TÀI LIỆU ÔN TẬP CẢ NĂM (st)

Tiết 1+2+3: Hàm số lượng giác A) Kiến thức cần nhớ 1.Hàm số Sin và hàm số côsin: +,TXĐ của hai hàm số này là: R +,Với mọi x ∈ ¡ ta có: 1 sin 1,x− ≤ ≤ 1 cos 1,x− ≤ ≤ suy ra TGT là T = [ -1; 1 ] +, Hàm y = sinx là hàm số lẻ đồ thị của này đối xứng qua gốc toạ độ. +, Hàm y = cosx là hàm số chẵn đồ thị của này đối xứng qua trục tung. +, Cả hai hàm số sin và côsin đều là hàm tuần hoàn với chu kỡ 2T π = . sin( 2 ) sinxx k π + = , sin osx, x ,k 2 x c π   + = ∀ ∈ ∈  ÷   ¡ ¢ 2.Hàm số y = tanx, y = cotx +, Hàm số y = tanx có TXĐ là: \ , 2 D k k π π   = + ∈     ¡ ¢ TGT là: T = ¡ +, Hàm số y = cotx có TXĐ là: { } \ ,D k k π = ∈¡ ¢ TGT là: T = ¡ +, Hàm số y = tanx, y = cotx là những hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì T π = tan( ) t anxx k π + = , cot( ) cotx, x D,kx k π + = ∀ ∈ ∈¢ . B,Các dạng bài tập: *Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số Phương pháp: +, Thuộc kĩ tập xác định của của hàm số sinx, cosx, tanx, cotx. +, y A= xác định khi A xác định và 0A ≥ +, A y B = xác định khi A, B xác định và 0B ≠ Ví dụ áp dụng : Tìm TXĐ của hàm số: , 3 sinx 1 osx , sinx , tan 2 3 a y c b y c y x π = − − =   = +  ÷   *dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) Phương pháp: +,Tìm TXĐ: D của hàm số f(x) +, Với mọi x D∈ mà x D− ∈ thì kết luận f(x) không chẵn, không lẻ. +,Với mọi x D ∈ mà x D − ∈ ta có: Nếu f(-x) = f(x) thỡ f(x) là hàm số chẵn Nếu f(-x) = -f(x) thỡ f(x) là hàm số lẻ Nếu ( ) ( )f x f x− ≠ − và ( ) ( )f x f x− ≠ thì f(x) là hàm số không chẵn cũng không lẻ. *Ví dụ áp dụng: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: , 2sinx b,y=3sinx-2 1 c,y= cosx a y =− Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Phương pháp: Chỳ ý tập giá trị của hàm sinx, cosx. *Ví dụ áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số , 2 osx+1 b,y=2cos x+ 3 3 , sinx.cosx.cos2x.cos4x a y c c y π =   +  ÷   = Tiế 4+5+6: Phương trình lượng giác cơ bản 1.Phương trình sinx = a (1) +, 1a > : PT(1) vô nghiệm +, 1a ≤ : thì dặt a = sin α 2 ( ) 2 x k k x k α π π α π = +  ⇔ ∈  = − +  Z +. Các trường hợp đặc biệt: ,sinx=1 x= 2 , 2 ,sinx=-1 x=- 2 , 2 ,sinx=0 x= , k k k k k k π π π π π + ⇔ + ∈ + ⇔ + ∈ + ⇔ ∈ Z Z Z *ví dụ áp dụng: Giải các PT sau: a. 4 sin 3 x − = b. 3 sin 2 x = c .sin2x =-1 d . 0 1 sin( 60 ) 2 x − = e.sinx(sin2x-1)=0 f. 1 sin 4 x = 2,Phương trình cosx = a (2) +, 1a > : PT(2) vô nghiệm +, 1a ≤ : thì dặt a = cos α 2 ( ) 2 x k k x k α π α π = +  ⇔ ∈  = − +  Z +. Các trường hợp đặc biệt: , osx=1 x= 2 , , osx=-1 x= 2 , , osx=0 x= , 2 c k k c k k c k k π π π π π + ⇔ ∈ + ⇔ + ∈ + ⇔ ∈ Z Z Z *ví dụ áp dụng: Giải các PT sau: a. cos2x = 2 b. 2 cos 2 x = c. 0 1 cos(2 50 ) 2 x + = d. 2 cos(3 ) 6 2 x π − = − e. 2 cos( 2) 5 x − = f. 1 cos 3 x = Bài tập: Giải các PT sau: 0 ,cos 2 sin( 45 ) 0 , os3x=sin2x c,cos3x-cos 2 0 2 a x x b c x π − + =   − =  ÷   0 ,sin( 120 ) os2x=0 1 e,2sinx.cos2x= sinx 2 d x c − − − 3.Phương trình tanx = a (3) Đặt a = tan α : tan tan ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈Z 4.Phương trình cotx = a (4) Đặt a = cot α : cot cot ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈ Z *Ví dụ áp dụng: Giải các pT sau a. 2 tan 2 tan 7 x π = b. 0 3 tan(3 30 ) 3 x − = − c. 1 cot(4 ) 6 3 x π − = d. ( t 1).(cot 1) 0 3 2 x x co − + = Bài tập: Giải PT ,tan(3 1) cot 2 0 2 ,cot3 tan 5 , os2x.tanx=0 a x x b x c c π + + = = Tiết 7+8+9: phương trình lượng giác thường gặp A)Kiến thức cần nhớ: 1,Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác * Dạng: asinx + b = 0, acosx +b = 0, atanx + b= 0, acotx + b = 0 (a ≠ 0) * phương pháp giải: biến đổi đưa về dạng phương trình luợng giác cơ bản *Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau a. 3 sinx – 6 = 0 b.2sin2x – 1 =0 c. 6sin5x + 1 = 0 d. 5sin3x – 4 = 0 e. 2 cosx + 5 = 0 f.2cos(x – 50 0 ) - 3 =0 g.3cosx - 2 = 0 h. 3 tanx + 3 = 0 k. 3 cotx - 1 = 0 2, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác *Dạng phương trình: aSin 2 x + bSinx + c = 0 (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = sinx, điều kiện ≤t 1 - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. *Ví dụ áp dụng : Giải các phương trình sau: a. 3Sin 2 x – 2Sinx – 1 = 0 b. – 7Sin 2 x + 5Sinx – 8 = 0 c. 25Sin 2 2x – 10Sin2x + 1 = 0 *Dạng phương trình: aCos 2 x + bCosx + c = 0, (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = Cosx, điều kiện ≤t 1 - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. * Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau: a. Cos 2 x – 2 Cosx + 1 = 0 b. 2Cos 2 x – 7Cosx + 5 = 0 c. – 2 Cos 2 x + 10Cosx – 12 = 0 *Dạng phương trình: atan 2 x + btanx + c = 0, (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = tanx - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trinh lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. * Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số tanx: cosx 0 ≠ ⇔ x π π k+≠ 2 , k ∈ Z *Ví dụ áp dụng: Giải các phương trinh sau: a. tan 2 x – 4 tanx +3 = 0 b. tan 2 x - 10tanx + 6 = 0 *Dạng phương trình: acot 2 x + bcotx + c = 0, (a ≠ 0) *Cách giải: - Đặt t = cotx - Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t. - Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm. * Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số cotx: sinx 0≠ ⇔ x ≠ π k , k ∈ Z *Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau: a. 2cot 2 x – 7cotx + 5 = 0 b. – 6cot 2 x + 5cotx + 4 = 0 3.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: *Dạng: asinx + bcosx = c (*) *Cách giải: +, Trường hợp 1: a = 0, b ≠ 0 hoặc b= 0, a ≠ 0 thì PT(*) là PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. +, Trường hợp 2: a ≠ 0, b ≠ 0 thì B1: Xác định a = ?, b = ?, c = ?. Tính 22 ba + . B2: Chia cả hai vế của phương trình (*) cho 22 ba + ta được: 222222 cossin ba c x ba b x ba a + = + + + (**) B3: Đặt:        = + = + α α cos sin 22 22 ba b ba a (I). *chú ý: Nếu có α ( đặc biệt) thoả mãn hệ (I) thì chọn α thích hợp nếu không ta giữ nguyên α . Khi đó (**) có dạng: ( ) 2222 coscoscossinsin ba c x ba c xx + =−⇔ + =+ ααα (***) B4: Giải PT(***) (Là PT lượng giác cơ bản) tìm nghiệm. *chú ý: Nếu 222 cba <+ thì PT(8) vô nghiệm. *Ví dụ áp dụng: Giải các PT sau a, sinx + 3 cosx = 1 b, 3sinx + 5cosx = 6. c, sin5x + cox5x = -1 Bài tập; Giải các PT a, 3 .sinx - cosx = 3 b, 2sin3 5 cos3 3x x+ = − Tiết 10,11,12,13,1,4,15 : Quy tắc đếm, Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Nhị thức Niutơn. A) Quy tắc cộng, Quy tắc nhân I,Lý thuyết 1.Quy tắc cộng : Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B Phương án A có thể thực hiện theo n cách Phương án B có thể thực hiện theo p cách Lúc đó công việc trọn có thể được thực hiện theo : n + p cách. Quy tắc trên có thể mở rộng với k phương án A 1 , A 2 , ,A k thì ta có: n 1 + n 2 + + n k cách 2.Quy tắc nhân Giả sử một công việc có thể tiến hành qua hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo p cách. Lúc đó công việc trên có thể được thực hiện theo : n.p cách. Quy tắc trên có thể mở rộng với k công đoạn A 1 , A 2 , ,A k thì ta có : n 1 .n 2 n k cách. II,Các dạng toán : *Dạng 1 : Quy tắc cộng – Quy tắc nhân *Phương pháp : +, Dựng quy tắc cộng, quy tắc nhân +, Chú ý : +)Nếu A và B là hai tập hợp bất kì thì : N(A ∪ B) = N(A) + N(B) – N(A ∩ B) +)Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau (A ∩ B = ∅ ) thì : N(A ∪ B) = N(A) + N(B) +)Nếu X ⊂ A thì N(A\X) = N(A) \ N(X) +) Nếu A 1 , A 2 , ,A k là các tập hợp rời nhau từng đôi một thì : N( A 1 ∪ A 2 ∪ ∪ A k ) = N( A 1 ) + N(A 2 ) + + N(A k ) +)Nếu A.B = { } ( , )/ ,a b a A b B∈ ∈ , thì : N( A.B) = N(A).N(B) *Ví dụ áp dụng : a,VD 1 : Lớp 11C cỳ 40 HS trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một HS để đi tham dự Đại hội Đoàn trường ? HD : Nếu một HS được chọ là HS nam thì có 25 cách chọn, nếu HS được chọn là HS nữ thì có 15 cách chọn do đó có 25 + 15 cách chọn. b, VD2:Từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 5 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D qua B và C ? HD: Đi từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường Với mỗi cách chọn một con đường đi từ A đến B có 5 cách chọn đường đi từ B đến C Mỗi cách chọn con đường đi từ A đến B và một con đường đi từ B đến C có 2 con đường đi từ C đến D. Vậy sẽ có 7.5.2 con đường đi từ A đến D Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn HS ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi HD: Gọi 4 vị trí bàn học lần lượt là 1, 2, 3, 4 Có 4 cách xếp một bạn HS ngồi vào vị trí thứ nhất Với mỗi cách xếp 1 HS vào vị trí 1 có 3 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 2 Với mỗi cách xếp 2 HS vào vị trí 1,2 có 2 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 3 Với mỗi cách xếp 3 HS vào vị trí 1,2,3 có 1 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 4 Vậy có 4.3.2.1 cách xếp 4 HS ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi 3. Bài tập: Bài tập 1: Trường THPT X có 500 HS lớp 10, 450 HS lớp 11 và 400 HS lớp 12. cần chọn một HS đại diện cho trường tham gia Ban chấp hành hội HS SV của thành phố. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài tập 2: Người ta định đánh số những chiếc ghế trong một giảng đường bằng cách ghi những chữ cái và tiếp theo là một số nguyên dương có hai chữ số. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu cái ghế Bài tập 3: Từ các chữ só 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu cách chọn: a. Số chẵn có sáu chữ số b. Số lẻ có sáu chữ số đôi một khác nhau. B) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niutơn I,Lý thuyết: 1.Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó ( ) ! 1.2 1 . n P n n n= = − 2.Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. ( ) ( ) ! . 1 ! k n n n n n A k n n k A P = ≤ ≤ − = 3.Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. ( ) ( ) 1 1 1 ! . 0 ! ! k n k n k n n k k k n n n n C k n k n k C C C C C − − − − = ≤ ≤ − = = + 4.Nhị thức Niutơn: Công thức Nhị thức Niutơn ( ) 0 1 1 1 1 n n n k n k k n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C ab C b − − − − + = + + + + + + 0 0 n n k k n k C a b − = = ∑ ( Quy ước a 0 = b 0 = 1) Trong khai triển nhị thức Niutơn ở vế phải: +, có n + 1 số hạng (hạng tử) +, Số mũ của a giảm dần từ n đến 0 Số mũ của b tăng dần từ 0 đến b Tổng hai số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n. +, Vì k n k n n C C − = , nên các hệ số của các số hạng có tính đối xứng. +, Số hạng thứ k + 1 là: 1 . . k n k k k n T C a b − + = *Tam giác Pascal n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 II,Các dạng toán *Dạng 1: Hoán vị *Phương pháp: +, Dùng khi xếp n phần tử vào n vị trí có thứ tự +, Dùng công thức ! n P n= Dùng quy tắc đếm. *Ví dụ áp dụng: a, VD1: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế kê thành hàng? HD: Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của bốn bạn và ngược lại. Vậy số cách xếp là: P 4 = 4! = 24 (cách) b,VD2: một HS có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 2 quyển sách Toán, 4 sách văn, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cũng muốn được xếp kề nhau. *Dạng 2: Chỉnh hợp * Phương pháp: +, Dùng khi chọn k phần tử từ n phần tử có thứ tự ( bài toán về các số, chọn người có chức danh, có nhiệm vụ khác nhau). +, Dùng công thức ( ) ! ( 1) ( 1) . ! k n n A n n n k n k = − − + = − +, Dùng quy tắc đếm. *Ví dụ áp dụng: a,VD: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác không và đôi một khác nhau ? HD: Mỗi số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5 a a a a a trong đó i j a a≠ với i j≠ và { } 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , 1, ,5 i a i∈ = . Như vậy có thể coi mõi số dạng trên là một chỉnh hợp chập 5 của 9 (chữ số). Do đó, số các số cần tìm là: 5 9 9! 9.8.7.6.5 15120 4! A = = = (số) b,VD2:Một lớp học có 30 học sinh gồm 18 nữ và 12 nam. Ta muốn lập một ban chấp hành lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn thể mĩ và một thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành khác nhau, nếu: a,Chọn tuỳ ý(Không phân biệt nam, nữ) b, Lớp trưởng là nam sinh, lớp phó là nữ sinh. c, Lớp trưởng là nữ sinh và thư kí là nam. *Dạng 3: Tổ hợp *Phương phỏp: +, Dùng khi chọn k phần tử từ n phần tử không chú ý đến thứ tự +, Dùng công thức ( ) ( 1) ( 1) ! . ! ! ! k n n n n k n C k k n k − − + = = − +, Dùng quy tắc đếm. *Ví dụ áp dụng: a,VD1: Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ? HD: Kết quả sự phân công là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3 của 10 bạn. Vậy số cách phân công là: 3 10 10! 120 3!(10 3)! C = = − (cách) b,VD2: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành ba nhóm: một nhóm 5 người, một nhóm 3 người và một nhóm 2 người? *Dạng 4: Khai triển nhị thức Niuton *Phương pháp: +, Khai triển nhị thức Niuton: (a + b) n Chú ý số hạng thứ k + 1 là 1 . . k n k k k n T C a b − + = +, Muốn chứng minh một hệ thức chứa số tổ hợp k n C thì: Dùng công thức: ( ) ! . ! ! k n n C k n k = − Dựng khai triển nhị thức : 0 1 2 2 (1 ) . . n n n n n n n x C C x C x C x+ = + + + + và thay x bởi các giá trị thích hợp như: 1, -1, -2, 2. Ví dụ VD1: Khai triển các nhị thức sau ( ) 6 2x − HD: ( ) ( ) 6 0 6 0 1 5 1 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 1 5 6 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 4 3 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 12 60 160 240 160 64 x C x C x C x C x C x C x C x x x x x x x x − = − + − + − + − + − + − + − − = − + − + − + Vớ dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 6 2 1 2x x   −  ÷   HD: Số hạng tổng quát trong khai triển là 6 1 6 2 6 6 3 1 6 1 (2 ) . 2 .( 1) k k k k k k k k k T C x x T C x − + − − +   = −  ÷   = − Ta phải tìm k sao cho 6-3k = 0, nhận được k = 2 Vậy số hạng cần tìm là: 2 6 2 2 6 3.2 6 2 .( 1) 240C x − − − = Ví dụ 3: Biết hệ số của x 2 trong khai triển của ( ) 1 3 n x+ là 90. Hãy tìm n HD: Số hạng tổng quỏt trong khai triển là ( ) 1 1 (1) . 3 (1) .3 k k n k k n k n k k k k n T C x T C x − + − + = = với 2n ≥ Số hạng chứa x 2 khi k =2 Hệ số của x 2 là 2 2 9 ! .3 90 90 ( 1) 20 5 2( 2)! n n C n n n n = ⇔ = ⇔ − = ⇒ = − 3. Bài tập Bài tập 1: Khai triển nhị thức ( ) 7 3 2x y− Bài tập 2: Tìm hệ số của a 7 trong khai triển ( ) 17 2 a− Bài tập 3: Tìm hệ số của đơn thức a 6 b 7 trong khai triển ( ) 13 2a b+ Tiết 16+17+18: Xác suất 1. Lý thuyết a. Phép thử, không gian mãu, biến cố Phép thử ngầu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử dược gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu Ω (đọc là ô-mê-ga) Biến cố là một tập con của không gian mẫu Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không), tập Ω gọi là biến cố chắc chắn b. Định nghĩa xác suất Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số ( ) ( ) n A n Ω là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) ( ) ( ) ( ) n A P A n = Ω *Xác suất có các tính chất sau: ( ) 0,P A A≥ ∀ ( ) 1P Ω = Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + Mở rộng: Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = 2. Ví dụ a,VD1:Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ dược đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số a. Chẵn b. Chia hết cho 3 c. Lẻ và chia hết cho 3 HD: Không gian mẫu { } 1,2, ,20Ω = . Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng với câu a, b, c. Ta có a. { } 10 2,4,6, ,20 , ( ) 10, ( ) 20 ( ) 0,5 20 A n A n P A= = Ω = ⇒ = = b. { } 6 3,6,9,12,15,18 ( ) 0,3 20 B P B= ⇒ = = c. { } 3 3,9,15 ( ) 0,15 20 A P C= ⇒ = = b,VD2: Một lớp học có 60 HS trong đó 40 HS học tiếng Anh, 30 HS học tiếng Pháp và 20 HS học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một HS. Tính xác suất các biến cố sau a. A: “HS được chọn học tiếng Anh” b. B: “HS được chọn chỉ học tiếng Pháp” c. C: “HS được chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” [...]... quát của dãy số (un) - Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈N* được gọi là dãy số hữu hạn + Cách cho một dãy số: - Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát - Dãy số cho bằng phương pháp mô tả - Dãy số cho bằng công thức truy hồi II Bài tập áp dụng: n Bài tập 1: Cho dãy số (un) với un = n Tìm số hạng u3,u4,u10, u2009 2 Bài tập 2: Cho dãy các số dương chia cho 5 dư 3 sắp xếp... phương pháp quy nạp III Bài tập tự luyện: 2n + 1 Bài tập 1: Tìm số hạng thứ 9 của dãy số un = n +1 u1 = −15 Bài tập 2: Tìm số hạng dương đầu tiên của dãy số  là số hạng thứ mấy un = un −1 + n n(n + 1) 2n 1 1 1 + 2 + + 2 Bài tập 4: Tìm số hạng u4,u6,u8 của dãy số sau un = 2 2 −1 3 −1 n −1 u1 = −1  Bài tập 5: Tìm 5 số hạng đầu của dãy:  1 + un −1 với n ≥ 2, n ∈N* un = 2  Bài tập 3: Tìm số hạng u5,u7,u9... thứ 1000 u1 = 5 Bài tập 3: Cho dãy số (un) xác định bởi  với n ≥ 2 Tìm u4, u6 un = 2un −1 − 3 * Dạng bài tập xác định số hạng tổng quát của dãy số u1 = 5 Bài tập 4: Cho dãy số (un) xác định bởi  với n ≥ 2 un = 2un −1 − 3 Tìm số hạng tổng quát un u1 = 1 Bài tập 5: Cho dãy số (un) xác định bởi  với n ≥ 1, n ∈N un +1 = un + 2n + 1 a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số b) Dự đoán công thức un và chứng... A và B cũng độc lập do đó 1 1 1 1 1 P (C ) = P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = + = 2 2 2 2 2 3 Bài tập Bài tập 1: Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên hai người Tìm xác suất sao cho trong hai người đó a Cả hai đều là nữ b Không có nữ nào c ít nhất một người là nữ d Có đúng một người là nữ Bài tập 2: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20 Lấy... −∞ *Bài tập : 2x − 6 Bài tập 1 : Tìm xlim → +∞ 4−x Bài tập 2 : Tìm xlim → +∞ *Khử dạng vô định (∞ − ∞) của đa thức f bậc n tại vô cực *) Phương pháp : - Đặt xn làm nhân tử chung (n là bậc cao nhất) - áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích *) Bài tập áp dụng Ví dụ 1 : cho p(x) = x7 – x3 – x2 – 1 Tìm xlim p ( x ) và xlim p ( x ) → +∞ → −∞ 4 2 Ví dụ 2 : Tính xlim ( x − x + x − 1) → +∞ *) Bài tập đề nghị... kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng 2 Quan hệ thuộc trong không gian: - A thuộc đường thẳng, A không thuộc đường thẳng: KH: A ∈ ( d ), A ∉ ( d ) - A thuộc mp(P), A không thuộc mp(P): KH: A ∈ mp ( P ), A ∉ mp ( P ) - a nằm trên mp(P), a không nằm trên mp(P): KH: a ⊂ mp ( P), a ⊄ mp( P ) 3 Các quy tắc biểu diễn hình trong không gian: - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc của hình có... bài tập Dạng 1:Xác định cấp số nhân, tìm các yếu tố của cấp số nhân a,VD1:Cho cấp số nhân (un) với công bội q a/ Biết u1 = 2, u6 = 486.Tìm q 2 8 b/Biết q = , u4 = Tìm u1 3 21 c/ Biết u1 = 3,q = -2.Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? un HD: Áp dụng công thức: Un = u1qn-1 (với n ≥ 2 ) suy ra qn-1 = u1 2 b,VD2: Tìm x sao cho ba số: 2x -1, x + 2,x + 3x + 5 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 2 HD: Áp dụng công... n ∈ N* 3 b un= (−1) n n 2 với mọi n ∈ N* III Bài tập Bài tập 1 Xét tính đơn điệu của dãy số un với n(n + 1) a un= với mọi n ∈ N* 2n b un= 61− 2 n với mọi n ∈ N* n c un= 3 − 7 với mọi n ∈ N* 3 2 d un= n - 3n + 5n với mọi n ∈ N* n 3 n e un= n với mọi n ∈ N* 2 an + 3 Bài tập 2 Cho dãy số un= Với giá trị nào của a thì dãy số tăng, giảm n+4 u1 = 5 Bài tập 3 Cho dãy số un xác định bởi  un +1 = un + 3n... b + b 2 4) 3 a + b lµ 3 a 2 − 3 a b + b 2 5) a − b lµ a +b 6) a + b lµ a − b *) Bài tập áp dụng : VD1 : Cho hàm số f(x) = x 2 − x + 1 − x Tìm xlim f ( x) → +∞ x 6 − 3x 2x 2 + 1 VD2 : Tìm xlim ( 1 + x − x ) → +∞ *) Bài tập đề nghị : Bài tập 1 : Tìm giới hạn sau : xlim ( x 2 + 1 − x) → +∞ lim ( 3 x − 1 − 2 x − 1) Bài tập 2 : Tìm giới hạn sau : x →+∞ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (dạng 1.VD1: Tính các... ; b) +)f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và Lim = f (a ); Lim = f (b); + x→a x →b *Gián đoạn: f(x)gián đoạn tại x0 nếu không thoả mãn một trong những điều kiện sau +) x0 không thuộc tập xác định của f(x) +) Không tồn tại lim f ( x) hoặc lim f ( x) = ±∞ x → x0 x → x0 lim +) x → x0 f ( x0 ) ≠ f ( x0 ) *Tính chất của hàm số liên tục: +) Tổng, hiệu, tích, thương(mẫu khác . dược gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu Ω (đọc là ô-mê-ga) Biến cố là một tập con của không gian mẫu Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không), tập Ω gọi là. một công việc có thể tiến hành qua hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo p cách. Lúc đó công. Phép thử, không gian mãu, biến cố Phép thử ngầu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó Tập hợp các kết