2.3.2.Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh : Trong trường hợp tổng quát, ta không thể thu được biến đổi Laplace của một chuỗi vô hạn bằng việc lấy biến đổi từng số hạng của chuỗi Ví[r]
(1)1.Điều kiện tồn biến đổi Laplace : 1.1.Điều kiện tồn : F ( s ) L( f (t )) e st f (t )dt (1.1) lim e st f (t )dt (1.2) Biến đổi Laplace hàm f (t ) gọi là tồn tích phân (1.1) hội tụ miền nào đó Tích phân (1.1) phân kỳ thì không tồn biến đổi Laplace xác định hàm f (t ) 1.2.Lớp L : là tập hợp các hàm xác định trên khoảng 0, và tồn biến đổi Laplace Định nghĩa : hàm f có bậc mũ tồn số M và số cho : f (t ) Met ; t t Định lý 1.1: Nếu f liên tục khúc trên đoạn 0, và có bậc mũ thì biến đổi Laplace tồn và hội tụ tuyệt Re(s) Chứng minh: + Hàm f có bậc mũ nên tồn số M và số cho f (t ) M 1e t ; t t + Hàm f liên tục khúc trên đoạn 0, t và đó bị chặn trên đoạn đó M cho f (t ) M , t 0, t + Vì hàm et có cực tiểu dương trên đoạn 0, t nên ta có thể chọn số dương M đủ lớn cho f (t ) Met , t +Ta có : e st f (t ) dt M e ( x ) t Me ( x )t dt x M Me ( x ) x x Cho và lưu ý Re( s) x ta suy e st f (t ) dt M x Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt Re(s) Nhận xét : Có hàm thuộc lớp L không thỏa mãn điều kiện định lý Ví dụ 1: Hàm f (t ) 2te t cos(e t ) liên tục trên 0, , không có bậc mũ Nhưng có biến đổi Laplace Ví dụ 2: Hàm f (t ) không liên tục khúc trên 0, vì f (t ) , t ,có t bậc mũ 0( f (t ) 1, t 1) Hàm f (t ) có biến đổi Laplace Lop12.net (2) 2.Biến đổi Laplace ngược : 2.1.Khái niệm : Nếu L f (t ) F ( s) thì biến đổi Laplace ngược xác định công thức L1 F ( s ) f (t ), t Nó ánh xạ biến đổi Laplace F (s) hàm trở lại thành hàm ban đầu.Hàm ban đầu f (t ) gọi là hàm gốc, hàm F (s) gọi là hàm ảnh -Nhận xét : L1 F ( s) có thể có nhiều hàm 2.2.Điều kiện tồn biến đổi Laplace ngược : Định lý 2.1: Nếu f là liên tục khúc trên 0, và có bậc mũ thì F ( s ) L f (t ) Re(s ) Chú ý : hệ quả, hàm F (s) không có tính chất này thì không thể là biến đổi Laplace hàm f nào Định lý 2.2 :(Định lý Lerch) Các hàm xác định liên tục trên 0, có biến đổi Laplace ngược hoàn toàn xác định (xác định nhất) -Nhận xét : biến đổi Laplace ngược có tính chất tuyến tính, tức là L1 aF ( s ) bG ( s ) af (t ) bg (t ) với L f (t ) F ( s ), L g (t ) G ( s ) Điều này suy từ tính chất tuyến tính L và đẳng thức xác định miền xác định chung F và G 2.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc : + Sử dụng kết biến đổi thuận và tính biến đổi ngược + Khai triển chuỗi lũy thừa hàm ảnh + Biến đổi Laplace ngược phân thức hữu tỷ 2.3.1.Sử dụng kết biến đổi thuận và tính biến đổi ngược: Ví dụ Xét hàm f (t ) = e at , với a là số thực Đó là hàm liên tục trên éêë0, ¥) và có bậc mũ a Khi đó L(e ) e e dt e t st t 0 ( s ) t e ( s )t dt lim ( s ) ,với Re(s ) > a s Việc tính toán tương tự nhận kết với số phức a mà Re(s ) > Re(a) Ví dụ Áp dụng tích phân phần hàm f (t ) = t (t ³ 0) liên tục và có bậc mũ, ta nhận L(t ) = Re( s ) ) ¥ ò -te -st te -stdt = s ¥ ¥ 1 + ò e -stdt L(1) = ( s s s Lấy tích phân phần hai lần trên, ta nhận L(t ) , Re( s ) s3 Lop12.net (3) Bằng quy nạp ta có L(t n ) n! s n 1 , Re( s ) Ví dụ Xét các hàm : e wt + e -wt cosh(wt ) = ( Hàm cosin hyperbolic ) e t e t sinh(t ) i t e e i t cos(t ) i t e e i t sin(t ) 2i (Hàm sin hyperbolic) Trước hết ta tính e ( s )t ( s ) + L(e ) e e dt e ( s )t dt lim t st t , Re( s ) s e ( i s ) t + L(e it ) e st e it dt e (i s )t dt lim i s 0 , Re( s ) s +Tương tự có : L(e t ) +Tương tự có : L(e it ) , Re( s ) s i , Re( s ) s i Theo tính chất tuyến tính biến đổi Laplace ta có : L (cosh(wt )) = éêL(e wt ) + L(e -wt )ùú û 2ë s 1æ 1 ö÷ ÷÷ = = çç + çès - w s + w ÷ø s - w Lcosh(t ) s s 2 Tương tự, ta tính Lsinh(t ) L(cos(t )) L(sin(t )) Lop12.net s 2 s s 2 s 2 (4) Ví dụ Cho f (t ) = a + a1t + + ant n là đa thức bậc n Khi đó, tính chất tuyến tính Laplace và ví dụ trên , ta nhận n n k 1 k 1 L f (t ) a k L(t k ) a k k! s k 1 2.3.2.Khai triển chuỗi lũy thừa hàm ảnh : Trong trường hợp tổng quát, ta không thể thu biến đổi Laplace chuỗi vô hạn việc lấy biến đổi số hạng chuỗi Ví dụ Xét chuỗi hàm ¥ (-1)n t 2n -t f (t ) = e = å , -¥ < t < ¥ n ! n =1 Lấy biến đổi Laplace số hạng chuỗi hàm, ta ¥ ¥ (-1)n (-1)n (2n )! 2n å n ! L t =å n ! s 2n +1 n =0 n =0 ( ) ¥ (2n ) (n + 2)(n + 1) = å (-1)n s n =0 s 2n Sử dụng tiêu chuẩn Dalembert, ta có u 2(2n + 1) lim n +1 = lim = ¥ n ®¥ u n ®¥ n s Do đó chuỗi phân kỳ với giá trị s ( ) là tồn vì e é0, ¥) êë Vậy nào thì ta có thể thu biến đổi Laplace chuỗi vô hạn việc lấy biến đổi số hạng chuỗi Tuy nhiên L e -t Định lý 2.3 Giả sử chuỗi hàm f (t ) = -t liên tục và bị chặn trên ¥ å ant n n =0 hội tụ với t ³ và K an an £ , n! với n đủ lớn và a > 0, K > Khi đó, ta có L ( f (t )) = ¥ ( ) åa å an L t n = ¥ n n! n +1 s Chứng minh Bởi vì f (t ) biểu diễn chuỗi hội tụ, nên nó là liên tục trên éêë0, ¥) Chúng ta chứng tỏ hiệu n =0 Lop12.net n =0 (5) N æ ö ç n÷ ÷ L ( f (t )) - å an L(t ) = L çç f (t ) - å ant ÷ ÷÷ø çè n =0 n =0 hội tụ tới N ® ¥ Ở đó N n Lx (h(t )) = ¥ òe -xt æ ö N çç n ÷ £ Lx ç f (t ) - å ant ÷÷÷ çè n =0 ø÷ h(t )dt, x = Re(s ) ¥ xn Thật vậy, từ giả thiết và vì e = å nên ta có n =0 n ! x N f (t ) - å ant n =0 n ¥ ¥ (at )n = å ant £ K å n =N +1 n ! n =N +1 n N æ (at )n ö÷÷ = K çççe at - å ÷÷ çè ø n =0 n ! ÷ Vì h £ g kéo theo Lx (h ) £ Lx (g ) biến đổi tồn tại, nên æ ö N N æ (at )n ö÷÷ çç ç n ÷ at ÷ Lx ç f (t ) - å ant ÷÷ £ K Lx ççe - å ÷÷ çè ÷ø çè ø n =0 n =0 n ! ÷ N æ an ÷÷ö ç = K çç -å ÷ çè x - a n =1 x n +1 ÷÷ø nö æ çç 1 N æç a ö÷ ÷÷ ÷ ÷ =Kç çç x - a x å ççè x ÷÷ø ÷÷ n =1 è ø÷ ® (Re(s ) = x > a) N ® ¥ Chúng ta đã sử dụng chuỗi hình học có tổng ¥ å zn = - z , z < n =0 Do đó N ¥ n! L ( f (t )) = lim å an L(t n ) = å an n +1 , (Re(s ) > a) N ®¥ s n =0 n =0 Lop12.net (6) Ví dụ Xét hàm ¥ sin t (-1)n t 2n f (t ) = =å t (2 n + 1)! n =0 Ta có 1 < , n = 0,1, (2n + 1)! (2n )! Do đó ta có thể áp dụng định lý 2.3 và nhận a2n = æ sin t ö÷ ÷= L çç çè t ÷÷ø ¥ å ( ) (-1)n L t 2n (2n + 1)! n =0 = å (-1)n + 1)s 2n +1 æ1ö = tan-1 çç ÷÷÷, s > çès ÷ø Ở đó, ta đã sử dụng kết tan ¥ -1 x= = n =0 (2n x x dt ¥ (-1) t ò + t = ò nå =0 ¥ n 2n +1 (-1) x 2n + n =0 å n 2n , x < 1 vì ta có thể tích phân số hạng chuỗi hàm s 2.3.3 Biến đổi Laplace ngược hàm phân thức hữu tỷ : với x = -Xét các hàm phân thức hữu tỷ có dạng F ( s) P( s) Q( s) Ở đó bậc Q(s) lớn bậc P(s) ,hệ số lũy thừa lớn Q(s) Ta viết Q(s) dạng tích các thừa số có dạng ( s a ) m và ( s ps q ) n với p 4q : Q( s ) ( s a ) m ( s ps q ) n Khi đó ta có : B s C1 Am B s Cn A2 B s C2 P( s ) A1 2 n m Q( s) s a ( s a) ( s a) ( s ps q ) n s ps q ( s ps q ) Các số Ak , Bk , C k tìm theo phương pháp hệ số bất định Do biến đổi Laplace có tính chất tuyến tính nên để đơn giản hóa ta có thể coi các hệ số Ak , Bk , C k Lop12.net (7) Xác định L1 F ( s) chuyển xác định hai loại biến đổi Laplace ngược sau F (s) s 1 và F ( s) m ( s a) ( s sp q ) n Các định lý biến đổi Định lý 2.4 (Định lý biến đổi thứ nhất) Nếu F ( s) L f (t ) với Re( s) thì F ( s a ) Le at f (t ) với số thực a và Re( s ) a (Công thức chuyển dịch) Chứng minh: với Re( s) ta có 0 F ( s a ) e ( s a )t f (t )dt e st e at f (t ) dt L e at f (t ) ,với Re( s ) a , a R Định lý 2.5.(Định lý biến đổi thứ hai) Nếu F ( s) L f (t ) với Re( s) thì Lu a (t ) f (t a ) e as F ( s ) với a 1, t a 0, t a Với u a (t ) là hàm bước nhảy đơn vị xác định L1 F ( s) m ( s a) n! L(t n ) n 1 , Re( s ) Ví dụ trên s +Với f (t ) t F ( s) L(t ) , Re(s) s -Loại thứ 1: F ( s) Sử dụng định lý biến đổi chuyển dịch , Re( s ) a ( s a) n! +Với f (t ) t n F ( s) L(t n ) n 1 , Re( s) s n! F ( s a ) L t n e at , Re( s ) a, n 0,1,2, ( s a ) n 1 F ( s a ) L te at +Tổng quát : L t n e at n! ( s a ) n 1 , Re( s) a, n 0,1,2, n at t e ,t L1 n 1 ( s a ) n! L1 m ( s a) t m 1e at , t (m 1)! Lop12.net (8) s 1 xác định L1 F ( s) n ( s sp q ) sa Chuyển hàm ảnh F (s) dạng F ( s) F (s) n ( s a) ( s a) -Loại thứ : F ( s) Ta có: s L1 2 s cosh(t ) sa L1 2 ( s a) e at cosh(t ) L1 sinh(t ) s L1 2 ( s a) e at sinh(t ) s L1 cos(t ) s sa L1 2 ( s a) e at cos(t ) L1 sin(t ) s L1 2 ( s a) e at sin(t ) -Ví dụ : L f (t ) F ( s) Cho F ( s) s Tìm f (t ) s 4s Cách : F (s) s s s2 2 s s ( s 2) ( s 2) ( s 2) s 1 L f (t ) L1 F ( s ) L1 2 ( s 2) ( s 2) 2t e 2t cosh( 3.t ) e sinh( 3.t ) Cách : 1 1 s s 2 3 F (s) s s ( s )( s ) s s 1 1 1 1 1 f (t ) L1 F ( s ) L L 3 s2 3 2 3 s2 3 2 1 11 ( 2 )t 1 11 ( 2 )t t e t e (1 1) (1 1) 2 2 1 t 2t 1 e e 3 3 2 2 2t e e e 2t e t e t t t t e t Lop12.net n (9) Ví dụ 10: 4s Tìm f (t ) L1 F ( s) s s 10 4s 4s s 1 F (s) 2 s s 10 ( s 2)( s s 5) s ( s 1) ( s 1) f (t ) L1 F ( s ) e 2t e t cos 2t e t sin 2t Cho F ( s) Ví dụ 11 : 2s Tìm f (t ) L1 F ( s) s 6s 2s 2s F (s) s ( s 3) s s ( s 3) Cho F ( s) f (t ) L1 F ( s ) 2e 3t 7te 3t Lop12.net (10) 3.Đạo hàm biến đổi Laplace: -Định lý 3.1 :Cho f là hàm liên tục khúc trên 0, có bậc mũ và L( f (t )) F ( s ) Khi đó : dn F ( s ) L((1) n t n f (t )) , với n 1,2,3, và s (3.1) n ds Chứng minh: d d F ( s ) e st f (t )dt e st f (t ) dt te st f (t )dt L tf (t ) ds ds s 0 Bởi vì với s ta có thể tìm số x0 cho s x0 , nên kết trên đảm bảo cho s Đạo hàm lặp lại liên tiếp cho ta công thức tổng quát +Với n ta có thể biểu diễn (3.1) sau : L(tf (t )) d L( f (t )) , t (3.2) ds d f (t ) L1 F ( s ) t ds (3.3) , với f (t ) L1 F ( s) , t -Ví dụ 12: d d s s2 Lt cos t Lcos t ds ds s ( s ) 2s Lt sin t s2 -Ví dụ 13 : Tìm f (t ) L1 ln sa sb Ta có d sa 1 ln ds s b s a s b d 1 bt at f (t ) L1 F ( s ) L1 e e t ds t sa sb t Lop12.net (11) 4.Tích phân biến đổi Laplace : -Định lý 4.1: Cho f là hàm liên tục khúc trên 0, có bậc mũ và L( f (t )) F ( s) Khi f (t ) đó, tồn lim thì t 0 t f (t ) ,s t F ( x)dx L s Chứng minh : Tích phân hai vế phương trình F ( x) e xt f (t )dt ta nhận F ( x)dx lim e s s xt f (t )dt dx Vì tích phân e xt f (t )dt hội tụ với s x , chúng ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân và nhận xt e xt F ( x ) dx lim e f ( t ) dx dt lim f (t ) s t 0s 0 e st dt s f (t ) f (t ) dt lim e t dt t t f (t ) L t f (t ) Sự tồn L đảm bảo giả thiết t -Ví dụ 14: dx sin t L tan 1 s, s 2 t s 1 x với f (t ) sin t , F ( x) L f (t ) 1 x2 Lop12.net (12) 5.Biến đổi Laplace đạo hàm: -Định lý 5.1 : Giả sử f là hàm liên tục trên 0, có bậc mũ và f ' liên tục khúc trên 0, Khi đó L f ' (t ) sL f (t ) f (0 ) , với Re(s ) (5.1) Chứng minh: Tích phân phần ta 0 L f ' (t ) e st f ' (t )dt lim e st f ' (t )dt lim e st f (t ) 0 s e st f (t )dt s s lim e f ( ) e f ( ) s e st f (t )dt 0 f (0 ) s e st f (t )dt với Re(s ) ( Trên đây ta đã sử dụng đánh giá với Re(s) thì e s f ( ) e x Me Me ( x ) 0, Cũng lưu ý f (0 ) là tồn vì f ' (0 ) lim f ' (t ) tồn tại.) t 0 Từ đó ta nhận điều phải chứng minh L f ' (t ) sL f (t ) f (0 ) Rõ ràng f liên tục t thì f (0 ) f (0) Khi đó công thức (5.1) trở thành L f ' (t ) sL f (t ) f (0) (5.1.1) -Lưu ý : f (0) thì công thức (5.1) trở thành f ' (t ) L1 sF ( s ) với F ( s ) L f (t ) (5.1.2) -Chú ý : Điểm đặc biệt định lý biến đổi Laplace đạo hàm là chúng ta thu L f ' (t ) mà không cần đòi hỏi f ' phải có bậc mũ -Ví dụ 15 : Tính Lsin t Xét hàm f (t ) sin t Ta có f ' (t ) 2 sin t cos t sin 2t Từ công thức (5.1.1) ta có L f ' (t ) sL f (t ) f (0) L sin 2t sL(sin t ) sin Suy Lsin t L sin 2t s -Tương tự ta có L(cos t ) 2 2 s s 4 s ( s 4 ) s 2 s ( s 4 ) Lop12.net (13) -Ví dụ 16 : Sử dụng công thức (5.1.2) f ' (t ) L1 sF ( s ) với F ( s ) L f (t ) ' s sinh at Tính L 2 cosh at s a a sinh at , L1 F ( s ) f (t ) F (s) 2 a s a 1 -Định lý 5.2 : Giả sử hàm f liên tục trên 0, trừ điểm gián đoạn nhảy t t1 và f có bậc mũ Nếu f ' liên tục khúc trên 0, thì L f ' (t ) sL f (t ) f (0) e st f (t1 ) f (t1 ) với Re(s ) (5.2) Chứng minh : Tích phân phần ta L f ' (t ) lim e st f ' (t )dt t1 lim e st f (t ) e st f (t ) s e st f (t )dt t1 lim e st1 f (t1 ) f (0) e s f ( ) e st1 f (t1 ) s e st f (t )dt Do đó L f ' (t ) sL f (t ) f (0) e st1 f (t1 ) f (t1 ) -Nếu hàm f có hữu hạn các điểm gián đoạn nhảy t t1 t n thì công thức trở thành n L f ' (t ) sL f (t ) f (0) e stk f (t1 ) f (t1 ) k 1 Lop12.net (5.3) (14) 6.Phụ lục : Bảng biến đổi Laplace các hàm Stt Hàm ảnh F (s) Hàm gốc f (t ) c1 F1 ( s ) c F2 ( s ) c1 f1 (t ) c f (t ) t f a a F ( s a) 10 11 F (as ), (a 0) e at f (t ) u a (t ) f (t a ) e as F ( s ), (a 0) sF ( s ) f (0 ) f ' (t ) f " (t ) s F ( s ) sf (0 ) f ' (0 ) s n F ( s ) s n 1 f (0 ) s n f ' (0 ) f ( n ) (t ) f ( n 1) (0 ) F (s) s t f ( )d F (s) tf (t ) F ( n) (s) (1) n t n f (t ) f (t ) t ' F ( x)dx s 12 F ( s )G ( s ) t f ( ) g (t )d lim f (t ) f (0 ) 13 lim sF ( s ) 14 lim sF ( s ) lim f (t ) 15 16 (t ) 17 s t 0 t s0 s s2 18 , (n 1,2,3 ) sn 19 , ( 0) s t n 1 t (n 1)! t 1 ( ) 20 Lop12.net (15) Lop12.net (16) Lop12.net (17) Lop12.net (18)