0

Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

22 689 1
  • Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/11/2013, 00:11

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §1. SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm số phức : • Tập hợp số phức : £ • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R, i đơn vị ảo, i 2 = −1) ; a là phần thực, b là phần ảo của z. • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0. • z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0. • Hai số phức bằng nhau : a + bi = c + di ⇔ a c b d  =  =  (a, b, c, d ∈ R) 2. Biểu diễn hình học số phức : Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi vecto u r = (a ; b) trong mp tọa độ Oxy (mặt phẳng phức). 3. Phép cộng và phép trừ số phức : • (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i. • Số đối của z = a + bi là −z = −a – bi . • Tính chất : o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z” ∈ £ . o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’ ∈ £ . o Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z với mọi z ∈ £ . • z biểu diễn bởi u r , z’ biểu diễn bởi vecto 'u ur thì : z ± z’ biểu diễn bởi u r ± 'u ur . 4. Phép nhân số phức : • (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. k là số thực, z biểu diễn bởi vecto u r thì kz biểu diễn bởi k u r . • Tính chất : o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’ ∈ £ . o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z” ∈ £ . o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z ∈ £ . o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z” ∈ £ . 5. Số phức liên hợp và môđun của số phức : • Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a – bi. Như vậy : z a bi a bi= + = − o ; ' ' ; ' . '= + = + =z z z z z z zz z z o z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z . • Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm 2 2 .z a b z z OM= + = = uuuur o 0, ; 0 0z z z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =£ o ' . ' , ' 'zz z z z z z z= + ≤ + với mọi z, z’ ∈ £ . 6. Phép chia cho số phức khác 0 : Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 85 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ • Số phức nghịch đảo của z (z ≠ 0) là 1 2 1 z z z − = • Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) : 1 2 ' '. '. '. . z z z z z z z z z z z − = = = • Với z ≠ 0, ' w ' w z z z z = ⇔ = ; ' ' ' ' , z z z z z z z z   = =  ÷   B. MỘT SỐDỤ : Ví dụ 1 : a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3. b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, đó là số ảo. Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải: a) Vecto OM uuuur biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto 'OM uuuur biểu diễn số phức z’ = 2 + i b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OP uuur . z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OQ uuur . Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i. (2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5. (2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i. (bi) 2 = b 2 .i 2 = −b 2 (b ∈R). i 3 = i 2 .i = −i, i 4 = 1, i 5 = i. (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = −2 + 2i. Ví dụ 4: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. Giải: z 2 + 4 = z 2 − 4i 2 = (z – 2i)(z + 2i). Tông quát nếu a là số thực thì : z 2 + a 2 = (z + ai)(z – ai). Ví dụ 5: Tính : 2 2 3 (3 )(1 ) 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 i i i i i i i i − − − − = = = − + + − + ( ) 2 2 2 2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4 2 1 2 2 6 3 2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) 2 2 i i i i i i i i i + + + + − + − + = = = = − − + + Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i. Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i ⇔ (−2 + 2i)z = −i ⇔ z = (2 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 2 (2 2 )(2 2 ) 8 4 4 i i i i i i i i i i − + − + − = = = = + − + − − + C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 1. Tự làm. 2. Tự làm. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 86 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i. Dễ thấy điểm E có tọa độ 3 1 os ;sin ; 6 6 2 2 c   π π   =  ÷  ÷     nên E biểu diễn số phức 3 1 2 2 i+ ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− + ; F biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− ; B biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− − . 4. Thực hiện phép tính : 2 2 1 2 3 2 3 2 3 13 2 3 i i i + + = = − + ; 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 4 4 2 2 i i i + = = + + − 3 2 (3 2 )( ) 2 3 i i i i i − = − − = − − ; 3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 4 16 1 17 i i i i i − − + − = = − + 5. Cho z = 1 3 2 2 i− + . Hãy tính : 2 3 2 1 ; ; ; ( ) ; 1z z z z z z + + . Giải: 2 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 2 . 4 4 i z z i z z z z − − = = = = − − + ; z 2 = 1 3 1 2 2 i z z − − = = 3 2 ( ) .( ) 1z z z= = ; 1 + z + z 2 = 0. 6. Chứng minh rằng : a) Phần thực của số phức z bằng 1 ( ) 2 z z+ , phần ảo của số phức z bằng 1 ( ) 2 z z i − . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = − z . c) Với mọi số phức z, z’, ta có ' 'z z z z+ = + , ' . 'zz z z= và nếu z ≠ 0 thì ' 'z z z z   =  ÷   . Giải: a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒ z = a – bi. ⇒ z + z = 2a ⇒ a = 1 ( ) 2 z z+ z - z = 2bi ⇒ b = 1 ( ) 2 z z i − b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = − z . Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 87 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di .Khi đó z = a – bi và 'z = c – di. ⇒ z + 'z = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i⇒ 'z z+ = (a + c) - (b + d)i = z + 'z . Tương tự cho các đẳng thức còn lại. 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có : i 4m = 1 ; i 4m+1 = i ; i 4m+2 = −1 ; i 4m+3 = −i. Giải: i 4m = (i 4 ) m = (−1) 2m = 1 m = 1 ; i 4m+1 = i 4m .i = i i 4m+2 = i 4m+1 .i = i.i = −1 ; i 4m+3 = i 4m+2 .i = −i. 8. Chứng minh rằng : a) Nếu vecto u r của mp phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vecto u r là u z= r , và từ đó nếu các điểm A 1 , A 2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 , z 2 thì 1 2 2 1 A A z z= − uuuur . b) Với mọi số phức z, z’, ta có . ' . 'z z z z= và khi z ≠ 0 thì ' ' z z z z = . c) Với mọi số phức z, z’, ta có ' 'z z z z+ ≤ + . Giải: a) Ta có : z = a + bi ⇒ 2 2 z a b= + , và u r biểu diễn số phức z thì u r nên độ dài vecto u r là 2 2 a b+ , do đó u z= r . Nếu A 1 , A 2 theo thứ tự biểu diễn z 1 , z 2 thì vecto 1 2 2 1 A A OA OA= − uuuur uuuur uuur biểu diễn z 2 – z 1 nên 1 2 2 1 A A z z= − uuuur (đpcm). b) Ta cần chứng minh : 2 2 2 . ' . 'z z z z= và với z ≠ 0 thì : 2 2 2 ' ' '. 1 1 '. ' . z z z z z z z z z z z z z = = = = c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2( ) 2 ( )( )z z a b c d ac bd a b c d a b c d+ = + + + + + ≤ + + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 'a b c d z z+ + + = + ⇒ ' 'z z z z+ ≤ + 9. Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a)  z – i  = 1 b) 1 z i z i − = + c) 3 4z z i= − + Giải: Gọi z = a + bi a) ⇒ z - i = a + bi - i = 1 ⇔ a + (b – 1)i = 1 ⇔ a 2 + (b – 1) 2 = 1, Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1. b) 2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1) z i a b i a b i a b i a b a b b z i a b i − + − = = ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ = + + + Vậy z là số thực. c) Ta có : 3 4z z i = − + ⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 88 Ti liu Ging dy Toỏn 12 nõng cao Giỏo viờn: Phan Cụng Tr a 2 + b 2 = (a 3) 2 + (4 b) 2 6a + 8b 25 = 0. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z l mt ng thng. LUYN TP 10. Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú : 1 + z + z 2 + . . . + z 9 = 10 1 1 z z Gii: Do (1 + z + z 2 + . . . + z 9 )(z 1) = z + z 2 + z 3 +. . . .+z 10 (1 + z + z 2 + . . . + z 9 ) = z 10 1 nờn khi z 1 ta chia hai v cho z 1 thỡ c ng thc cn chng minh. 11. Hi mi s sau õy l s thc hay s o (z l s phc tựy ý cho trc sao cho biu thc xỏc nh) ? 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ; ; ( ) 1 . z z z z z z z z z z + + + Gii: Gi z = a + bi z = a bi. 2 2 2 ( ) ( ) 2 .z z z z z z+ = + l s thc. Vỡ z + z l s thc v z. z l s thc. z - z l s o v z 3 + ( z ) 3 = (z + z )[(z + z ) 2 3z. z ) l s thc nờn 3 3 ( ) z z z z + l s o. z 2 ( z ) 2 = (z + z )(z - z ) l s o v 1 + z. z l s thc nờn 2 2 ( ) 1 . z z z z + l s o. 12. Xỏc nh tp hp cỏc im trong mp phc biu din cỏc s phc z tha món tng iu kin sau: a) z 2 l s thc õm b) z 2 l s o c) z 2 = ( z ) 2 d) 1 z i l s o. Gii: a) z 2 l s thc õm z l s o. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z nm trờn trc o (Oy), tr im O b) Gi z = a + bi z 2 = a 2 b 2 + 2abi l s o a 2 b 2 = 0 b = a. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z nm trờn hai ng phõn giỏc ca cỏc gc ta . c) z 2 = ( z ) 2 (z + z )(z z ) = 0 z + z = 0 ( ) z - z = 0 ( ) truùc thửùc truùc aỷo . Vy tp hp cỏc im l cỏc trc ta . d) 1 z i l s o z i l s o x + (y 1)i l s o x = 0 v y 1. Vy tp hp cỏc im biu din nm trờn trc Oy (tr im cú tung bng 1). 13. Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau : a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i) z - 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z 2 + 4 = 0. Gii: a) z = 2 1 2 i i i = + b) z = 1 1 3 1 3 10 10 i i = + + Trng THPT Thanh Bỡnh 2 Thanh Bỡnh ng Thỏp 89 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) z = z = 4 8 4 8 4 2 5 5 5 5 i i i = + ⇒ − − d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i e) z = ±2i. 14. a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i + − . b) Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i + − là số thực dương. Giải: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) [ ( 1) ].[ ( 1) ] 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + + + + + − − + − = = = + − + − + − + − + − z i x y i x y i x y i x y x i z i x y i x y x y x y Vậy phần thực là 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − và phần ảo là 2 2 2 ( 1) x x y+ − b) z i z i + − là số thực dương ⇔ 2 2 2 ( 1) x x y+ − = 0 và 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − > 0 ⇔ 2 2 0 0 1 1 1 0 x x y hoaëc y x y  =  =  ⇔   < − > + − >    Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra đoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn số −i). 15. a) Trong mp phức, cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 , z 2 , z 3 . Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ? b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn : z 1  = z 2  = z 3 . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi z 1 + z 2 + z 3 = 0. Giải: a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có : 1 ( ) 3 OG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur Suy ra , G biểu diễn số phức 1 2 3 (z + z + z ) 1 3 . b) Ba điểm A, B , C (hay 3 vecto , ,OA OB OC uuur uuur uuur ) biểu diễn 3 số phức z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn z 1  = z 2  = z 3  ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là điểm O cách đều 3 điểm A, B, C hay 3 điểm đó nằm trên đường tròn tâm O (gốc tọa độ). A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z 1 + z 2 + z 3 = 0 (theo a)). 16. Đố vui. Trong mp phức cho các điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải là hai tam giác đồng dạng không ?. Giải: Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’. Và : z' z.z' z.z'- z' OA' OB' A'B' = = z' , = = z' , = = z' OA 1 OB AB z z -1 Do đó hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là z’. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 90 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Căn bậc hai của số phức : • z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w. • z = x + yi (x, y∈R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b∈R) ⇔ 2 2 2 x y a xy b  − =   =   . • Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. • Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là 2 số đối nhau. • Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là a± . • Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là .a i± − . 2. Phương trình bậc hai : Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0) • Tính ∆ = B 2 – 4AC • ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt ( 2 B A δ δ − ± là một căn bậc hai của ∆) • ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z 1 = z 2 = 2 B A − . B. MỘT SỐDỤ : Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của : a) −1 b) −a 2 (a là số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i Giải: a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là i ± . b) −a 2 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là ai± . c) Đặt w = −5 + 12i. Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w ⇔ 2 2 2 5 2 2 12 6 x x y x xy y x   =    − = −   = −  ⇔   =    =   Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i. d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i ⇔ 2 2 2 0 2 2 1 1 2 x x y xy y x  = ±   − =   ⇔   =    =   Vậy có hai căn bậc hai của i là : 2 (1 ) 2 i± + . Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 91 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) z 2 – z + 1 = 0 b) z 2 + (−2 + i)z – 2i = 0 Giải: a) Ta có : ∆ = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của ∆ là : 3i . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z 1 = 1 3 2 i+ và z 2 = 1 3 2 i− b) Ta có : ∆ = (i – 2) 2 – 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i) 2 ( hay ta đi tìm một căn bậc 2 của ∆). Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z 1 = 2 2 -i - 2 -i z = = i 2 2 2 2, 2 i i− + + = - . C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau : −i ; 4i ; −4 ; 1 + 4 3 i Giải: Hai căn bậc hai của −i là : 1 1 1 1 , 2 2 2 2 i i− + − . Hai căn bậc hai của 4i là : 2 2 , 2 2i i+ − − . Hai căn bậc hai của 1 + 4 3 i là : 2 3 , 2 3i i+ − − . 18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z = w Giải: z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w ⇒ z 2  = z 2 = w ⇒ z = 2 z = w . 19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau : a) z 2 = z + 1 b) z 2 + 2z + 5 = 0 c) z 2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 Giải: a) z = 1 5 2 2 ± b) z = −1 ± 2i c) z = 2i và z = −1 + i/ 20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ? b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2 + Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?Điều ngược lại có đúng không ? Giải: a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai ( 2 B A δ δ − ± 2 = B 2 – 4AC) chứng tỏ z 1 + z 2 = −B/A và z 1 .z 2 = C/A ⇒ công thức vẫn còn đúng. b) Hai số phức cần tìm là nghiệm phương trình : z 2 – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải ra ta được hai nghiệm là : 3 + i và 1 – 2i. c) Nếu phương trình z 2 + Bz + C = 0 có 2 nghiệm z 1 , z 2 là 2 số phức liên hợp thì z 2 = 1 z . Theo công thức Vi-ét, B = −(z 1 + z 2 ) = −(z 1 + 1 z ) là số thực và C = z 1 .z 2 = z 1 . 1 z là số thực. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 92 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì khi ∆ = B 2 – 4C > 0 hai nghiệm là 2 số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau, khi ∆ ≤ 0 thì phương trình mới có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp. 21. a) Giải phương trình sau : (z 2 + i)(z 2 – 2iz – 1) = 0 b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z 2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Giải: a) Phương trình ⇔ z 2 + i = 0 hoặc z 2 – 2iz – 1 = 0. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm z 1 = i, z 2 = 3 z = 1 1 1 1 , 2 2 2 2 i i− + − b) Ta có : B = −(z 1 + z 2 ), z 1 .z 2 = 3i (z 1 , z 2 là 2 nghiệm phương trình : z 2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta được : z 1 2 + z 2 2 = 8 ⇔ (z 1 + z 2 ) 2 – 2z 1 .z 2 = 8 ⇔ b 2 – 6i = 8 ⇔ b 2 = (8 + 6i) ⇔ b = ± (3 + i). 22. Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là 1− và tính : 1− . 1− như sau : a) Theo định nghĩa căn bậc hai của −1 thì 1− . 1− = −1. b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì 1− . 1− = ( 1)( 1) 1 1− − = = , từ đó học sinh đó suy ra −1 = 1. Hãy tìm điều sai trong lập luận trên. Giải: a) Lập luận a) đúng. b) Lập luận b) sai. Vì 1− . 1− chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (theo H1 trang 194). Lưu ý có hai căn bậc hai của 1 là 1 và −1, các kí hiệu 1− . 1− và 1 chưa xác định. LUYỆN TẬP 23. Tìm nghiệm phức của phương trình sau : 1 z + = k z trong các trường hợp sau : a) k = 1 b) k = 2 c) k = 2i Giải: a) k = 1 thì z = 1 3 2 i± b) z = 2 (1 ) 2 i± c) z = (1 2)i± . 24. Giải các phương trình sau trên £ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức. a) z 3 + 1 = 0 b) z 4 – 1 = 0 c) z 4 + 4 = 0 d) 8z 4 + 8z 3 = z + 1 Giải: a) z 3 + 1 = 0 ⇔ (z + 1)(z 2 – z + 1) = 0 có 3 nghiệm z 1 = −1, z 2 = 3 1 3 z = - i 2 2 1 3 , 2 2 i+ (hình 1) b) z 4 – 1 = (z 2 + 1)(z 2 – 1) = 0 có nghiệm z 1 = i, z 2 = −i, z 3 = 1, z 4 = −1. (hình 2) c) z 4 + 4 = (z 2 + 2i)(z 2 – 2i) = 0 có nghiệm z 1 = 1 – i, z 2 = −1 + i, z 3 = 1 + i, z 4 = −1 – i.(hình 3) d) 8z 4 + 8z 3 = z + 1 ⇔ (z + 1)(8z 3 – 1) = 0 ⇔ (z + 1)(2z – 1)(4z 2 + 2z + 1) = 0 có nghiệm z 1 = −1, z 2 = ½, z 3 = 4 1 3 z = - - i 4 4 1 3 , 4 4 i− + .(hình 4) Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 93 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 25. a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm. Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i) 2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ b + c + (2 + b)i = 0 ⇔ b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2 b) Với 1 + i là nghiệm ta được : (1 + i) 3 + a(1 + i) 2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0 ⇔ b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2). Với 2 là nghiệm ta được : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) ⇒ b = 6 (2) ⇒ a = −4. Vậy a = c = −4, b = 6. 26. a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực ϕ, ta có : (cos ϕ + isin ϕ ) 2 = cos2 ϕ + isin2 ϕ Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2 ϕ + isin2 ϕ . Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2. b) Tìm các căn bậc hai của 2 (1 ) 2 i− bằng 2 cách nói ở câu a). Giải: a) (cosϕ + isinϕ) 2 = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + 2sin ϕ .cos ϕ .i = cos2ϕ + isin2ϕ. Các căn bậc hai của cos2ϕ + isin2ϕ là : ± (cosϕ + isinϕ). Còn theo cách giải trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2 os2 2 sin2 x y c xy ϕ ϕ  − =   =   Giải ra ta tìm được hai căn bậc hai là : ± (cosϕ + isinϕ). b) 2 (1 ) os isin os isin 2 4 4 4 4 i c c     π π π π − = − = − + −  ÷  ÷     thì theo câu a), 2 (1 ) 2 i− có hai căn bậc hai là 1 os isin os isin 2 2 2 2 8 8 8 8 2 c c i         π π π π   ± − + − = ± − = ± + − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           (dùng ct hạ bậc) Còn theo cách trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 x y xy  − =     = −   Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 94 [...].. .Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ  2+ 2 − 2− 2  − 2+ 2 2− 2   ÷,  ÷ ; ; Giải ra ta được các nghiệm : 2 2 2 2  ÷  ÷     §3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số tiết : 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1 Dạng lượng giác của số phức : a) Acgumen của số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng... Cho số phức w = − (1 + i 3) Tìm các số nguyên dương n để w n là số thực Hỏi có chăng một 2 số nguyên dương m để wm là số ảo ? Giải: 1 4π 4π 4 nπ 4 nπ + isin + isin Ta có : w = − (1 + i 3) = cos ⇒ wn = cos (n guyên dương) Số này là 2 3 3 3 3 4nπ = 0 ⇔ 4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương số thực khi và chỉ khi sin 3 của 3 4mπ = 0 , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k để Số. .. + 3.i 2 z+1 , biết rằng z = 1 và z ≠ 1 z-1 z+1 là số ảo thì z = 1 z-1 Giải: a) Muốn tìm phần thực của số phức nào đó ta cần tính tổng của nó và số phức liên hợp của nó z+1 KQ : 0 , ⇒ là số ảo z-1 z+1 z+1 z+1 b) là số ảo thì =− , nhân chéo ta được : z1 z − 1 = 0 ⇔ z = 1 z-1 z-1 z-1 20 Xác định tập hợp các điểm M trên mp phức biểu diễn các số phức : (1 + i 3)z + 2 trong đó z - 1 ≤ 2 Giải: z'-2... isinϕ = 0 = 0(cosα + isinα) (α ∈R, tùy ý) ÔN TẬP CHƯƠNG IV 37 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau : 3 + 2i 1 − i + a) (2 – 3i)2 b) c) (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (x, y∈R) Với x, y 1 − i 3 − 2i nào thì số phức đó là số thực ? Giải: a) phần thực −46, phần ảo −9 b) phần thực 23/26, phần ảo 63/26 2 2 c) phần thực x – y – 2x + 5, phần ảo 2y(x – 1) Số phức đó là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔... 29(−1 + i), từ đó suy ra số cần tìm Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 97 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 30 Gọi M, M’ là các điểm trong mp phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i ; z’ = (3 − 3) + (1 + 3 3)i a) Tính z’/z b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’) Tính số đo đó Giải: a) z’/z =... Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 105 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao z - 1 ≤ 2 ⇔ z'-2 1+i 3 Giáo viên: Phan Công Trứ − 1 ≤ 2 ⇔ z'− 2 − (1 + i 3 ≤ 1 + i 3 ⇔ z'− 2 − (1 + i 3 ≤ 4 , vậy tập hợp các điểm M là tập hợp các điểm thuộc hình tròn (kể cả biên) có tâm A biểu diễn số 3 + i 3 , có bán kính bằng 4 21 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức : −8 + 6i ; 3 + 4i và 1 − 2 2.i Giải: Hai căn... Giải: Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 95 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Số thực dương tùy ý có một acgumen là 0 Số thưc âm tùy ý có một acgumen là π Số 3i có một acgumen là π/2, số −2i có một acgumen là −π/2, số 1 + i có một acgumen là π/4 Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác của số phức : 1+ i z= 3 +i Giải: Ta tìm dạng lượng giác của 1 + i , gọi r là môđun và... hai của số phức dưới dạng lượng giác : Các căn bậc hai của số phức z = r(cos ϕ + isinϕ) (r > 0) là :  ϕ ϕ r  cos + isin ÷ và 2 2   ϕ   ϕ  ϕ ϕ − r  cos + isin ÷ = r cos  + π ÷+ isin  + π ÷ 2 2   2   2 B MỘT SỐDỤ : Ví dụ 1: Tìm acgumen của : một số thực dương tùy ý, số thực âm tùy ý, 3i, −2i và 1 + i Giải: Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 95 Tài liệu Giảng... acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác k2π, k∈Z), nên từ a, b, c∈(0 ; π/2) Suy ra : a + b + c = π/4 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 43 (C) ; 44 (A) ; 45 (A) ; 46 (B) ; 47 (B) ; 48 (A) ; 49 (B) ; 50 (C) ; 51 (A) ; 52 (B) ; 53 (B) ; 54 (B) Chú ý : −sinϕ − icosϕ = −i(cosϕ - isinϕ) = −i[cos(−ϕ) + isin(−ϕ)] ÔN TẬP CUỐI NĂM 1 a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e – x – 1... thực khi và chỉ khi sin 3 của 3 4mπ = 0 , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k để Số wm (m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi cos 3 4m 1 = + k ⇔ 8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2 Vậy không có số 3 2 nguyên dương m để wm là số ảo 35 Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trương hợp sau : a) z = 3 và một acgumen của iz là 5π/4 z b) z . Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §1. SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm số phức : • Tập hợp số. dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải:
- Xem thêm -

Xem thêm: Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ, Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ,

Hình ảnh liên quan

2. Biểu diễn hình học số phức: - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

2..

Biểu diễn hình học số phức: Xem tại trang 1 của tài liệu.
24. Giải các phương trình sau trên £ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức. - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

24..

Giải các phương trình sau trên £ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức Xem tại trang 9 của tài liệu.
b) Biểu diễn hình học các số phức z o, z1, z2. - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

b.

Biểu diễn hình học các số phức z o, z1, z2 Xem tại trang 14 của tài liệu.
42. a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2+i và 3+ i, hãy chứng minh rằng tana = ½, tanb - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

42..

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2+i và 3+ i, hãy chứng minh rằng tana = ½, tanb Xem tại trang 17 của tài liệu.
15. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

15..

Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : Xem tại trang 21 của tài liệu.
các điểm M là tập hợp các điểm thuộc hình trịn (kể cả biên) cĩ tâm A biểu diễn số 3 +i 3, cĩ bán kính bằng 4. - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

c.

ác điểm M là tập hợp các điểm thuộc hình trịn (kể cả biên) cĩ tâm A biểu diễn số 3 +i 3, cĩ bán kính bằng 4 Xem tại trang 22 của tài liệu.

Từ khóa liên quan