ÔN TẬP SỐ PHỨC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC Loại 1: Thực hiện các phép tính: Bài 1: Thức hiện phép tính: a/.. Tìm môđun của z iz+.. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất... MỘT SỐ PHƯƠNG P

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

Loại 1: Thực hiện các phép tính:

Bài 1: Thức hiện phép tính: a/ (3i+4) ( 3 2 ) (4 7 )[ − + i − − i ] b/ (7 5 1− i) ( + −i) (3i+2i) c/ ( )2013

1 i+ d/ ( ) (2 )

3 4+ i 5 7− i e/ ( ) (3 )2

3−i − +1 2i f/ ( ) (3 )2

3−i − +3 2i

Bài 2: Thực hiện phép tính:a/ 3 4

2

i i

− + b/ ( )2

2 3

3 4

i i

+

− c/ ( 3 4 ) 5 7

6 5

i i

i

−

− + +

+ d/

8 5 2 1

3 4 3 2

+ − −

1

2 3i−

Loại 2: Xác định phần thực ; phần ảo; mô đun và số phức liên hợp của số phức:

Bài 3: Tìm phần thực ; phần ảo và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

2 3

1 (2 1) 3 ( 1) 2

z = i− − i i+ + i ; 2

3 2

3 2

i

i

−

+ ;

3 (2 3 ) (1 )

Bài 4: Cho hai số phức: z 1 = + 1 2 i, z 2 = − 2 3 i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z 1 − 2 z 2.TN 2010

(CB)

Bài 5: Cho hai số phức: z 1 = + 2 5 i, z 2 = − 3 4 i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z z 1 2.TN – 2010 (NC)

Bài 6: Tìm phần ảo của số phức z, biết: z = ( 2 + i ) (1 2 − 2 ) i ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số: − 2

Bài 7:Cho số phức z thỏa mãn: (2 3 ) − i z + + (4 i z ) = − + (1 3 ) i 2 Xác định phần thực và phần ảo của z.

Bài 8: Tính mô đun của các số phưc sau: 3 2 2

1 (3 2 ) ; 2 (2 1) (3 ) ; 3 ( 3 4 )(2 ) 5 7

z = − i z = i− − +i z = − + i − + −i i

Bài 9: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 0 = Tính giá trị của biểu thức

A = z + z ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20

Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn: (1 3 )3

1

i z

i

−

=

− Tìm môđun của z iz+ ĐH K A – 2010 (NC) Đáp số: 8 2

Bài 11:Tính mô đun của số phức z , biết (2z−1)(1 ) (+ + +i z 1)(1 ) 2 2− = −i i (ĐH khối A – 2011 NC)

Bài 12:Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = −z 2i Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.

Bài 12 bis: a/Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 2 )

7 8 1

i

i i

+ Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.(KD– 2012 )

b/ Cho số phức z thỏa 5( )

2 1

z i

i

z + = − + Tính môđun của số phức w = 1 + z + z

2 (KA–2012 )

Loại 3: Giải phương trình dạng ax + b = 0 trên tập số phức: (có 2 dạng)

Bài 13: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

a/ (3−i z) = +4 3i b/ (3−i z) − + =5 7i 0 c/ ( 3 )− −i z + = +4 (5 3 )( 4 5 )i − + i d/ 2

(5 3 )+ i z = −(1 )i

e/ (3 )+i z − + = +6 5i (1 )i z f/ (2 3 )+ i z2 − −(1 3 )i 3 =0 g/.(2 3 ) − i z + + (4 i z ) = − + (1 3 ) i 2

h/ z 2 3i 4 2i

z i

− + = +

− i/. z− +(2 3 )i z= −1 9i j /(2z – 1 1 i () ( + ) + z+ 1)(1 − = −i) 2 2i

Loại 4: Giải phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 trên tập số phức:

Bài 14: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a/ z2 − 3z +12= 0 b/ − 2 x 2 + 5 x − = 4 0

c/ x 2 − 6 x + 25 0 = d/ − 8 z 2 + 4 z − = 1 0 e/ 2 z 2 − + = iz 1 0 f/ z2− + (1 i z ) + + = 6 3 i 0

g/ x2 + 16 = 0 h/.z 2 − + (1 i z ) + + = 6 3 i 0

Bài 15: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

a/ 3x4 − 8x2 − = 3 0 b/ x 4 + x 2 − 42 0 = c/ − + z 4 4 z 2 + 45 0 = d/ z 4 − 25 0 = e/ − 4 x 4 + = 1 0

g/ z3 + =8 0 h/ z3 + 4z = 0 k/ x3 + 4x− =5 0 i/ z 2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 (KD 2012)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

Loại 5: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài 16: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:a/ 2 z+ = −i z b/ z 3

z i =

− c/ z = − +z 3 4i d/ z i 1

z i− = + e/ |z i− =| | (1+i z) | f/ |z− −(3 4 ) | 2i = g/ 2 ( )2

z = z

h/ z2 là số thuần ảo i/ 2 z− = − +1 z z 2 j/ z ≤2 k/ 1≤ + − ≤z 1 i 2 l / 3≤ + ≤z 1 5

Bài 17: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức: z + 2 – i thỏa mãn điều kiện : z+ −4 2i

Loại 6: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài 18:Tìm số phức z thỏa mãn: z z+ =6; z z=25

Bài 19:Tìm số phức z thỏa mãn | z − + (2 i ) | = 10 và z z = 25 ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = 3 + 4i ∨ z = 5

Bài 20: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | | z = 2 và z2 là số thuần ảo ĐH Khối D – 2010

Bài 21: Tìm tất cả các số phức z , biết 2 2

z = z +z (ĐH Khối A – 2011CB)

Bài 22: Tìm số phức z, biết: z 5 i 3 1 0

z

+

− − = (ĐH Khối B-2011 CB)

Bài 23: Tìm số phức z thỏa mãn z 1 1& z 3i 1



Bài 24: Tìm các số thực x, y thỏa mãn: a/ 3

(3 5 ) (1 2 ) 9 14

x + i +y − i = + i b/ (1 – 3i)(2x + yi) = 1+ i

Bài 25: Tìm các số thực x và y, biết: a)(2x+ + = − +1) 5i 4 (3y−2)i b) 2x−1+ 1-2y( )i= − + −2 x ( y 2)i

Bài 26: Tìm các số phức 2z z+ và 25i

z , biết z = 3-4i (TN2012 CB )

Bài 27: Tìm các căn bậc hai của số phức 1 9 5

1

i

i

+

− (TN2012 NC )

Loại 7: Dạng lượng giác của số phức :

Bài 28:Tìmmộtacgumencủamỗisốphứcsau :a./-1-i 3 ; c / ;

8

cos 8 sinπ −i π

− d /1−sinϕ+icosϕ ;

2









 <ϕ<π

Bài 29: Viết dạng lượng giác số z =1 3

2 − 2 i.Suy ra căn bậc hai số phức z:

Bài 30: Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: a./

2 sin 2 sinϕ+i 2ϕ

b./ cosϕ+i(1+sinϕ)

Bài 31: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

a (1 3 ) ;

3

sin

3

cos i i5 + i 7









 π− π

b ( )

10

3

1

i

i

+

+

; c 2000

2000 1

z

z + biết rằng +1 = 1

z z

Bài 32: Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:

a cosϕ−isinϕ; b sinϕ+icosϕ; c sinϕ−icosϕ. với ϕ∈R cho trước.

V Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất

Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G nào đó Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma nb k+ = Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau đó ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương

Ví dụ 1 Biết rằng số phức z thỏa mãn u= + −(z 3 i z)( + +1 3 )i là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giảiGiả sử z a ib= + , ta có

u = + + −(a 3 (b 1) )(i a+ − −1 (b 3) )i =a2+ +b2 4a−4b+ +6 2(a b− −4)i

u R∈ ⇔ − − = ⇔ = +a b a b | |minz ⇔| | minz 2

| |z =a +b = +(b 4) +b =2b + +8b 16 2(= b+2) + ≥8 8

Dấu = xảy ra khi b= − ⇒ =2 a 2 Vậy | |minz ⇔ = −z 2 2i

Ví dụ 2 Cho số phức z thỏa mãn: z i + + = − 1 z 2 i Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Lời giải

( )

2

1

2

;

2

Min z =

Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng (x a+ )2+ +(y b)2 =k2

Bài toán: Tìm GTNN, GTLN của S = Asinmx B+ cosnx C+

Ta có S A2 B2(sinmx 2A 2 cosmx 2B 2) C

cos sin

A

B

ϕ ϕ





Khi đó

S = A +B mx ϕ+ mx ϕ +C

2

k

−

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

2

k

Vì thế ở trường hợp 2 để tìm GTNN, GTLN của |z| ta đặt sin

cos

x a k

y b k

ϕ ϕ

+ =



 + =



Sau đó ta làm tương tự như bài toán trên

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn: z − + 3 4 i = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có: ( ) (2 )2

Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của z ta có thể sử dụng phương pháp hình học

Ví dụ 4 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1+ =5 5, z2+ − =1 3i z2− −3 6i Tìm giá trị

nhỏ nhất của z1−z2

Lời giải

Giả sử M a b( ; ) là điểm biểu diễn của số phức z1= +a bi, N c d( ; ) là điểm biểu diễn của số phức

2

z = +c di

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

Ta có z1+ = ⇔5 5 (a+5)2+b2 =25

Vậy M thuộc đường tròn ( ) :(C x+5)2+y2 =25

z2+ − =1 3i z2− −3 6i ⇔8c+6d =35

Vậy N thuộc đường thẳng ∆: 8x+6y=35

Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt ( )C và z1−z2 =MN

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( ) :(C x+5)2+y2 =25 và đường thẳng

: 8x 6y 35

∆ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên ( )C , N chạy trên đường thẳng ∆

M L

H

0

d

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với ∆ PT đường thẳng d là 6x-8y=-30

Gọi H là giao điểm của d và ∆ Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

1

(1; ) 9

2

x

H

=



Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn ( )C Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

 Vậy K(-1;3), L(-9;-3)

Tính trực tiếp HK, HL Suy ra 5

, 2

MinMN = ⇔M ≡K N ≡H Khi đó 1 2 5

2

Min z −z =

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC

1 Trong các số phức z thỏa mãn: 2 2

2

3 2

− + , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

2 Trong các số phức z thỏa mãn: 2 2

3 1

− − , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất, lớn nhất

3 cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1+ =i 5, z2− =5 z2−7 Tìm giá trị nhỏ

nhất của z1−z2