Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm.. Ví dụ: Giải các phương trình sau a.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Phương trình bậc ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình bậc ẩn là phương trình có dạng ax + b = , đó a , b là số, a ≠ Ví dụ: x − = ; −3x + = ; − x = là phương trình bậc ẩn 1.2 Giải và biện luận phương trình ax + b = ax + b = (1) • • b a ≠ : (1) có nghiệm x = − a a=0: b ≠ : (1) vô nghiệm b = : (1) thỏa mãn với x ∈ℝ (có vô số nghiệm) Ví dụ: Giải các phương trình sau b) − 3x = a) x − = Giải: a) 2x − = ⇔ 2x = ⇔x=4 Vậy nghiệm phương trình là x = b) − 3x = ⇔ −3 x = −5 ⇔ x= 5 Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m − 1) x + − m = (*) Vậy nghiệm phương trình là x = Giải: • m − ≠ ⇔ m ≠ Phương trình (*) có nghiệm (*) ⇔ (m − 1) x = m − ⇔ x =1 • m − = ⇔ m = Phương trình (*) trở thành: 0x = Phương trình nghiệm đúng với x ∈ ℝ (phương trình có vô số nghiệm) Vậy: • m ≠ , (*) có nghiệm x = • m = , (*) có vô số nghiệm 1.3 Phương trình quy phương trình bậc mộ t ẩn mx + n 1.3.1 Phương trình = e v ới p ≠ px + q Điều kiện phương trình xác định px + q ≠ hay x ≠ − Phương trình đã cho tương đương với q p (2) mx + n = e( px + q ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2x + =5 −4 x + b) −x +1 =2 x −1 Giải: 2x + =5 −4 x + Điều kiện: a) Phương trình đã cho tương đương với: x + = 5(−4 x + 3) −4 x + ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x + = −20 x + 15 ⇔ 22 x = 12 ⇔x= (nhận) 11 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 11 −x +1 =2 x −1 Điều kiện: x −1 ≠ ⇔ x ≠ Phương trình đã cho tương đương với: − x + = 2( x − 1) b) ⇔ − x + = 2x − ⇔ 3x = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1.3.2 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ Điều kiện phương trình xác định là cx + d ≥ Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔ ax + b = −(cx + d ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc ta có thể viết gọn là: cx + d ≥ ax + b = cx + d ⇔ ax + b = cx + d ax + b = −(cx + d ) Giải tìm nghiệm và đối chiếu với đ iều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Để dễ nhớ ta viết (3) B ≥ A = B ⇔ A = B A = −B Ví dụ: Giải phương trình x − = x − Giải: 2x − = x −1 Điều kiện: x −1 ≥ ⇔ x ≥ Phương trình đã cho tương đương với: 2 x − = x − x − = −( x − 1) x = ⇔ 3x = x = (loại) ⇔ x = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Hoặc ta có thể giải sau: 2x − = x −1 x −1 ≥ ⇔ 2 x − = x − x − = −( x − 1) x ≥ ⇔ x = 3x = x ≥ x = (loại) ⇔ x = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔ ax + b = − (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: A = B A = B ⇔ A = −B Ví dụ: Giải phương trình 3x − = − x Giải: 3x − = − x (4) 3x − = − x ⇔ 3x − = −(5 − x) 5 x = 10 ⇔ 3 x − = x − x = ⇔ x = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = và x = (Hoặc: Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là S = {0;2} ) Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx − = x + m (*) Giải: Ta có: mx − = x + m ( a) mx − = x + m ⇔ mx − = −( x + m) (b) (a) ⇔ (m − 1) x = m + • • m+2 m −1 m − = ⇔ m = , (a ) trở thành x = , phương trình này vô nghiệm m − ≠ ⇔ m ≠ , (a ) có nghiệm x = (b) ⇔ (m + 1) x = −m + • • −m + m +1 m + = ⇔ m = −1 , (b) trở thành x = , phương trình này vô nghiệm m + ≠ ⇔ m ≠ −1 , (b) có nghiệm x = Ta có b ảng sau: Nghiệm (a ) Nghiệm (b) Nghiệm (*) m =1 Vô nghiệm −m + = m +1 2 m = −1 m+2 =− m −1 Vô nghiệm m ≠ ±1 m+2 m −1 −m + m +1 − m + −m + ; m −1 m +1 Vậy: • m = , (*) có nghiệm x = m = −1 , (*) có nghiệm x = − m+2 −m + • m ≠ ±1 , (*) có hai nghiệm x = , x= m −1 m +1 Phương trình bậc hai ẩn 2.1 Định nghĩa • Phương trình bậc hai ẩn là phương trình có dạng ax + bx + c = , đó a , b , c là số, a ≠ (5) Ví dụ: x − x + = ; − x2 + x − = ; 2 x − x + = là phương trình bậc hai ẩn 2.2 Giả i và biện luận phương trình ax + bx + c = ax + bx + c = (2) • • a ≠ Ta tính ∆ = b2 − 4ac (tương ứng ∆ ' = b ' − ac b = 2b ' ) ∆ < (tương ứng ∆ ' < ): (2) vô nghiệm b b' (tương ứng x = − ) ∆ = (tương ứng ∆ ' = ): (2) có nghiệm kép x = − 2a a ∆ > (tương ứng ∆ ' > ): (2) có hai nghiệm phân biệt −b + ∆ −b − ∆ −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' x1 = ; x2 = (tương ứng x1 = ; x2 = ) 2a 2a a a a = : (2) trở thành bx + c = Đây là phương trình phương trình (1) nêu phần trên Cách giải và biện luận giống phần 1.2 Ví dụ : Giải các phương trình sau a) Giải: Ví dụ : Giải và biện luận phương trình Giải: 2.3 Định lý Viet 2.3.1 Định lý Viet thuận Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đ ó là: S = x1 + x2 = − b ; a P = x1 x2 = c a Ghi chú: - Nếu a + b + c = thì phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 = , x2 = c a c - Nếu a − b + c = thì phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 = −1 , x2 = − a 2.3.2 Định lý Viet đảo Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm phương trình: x − Sx + P = 2.4 Phương trình quy phương trình bậc hai ẩn ax + b 2.4.1 Phương trình = mx + n với mc ≠ cx + d d Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≠ ⇔ x ≠ − c Phương trình đã cho tương đương với: ax + b = (cx + d )(mx + n) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm (6) 2.4.2 Phương trình ax + b mx + n với pc ≠ = cx + d px + q d x≠− cx + d ≠ c Điều kiện phương trình xác định: ⇔ px + q ≠ x ≠ − q p Phương trình đã cho tương đương với: (ax + b)( px + q ) = (cx + d )(mx + n) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm 2.4.3 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ (ax + b) = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc có thể viết sau: cx + d ≥ ax + b = cx + d ⇔ 2 (ax + b) = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ A =B⇔ 2 A = B b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ ax + b = cx + d ⇔ (ax + b)2 = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: A = B ⇔ A2 = B 2.4.4 Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ ax + b = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc ta có thể viết sau: cx + d ≥ ax + b = cx + d ⇔ ax + b = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ A=B⇔ A = B (7)