Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ §1 SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Khái niệm số phức :  Tập hợp số phức :   Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R, i đơn vị ảo, i2 = −1) ; a phần thực, b phần ảo z  z số thực  phần ảo z  z số ảo  phần thực z  Hai số phức : a c a + bi = c + di   (a, b, c, dR) b  d  Biểu diễn hình học số phức : Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a ; b) hay vecto u = (a ; b) mp tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) Phép cộng phép trừ số phức :  (a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i  Số đối z = a + bi −z = −a – bi  Tính chất : o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với z, z’, z”   o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với z, z’  o Cộng với : z + = + z = z với z       z biểu diễn u , z’ biểu diễn vecto u ' : z  z’ biểu diễn u  u ' Phép nhân số phức :  (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad +  bc)i  k số thực, z biểu diễn vecto u kz biểu diễn k u  Tính chất : o Giao hoán : zz’ = z’z với z, z’  o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với z, z’, z”   o Nhân với : 1.z = z.1 = z với z  o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với z, z’, z”   Số phức liên hợp môđun số phức :  Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a – bi Như : z a  bi a  bi o z  z ; z  z '  z  z ' ; zz '  z.z ' o z số thực  z = z ; z số ảo  z = − z   Môđun số phức z = a + bi số thực không âm z  a  b  z.z  OM o z 0, z   ; z 0  z 0 o zz '  z z ' , z  z '  z  z ' với z, z’  Phép chia cho số phức khác : 1  Số phức nghịch đảo z (z ≠ 0) z  z z Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 85 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao  Thương z’ chia cho z (z ≠ 0) : Giáo viên: Phan Công Trứ z' z '.z z '.z  z '.z    z z z z z' z' z'  z' z'   w  z '  wz ;    , z z z  z z B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = + 3i có phần thực 2, phần ảo b) Số phức z = −I có phần thực 0, phần ảo −1, số ảo Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức z z’ mp phức b) Biểu diễn số phức z + z’ z’ – z mp phức Giải:   a) Vecto OM biểu diễn số phức z = + 3i, vecto OM ' biểu diễn số phức z’ = + i b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = + 4i, biểu diễn mp phức vecto OP z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = – 2i, biểu diễn mp phức vecto OQ  Với z ≠ 0, Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = + 3i (2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = (2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i (bi)2 = b2.i2 = −b2 (b R) i3 = i2.i = −i, i4 = 1, i5 = i (1 + i)3 = + 3i + 3i2 + i3 = −2 + 2i Ví dụ 4: Phân tích z2 + thành nhân tử Giải: z2 + = z2 − 4i2 = (z – 2i)(z + 2i) Tông quát a số thực : z2 + a2 = (z + ai)(z – ai) Ví dụ 5: Tính :  i (3  i )(1  i )  4i   1  2i  i (1  i )(1  i ) 12  12  2i (  2i)(  2i ) (  2i)   2i   2i     2  2i (  2i)(  2i ) 2   Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i  (−2 + 2i)z = −i i i i(2  2i )   2i  1      i z=   2i  2i (2  2i )(2  2i ) 4 C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : Tự làm Tự làm Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 86 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ Giải: Gọi D điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i    1  ;  nên E biểu diễn Dễ thấy điểm E có tọa độ  cos ;sin   6  2   i ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số 2 3 phức   i ; F biểu diễn số phức  i ; B biểu diễn số 2 2 phức   i 2 Thực phép tính :  i 1  3i  3i 2    i   ; 2  3i  13   i 4 2  2i  4i (3  4i )(4  i) 16  13i (3  2i )(  i )   3i   ; i 4 i 16  17 1 3 Cho z =   i Hãy tính : ; z ; z ; ( z ) ;  z  z z 2 Giải:   i z z 3 2 ; z2 =        i i  z z z z z 2 2 z  4 ; + z + z2 = ( z )  z.( z ) 1 Chứng minh : 1 a) Phần thực số phức z ( z  z ) , phần ảo số phức z ( z  z ) 2i b) Số phức z số ảo z = − z số phức c) Với số phức z, z’, ta có z  z '  z  z ' , zz '  z.z ' z ≠ z'  z'   z  z Giải: a) Gọi số phức z = a + bi (a phần thực, b phần ảo)  z = a – bi  z + z = 2a  a = ( z  z ) z - z = 2bi  b = ( z  z ) 2i b) z số ảo phần thực  z + z =  z = − z c) Gọi số phức z = a + bi z’ = c + di Khi z = a – bi z ' = c – di  z + z ' = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i z  z ' = (a + c) - (b + d)i = z + z ' Tương tự cho đẳng thức cịn lại Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 87 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ Chứng minh với số nguyên m > 0, ta có : i4m = ; i4m+1 = i ; i4m+2 = −1 ; i4m+3 = −i Giải: i4m = (i4)m = (−1)2m = 1m = ; i4m+1 = i4m.i = i 4m+2 4m+1 ; i = i i = i.i = −1 i4m+3 = i4m+2.i = −i Chứng minh :    u a) Nếu vecto u mp phức biểu diễn số phức z độ dài vecto u  z , từ  điểm A1, A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1, z2 A1 A2  z2  z1 b) Với số phức z, z’, ta có z.z '  z z ' z ≠ z' z'  z z c) Với số phức z, z’, ta có z  z '  z  z ' Giải:    a) Ta có : z = a + bi  z  a  b , u biểu diễn số phức z u nên độ dài vecto u  2 u z , a b    Nếu A1, A2 theo thứ tự biểu diễn z1, z2 vecto A1 A2 OA2  OA1 biểu diễn z2 – z1 nên  A1 A2  z2  z1 (đpcm) 2 b) Ta cần chứng minh : z.z '  z z ' với z ≠ : z' z' z '.z 1   z '.z  z ' z  z z z z z c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di  z + z’ = (a + c) + (b + d)I  z  z ' a  b  c  d  2(ac  bd ) a  b  c  d  (a  b )(c  d ) =  a  b2  c  d   z  z '   z  z'  z  z' Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z i 1 a) z – i = b) c) z  z   4i z i Giải: Gọi z = a + bi a)  z - i = a + bi - i =  a + (b – 1)i =  a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(0 ; 1) bán kính z i a  (b  1)i  1  a  (b  1)i  a  (b  1)i  a  (b  1) a  (b  1)  b 0 b) z i a  (b  1)i Vậy z số thực c) Ta có : z  z   4i  a + bi = a – bi – + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i  a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng LUYỆN TẬP Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 88 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ 10 Chứng minh với số phức z ≠ 1, ta có : z10  1 + z + z2 + + z9 = z1 Giải: Do (1 + z + z2 + + z9)(z – 1) = z + z2 + z3 + .+z10 – (1 + z + z2 + + z9) = z10 – nên z ≠ ta chia hai vế cho z – đẳng thức cần chứng minh 11 Hỏi số sau số thực hay số ảo (z số phức tùy ý cho trước cho biểu thức xác định) ? z z z  ( z )2 2 z  ( z) ; ; z  ( z )3  z z Giải: Gọi z = a + bi  z = a – bi  z  ( z ) ( z  z )  z.z số thực Vì z + z số thực z z số thực  z - z số ảo z3 + ( z )3 = (z + z )[(z + z )2 – 3z z ) số thực nên z z số ảo z  ( z )3 z  ( z )2  z – ( z ) = (z + z )(z - z ) số ảo + z z số thực nên số ảo  z z 12 Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z2 số thực âm b) z2 số ảo c) z2 = ( z )2 d) số ảo z i Giải: a) z2 số thực âm  z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi  z2 = a2 – b2 + 2abi số ảo  a2 – b2 =  b = a Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm hai đường phân giác gốc tọa độ c) z2 = ( z )2  (z + z )(z − z ) =  z + z = (trục thực)  Vậy tập hợp điểm trục tọa độ  z - z = (trục ảo) 2 số ảo  z – i số ảo  x + (y – 1)i số ảo  x = y ≠ Vậy tập hợp điểm z i biểu diễn nằm trục Oy (trừ điểm có tung độ 1) 13 Tìm nghiệm phức phương trình sau : a) iz + – i = b) (2 + 3i)z = z – c) (2 – i) z - = d) (iz – 1)(z + 3i)( z - + 3i) = e) z2 + = Giải: i 1 1  2i   i a) z = b) z = i  3i 10 10 8   i z=  i c) z = d) z = −i, z = −3i, z = + 3i 2 i 5 5 e) z = 2i z i 14 a) Cho số phức z = x + yi (x, y R) Khi z ≠ 1, tìm phần thực phần ảo số phức z i d) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 89 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ b) Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i số z i thực dương Giải: z  i x  ( y  1)i [x  ( y  1)i ].[x  ( y  1)i ] x2  y  2x     i a) 2 2 z  i x  ( y  1)i x  ( y  1) x  ( y  1) x  ( y  1) Vậy phần thực 2x x2  y2  phần ảo 2 x  ( y  1)2 x  ( y  1)  x 0 2x x  y2   x 0 z i  số thực dương  = >  2 2 x  ( y  1) z i x  ( y  1)  x  y    y   hoaëc y  Vậy tập hợp điểm biểu diễn z nằm trục Oy bỏ đoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn số −i) 15 a) Trong mp phức, cho điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z 1, z2, z3 Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức ? b) Xét điểm A, B, C mp phức theo thư tự biểu diễn số phức phân biệt z 1, z2, z3 thỏa mãn : z1 = z2 = z3 Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác z1 + z2 + z3 = Giải:     a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có : OG  (OA  OB  OC ) Suy , G biểu diễn số phức (z1 + z + z )    b) Ba điểm A, B , C (hay vecto OA, OB, OC ) biểu diễn số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3  OA = OB = OC (theo 8.a)) tức điểm O cách điểm A, B, C hay điểm nằm đường trịn tâm O (gốc tọa độ) A, B, C đỉnh tam giác trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay G  O  z1 + z2 + z3 = (theo a)) 16 Đố vui Trong mp phức cho điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ B’ biểu diễn số phức z.z’ Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải hai tam giác đồng dạng khơng ? Giải: Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’ OA' z' OB' z.z' A'B' z.z' - z' = = z' , = = z' , = = z' Và : OA OB AB z z -1 b) Do hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng z’ §2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Số tiết : 2LT + 1BT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 90 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Căn bậc hai số phức :  z bậc hai số phức w  z2 = w  z = x + yi (x, yR) bậc hai w = a + bi (a, bR) 2  x  y a  2 xy b  Số có bậc hai  Số phức khác có hai bậc hai số đối  Hai bậc hai số thực a >  a  Hai bậc hai số thực a <   a i Phương trình bậc hai : Az2 + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước A ≠ 0)  Tính  = B2 – 4AC  B  ( bậc hai )   ≠ : phương trình có nghiệm phân biệt 2A B   = : phương trình có nghiệm kép z1 = z2 = 2A B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm bậc hai : a) −1 b) −a2 (a số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i Giải: a) −1 số thực âm nên có hai bậc hai i b) −a2 số thực âm nên có hai bậc hai ai c) Đặt w = −5 + 12i Gọi z = x + yi bậc hai w   x 2 2  x  y    x    2 xy 12  y   x Vậy có hai bậc hai −5 + 12i : + 3i −2 – 3i d) Gọi z = x + yi bậc hai w = i  2  x   x  y 0   2 xy 1 y   2x (1  i) Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức : a) z2 – z + = b) z2 + (−2 + i)z – 2i = Giải: a) Ta có :  = – = −3 số thực âm nên bậc hai  : 3i Vậy có hai bậc hai i :   3i  3i z2 = 2 b) Ta có :  = (i – 2)2 – 4(−2i) = – 4i + 8i = + 4i = (2 + i)2 ( hay ta tìm bậc ) 91 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp Phương trình có nghiệm phân biệt z1 = Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Vậy phương trình có nghiệm phân biệt : z1 = Giáo viên: Phan Công Trứ  i 2 i 2-i-2-i 2, z = = -i 2 C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17 Tìm bậc hai số phức sau : −i ; 4i ; −4 ; + i Giải: 1 1  i,  i Hai bậc hai −i :  2 2 Hai bậc hai 4i :  2i,   2i Hai bậc hai + i :  3i,   3i 18 Chứng minh z bậc hai số phức w z = w Giải: z bậc hai số phức w  z2 = w  z2 = z2 = w  z = 19 Tìm nghiệm phức phương trình bậc hai sau : a) z2 = z + b) z2 + 2z + = Giải: z = w c) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = b) z = −1  2i c) z = 2i z = −1 + i/  2 20 a) Hỏi công thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực có cịn cho phương trình bậc hai với hệ số phức khơng ? Vì ? b) Tìm hai số phức , biết tổng chúng – i tích chúng 5(1 – i) c) Có phải phương trình bậc hai z2 + Bz + C = (B, C số phức ) nhận hai nghiệm hai số phức liên hợp khơng thực phải có hệ số B, C hai số thực ? Vì ?Điều ngược lại có khơng ? Giải:  B  ( = B2 – 4AC) chứng tỏ z1 + z2 = −B/A a) Từ cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 2A z1.z2 = C/A  công thức cịn b) Hai số phức cần tìm nghiệm phương trình : z – (4 – i)z + 5(1 – i) = Giải ta hai nghiệm : + i – 2i c) Nếu phương trình z2 + Bz + C = có nghiệm z1, z2 số phức liên hợp z2 = z1 a) z = Theo công thức Vi-ét, B = −(z1 + z2) = −(z1 + z1 ) số thực C = z1.z2 = z1 z1 số thực Điều ngược lại khơng B, C thực  = B2 – 4C > hai nghiệm số thực phân biệt, chúng liên hợp với nhau,   phương trình có nghiệm số phức liên hợp 21 a) Giải phương trình sau : (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Giải: Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 92 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ a) Phương trình  z2 + i = z2 – 2iz – = Vậy phương trình cho có nghiệm z = i, z2 = 1 1   i, z =  i 2 2 b) Ta có : B = −(z1 + z2), z1.z2 = 3i (z1, z2 nghiệm phương trình : z2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta : z12 + z22 =  (z1 + z2)2 – 2z1.z2 =  b2 – 6i =  b2 = (8 + 6i)  b =  (3 + i) 22 Đố vui Một học sinh kí hiệu bậc hai −1  tính :   sau : a) Theo định nghĩa bậc hai −1   = −1 b) Theo tính chất bậc hai (tích hai bậc hai hai số bậc hai tích hai số đó)   = ( 1)( 1)  1 , từ học sinh suy −1 = Hãy tìm điều sai lập luận Giải: a) Lập luận a) b) Lập luận b) sai Vì   bậc hai (−1)(−1) = (theo H1 trang 194) Lưu ý có hai bậc hai −1, kí hiệu   chưa xác định LUYỆN TẬP 23 Tìm nghiệm phức phương trình sau : z + = k trường hợp sau : z a) k = b) k = c) k = 2i Giải:  3i b) z = c) z = (1  2)i (1 i) 2 24 Giải phương trình sau  biểu diễn hình học tập hợp nghiệm phương trình mp phức a) z3 + = b) z4 – = c) z4 + = d) 8z4 + 8z3 = z + Giải: a) k = z = 3  i, z = i (hình 1) 2 2 b) z4 – = (z2 + 1)(z2 – 1) = có nghiệm z1 = i, z2 = −i, z3 = 1, z4 = −1 (hình 2) c) z4 + = (z2 + 2i)(z2 – 2i) = có nghiệm z1 = – i, z2 = −1 + i, z3 = + i, z4 = −1 – i.(hình 3) d) 8z4 + 8z3 = z +  (z + 1)(8z3 – 1) =  (z + 1)(2z – 1)(4z2 + 2z + 1) = có nghiệm z1 = −1, z2 a) z3 + =  (z + 1)(z2 – z + 1) = có nghiệm z1 = −1, z2 = = ½, z3 =  3  i, z = - i (hình 4) 4 4 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 93 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ 25 a) Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm b) Tìm số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z + az2 + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm nhận z = làm nghiệm Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = + i nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c =  b + c + (2 + b)i =  b + c = + b = 0, suy : b = −2, c = b) Với + i nghiệm ta : (1 + i) + a(1 + i)2 + b(1 + i) + c =  (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i =  b + c – = (1) 2a + b + = (2) Với nghiệm ta : + 4a + 2b + c = (3) Từ (2) (3) cho c = −4, (1)  b = (2)  a = −4 Vậy a = c = −4, b = 26 a) Dùng công thức cộng lượng giác để chứng minh với số thực , ta có : (cos + isin)2 = cos2 + isin2 Từ tìm bậc hai số phức cos2  + isin2 Hãy so sánh cách giải với cách giải học §2 b) Tìm bậc hai (1  i) cách nói câu a) Giải: a) (cos + isin)2 = cos2 − sin2 + 2sin.cos i = cos2 + isin2 Các bậc hai cos2 + isin2 :  (cos + isin) Còn theo cách giải học, ta cần giải hệ phương trình :  x  y cos2  2 xy sin 2 Giải ta tìm hai bậc hai :  (cos + isin)       (1  i) cos  isin cos     isin    theo câu a), (1  i) có hai bậc hai b) 4  4  4          cos     isin      cos  isin      i   (dùng ct hạ bậc) 8 2   8  8    2 x  y   Còn theo cách học, ta cần giải hệ phương trình :   2 xy   2  2    2 2   ,  ; ; Giải ta nghiệm :  2 2         §3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 94 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Số tiết : A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Dạng lượng giác số phức : a) Acgumen số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Nếu  acgumen z acgumen z có dạng  + k2 (kZ).) b) Dạng lượng giác số phức : Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)  r  a2  b  a   cos  ( acgumen z,  = (Ox, OM) r  b  sin   r Nhân, chia số phức dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)] z r   cos(   ')  isin(   ')  z' r '  Công thức Moa-vrơ : n Với n số nguyên, n  :  r (cos  isin  ) r n (cos n  isin n ) Khi r = 1, ta : (cos  isin  )n (cos n  isin n ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Các bậc hai số phức z = r(cos  + isin) (r > 0) :    r  cos  isin  2           r  cos  isin   r  cos      isin      2  2  2   B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm acgumen : số thực dương tùy ý, số thực âm tùy ý, 3i, −2i + i Giải: Số thực dương tùy ý có acgumen Số thưc âm tùy ý có acgumen  Số 3i có acgumen /2, số −2i có acgumen −/2, số + i có acgumen /4 Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác số phức : 1 i z= i Giải: Ta tìm dạng lượng giác + i , gọi r mơđun  acgumen Khi : r = , cos = 1/ = sin   = /4 Do dạng lượng giác + i :     cos  isin  4  Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 95 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ     i :  cos  isin  6         1 i 2 2      cos     isin       cos  isin    12 12  i  6   Ví dụ 3: Tính : a) (1 + i)5 b) (1 + i)9 Giải:         5 5  2 i   4(1  i) a) (1 + i)5 =   cos  isin   ( 2)5  cos  isin  4     4  4       b) Ta tìm dạng lượng giác  3i Tương tự, dạng lượng giác  r   2   Ta có : cos  suy r =  = /3   sin    Dạng lượng giác  3i : 2(cos/3 + isin /3) C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 27 Hãy tìm dạng lượng giác số phức: z ; −z ; 1/ z ; kz (kR*) trường hợp sau : a) z = r(cos + isin) (r > 0) b) z =  3i Giải: a) z = r(cos − isin) = r(cos(−) + isin(−)) −z = − r(cos + isin) = r[cos( + ) + isin( + )] 1 1   (cos  isin  )  [cos  isin  ] r z r (cos - isin ) r kz = k r(cos + isin) k > kz = − k.r[cos( + ) + isin( + )] k < b) z =  3i = 2(cos/3 + isin /3) Khi : z = 2(cos/3 − isin/3) = 2(cos(−/3) + isin(−/3)) −z = − 2(cos/3 + isin3) = 2[cos(4/3) + isin(4/3)] 1       (cos  isin )  [cos  isin ] 3 3 z 2(cos  - isin  ) 3 kz = k 2(cos/3 + isin/3) k > kz = − 2k[cos(4/3) + isin(4/3)] k < 28 Viết số phức sau dạng lượng giác: Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 96 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao a)  i ;  i ; (1  i 3)(1  i) ;  2i Giải: Giáo viên: Phan Công Trứ 1 i 1 i b) 2i(  i) c) d) z = sin + icos (R)          a)  i =  cos  isin  2  cos     isin     3   3            isin + i =  cos  isin  ; (1  i 3)(1  i) 2  cos  4 12 12     (1  i  7  7    cos  isin  1 i 12 12   b) 2i(  i) = 2(  i ) = 4(cos/3 + isin /3) (hoặc làm câu a))  c)  2i 2      cos  isin   4     2  cos  isin  4  d) z = sin + icos = cos(/2 −) + isin(/2 −) 29 Dùng công thức triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 cơng thức Moa-vro để tính : 16 18 C190  C192  C194   C19  C19 Giải: 16 16 18 18 19 19 i  C19 i )  (C19 i  C193 i   C19 i ) Ta có : (1 + i)19 = (C190  C192 i  C194 i   C19 16 18 17 19  C19  (C19  C193  C195   C19  C19 ).i = C190  C192  C194   C19 16 18  C19  phần thực C190  C192  C194   C19      Theo Moa-vro, ta có : (1 + i) =   cos  isin   4    19 19  19 19  ( 2)19  cos  isin  4    2 19 i   29  29.i = ( 2)     16 18  C19  phần thực : −29 Vậy : C190  C192  C194   C19 = −29 = −512 Cách khác: (1 + i)2 = 2i  (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ suy số cần tìm 30 Gọi M, M’ điểm mp phức theo thứ tự biểu diễn số z = + i ; z’ = (3  3)  (1  3)i a) Tính z’/z b) Chứng minh hiệu số acgumen z’ với acgumen z số đo góc lượng giác (OM, OM’) Tính số đo Giải: a) z’/z =  3i Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 97 Tài liệu Giảng dạy Tốn 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ b) Ta có : sđ(OM, OM’) = sđ(Ox,OM’) – sđ(Ox, OM) = ’ -  = acgumen  ’ theo thứ tự acgumen z z’ Theo a) z’/z = acgumen  3i z' (sai khác k2), z có   k 2 (kZ) nên góc lượng giác (OM, OM’) có số đo   k 2 (1  i)  = (  i 3) 2   a) Chứng minh zo = cos  isin , z1 = zo., z2 = zo.2 nghiệm phương trình: 12 12 z – w = b) Biểu diễn hình học số phức zo , z1 , z2 Giải: a) Ta có : w = cos/4 + isin/4,  = cos2/3 + isin2/3 phương trình z3 – w =  z3 = w (*) ta cần nghiệm vào (*) 31 Cho số phức w =      z =  cos  isin  cos  isin w 12 12  4  z13 = (zo )3 = zo3 3 = w.1 = w z23 = (zo.2)3 = zo3 6 = w b) Hình bên o LUYỆN TẬP 32 Sử dụng cơng thức Moa-vro để tính sin4 cos4 theo lũy thừa sin cos Giải: cos4 + isin4 = (cos + isin)4 = cos4 + 4cos3.(isin) + 6cos2(i2sin2) + 4cos.(isin)3 + i4sin4 = cos4 − 6cos2sin2 + sin4 + (4cos3.sin − 4cos.sin3).i Từ : cos4 = cos4 − 6cos2sin2 + sin4 sin4 = 4cos3.sin − 4cos.sin3 33 Tính : (  1)6 ;      1 i  2004 ;   3i      2i    21 Giải:         (  1)6   cos     isin      2 [cos(  )  isin( )]     6          1 i  2004  1i      2004      2 2004  200  200  1  isin  cos   1002 (cos  isin )  1002 4  2  Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 98 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 21   3i   42 42  21  isin   (  i 3)21 221  cos  2   2i  3     34 Cho số phức w =  (1  i 3) Tìm số nguyên dương n để wn số thực Hỏi có số nguyên dương m để wm số ảo ? Giải: 4 4 n n  isin Ta có : w =  (1  i 3) cos  isin  wn = cos (n guyên dương) Số 3 3 4n 0  4n/3 phải số nguyên, tức n phải bội nguyên dương số thực sin 4m 0 , tức có số nguyên k Số wm (m nguyên dương) số ảo cos 4m   k  8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho Vậy để số nguyên dương m để wm số ảo 35 Viết dạng lượng giác số phức z bậc hai z cho trương hợp sau : a) z = acgumen iz 5/4 z b) z = 1/3 acgumen −3/4 1 i Giải: iz 5  3 a) Ta có z = 3, acgumen iz 5/4  acgumen(z) = acgumen =   i 4  3 3  Vậy z =  cos  isin  dạng lượng giác bậc hai z : 4      3 3  3 3      cos  isin    cos  isin    cos  isin  8  8  8     b) Gọi  acgumen z  − acgumen z Và acgumen + i /4 nên  3  z      + l2 (k,lZ) acgumen − − /4 , theo gt ta :     4 1 i 1   Suy z =  cos  isin  Từ dạng lượng giác bậc hai z : 3 2 3   3     cos  isin   cos  isin   4  4  36 Viết dạng lượng giác số phức sau :  5 a)  i tan b) tan  i Giải: c) - cos - isin (R,  ≠ k2, kZ).) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 99 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ            c os  isin  c os   isin         a)   5 5 5    cos cos 5 5  5 5  1  5 5   7 7  tan  i  sin  i cos    sin  i cos   cos  isin     b) 5 5  3 8  8 8 cos  cos cos  8 (vì cos5/8 < 0)        2i sin cos 2sin  sin  i cos  c) - cos - isin = 2sin 2 2 2  i tan        Khi sin/2 > - cos - isin = 2sin  cos     i sin     2  2  2        Khi sin/2 < - cos - isin = − 2sin  cos     i sin     2  2  2  Khi sin/2 = - cos - isin = = 0(cos + isin) ( R, tùy ý) ÔN TẬP CHƯƠNG IV 37 Tìm phần thực phần ảo số phức sau :  2i  i  a) (2 – 3i)2 b) c) (x + iy)2 – 2(x + iy) + (x, yR) Với x, y  i  2i số phức số thực ? Giải: a) phần thực −46, phần ảo −9 b) phần thực 23/26, phần ảo 63/26 2 c) phần thực x – y – 2x + 5, phần ảo 2y(x – 1) Số phức số thực phần ảo  y = x = z+w 38 Chứng minh z = w = số : số thực (giả sử + zw ≠ 0) 1+zw Giải: 1 +   z+ w z+ w 1 z w = z+ w = = z = w = z = , w = nên :   đpcm  z w  1+zw  1+zw 1+ 1.1 1+zw z w 39 Giải phương trình sau  : 2 a) (z + – i) – 6(z + – i) + 13 =  iz+3  iz+3 -3=0 b)   -3 z-2i z-2i   c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = Giải: a) Đặt w = z + – i Nghiệm phương trình z = 3i z = −i iz+3   5i  35i b) Đặt w = Nghiệm phương trình z = z = z-2i 17 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 100 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = (z + 1)2 – [i(z + 3)]2 = (z2 + + i(z + 3))(z2 + – i(z + 3)) = Nghiệm phương trình z = – 2i, z = −1 + i, z = + 2i, z = −1 −i z1 40 Xét số phức : z1 =  i , z2 = -2-2i , z3 = z2 a) Viết z1 , z2 , z3 dạng lượng giác 7 7 b) Từ câu a), tính cos sin 12 12 Giải:               a) z1 = 2  cos     isin     ; z2 = 2  cos     isin     6         z3 = z1/z2 = cos b) 7 7  isin 12 12 z1  i (  i 2)(  2i)   6     i z2   2i 4 Từ theo a) ta : cos 7   7 6 sin   12 12 41 Cho z = (  2)  i(  2) a) Viết z2 dạng đại số dạng lượng giác b) Từ câu a), suy dạng lượng giác z Giải:    a) z2 =  8i 16  cos  isin  6     b) Vì phần thực phần ảo z dương nên z =  cos  isin  12 12   42 a) Bằng cách biểu diễn hình học số phức + i + i, chứng minh tana = ½, tanb = 1/3 với a, b(0 ; /2) a + b = /4 b) a) Bằng cách biểu diễn hình học số phức + i + i + i, chứng minh tana = ½, tanb = 1/5, tanc = 1/8 với a, b, c(0 ; /2) a + b + c = /4 Giải: a) Biểu diễn hình học + i, + i theo thứ tự M, N mp phức Ta có : tan(Ox, OM) = ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb Do a, b (0 ; /2), M, N nằm góc phần tư thứ nên suy acgumen + i a, acgumen + i b Mặt khác, (2 + i)(3 + i) = 5(1 + i) có acgumen /4, mà acgumen tích số phức tổng acgumen số phức (sai khác k2, kZ), nên từ a, b(0 ; /2)  a + b = /4 b) Biểu diễn hình học + i, + I, + i theo thứ tự M, N, P mp phức Ta có : tan(Ox, OM) = ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb ; tan(Ox, OP) = 1/8 = tanc Do a, b, c (0 ; /2), M, N, P nằm góc phần tư thứ nên suy acgumen + i a, acgumen + i b, acgumen + i c Mặt khác, (2 + i)(3 + i)(8 + i) = 65(1 + i) có acgumen /4, mà acgumen tích số phức tổng acgumen số phức (sai khác k2, kZ), nên từ a, b, c(0 ; /2) Suy : a + b + c = /4 Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 101 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 43 (C) ; 44 (A) ; 45 (A) ; 46 (B) ; 47 (B) ; 48 (A) ; 49 (B) ; 50 (C) ; 51 (A) ; 52 (B) ; 53 (B) ; 54 (B) Chú ý : −sin − icos = −i(cos - isin) = −i[cos(−) + isin(−)] ÔN TẬP CUỐI NĂM a) Chứng minh hàm số f(x) = ex – x – đồng biến nửa khoảng [0 ; +) b) Từ đó, suy ex > x + với x > Giải: a) Vì f(x) liên tục R f’(x) = ex – > với x > b) Do f(x) đồng biến [0 ; +) nên với x > 0, ta có f(x) = ex – x – > f(0) =  ex > x + với x > a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x – 10 b) Chứng minh phương trình 2x3 – 3x2 – 12x – 10 = có nghiệm thực c) Gọi nghiệm thực phương trình  Chứng minh 3,5 <  < 3,6 Giải: a) Ta có : f’(x) = 6(x2 – x – 2) Ta có BBT: x − −1 + f’(x) + − + f(x) −3 + − −30 b) Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) < với x <  f(x) = khơng có nghiệm với x < Trên nửa khoảng [2 ; +) hàm số liên tục, đồng biến f(2).f(4) = (−30).22 < nên phương trình có nghiệm c) f(3,5),f(3,6) < Gọi (C) đồ thị hàm số y = lnx (D) tiếp tuyến (C) Chứng minh khoảng (0 ; +), (C) nằm phía đường thẳng (D) Giải: ( x  xo )  ln xo Gọi xo hoành độ tiếp điểm  yo = lnxo Phương trình tiếp tuyến (D) : y = xo Để (C) nằm phía (D) ( x  xo )  ln xo − lnx  0, x(0 ; +) xo x x   ln 0 xo xo Ta xét hàm số g(t) = t – lnt (t > 0) Một xưởng in có máy in, máy in 3600 in Chi phí để vận hành máy lần in 50 nghìn đồng Chi phí cho n máy chạy 10(6n + 10) nghìn đồng Hỏi in 50.000 tờ quảng cáo phải sử dụng máy in để lãi nhiều ? Giải: Nếu sử dụng n máy in (n nguyên,  n  8) tổng chi phí (= chi phí vận hành + chi phí cho n máy chạy) để in 50.000 tờ quảng cáo : 50000 (6n  10)10  50 n (nghìn đồng) f(n) = 3600n Lãi nhiều chi phí nhất.Do cần tìm GTNN f(n) [1 ; 8], nR* Kết n =  Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 102 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Cơng Trứ Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) = Giải: GTLN :  x2  x  đoạn [0 ; 1] , GTNN : 2/5 a) Cho P(x) = 4x hai số a, b thỏa mãn a + b = Hãy tính P(a) + P(b) 4x  log  log 6 b) Hãy so sánh A = 18 B =    6 Giải: 4a 4b 2.4 ab  2(4 a  b )  2(4a  b )  b  a b  1 (với a + b = 1) a) P(a) + P(b) = a    2(4 a  4b )   2(4a  4b ) log6  log 5 log6  log6 5 log6 2 b) Ta có : B =   6 6  2,5  18  A > B  6 a) Chứng minh a b số dương thỏa mãn a + b2 = 7ab ab log  (log a  log7 b) b) Biết a b số dương, a ≠ cho logab = Giải: a) log Hãy tính log a b a b3 ab  (log a  log b)  2  ab  9ab  log   (log a  log b)  log   (log7 a  log b) (đpcm)      3  a loga  a b   3 log a   3 a 2(2  3) 31  20 b   3 b) log     a b 3 6(2  3) b3 loga a b  log a b 1 2 a) Tìm đạo hàm hàm số y = cosx.e2tanx y = log2(sinx) b) Chứng minh hàm số y = e4x + 2e−x thỏa mãn hệ thức : y(3) – 13y’ – 12y = Giải:  2 tan x   s inx  y’ = cotx/ln2 a) y’ = e   cos x  b) Tự giải a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, y = ( 2) x y = ( 3) x mp tọa độ Hãy nêu nhận xét vị trí tương đối đồ thị b) Vẽ đồ thị hàm số y = log3x Từ suy đồ thị hàm số y = + log3x đồ thị hàm số y = log3(x + 2) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 103 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Giải: Tự giải 10 Giải phương trình hệ phương trình sau :   b) log2  log x  3log x   2 2   2 x 8 y 2  d)  1 log9   log3 (9 y) x 2  a) 81sin x  81cos x 30 c) log x 1  log x  2.3log x 2 0 Giải:   a) x =   k  y =   k  c) x = 10−2 11 Tìm tập xác định hàm số sau : a) y =log [1 – log(x2 – 5x + 16)] b) x = 1/16 x = d) x = y = 1/16 b) y = log 0,5 ( x  x  6)  x  2x Giải: a) < x2 – 5x + 16 log(x2 – 5x + 16) < KQ : D = (2 ; 3)   21    21  ;3    b) D =   2;  2       12 Tìm nguyên hàm hàm số sau : a) y = x3(1 + x4)3 Giải: (1  x )4 a) C 16 b) y = cosx.sin2x c) y = x cos2 x  3cos x  cos3 x C c) ln cos x  x tan x  C (từng phần)  2 13 Tìm hàm số f, biết f’(x) = 8sin  x   f(0) = 12   Giải:    2 f(x) nguyên hàm hàm số 8sin  x   thỏa f(0) =  f(x) = x  2sin  x    12  6   14 Tính tích phân sau : dx 1 dx a) 0 b) 0 c)  x e x dx x 1 x  x 1 Giải: 1 dx 4dx    a) /4 b) 0 c) e – 2 x  x 1 (2 x  1)  3 15 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn đường : a) y + x2 = y + 3x2 = b) y2 – 4x = 4x – y = 16 Giải: a) 8/3 b) 243/8 b) Trường THPT Thanh Bình – Thanh Bình – Đồng Tháp 104 ... MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = + 3i có phần thực 2, phần ảo b) Số phức z = −I có phần thực 0, phần ảo −1, số ảo Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức. .. số phức z ( z  z ) , phần ảo số phức z ( z  z ) 2i b) Số phức z số ảo z = − z số phức c) Với số phức z, z’, ta có z  z ''  z  z '' , zz ''  z.z '' z ≠ z''  z''   z  z Giải: a) Gọi số. .. định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z2 số thực âm b) z2 số ảo c) z2 = ( z )2 d) số ảo z i Giải: a) z2 số thực âm  z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức