M N + Do đó để cắt hình chử nhật 1x5 theo đường chéo của hai hình chử nhật AEFD và GBCH, và cắt theo hai đường È và GH xong ráp lại thì Q P... được hình vuông MNPQ..[r]
(1)ĐỀ THI HSG LỚP HUYỆN BÌNH XUYÊN TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: Cho hai số a, b khác thỏa mãn: a+b = Chứng minh rằng: 2(a+ b) b a − = 2 a − b −1 a b + 3 Bài 2: Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) cho x3 – x2y + 3x – 2y – = Bài 3: Giải phương trình sau: √ x −1+ √ x 3+ x2 + x +1=1+ √ x −1 Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O và góc COD α ( α < 900) Gọi H, K là trực tâm các tam giác AOB và COD Gọi E, G và I là trọng tâm tam giác AOB, BOC và AOD Biết AH cắt DK F Chứng minh rằng: a) EG//AC và EG:EI = AC:BD b) FK = AC.cot α c) Tam giác IEG đồng dạng với tam giác HFK Bài 5: Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c = a b c + + ≥ 2 1+b 1+c 1+a Chứng minh rằng: Lời giải: Bài 1: Từ a+b=1 (a+b)2 = a2+b2 = – 2ab b( b3 − 1) − a(a3 −1) (a −b) −(a4 − b4 ) b a − = = 3 Ta có: a − b3 −1 (a3 −1)(b3 −1) a b −( a3 +b3 )+1 (a − b)−(a 2+ b2)( a+b)(a − b) (a −b)−(1− ab)(a −b) = a3 b3 −(a+ b)(a2 +b2 −ab)+1 a3 b3 − 1+ ab+1 2( a −b) ab 2(a− b) = 2 ( đpcm) 2 ab (a b +3) a b +3 Bài 2: Ta có x3 – x2y +3x – 2y – = 0 y(x2+2)= x3 + 3x – 3 x + x −5 x + x + x − x−5 = =x+ 2 x +2 x +2 x +2 x −5 Vì x, y thuộc Z nên ∈ Z ⇒(x −5)⋮ (x+2) ⇒(x +5)(x − 5) ⋮(x +2) x +2 2 ⇔ x − 25 ⋮(x +2) ⇔( x2 +2 −27)⋮( x 2+ 2)⇔ 27 ⋮(x +2) (*) ⇒ y= Do x thuộc Z và x2 + > nên (*) xẫy và khi: (2) x +2=3 ¿ x +2=9 ¿ x +2=27 ¿ ⇔ ¿ x=± ¿ x=± √7 (Loai ) ¿ x=± ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Thay vào phương trình ban đầu: Với x = => 3y = -1 => y = -1/3 không thỏa mãn Với x = -1 => 3y = -9 => y = -3 Với x = => y = Với x = -5 => y không thỏa mãn Vậy (x, y) {(− 1; − 3),( 5; − 5) } Bài 3: Điều kiện: x ≥ √ x −1+√ x 3+ x2 + x +1=1+ √ x −1 ⇔ √ x − 1+ √( x 2+1)( x +1)=1+√( x 2+ 1)( x +1)(x −1) (3) x +1 (x+ 1)(¿)=0 − √¿ ⇔ ¿ √ x −1 −1=0 ¿ √( x +1)(x +1)− 1=0 ¿ x −1=1 ¿ ( x+1)(x + 1)=1 ¿ x=2 ¿ x (x 2+ x +1)=0 ¿ x=2 ¿ x=0 (Loai) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ( √ x −1 −1)− √( x 2+1)(x +1)( √ x −1 −1)=0 ⇔( √ x −1 −1)¿ Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 4: a) Δ BMN có BE:BM=BG:BN = 2:3 => EG//AC (định lý Talet đảo) F α C B EG EG EG G = = ⇒ = Từ EG//MN => MN AC AC H α O EI E α Tương tự với Δ APQ: BD = I EG EI EG AC = ⇒ = A Suy ra: AC BD EI BD b) Ta có ∠ AFD =∠ COD=α (Hai góc cùng bù với gócBOC) L K Gọi L là giao điểm FK và AC Ta có ∠FKC =∠AÀD=α và FK = FL + LK = AL.cot α + LC cot α =(AL+LC) cot α =AC cot α c) Chúng minh tương tự b) ta có FH = BD.cot α FK AC EG AC Từ đó suy FH =BD mặt khác theo câu a) EI = BD Lại có ∠GEI=∠COD=α ⇒∠ HFK =∠GEI=α Vậy ΔIGE ≈ Δ HFK Bài 5: Ta có a ab ab2 ab =a − ≥ a − =a− 2 b 1+b 1+b D FK EG Suy FH =EI (4) b bc bc c ca =b − ≥b− ≥c− và 2 2 1+ c 1+c 1+ a a b c ab+ bc+ ca + + ≥(a+b+ c) − 2 2 1+b 1+c 1+a Tương tự: Do đó Mặt khác (a+b+c)2 Vậy 3(ab+bc+ca) a b c 3 + + ≥3− = 2 2 1+b 1+c 1+a ab+bc+ca -(ab+bc+ca) -3 ĐỀ THI HSG LỚP HUYỆN HẢI LĂNG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2009 – 2010 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a ¿ A= √ +2 √5 − √ 29 −12 √ ; b ¿ B= √ 8+ √ 8+ √ 20+ √ 40 Bài 2: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc a b c Tính giá trị biểu thức A = (1+ b )(1+ c )(1+ a ) Bài 3: Cho 37 cây táo có số trái nhau, 17 trái hỏng, còn lại chia cho 79 người Hỏi cây có ít trái táo? Bài 4: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH, kẽ HE vuông góc với AC (E thuộc AC), gọi I là trung điểm HE Chứng minh AI vuông góc với BE Bài 5: Một bìa hình chử nhật có kích thước 1x5 Hãy cắt bìa thành các mãnh để ráp lại thành hình vuông Giải thích Lời giải: Bài 1: ¿ √ 5− ¿2 ¿ (¿=√ 9=3 ; ¿ b)B= √ 8+ √8+ √ 20+ √ 40= √ 1+2 √2+2+2 √ 5+5+2 √ √ 1+ √ 2+ √ ¿2 ¿ ¿ 6+2 √5 − √¿=√ ¿ a=√ 6+2 √ − √ 29 −12 √ 5=√ ¿ Bài 2: a3 + b3 + c3 = 3abca3 + b3 + c3 - 3abc = 0(a+b)3 + c3 – 3ab(a+b) - 3abc=0 (a+b+c)[(a+b)2 – (a+b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = (5) (a + b + c)[(a-b)2 + (b-c)2+(c-a)2] = a+b +c=0 ¿ a=b=c ¿ ¿ ¿ ¿ a+b +c=0 ¿ c −a ¿ 2=0 ¿ ¿ b − c ¿2 +¿ a −b ¿ +¿ ¿ ¿ ¿ a+ b b+c c+ a = Nếu a + b+ c = thì A= b c a (− c)(− a)(−b) =−1 abc Nếu a = b = c thì A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Bài 3: Gọi x là số trái cây táo, y là số trái táo người (x, y N ❑¿ 79 y +17 y +17 =2 y+ Ta có PT: 37x – 17 = 79y ⇔ x=37 37 y +17 Do x, y N ❑ nên 37 N¿ y +17 2(z −1) 37 z −17 ❑ y= =7 z − 3+ N ¿ = z (z 37 5 y, z N ❑ => 2(z – 1) ⋮ z – = 5d z = 5d + Đặt Như ta có: x = + 79d y = + 37d x, y > nên d suy x 9, y a đạt giá trị nhỏ là d = Vậy số trái ít cây táo là Bài 4: A Gọi K là trung điểm EC IK là đường trung bình tam giác EHC =>IK//HC mà AH HC (gt) => IK AH Do đó I là trực tâm tam giác AHK => AI HK E I Mặt khác HK là đường trung bình tam giác BEC K => HK // BE (2) Từ (1) và (2) suy AI BE B H C Bài 5: +) Tấm bìa hình chử nhật 1x5 có diện tích (đvdt) D F H C Để cắt hình chử nhật thành các mảnh ráp thành hình vuông thì cạnh hình vuông √ A E G B độ dài cạnh huyền tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thước là và có diện tích (đvdt) M N +) Do đó để cắt hình chử nhật 1x5 theo đường chéo hai hình chử nhật AEFD và GBCH, và cắt theo hai đường È và GH xong ráp lại thì Q P (6) hình vuông MNPQ ĐỀ THI HSG LỚP HUYỆN BỈM SƠN TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2009 – 2010 Thời gian làm bài 150 phút x+ x x −1 + √ + :√ ( x> , x ≠1) Câu1: Cho biểu thức: P= x √ x −1 x + √ x+ 1− √ x ( ) a) Rút gọn P, b)Tìm x để P = c) So sánh P2 vơi 2P − √5 3+ √ + Câu 2: a) Tính M = √2+ √3+ √5 √ − √ − √ b) Không sử dụng bảng số và MTBT hãy so sánh: A = √ 2007+√ 2009 và B = √ 2008 Câu 3: a) Giải phương trình √ x −3+ √ − x=x −8 x +18 b) Cho x, y là các số thỏa mãn: ( √ x2 +3+ x )( √ y 2+3+ y)=3 Hãy tính giá trị biểu thức A = x2009 + y2009 +1 Bài 4: Cho hình vuông ABCD M là điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẽ ME, MF thứ tự vuông góc với AB và AD a) Chứng minh: DE = CF, DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy (7) c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài 5: Cho đường tròn (O,R) và điểm A cho OA = R √ Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và CD D và E Chứng minh rằng: a) DE là tiếp tuyến đường tròn b) R<DE< R Bài giải: Bài 1: Với x > và x khác 1, ta có: x +2 √x √x−1 a) P= ( x −1)(x + x+1) + x + x +1 − x − : √ √ √ √ x +2+ √ x ( √ x −1)−(x + √ x+ 1) √ x −1 P= : ( √ x −1)( x+ √ x +1) √ x −1 ¿ ( ( ) ) ¿ √ x −1 ¿ (x + √ x +1) ¿ ¿ 2¿ x −2 √ x +1 P= =¿ ( √ x −1)( x + √ x+1) √ x −1 2 P= ⇔ = (x >0 , x ≠ 1)⇔ x + √ x − 6=0 ⇔ (√ x+ 3)( √ x −2)=0 x + √ x+1 b) ⇔ √ x −2=0(do √ x+ 3>0)⇔ x=4 (t /m) <1 ⇒ P<2 c) Ta có: x > => P > Lại có x+ √ x +1>1 ⇒ x + √ x+ ( ) Vì P > và P< nên P(P - 2) < => P2 < 2P Bài 2: √5+1 ¿2 ¿ √ 5− 1¿ √ 2(3 − √5) + √2(3+ √5) a) M = = 2+ √6 +2 √ 2− √ − √ ¿ ¿ −√¿ ¿ 2+ √ ¿ √2(3 − √5) ¿ 3+ √ ¿ ¿ − √ ¿2 +¿ ¿ − √5 3+ √ ¿ √ 2( + )=√ ¿ 3+ √ 3− √ 2008 −1 ¿ ¿ √¿ ¿ √ 2008− 1+ √2008+1=√ ¿ √ 2008+2 √2008 −1< √ 2008=2 √2008 b) A = √ 2007+ √ 2009 Vậy A < B (8) Bài 3: a) ĐK ≤ x ≤5 Khi đó, ta có PT √ x −3+ √ − x=x −8 x +18 có 2 √ x −3 ¿ +( √ 5− x ¿ )=2 2=4 ( Theo Bunhi)⇒ VT ≤ VT2 ¿ (1+1) ¿ √ x −3=√ 5− x ⇔ x =4 Dấu “=” xẫy VP = (x – 4)2 + 2 Dấu “=” xẫy x – = x = Suy VT = VP = và x = Vậy PT có nghiệm x = b) ta có: ( √ x2 +3+ x )( √ y 2+3+ y)=3 ⇔ (√ x +3 − x )( √ x +3+ x )( √ y 2+3+ y)=3( √ x2 +3 − x ) ⇔ 3( √ y +3+ y )=3 ( √ x +3 − x ) ⇔ √ y +3+ y= √ x +3 − x ¿ Tương tự: √ x2 +3+ x= √ y +3 − y Lấy (1) cộng (2), ta x + y = x = -y Suy A = x2009 – x2009 + = (1) (2) (9)