VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.[r]
(1)§Ị thi chän häc sinh giái
Môn : Toán lớp Thời gian làm : 120 phút Câu : (2 điểm ) a) Tính A =
√2+√2+√3+
1
√2−√2−√3 b) So s¸nh :
2008 2009
2009 2008 2008 2009
Câu : (2 điểm ) a) Giải phơng trình : x2 + x + 12
√x+1 = 36
b) Tìm số nguyên x , y cho : y= √x2
+4x+5
C©u : (2 ®iĨm )
a) BiÕt a , b , c số đo cạnh tam giác Chứng minh phơng trình : x2 + ( a - b - c )x + bc = v« nghiƯm
b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; víi x , y , z , t lµ sè tù nhiên
HÃy tìm giá trị nhỏ M giá trị tơng ứng cña x,y,z,t biÕt r»ng:
¿
x2− y2+t2=21
x2
+3y2+4z2=101 ¿{
¿ C©u : (3 ®iĨm)
Cho đoạn thẳng AB=2a , AB lấy điểm C tuỳ ý Vẽ đờng trịn tâm I đ-ờng kính AC vẽ đđ-ờng trịn tâm K đđ-ờng kính BC MN tiếp chung ngồi hai đờng trịn (M (I), N∈(K) ) ; Cx tiếp tuyến chung hai đờng tròn
a) Chứng minh đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy điểm D
b) Xác định vị trí điểm C AB cho tứ giác DMCN có diện tích lớn
C©u : (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng nÕu |a|+|b| > phơng trình sau có nghiệm 2ax2 + bx +1 - a = 0
đáp án đề thi học sinh giỏi mơn thi : tốn lớp 9
Câu : (2đ)
a) (1đ) A = √2 2+√4+2√3+
√2
(2)= √2 2+(√3+1)+
√2 2−(√3−1)=
√2 3+√3+
√2
3−√3 0,5
= √2(3−√3+3+√3)
9−3 =√2 0,25
b)(1®) Ta cã
2008 2009 2009 2008 =
2009 2008 2009 2008
= 0,25
=
2009 2008
2009 2009 2008 2008=
= ( 2008 2009)+
1
( )
2008 2009 0,25
Ta thÊy
1
2008 2009
2008 2009
Do
1
2008 2009 >0 ; 0,25
suy ( 2008 2009)+
1
( )
2008 2009 > 2008 2009
VËy
2008 2009
2009 2008 > 2008 2009 0,25
C©u : (2®)
a) (1®) x2 + x + 12
√x+1 = 36
x(x+1)+ 12 √x+1 = 36
ĐKXĐ : x −1 0,25
Đặt x1 = t ; phơng trình trở thành :
( t2 - )t2 + 12t = 36
t4 - ( t - )2 = ; suy (t2 - t + 6)(t2 + t - 6) = 0,25
Phơng trình t2 - t + = vô nghiệm
Phơng trình t2 + t - = cã nghiƯm lµ t ❑
1 = -3< (lo¹i)
t ❑2 = > 0,25 Với t = √x+1 =2 ; từ tìm đợc nghiệm phơng trình :
x = 0,25
(3)từ ta có y > 0,25 Bình phơng vế y= √x2
+4x+5 ta đợc :
y2 = (x+2)2 +1
(y + x + 2)(y - x - ) = 0,5
V× x,y số nguyên nên (y + x + 2) (y - x - ) nhận giá trị nguyên Ta thấy tổng tích biểu thức dơng nên ta có :
¿
y+x+2=1
y − x −2=1 ¿{
¿
; từ ta tìm c (x=-2;y=1) 0,25
Câu : (2đ)
a) (1®) Δ = (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0,25
= a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b)
Vì a,b,c cạnh tam giác nên :
<a<(b+c) ; suy a2 < a(b+c) ; a2 - a(b+c) < 0
<b<(a+c) ; suy b2 < b(a+c) ; b2 - b(a+c) < 0
<c<(a+b) ; suy c2 < c(a+b) ; c2 - c(a+b) < 0 0,5
Từ suy Δ < Vậy phơng trình vơ nghiệm 0,25
b) (1®)Tõ hƯ
¿
x2− y2+t2=21(∗)
x2+3y2+4z2=101(**)
¿{
¿
; cộng vế với vế ta đợc :
2(x2 + y2 + 2z2 + t2) - t2 = 122 ; 0,25
suy M= 122+t 2 =61+
t2
2 ; Min M = 61 t = 0,25 Với t = từ (*) suy x2 - y2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 0,25
Có trờng hợp xảy :
+ ¿
x − y=1
x+y=21
⇔ ¿x=11
y=10 ¿{
¿
(4)+ ¿
x − y=3
x+y=7
⇔ ¿x=5
y=2 ¿{
¿
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4
VËy Min M=61 x=5,y=2,z=4,t=0 0,25 C©u 4 : (3®)
a) (1,25®)
Gäi D giao điểm AM BN Q giao điểm MN Cx Theo tính chÊt cña tiÕp tuyÕn ta cã QM=QC=QN ;
Từ suy Δ MCN vng 0,5
Tứ giác DMCN có góc vuông nên hình chữ nhật ; 0,25 Mà Q trung điểm MN , suy Q trung điểm DC
Vy AM,BN,Cx đồng quy D 0,5
b)(1,75®)
Gọi O trung điểm AB , Suy DO= AB
2 =a 0,25
S ❑DMCN =DM.DN= DC2
DA DC2 DB =
DC4 DA DB=
DC4
AB DC=¿ 0,5 ¿DC
3 AB =
DC3 2a ≤
a3 2a=
a2
2 ; 0,5
Từ ta có S ❑DMCN lớn a2
2 DC=a ; lúc C O 0,5
Câu : ( điểm )
Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có :
Δ = b2 - 8a(1-a) < (1) , < b2 < 8a(1-a) hay a(1-a) >
Từ ta có <a < , suy |a| = a 0,25 Từ (1) , ta lại có |b| < √2a(1− a) , |a|+|b|<a+2√2a(1− a)=¿ = √2a+√1− a¿
2
−1
2a+2√2a(1− a)+(1−a)−1=¿ (2) 0,25 Q
I O
N M
K
C B
x
A
(5)áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có : ( √2.√a+1 √1− a¿
2
≤(2+1)[a+(1−a)]
√2a+√1− a¿2=¿ = (3) 0,25 KÕt hỵp (2) víi (3) , ta cã :
|a|+|b| < -1 = ; trái với giả thiết