Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §1. SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm số phức : • Tập hợp số phức : £ • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R, i đơn vị ảo, i 2 = −1) ; a là phần thực, b là phần ảo của z. • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0. • z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0. • Hai số phức bằng nhau : a + bi = c + di ⇔ a c b d  =  =  (a, b, c, d ∈ R) 2. Biểu diễn hình học số phức : Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi vecto u r = (a ; b) trong mp tọa độ Oxy (mặt phẳng phức). 3. Phép cộng và phép trừ số phức : • (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i. • Số đối của z = a + bi là −z = −a – bi . • Tính chất : o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z” ∈ £ . o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’ ∈ £ . o Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z với mọi z ∈ £ . • z biểu diễn bởi u r , z’ biểu diễn bởi vecto 'u ur thì : z ± z’ biểu diễn bởi u r ± 'u ur . 4. Phép nhân số phức : • (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. k là số thực, z biểu diễn bởi vecto u r thì kz biểu diễn bởi k u r . • Tính chất : o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’ ∈ £ . o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z” ∈ £ . o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z ∈ £ . o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z” ∈ £ . 5. Số phức liên hợp và môđun của số phức : • Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a – bi. Như vậy : z a bi a bi= + = − o ; ' ' ; ' . '= + = + =z z z z z z zz z z o z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z . • Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm 2 2 .z a b z z OM= + = = uuuur o 0, ; 0 0z z z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =£ o ' . ' , ' 'zz z z z z z z= + ≤ + với mọi z, z’ ∈ £ . 6. Phép chia cho số phức khác 0 : Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 85 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ • Số phức nghịch đảo của z (z ≠ 0) là 1 2 1 z z z − = • Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) : 1 2 ' '. '. '. . z z z z z z z z z z z − = = = • Với z ≠ 0, ' w ' w z z z z = ⇔ = ; ' ' ' ' , z z z z z z z z   = =  ÷   B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1 : a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3. b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, đó là số ảo. Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải: a) Vecto OM uuuur biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto 'OM uuuur biểu diễn số phức z’ = 2 + i b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OP uuur . z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OQ uuur . Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i. (2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5. (2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i. (bi) 2 = b 2 .i 2 = −b 2 (b ∈R). i 3 = i 2 .i = −i, i 4 = 1, i 5 = i. (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = −2 + 2i. Ví dụ 4: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. Giải: z 2 + 4 = z 2 − 4i 2 = (z – 2i)(z + 2i). Tông quát nếu a là số thực thì : z 2 + a 2 = (z + ai)(z – ai). Ví dụ 5: Tính : 2 2 3 (3 )(1 ) 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 i i i i i i i i − − − − = = = − + + − + ( ) 2 2 2 2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4 2 1 2 2 6 3 2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) 2 2 i i i i i i i i i + + + + − + − + = = = = − − + + Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i. Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i ⇔ (−2 + 2i)z = −i ⇔ z = (2 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 2 (2 2 )(2 2 ) 8 4 4 i i i i i i i i i i − + − + − = = = = + − + − − + C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 1. Tự làm. 2. Tự làm. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 86 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i. Dễ thấy điểm E có tọa độ 3 1 os ;sin ; 6 6 2 2 c   π π   =  ÷  ÷     nên E biểu diễn số phức 3 1 2 2 i+ ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− + ; F biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− ; B biểu diễn số phức 3 1 2 2 i− − . 4. Thực hiện phép tính : 2 2 1 2 3 2 3 2 3 13 2 3 i i i + + = = − + ; 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 4 4 2 2 i i i + = = + + − 3 2 (3 2 )( ) 2 3 i i i i i − = − − = − − ; 3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 4 16 1 17 i i i i i − − + − = = − + 5. Cho z = 1 3 2 2 i− + . Hãy tính : 2 3 2 1 ; ; ; ( ) ; 1z z z z z z + + . Giải: 2 1 3 1 1 3 2 2 1 3 2 2 . 4 4 i z z i z z z z − − = = = = − − + ; z 2 = 1 3 1 2 2 i z z − − = = 3 2 ( ) .( ) 1z z z= = ; 1 + z + z 2 = 0. 6. Chứng minh rằng : a) Phần thực của số phức z bằng 1 ( ) 2 z z+ , phần ảo của số phức z bằng 1 ( ) 2 z z i − . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = − z . c) Với mọi số phức z, z’, ta có ' 'z z z z+ = + , ' . 'zz z z= và nếu z ≠ 0 thì ' 'z z z z   =  ÷   . Giải: a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒ z = a – bi. ⇒ z + z = 2a ⇒ a = 1 ( ) 2 z z+ z - z = 2bi ⇒ b = 1 ( ) 2 z z i − b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = − z . Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 87 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di .Khi đó z = a – bi và 'z = c – di. ⇒ z + 'z = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i⇒ 'z z+ = (a + c) - (b + d)i = z + 'z . Tương tự cho các đẳng thức còn lại. 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có : i 4m = 1 ; i 4m+1 = i ; i 4m+2 = −1 ; i 4m+3 = −i. Giải: i 4m = (i 4 ) m = (−1) 2m = 1 m = 1 ; i 4m+1 = i 4m .i = i i 4m+2 = i 4m+1 .i = i.i = −1 ; i 4m+3 = i 4m+2 .i = −i. 8. Chứng minh rằng : a) Nếu vecto u r của mp phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vecto u r là u z= r , và từ đó nếu các điểm A 1 , A 2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 , z 2 thì 1 2 2 1 A A z z= − uuuur . b) Với mọi số phức z, z’, ta có . ' . 'z z z z= và khi z ≠ 0 thì ' ' z z z z = . c) Với mọi số phức z, z’, ta có ' 'z z z z+ ≤ + . Giải: a) Ta có : z = a + bi ⇒ 2 2 z a b= + , và u r biểu diễn số phức z thì u r nên độ dài vecto u r là 2 2 a b+ , do đó u z= r . Nếu A 1 , A 2 theo thứ tự biểu diễn z 1 , z 2 thì vecto 1 2 2 1 A A OA OA= − uuuur uuuur uuur biểu diễn z 2 – z 1 nên 1 2 2 1 A A z z= − uuuur (đpcm). b) Ta cần chứng minh : 2 2 2 . ' . 'z z z z= và với z ≠ 0 thì : 2 2 2 ' ' '. 1 1 '. ' . z z z z z z z z z z z z z = = = = c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2( ) 2 ( )( )z z a b c d ac bd a b c d a b c d+ = + + + + + ≤ + + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 'a b c d z z+ + + = + ⇒ ' 'z z z z+ ≤ + 9. Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a)  z – i  = 1 b) 1 z i z i − = + c) 3 4z z i= − + Giải: Gọi z = a + bi a) ⇒ z - i = a + bi - i = 1 ⇔ a + (b – 1)i = 1 ⇔ a 2 + (b – 1) 2 = 1, Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1. b) 2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1) z i a b i a b i a b i a b a b b z i a b i − + − = = ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ = + + + Vậy z là số thực. c) Ta có : 3 4z z i = − + ⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 88 Ti liu Ging dy Toỏn 12 nõng cao Giỏo viờn: Phan Cụng Tr a 2 + b 2 = (a 3) 2 + (4 b) 2 6a + 8b 25 = 0. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z l mt ng thng. LUYN TP 10. Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú : 1 + z + z 2 + . . . + z 9 = 10 1 1 z z Gii: Do (1 + z + z 2 + . . . + z 9 )(z 1) = z + z 2 + z 3 +. . . .+z 10 (1 + z + z 2 + . . . + z 9 ) = z 10 1 nờn khi z 1 ta chia hai v cho z 1 thỡ c ng thc cn chng minh. 11. Hi mi s sau õy l s thc hay s o (z l s phc tựy ý cho trc sao cho biu thc xỏc nh) ? 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ; ; ( ) 1 . z z z z z z z z z z + + + Gii: Gi z = a + bi z = a bi. 2 2 2 ( ) ( ) 2 .z z z z z z+ = + l s thc. Vỡ z + z l s thc v z. z l s thc. z - z l s o v z 3 + ( z ) 3 = (z + z )[(z + z ) 2 3z. z ) l s thc nờn 3 3 ( ) z z z z + l s o. z 2 ( z ) 2 = (z + z )(z - z ) l s o v 1 + z. z l s thc nờn 2 2 ( ) 1 . z z z z + l s o. 12. Xỏc nh tp hp cỏc im trong mp phc biu din cỏc s phc z tha món tng iu kin sau: a) z 2 l s thc õm b) z 2 l s o c) z 2 = ( z ) 2 d) 1 z i l s o. Gii: a) z 2 l s thc õm z l s o. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z nm trờn trc o (Oy), tr im O b) Gi z = a + bi z 2 = a 2 b 2 + 2abi l s o a 2 b 2 = 0 b = a. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z nm trờn hai ng phõn giỏc ca cỏc gc ta . c) z 2 = ( z ) 2 (z + z )(z z ) = 0 z + z = 0 ( ) z - z = 0 ( ) truùc thửùc truùc aỷo . Vy tp hp cỏc im l cỏc trc ta . d) 1 z i l s o z i l s o x + (y 1)i l s o x = 0 v y 1. Vy tp hp cỏc im biu din nm trờn trc Oy (tr im cú tung bng 1). 13. Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau : a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i) z - 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z 2 + 4 = 0. Gii: a) z = 2 1 2 i i i = + b) z = 1 1 3 1 3 10 10 i i = + + Trng THPT Thanh Bỡnh 2 Thanh Bỡnh ng Thỏp 89 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) z = z = 4 8 4 8 4 2 5 5 5 5 i i i = + ⇒ − − d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i e) z = ±2i. 14. a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i + − . b) Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i + − là số thực dương. Giải: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) [ ( 1) ].[ ( 1) ] 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + + + + + − − + − = = = + − + − + − + − + − z i x y i x y i x y i x y x i z i x y i x y x y x y Vậy phần thực là 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − và phần ảo là 2 2 2 ( 1) x x y+ − b) z i z i + − là số thực dương ⇔ 2 2 2 ( 1) x x y+ − = 0 và 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y + − + − > 0 ⇔ 2 2 0 0 1 1 1 0 x x y hoaëc y x y  =  =  ⇔   < − > + − >    Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra đoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn số −i). 15. a) Trong mp phức, cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 , z 2 , z 3 . Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ? b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn : z 1  = z 2  = z 3 . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi z 1 + z 2 + z 3 = 0. Giải: a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có : 1 ( ) 3 OG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur Suy ra , G biểu diễn số phức 1 2 3 (z + z + z ) 1 3 . b) Ba điểm A, B , C (hay 3 vecto , ,OA OB OC uuur uuur uuur ) biểu diễn 3 số phức z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn z 1  = z 2  = z 3  ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là điểm O cách đều 3 điểm A, B, C hay 3 điểm đó nằm trên đường tròn tâm O (gốc tọa độ). A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z 1 + z 2 + z 3 = 0 (theo a)). 16. Đố vui. Trong mp phức cho các điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải là hai tam giác đồng dạng không ?. Giải: Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’. Và : z' z.z' z.z'- z' OA' OB' A'B' = = z' , = = z' , = = z' OA 1 OB AB z z -1 Do đó hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là z’. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 90 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Căn bậc hai của số phức : • z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w. • z = x + yi (x, y∈R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b∈R) ⇔ 2 2 2 x y a xy b  − =   =   . • Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. • Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là 2 số đối nhau. • Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là a± . • Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là .a i± − . 2. Phương trình bậc hai : Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0) • Tính ∆ = B 2 – 4AC • ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt ( 2 B A δ δ − ± là một căn bậc hai của ∆) • ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z 1 = z 2 = 2 B A − . B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của : a) −1 b) −a 2 (a là số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i Giải: a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là i ± . b) −a 2 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là ai± . c) Đặt w = −5 + 12i. Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w ⇔ 2 2 2 5 2 2 12 6 x x y x xy y x   =    − = −   = −  ⇔   =    =   Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i. d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i ⇔ 2 2 2 0 2 2 1 1 2 x x y xy y x  = ±   − =   ⇔   =    =   Vậy có hai căn bậc hai của i là : 2 (1 ) 2 i± + . Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 91 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) z 2 – z + 1 = 0 b) z 2 + (−2 + i)z – 2i = 0 Giải: a) Ta có : ∆ = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của ∆ là : 3i . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z 1 = 1 3 2 i+ và z 2 = 1 3 2 i− b) Ta có : ∆ = (i – 2) 2 – 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i) 2 ( hay ta đi tìm một căn bậc 2 của ∆). Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z 1 = 2 2 -i - 2 -i z = = i 2 2 2 2, 2 i i− + + = - . C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau : −i ; 4i ; −4 ; 1 + 4 3 i Giải: Hai căn bậc hai của −i là : 1 1 1 1 , 2 2 2 2 i i− + − . Hai căn bậc hai của 4i là : 2 2 , 2 2i i+ − − . Hai căn bậc hai của 1 + 4 3 i là : 2 3 , 2 3i i+ − − . 18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z = w Giải: z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w ⇒ z 2  = z 2 = w ⇒ z = 2 z = w . 19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau : a) z 2 = z + 1 b) z 2 + 2z + 5 = 0 c) z 2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 Giải: a) z = 1 5 2 2 ± b) z = −1 ± 2i c) z = 2i và z = −1 + i/ 20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ? b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2 + Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?Điều ngược lại có đúng không ? Giải: a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai ( 2 B A δ δ − ± 2 = B 2 – 4AC) chứng tỏ z 1 + z 2 = −B/A và z 1 .z 2 = C/A ⇒ công thức vẫn còn đúng. b) Hai số phức cần tìm là nghiệm phương trình : z 2 – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải ra ta được hai nghiệm là : 3 + i và 1 – 2i. c) Nếu phương trình z 2 + Bz + C = 0 có 2 nghiệm z 1 , z 2 là 2 số phức liên hợp thì z 2 = 1 z . Theo công thức Vi-ét, B = −(z 1 + z 2 ) = −(z 1 + 1 z ) là số thực và C = z 1 .z 2 = z 1 . 1 z là số thực. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 92 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì khi ∆ = B 2 – 4C > 0 hai nghiệm là 2 số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau, khi ∆ ≤ 0 thì phương trình mới có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp. 21. a) Giải phương trình sau : (z 2 + i)(z 2 – 2iz – 1) = 0 b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z 2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Giải: a) Phương trình ⇔ z 2 + i = 0 hoặc z 2 – 2iz – 1 = 0. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm z 1 = i, z 2 = 3 z = 1 1 1 1 , 2 2 2 2 i i− + − b) Ta có : B = −(z 1 + z 2 ), z 1 .z 2 = 3i (z 1 , z 2 là 2 nghiệm phương trình : z 2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta được : z 1 2 + z 2 2 = 8 ⇔ (z 1 + z 2 ) 2 – 2z 1 .z 2 = 8 ⇔ b 2 – 6i = 8 ⇔ b 2 = (8 + 6i) ⇔ b = ± (3 + i). 22. Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là 1− và tính : 1− . 1− như sau : a) Theo định nghĩa căn bậc hai của −1 thì 1− . 1− = −1. b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì 1− . 1− = ( 1)( 1) 1 1− − = = , từ đó học sinh đó suy ra −1 = 1. Hãy tìm điều sai trong lập luận trên. Giải: a) Lập luận a) đúng. b) Lập luận b) sai. Vì 1− . 1− chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (theo H1 trang 194). Lưu ý có hai căn bậc hai của 1 là 1 và −1, các kí hiệu 1− . 1− và 1 chưa xác định. LUYỆN TẬP 23. Tìm nghiệm phức của phương trình sau : 1 z + = k z trong các trường hợp sau : a) k = 1 b) k = 2 c) k = 2i Giải: a) k = 1 thì z = 1 3 2 i± b) z = 2 (1 ) 2 i± c) z = (1 2)i± . 24. Giải các phương trình sau trên £ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức. a) z 3 + 1 = 0 b) z 4 – 1 = 0 c) z 4 + 4 = 0 d) 8z 4 + 8z 3 = z + 1 Giải: a) z 3 + 1 = 0 ⇔ (z + 1)(z 2 – z + 1) = 0 có 3 nghiệm z 1 = −1, z 2 = 3 1 3 z = - i 2 2 1 3 , 2 2 i+ (hình 1) b) z 4 – 1 = (z 2 + 1)(z 2 – 1) = 0 có nghiệm z 1 = i, z 2 = −i, z 3 = 1, z 4 = −1. (hình 2) c) z 4 + 4 = (z 2 + 2i)(z 2 – 2i) = 0 có nghiệm z 1 = 1 – i, z 2 = −1 + i, z 3 = 1 + i, z 4 = −1 – i.(hình 3) d) 8z 4 + 8z 3 = z + 1 ⇔ (z + 1)(8z 3 – 1) = 0 ⇔ (z + 1)(2z – 1)(4z 2 + 2z + 1) = 0 có nghiệm z 1 = −1, z 2 = ½, z 3 = 4 1 3 z = - - i 4 4 1 3 , 4 4 i− + .(hình 4) Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 93 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 25. a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm. Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i) 2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ b + c + (2 + b)i = 0 ⇔ b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2 b) Với 1 + i là nghiệm ta được : (1 + i) 3 + a(1 + i) 2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0 ⇔ b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2). Với 2 là nghiệm ta được : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) ⇒ b = 6 (2) ⇒ a = −4. Vậy a = c = −4, b = 6. 26. a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực ϕ, ta có : (cos ϕ + isin ϕ ) 2 = cos2 ϕ + isin2 ϕ Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2 ϕ + isin2 ϕ . Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2. b) Tìm các căn bậc hai của 2 (1 ) 2 i− bằng 2 cách nói ở câu a). Giải: a) (cosϕ + isinϕ) 2 = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + 2sin ϕ .cos ϕ .i = cos2ϕ + isin2ϕ. Các căn bậc hai của cos2ϕ + isin2ϕ là : ± (cosϕ + isinϕ). Còn theo cách giải trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2 os2 2 sin2 x y c xy ϕ ϕ  − =   =   Giải ra ta tìm được hai căn bậc hai là : ± (cosϕ + isinϕ). b) 2 (1 ) os isin os isin 2 4 4 4 4 i c c     π π π π − = − = − + −  ÷  ÷     thì theo câu a), 2 (1 ) 2 i− có hai căn bậc hai là 1 os isin os isin 2 2 2 2 8 8 8 8 2 c c i         π π π π   ± − + − = ± − = ± + − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           (dùng ct hạ bậc) Còn theo cách trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 x y xy  − =     = −   Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 94 [...].. .Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ  2+ 2 − 2− 2  − 2+ 2 2− 2   ÷,  ÷ ; ; Giải ra ta được các nghiệm : 2 2 2 2  ÷  ÷     §3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số tiết : 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1 Dạng lượng giác của số phức : a) Acgumen của số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng... Cho số phức w = − (1 + i 3) Tìm các số nguyên dương n để w n là số thực Hỏi có chăng một 2 số nguyên dương m để wm là số ảo ? Giải: 1 4π 4π 4 nπ 4 nπ + isin + isin Ta có : w = − (1 + i 3) = cos ⇒ wn = cos (n guyên dương) Số này là 2 3 3 3 3 4nπ = 0 ⇔ 4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương số thực khi và chỉ khi sin 3 của 3 4mπ = 0 , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k để Số. .. + 3.i 2 z+1 , biết rằng z = 1 và z ≠ 1 z-1 z+1 là số ảo thì z = 1 z-1 Giải: a) Muốn tìm phần thực của số phức nào đó ta cần tính tổng của nó và số phức liên hợp của nó z+1 KQ : 0 , ⇒ là số ảo z-1 z+1 z+1 z+1 b) là số ảo thì =− , nhân chéo ta được : z1 z − 1 = 0 ⇔ z = 1 z-1 z-1 z-1 20 Xác định tập hợp các điểm M trên mp phức biểu diễn các số phức : (1 + i 3)z + 2 trong đó z - 1 ≤ 2 Giải: z'-2... isinϕ = 0 = 0(cosα + isinα) (α ∈R, tùy ý) ÔN TẬP CHƯƠNG IV 37 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau : 3 + 2i 1 − i + a) (2 – 3i)2 b) c) (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (x, y∈R) Với x, y 1 − i 3 − 2i nào thì số phức đó là số thực ? Giải: a) phần thực −46, phần ảo −9 b) phần thực 23/26, phần ảo 63/26 2 2 c) phần thực x – y – 2x + 5, phần ảo 2y(x – 1) Số phức đó là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔... 29(−1 + i), từ đó suy ra số cần tìm Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 97 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 30 Gọi M, M’ là các điểm trong mp phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i ; z’ = (3 − 3) + (1 + 3 3)i a) Tính z’/z b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’) Tính số đo đó Giải: a) z’/z =... Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 105 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao z - 1 ≤ 2 ⇔ z'-2 1+i 3 Giáo viên: Phan Công Trứ − 1 ≤ 2 ⇔ z'− 2 − (1 + i 3 ≤ 1 + i 3 ⇔ z'− 2 − (1 + i 3 ≤ 4 , vậy tập hợp các điểm M là tập hợp các điểm thuộc hình tròn (kể cả biên) có tâm A biểu diễn số 3 + i 3 , có bán kính bằng 4 21 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức : −8 + 6i ; 3 + 4i và 1 − 2 2.i Giải: Hai căn... Giải: Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 95 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Số thực dương tùy ý có một acgumen là 0 Số thưc âm tùy ý có một acgumen là π Số 3i có một acgumen là π/2, số −2i có một acgumen là −π/2, số 1 + i có một acgumen là π/4 Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác của số phức : 1+ i z= 3 +i Giải: Ta tìm dạng lượng giác của 1 + i , gọi r là môđun và... hai của số phức dưới dạng lượng giác : Các căn bậc hai của số phức z = r(cos ϕ + isinϕ) (r > 0) là :  ϕ ϕ r  cos + isin ÷ và 2 2   ϕ   ϕ  ϕ ϕ − r  cos + isin ÷ = r cos  + π ÷+ isin  + π ÷ 2 2   2   2 B MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm acgumen của : một số thực dương tùy ý, số thực âm tùy ý, 3i, −2i và 1 + i Giải: Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp 95 Tài liệu Giảng... acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác k2π, k∈Z), nên từ a, b, c∈(0 ; π/2) Suy ra : a + b + c = π/4 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 43 (C) ; 44 (A) ; 45 (A) ; 46 (B) ; 47 (B) ; 48 (A) ; 49 (B) ; 50 (C) ; 51 (A) ; 52 (B) ; 53 (B) ; 54 (B) Chú ý : −sinϕ − icosϕ = −i(cosϕ - isinϕ) = −i[cos(−ϕ) + isin(−ϕ)] ÔN TẬP CUỐI NĂM 1 a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e – x – 1... thực khi và chỉ khi sin 3 của 3 4mπ = 0 , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k để Số wm (m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi cos 3 4m 1 = + k ⇔ 8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2 Vậy không có số 3 2 nguyên dương m để wm là số ảo 35 Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trương hợp sau : a) z = 3 và một acgumen của iz là 5π/4 z b) z . Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §1. SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm số phức : • Tập hợp số. dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải: