(Sáng kiến kinh nghiệm) sử dụng bất đẳng thức cô si trong giải toán THCS

Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa Tr-ờng THCS Thái Thịnh -***** - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI TRONG GIẢI TỐN THCS MƠN TỐN Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Giáo viên mơn Tốn Năm học 2013 - 2014 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS MỤC LỤC A – MỞ ĐẦU Trang I.Lý chọn đề tài II Nhiệm vụ, mục đích đề tài III Phạm vi đề tài IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành B – NỘI DUNG Những quy tắc chung Bất đẳng thức Cô-si Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo 12 3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi 15 3.4 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 21 3.5 Kỹ thuật nhân thêm số 24 3.6 Kỹ thuật ghép đối xứng 30 3.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số 33 3.8 Kỹ thuật đổi biến số 35 Một số ứng dụng khác bất đẳng thức Cô-si 38 4.1 Áp dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình 38 4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si để chứng minh bđt tìm cực trị hình học 42 Kết đề tài 55 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS MỞ ĐẦU  I Lý chọn đề tài Toán học nói chung tốn học phổ thơng nói riêng giúp người học, người nghiên cứu có kiến thức, tư logic khả suy luận Đối với học sinh trung học sở, toán học hình thành cho em kiến thức sở ban đầu, kiến thức toán học đại Qua học, vấn đề toán với cách thức suy luận giúp em hình thành tư tốn học Tốn học sơ cấp có lẽ mảng tốn học địi hỏi trí thơng minh, óc tư linh hoạt người học, bất đẳng thức vấn đề hay khó Từ lớp trung học sở, học sinh giới thiệu cách bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức Và hầu hết người học bất đẳng thức, biết bất đẳng thức kinh điển, tiếng: bất đẳng thức Cô-si Nhưng thực tế chung học sinh phổ thông việc vận dụng bất đẳng thức Cơ si vào giải tốn gặp nhiều khó khăn Khó khăn cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si Khó khăn thứ hai khơng biết bất đẳng thức Cơ - si ứng dụng vào việc giải dạng tốn nào? Chính vậy, để giúp em học sinh khắc phục phần khó khăn trên, tơi viết đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn trung học sở" II Nhiệm vụ, mục đích đề tài Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS" giới thiệu đến với học sinh bất đẳng thức Cô - si; kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si giải toán THCS Đề tài viết theo cách thức lý thuyết kèm với ví dụ minh họa Bên cạnh việc cung cấp, tổng kết cách sử dụng bất đẳng thức Cơ - si, đề tài cịn Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS giới thiệu toán minh họa, đặc biệt toán học sinh thường gặp bất đẳng thức, cực trị đại số, cực trị hình học III Phạm vi đề tài Với học sinh trung học sở, lớp em giới thiệu tiếp cận với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp có kiến thức bất đẳng thức Cô-si; cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải tốn trung học sở, từ giúp cho em phát triển tư bất đẳng thức, đặt móng cho cấp độ lớn sau IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Đề tài tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Cô-si Trên sở kiến thức dạng bất đẳng thức, tổng kết kỹ thuật thường dùng; giới thiệu số ứng dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn trung học sở Phương pháp chủ yếu đề tài phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh khơng trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cơ Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trị biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS Chiều BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Trên quy tắc giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh thực hiểu quy tắc qua ví dụ bình luận phần sau Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải tốn THCS BẤT ĐẲNG THỨC CƠ - SI (CAUCHY) Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 …… xn ≥ ta có: • Dạng 1: x1 + x2 + xn  n n x1 x2 xn • Dạng 2: x1 + x2 + xn  n n x1 x2 xn • Dạng 3:  x1 + x2 + xn    n    x1 x2 xn n Dấu “ = ” xảy khi: x1 = x2 = = xn Hệ 1: Nếu: x1 + x2 + + xn = S = const thì: Max ( P = x1x2 xn ) x1 = x2 = = xn = S =  n n S n Hệ 2: ( ) Nếu: x1x2 xn = P = const thì: Min S = x1 + x2 + x2 = nn P x1 = x2 = = xn = n P Dạng cụ thể ( số, số ): n = 2:  x, y ≥ đó: n = 3:  x, y, z ≥ đó: 2.1 x+ y  xy x+ y+ z  xyz 2.2 x + y  xy x + y + z  3 xyz 2.3  x+ y    xy    x+ y+ z     xyz   2.4 ( x + y )  xy ( x + y + z )  27 xyz 2.5 1 +  x y x+ y 1 + +  x y z x+ y+z Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS 4   xyz ( x + y + z )3 xy ( x + y ) 2.6 Bình luận: • Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN) • Dạng dạng đặt cạnh tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khơng có thức Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Chứng minh rằng: ( a2 + b2 )(b2 + c2 )( c2 + a2 )  8a2b2c2 a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng:  x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a + b  2ab  2 b + c  2bc c + a  2ca   ( a2 + b2 )(b2 + c2 )( c2 + a2 )  8a2b2c2 a, b, c (Sai)   −2  Ví dụ: 3  −5 4    24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ x y = 2|xy| ta có: a + b  ab    2 b + c  bc    2 c + a  ca  (a + b2 )(b2 + c2 )( c2 + a2 )  8| a2b2c2 | = 8a2b2c2 a, b, c (Đúng ) Bình luận: • Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế khơng âm • Cần ý rằng: x2 + y2 ≥ x y = 2|xy| x, y khơng biết âm hay dương • Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơ Si tốn nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cô Si Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội • Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải toán THCS Trong toán dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số, cặp số Bài : Chứng minh rằng: ( ) a + b  64ab(a + b)2  a,b ≥ Giải ( a+ b ) (  =  ) a + b  = ( a + b ) + ab    2 ( a + b ) ab  = 24.22.ab.( a + b ) =   CôSi = 64ab(a + b)2 Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 1.a.b 3.3 a.b.ab = 9ab Bình luận: • = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, cặp Mỗi biến a, b xuất ba lần, sử dụng Cô Si cho ba số khử thức cho biến Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ Giải Cơsi Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3  33 33 a3b3 = 9ab2 Bình luận: • 9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để áp dụng BĐT Cơ-si ta có b2 Khi có định hướng việc tách hệ số khơng có khó khăn Bài 5: a, b, c, d  Cho:  1 1 1 + a + + b + + c + + d   CMR : abcd  81 Giải Từ giả thiết suy ra: Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 10 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS R 2 OH = R.cos450= Bài Cho (O) đường kính AB; tia đối tia AB lấy điểm C, vẽ đường thẳng d vng góc với AB C; lấy điểm M đường tròn, tia BM cắt d D, tia DA cắt (O) điểm thứ hai E a) Chứng minh tứ giác ACDM tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: BM.BD = BA BC c) Chứng minh MA phân giác ·CME d) Giả sử CA = 4cm; AB = 9cm Tìm vị trí điểm M (O) để khoảng cách hai điểm D E nhỏ Giải câu d d D M C A O B E Chứng minh AE AD = AC.AB = 4.9 = 36 áp dụng BĐT Cơ si cho AE AD ta có: AE + AD  AE AD  AE + AD  36  AE + AD  12  AE = AD  ( AE + AD) = 12    AE = AD = 6cm  AE AD = 36 Từ điều có nhiều cách xác định vị trí M, chẳng hạn: Tính DC = 20 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 46 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS DC 20 · ·  tgCBD = =  CBD = 18 o59 ' CB 13 Vậy M giao điểm tia BD với (O) cho ·CBD = 18 o59 ' Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Hai đường chéo AC BD cắt I Chứng minh : AB CD BC AD IA IC IB ID + + +  + + + CD AB AD BC IC IA ID IB Giải Dễ thấy  ABI ∽  DCI (g.g) C B  AB AI BI AB = =  = CD DI CI CD AI BI (1) DI CI I Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: AI BI AI BI  ( + ) DI CI CI ID Dấu (2) xảy  Từ (1) (2)  (2) A D IA IB = IC ID AB IA IB  ( + ) CD IC ID (3) Hoàn toàn tương tự, ta có: CD IC ID  ( + ) AB IA IB (4) BC AD AD IA ID  ( + ) BC IC IB  IB IC ( + ) ID IA (5) (6) Dấu (4), (5), (6) xảy tương ứng IC ID IB IC IA = , = , = IA IB ID IA IC ID IB Cộng vế (3),(4), (5), (6) ta điều phải chứng minh Dấu xảy IA = IB = IC = ID  ABCD hình chữ nhật Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 47 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS Bình luận:: Trong tốn trên, dấu bất đẳng thức cần chứng minh , hai vế bất đẳng thức dạng tổng hạng tử Chìa khố để giải tốn việc chuyển đổi hạng tử vế trái thành dạng bậc hai tích ( AB = CD AI.BI , …), từ áp dụng bất đẳng DI CI thức Cơ-si chứng minh hạng tử vế trái  nửa tổng hai hạng tử vế phải Vì vậy, việc linh hoạt biến đổi tốn để áp dụng bất đẳng thức Cô-si trường hợp cụ thể cần thiết, đòi hỏi người làm tốn tư duy, tìm tịi sáng tạo Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ ba chiều cao AA 1, BB1, CC1; ba trung tuyến AA2, BB2, CC2 Giả sử AA2  BB1=P, BB2  CC1=Q, CC2  AA1=R AP BQ CR + + 6 PA2 QB2 RC2 Chứng minh rằng: Chứng minh: Áp dụng định lý Me-ne-la-uyt tam giác A AA2C với đường thẳng BRB1, ta có: AP PA2 A2B BC B1 C1 C2 P Q R CB1 = B1A Suy ra: B1C A2B B2 B AP PA2 = BC A 2B A1 A2 C (1) Do AA2 trung tuyến nên BC = 2.A2B, BB1 ⊥ AC nên AB1 BB1 CotA tan C = = B1C BB1 CotC t anA Vậy từ (1)  AP tan C =2 PA t anA Hoàn toàn tương tự, ta có: Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 48 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS BQ tan A CR tan B =2 ; =2 QB2 t anB RC2 t anC Từ đó: AP BQ CR  tan A tan B tan C  + + = 2 + +  PA2 QB2 RC2  t anB t anC t anA  Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơ-si, thì: tan A tan B tan C tan A tan B tan C + +  33 t anB t anC t anA t anB t anC t anA tan A tan B tan C + + 3 t anB t anC t anA AP BQ CR + + PA2 QB2 RC2 Vậy:  Dấu xảy tan A tan B tan C = = tức tam giác ABC t anB t anC t anA Bài 5: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C, D Xác định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Giải Ta có: SMCD = MC.MD y   Đặt : MA = a, MB = b, AMC = BDM = α Khi MC = Nên: α D C a b , MD = cosα sina ab SMCD = sinαcosα Do a, b số nên SMCD nhỏ x F α  A a M b B 2sinαcosα lớn Theo bất đẳng thức Cô-si: 2sinαcosα  sin2α + cos2α = Nên SMCD  ab Dấu xảy sinα = cosα  α = 450 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 49 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS Như Min SMCD = ab Điểm C, D xác định thứ tự tia Ax, By cho AC = AM, BD = BM Bình luận: Điểm sáng tạo cách giải ta chọn biến tỉ số lượng giác sinα, cosα Giữa sinα, cosα , sin2α + cos2α có liên hệ BĐT Cơ-si: x2 + y2  2xy Bài 6: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D, E Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn Giải: Cách : A Ta thấy SADME lớn  SADME lớn SABC D K Kẻ BK ⊥ AC, cắt MD H SADME = MD.HK, SABC = AC.BK MD HK Suy ra: SADME = AC BK SABC E H B x M y C Đặt MB = x, MC = y, ta có: MD BM x HK MC y = = , = = AC BC x+y BK BC x+y Do : SADME 2xy = SABC (x+y)2 (*) Theo bất dẳng thức Cô-si: x + y  xy  (x + y)2  4xy  2xy  (x+y) (**) Từ (*) (**), ta được: SADME  Dấu xảy x = y SABC Như max SADME = SABC, M trung điểm BC Cách 2: Ký hiệu SABC = S, SDBM = S1, SEMC = S2 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 50 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS Rõ ràng SADME lớn  S1 + S2 nhỏ  S1+S2 nhỏ S Vì tam giác DBM EMC đồng dạng với tam giác ABC nên: S1 BM S2 MC = ( ), =( ) S BC S BC Suy ra: S1+S2 BM2+MC2 x2+y2 1 = = Như S1 + S2  S nên SADME  2  S BC (x+y) 2 S Xảy dấu  x = y Kết luận: max SADME = S , M trung điểm BC ABC Bình luận: Ở cách 1, ta xét biểu thức trung gian, tỉ số diện tích hình bình hành ADME diện tích tam giác ABC, bất đẳng thức Cơ-si dạng xy Còn cách 2, ta xét biểu thức trung gian tỉ số tổng  (x+y) diện tích tam giác DBM, EMC diện tích tam giác ABC, lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng x2+y2 Qua cho thấy, toán,  (x+y) với cách khai thác khác việc vận dụng bất đẳng thức Cơ-si dạng khác Vấn đề đòi hỏi người làm toán khả vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt mục đích cụ thể Dưới hai toán, toán cực trị hình học ta lại vận dụng bất đẳng thức Cơ-si khía cạnh khác Với hai số dương x, y có tổng x + y khơng đổi, tích xy đạt giá trị lớn x = y Ngược lại tích xy khơng đổi tổng x + y đạt giá trị nhỏ x = y Bài 7: Cho tam giác ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình gì? Giải Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 51 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS Ta có: 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK B Ta thấy tổng (BH+KC) + HK không đổi (bằng H BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn BH+KC = HK = Do đó: max SDEKH = a M K D a a a2 = 2 Khi hình thang DEKH có đường cao HK= a C A E kẻ AM ⊥ BC tam giác ABC vuông cân A nên MB = MC = = HM = a a , nên HB a a a Vậy KC = BC - BH - HK = a - - = 4 Khi DH = HB = a a , EK = KC = Hình thang DEKH hình chữ nhật, E 4 trung điểm AC Bài 8: Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA, CB tam giác theo thứ tự M N Đường thẳng vị trí tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất? Giải Gọi S diện tích  CMN, ta có : S = SOCM + SOCN = Do đó: A (CM + CN).r S = (CM + CN) r M (1) Theo bất đẳng thức Cô-si: (CM + CN)  CM.CN Mặt khác: CM.CN  2S O r r (2) (3) C B N Hình Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 52 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS S Kết hợp (1), (2), (3) suy ra: = (CM + CN) CM.CN 2S r hay S 2S.r  S2  2S.r2  S  2r2 Vậy S nhỏ bẳng 2r2 CM = CN Tam giác CMN cân đỉnh C có CO phân giác nên CO ⊥ MN Kết luận: Đường thẳng MN ⊥ CO O  CMN có diện tích nhỏ Bình luận: Có thể diễn đạt kết toán dạng sau: Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Tam giác CMN có diện tích nhỏ CO đường cao tam giác Cách khác: Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Tam giác CMN có diện tích nhỏ CO trung tuyến tam giác Ta cịn có kết mạnh cách bỏ điều kiện O thuộc tia phân giác góc C: Cho điểm O nằm góc C, đường thẳng qua O cắt hai cạnh góc C M N Tam giác CMN có diện tích nhỏ CO trung tuyến tam giác Dưói hai cách giải toán này: Cách : Xét  CMN nhận CO trung tuyến  CDE có DE qua O OD < OE (như hình vẽ 7.1) Lấy I đoạn OE cho OI = OD Ta có:  ODM =  OIN (c.g.c) M => SODM = SOIN  SCMN < SCDE D Cách 2: Qua O kẻ đường thẳng song O song với cạnh góc C, tạo thành hình bình hành OHCK (như hình vẽ 7.2) I C N E Theo kết Bài 6, ta có: Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 53 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS SOHCK  SCMN M  SCMN  2SOHCK H Do góc C điểm O cố định nên O SOHCK khơng đổi Vì SCMN = 2SOHCK, O C K N trung điểm MN Để dựng điểm M, ta cần lấy M cho H trung điểm CM Bài 9: Cho  ABC, O điểm tuỳ ý tam giác AO, BO, CO kéo dài cắt cạnh đối diện thứ tự M, N, P Chứng minh : AO BO CO + + 6 OM ON OP Giải Theo định lý Xe-va, ta có : A MO NO PO + + =1 MA NB PC (1) Áp dụng kết toán gốc với trường hợp riêng thứ 2, ta có : ( N MA NB PO MO NO PO + + )( + + )9 MO NO PC MA NB PC Kết hợp (1) (2) suy :  MA NB PO + + 9 MO NO PC B O M C MO+AO NO+BO OP+CO + + 9 MO NO OP 1+ AO BO CO AO BO CO +1+ + 1+   + + 6 MO NO OP MO NO OP Dấu xảy Nên P (2) MO NO PO MO NO PO = = , mà + + =1 MA NB PC MA NB PC MO NO PO = = =  M trọng tâm  ABC MA NB PC Bài 10 : Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O) Ba chiều cao AA’, BB’, CC’ thứ tự cắt (O) A1, B1, C1 Chứng minh AA’ BB’ CC’ + +  AA1 BB1 CC1 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 54 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS Giải Gọi H trực tâm  ABC Dễ thấy A’H = A A’A1, B’H = B’B1, C’H = C’C1 B1 Theo tốn gốc, ta có : B' AA’ BB’ CC’ AA1 BB1 CC1 ( + + ).( + + )9 AA1 BB1 CC1 AA’ BB’ CC’ C1 C' H B (*) Xét AA1 BB1 CC1 A’H B’H + + =3+ + + AA’ BB’ CC’ AA’ BB’ A' C A1 C’H CC’ Mặt khác, theo định lí Xê-va : Nên: Khi đó, (*)  A’H B’H C’H + + =1 AA’ BB’ CC’ AA1 BB1 CC1 + + =3+1=4 AA’ BB’ CC’ AA’ BB’ CC’ + +  AA1 BB1 CC1 Dấu xảy    AA1 BB1 CC1 A’A1 B’B1 C’C1 = =  1+ = 1+ = 1+ AA’ BB’ CC’ AA’ BB’ CC’ A’H B’H C’H = =  H trọng tâm  ABC AA’ BB’ CC’  ABC tam giác Bài 11 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Ba trung tuyến AA’, BB’, CC’ cắt (O) A1, B1, C1 Chứng minh : AA’ BB’ CC’ + +  AA1 BB1 CC1 (*) Giải Đặt AB = c, AC = b, BC = a Vì tứ giác ABA1C nội tiếp (O), AA1 cắt a2 BC A’ nên: AA’.A’A1 = A’B.A’C = => AA’.AA1 = AA’.(AA’ + A’A1) Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 55 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS a2 2 = AA’ + AA’.A’A1 = AA’ + A Mà AA’ trung tuyến  ABC nên: AA’2 = b2+c2 a2 AA’.AA1 = Suy ra: b2+c2 A' B C A1 Ta có: AA’ AA’2 2b2+2c2-a2 a2 = = =1- 2 AA1 AA’.AA1 b2+c2 b +c (1) Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: BB’ b2 =1- 2 BB1 a +c (2) CC’ c2 =1- 2 CC1 a +b (3) Kết hợp (1), (2), (3) : a2 b2 c2 (*)  - ( 2 + 2 + 2 )  b +c a +c a +b  a2 b2 c2 + + 2 2 2  b +c a +c a +b  1+ a2 b2 c2 + + + + 2 2 2  b +c a +c a +b  (a2 + b2 + c2) ( 1 ) 2+ 2+ b +c a +c a +b2  [ (b2 + c2)+(a2+ c2) + (a2 + b2)].( 1 )  (**) 2+ 2+ b +c a +c a +b2 Rõ ràng (**) với tốn gốc nêu Do (*) Dấu (*) xảy a = b = c, tức  ABC Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 56 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS Bài 12: Cho tam giác ABC Vẽ ba phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi a 1, b1, c1 tương ứng khoảng cách từ A’ đến AB, B’ đến BC, C’ đến CA Gọi h a, hb, hc tương ứng ba chiều cao tam giác kẻ từ A, B, C Chứng minh rằng: a1 b1 c1 + +  hb hc Giải Kẻ AH ⊥ BC A’K ⊥ AB A Theo đó, AH = ha, A’K = a1 Trong  ABA’ có : BA’.ha = AB.a1 = c.a1 Suy ra: BA’ a1 = c (1) Mặt khác, AA’ phân giác  ABC, nên : K B H A' C BA’ c BA’ c =  = A’C b BA’+A’C b+c  BA’ = ac b+c (2) Thay (2) vào (1) ta được: a1 a = b+c (3) Hoàn toàn tương tự, ta có: b1 b = hb c+a (4) c1 c = hc a+b (5) Cộng (3), (4), (5), ta được: a1 b1 c1 a b c + + = + +  hb hc b+c c+a a+b Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 57 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI  Trong trình dạy học, việc sử dụng đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS" mang lại số kết sau: - Học sinh hứng thú, khơng cịn sợ bất đẳng thức lúc tiếp cận - Học sinh bước đầu vận dụng bất đẳng thức Cô - si vào giải dạng toán đơn giản như: chứng minh bất đẳng thức đơn giản; tìm cực trị đại số - Học sinh có kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơ-si mắc sai lầm vận dụng - Học sinh giỏi vận dụng tốt bất đẳng thức Cô-si kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn, thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 58 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS KẾT LUẬN  Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS" bước đầu đạt số mục đích người viết: giới thiệu số kỹ thuật sử dụng ứng dụng bất đẳng thức Cơ-si giải tốn THCS Chúng ta biết vai trò quan trọng bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ-si tốn học Vai trị với học sinh giỏi toán, học sinh chuyên toán lại quan trọng Nó giúp học sinh có kiến thức bất đẳng thức, từ em phát triển thêm tư chứng minh, sử dụng bất đẳng thức việc giải dạng toán từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên với góc nhìn cá nhân, đề tài khó tránh khỏi sai sót Đặc biệt kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si chưa đầy đủ, hệ thống tập chưa phong phú hay Người viết mong muốn nhận ý kiến đóng góp để đề tài hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp vui lịng liên hệ: Nguyễn Cao Cường Trường THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội Địa chỉ: 131 A - Phố Thái Thịnh – Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội Email: nguyencaocuong.hanoi@gmail.com Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 59 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO  Hà Văn Chương - 838 toán bât đẳng thức – NXB ĐHQG TPHCM Nguyễn Đức Tấn – Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (THCS) – NXB Giáo dục Trần Phương - Các phương pháp chứng minh BĐT - NXB TPHCM Trần Phương – Những sai lầm thường gặp giải toán Nguyễn Vũ Thanh – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS : Đại Số - NXB Giáo dục Phạm Quốc Phong – Nâng cao đại số - NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu -Giải phương trình vơ tỉ phương pháp khơng mẫu mực – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội 60 ... Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS" giới thiệu đến với học sinh bất đẳng thức Cô - si; kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô- si việc sử dụng bất đẳng thức Cơ -si giải tốn THCS Đề... với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp có kiến thức bất đẳng thức Cô- si; ... điển, tiếng: bất đẳng thức Cô- si Nhưng thực tế chung học sinh phổ thông việc vận dụng bất đẳng thức Cô si vào giải tốn gặp nhiều khó khăn Khó khăn cách sử dụng bất đẳng thức Cơ - si Khó khăn thứ