Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu v[r]
(1)I Lý chọn đề tài: NhiÒu n¨m gÇn ®©y c¸c kú thi chän läc häc sinh giái c¸c cÊp bËc THCS vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT thêng cã c¸c bµi to¸n yªu cÇu t×m gi¸ trÞ lín (GTLN); giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức nào đó Các bài toán này là phần các bài toán cực trị đại số Các bài toán cực trị phong phú và đa dạng, nó tơng đối và khó học sinh THCS Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n, t s¸ng t¹o Vậy làm nào để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay là hình thành đợc công thức "ẩn tàng" nào đó gặp bài toán cực trị đại số Là ngời trực tiếp giảng dạy toán trờng THCS, quá trình giảng dạy, đặc biệt lµ d¹y häc sinh giái, t«i lu«n lu«n tr¨m trë, t×m tßi, chän läc nh÷ng ph¬ng ph¸p hîp lý nhÊt để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh cách suy nghĩ làm quen với dạng toán này để các em có đợc số phơng pháp giải Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu "Một số phơng pháp để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS" II mục đích và nhiệm vụ đề tài Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài số phơng pháp để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết từ đó có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh cã hiÖu qu¶ gióp häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc vµ vËn dông linh ho¹t kiÕn thức toán học đặc biệt là kiến thức "Một số phơng pháp để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS” Nghiên cứu đề tài để đợc thuận lợi và khó khăn dạy học phần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn to¸n Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công dạy toán tìm cc trị đồ thức NhiÖm vô nghiªn cøu Đề tài đa hệ thống các phơng pháp thờng dùng để giải bài toán cực trị và số bài toán áp dụng phơng pháp Trang bị cho học sinh lớp hệ thống kiến thức để giả bài toán cực trị, tránh đợc nh÷ng nhÇm lÉn thêng gÆp gi¶i d¹ng bµi to¸n nµy Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm đợc số phơng pháp và có thể vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ giải bài toán cực trị, đồng thời giúp học sinh thấy đợc cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn toán học, kích thích tò mò khám ph¸, t×m hiÓu bµi to¸n III đối tợng và phạm vi nghiên cứu Nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ ch¬ng tr×nh to¸n THCS Nghiªn cøu c¸c tµi liÖu cã liªn quan Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, IV Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn §äc c¸c tµi liÖu cã liªn quan (2) T¹p chÝ to¸n tuái th¬ Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n S¸ch gi¸o khoa S¸ch gi¸o viªn S¸ch tham kh¶o Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra §iÒu tra n¾m t×nh h×nh d¹y cña c¸c gi¸o viªn vµ ngoµi nhµ trêng Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phơng pháp để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS” học sinh ChÊt lîng cña häc sinh tríc vµ sau thùc hiÖn Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch Ph©n tÝch yªu cÇu, kÜ n¨ng gi¶i m«t bµi tËp Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm Rút bài học cho thân và đồng nghiệp đẻ dạy tốt quá tr×nh d¹y häc phÇn ii: néi dung I C¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt Các định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D : M đợc gọi là GTLN f(x,y, ) trên miền |D điều kiện sau đồng thời tho¶ m·n : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Max f(x,y, ) = fmax víi (x,y, ) |D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D : M đợc gọi là GTNN f(x,y, ) trên miền |D đến điều kiện sau đồng thời tho¶ m·n : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Min f(x,y, ) = fmin víi (x,y, ) |D C¸c kiÕn thøc thêng dïng 2.1 Luü thõa : a) x2 x |R x2k x |R, k z - x2k Tæng qu¸t : f (x)2k x |R, k z - f (x)2k Từ đó suy : f (x)2k + m m x |R, k z 2k M - f (x) M b) √ x x ( √ x )2k x0; k z Tæng qu¸t : ( √ A )2k 0 A 0 (A lµ biÓu thøc) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y x.y (3) c) |x-y| |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y x.y vµ |x| |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi : ai ; i = ,n : a1 +a2 + +an n ≥ √ a1 a2 an n nN, n 2 dÊu "=" x¶y a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Víi n cÆp sè bÊt kú a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta cã : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ( a21 +a 22+ + a2n ¿ ( b21 +b22 + +b2n ) DÊu "=" x¶y bi = Const (i = ,n ) NÕu bi = xem nh = 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Víi a : (1+a)n 1+na n N DÊu "=" x¶y a = Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy từ bất đẳng thức (A+B)2 a a2 + b2 2ab b (a + b)2 4ab a b + ≥2 2( a2 + b2 ) (a + b)2 b a c d 1 + ≥ b a a+ b e (4) II Mét sè ph¬ng ph¸p c¬ b¶n giải bài toán cực trị đại số Ph¬ng ph¸p 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và số Từ đó : 1.§Ó t×m Max f(x,y, ) trªn miÒn |D ta chØ : ¿ f (x , y .)≤ M ∃( x0 , y )∈∨R cho f(x0,y0, ) = M ¿{ ¿ §Ó t×m Min f(x,y, ) trªn miÒn |D ta chØ : ¿ f (x , y .)≥ m ∃( x0 , y )∈∨R ¿{ ¿ cho f(x0,y0, ) = m I C¸c vi dô minh ho¹ : VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A1 = x2 + 4x + Gi¶i : 2 Ta cã : A1 = x + 4x + = x + 4x + 4x + = (x + 2)2 + v× (x + 2)2 0 A1 = x + = x = -2 VËy A1 = x = -2 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A2 = -x2 + 6x - 15 Gi¶i : 2 Ta cã : A2 = -x + 6x - 15 = - (x - 6x + 9) - A2 = - (x - 3)2 - - -(x - 3)2 x |R A2 max = - x - = x = VËy A2 max = - x = 3 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Gi¶i : Ta cã : A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002 = {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966 1966 v× (x2-9x + 14)2 0 x A3 = 1966 x2-9x + 14 = ¿ x=2 x=7 ¿{ ¿ (5) ¿ x=2 x=7 ¿{ ¿ VËy A3 = 1966 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A4 = x 2− 10 x −1 (x ≠ 1) x −2 x+ Gi¶i : Ta cã: A4 = x − 1¿ ¿ x − 1¿ ¿ ¿ 2 x − 10 x −1 2(x −2 x +1)−6 ( x −1) −9 = ¿ x −2 x+ 2 3 v× +1 +3 ≤ +1 ≤ ∀ x x −1 x −1 + 1=0 x = -2 A4 Max = x −1 =- ( ) ( ) VËy : A4 Max = x = -2 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A5 = x y + − √x − √ y √ y √x víi x,y>0 Gi¶i : Ta cã:A = x y + − √ x − √ y = x √ x + y √ y − x √ y − y √ x =¿ √ y √x √ xy x ( √ x − √ y)− y ( √ x − √ y) √ xy A5 = √ x − √ y ¿2 ( √ x − √ y) ( √ x − √ y ).(x − y ) √ xy = ¿ ¿ ¿ 0 x,y > A = √ x − √ y=0 x = y VËy : A5 = x = y > VÝ dô : Cho x,y vµ x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña A6 = x2 + y2 Gi¶i : Do x; y vµ x + y = x;y 1 x2 x, y2 y A6 = x2 + y2 x + y = A6 max = ¿ x=0 y=1 ¿{ ¿ hoÆc ¿ x=1 y=0 ¿{ ¿ MÆt kh¸c : x + y = (x + y)2 = = x2 + 2xy + y2 (x2+y2)-(x-y)2 x− y¿ ≥ A6 = x2+y2 = 1 + ¿ 2 (x - y)2 (6) A6 = x - y = x = y = 2 ¿ x=0 y=1 ; ¿ x=1 y=0 ¿{ ¿ VËy : A6 max = A6 = x = y = 2 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 Gi¶i : Ta cã : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = - (2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz) A7 = - {(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2} x,y,z A7 Max = x = y = z VËy : A7 Max = x = y = z II NhËn xÐt: Phơng pháp giải toán cực trị đại số cách sử dụng các phép biến đổi đồng đợc áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác Song đôi học sinh thờng gặp khó khăn công việc biến đổi để đạt đợc mục đích Vậy còn phơng pháp nào; để cùng phơng pháp vừa nêu trªn gióp häc sinh nhanh chãng t×m lêi gi¶i Tríc hÕt ta gi¶i mét sè bµi toán sau để cùng suy ngẫm III Các bài tập đề nghị : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : a A = x2 - 10x + 20 b B = (x-1)2 + (x-3)2 c C = x2 − x+ x −2 x+ (x 1) d D = x3 + y3 + xy biÕt x + y = e E = 4( x+ y + √ xy) víi x,y > x + y +2 √ xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc : a A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 b B = x +2 x +1 C = − x2 +74 x −196 ; x −10 x +25 T×m GTLN, GTNN cña A = x 2+4 x+6 x + x +3 (7) Ph¬ng ph¸p 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức ) Ta biết : Từ bất đẳng thức, cách chuyển ta đa bất đẳng thức và các phép biến đổi tơng đơng mà vế là số Vì : Sử dụng các bất đẳng thức và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị biểu thức nào đó I C¸c vÝ dô minh ho¹ : VÝ dô : Cho a > b > T×m GTNN cña B1 = a + b(a − b) Gi¶i : Ta cã : B1 = a + b(a − b) b(a − b) = b + (a-b) + C«si) B1 B1 = b = a-b = VËy : B1 = b(a − b) b( a −b) b (a− b) √ (theo ¿ a=2 b=1 ¿{ ¿ ¿ a=2 b=1 ¿{ ¿ VÝ dô : Cho a,b > vµ a + b = T×m GTNN cña B2 = a +b2 + ab Gi¶i : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( + ) √ x y x y √ > 0) 1+1 (1) x+y Ta cã : ab ( a+b )2 = x y xy = (víi x,y ab 4 (2) a+b = ; a,b > áp dụng bất đẳng thức (1) và kết (2) ta có : B2 = B2 + a+b ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 4 + 2= + 2= +( + 2 )≥ + ab a + b ab a +b ab 2ab a +b 2 ab+a2 +b a + b = B2min = a = b = VËy : B2min = a = b = VÝ dô : Cho xy + xz + yz = T×m GTNN cña B3 = x4 + y4 + z4 Gi¶i : Do xy + xz + yz = 16 = (xy + xz + yz)2 (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (8) (Theo Bunhiac«pxki) 16 (x2+y2+z2)2 (x4 + y4 + z4) (12+12+12) B3 = x4 + y4 + z4 16 B3min = 16 x = y = z = √ 3 VËy : B3min = 16 x=y=z= 3 √3 3 VÝ dô : Cho |a| 1; |b| 1 vµ | a+ b| = √ T×m GTLN cña B4 = √ 1− a2 + √ 1− b2 Gi¶i : 2 Ta cã : (a-b)2 a;b a +b ≥ a+ b (2) (1) ¸p dông (1) ta cã : ( √1 − a2+ √1 −b 2 ) 2 − a2 +1− b2 2−(a + b ) a2 +b ≤ = =1 − 2 2 2 Do a +b ≥ a+ b = √ = ( ( ) (2) √1 − a2+ √1 −b B4 = 2 ) (do | a + b| = √ ) 1- = ( 4 √ 1− a2 +√ 1− b2 ≤ ) √ 1− a2 + √ 1− b2 ≤ B4Max = a = b = √2 VËy : B4Max = a = b = √ VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B6 = | x + 7| + | x - 1995| Gi¶i : Ta cã : |x| + |y| | x + y| dÊu "=" x¶y x,y Do vËy : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B6Min = 2002 (x + 7) (1995 - x) -7 x 1995 VËy : B6Min = 2002 -7 x 1995 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Gi¶i : Ta cã : B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B7 | x + 2000 + x + y + + - 2x - y| = 2010 B7min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cïng dÊu VËy : B7min = 2010 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 víi x2y + xy2 Gi¶i : Theo B§T Becnully ta cã : (1 + x2y + xy2)2001 + 2001 (x2y + xy2) B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001 (9) B 2002 B = 2002 xy(x+y) = VËy : B = 2002 ¿ x=0 y =0 x=− y ¿{ { ¿ ¿ x=0 y =0 x=− y ¿{ { ¿ VÝ dô : Cho xyz = vµ x + y + z = T×m GTNN cña B8 = x16 + y16 + z16 Gi¶i : C¸ch : Ta cã : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 B8 (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = vµ x + y + z = 3) B8min = x = y = z = C¸ch 2: (Kh«ng sö dông gi¶ thiÕt xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : = x + y + z = (x+ y + z)2 (x2 + y2 + z2).3 (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2)2 (x4 + y4 + z4).3 x4 + y4 + z4 (x4 + y4 + z4)2 (x8 + y8 + z8).3 x8 + y8 + z8 (x8 + y8 + z8)2 (x16 + y16 + z16).3 B8 = x16 + y16 + z16 B8min = x = y = z = VËy : B8min = x = y = z = II NhËn xÐt : Rõ ràng áp dụng số bất đẳng thức bản, bài toán đợc giải nhanh Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó Một vấn đề đặt là : Hai phơng pháp vừa nêu cha đủ để giải đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có phơng pháp khác tối u và thực đợc yêu cầu bài toán Trớc nghiên cøu ph¬ng ph¸p 03 Chóng ta cïng nghiªn cøu mét sè bµi tËp sau : III Một số bài tập đề nghị : Cho a,b,c > vµ a + b + c = T×m GTNN cña A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) a b c (10) Cho a,b, > vµ a + b = T×m GTNN cña B = + 2 ab a + b Cho a,b,c > a b c + + b+c c +a a+b b) T×m GTNN cña D = a + b + c + b+ c + c+ a + a+b b+c c +a a+b a b c Cho x,y,z − vµ x + y + z = T×m GTLN E = √ x +3+ √ y+ 3+ √ z +3 a) T×m GTNN cña C = Cho a,b,c vµ a + b + c = T×m GTLN cña F = √ a+b+ √ a+c +√ b+c Cho x T×m GTLN cña G = 4x2 - 3x3 Cho x ; Cho y 4 T×m GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) Cho x,y,z,t vµ 2x + xy + z + yzt = T×m GTLN cña I = x2y2z2.t Cho x,y,z,t vµ xt + xy + z + yzt = T×m GTLN cña K = xyzt 10 T×m GTNN cña M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | Ph¬ng ph¸p 03 : ( Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ ) Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tơng đơng Sử dụng các bất đẳng thức ta có thể chuyển biến thức đã cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị I C¸c vÝ dô minh ho¹ : VÝ dô 1: T×m GTNN cña C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Gi¶i : C1 = x + 6x + 13x + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 §Æt : x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a-3)2 + 8 (a-3)2 a (11) C1min = a - = a = x2 + 3x + = VËy : C1min = ¿ x =−1 y=− ¿{ ¿ ¿ x =−1 y=− ¿{ ¿ VÝ dô 2: T×m GTNN cña C2 = ( x2 y2 + 2 y x x y + +6 y x ) -5 ( ) víi x,y > Gi¶i : §Æt : x y + y x = a 2 x y2 + y2 x2 = a2 - C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thÊy : a C2 = 2a2 - 5a + C2min = a = x = y > VËy : C2min = x = y > VÝ dô 3: T×m GTNN cña C3 = x y + y x - x,y>0 x y −3 y x √ √ + 2004 Gi¶i : x y =a2 + y x x y + = a2 - y x §Æt : √ √ Khi đó : C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + + 2002 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta cã : a a - 1> ; a - 20 (a-1) (a-2) 0 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C3 = 2000 a = x = y ; xy > VËy C3 = 2000 x = y vµ xy > VÝ dô 4: Cho x,y,z > √x + √ y + √ z T×m GTNN cña C4 = √ y + √ z √ x+ √ z √ x+ √ y Gi¶i : §Æt : a = √ y+ √ z ; b = √ x+ √ z ; c = √ x+ √ y √ x+ √ y + √ z = a+b+ c √ x= − a+b+ c ; √ y= a −b+ c ; √ z= a+b − c víi (12) Khi đó : C4 = − a+b +c + a − b+c + a+ b −c 2 C4 = ( a + b )+( b + c )+( a + c ) −3 b a c b c a Theo C«si víi a,b,c >0 ta cã : a + b ≥2 ; a + c ≥ 2; b + c ≥ b a c a c b C4 (2+2+2 −3)= 2 C4min = a = b = c x = y = z > VËy C4min = x = y = z > [ ] VÝ dô 5: T×m GTLN, GTNN cña C5 = 1+ y ¿ 1+ x ¿2 ¿ ¿ ( x − y 2)(1 − x y ) ¿ Gi¶i : a −b ¿ a+b ¿ ¿ ¿ Ta cã : a.b (1)a,b vµ (2) −¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 x +y 1−x y §Æt : =a vµ =b 2 2 (1+ x )(1+ y ) (1+ x )(1+ y ) a,b Khi đó : C5 =a.b a+b ¿ a+b ¿ ¿ ¿ Theo (1) vµ (2) ta cã : C5 = ab ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 2 2 2 - x − y 2− 1+ x 2y ≤ C5 ≤ x − y 2+ 1− x 2y (1+ x )(1+ y ) (1+ x )(1+ y ) [ [ ] [ ] 2 (x − 1)(1+ y ) ( x +1)(1− y ) - ≤ C5 ≤ 2 2 ( 1+ x )(1+ y ) - x 2−1 ] [ (1+ x )(1+ y ) C5 − y2 ] ( ) ( ) Ta cã : ( ) 1 ; 0 ( Do đó : ( ) C ( ) 4 x +1 x −1 x 2+ 1+ y 2 1− y 1+ y 2 ) 1 x2 −1 1− y − ≤ ≤ 2 4 x +1 1+ y C5min = − (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2 x = C5max = (1 - y2)2 = (1 + y2)2 y = 1 (13) VËy : C5min = − x = y=0 C5max = II Các bài tập đề nghị : T×m GTNN cña A = x2 + - x + x − x+ 2 T×m GTLN cña B = √ a+1+ √ a− 3+ √ 50 −3 a víi a Cho a - ; b - ; c - vµ a+ b + c = [ 50 ; ] 2 T×m GTLN cña C = √ a+1+ √2 b+1+ √ c +1 2 Cho x,y > T×m GTNN cña D = x + y2 − x + y + y x y x ( ) Ph¬ng ph¸p 04 : ( Sö dông biÓu thøc phô ) Để tìm cực trị biểu thức nào đó, đôi ngời ta xét cực trị biểu thức khác có thể so sánh đợc với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị VÝ dô : §Ó t×m cùc trÞ cña biÓu thøc A víi A > 0, ta cã thÓ xÐt cùc trÞ cña biÓu thøc : , -A, kA, k + A, |A| , A2 A (k lµ h»ng sè) I C¸c vÞ dô minh ho¹ : VÝ dô 1: T×m GTLN cña A = x2 x + x +1 Gi¶i : a) XÐt x = A = gi¸ trÞ nµy kh«ng ph¶i lµ GTLN cña A v× víi x ta cã A > b) Xét x đặt P = A đó Amax Pmin với cách đặt trên ta có : P = x + x2 +1 =x 2+ 12 +1 x ta cã : x2 + 1 ≥ x =2 x x √ (theo c«si) P + = Pmin = x = Do đó : Amax = x = x (14) VÝ dô 2: T×m GTNN cña B = x+ 2002¿2 ¿ −x ¿ víi x > Gi¶i : §Æt P1 = - B nh vËy P1max Bmin Ta cã : P1 = §Æt P2 = P1 x+ 2002¿ ¿ x ¿ víi x > P > > với x > đó P2 Min P1 Max x+ 2002¿ ¿ P2 = ¿ ¿ 2 P2 = x −2 x 2002+2002 +4 x 2002 x x − 2002¿ ¿ P2 = ¿ ¿ x − 2002¿ ¿ (do 0 x > 0) ¿ ¿ P2 Min = 8008 x = 2002 x = 2002 8008 BMin = x = 2002 8008 VËy BMin = x = 2002 8008 P1 Max = VÝ dô 3: Cho a,b,c d¬ng vµ a + b + c = T×m GTLN cña C = √ a+4 b+ √ b+4 c+ √ c + a Gi¶i : Do a,b,c > C > Đặt : P = C2 đó √ P Max CMax Ta cã : P = ( √ a+4 b+ √ b+4 c+ √ c + a )2 P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiac«pxki P 3.9(a + b + c) = 81 a + b + c = PMax = 81 a = b = c = C2Max = 81 a = b = c = CMax = a = b = c = VËy CMax = a = b = c = VÝ dô 4: Cho x, y, z, t > T×m GTNN cña D = x y +t y t+x t x+ y + + + + + y +t x t+ x y x + y t Gi¶i : (15) §Æt P = 2D ta cã : P= P= ( x 2( y +t ) y 2( t+ x ) t 2(x+ y) + + + + + y +t x t+ x y x+ y t x y+t y t+ x t x+ y y +t t+ x x +t + + + + + + + + y+ t x t+ x y x+ y t x y t )( )( ) ( ) y t+ x t x+ y y t t x x y +( + +( + + + + + + + ( y+2 xt + y+t ) ) 2x t+ x y x+ y t ) ( x x y y t t ) P= P + + + 6 (theo c«si) P 15 PMin = 15 x = y = t > DMin = 15 x=y=t VËy DMin = 15 x=y=t VÝ dô 5: Cho x, y > vµ 7x + 9y = 63 Gi¶i : §Æt : P = 63.E ta cã : P = 63xy = 7x.9y P 63 2 ( ) ( = 3969 x +9 y ) T×m GTLN cña E = x.y (theo c«si) PMax = 3969 ¿ y= ¿{ ¿ x= DÊu "=" x¶y 7x = 9y = 63 EMax = 3969 : 63 = 63 ¿ x=4,5 y=3,5 ¿{ ¿ VÝ dô : Cho x2 + y2 = 52 T×m GTLN cña F = 2x + 3y Gi¶i : Xét : P1 = |F| đó P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P21 đó P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiac«pxky : P2 (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 P2 Max = 13.13.4 P1 Max = 26 Do F |F| = P ¿ x=4 y=6 ¿{ ¿ hoÆc ¿ x=− y=− ¿{ ¿ (16) ¿ x=4 FMax = 26 y=6 ¿{ ¿ ¿ x=4 VËy FMax = 26 y=6 ¿{ ¿ VÝ dô 7: Cho x,y > x4 y4 x2 y2 x y + − − + + y x4 y2 x2 y x T×m GTNN cña G = Gi¶i : §Æt : P = G - ta cã : P= P= x y4 x2 y2 x y -2 + − − + + y x4 y2 x2 y x 4 2 ( x x y y x x y y x y − 2 +1 + − 2 +1 + −2 + + −2+ y x x y x y y x x y ( x − y ¿2 ¿ ¿ 2 2 x y x y −1 + −1 + − +¿ y x y2 x2 P= )( )( )( )( )( ) PMin = x = y > VËy GMin = x = y > II Các bài tập đề nghị : Cho x,y, z > vµ x2 + y2 + z2 = T×m GTNN cña A ¿ xy + yz + zx z x y Cho x T×m GTNN cña B = x + x4 +1 x Cho x T×m GTLN cña C = x8 x 16 + x 8+ Cho a2 + b2 + c2 = T×m GTLN cña D = a + 2b + 3c Cho a,b > vµ a + b = T×m GTNN cña E = (1 − a4 )(1 − b4 ) 2 Cho a, b, c, d > T×m GTNN cña F = Cho a,b |R a+ b b+c c+ d d +a = + + b+c +d c+ d+ a d+ a+b a+b+ c ) (17) T×m GTNN cña G = 1− b ¿2 ¿ 1− a ¿2 b 2+ ¿ a 2+ ¿ √¿ Ph¬ng ph¸p 05 : ( Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ ) Trong số trờng hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho có thể có hai biến số và đa đợc dạng tam thức bậc thì ta có thể sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải và thấy hiệu §êng lèi chung lµ : Gi¶i sö ta ph¶i t×m cùc trÞ cña hµm sè f(x) cã miÒn gi¸ trÞ D Gäi y lµ mét giá trị nào đó f(x) với x D Điều này có nghĩa là điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phơng trình f(x)=y có nghiệm (x là biÕn, coi y lµ tham sè) Thờng đa đến biểu thức sau : m yM Từ đó Min f(x) = m với x D Max f(x) = M víi x D I C¸c vÝ dô minh ho¹ : VÝ dô 1: T×m GTNN cña f(x) = x2 + 4x + Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = x2 + 4x + x2 + 4x + - y = (cã nghiÖm) ' = - + y y1 VËy f(x) Min = x = -2 VÝ dô 2: T×m GTLN cña f(x) = - x2 + 2x - Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = - x2 + 2x - x2 - 2x + y + (cã nghiÖm) ' = - y - (18) y-6 VËy f(x)Max = -6 x = VÝ dô 3: T×m GTLN, GTNN cña f(x) = x 2+4 x+6 x + x +3 Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y = x 2+4 x+6 yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x + x +3 (y - 1)x + (y - 2).x + 3y - = (cã nghiÖm) * NÕu y = x = - * NÕu y ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - - 2y2 + 5y + y2 Ta thÊy : < < 2 f(x) Min = x = -3 Do vËy : f(x) Max = x = VÝ dô : x2 +2 x+ x −2 x+1 T×m GTNN cña f(x) = Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) Ta cã : y= x2 +2 x+ x −2 x+1 yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - = (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - = (cã nghiÖm) * NÕu y = x = - * NÕu y ' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) y2 + 2y + - y2 + 6y + y - 9y - y Do < nªn ta cã YMin = 9 x=- VËy f(x) Min = x = - 2 VÝ dô 5: T×m GTLN cña f(x) = x +2 x +1 Gi¶i : Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x) (19) Ta cã : y = x +2 x +1 yx2 + y - x2 - = (y - 1)x2 + y - = (y - 1)x2 = - y * NÕu y = Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * NÕu y x2 = − y (1) cã nghiÖm (cã nghiÖm) (1) y −1 2− y 01<y<2 y −1 YMin = x = VËy f(x) Max = x = II Các bài tập đề nghị : T×m GTNN cña : a) A = 5x2 + x + ; b) B = ; c) C = − x +4 x −7 5− x x +4 −4 x 2 T×m GTLN cña : a) A = -x2 + x + ; b) B = 11 ; c) C = x −4 x+18 − x2 +74 x −196 x −10 x +25 T×m GTLN vµ GTNN cña : x +3 a) A = x +2 x+ ; b) B = ; x +1 x +1 c) C = x 2+6 xy x +y Ph¬ng ph¸p 06 : ( Ph¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ ) Có nhiều bài toán ta sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, các bất đẳng thức phơng pháp đổi biến hay biểu thức phụ, chí sử dông ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ hµm sè, viÖc t×m cùc trÞ vÉn gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n có không thể tìm đợc Những ta biết cách xét khoảng hợp lý (có dự đoán) thì việc tìm đợc cực trị trở nên đơn giản I C¸c vÝ dô minh ho¹ : VÝ dô 1: (20) Cho m, n N* T×m GTNN cña A = |36m - 5m| Gi¶i : m Do m N* 36 cã ch÷ sè tËn cïng lµ n N* 5m cã ch÷ sè tËn cïng lµ V× vËy : NÕu 36m > 5m th× A cã ch÷ sè tËn cïng lµ NÕu 5m > 36m th× A cã ch÷ sè tËn cïng lµ a) XÐt A = ta cã : 36m - 5m = (kh«ng x¶y ra) v× (36m - 1) : cßn 5m :7 b) XÐt A = ta cã : 5m - 36m = (kh«ng x¶y ra) v× (5m - 36m) : cßn : c) XÐt A = 11 , x¶y , ch¼ng h¹n m = 1, n = VËy AMin = 11 m = 1; n = 2 VÝ dô 2: Cho m N* T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B = nn Gi¶i : <1 Víi n = ta cã : B = Víi n = ta cã : B = Víi n = ta cã : B = > Víi n = ta cã : B = Víi n = ta cã : B = 25 Víi n = ta cã : B = <1 32 36 = 64 16 <1 Ta dù ®o¸n r»ng víi n 5, n N th× B < ThËt vËy : Ta chøng minh dù ®o¸n b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p a) Gi¶ sö n 5, n N ta cã B = nn < (*) Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh : n+1 ¿ ¿ ¿ ¿ (n + 1)2 < 2n+1 (1) Tõ (*) ta cã : n2 < 2n 2n2 < 2n+1 (2) §Ó chøng minh (1) ta chøng minh (n + 1)2 < 2n2 n2 + 2n + < 2n2 n2 - 2n - > (n - 1)2 - > (đúng vì 5) b) KÕt luËn : B = nn < n 5, n N* VËy Bmax = n=3 VÝ dô 3: Cho a, b, c, d N* vµ a + b = c + d = 20 T×m GTNN vµ GTLN cña T = ab ac+ bd Gi¶i : (21) c d ⇒ + T b a Do T nên đặt P = Nh vËy : TMin PMax TMax PMin Do a, b, c, d N* vµ a + b = c + d = 20 a, b, c, d 19 c b c+ d 20 + = = =2 10 10 10 10 * Xét a = b = 10 lúc đó P = * XÐt b < a (trêng hîp b > a t¬ng tù) b < 10 < a hay b 19 ; 11 a 19 a) Tríc hÕt ta t×m TMin = PMax = 19 + 19 Ta xÐt trêng hîp sau : a1) b < 10 = c = d < a 19 Khi đó : P = c + d =10 + 10 < 10 +1=11 b a a2) b a 1 c b < 10 < a d 19 Khi đó : P = c + d <1+ 19 <3 b a 11 a3) d b < 10 < a c 19NÕu b > th× P 19 +1<11 NÕu b = th× P 19 + =19+ 1 19 19 KÕt hîp c¶ trêng hîp ta thÊy PMax = 19+ =172 19 19 Do đó TMin = 19 a =19, b = , c = 19 , d = 172 b) B©y giê ta t×m TMax = PMin víi b ; 11 a 19 P = c + d = c +20 −c = − c +20 ( ) b a b a b a a Ta có : − >0 ; đặt A = − b a b a Ta cã : P = A.C + 20 a V× A > nªn PMin víi C = * XÐt P = − + 20 = + 19 = + 19 b §Æt Pb = a a b 19 + b 20 − b a b 20 −b * XÐt Pb+1 - Pb : b ; b N Pb+1 - Pb = 18 b2 +58 b −380 b(b+1)(19 −b)(20− b) Ta cã : b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) > 1b9,bN Do vËy : XÐt t = 18b + 58b - 380 (*) NghiÖm d¬ng to cña (*) lµ t = − 29+ √ 7681 18 Ta cã b¶ng xÐt dÊu : (22) b - − 29+ √ 7681 18 t + − 29+ √ 7681 18 + + - < b < bo th× t < Pb+1 < Pb b > bo th× t > Pb+1 > Pb Luôn luôn chứng minh đợc < bo < Víi XÐt P3 = + 19 =1 23 P4 = 51 7 1+ =1 16 16 P3 > P Nªn : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 th× PMin = 23 ⇔ T max=16 16 VËy : TMax = 16 23 23 ; TMin = 19 172 II Các bài tập đề nghị : T×m GTNN cña A = |11m - 5m| víi m,n N* Cho a, b, c, d N* vµ a + b = c + d = 1000 T×m GTLN cña B = a + b c d Cho m, n N vµ m ; n 1981 vµ (n2 - mn - m2)2 = T×m GTLN cña C = m2 + n2 (23) Ph¬ng ph¸p 07: ( Ph¬ng ph¸p h×nh häc ) Trong các bài toán xét cực trị biểu thức đại số biểu thức dạng là tæng hiÖu cña c¨n bËc hai cña c¸c tam thøc th× ta cã thÓ ®a bµi to¸n xÐt cùc trÞ cña các biểu thức đại số sang xét độ dài các đoạn thẳng việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó Lý thuyÕt cÇn vËn dông + NÕu A(x1, y1); B (x2, y2) AB = y − y ¿2 x − x ¿2+ ¿ ¿ √¿ + Víi ®iÓm M, A, B bÊt kú ta cã : |MA - MB| AB MA + MB C¸c vÝ dô minh häa 1.VÝ dô 1: Cho f(x) = |√ x − x+ 5− √ x2 −10 x+ 50| H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña f(x) Gi¶i : Ta cã : f(x) = x − 2¿ 2+ ¿ x −5 ¿ 2+ 25 ¿ ¿ √¿ ¿ Chọn mặt phẳng toạ độ điểm : A (2,1); B(5, 5); M (x, 0) x − 2¿ 2+12 Ta cã : MA = ;MB = ¿ √¿ AB = √ 32+ 2=√ 25=5 x −5 ¿ 2+5 ¿ √¿ MÆt kh¸c ta cã : |MA - MB| AB x − 2¿ 2+12 hay | ¿ √¿ x −5 ¿ 2+5 |5 ¿ √¿ VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña f(x) = vµ chØ ®iÓm M, A, B th¼ng hµng Ta lại có phơng trình đờng thẳng qua A và B là : d = x − d c¾t ox t¹i M ( ; 0) (24) Vậy giá trị lớn f(x) = đạt x = VÝ dô 2: Cho f(x) = √ x +20+ √ x2 −32 x+ 64+ √ x2 − 40 x +100+ √ x − x +16 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f(x) (1) Gi¶i : 2 x − 2¿ x −4 ¿ +¿ ¿ √ x +20= √¿ 2 x − 10 ¿ x +¿ √ x −40 x +100= √¿ Ta cã : Chän A (4 , -2) ; B(x , 2x) 2 x+ 2¿ x − ¿ +¿ ; BC = ¿ √¿ AB = ; C (0, 10) x −10 ¿ x +¿ √¿ ; AC = √10 Ta cã : AB + BC AC √ x +20 + √ x −40 x +100 √10 (2) x − ¿2 x2 +¿ √ x −32 x +64=√ ¿ Ta l¹i cã : 2x ¿ x − ¿ +¿ ¿ √ x −8 x+ 16= √¿ chän D (x, 8); E (0, 2x) ; F (x-4, 0) DE = x −8 ¿ x +¿ √¿ ; EF = x ¿2 x − ¿ 2+¿ ; DF = ¿ √¿ √5 ta cã : DE + EF DF 2x−8¿ ¿ x ¿2 ¿ x − ¿ 2+¿ ¿ x +¿ √¿ (3) Céng (2) vµ (3) ta cã : VT 4( √ + √ 10 ) VT = 4( √ + √ 10 ) vµ chØ A,B,C th¼ng hµng PT đờng thẳng qua AB nhận C (0, 10) là nghiệm (25) D,E,F th¼ng hµng PT đờng thẳng qua DE nhận F (x-4, 0) là nghiệm Giải điều kiện ta tìm đợc x = VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f(x) = ( √ + √ 10 ) t¹i x = Nhận xét : Vận dụng phơng pháp này để tìm cực trị biểu thức, đòi hỏi ngời giải phải tinh tế chọn điểm để thảo mãn yêu cầu bµi to¸n Bµi tËp tham kh¶o : Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f(x) = √ x2 −2 x+5+ √ x +2 x+10 Bµi : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña f(x) = √ x +2 x +1 − √ x −2 x+1 (26) III kÕt qu¶ thùc hiÖn Sau áp dụng đề tài vào việc giảng dạy, việc giải các loại bài toán tìm cực trị học sinh đã có tiến Điều này thể rõ kết làm bài tập, bài kiểm tra; khả phân tích bài toán, định hớng, t các em nhanh hơn, chính xác Nhiều em say mê häc, ®em kiÕn thøc ¸p dông vµo thùc tÕ tèt h¬n C¸c em rÊt tÝch cùc su tầm thêm các bài toán hay sách, báo, tạp chí để trao đổi với bạn bÌ Tôi đã tiến hành áp dụng đề tài này vào lớp chọn trờng trung häc c¬ së An Phô – Kinh M«n – H¶i D¬ng b»ng c¸ch chia lớp thành hai nhóm để dạy đối chứng và thu đợc kết nh sau: Nhãm Nhãm (không áp dụng đề tài) Nhãm (đợc áp dụng đề tài) Giái Sè bµi Kh¸ Trung b×nh YÕu SL % SL % SL % SL % 20 0 15,0 35 10 50,0 20 30,0 45,0 15,0 10,0 IV vấn đề còn hạn chế Đề tài này dùng lại việc da "Một số phơng pháp để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".nghiên cứu còn hạn chế, các phơng pháp tìm cực trị dừng mức độ đơn giản, cha có khai thác lời giải bài toán Hơn nữa, thời gian thực chuyên đề còn hạn hẹp, đó kết đạt đợc cha cao V hớng phát triển đề tài: Do thời gian, tài liệu nh lực còn hạn chế và mức độ nghiên cứu cha lớn đề tài sâu tìm hiểu "Một số phơng pháp để giải bài toán cực trị đại số THCS" Trên sở này chúng ta có thể mở rộng giải bài toán cực trị phơng pháp giải tích có đề tài nghiên cứu mức độ lớn : "Cực trị đại số" Bao gồm "Cực trị tự do"; "Cực trị vớng" và "Cực trị tuyệt đối", chúng ta còn có thể kết hợp với các bài toán cực tr×nh h×nh häc PhÇn III KÕt luËn Sau thêi gian häc tËp tÝch cùc t×m tßi nghiªn cøu, kÕt hîp víi nh÷ng t liệu tích luỹ đợc, qua quá trình giảng dạy thực tế cùng với tham gia đóng góp ý kiến các bạn đồng nghiệp, các thầy cô và đặc biệt với giúp đỡ Thầy giáo – Tiến sĩ Nguyễn Anh Tuấn đề tài đã đợc hoàn thành Những vấn đề đợc trình bài đề tài cha thật toàn diện song thực có lîi Ých rÊt lín cho gi¸o viªn båi dìng häc sinh giái víi viÖc cè g¾ng chän, kh¸i qu¸t thµnh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i quen thuéc cïng víi hÖ thèng bµi tËp minh (27) hoạ có thể giúp học sinh tiếp thu bài cách nhẹ nhàng gây động hứng thú học tập bớc đầu đã có thành công định Trªn ®©y lµ nh÷ng ý tëng vµ viÖc lµm nhá bÐ cña em qua viÖc nghiªn cøu đề tài khoa học Trong quá trình thực đề tài không tránh khỏi thiếu sãt vÒ cÊu tróc, vÒ ng«n ng÷ vµ c¶ nh÷ng kiÕn thøc khoa häc V× vËy em rÊt mong các thầy cô giáo có ý kiến đóng góp chân thành để giúp em hoàn thành xuất sắc đề tài mình Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! H¶i D¬ng, th¸ng n¨m 2009 Ngời thực đề tài NguyÔn Xu©n LËp Tµi liÖu tham kh¶o 1) S¸ch gi¸o khoa §¹i sè 8; 1) S¸ch n©ng cao §¹i sè 2) S¸ch n©ng cao §¹i sè 3) S¸ch n©ng cao §¹i sè 4) S¸ch n©ng cao §¹i sè 5) TuyÓn tËp c¸c bµi to¸n s¬ cÊp 6) TuyÓn tËp c¸c bµi to¸n s¬ cÊp 7) 36 đề ôn thi tốt nghiệp THCS 8) T¹p trÝ to¸n häc trÎ Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc Vò H÷u B×nh Vò H÷u B×nh Vâ §¹i Mau Vâ §¹i Mau Vò H÷u B×nh Vâ §¹i Mau Vâ §¹i Mau Th¸ng n¨m 2002 (28) Phô lôc PhÇn I : Më ®Çu I Lý chọn đề tài II Mục đích và nhiệm vụ đề tài III §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu IV Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 3 4 PhÇn II : néi dung I : C¸c kiÕn thøc cÇn thiÕt II : Một số phơng pháp giải bài toán cực trị đại số Phơng pháp 01 : Sử dụng phép biến đổi đồng Phơng pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức Phơng pháp 03 : Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ Ph¬ng ph¸p 04 : Sö dông biÓu thøc phô Ph¬ng ph¸p 05 : Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ Ph¬ng ph¸p 06 : XÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ Ph¬ng ph¸p 07 : Ph¬ng ph¸p h×nh häc 5 13 16 20 23 27 III kÕt qu¶ VI vấn đề còn hạn chế V Hớng phát triển đề tài PhÇn III : KÕt luËn TµI LIÖU THAM KH¶O X¸c nhËn cña trêng THCS An Phô – Kinh M«n – H¶i d¬ng 29 29 29 30 (29) An Phô, th¸ng 05 n¨m 2009 T/M nhµ trêng (30) (31)