(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng số phức để giải một số bài toán hình học và lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC Người thực hiện: Trần Công Sinh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Mơn Tốn THANH HĨA NĂM 2017 Mục lục Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 14 Kết luận, kiến nghị 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 15 Tài liệu tham khảo 16 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Việc giải tốn hình học lượng giác q trình mị mẫn, tìm tịi, vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp dựa hiểu biết người học Có người phải mị lâu, thử hết cách đến cách khác giải được, có người lại tìm cách giải nhanh Vậy đâu bí cho khả giải tốn hình học lượng giác nhanh gọn xác? Cách rèn luyện chúng nào? Vận dụng kiến thức gì? Sau tơi xin trình bày số kinh nghiệm nhỏ tơi đề tài giúp em học sinh tìm đường giải số tốn hình học nhanh gọn, tìm tịi lời giải tốn góc độ khác nhau, khía cạnh khác Đặc biệt giai đoạn nghiêm túc thực vận động hai không với nội dung Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo việc trang bị cho em học sinh phương pháp tìm tịi lời giải tốn, định hướng tư quan trọng Hơn cho học sinh tiếp cận làm quen với ứng dụng số phức cách vận dụng mà lâu ta chưa cho học sinh làm quen Trước ta giải toán hình học phương pháp sơ cấp Trong đề tài mạnh dạn đưa kinh nghiệm mà thân thực tế giảng dạy tự tìm tòi nghiên cứu để giúp em học sinh rèn luyện tư theo chiều hướng giải toán tìm thấy vấn đề hay mơn tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp em học sinh áp dụng kiến thức số phức, giải tốn hình học - Rèn luyện khả phân tích tốn - Rèn luyện khả định hướng đường lối giải tốn hình học lượng giác trường số phức - Rèn luyện khả chọn lựa phương pháp cơng cụ thích hợp để giải toán - Rèn luyện khả kiểm tra giải - Rèn luyện khả tìm kiếm toán liên quan sáng tạo toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Ứng dụng số phức để giải số tốn hình học lượng giác 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp nghiên cứu thực tế: + Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp + Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học + Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Học sinh áp dụng kiến thức số phức để giải tốn hình học lượng giác vấn đề nêu mục a Học sinh có đủ tự tin vào phương pháp mà tiến hành hy vọng tính đắn phương pháp, giúp em có điều kiện đón nhận kết xảy kiểm nghiệm tính đắn đốn nhận qua chứng minh Các em học sinh biết phân tích năm bắt tốn dạng riêng lẻ dạng tổng quát từ em nhận dạng toán phân loại toán Từ việc đoán nhận trình hình thành tốn tác giả học sinh có hiểu biết sâu sắc tốn mà giải sáng tạo toán - Yêu cầu đề tài + Người dạy phải tổng hợp kiến thức số phức cho học sinh chọn tốn điển hình, truyền đạt theo hệ thống lơgíc từ đến khó để học sinh dễ tiếp cận với phương pháp + Người học phải chủ động tiếp thu kiến thức, tìm tịi tốn vận dụng linh hoạt vào trình giải toán Thường xuyên tư liên tục để hiểu sâu sắc toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Trong thời điểm đặc biệt em học sinh trường THPT Nguyễn Thị Lợi việc học sinh tìm lời giải tốn hình học lượng giác khó khăn, em thường lúng túng đứng trước toán chương trình sách giáo khoa - Số phức vấn đề (trước đưa vào chương trình Phổ thơng chun ban) mà vấn đề áp dụng giải tốn hình học lượng giác nên phức tạp khó khăn Bởi tốn hình học lượng giác khó - Vì chất lượng số học sinh, có học lực yếu nên khơng tìm cách giải (ngồi phương pháp sơ cấp) học lực em có chiều hướng xuống - Trong năm học 2016-2017 lớp 12E qua toán áp dụng số phức để giải tốn hình học, kết học sinh bảng sau: Loại sĩ số 37 Giỏi SL % 10.8 Khá SL % 15 40.5 Trung bình SL % 18 48.7 Yếu SL % 0 Kém SL % 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong q trình triển khai tơi tổ chức cho học sinh áp dụng kiến thức số phức để giải số tốn hình học thơng qua ứng dụng cụ thể với kiến thức cụ thể vấn đề Rèn luyện khả phân tích tốn Đó việc xem xét, nghiên cứu toán cho Ở vấn đề quan trọng cách nhìn tốn Phải biết cách nhìn tốn dạng quy, mẫu mực Đây cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu tốn Cách nhìn giúp học sinh phát đặc điểm bản, đơn giản khơng bị che khuất hình thức rắc rối Tuy học sinh lại phải biết cách nhìn tốn dạng đặc thù, riêng lẻ, phải luyện tập nhiều Từ biết khai thác hết khía cạnh biểu tinh vi toán Số phức từ đời, thúc đẩy toán học tiến lên giải số vấn đề khoa học kỹ thuật Riêng hình học, số phức có ứng dụng quan trọng Bài giới thiệu việc áp dụng số phức để giải số tốn hình học y a Lý thuyết số phức trình bày sách giáo khoa phổ thơng Cũng nên b nhắc lại việc biểu diễn hình học số phức z  cầu nối liền lý thuyết số phức với a hình học Trên mặt phẳng quy hai trục toạ x Hình độ vng góc với Ox Oy, số phức z = a + bi biểu diễn điểm Z có hồnh độ a tung độ b Nếu số phức viết dạng lượng giác z = r (cos   i sin  ) mơđun z  r  a  b  OZ , cịn agumen  góc trục hồnh OZ (hình 1) Như vậy, ta biểu diễn số phức z vectơ OZ Để tiện việc trình bày sau này, ta ký hiệu điểm chữ A, B, C…,Z, số phức tương ứng theo thứ tự kí hiệu chữ thường a, b, c…, z b/ Trước hết cần làm quen với y y phép biến hình thường gặp Ta thống z' kí hiệu Z'(z') ảnh điểm Z(z) (Những z  z' z A x Hình x điều khơng khó lắm, xin dành việc chứng minh cho bạn đọc) - Phép đối xứng qua góc toạ độ: z' = -z Hình - Phép đối xứng qua trục Ox: z' = z (liên hợp z) - Phép tịnh tiến theo vectơ OA (hình 2): z' = z + a y y (1)  (vì OZ  OZ  OA ) A z z x x - Phép quay góc  xung quanh gốc toạ z z' độ O: z' = qz Hình (2) Hình Trong q = cos   i sin  (hình 3) Điều suy dễ dàng nhớ lại quy tắc nhân hai số phức: nhân hai số phức mơđun tích tích mơđun, cịn agumen tích tổng agumen hai thừa số - Phép vị tự tâm O tỉ số k; z' = kz - Phép quay góc  quanh O tiếp theo, phép vị tự tâm O tỉ số k (hình 4); z' = pz với p  k (cos   i sin  ) - Phép đối xứng qua điểm A Vì A trung điểm đoạn ZZ' (hình 5) nên OA = (1/2)( OZ  OZ ' ), từ a = (1/2)(z + z') hay z' = 2a - z Đó cơng thức phép đối xứng qua điểm A - Phép quay góc  xung quanh điểm A Nếu thực phép định tiến theo vectơ OA rõ ràng điểm A biến thành điểm O (hình 6), cịn điểm Z Z' theo thứ tự biến thành y z'1 z' z điểm Z1 Z'1 xác định z1 = z - a z1 = z' - a  (theo công thức (1) Nếu Z' ảnh z Z1 A phép quay góc  quanh A z1 ảnh Z1 x phép quay góc  quanh O, ngược lại Hình Theo cơng thức (2) ta có Z'1 = qz1 hay z' - a = q (z - a) (3) với q = cos   i sin  Đó phép quay góc  quanh điểm A Bằng phương pháp tịnh tiến gốc ta suy công thức phép biến hình sau: - Phép vị tự tâm A tỉ số k; z' - a = k' (z - a) - Phép quay góc  xung quanh điểm A, tiếp theo, phép vị tự tâm A tỉ số k: z' - a = p(z - a) (4) với p = k (cos   i sin  ) * Để chuẩn bị cho việc làm toán, ta tập dượt diễn đạt tính chất hình học quen thuộc biểu thức số phức: - Nếu M điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số MA / MB  k ta có (OA  OM ) /(OB  OM )  k hay OM  (OA  k OB ) /(1  k ) Từ có thệ thức số phức: m = (a - kb)/(1-k) (5) Đặc biệt M trung điểm đoạn AB m = (a + b)/2 - Nếu G trọng tâm tam giác ABC OG  (OA  OB  OC ) / Từ ta có g = ( a + b + c) /3 - Điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD hình bình hành đường chéo AC BD có trung điểm trùng nhau, hay a+c=b+d (7) - Điều kiện cần để hai đoạn thẳng AM AN vng góc  m - c = i (n - a) (8) áp dụng cơng thức (3) B p = cos( 90 ) =  i C B1  - Điều kiện cần đủ để hai  tam giác ABC A1B1C1 A A đồng dạng hướng (a  b) /(c  b)  ( a1  b1 ) /(c1  b1 ) (9) Hình Thật vậy, thực phép quay góc  quanh điểm B (hình 7) đó, phép vị tự tâm B tỉ số k = BA/BC C biến thành A Theo cơng thức (4) ta có a - b =  (c  b) (10) với p = k( cos   i sin  ) Hai tam giác ABC A1B1C1 đồng dạng hướng CBA = C1B1A1 =  (cùng hướng), B1A1/B1C1 = BA/BC = k a1 - b1 = p(c1 - b1) (11) Từ hệ thức (10) (11) ta rút (a-b)/(c-b) = (a1 - b1)/(c1 - b1) Đó điều kiện cần đủ để hai tam giác cho đồng dạng hướng Chú thích: Hai tam giác ABC A 1B1C1 gọi hướng chu vi tam giác ABC từ A đến B đến C trở A chu vi tam giác A 1B1C1 từ A1 đến B1 đến C1 trở A1, ta theo chiều kim đồng hồ Nếu khơng thoả mãn điều hai tam giác cho gọi ngược hướng * Bây ta vận dụng điều trình bày để giải số tốn hình học phẳng C1 Cho hai hình bình hành A1B1C1D1, A2B2C2D2 theo tỉ số k Chứng minh tứ giác ABCD hình hình hành tìm quỹ tích giao điểm đường chéo hình bình hành k thay đổi.[1] Lời giải: Theo giả thiết ta có (áp dụng công thức (7) (5) a1 + c1 = b1 + d1, a2 + c2 = b2 + d2, a = (a1 - ka2)/(1 - k) b = (b1 - kb2)/(1 - k)c = (c1 - kc2)(1 - k) d = (d1 - kd2)/(1-k) Từ hệ thức dễ dàng rút a + c = b + d, chứng tỏ tứ giác ABCD hình hình hành Gọi M 1, M2 M giao điểm đường chéo hình bình hành A1B1C1D1, A2B2C2D2 ABCD Cũng tương tự hệ thức ta rút m = (a + c)/2 = [a1 + c1)/2 - k(a2 + c2)/2]/(1 - k) = (m1 - km2)/(1-k) Hệ thức chứng tỏ M nằm đường thẳng M 1M2 chia đoạn M1M2 theo tỉ số k Khi k thay đổi, quỹ tích M đường thẳng M1M2 Người ta dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác đồng dạng ABK, BCL CAM Chứng minh tam giác KLM ABC có trọng tâm trùng nhau.[2] Lời giải: Theo cơng thức (9) ta có hình (8): M (a - k)/(b-k) = (b-l)/(c-1) = (c - m)/(aA m) = p C (p số phức đó) k Từ rút k = (a-pb)/(1-p) l = (b-pc)/(1-p), m = (c - pa)/(1- L B Hình p) Ta có 1/3(k+l+m) = 1/3(a - pb + b - pc + c - pa)/(1 - p) = 1/3(a + b + c) Điều chứng tỏ trọng tâm tam giác KLM ABC trùng Chú ý: Nếu dựng tam giác ABK, BCL, CAM phía tam giác ABC kết cịn Tóm lại cần tam giác hướng Người ta dựng phía ngồi tứ giác lồi ABCD hai hình vuống ABMN CDKL Chứng minh trung điểm đường chéo tứ giác ABCD MNKL đỉnh hình vng trùng Lời giải: Theo cơng thức (8) ta có hình (9) n - a = i(b-a), a - b = i(m b) Từ rút n = a + i(b - a), m = b + i(b - a) Tương tự ta có l = c + i(d - c) k = d + i(d - c) Gọi U, V, S, T theo thứ tự trung điểm đường chéo AC, BD, KM LN ta có M u = (a + c)/2, v = (b + d)/2 B C L s = [b + d + i(b + d - a - c)]/2 t = [a + c +i(b + d - a - c)]/2 ta có N A D v + t = [a + b + c +d + i(b + d - a c)]/2 = u + s v - t = (b + d - a - c)(1 - i)/2 u - s = (a + c - b - d)(1 + i)/2 Giả sử b + d - a - c  ta có (v - t)/(u - s) = -(1 - i)/(1 + i) = -(1 - i)2/[(1 + i)(1 - i) = i Các hệ thức (v - t)/(u - s) - i v + t = u + s theo thứ tự chứng tỏ đường chéo VT US tứ giác UVST vng góc, có trung điểm trùng nhau, tức tứ giác UVST hình vng Trong trường hợp b + d - a - c = 10 K tức a + c = b + d, tứ giác ABCD hình bình hành Lúc ta có v - t = u - s = 0, với v + t = u + s , ta rút u = v = s = t , tức điểm U, V, S T trùng * Bây ta vận dụng điều trình bày để giải số toán lượng giác Sau dạy cho học sinh phương pháp chọn toạ độ phức thích hợp cho tốn, đưa ví dụ sau Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= cos 2A + cos 2B+ cos 2C, với A, B, C góc tam giác ABC.[3] Ở lớp 11, học sinh biết chứng minh tam giác ABC, ta có: cos 2A + cos 2B+ cos 2C = -4cosA cosB cosC -1 Khi đứng trước tốn tìm giá trị nhỏ P, học sinh gặp khó khăn việc biến đổi để đưa P biể thức đánh giá Từ dẫn học sinh tới việc phải tính giá trị cơsin góc, mà điều thuận lợi ta chọn toạ độ phức thích hợp cho đỉnh GIẢI: Chọn đường trịn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn đơn vị; giả sử toạ độ đỉnh tam giác: Đỉnh A a; đỉnh B b; đỉnh C c Ta có: cos2A= cos2A= bc cb   bc +cb a a  bb  cc  2b c 2b c Tương tự ta có: 1  1  cos B   ca  ac  , cos 2C   ab  ba  2  2   P  cos2A+cos2B+cos2C= bc  cb  ca  ac  ab  ba  11 A C B P  aa  ab  ac  bb  ba  bc  cc  ca  cb  aa  bb  cc   2  aa  b  c  bb  a  c  cc  a  b  3  2 3     a  b  c   a  b  c    , do:  a  b  c  a  b  c  2      Do Pmin = - , a + b + c = hay OA + OB + OC = , Suy O = G, điều có nghĩa tam giác ABC tam giác Như vậy, thơng qua ví dụ giáo viên khắc sâu kiến thức chọn toạ độ thích hợp cho tốn Đặc biệt giúp học sinh ôn tập lại kiến thức học như: cơng thức tính góc, tính chất mơđun, tính chất toạ độ điểm thuộc đường tròn đơn vị, Qua tốn góp phần rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ biến đổi số phức cho học sinh - Với chức giáo dục, tập giúp học sinh hình thành giới quan vật biện chứng, buớc nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin thân học sinh phẩm chất người lao động mới; rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, khơng ngại khó, xác chu đáo khoa học 12 Có thể thấy rõ điều qua ví dụ mà ta xét Sau học sinh liên hệ đến tập biết lớp 11, bước đầu gây cho em khó khăn việc tìm hướng giải tốn Sau gợi ý cho học sinh sử dụng số phức để giải toán nhờ việc chọn toạ độ thích hợp cho yếu tố tốn tạo cho em niềm tin vào thân, tạo cho em hứng thú giải toán nhiều đường khác Giáo viên cần quan tâm, động viên để em kiên trì biến đổi đưa đến kết toán Với chức phát triển, tập giúp học sinh ngày nâng cao khả suy nghĩ, rèn luyện thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hố, khái qt hố, thơng thạo số phương pháp suy luận toán học, biết phát giải vấn đề cách thông minh, sáng tạo Từ hình thành phẩm chất tư khoa học Quay trở lại ví dụ 1, sau học sinh hồn thành lời giải cho tốn, giáo viên đưa số tốn khác gần gũi trường hợp đặc biệt, tương tự với toán trên, chẳng hạn: Bài 1: Chứng minh rằng, với tam giác ABC ta có:[4] CosA + cosB + cosC ≤ Bài Cho tam giác nhọn ABC, chứng minh rằng:[5] Cos2A – cos2B – cos2C < Do học sinh giải toán nên xét trường hợp đặc biệt, tương tự tạo cho học sinh tích cực việc tìm lời giải tốn.Qua hình thành cho học sinh biết suy nghĩ, suy xét tốn góc độ khác nhau, biết xét trường hợp đặc biệt để tìm lời giải cho toán lớn - Với chức kiểm tra, tập giúp giáo viên học sinh đánh giá mức độ kết trình dạy học, đồng thời đánh giá khả độc lập tốn học trình độ phát triển học sinh 13 - Thông qua giải tập, giáo viên tìm điểm mạnh, hạn chế việc tiếp thu trình bày tri thức học sinh Qua bổ sung, rèn luyện bồi dưỡng tiếp cho học sinh Có thể nói hiệu việc dạy tốn trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm - Các biện pháp thực Trong trình triển khai ý tưởng đề tài tổ chức cho học sinh rèn luyện để phát triển tư theo hình thức - Tổ chức cho học sinh tiết ôn tập chương, ôn tập học kỳ, tập có từ tiết trở lên - Tổ chức cho học sinh học tập bồi dưỡng buổi chiều, tổ chức học tập theo nhóm để từ phân loại học sinh tạo cho em học sinh hỗ trợ trình chủ động tìm tòi kiến thức 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong suốt năm học kể từ ôn tập kiến thức khối 12 cho học sinh buổi chiều kiến thức học sinh lớp 12A2 học sinh tiếp thu việc tìm lời giải toán học sinh tiến rõ rệt, kết thu sau: Loại sĩ số 37 Giỏi SL % Khá SL % 18.9 20 54.1 Trung bình SL % 10 27 Yếu SL % 0 Kém SL % Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Với đề tài mạnh dạn đưa kinh nghiệm nhằm rèn luyện phát triển tư cho học sinh dựa sở định hướng cách giải toán, loại toán dựa nội dung là: Khả 14 phân tích tốn định hướng xác định đường lối giải toán, khả lựa chọn phương pháp cơng cụ thích hợp để giải toán, khả kiểm tra giải khả tìm kiếm tốn liên quan sáng tạo toán định hướng giải toán góc cạnh khía cạnh khác 3.2 Kiến nghị Đề nghị Sở Giáo dục Đào tạo biên soạn thành sách sáng kiến đổi xếp loại trở thành tài liệu giúp ích công tác giảng dạy giáo viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ GD-ĐT, Bộ đề thi tuyển sinh đại học năm 1996, NXBGD, 1996 Ths Lê Hồng Đức, Vương Ngọc, Nguyễn Tuấn Phong, Lê Hữu Trí, Bài giảng trọng tâm chương trình tốn 10, NXBĐHQGHN, 2011 15 Phan Huy Khải, Tốn bồi dưỡng nâng cao hình học 10, NXBGD Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn hệ thức lượng giác, NXBHN, 2004 Lê Mậu Thống, Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thảo, Phâ loại phương pháp giải toán lượng giác 11, NXBHN, 2005 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Sầm Sơn, ngày 10 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Công Sinh 16 ... luận, kiến nghị 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 15 Tài liệu tham khảo 16 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Việc giải tốn hình học lượng giác. .. toán học tiến lên giải số vấn đề khoa học kỹ thuật Riêng hình học, số phức có ứng dụng quan trọng Bài giới thiệu việc áp dụng số phức để giải số tốn hình học y a Lý thuyết số phức trình bày sách... đề áp dụng giải tốn hình học lượng giác nên phức tạp khó khăn Bởi tốn hình học lượng giác khó - Vì chất lượng số học sinh, có học lực yếu nên khơng tìm cách giải (ngồi phương pháp sơ cấp) học lực