Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của:... Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: a..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: a b ab ; Dấu “=” xảy và a = b” ac bd + Bất đẳng thức: + a b c d (BĐT: Bunhiacopxki); a b Dấu “=” xảy và c d a b a b ; Dấu “=” xảy và ab + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y a f ( x) thì y = a f(x) = Nếu y a f ( x) thì max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) C CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN các biểu thức: a) A 4 x x 11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 2 c) C x x y y Giải: 2 a) A 4 x x 11 4 x x 10 x 1 10 10 Min A = 10 x b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 x = x = -5 2 c) C x x y y = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + Min C = x = 1; y = Bài toán 2: Tìm GTLN các biểu thức: a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y (2) Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + Max B = x = 1, y Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M x x x x b) N x 1 x 2 Giải: a) M x x x x Ta có: x x x x x x 3 Dấu “=” xảy và (x – 1)(4 – x) hay x 4 x x x x x x 1 Dấu “=” xảy và (x – 2)(3 – x) hay x 3 Vậy Min M = + = x 3 b) N x 1 x x x Đặt t x thì t 1 N 4 Do đó N = t2 – 3t + = 3 t 0 t Dấu “=” xảy và 2x 3 t 2x 2 x N Do đó (t 32 ) Vậy N x 4 x x x 4 hay Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: (3) M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y x2 y2 y x xy (x y ) 2 2 2 M ( x2 y ) 2 Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 x2 y x y và 2 Do đó 1 1 M (x2 y ) ( x2 y ) M 2 2 Ta có: và 1 M x y và dấu “=” xảy Do đó 1 M x y Vậy GTNN x2 y2 Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN và GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ t .t 0 4 5 3 t t 2 2 5 t 2 3 3 t 2 (4) Vì t = x2 + y2 nên : 3 GTLN x2 + y2 = 3 GTNN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN và GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì a, b, c 1 ) Dấu “=” có thể xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a 0; – b 0; – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc P = a + b + c – ab – bc – ac 1 abc 1 0;1 Dấu “=” có thể xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN và GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = (x + y)2 x y x y - Xét x y x y x y Dấu “=” xảy x y - Xét x y x y x y Dấu “=” xảy x y (5) Vậy x + y đạt GTNN là x y 2 Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27 Tìm GTLN và GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81 x + y + z (1) Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 A2 B ( A 1) B B 1 2 2 B 1 -14 P -14 Vì B 27 x y z 2 Vậy P = -14 x y z 27 P A Hay x 13; y 13; z Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 P 45 và dấu “=” xảy x + y = 10 và xy = Vậy GTNN P = 45 x + y = 10 và xy = (6) Bài toán 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + Vậy GTNN A là x = y = Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: y 4x x2 1 Giải: * Cách 1: y 4x ax x a a x2 1 x2 1 Ta cần tìm a để ax x a là bình phương nhị thức a ' 4 a(3 a ) 0 a 4 Ta phải có: - Với a = -1 ta có: y 4x x2 4x ( x 2) x 1 x 1 x2 1 y Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x -4x x (2 x 1) y 4 4 4 x 1 x2 1 x2 1 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = * Cách 2: (7) Vì x2 + 0 nên: y 4x yx x y 0 x 1 (1) y là giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu y = thì (1) x - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm ' 4 y ( y 3) 0 ( y 1)( y 4) 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 4 Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: A x x 1 x2 x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a và phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: a x x 1 x x (1) 1 x 0 Do x2 + x + = x2 + 2 x + 4 Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = thì (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0 , tức là: (a 1) 4( a 1)(a 1) 0 (a 2a 2)( a a 2) 0 (3a 1)(a 3) 0 a 3( a 1) (a 1) a 1 x a 2(a 1) 2(1 a ) a = thì nghiệm (2) là Với a thì x = Với Với a = thì x = -1 Kết luận: gộp trường hợp và 2, ta có: GTNN A và x = GTLN A = và x = -1 (8) Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A ( a b 1)( a b ) a b 1 b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 2m n Tìm GTLN B = mn Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 a b 2 a 2b 2ab 2 (vì ab = 1) 4 A (a b 1)(a b ) 2(a b 1) 2 (a b ) ( a b) a b a b a b Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và a b 4 2 (a b) 4 a b a b Ta có: (a + b) + Mặt khác: a b 2 ab 2 Suy ra: A 2 ( a b ) ( a b) 2 8 a b Với a = b = thì A = Vậy GTNN A là a = b = 1 1 b) Vì 2m n nên hai số m, n phải có ít số dương Nếu có hai số là âm thì B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n cùng dương 1 3(2m n) 2mn (2m 3)(n 3) 9 Ta có: 2m n Vì m, n N* nên n – -2 và 2m – -1 Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: 2m 1 n + 2m 1 n + 2m 9 + n 1 m 2 n 12 và B = mn = 2.12 = 24 m 3 n 6 và B = mn = 3.6 = 18 m 6 n 4 và B = mn = 6.4 = 24 m 2 m 6 Vậy GTLN B = 24 n 12 hay n 4 (9) Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = Tìm GTNN biểu thức: A x2 y2 x y Giải: Ta có thể viết: A x y x xy y xy ( x y ) xy x y x y x y Do x > y và xy = nên: A ( x y ) xy x y x y x y x y x y x y Vì x > y x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số không âm, ta có: x y x y x y x y ( x y ) 4 ( x y ) 2 x y Dấu “=” xảy (Do x – y > 0) A 2 Từ đó: A 2 3 x y 2 xy 1 Vậy GTNN A là x 1 x 1 y hay y Thỏa điều kiện xy = 1 y x x 1 Bài toán 5: Tìm GTLN hàm số: Giải: 1 y x x 1 1 x 2 Ta có thể viết: 1 3 y x x Dấu “=” xảy Vì 4 Do đó ta có: 1 y x Vậy: GTLN f (t ) t 4t Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: Giải: Ta có thể viết: f (t ) t 4t (2t 1) 4t (2t 1) 1 4t 4t 4t 4t Vì t > nên ta có: f (t ) 1 Dấu “=” xảy 2t 0 t (10) Vậy f(t) đạt GTNN là t Bài toán 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t ) t2 t 1 Giải: Ta có thể viết: g (t ) t 1 1 2 t 1 t 1 g(t) đạt GTNN biểu thức t đạt GTLN Nghĩa là t2 + đạt GTNN Ta có: t2 + (t2 + 1) = t = g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) là -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN E biểu thức: 1 x ( y z ) y ( z x) z ( x y) Giải: 1 1 a ; b ; c abc 1 x y z xyz Đặt 1 a b x y (a b).xy x y c (a b) x y Do đó: Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) 1 1 1 E x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 1 a2 b2 c2 b3 c3 a(b c) b( c a ) c ( a b) b c c a a b a b c Ta có: b c c a a b (1) a Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x yz yz x zx y x y z a ;b ;c 2 a b c yz x zx y x y z VT b c c a a b 2x 2y 2z a b c Khi đó, 1 y x 1 z x 1 z y 3 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 (11) Nhân hai vế (1) với a + b + c > Ta có: a ( a b c ) b( a b c ) c ( a b c ) (a b c) bc ca a b 2 2 a b c a b c abc 3 E b c c a a b 2 2 GTNN E là a = b = c = Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = (*) 2x 3y a 2x y Tìm GTLN, GTNN biểu thức: Giải: 2x 3y a 2x y Từ a(2x+y+z) = 2x+3y 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2x; y) và (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] => 4a ( a 1) (a 3) (vì 4x2+y2 = 1) 2 2 Do đó ta có: 4a (a 1) (a 3) a 2a a 6a 2a 8a 10 0 a 4a 0 a 0 (a 1)(a 5) 0 a 0 (Vì a + > a – 1) a 5 * Thay a = vào (1) ta được: -2y = -2 y = Thay y = vào (*) ta có: x = (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5) 12 x y 10 x y y 6x 6x 4x 1 Thay vào (*) ta được: 100 x 60 x 0 x Vậy GTLN a là x = 0; y = GTNN a là -5 x ; y 10 ( x; y ) ; y 10 10 (12) Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức: 1 1 x y y M = x Giải: 2 1 1 x y y Ta có: M = x 1 x2 y x y = x2 y 4 x y 2 2 x y = + x + y2 + x y Vì x, y > nên ta có thể viết: x y 0 x y 2 xy 1 2 2 16 x y xy Mà x + y = nên (1) x y Dấu “=” xảy và 2 xy Ngoài ta có: ( x y ) 0 x y 2 xy 2( x y ) 2 xy x y 2( x y ) ( x y )2 2( x y ) 1 (vì x + y = 1) x2 y2 (2) x y Dấu “=” xảy và Từ (1) và (2) cho ta: M 4 ( x y )(1 Do đó: M 1 25 ) 4 (1 16) x y 2 25 Dấu “=” xảy và đồng thời (1) và (2) cùng xảy dấu “=” nghĩa là x y Vậy GTNN M 25 x y và (13) * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN hàm số: y x x Giải: * Cách 1: x 0 x 4(*) x Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) a b Dấu “=” xảy và c d Chọn a x 2; c 1; b x ; d 1 với x 4 Ta có: x y x x y 4 y 2 y2 x 4 x x 12 12 Vì y > nên ta có: y 2 Dấu “=” xảy x x x 4 x x 3 (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y là x = * Cách 2: Ta có: y x x x 0 x 4 Điều kiện: 4 x 0 Vì y > nên y đạt GTLN và y2 đạt GTLN 2 Ta có: y x x ( x 2)(4 x) y 2 ( x 2)(4 x) x 0 x 4 4 x 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm Do ( x 2)(4 x) ( x 2) (4 x) 2 cho ta: Do đó y 2 4 Dấu “=” xảy x 4 x x 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y là x = Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y 3 x x (1 x 5) Giải: (14) a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) và ( ( x 1; x ) ta có: y (3 x x ) (32 ) x x 100 <=> y 100 => y 10 Dấu “=” xảy <= x 5 x x 5 x 16 hay 61 => x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 61 Vậy GTLN y là10 x = 25 * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x x 3 x x x = x 1 5 x 5 x x 1 x Đặt: A = x x thì t2 = + 4 => A 2 và dấu “=” xảy x = x = Vậy y 3 + = Dấu “=” xảy x = Do đó GTNN y là x = Bài toán 3: GTNN y là x = Tìm GTNN biểu thức: M = x 1994 ( x 1995) Giải: x 1994 M= ( x 1995) Áp dụng bất đẳng thức: M= = x 1994 x 1995 a b a b ta có: x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M x 1994 1995 x 1 Dấu “=” xảy và (x – 1994) (1995 – x) <=> 1994 x 1995 Vậy GTNN M = 1994 x 1995 (15) Bài toán 4: Tìm GTNN B = 3a + a với -1 a 1 Giải: 16 a 5 a a 25 B = 3a + Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta 3 16 a 1 a 16 5 a a 5 25 25 2 2 25a 41 25a 5 5 25 => B => Do đó B 5 và dấu “=” xảy và a 16 1 a 25 <=> a = Vậy GTNN B = <=> a = Bài toán 5: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x x Giải: x x 0 x x 1 0 Điều kiện: 2 <=> -(x-1) + 0 x 1 8 2 x 2 2 x 2 Với điều kiện này ta viết: 2 x x x 1 8 x x 2 2 x x 2 2 2 => + Do đó: x x2 1 21 1 (16) Vậy A 3 21 và dấu “=” xảy <=> x -1 = <=> x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN A = x 1 Bài toán 6: 3x Tìm GTNN biểu thức: A = x Giải: Điều kiện: – x2 > <=> x2 < <=> - < x < => A > => GTNN A A2 đạt GTNN 3x Ta có: A2 = x2 2 25 30 x x x 16 16 x2 x2 Vậy GTNN A = x Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y 1 Tìm GTNN biểu thức: A = x x2 Giải: Điều kiện: – x2 0 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0 và – x2 0 Ta có: x2 + – x2 <=> 2 x x 2 x x 2 A A 2 Vậy GTLN A = x = hay x = Bài toán 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x 1996 1998 x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 x 1998 Vì y 0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: (17) x 1996 1998 x ( x 1996) (1998 x) 2 Dấu “=” xảy và x – 1996 = 1998 – x <=> x = 1997 Do đó y2 4 y 2 Vậy GTLN y là x = 1997 Bài toán 9: 1 x Cho x 1 Tìm GTLN biểu thức y = x + Giải: Ta có: y x x =x+2 1 x Vì x 1 nên – x 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: và (1 – x) cho ta: 1 y x x x x 2 1 1 x x Dấu “=” xảy <=> Vậy GTLN y là x = Bài toán 10: Cho M = a a a 15 a Tìm TGNN M Giải: M = a a a 15 a = a a a a 16 a 1 a 1 = Điều kiện để M xác định là a – 0 a 1 M a 1 a 1 Ta có: Đặt x = a điều kiện x 0 Do đó: M = x x Ta xét ba trường hợp sau: x x 2 x 1) Khi x 2 thì Và x x 4 x (18) => M = – x + – x = – 2x 6 2.2 2 Vậy x < thì M 2 2) Khi x 4 thì x x và ¿ x-4 ¿ =x-4 => M = x x 2 x 2 4 2 Vậy x > thì M 2 3) Khi < x < thì x x và x 4 x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp này thì: a <=> a 16 <=> a 17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: a 17 D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x x 3 Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = <=> x = 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3) – Xảy đẳng thức và x = giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x 3 Do đó không thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 2 Tìm các giá trị m để x1 x2 có giá trị nhỏ Gợi ý: = 4(m - )2 + > Phương trình đã cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: (19) x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 (2m 1) 2(m 2) 4m 6m 11 11 2m 2 4 = x12 x22 114 => Min ( với m = Bài toán 3: Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y và vào E Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = <=> A + (x – y)2 = <=> Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy <=> 3A = + (x + y)2 8 8 => A A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN và GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki 2 (x +2y)2 ( x y ) (12 + 12) = 50 <=> x y 50 50 M 50 5 ;y 2 Vậy Max M = 50 x = 5 Min M = -5 x = - ; y = - 2 Bài tóan 6: (20) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x y 2 A= x y x y Gợi ý: 2 Từ (x2 – y)2 0 x y 2 x y x x => x y x y y y x Tương tự: x2 y y x x y 1 xy 1 => A 1 => Max A = Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A= x x 1 x x 1 Gợi ý: B= x 1 1 x Min B = - x 0 Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: a b c a b c 2 x a b c 3 Biểu diễn B = a b c => GTNN B = (a2 + b2 + c2) - Bài toán 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Vậy Min P = y = ; x = Bài toán 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: 2 (21) Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10 y = ; x = Bài toán 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x y z Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x y z = = ⇔ √5 26 x= 52 ¿ y= ❑ ❑ 13 √ ¿z= {}{|} {} Bài toán 12: Tìm GTNN biểu thức sau: x2 1 a) A = x 8 b) B = 3x x2 c) C = x Với x 0 Với x Với x Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: 2 A = (x + 2) + x 8 1 ) 2 b) B = 3x (vì 3x 2 2x 1 x 1 c) C = Min C = - x = Bài toán 13: x x 2000 ;( x 0) x2 Tìm GTNN biểu thức A = Gợi ý: 2000 x 2000 x 20002 ( x 2000) 1999 x 2000 x 2000 x A= (22) ( x 2000)2 1999 1999 2000 2000 = 2000 x 1999 Vậy Min A = 2000 Khi x = 2000 Bài toán 14: Tìm GTNN biểu thức: x 16 x3 56 x 80 x 356 x2 2x P= Gợi ý: Biểu diễn P = ( x x 5) 256 64 x 2x (áp dụng BĐT Côsi) => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: x2 x x Tìm GTNN A = x2 B = x với x > với x > x x2 C= x2 x 1 1 (1 x) x D= x E = 1 x x x F = x với x > với < x < với x > Gợi ý: 4 2 x 8 x A = x+ x (vì x > 0) => Min A = x = x2 1 2 ( x 1) 2 4 x B = x (vì x > 1) => Min B = <=> x = ( x x 1) C= x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 4 2 x x x D = (1 + x) (vì x > 0) (23) 51 x x 5x 5x x x 51 x 2 2 x 1 x x 1 x x E = 1 x x 11 x x 2 x x 2 x F= 2 = => Min F = x = Bài 16: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: x xy 2 P= x y Gợi ý: ( y 3x ) 2 x y P=9( x y)2 9 2 P=9- x y Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 Tìm GTNN biểu thức S = x y x y 10 1 + x(10 x) Gợi ý: S = x y = xy S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = => GTNN S = x = y = Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: 2 E = x x 1 x x 1 Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x x 1) 4 => Min E = x = Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a 3 ; a + b 5 Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b 5 2a 2b 10 3a 2b 13 (vì a 3) => 13 3a 2b 13 a b (24) => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Tìm m x1 x2 đạt GTNN Gợi ý: ' (2m 1) phương trình luôn có nghiệm phân biệt x ; x Theo định lý vi-ét ta có: x1 x2 2m x1.x2 3m 4m 2 x1 x2 4m 2 Do đó GTNN x1 x2 m R là m = Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y= x x x 1998 Gợi ý: y= Ta có: 1x x 1998 x x 1997 + …+ x 998 x 999 x x 1998 1;1998 nhỏ 1997 x x x 1997 2;1997 nhỏ 1995 x x 998 x 1999 999;1000 nhỏ x Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số các số hạng + + … + 1997 là (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 x 1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ M và các giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: x y t 21 2 x y z 101 Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 (1) (2) (25) x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do đó 2M 122 M 61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y 0 x y x y 0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 101 y 33 y 5 Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1) Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m là nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = ' Để tồn a thì 0 Giải điều kiện này m4 - m2 0 <=> m(m – 1) 0 m 1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN là với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN là với a = -2 x2 x 2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = x Gợi ý: Vì x2 + > với x x2 x 2 Đặt a = x => (a – 1) x2 – x +a – = (1) a là giá trị hàm số <=> (1) có nghiệm (26) 1 - Nếu a = thì (1) <=> x = ' - Nếu a 1 thì (1) có nghiệm <=> 0 3 Min A = 1 3+ ; Max A = 2 với x = với x = Bài 25: x xy y 2 Tìm GTNN, GTLN A = x xy y Gợi ý: Viết A dạng sau với y 0 A ( x x 1 y y x x 1 y y a a 1 a a 1 x a y (đặt ) A 3 Giải tương tự bài 24 được: Còn với y = thì A = 1 Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: a b 3ab ab Với Q dạng Q = (a + b) = – 2ab = – 2a (1 – a) => Q = 2a – 2a + 1 Do đó: Min Q = a = b = 2 51 (27)