6 Các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu 2 tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP (Trọng tâm) Năm học 2012 – 2013 Chủ đề 1: I Kiến thức: C¨n thøc – rót gän biÓu thøc Kiến thức bản: §iÒu kiÖn tån t¹i : √ A Cã nghÜa ⇔ A ≥0 2 Hằng đẳng thức: √ A =|A| ( A ≥ 0; B ≥ 0) Liên hệ phép nhân và phép khai phương: √ A B= √ A √ B A √A Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B>0) = B √B §a thõa sè ngoµi c¨n: (B≥ 0) √ A B=| A|√ B §a thõa sè vµo c¨n: ; ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A B A √ B=− √ A B ( A<0 ; B ≥0) A A.B B B Khử mẫu biểu thức lấy căn: (A.B 0 và B 0) √ A √A.B = B √B Trục thức mẫu ( TH: 1,2): ( B>0) C A B C A B (A 0 và A A B ; B2 ) Trôc c¨n thøc ë mÉu (trường hợp 3,4): Bài tập: C( √ A ∓ √ B) C = A−B √ A ± √B ( A 0; B 0; A B) Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: −5 1) √ −2 x+3 2) 3) 4) x +3 x x +6 −3 5) √ x + 6) √ 1+ x 7) 8) −2 x x +5 √ √ √ Rút gọn biểu thức A 2 2 *Ví dụ: 1)Tính giá trị biểu thức: 1) √ 12+5 √ − √ 48 2) √ 5+ √20 −3 √ 45 4) √ 12 − √ 27+5 √ 48 5) √ 12+ √75 − √27 1 + √ −2 √5+2 13) √ 28− √ 14+ √¿ ¿ ¿ 15) √ − √ ¿ − √ 120 ¿ 1− √ 2¿ ¿ 17) √ 2+3 ¿ ¿ ¿ √¿ 10) 11) 2 2 − −3 √ 4+3 √ 14) 12) 18) 6) x − 3¿ ¿ ¿ √¿ (Áp dụng trục thức mẫu) 3) √ 32+ √ −5 √18 6) √ 18 −7 √ 2+ √ 162 1 − 9) √ −1 √5+1 2+ √ 1+ √ √ 14 −3 √ 2¿ 2+ √ 28 √ 3− 2¿ Giải phương trình: 1) √ x −1= √5 2) √ x −5=3 5) √ x − √ 12=0 √ 8) ( √ 2+ 2) √ 2− √ 7) √ 20 − √ 45+ √ ¿ 16) √ −3 √ ¿ +2 √ 6+ √ 24 ¿ ¿ 3− √ 1¿ ¿ ¿ √¿ 3) √ 9(x − 1)=21 7) √ √ x +4 x +1=6 4) √ x − √ 50=0 x −1 ¿2 ¿ 8) ¿ √¿ (2) 9) √ x 2=6 II các bài tập rút gọn: 1− x ¿ ¿ 10) 4¿ √¿ 11) 11) √3 x+1=2 12) √3 3− x=−2 A.c¸c bíc thùc hiªn: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m tập xác định cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn) Rót gän B.Bµi tËp luyÖn tËp: x 2x x x x x Bài Cho biểu thức : A = 1) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 (1 x x x x )(1 ) x 1 x1 Bµi 2: Cho biểu thức A = a) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa Rút gọn A b) Tìm x để A = - Bµi 3: Cho biÓu thøc : P = √ x+1 + √ x + 2+5 √ x √ x − √ x+ − x a; T×m điều kiện để biểu thức P có nghĩa vµ rót gän P c; Tìm x để P = 1 a+1 √ a+2 Bµi 4: Cho biÓu thøc: Q=( − ¿ :( √ − ) √ a − √ a √ a − √ a −1 a; T×m điều kiện để biểu thức Q có nghĩa råi rót gän Q b; Tìm a để Q dơng c; TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- √ Chủ đề 2: hµm sè - hµm sè bËc nhÊt I Hàm số: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số x và x đợc gọi là biến số * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng II Hàm số bậc nhất: Kiến thức bản: §Þnh nghÜa: Hàm số bậc là hàm số có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các số cho trước ( a ≠ ) Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc là: a ≠ VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x – (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) là hàm số bậc Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ −m≠ ⇔ ⇔m≠ TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R + §ång biÕn a> NghÞch biÕn a< VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (2) Tìm các giá trị m để hàm số (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ −m>0 ⇔0 ⇔ m< + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ −m<0 ⇔0 ⇔ m> §å thÞ: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b (3) b a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ: - cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc đồ thị trờn b b ;0 - Cho y = x = a ta điểm Q a thuộc đồ thị trên Hoặc lập bảng biến thiên sau: x -b/a y b Vẽ đờng thẳng qua hai điểm: -b/a ( trục hoành) và b ( trục tung) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Gi¶i: cắt trục hoành điểm có hoành độ − x y - 0,5 Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a≠ a , */ Để hai đờng thẳng cắt trên trục tung thì cần thêm điều kiện ' b=b */ Để hai đờng thẳng vuông góc với thì : a a' =−1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' + Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trên trục tung Gi¶i: ¿ −m=2 ≠ −m ⇔ a/ (d1)//(d2) ⇔ ¿ m=1 m ≠− ⇔ {m=1 ¿{ ¿ b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ −m≠ ⇔m ≠1 c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung ⇔ −m=2 ⇔ m=−2 Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b là a + Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tg α=a Trờng hợp: a > thì góc tạo đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn tan a Trờng hợp: a < thì góc tạo đờng thẳng với trục Ox là góc tù Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox Gi¶i: 0 Ta cã: Tan 2 Tg 63 63 Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox là: α =630 Ví dụ 2: Tính góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox 0 0 Ta cã: Tan(180 ) 2 Tan63 (180 ) 63 117 Vậy góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox là: α =117 Các dạng bài tập đường thẳng: tan(1800 ) a (4) Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Ph¬ng ph¸p: Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b ; (d2): y = a’x + b’ Phơng pháp: Đặt ax + b = a’x + b’ giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính đợc giá trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Tính chu vi diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng các cạnh -Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trỡnh đờng thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đờng thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi thì d1 luôn qua 1điểm cố định b) C/m r»ng d1 //d3 th× d1 vu«ng gãc d2 c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Gi¶i: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = víi mäi m ; §iÒu nµy chØ x¶y : x0+ =0 x0+y0+5 = suy : x0 =-1 y0 = - Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta t×m giao ®iÓm B cña (d2) vµ (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 = +1 =2 VËy B (1;2) Để đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = vµ m = -2 Vậy với m = m = - thì đờng thẳng trên đồng qui Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ¿ và y = (2 - m)x + ; (m≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = −1 x và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 (5) Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m (d2) : y = (3m2 +1) x + (m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số y = (m-2)x + m - 1 a) Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 4,tìm trên đồ thị vừa vẽ điểm có hoành độ b) Với giá trị nào m thì hàm số trên đồng biến trên R c) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho và đồ thị các hàm số y = 2x +1 và y = -x +4 là ba đường thẳng đồng quy Chủ đề 4: h×nh häc I Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A và đường cao AH.(hình 1) Hệ thức cạnh và đờng cao: + b2=a b , ; c 2=a c , Từ hệ thức + a2=b2 +c + h2=b, c , + a=b, +c , + a h=b c 1 b2 b , c c , 2 = ,.; 2= , 2 b c + h Từ hệ thức + c c b b HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: Tû sè lîng gi¸c: D K D K Sin ; Cos ; tan ; Cot H H K D D là cạnh đối, K là cạnh kề, H là cạnh huyền TÝnh chÊt cña tû sè lîng gi¸c: Tan Cot Sin α=Cos β α + β=90 Cot Tan Cos α =Sin β 1/ NÕu Th×: 2/ Víi α nhọn thì < sin α < 1, < cos α < *sin2 α + cos2 = *tan α = sin α /cos α *cotg α = cos α /sin α *tan α cot α =1 HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Sin góc đối: b=a SinB ; c=a SinC + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n Cos gãc kÒ: b=a CosC.; c =a CosB + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tangóc đối: b c.TanB.; c b.tan C + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng nh©n Cot gãc kÒ: b c.CotC.; c b.CotB Bµi TËp ¸p dông: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC? Bài4: Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3: đường cao ứng với cạnh huyền là 9,6 Tính độ dài hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền II Đường tròn: (6) .Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc đờng tròn cần biết: + T©m vµ b¸n kÝnh,hoÆc: + Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm đờng kính; bán kính 1/2 đờng kính) , hoặc: + Đờng tròn đó qua điểm ( Khi đó tâm là giao điểm hai đờng trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó) Tính chất đối xứng: + Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm đờng tròn + Bất kì đờng kính vào là trục đối xứng đờng tròn C¸c mèi quan hÖ: Quan hệ đờng kính và dây: +Trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung hai phần + Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây đó Quan hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây ⇔ Chúng cách tâm + D©y lín h¬n ⇔ D©y gÇn t©m h¬n Vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng tròn: + Đờng thẳng không cắt đờng tròn (khụng giao nhau) ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là bán kính đờng tròn) + Đờng thẳng cắt đờng tròn ⇔ Có điểm chung ⇔ d < R + Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (gọi là tiếp tuyến đường trũn) ⇔ Có điểm chung ⇔ d = R Tiếp tuyến đờng tròn: Định nghĩa: Tiếp tuyến đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó Tính chất: Tiếp tuyến đờng tròn thì vuông góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vuông góc đầu mút bán kính đờng tròn là tiếp tuyến đờng tròn đó 6) Các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: - Điểm đó cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm đường tròn qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua hai tiếp điểm Bµi TËp tæng hîp: Bµi Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B và C cắt d theo thứ tự D và E a) Tính góc DOE b) Chứng minh : DE = BD + CE c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn (O) ) d) Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn ( B , C là tiÕp ®iÓm ) a/ Chøng minh: OA BC b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO c/Tính độ dài các cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm? Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax vaø By taïi C vaø D a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900 b) Chứng minh: AC.BD = R2 c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, biết BC = 5cm, AB = 2AC, a) Tính AC AH Từ C kẻ Cx //AH Gọi giao điểm b) Từ A hạ đường cao AH, trên AH lấy điểm I cho AI = BI với Cx là D Tính diện tích tứ giác AHCD c) Vẽ hai đường tròn (B, BA) và (C, CA) Gọi giao điểm khác A hai đường tròn là E Chứng minh CE là tiếp tuyến đường tròn (B) …………………………… Hết ……………………………… Chúc các em ôn tập thật tốt, tận dụng thời gian để học tập, thi học kỳ I đạt kết cao Giá in: 3000(VNĐ) (7)