Đề thi olympic toán lớp Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút Trờng thcs thùy Câu 1: (6 điểm): Giải phơng trình sau: 37 x + = x x x + x x2 x + 1 1 14 + + + = b ( x + 2000 ) ( x + 2001) ( x + 2001) ( x + 2002 ) ( x + 2013) ( x + 2014 ) 15 a c x2 (x+4,5) = 13,5 Câu 2: (5điểm) a Tìm phần d chia đa thức f(x) cho đa thức x2 - x Biết chia f(x) cho x; cho x-1 số d lần lợt b Xác định a, b để đa thức f(x) = 2x3 +ax + b chi cho x+ d -6 chia cho x-2 d 21 Câu 3: (2 điểm) Cho a, b, c>0 a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 1 + + a b c Câu (7 điểm): 1.Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt BC I, cắt AD J chứng minh rằng: a 1 = + OI AB CD b 1 = + IJ AB CD Cho tam giác ABC, vẽ hình bình hành AMON cho M AB, O BC N AC Biết SMOB = a2; SNOC =b2; Tính diện tích hình bình hành AMON Duyt ca t CM Duyt BGH Trờng thcs thùy Hớng dẫn chấm olympic toán Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút Câu Nội dung (6 a ĐKXĐ: x điểm) - Quy đồng khử mẫu: (x-1) + 8( x+1) = 37-9x - Giải ra: x = 1,5 - Kết luận: x=1,5 nghiệm phơng trình 1 14 = x + 2000 x + 2014 15 14 14 = ( x + 2000 ) ( x + 2014 ) 15 b ( x + 2000 ) ( x + 2014 ) = 15 ( x + 1999 ) ( x + 2015 ) = x = 1999 (Thỏa mãn đk ẩn) x = 2015 Vậy tập nghiệm phơng trình S = { 1999; 2015} c x3 + 4,5x2 = 13,5 2x3 +9x2 27 = (x+3)2(2x-3) = x = x = 2 (5đ) (2đ) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Vậy tập nghiệm phơng trình : S = 3; a Theo định lý Be zout ta có f(0)=1; f(1) = Vì x2 x = x(x-1) có bậc nên d phép chia f(x) cho x2 x có bậc không Giả sử d r(x) = ax + b ta có f(x)= x (x-1)q(x)+ ax + b (1) Thay x =0 vào (1) ta đợc f(0) = b =1 Thay x = vào (1) ta đợc f(1) = a+b = => a=b =1 Vậy d cần tìm x+1 Theo định lý Bezout f(x) chia cho x+1 d f(-1) = -6 -a + b = - f(x) chia cho x d 21 f(2) = 21 2a+ b = => a= ; b = -1 Vậy f(x) = 2x3 + 3x - a+b+c=3 => Điểm 0,5 0,75 0,5 0.25 0,5 a+b+c =1 0,25 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 0,75 0,75 0,75 0,25 0,5 0,25 B= 1 a+b+c a+b+c a+b+c + + = + + a b c 3a 3b 3c = = a b a c b c + + ữ + + ữ+ + ữ b a c a c b 1 B = (Dấu = xảy 0,25 Khi a =b = c= 1) => Min B = a =b = c = 4(7đ) a COI : CAB (g-g) 1đ OI CI (1) = AB CB BOI : BDC (g g) OI BI (2) = DC BC OI OI CI + BI Từ (1) (2) => + = =1 AB DC BC 1 => = (3) + OI AB CD 1đ 0,5 0,5 b Chứng minh tơng tự câu a ta có: 1 = + OJ AB CD Từ (3) (4) => 0,5 (4) 0,5 1 + = + ữ OI OJ AB CD 0,5 0,5 Chứng minh đợc: OI = OJ => 1 = + IJ AB CD 0,25 0,5 Đặt SABC = c2 a BO a BO (1) MBO : ABC => = ữ => = c c BC BC 0,5 b CO b CO (2) NOC : ABC => = ữ => = c c CB CB 0,25 Từ (1) (2) => 0,25 a + b BO + CO BC = = =1 c BC BC => (a+b)2 = c2 hay SABC = (a+b)2 Do diện tích hình bình hành AMON (a+b)2 (a2 + b2) = 2ab Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa: Duyt ca t CM Duyt BGH 0,25