5 là nghiệm của phơng trình
0,5 0,75 0,5 0.25
2000 2014 15
(x 200014) (x 2014) 1415
x 1999 x 2015 0
1999
2015
x x
= −
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S ={− 1999; 2015 − }
0,5
0,25
0,25 0,5 0,25
0,25
c ⇔ x3 + 4,5x2 = 13,5
⇔2x3 +9x2 – 27 = 0
⇔ ⇔ (x+3)2(2x-3) = 0
⇔
3 3 2
x x
= −
=
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = 3;3
2
0,25 0,5 0,5
0,5
0,25
2 (5đ) a Theo định lý Be zout ta có f(0)=1; f(1) = 2
Vì x2 – x = x(x-1) có bậc là 2 nên d trong phép chia f(x) cho x2
– x có bậc không quá 1
Giả sử d là r(x) = ax + b ta có
f(x)= x (x-1)q(x)+ ax + b (1)
Thay x =0 vào (1) ta đợc f(0) = b =1
Thay x = 1 vào (1) ta đợc f(1) = a+b = 2
=> a=b =1
Vậy d cần tìm là x+1
0,5
0,5
0,5
0,75 0,25 Theo định lý Bezout
f(x) chia cho x+1 d – 6 f(-1) = -6
-a + b = - 4 f(x) chia cho x – 2 d 21 f(2) = 21
2a+ b = 5
=> a= 3 ; b = -1
Vậy f(x) = 2x3 + 3x - 1
0,75
0,75 0,75 0,25
3 (2đ)
a+b+c=3 => 1
3
0,25
Trang 3B = 1 1 1
a b c a b c a b c
= = 1 3
3
a b a c b c
b a c a c b
+ + + + + +
B≥ 1.9 3
3 = (Dấu ’=” đã xảy ra khi và chỉ khi Khi a =b = c= 1)
=> Min B = 3 ⇔a =b = c = 1
1
0,25
4(7đ) a ∆COI : ∆CAB (g-g)
OI CI
AB CB
⇔ = (1)
BOI BDC
∆ : ∆ (g – g)
OI BI
DC BC
Từ (1) và (2) => OI OI CI BI 1
AB DC BC
+
=> 1 1 1
OI = AB CD+ (3)
1đ
1đ
0,5
0,5
b Chứng minh tơng tự câu a ta có:
OJ = AB CD+ (4)
Từ (3) và (4) => 1 1 2 1 1
OI OJ AB CD
Chứng minh đợc: OI = OJ
=> 2 1 1
IJ = AB CD+
2 Đặt SABC = c2
2 2
2
a BO a BO MBO ABC
c BC c BC
2 2
2
b CO b CO NOC ABC
c CB c CB
Từ (1) và (2) =>
1
a b BO CO BC
=> (a+b)2 = c2 hay SABC = (a+b)2
Do đó diện tích hình bình hành AMON là
(a+b)2 – (a2 + b2) = 2ab
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa:
0,5
0,5
0,5 0,5
0,25 0,5
0,5
0,25
0,25
0,25