Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn.. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời.[r]
(1)Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1) Các định nghĩa: * Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i2 = −1), đó: z = a + bi gọi là số phức a: gọi là phần thực ; b: gọi là phần ảo Tập các số phức kí hiệu là Số phức có phần ảo gọi là số thực nên R Đặt z = x + yi, đó z z ( x yi ) x y x y x y x y x y xyi 2 xy Số phức có phần thực gọi là số ảo = + 0i là số vừa thực vừa ảo * z = a − bi là số phức liên hợp z = a + bi và ngược lại * Mô đun số phức z = a + bi là | z | = 1 3i 1 2 i Suy z z Lại có z 2 z i 2 Hơn ta có z3 = z2.z = Ví dụ 6: Tìm số phức z, z z a2 b2 zz' = z z' , zz=a2 +b2 z ,z+z'=z+z', zz'=z z', z= z z là số thực và z = z 2) Các phép toán và tính chất bản: a c (a + bi) = (c + di) b d (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i (a + bi).(c + di) = nhân bình thường nhân đa thức a bi (a bi )(c di ) (nhân tử, mẫu cho số phức liên hợp mẫu) c di (c di )(c di ) 3) Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, Trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn vectơ u (a; b ) , đó M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a,b ) có nghĩa là OM biểu diễn số phức đó Ta có:Nếu u,v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì u v biểu diễn số phức z + z', u v biểu diễn số phức z − z', k u (k ) biểu diễn số phức kz, OM u z , với M là điểm biểu diễn z Xác định tổng, hiệu, tích, thương các số phức Vd1: Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i); b) z’ = (1 i )3 (2i )3 a) z = (0 + − 3) + (1 − + 2)i = −1 − i Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − b) Kết quả: + 10i 3 i i 2 2 Vd2 Tính = i 2 3 i i i 2 2 2 Ví dụ 3: Tính + i + i2 + i3 + …+ i2009 Ta có – i2010 = (1 – i)1 + i + i2 + i3 + …+ i2009 x x x x 0, y y y y y (1 y ) x 0, y y x 0, y 1 y y x x x (1 x ) x (do x 0) y 0, x y Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z i ; b) z i z a) Đặt z = x + yi suy z − + i = (x − 1) + (y + 1)i z i ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 1) Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = b) |2 + x + yi| = |i − x − yi| (x + 2)2+ y2 = x2 + (1 − y)2 4x + 2y + = Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + = Cách 2: Gọi A (− ; 0), B(0 ; 1) Khi đó z i z z (2) z i hay là M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực đoạn thẳng AB *Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 3i Tìm số phức z có modul nhỏ Xét biểu thức z 3i (1) Đặt z = x + yi Khi đó (1) trở thành ( x 2) ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = Ta có |z| đạt giá trị nhỏ điểm M(C) và gần O Do đó M là giao điểm (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O Ta có OI = 13 Kẻ MH Ox Theo định lí ta lét y 13 MH OM H O có OI 13 = + i 1 i Vd 4: Tính (1 − i)100 = ((1 i ) )50 (2i )50 (2)50 (i )50 250 M Mà − i2010 =2 Nên i i i i 2009 -3 13MH 13 i Vd5 Cmr: z z 0; z z ; z Với z 2 z 2 3 3 i z z ( i) ( i) ; Do z 2 2 2 Lop12.net 13 2 I x (2) 13 x 1 c) Ta có (3) x 1 x x 1 x x 0; (*) 78 13 26 13 13 OH OH 13 26 13 ta lại có 13 13 13 MH Vậy số phức cần tìm là z 1 i Từ đó ta có các 1 i nghiệm pt (3) là: x =1; x1,2 ( Các nghiệm pt (3) gọi là bậc ba 1) Ví dụ : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: = + 3i; = −2 + 5i Theo bài ta có: + = + 8i; . = −23 + 14i kết pt bậc hai cần lập là: x 8i x 14i 23 Theo b) (*) có hai nghiệm là x1,2 26 13 78 13 i 13 26 Ví dụ 3: Chứng minh với số phức z, w, ta có z w z w Đẳng thức xảy nào? Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z, w, z + w Ta có z OA, w OB, z w OC Từ OC OA + AC suy z w z w Hơn OC = OA + AC và O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC Khi O A (hay z 0) điều đó có nghĩa là có số k để AC kOA tức là w = kz (Còn z = 0, rõ ràng z w z w ) Vậy z w z w và z = z thì tồn k R để w = kz Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Vd 3: Cho z1; z2 là nghiệm pt 1 i z2 − (3+2i)z + 1− i = Không giải pt hãy tính giá trị các biểu thức sau: z z a ) A z12 z22 ; b) B z12 z2 z1 z22 ; c) C z2 z1 2i 2 i z1 z2 3 1 i Theo Vi−et ta có: 1 i 1 1 i z1z2 3 i a) Ta có A z1 z2 z1 z2 = 2 Căn bậc hai số thực âm: Mỗi số thực âm a có bậc hai là i | a | và − i | a | 32 23 11 30 i 2 i i 3 9 Ví dụ: số −7 có bậc hai là i và − i số −9 có bậc hai là 3i và −3i 2.Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax2 + bx + c = , (a,b,c R ) (1) b >0:pt(1) có nghiệm thực phân biệt x1 2a b = : pt (1) có nghiệm (thực) kép: x1 x2 2a < : pt (1) có nghiệm phức phân biệt: b i | | b i | | , x1 x2 2a 2a 3.Công thức nghiệm ph trình bậc hai hệ số phức ax bx c 0; (1) (a, b, c , a 0) và có b 4ac b) B Nếu pt có hai nghiệm x1 b b ; x2 2a 2a Trong đó là bậc hai b Nếu = thì pt có nghiệm kép: x1 x2 2a Bài 1: Thực phép tính : Chủ đề 3: Giải phương trình tập số phức z1 z2 z1 z2 2 5 2 10 i i i 3 9 c) Ta có C z12 z22 A 6 26 i z1z2 18 1 1 i 3 Ví dụ 4: Giải pt: z z 25 (1) Đặt z2 = t Khi đó (1) có dạng: t2 –6t + 25 = (2) Ta có: ’ = − 16 = 16.i2 < nên pt (2) có hai nghiệm là t = ± 4i Mặt khác + 4i có hai bậc hai là: + i và −2 − i còn − 4i có hai bậc hai là: − i và −2 + i nên pt (1) có nghiệm là: z1 = 2+ i; z2 = −2 − i; z3 = − i; z4 = −2 + i Bài tập Giải phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng B Az + B = 0; A, B , A ≠ Viết nghiệm z A Ví dụ : Giải phương trình 2iz + − i = a) 2i ĐS: i 5 c) m i m ĐS: −i m e) 3i (1 2i )(1 i ) g) ai b i a ĐS: ĐS: b) 1 i 1 i ĐS: i d) ai a ai a ĐS: a a i i 5 b i a a a 1 (1 2i )2 (1 i )2 (3 2i )2 (2 i )2 f) h) (2 – i)6 a 1 ĐS: 21 34 i 17 ĐS: −117 – 44i Bài 2: Giải các phương trình trùng phương: z4 – z3 z2 – 8z –16 Nghiệm phương trình là z (1 i) 1 i 2i 2i 2 a 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ 1: Giải các phương trình a) 3x2 + x + = (1) b) x x (2); c) x (3) Bài 3: Cho z1, z2 là nghiệm ptrình: z 1 i z 3i b ( z2 9)( z4 z2 4) Không giải pt hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) Ta có = −23 = 23 i2 < nên ta có hai bậc hai là: 1 i 23 i 23 & i 23 Từ đó nghiệm pt (1) là: x1,2 b) = − = −3i2 < nên (2) có các nghiệm là: x1,2 1 i z1 z2 z2 z1 a ) A z12 z22 b ) B z12 z2 z1z22 c) C d ) D z13 z23 e ) E z2 z13 z1z23 1 2 2 f ) F z1 z2 z2 z1 z1 z2 Bài 4: Giải các hệ phương trình: Lop12.net (3) z1 z2 i a) 2 z1 z2 2i ĐS:(3 – i; + 2.i) và (1 + 2.i; – i) z z 5 5.i b) 12 2 ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; – i), (-2 + i; + 3i), (1 + 3i; -2 + i) z1 z2 5 2.i Bài 5: Lập phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm là: a) i và i b) 2i và 2i Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận số phức z và z làm nghiệm Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z = a + bi , thoả mãn điều kiện: a) Phần thực phần ảo b) phần thực a (1; 2) c) |z| = SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC VD1: (ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là nghiệm phương trình z2 + 2 2z +10 = Tính giá trị biểu thức A z z = −36 = 36i2 z1, = −1±3i.|z1|= |z2| = 10 A = 20 Thêm : Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình 2z2 − 4z + 11 = CMR: A z1 z z1 z 2 11 c 1 i ; d 2.i i Bài Tìm nghiệm phức phương trình sau: a 1 2i 3i z ; b 2 i z i iz 0; 2i 1 i 2i c z | z | 0; d z z ; Bài 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b 1+i+i2+i3++……+i2011 Bài Xác đỉnh tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau: a | z z | 4; b | z z i | 2; c 2 z i z là số ảo tùy ý; d | z i || z z 2i |; Bài Các vectơ u ,u ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ (CĐ_2009) a Tìm phần thực, phần ảo số phức z thỏa mãn (1 + i )2(2 i)z = + i + (1 + 2i)z (*) 4z - - 7i = z - 2i b Giải phương trình trên tập số phức: z-i a (*) (1 + 2i)z = + i z = − 3i ĐS: a = 2, b = 3 b Điều kiện z ≠ PT z2 − (4 + 3i)z + + 7i = có = − 4i = (2 − i)2 ĐS: z = + 2i, z = + i Thêm :Tìm số phức z thoả mãn: |z − + i| = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị ĐS: z i , z i (ĐH_B 2009) Tìm z thỏa |z − (2 + i)| = 10 và z z 25 Gọi z = x + yi có z − (2 + i) = (x − 2) + (y − 1)i, | z z '|| z z '| Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z k , (k là số thực dương cho trước) z i Bài Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z 1 1 z i VD5: ĐHKA 2010: CB Tìm phần ảo số phức z, biết z ( i ) (1 2i ) VD6: ĐHKA 2010: NC z 3i z i và z i 1 z i z z 25 + = 25 (2) Giải hệ (1) và (2) (x ; y) = (3 ; 4) V (x ; y) = (5 ; 0) Vậy z = + 4i z = VD4: (ĐH_2009)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa |z − (3 − 4i)| = Gọi z = x + yi có z − (3 − 4i) = (x − 3) + (y + 4)i, |z − (3 − 4i)| = (x − 3)2 + (y + 4)2 = Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm I(3; −4); R = Bài Tìm số phức z thỏa mãn z i 10 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 (1) y2 z.z ' z.z ' ; b Chứng minh u ,u ' vuông góc và VD3: x2 1 i 10 1 i 2 3i 2 3i i 1 i a Chứng minh tích vô hướng u u ' VD2: i i 1 i i a (1 i ) (1 i ) ; b Bài Giải các phương trình sau trên C : a z i z z i b z z 4z 2 z 12 Bài 10 Giải các phương trình sau trên C : a z z z2 z 1 cách đặt ẩn số phụ w z ; z b z z z z z z c (z2+1)2+(z+3)2=0 Bài 11 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z sau : z1 z i (1 3i ) 2 Cho số phức z thỏa mãn z Tìm môđun z1 z 2i 1 i Bài 12 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z sau : số phức z iz z1 z 5 5i Bài tập: 2 Bài Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: z1 z 5 2i Lop12.net (4) z2 z Bài 26 : Giải phương trình: z z Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z (3 4i ) 2 HD: Chia hai vế phương trình cho z2 Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = + I + (1 – 2i )z Xác định phần thực , phần ảo Z CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB) Đáp số : Phần thực – ; Phần ảo z 7i z Bài 15 : Giải phương trình : 2iz i trên tập số phức CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC) Đáp số : z1 = +2i ; ; z2 = 3+i (1 i ) Tìm 1 i môđun : z iz Bài 27 : Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0 HD: Đặt thừa số chung ĐS: z 1, z 3 i, z i 2 2 Bài 28 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z 3 4i ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 Bài 29 : Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : z Bài 30: Trong các số phức thỏa mãn z 3i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài 31: xác định tập hợp các điểm M mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn moãi ñieàu kieän sau: a) z z b) z z i c) Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z i (1 i ) z ĐH Khối B – 2010 (CB) z z 2i z i , và z2 là số ảo ĐH Khối D – 2010 Đáp số : z1 = +i ; z2 = – i , z3 = – i , z4 = -1 + i Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( – 3i)z + ( 4+i) z = (1 + 3i)2 ; Xác định phần thực và phần ảo z ? CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB) Đáp số : Phần thực : - ; phần ảo : Bài 21 : Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: e) 2i+2z = 2z-1 g) | z | d) 2i.z -1 = z + f) h) | z 1| z -3i =1 z+i i) z i| Bài 32: Tìm các số thực a, b, c để có: z3 2(1 i)z2 4(1 i)z 8i ( z ai)( z2 bz c) Từ đó giải phương trình: z3 2(1 i)z2 4(1 i)z 8i trên tập số phức Tìm môđun các nghiệm đó Bài 33: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 Bài 22 : Tìm số phức z thỏa mãn: 1 i 2 diễn số phức: z i z z 2i Bài 16 : Tìm phần ảo số phức z, biết z ( i ) (1 2i ) Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z = ĐS: z=1±i, z z 1 1 z i 1 z 3i 1 zi 2 z w zw Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 2 z w 1 HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1 ĐS: z=1+i zi z i Bài 23 : Giải phương trình: Bài 34: a)Tính tổng: 1+i+i2+i3+…+i2011 b)Chứng minh 3(1 i ) 2010 4i (1 i ) 2008 4(1 i ) 2006 Bài 35: Cho z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: ĐS: z{0;1;1} Bài 24 : Giải phương trình: z z Bài 36: HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z ĐS: z{0;i;i} Cho z Bài 25 : Giải phương trình: z z HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z ĐS: z=0, z=1, z z z2 z z 11 Tính giá trị biểu thức : ( z1 z2 )2 i 2 Lop12.net 1 i tính z2011 1 i (5)