1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

22 703 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Nội dung

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ §1 SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Khái niệm số phức :  Tập hợp số phức :   Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R, i đơn vị ảo, i2 = −1) ; a phần thực, b phần ảo z  z số thực  phần ảo z  z số ảo  phần thực z  Hai số phức : a c a + bi = c + di   (a, b, c, dR) b  d  Biểu diễn hình học số phức : Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a ; b) hay vecto u = (a ; b) mp tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) Phép cộng phép trừ số phức :  (a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i  Số đối z = a + bi −z = −a – bi  Tính chất : o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với z, z’, z”   o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với z, z’  o Cộng với : z + = + z = z với z       z biểu diễn u , z’ biểu diễn vecto u ' : z  z’ biểu diễn u  u ' Phép nhân số phức :  (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad +  bc)i  k số thực, z biểu diễn vecto u kz biểu diễn k u  Tính chất : o Giao hoán : zz’ = z’z với z, z’  o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với z, z’, z”   o Nhân với : 1.z = z.1 = z với z  o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với z, z’, z”   Số phức liên hợp môđun số phức :  Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a – bi Như : z a  bi a  bi o z  z ; z  z '  z  z ' ; zz '  z.z ' o z số thực  z = z ; z số ảo  z = − z   Môđun số phức z = a + bi số thực không âm z  a  b  z.z  OM o z 0, z   ; z 0  z 0 o zz '  z z ' , z  z '  z  z ' với z, z’  Phép chia cho số phức khác : 1  Số phức nghịch đảo z (z ≠ 0) z  z z Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 85 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao  Thương z’ chia cho z (z ≠ 0) : Giáo viên: Phan Công Trứ z' z '.z z '.z  z '.z    z z z z z' z' z'  z' z'   w  z '  wz ;    , z z z  z z B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = + 3i có phần thực 2, phần ảo b) Số phức z = −I có phần thực 0, phần ảo −1, số ảo Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức z z’ mp phức b) Biểu diễn số phức z + z’ z’ – z mp phức Giải:   a) Vecto OM biểu diễn số phức z = + 3i, vecto OM ' biểu diễn số phức z’ = + i b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = + 4i, biểu diễn mp phức vecto OP z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = – 2i, biểu diễn mp phức vecto OQ  Với z ≠ 0, Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = + 3i (2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = (2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i (bi)2 = b2.i2 = −b2 (b R) i3 = i2.i = −i, i4 = 1, i5 = i (1 + i)3 = + 3i + 3i2 + i3 = −2 + 2i Ví dụ 4: Phân tích z2 + thành nhân tử Giải: z2 + = z2 − 4i2 = (z – 2i)(z + 2i) Tông quát a số thực : z2 + a2 = (z + ai)(z – ai) Ví dụ 5: Tính :  i (3  i )(1  i )  4i   1  2i  i (1  i )(1  i ) 12  12  2i (  2i)(  2i ) (  2i)   2i   2i     2  2i (  2i)(  2i ) 2   Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i  (−2 + 2i)z = −i i i i(2  2i )   2i  1      i z=   2i  2i (2  2i )(2  2i ) 4 C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : Tự làm Tự làm Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 86 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ Giải: Gọi D điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i    1  ;  nên E biểu diễn Dễ thấy điểm E có tọa độ  cos ;sin   6  2   i ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số 2 3 phức   i ; F biểu diễn số phức  i ; B biểu diễn số 2 2 phức   i 2 Thực phép tính :  i 1  3i  3i 2    i   ; 2  3i  13   i 4 2  2i  4i (3  4i )(4  i) 16  13i (3  2i )(  i )   3i   ; i 4 i 16  17 1 3 Cho z =   i Hãy tính : ; z ; z ; ( z ) ;  z  z z 2 Giải:   i z z 3 2 ; z2 =        i i  z z z z z 2 2 z  4 ; + z + z2 = ( z )  z.( z ) 1 Chứng minh : 1 a) Phần thực số phức z ( z  z ) , phần ảo số phức z ( z  z ) 2i b) Số phức z số ảo z = − z số phức c) Với số phức z, z’, ta có z  z '  z  z ' , zz '  z.z ' z ≠ z'  z'   z  z Giải: a) Gọi số phức z = a + bi (a phần thực, b phần ảo)  z = a – bi  z + z = 2a  a = ( z  z ) z - z = 2bi  b = ( z  z ) 2i b) z số ảo phần thực  z + z =  z = − z c) Gọi số phức z = a + bi z’ = c + di Khi z = a – bi z ' = c – di  z + z ' = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i z  z ' = (a + c) - (b + d)i = z + z ' Tương tự cho đẳng thức cịn lại Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 87 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ Chứng minh với số nguyên m > 0, ta có : i4m = ; i4m+1 = i ; i4m+2 = −1 ; i4m+3 = −i Giải: i4m = (i4)m = (−1)2m = 1m = ; i4m+1 = i4m.i = i 4m+2 4m+1 ; i = i i = i.i = −1 i4m+3 = i4m+2.i = −i Chứng minh :    u a) Nếu vecto u mp phức biểu diễn số phức z độ dài vecto u  z , từ  điểm A1, A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1, z2 A1 A2  z2  z1 b) Với số phức z, z’, ta có z.z '  z z ' z ≠ z' z'  z z c) Với số phức z, z’, ta có z  z '  z  z ' Giải:    a) Ta có : z = a + bi  z  a  b , u biểu diễn số phức z u nên độ dài vecto u  2 u z , a b    Nếu A1, A2 theo thứ tự biểu diễn z1, z2 vecto A1 A2 OA2  OA1 biểu diễn z2 – z1 nên  A1 A2  z2  z1 (đpcm) 2 b) Ta cần chứng minh : z.z '  z z ' với z ≠ : z' z' z '.z 1   z '.z  z ' z  z z z z z c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di  z + z’ = (a + c) + (b + d)I  z  z ' a  b  c  d  2(ac  bd ) a  b  c  d  (a  b )(c  d ) =  a  b2  c  d   z  z '   z  z'  z  z' Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z i 1 a) z – i = b) c) z  z   4i z i Giải: Gọi z = a + bi a)  z - i = a + bi - i =  a + (b – 1)i =  a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(0 ; 1) bán kính z i a  (b  1)i  1  a  (b  1)i  a  (b  1)i  a  (b  1) a  (b  1)  b 0 b) z i a  (b  1)i Vậy z số thực c) Ta có : z  z   4i  a + bi = a – bi – + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i  a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng LUYỆN TẬP Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 88 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ 10 Chứng minh với số phức z ≠ 1, ta có : z10  1 + z + z2 + + z9 = z1 Giải: Do (1 + z + z2 + + z9)(z – 1) = z + z2 + z3 + .+z10 – (1 + z + z2 + + z9) = z10 – nên z ≠ ta chia hai vế cho z – đẳng thức cần chứng minh 11 Hỏi số sau số thực hay số ảo (z số phức tùy ý cho trước cho biểu thức xác định) ? z z z  ( z )2 2 z  ( z) ; ; z  ( z )3  z z Giải: Gọi z = a + bi  z = a – bi  z  ( z ) ( z  z )  z.z số thực Vì z + z số thực z z số thực  z - z số ảo z3 + ( z )3 = (z + z )[(z + z )2 – 3z z ) số thực nên z z số ảo z  ( z )3 z  ( z )2  z – ( z ) = (z + z )(z - z ) số ảo + z z số thực nên số ảo  z z 12 Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z2 số thực âm b) z2 số ảo c) z2 = ( z )2 d) số ảo z i Giải: a) z2 số thực âm  z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi  z2 = a2 – b2 + 2abi số ảo  a2 – b2 =  b = a Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm hai đường phân giác gốc tọa độ c) z2 = ( z )2  (z + z )(z − z ) =  z + z = (trục thực)  Vậy tập hợp điểm trục tọa độ  z - z = (trục ảo) 2 số ảo  z – i số ảo  x + (y – 1)i số ảo  x = y ≠ Vậy tập hợp điểm z i biểu diễn nằm trục Oy (trừ điểm có tung độ 1) 13 Tìm nghiệm phức phương trình sau : a) iz + – i = b) (2 + 3i)z = z – c) (2 – i) z - = d) (iz – 1)(z + 3i)( z - + 3i) = e) z2 + = Giải: i 1 1  2i   i a) z = b) z = i  3i 10 10 8   i z=  i c) z = d) z = −i, z = −3i, z = + 3i 2 i 5 5 e) z = 2i z i 14 a) Cho số phức z = x + yi (x, y R) Khi z ≠ 1, tìm phần thực phần ảo số phức z i d) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 89 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ b) Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i số z i thực dương Giải: z  i x  ( y  1)i [x  ( y  1)i ].[x  ( y  1)i ] x2  y  2x     i a) 2 2 z  i x  ( y  1)i x  ( y  1) x  ( y  1) x  ( y  1) Vậy phần thực 2x x2  y2  phần ảo 2 x  ( y  1)2 x  ( y  1)  x 0 2x x  y2   x 0 z i  số thực dương  = >  2 2 x  ( y  1) z i x  ( y  1)  x  y    y   hoaëc y  Vậy tập hợp điểm biểu diễn z nằm trục Oy bỏ đoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn số −i) 15 a) Trong mp phức, cho điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z 1, z2, z3 Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức ? b) Xét điểm A, B, C mp phức theo thư tự biểu diễn số phức phân biệt z 1, z2, z3 thỏa mãn : z1 = z2 = z3 Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác z1 + z2 + z3 = Giải:     a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có : OG  (OA  OB  OC ) Suy , G biểu diễn số phức (z1 + z + z )    b) Ba điểm A, B , C (hay vecto OA, OB, OC ) biểu diễn số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3  OA = OB = OC (theo 8.a)) tức điểm O cách điểm A, B, C hay điểm nằm đường trịn tâm O (gốc tọa độ) A, B, C đỉnh tam giác trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay G  O  z1 + z2 + z3 = (theo a)) 16 Đố vui Trong mp phức cho điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ B’ biểu diễn số phức z.z’ Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải hai tam giác đồng dạng khơng ? Giải: Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’ OA' z' OB' z.z' A'B' z.z' - z' = = z' , = = z' , = = z' Và : OA OB AB z z -1 b) Do hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng z’ §2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Số tiết : 2LT + 1BT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 90 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Căn bậc hai số phức :  z bậc hai số phức w  z2 = w  z = x + yi (x, yR) bậc hai w = a + bi (a, bR) 2  x  y a  2 xy b  Số có bậc hai  Số phức khác có hai bậc hai số đối  Hai bậc hai số thực a >  a  Hai bậc hai số thực a <   a i Phương trình bậc hai : Az2 + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước A ≠ 0)  Tính  = B2 – 4AC  B  ( bậc hai )   ≠ : phương trình có nghiệm phân biệt 2A B   = : phương trình có nghiệm kép z1 = z2 = 2A B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm bậc hai : a) −1 b) −a2 (a số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i Giải: a) −1 số thực âm nên có hai bậc hai i b) −a2 số thực âm nên có hai bậc hai ai c) Đặt w = −5 + 12i Gọi z = x + yi bậc hai w   x 2 2  x  y    x    2 xy 12  y   x Vậy có hai bậc hai −5 + 12i : + 3i −2 – 3i d) Gọi z = x + yi bậc hai w = i  2  x   x  y 0   2 xy 1 y   2x (1  i) Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức : a) z2 – z + = b) z2 + (−2 + i)z – 2i = Giải: a) Ta có :  = – = −3 số thực âm nên bậc hai  : 3i Vậy có hai bậc hai i :   3i  3i z2 = 2 b) Ta có :  = (i – 2)2 – 4(−2i) = – 4i + 8i = + 4i = (2 + i)2 ( hay ta tìm bậc ) 91 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp Phương trình có nghiệm phân biệt z1 = Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Vậy phương trình có nghiệm phân biệt : z1 = Giáo viên: Phan Công Trứ  i 2 i 2-i-2-i 2, z = = -i 2 C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17 Tìm bậc hai số phức sau : −i ; 4i ; −4 ; + i Giải: 1 1  i,  i Hai bậc hai −i :  2 2 Hai bậc hai 4i :  2i,   2i Hai bậc hai + i :  3i,   3i 18 Chứng minh z bậc hai số phức w z = w Giải: z bậc hai số phức w  z2 = w  z2 = z2 = w  z = 19 Tìm nghiệm phức phương trình bậc hai sau : a) z2 = z + b) z2 + 2z + = Giải: z = w c) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = b) z = −1  2i c) z = 2i z = −1 + i/  2 20 a) Hỏi công thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực có cịn cho phương trình bậc hai với hệ số phức khơng ? Vì ? b) Tìm hai số phức , biết tổng chúng – i tích chúng 5(1 – i) c) Có phải phương trình bậc hai z2 + Bz + C = (B, C số phức ) nhận hai nghiệm hai số phức liên hợp khơng thực phải có hệ số B, C hai số thực ? Vì ?Điều ngược lại có khơng ? Giải:  B  ( = B2 – 4AC) chứng tỏ z1 + z2 = −B/A a) Từ cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 2A z1.z2 = C/A  công thức cịn b) Hai số phức cần tìm nghiệm phương trình : z – (4 – i)z + 5(1 – i) = Giải ta hai nghiệm : + i – 2i c) Nếu phương trình z2 + Bz + C = có nghiệm z1, z2 số phức liên hợp z2 = z1 a) z = Theo công thức Vi-ét, B = −(z1 + z2) = −(z1 + z1 ) số thực C = z1.z2 = z1 z1 số thực Điều ngược lại khơng B, C thực  = B2 – 4C > hai nghiệm số thực phân biệt, chúng liên hợp với nhau,   phương trình có nghiệm số phức liên hợp 21 a) Giải phương trình sau : (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Giải: Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 92 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ a) Phương trình  z2 + i = z2 – 2iz – = Vậy phương trình cho có nghiệm z = i, z2 = 1 1   i, z =  i 2 2 b) Ta có : B = −(z1 + z2), z1.z2 = 3i (z1, z2 nghiệm phương trình : z2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta : z12 + z22 =  (z1 + z2)2 – 2z1.z2 =  b2 – 6i =  b2 = (8 + 6i)  b =  (3 + i) 22 Đố vui Một học sinh kí hiệu bậc hai −1  tính :   sau : a) Theo định nghĩa bậc hai −1   = −1 b) Theo tính chất bậc hai (tích hai bậc hai hai số bậc hai tích hai số đó)   = ( 1)( 1)  1 , từ học sinh suy −1 = Hãy tìm điều sai lập luận Giải: a) Lập luận a) b) Lập luận b) sai Vì   bậc hai (−1)(−1) = (theo H1 trang 194) Lưu ý có hai bậc hai −1, kí hiệu   chưa xác định LUYỆN TẬP 23 Tìm nghiệm phức phương trình sau : z + = k trường hợp sau : z a) k = b) k = c) k = 2i Giải:  3i b) z = c) z = (1  2)i (1 i) 2 24 Giải phương trình sau  biểu diễn hình học tập hợp nghiệm phương trình mp phức a) z3 + = b) z4 – = c) z4 + = d) 8z4 + 8z3 = z + Giải: a) k = z = 3  i, z = i (hình 1) 2 2 b) z4 – = (z2 + 1)(z2 – 1) = có nghiệm z1 = i, z2 = −i, z3 = 1, z4 = −1 (hình 2) c) z4 + = (z2 + 2i)(z2 – 2i) = có nghiệm z1 = – i, z2 = −1 + i, z3 = + i, z4 = −1 – i.(hình 3) d) 8z4 + 8z3 = z +  (z + 1)(8z3 – 1) =  (z + 1)(2z – 1)(4z2 + 2z + 1) = có nghiệm z1 = −1, z2 a) z3 + =  (z + 1)(z2 – z + 1) = có nghiệm z1 = −1, z2 = = ½, z3 =  3  i, z = - i (hình 4) 4 4 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 93 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ 25 a) Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm b) Tìm số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z + az2 + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm nhận z = làm nghiệm Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = + i nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c =  b + c + (2 + b)i =  b + c = + b = 0, suy : b = −2, c = b) Với + i nghiệm ta : (1 + i) + a(1 + i)2 + b(1 + i) + c =  (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i =  b + c – = (1) 2a + b + = (2) Với nghiệm ta : + 4a + 2b + c = (3) Từ (2) (3) cho c = −4, (1)  b = (2)  a = −4 Vậy a = c = −4, b = 26 a) Dùng công thức cộng lượng giác để chứng minh với số thực , ta có : (cos + isin)2 = cos2 + isin2 Từ tìm bậc hai số phức cos2  + isin2 Hãy so sánh cách giải với cách giải học §2 b) Tìm bậc hai (1  i) cách nói câu a) Giải: a) (cos + isin)2 = cos2 − sin2 + 2sin.cos i = cos2 + isin2 Các bậc hai cos2 + isin2 :  (cos + isin) Còn theo cách giải học, ta cần giải hệ phương trình :  x  y cos2  2 xy sin 2 Giải ta tìm hai bậc hai :  (cos + isin)       (1  i) cos  isin cos     isin    theo câu a), (1  i) có hai bậc hai b) 4  4  4          cos     isin      cos  isin      i   (dùng ct hạ bậc) 8 2   8  8    2 x  y   Còn theo cách học, ta cần giải hệ phương trình :   2 xy   2  2    2 2   ,  ; ; Giải ta nghiệm :  2 2         §3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 94 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Số tiết : A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Dạng lượng giác số phức : a) Acgumen số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Nếu  acgumen z acgumen z có dạng  + k2 (kZ).) b) Dạng lượng giác số phức : Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)  r  a2  b  a   cos  ( acgumen z,  = (Ox, OM) r  b  sin   r Nhân, chia số phức dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)] z r   cos(   ')  isin(   ')  z' r '  Công thức Moa-vrơ : n Với n số nguyên, n  :  r (cos  isin  ) r n (cos n  isin n ) Khi r = 1, ta : (cos  isin  )n (cos n  isin n ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Các bậc hai số phức z = r(cos  + isin) (r > 0) :    r  cos  isin  2           r  cos  isin   r  cos      isin      2  2  2   B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm acgumen : số thực dương tùy ý, số thực âm tùy ý, 3i, −2i + i Giải: Số thực dương tùy ý có acgumen Số thưc âm tùy ý có acgumen  Số 3i có acgumen /2, số −2i có acgumen −/2, số + i có acgumen /4 Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác số phức : 1 i z= i Giải: Ta tìm dạng lượng giác + i , gọi r mơđun  acgumen Khi : r = , cos = 1/ = sin   = /4 Do dạng lượng giác + i :     cos  isin  4  Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 95 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ     i :  cos  isin  6         1 i 2 2      cos     isin       cos  isin    12 12  i  6   Ví dụ 3: Tính : a) (1 + i)5 b) (1 + i)9 Giải:         5 5  2 i   4(1  i) a) (1 + i)5 =   cos  isin   ( 2)5  cos  isin  4     4  4       b) Ta tìm dạng lượng giác  3i Tương tự, dạng lượng giác  r   2   Ta có : cos  suy r =  = /3   sin    Dạng lượng giác  3i : 2(cos/3 + isin /3) C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 27 Hãy tìm dạng lượng giác số phức: z ; −z ; 1/ z ; kz (kR*) trường hợp sau : a) z = r(cos + isin) (r > 0) b) z =  3i Giải: a) z = r(cos − isin) = r(cos(−) + isin(−)) −z = − r(cos + isin) = r[cos( + ) + isin( + )] 1 1   (cos  isin  )  [cos  isin  ] r z r (cos - isin ) r kz = k r(cos + isin) k > kz = − k.r[cos( + ) + isin( + )] k < b) z =  3i = 2(cos/3 + isin /3) Khi : z = 2(cos/3 − isin/3) = 2(cos(−/3) + isin(−/3)) −z = − 2(cos/3 + isin3) = 2[cos(4/3) + isin(4/3)] 1       (cos  isin )  [cos  isin ] 3 3 z 2(cos  - isin  ) 3 kz = k 2(cos/3 + isin/3) k > kz = − 2k[cos(4/3) + isin(4/3)] k < 28 Viết số phức sau dạng lượng giác: Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 96 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao a)  i ;  i ; (1  i 3)(1  i) ;  2i Giải: Giáo viên: Phan Công Trứ 1 i 1 i b) 2i(  i) c) d) z = sin + icos (R)          a)  i =  cos  isin  2  cos     isin     3   3            isin + i =  cos  isin  ; (1  i 3)(1  i) 2  cos  4 12 12     (1  i  7  7    cos  isin  1 i 12 12   b) 2i(  i) = 2(  i ) = 4(cos/3 + isin /3) (hoặc làm câu a))  c)  2i 2      cos  isin   4     2  cos  isin  4  d) z = sin + icos = cos(/2 −) + isin(/2 −) 29 Dùng công thức triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 cơng thức Moa-vro để tính : 16 18 C190  C192  C194   C19  C19 Giải: 16 16 18 18 19 19 i  C19 i )  (C19 i  C193 i   C19 i ) Ta có : (1 + i)19 = (C190  C192 i  C194 i   C19 16 18 17 19  C19  (C19  C193  C195   C19  C19 ).i = C190  C192  C194   C19 16 18  C19  phần thực C190  C192  C194   C19      Theo Moa-vro, ta có : (1 + i) =   cos  isin   4    19 19  19 19  ( 2)19  cos  isin  4    2 19 i   29  29.i = ( 2)     16 18  C19  phần thực : −29 Vậy : C190  C192  C194   C19 = −29 = −512 Cách khác: (1 + i)2 = 2i  (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ suy số cần tìm 30 Gọi M, M’ điểm mp phức theo thứ tự biểu diễn số z = + i ; z’ = (3  3)  (1  3)i a) Tính z’/z b) Chứng minh hiệu số acgumen z’ với acgumen z số đo góc lượng giác (OM, OM’) Tính số đo Giải: a) z’/z =  3i Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 97 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ b) Ta có : sđ(OM, OM’) = sđ(Ox,OM’) – sđ(Ox, OM) = ’ -  = acgumen  ’ theo thứ tự acgumen z z’ Theo a) z’/z = acgumen  3i z' (sai khác k2), z có   k 2 (kZ) nên góc lượng giác (OM, OM’) có số đo   k 2 (1  i)  = (  i 3) 2   a) Chứng minh zo = cos  isin , z1 = zo., z2 = zo.2 nghiệm phương trình: 12 12 z – w = b) Biểu diễn hình học số phức zo , z1 , z2 Giải: a) Ta có : w = cos/4 + isin/4,  = cos2/3 + isin2/3 phương trình z3 – w =  z3 = w (*) ta cần nghiệm vào (*) 31 Cho số phức w =      z =  cos  isin  cos  isin w 12 12  4  z13 = (zo )3 = zo3 3 = w.1 = w z23 = (zo.2)3 = zo3 6 = w b) Hình bên o LUYỆN TẬP 32 Sử dụng cơng thức Moa-vro để tính sin4 cos4 theo lũy thừa sin cos Giải: cos4 + isin4 = (cos + isin)4 = cos4 + 4cos3.(isin) + 6cos2(i2sin2) + 4cos.(isin)3 + i4sin4 = cos4 − 6cos2sin2 + sin4 + (4cos3.sin − 4cos.sin3).i Từ : cos4 = cos4 − 6cos2sin2 + sin4 sin4 = 4cos3.sin − 4cos.sin3 33 Tính : (  1)6 ;      1 i  2004 ;   3i      2i    21 Giải:         (  1)6   cos     isin      2 [cos(  )  isin( )]     6          1 i  2004  1i      2004      2 2004  200  200  1  isin  cos   1002 (cos  isin )  1002 4  2  Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 98 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 21   3i   42 42  21  isin   (  i 3)21 221  cos  2   2i  3     34 Cho số phức w =  (1  i 3) Tìm số nguyên dương n để wn số thực Hỏi có số nguyên dương m để wm số ảo ? Giải: 4 4 n n  isin Ta có : w =  (1  i 3) cos  isin  wn = cos (n guyên dương) Số 3 3 4n 0  4n/3 phải số nguyên, tức n phải bội nguyên dương số thực sin 4m 0 , tức có số nguyên k Số wm (m nguyên dương) số ảo cos 4m   k  8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho Vậy để số nguyên dương m để wm số ảo 35 Viết dạng lượng giác số phức z bậc hai z cho trương hợp sau : a) z = acgumen iz 5/4 z b) z = 1/3 acgumen −3/4 1 i Giải: iz 5  3 a) Ta có z = 3, acgumen iz 5/4  acgumen(z) = acgumen =   i 4  3 3  Vậy z =  cos  isin  dạng lượng giác bậc hai z : 4      3 3  3 3      cos  isin    cos  isin    cos  isin  8  8  8     b) Gọi  acgumen z  − acgumen z Và acgumen + i /4 nên  3  z      + l2 (k,lZ) acgumen − − /4 , theo gt ta :     4 1 i 1   Suy z =  cos  isin  Từ dạng lượng giác bậc hai z : 3 2 3   3     cos  isin   cos  isin   4  4  36 Viết dạng lượng giác số phức sau :  5 a)  i tan b) tan  i Giải: c) - cos - isin (R,  ≠ k2, kZ).) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 99 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ            c os  isin  c os   isin         a)   5 5 5    cos cos 5 5  5 5  1  5 5   7 7  tan  i  sin  i cos    sin  i cos   cos  isin     b) 5 5  3 8  8 8 cos  cos cos  8 (vì cos5/8 < 0)        2i sin cos 2sin  sin  i cos  c) - cos - isin = 2sin 2 2 2  i tan        Khi sin/2 > - cos - isin = 2sin  cos     i sin     2  2  2        Khi sin/2 < - cos - isin = − 2sin  cos     i sin     2  2  2  Khi sin/2 = - cos - isin = = 0(cos + isin) ( R, tùy ý) ÔN TẬP CHƯƠNG IV 37 Tìm phần thực phần ảo số phức sau :  2i  i  a) (2 – 3i)2 b) c) (x + iy)2 – 2(x + iy) + (x, yR) Với x, y  i  2i số phức số thực ? Giải: a) phần thực −46, phần ảo −9 b) phần thực 23/26, phần ảo 63/26 2 c) phần thực x – y – 2x + 5, phần ảo 2y(x – 1) Số phức số thực phần ảo  y = x = z+w 38 Chứng minh z = w = số : số thực (giả sử + zw ≠ 0) 1+zw Giải: 1 +   z+ w z+ w 1 z w = z+ w = = z = w = z = , w = nên :   đpcm  z w  1+zw  1+zw 1+ 1.1 1+zw z w 39 Giải phương trình sau  : 2 a) (z + – i) – 6(z + – i) + 13 =  iz+3  iz+3 -3=0 b)   -3 z-2i z-2i   c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = Giải: a) Đặt w = z + – i Nghiệm phương trình z = 3i z = −i iz+3   5i  35i b) Đặt w = Nghiệm phương trình z = z = z-2i 17 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 100 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = (z + 1)2 – [i(z + 3)]2 = (z2 + + i(z + 3))(z2 + – i(z + 3)) = Nghiệm phương trình z = – 2i, z = −1 + i, z = + 2i, z = −1 −i z1 40 Xét số phức : z1 =  i , z2 = -2-2i , z3 = z2 a) Viết z1 , z2 , z3 dạng lượng giác 7 7 b) Từ câu a), tính cos sin 12 12 Giải:               a) z1 = 2  cos     isin     ; z2 = 2  cos     isin     6         z3 = z1/z2 = cos b) 7 7  isin 12 12 z1  i (  i 2)(  2i)   6     i z2   2i 4 Từ theo a) ta : cos 7   7 6 sin   12 12 41 Cho z = (  2)  i(  2) a) Viết z2 dạng đại số dạng lượng giác b) Từ câu a), suy dạng lượng giác z Giải:    a) z2 =  8i 16  cos  isin  6     b) Vì phần thực phần ảo z dương nên z =  cos  isin  12 12   42 a) Bằng cách biểu diễn hình học số phức + i + i, chứng minh tana = ½, tanb = 1/3 với a, b(0 ; /2) a + b = /4 b) a) Bằng cách biểu diễn hình học số phức + i + i + i, chứng minh tana = ½, tanb = 1/5, tanc = 1/8 với a, b, c(0 ; /2) a + b + c = /4 Giải: a) Biểu diễn hình học + i, + i theo thứ tự M, N mp phức Ta có : tan(Ox, OM) = ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb Do a, b (0 ; /2), M, N nằm góc phần tư thứ nên suy acgumen + i a, acgumen + i b Mặt khác, (2 + i)(3 + i) = 5(1 + i) có acgumen /4, mà acgumen tích số phức tổng acgumen số phức (sai khác k2, kZ), nên từ a, b(0 ; /2)  a + b = /4 b) Biểu diễn hình học + i, + I, + i theo thứ tự M, N, P mp phức Ta có : tan(Ox, OM) = ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb ; tan(Ox, OP) = 1/8 = tanc Do a, b, c (0 ; /2), M, N, P nằm góc phần tư thứ nên suy acgumen + i a, acgumen + i b, acgumen + i c Mặt khác, (2 + i)(3 + i)(8 + i) = 65(1 + i) có acgumen /4, mà acgumen tích số phức tổng acgumen số phức (sai khác k2, kZ), nên từ a, b, c(0 ; /2) Suy : a + b + c = /4 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 101 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 43 (C) ; 44 (A) ; 45 (A) ; 46 (B) ; 47 (B) ; 48 (A) ; 49 (B) ; 50 (C) ; 51 (A) ; 52 (B) ; 53 (B) ; 54 (B) Chú ý : −sin − icos = −i(cos - isin) = −i[cos(−) + isin(−)] ÔN TẬP CUỐI NĂM a) Chứng minh hàm số f(x) = ex – x – đồng biến nửa khoảng [0 ; +) b) Từ đó, suy ex > x + với x > Giải: a) Vì f(x) liên tục R f’(x) = ex – > với x > b) Do f(x) đồng biến [0 ; +) nên với x > 0, ta có f(x) = ex – x – > f(0) =  ex > x + với x > a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x – 10 b) Chứng minh phương trình 2x3 – 3x2 – 12x – 10 = có nghiệm thực c) Gọi nghiệm thực phương trình  Chứng minh 3,5 <  < 3,6 Giải: a) Ta có : f’(x) = 6(x2 – x – 2) Ta có BBT: x − −1 + f’(x) + − + f(x) −3 + − −30 b) Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) < với x <  f(x) = khơng có nghiệm với x < Trên nửa khoảng [2 ; +) hàm số liên tục, đồng biến f(2).f(4) = (−30).22 < nên phương trình có nghiệm c) f(3,5),f(3,6) < Gọi (C) đồ thị hàm số y = lnx (D) tiếp tuyến (C) Chứng minh khoảng (0 ; +), (C) nằm phía đường thẳng (D) Giải: ( x  xo )  ln xo Gọi xo hoành độ tiếp điểm  yo = lnxo Phương trình tiếp tuyến (D) : y = xo Để (C) nằm phía (D) ( x  xo )  ln xo − lnx  0, x(0 ; +) xo x x   ln 0 xo xo Ta xét hàm số g(t) = t – lnt (t > 0) Một xưởng in có máy in, máy in 3600 in Chi phí để vận hành máy lần in 50 nghìn đồng Chi phí cho n máy chạy 10(6n + 10) nghìn đồng Hỏi in 50.000 tờ quảng cáo phải sử dụng máy in để lãi nhiều ? Giải: Nếu sử dụng n máy in (n nguyên,  n  8) tổng chi phí (= chi phí vận hành + chi phí cho n máy chạy) để in 50.000 tờ quảng cáo : 50000 (6n  10)10  50 n (nghìn đồng) f(n) = 3600n Lãi nhiều chi phí nhất.Do cần tìm GTNN f(n) [1 ; 8], nR* Kết n =  Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 102 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) = Giải: GTLN :  x2  x  đoạn [0 ; 1] , GTNN : 2/5 a) Cho P(x) = 4x hai số a, b thỏa mãn a + b = Hãy tính P(a) + P(b) 4x  log  log 6 b) Hãy so sánh A = 18 B =    6 Giải: 4a 4b 2.4 ab  2(4 a  b )  2(4a  b )  b  a b  1 (với a + b = 1) a) P(a) + P(b) = a    2(4 a  4b )   2(4a  4b ) log6  log 5 log6  log6 5 log6 2 b) Ta có : B =   6 6  2,5  18  A > B  6 a) Chứng minh a b số dương thỏa mãn a + b2 = 7ab ab log  (log a  log7 b) b) Biết a b số dương, a ≠ cho logab = Giải: a) log Hãy tính log a b a b3 ab  (log a  log b)  2  ab  9ab  log   (log a  log b)  log   (log7 a  log b) (đpcm)      3  a loga  a b   3 log a   3 a 2(2  3) 31  20 b   3 b) log     a b 3 6(2  3) b3 loga a b  log a b 1 2 a) Tìm đạo hàm hàm số y = cosx.e2tanx y = log2(sinx) b) Chứng minh hàm số y = e4x + 2e−x thỏa mãn hệ thức : y(3) – 13y’ – 12y = Giải:  2 tan x   s inx  y’ = cotx/ln2 a) y’ = e   cos x  b) Tự giải a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, y = ( 2) x y = ( 3) x mp tọa độ Hãy nêu nhận xét vị trí tương đối đồ thị b) Vẽ đồ thị hàm số y = log3x Từ suy đồ thị hàm số y = + log3x đồ thị hàm số y = log3(x + 2) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 103 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Giải: Tự giải 10 Giải phương trình hệ phương trình sau :   b) log2  log x  3log x   2 2   2 x 8 y 2  d)  1 log9   log3 (9 y) x 2  a) 81sin x  81cos x 30 c) log x 1  log x  2.3log x 2 0 Giải:   a) x =   k  y =   k  c) x = 10−2 11 Tìm tập xác định hàm số sau : a) y =log [1 – log(x2 – 5x + 16)] b) x = 1/16 x = d) x = y = 1/16 b) y = log 0,5 ( x  x  6)  x  2x Giải: a) < x2 – 5x + 16 log(x2 – 5x + 16) < KQ : D = (2 ; 3)   21    21  ;3    b) D =   2;  2       12 Tìm nguyên hàm hàm số sau : a) y = x3(1 + x4)3 Giải: (1  x )4 a) C 16 b) y = cosx.sin2x c) y = x cos2 x  3cos x  cos3 x C c) ln cos x  x tan x  C (từng phần)  2 13 Tìm hàm số f, biết f’(x) = 8sin  x   f(0) = 12   Giải:    2 f(x) nguyên hàm hàm số 8sin  x   thỏa f(0) =  f(x) = x  2sin  x    12  6   14 Tính tích phân sau : dx 1 dx a) 0 b) 0 c)  x e x dx x 1 x  x 1 Giải: 1 dx 4dx    a) /4 b) 0 c) e – 2 x  x 1 (2 x  1)  3 15 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn đường : a) y + x2 = y + 3x2 = b) y2 – 4x = 4x – y = 16 Giải: a) 8/3 b) 243/8 b) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 104 ... MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = + 3i có phần thực 2, phần ảo b) Số phức z = −I có phần thực 0, phần ảo −1, số ảo Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức. .. số phức z ( z  z ) , phần ảo số phức z ( z  z ) 2i b) Số phức z số ảo z = − z số phức c) Với số phức z, z’, ta có z  z ''  z  z '' , zz ''  z.z '' z ≠ z''  z''   z  z Giải: a) Gọi số. .. định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z2 số thực âm b) z2 số ảo c) z2 = ( z )2 d) số ảo z i Giải: a) z2 số thực âm  z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

Ngày đăng: 29/11/2013, 00:11

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

2. Biểu diễn hình học số phức: - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ
2. Biểu diễn hình học số phức: (Trang 1)
24. Giải các phương trình sau trên £ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức. - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ
24. Giải các phương trình sau trên £ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức (Trang 9)
b) Biểu diễn hình học các số phức z o, z1, z2. - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ
b Biểu diễn hình học các số phức z o, z1, z2 (Trang 14)
42. a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2+i và 3+ i, hãy chứng minh rằng tana = ½, tanb - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ
42. a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2+i và 3+ i, hãy chứng minh rằng tana = ½, tanb (Trang 17)
15. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ
15. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : (Trang 21)
các điểm M là tập hợp các điểm thuộc hình trịn (kể cả biên) cĩ tâm A biểu diễn số 3 +i 3, cĩ bán kính bằng 4. - Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ
c ác điểm M là tập hợp các điểm thuộc hình trịn (kể cả biên) cĩ tâm A biểu diễn số 3 +i 3, cĩ bán kính bằng 4 (Trang 22)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w