SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt

SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt

Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT I ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức phần hay khó mơn Tốn thường xuất kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, chọn, học sinh giỏi cấp Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng quan trọng, giúp cho có cảm nhận sâu sắc hay, đẹp Toán học Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tơi nhận thấy học sinh bị động, gặp nhiều khó khăn lúng túng gặp tốn bất đẳng thức Có lẽ phần em chưa tiếp xúc trang bị kỹ thuật giúp em có nhìn sâu sắc bất đẳng thức, từ xây dựng cho phương án tiếp cận tốn Hiện có nhiều bất đẳng thức có lẽ bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức tiếng quan trọng Bất đẳng thức có nhiều kỹ thuật áp dụng , áp dụng rộng rãi vào giải nhiều dạng tốn nói chung bất đẳng thức nói riêng Kỹ thuật hay sử dụng cân hệ số Sử dụng kỹ thuật giúp giải nhiều toán cách thật tự nhiên nhanh gọn Trong trình giảng dạy nghiên cứu tơi hệ thống, tích lũy số tốn cách sử dụng kỹ thuật Với mong muốn trao đổi với đồng nghiệp trang bị thêm cho em học sinh, đặc biệt em giỏi phương pháp mạnh việc chứng minh bất đẳng thưc Vì tơi mạnh dạn chọn đề tài: “Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức” Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận a) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số: Cho số không âm a, b Ta có a  b �2 ab Dấu đẳng thức xảy a  b b) Bất đẳng thức Cô-si cho ba số: Cho số không âm a, b, c Ta có a  b  c �3 abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c c) Tổng quát: Cho n số không âm a1 , a2 , , an Ta có BĐT: a1  a2   an �n n a1a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1  a2   an d) Hệ quả: - Nếu hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số e) Khi áp dụng bất đẳng thức Cơ-si điều cần lưu ý dấu xảy nào? Đó vấn đề then chốt hầu hết toán sử dụng phương pháp f) Với a, b  ta có BĐT: 1  � a b ab BĐT chứng minh nhiều cách, chẳng hạn: 1 �1 �  � �  a  b  �  ��4 a b ab �a b � a b Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm: a  b �2 ab ,  �2 1 1  a b ab � �  Dấu đẳng thức xảy a  b Từ suy  a  b  �  ��2 ab ab �a b � Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT g) Tương tự phần f) ta có: Với a, b  ta có BĐT: 1   �   a b c a bc Dấu đẳng thức xảy a  b  c Thực trạng vấn đề Qua việc giảng dạy lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, qua vấn trao đổi với em học sinh đồng nghiệp thấy em gặp nhiều khó khăn sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức Qua thực tế kiểm tra đội tuyển toán năm học 2011 - 2012 thu kết sau: Đề kiểm tra đội tuyển toán (Phần bất đẳng thức) Câu Cho x �1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3x  2x a2 b2 c2 abc   � Câu Cho a, b, c  Chứng minh rằng: bc ca a b Câu Cho a, b, c �0, bc  ca  ab  Chứng minh : 3a  3b  c �10 Câu Cho a, b, c  0, bc  ca  ab  Tìm GTNN biểu thức P  4a  4b2  c Câu Cho a, b, c  a  b  c  Tìm GTNN P  a  b  c Qua kiểm tra chấm nhận thấy: - Đa số em làm tốt câu 2, trình bày cách áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copx-ki tương đối phức tạp - Một số em làm câu 1, câu Đa số em lại mắc sai lầm hai câu - Câu 4, câu bỏ trống Nguyên nhân em gặp nhiều khó khăn dấu đẳng thức xảy biến không nhau, dẫn đến em áp dụng sai Câu hỏi đặt dấu đẳng thức tìm vị trí biến? Điều nỗi băn khoăn nhiều học sinh gặp phải tốn dạng Điều khiến tơi suy nghĩ nhiều định nghiên cứu đê tài Các biện pháp thực để giải vấn đề Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT 3.1 Thêm bớt biến số thích hợp để dấu đẳng thức xảy a2 b2 c2 a bc   � Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng: bc ca ab Phân tích lời giải: Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a2 bc a2 b  c  �2  a bc m bc m m Dễ dàng nhận thấy dấu đẳng thức xảy a  b  c a2 bc a 2a  �  � m  Đó sở phép thêm bớt Từ dẫn tới bc m 2a m lời giải toán Lời giải: a2 bc a2 b  c a2 bc  �2 a�  �a  1 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: bc bc bc Tương tự ta có: b2 ca  �b   ; ca c2 ab  �c  3 a b Lấy  1      3 theo vế ta được: a2 bc b2 ca c2 ab      � a  b  c  bc ca a b � a2 b2 c2 abc abc   � a  b  c    bc c a a b 2 Từ có điều phải chứng minh �Với ý tưởng ta xét tốn sau: Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a5  a  b  b5  b  c Phân tích lời giải: Ta coi bậc a5  a  b bậc 1, mẫu chứa  a  b  vào ta xét m  áp dụng BĐT Cô-si 4  c5  c  a abc � 16 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT a5  a  b ab ab ab ab a5 ab a b ab ab     �5 m m m m  a  b m m m m Dự doán dấu đẳng thức xảy a  b  c � a5  2a   2a � m  32 Từ dẫn m tới lời giải: Lời giải: Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a5  a  b � a b ab ab ab a5 ab a b ab ab     �5  a 32 32 32 32  a  b  32 32 32 32 16 a5  a  b  ab � a  1 16 Làm tương tự ta có: b5  b  c  bc � b  2 16 c5  c  a  ca � c  3 16 Lấy  1      3 theo vế ta được: � a5  a  b ab b5 bc c5 ca      �  a  b  c 4 8 16  b  c  c  a Từ suy a5  a  b  b5  b  c  c5  c  a a b c � 16 Bài Cho a, b, c  thỏa mãn điều kiện 1    Tìm giá trị nhỏ a b c biểu thức : a3 b3 c3 P   (a  2b)(b  2c ) (b  2c )(c  2a ) (c  2a )(a  2b) Phân tích lời giải: a3 Ta coi bậc 1, mẫu chứa  a  2b  ,  b  2c  nên ta nghĩ (a  2b)(b  2c ) đến việc thêm bớt hạng tử dạng a  2b b  2c , để triệt tiêu mẫu m nm áp dụng BĐT Cô-si Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT a3 a  2b b  2c a3 a  2b b  2c   �3  * m m m  a  2b   b  2c   a  2b   b  2c  m Dễ dàng nhận dấu đẳng thức xảy a  b  c Khi dấu đẳng thức a3 (*) xảy a  2a a  2a     a  a a  2a  � m  27 Với suy nghĩ m m ta có lời giải sau: Lời giải: Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a3 a  2b b  2c a3 a  2b b  2c a   �3  27  a  2b   b  2c  27  a  2b   b  2c  27 27  1 b  2c c  2a b3 a  2b b  2c b   �3  27  b  2c   c  2a  27  b  2c   c  2a  27 27  2 c  2a a  2b c3 c  2a a  2b c   �3  27  c  2a   a  2b  27  c  2a   a  2b  27 27  3 b3 c3 Lấy  1      3 theo vế được: �a  2b b  2c P  2� �۳ 27 � 27 c  2a � �  a b c 27 � a P b c  a b c  a b c 9 � a  b  c �9 a bc Mặt khác, áp dụng BĐT   ta có:    � abc �  Dấu đẳng thức xảy a  b  c  9 Do P � Kết luận: P  � a  b  c  �Với cách làm tương tự có thể dễ dàng giải các toán sau: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c   � 5b  7c 5c  7a 5a  7b 12 abc Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a b3 c   �a  b  c b c a Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a5 b5 a5   �a  b  c 2 2 bc ca ab Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a4 b  b  c  b4 c  c  a  c4 a  a  b �  a  b  c 3.2 Thêm bớt số hạng số dựa theo nguyên tắc dấu đẳng thức xảy 3 Bài Cho a, b, c  ab  bc  ca  Chứng minh a  b  c � Phân tích lời giải: Dễ dàng dự doán dấu đẳng thức xảy a  b  c  vào hệ thức ab  bc  ca  nên ta áp dụng Cô-si cho: 3 �1 � �1 � a  b  � ��3 a b3 � �  3ab Từ ta có lời giải tốn �3� �3� 3 Lời giải: Áp dụng Cô-si cho số ta có: 3 �1 � �1 � �1 � 3 a  b  � ��3 a b3 � �  3ab � a  b  � �� 3ab  1 �3� �3� �3� 3 3 �1 � �1 � Tương tự: b  c  � �� 3bc   ; c3  a  � �� 3ca  3 �3� �3� 3 Lấy  1      3 theo vế ta được: 3 �1 � �1 � �1 � a  b  � � b3  c3  � � c3  a  � ��  ab  bc  ca  �3� �3� �3� 3 3 Từ �  a  b  c  � �Ta xét tiếp toán sau đây: ab  bc  ca  Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Bài Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  3abc Chứng minh rằng: 1   �3 a b5 c5 Lời giải: Từ giả thiết a  b  c  3abc � 1    (do a, b, c  ) ab bc ca Áp dụng Cơ-si cho số ta có: 1 1     �5 5 1.1.1   1 a b a b ab 1 1     �5 5 1.1.1    b c b c bc 1 1     �5 5 1.1.1   3 c a c a ca 1 1 1 � � � � Lấy  1      3 theo vế ta được: �   � �5 �   � 15 �a b c � �ab bc ca � Từ suy ra: 1   �3 a b5 c5 Bài Cho a, b, c  thỏa mãn điều kiện abc  Tìm GTNN biểu thức sau: P  a4 b4 c4    1 b  1 c  1 c  1 a  1 a    b Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Phân tích lời giải: Với biểu thức phức tạp vào giả thiết abc  Ta phải thêm bớt thêm số hạng để loại bỏ thừa số   b  ,   c  Nhưng áp dụng Cơ-si cho số xuất a nên ta thêm bớt số Áp dụng BĐT Cô-si: a4 b 1 c 1 a4 b 1 c 1    n �4 n  * m  1 b  1 c m  1 b  1 c m m Ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy a  b  c  , thay vào (*) ta được: 2    n � m  2, n  Với suy nghĩ đến lời giải: m m Lời giải: Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a4 1 b 1 c a4 1 b 1 c    �4 a  1 b  1 c 1 b 1 c 8  1 b4 1 c 1 a b4 1 c 1 a    �4 b  1 c  1 a 1 c 1 a 8 c4 1 a 1 b c4 1 a 1 b    �4 c  1 a  1 b  1 a  1 b 8  2  3 Lấy  1      3 theo vế được: 1 a 1 b 1 c � � P  ��۳ � 8 �4 �8 a b c Mặt khác, theo BĐT Cô-si: a  b  c �3 abc  3 Do đó: P �  a  b  c   �   abc � � a  b  c  abc  � Dấu đẳng thức xảy � Kết luận: P  � a  b  c  P  a b c Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT �Với phương pháp có thể giải mợt số toán tương tự a 2b b c c a    Chứng minh rằng: Cho a, b, c  thỏa mãn c a b a6 b6 c   �3 b3 c a Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a6 b6 c6   �3 b c c a a 2b Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  ab3  bc3  ca Cho a, b, c  thỏa mãn a  b3  c3  Chứng minh rằng: a  b5  c5 �3 3.3 Lựa chọn tham số Có thể nói lựa chọn tham số công cụ mạnh kỹ thuật cân hệ số Tham số chọn dựa nguyên tắc dấu đẳng thức xảy BĐT cần chứng minh Một số ví dụ nói lên điều Bài Cho x �1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3x  2x Phân tích lời giải: Để sử dụng BĐT Cô-si Ta đưa thêm tham số m xét cách tách: � � P    m x  � mx  � Dự đoán dấu xảy x  , ta có: 2x � � m.1  1 � m  Từ ta có lời giải toán 2.1 Lời giải: 1 � � Ta có P  x  � x  � 2 2x � � Áp dụng BĐT Cô-si giả thiết ta có: 10 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT 1  37 Khi P � 2k  2k  3l    2k  2l   2k  l  l  l với l  1  37 Vậy P  l  l a  b  l , c  l ( với l  ) 2 Bài Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  3z  Tìm GTNN biểu thức: P  x  y  z Xét số m, n, p  Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: x  m3  m3 �3m x  3m x  1 3n y  n3  n3 �3n y  y   z  p  p �3 p z  p y  3 � 3m  n  p � � p  m 3, n  m 2 � � Chọn m, n, p thỏa mãn: �m  x, n  y, p  z � �m  x, n  y, p  z �x  y  3z  � m  2  3  � � �   Khi lấy  1      3 � P  2m   2  3  �3m  x  y  z  �P�۳۳ 2m 3m P 6m P  1 216 3  216 Kết luận : P   2  3   x  6 ,y ,z  1 2  3 1 2  3 1 2  3 Bài Cho x �0, y �0 thỏa mãn x3  y �1 Tìm GTLN biểu thức P  x 2 y Giải: Xét hai tham số m, n  Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: x  m  m  m  m  m �6 x m.m.m.m.m  6 m5 x  1 y  n  n  n  n  n �6 y n.n.n.n.n  6 n5 y  2 13 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Lấy  1    theo vế được: 6 m5 x  n5 y �x3  y3   m  n  �1   m  n  � � m  x3 , n  y3 � m  x ,n  y � m  x3 , n  y � � �5 25 � � � 6 3 m , n m  n � 2 x  y � y  Cần tìm thỏa mãn: � � � 1 �x  y  �x  y  � � �3 � �x  � 2 1 3 n P �= =1  5 m   n Khi P 1 n5 � 25 � � � �2  � �2  � � � 25 � � � � � 25 � y  �2  � � 25 1 � max P  � Kết luận: � 25 � � � � � � �x   � �Việc cân hệ số tỏ có hiệu rõ ràng tốn Với cách làm tương tự có toán sau: Cho a, b, c  a  b  c  Tìm GTNN P  a  b3  c5 Cho a, b �0 thỏa mãn a  b  Tìm GTNN P  a3  b6 3.4 Cân hệ số dựa bậc các hạng tử Có thể nói việc thêm bớt số trường hợp phụ thuộc vào nhiều bậc hạng tử BĐT cần chứng minh Có thể lấy số ví dụ sau làm minh họa a b5 c Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng:   �a3  b3  c3 b c a Lời giải: a5 a5 a5 a5 a a 3 3 Theo BĐT Cô-si:    b  b �5 b b  5a3  1 b b b b b b 14 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT b b5 b5 b5 b5 a 3 3    c  c �5 c c  5b   c c c c c b c5 c5 c5 c c c5 3 3    a  a �5 a a  5c   a a a a a a �a b c � 3 3 3   3 Lấy       theo vế ta được: �   � a  b  c �5 a  b  c a � �b c     Bài Cho a, b, c  thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm GTNN biểu thức sau: a) P  a b c   b3 c3 a3 b) Q  a b c  4 4 b c a Lời gải: a) Trước hết ta CM: a b c 1  3 3�2 2 b c a a b c Thật vậy, theo BĐT Cô-si: a a a a   �3 3  b b a b b a b b b b b   �3 3  c c c c c c c c c c c   �3 3  a a c a a c a  1  2  3 Lấy  1      3 theo vế ta được: �a b c � 1 �1 1 �   �   �3 �   �b c a � a b c �a b c 1 � a b c ��   �   � đpcm a b c � b c a Dễ dàng CM được: x  y  z �  x  y  z  (Đây BĐT Bu-nhi-a2 copx-ki) Áp dụng được: 2 1 1 �1 1 � � � �9 �   � �   �� � � � � 27 a b c �a b c � �a  b  c � �1 � abc � � abc a  b  c 1 � Dấu đẳng thức xảy � 15 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Kết luận: P  27 � a  b  c  a b) Ta chứng minh: Q �  1  b3 c3 Thật vậy, theo BĐT Cô-si: a a a a a a    �4 4  b b b a b b b a b b b b b b b    �4 4  c c c b c c c b c c c c c c c    �4 4  a a a c a a a a a  4  5  6 Lấy     5    được: 1 �1 3Q 3�3 ۳3� � a b c �a Mặt khác, theo BĐT Cô-si: b3 1� � Q c3 � a3 b3 c3 đpcm 1 27  27  27 �3 3 27.27  a a a 1 27  27  27 �3 3 27.27  b b b  8 1 27  27  27 �3 3 27.27  c c c  9  7 Lấy         được: 1 9 �1 1 �    6.27 �27 �   ��27  27  243 (theo   ) a b c a bc �a b c � a Do đó: Q �  1  �243  6.27  81 b3 c3 abc � � abc a  b  c 1 � Dấu đẳng thức xảy � Kết luận: Q  81 � a  b  c  Bài Cho a, b, c  thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Tìm GTNN biểu thức sau: 16 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT a) P  a4 b4 c   b c a a b7 c   b2 c2 a b) Q  Giải: a) Ta chứng minh: P �a3  b3  c Thật vậy, theo BĐT Cô-si: a4 a4 a4 a4 a4 a4    b3 �4 b3  4a b b b b b b b4 b4 b4 b4 b4 b4    c �4 c  4b c c c c c c  2 c4 c4 c4 c4 c4 c4    a �4 a  4c3 a a a a a a  3  1 Lấy  1      3 theo vế ta được:  3 3P  a �b ۳c �4 a b c  P a b3 c3 đpcm Mặt khác, theo BĐT Cô-si: 3 3 �1 � �1 � b  c  � ��3 b3 c � �  bc �3� �3� 3 �1 � �1 � c  a  � ��3 c a � �  ca �3� �3� 3 �1 � �1 � a  b  � ��3 a b3 � �  ab �3� �3� 3  4  5  6 Lấy     5    được: �1 � a  b  c  � �� ab  bc  ca   �3�  3  �1 � 3  �2a� b�  c � 3 � � �3�   a3 b3 c3 3 � abc �  � a bc Dấu đẳng thức xảy � 3 � ab  bc  ca  � Kết luận: P  17 3 � a bc 3 P 3 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT b) Tương tự ta CM: Q �a  b5  c5 Thật vậy, theo BĐT Cô-si: a7 a7 a7 a7 a a7 a7 a7 a7 a 5 5      b  b � b b  7a b b2 b b2 b b2 b2 b2 b2 b2 b b7 b b b b b7 b b b7 5 5      c  c � c c  7b5 c2 c2 c2 c2 c2 c2 c2 c2 c2 c2  7  8 c7 c7 c7 c7 c c7 c7 c7 c7 c7 5 5      a  a � a a  7c a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2  9 Lấy         theo vế  � 5Q �2 a 5۳b� c5   a b5 c5  Q a b5 c đpcm Mặt khác, theo BĐT Cơ-si ta có: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � a  b5  � � � � � ��5 a 5b5 � �.� �.� �  ab �3� �3� �3� � �� �� � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � b  c  � � � � � ��5 b5c � � � � � �  bc �3� �3� �3� � �� �� � 5 �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � c  a  � � � � � ��5 c5 a � � � � � �  ca �3� �3� �3� � �� �� �  10   11  12  Lấy         theo vế 5 �1 � � a  b  c  � ��  ab  bc  ca   �3�   5   � a  b5  c5  3 � � a5  b5  c � 9 Do Q � Dấu đẳng thức xảy Kết luận: Q  � abc �  � a bc � 3 � ab  bc  ca  � 3 � abc  3 18 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cơ-si chứng minh BĐT Từ suy ra: a b5 c5   �a  b3  c3 b2 c a �Một số toán tương tự: Cho a, b, c  thỏa a) Cho M M b) mãn mãn N Tìm GTNN biểu thức sau: a5 b c5   bc ca ab ab  bc  ca  a b3 c3   bc ca ab a, b, c  thỏa a) a  b  c 1 a b3 c3   bc ca ab a, b, c  thỏa a) Cho M mãn b) N a5 b c5   bc ca ab 1   9 a b c a b3 c3   bc ca ab b) N Cho a, b, c  thỏa mãn điều kiện Tìm GTNN biểu thức sau: Tìm GTNN biểu thức sau: a5 b c5   bc ca ab 1    a b c Tìm GTNN biểu thức sau: a) P a b c  3 3 b c a b) Q a b c  4 4 b c a 3.5 Một số toán khác 3 Bài Cho a, b �0, a  b2  CMR : ab  max  a, b � Lời giải : Đặt f (a, b)  ab  max  a, b Không tổng quát giả sử a �b � f (a, b)  ab  a  a(b  1) � f (a, b)  a (b  1)  (1  b )(b  1)  (1  b)(1  b) Áp dụng BĐT Cơ-si ta có : (3 =  3b)(1 �= b)(1  b)(1 b)  f (a , b ) 27 16 �3  3b   b   b   b � 81 � � � � 16 f ( a, b) 3 19 f ( a , b) 81 16 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT � b �  3b   b � � �� Dấu đẳng thức xảy � 2 a  b 1 � � a (a �0) � � a � � � � b � �Ở toán sau giả sử a �b ta cô lập biến b sau khử a tiến hành áp dụng BĐT Cô-si thông qua việc cân hệ số để loại bỏ b 20 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Bài Cho a, b, c, d  Chứng minh ta có bất đẳng thức sau: a b c d 2  b c d a 2  c d a b 2  d a  b2  c2 2 Phân tích lời giải: Bốn số hạng vế trái có vai trò tương tự nhau, gợi cho ta đánh giá trung gian cho số hạng Tuy nhiên đánh giá phải có điểm chung Các mẫu giống chẳng hạn Lời giải : Với x, y, z , t  Áp dụng BĐT Cô-si ta có : x ( y �۳ z2 t ) x ۳ ( y2  z  t ) x2  y  z  t 2 x2 ( y  z  t ) x  y  z2  t2 2 2x2 x2  y  z  t Do ta có : 2a b 2b �2 � 2 (1) ; 2 2 (2) b2  c  d a  b  c  d c2  d  a2 a  b  c  d a 2c �2 2 (3) ; d  a2  b2 a  b  c  d c 2d �2 2 (4) a  b2  c a  b  c  d d Lấy (1)+(2)+(3)+(4) theo vế với vế ta : a b2  c  d  b c2  d  a2  c d  a  b2  2a  2b  2c  2d � 2 a  b2  c  d a  b2  c d � a2  b2  c2  d �2 b  c2  d  a2 � 2 2 Dấu đẳng thức xảy �2 2 � a  b  c  d  � Dấu đẳng c  d a b � � d  a  b2  c2 � thức không xảy � ĐPCM �Với cách làm tương tự giải toán sau : Cho a, b, c  CMR : a b c   2 bc ca ab 21 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Bài Cho a, b, c �0 thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN P  (a  ab  b )(b  bc  c )(c  ca  a ) Phân tích lời giải: Có nhiều khó khăn trực tiếp áp dụng BĐT Cô-si đánh giá trung gian không dễ dàng Nhưng vai trò biến nên thự tự biến mà khơng làm tính tổng quát Lời giải : Không tổng quát giả sử a �b �c Ta có : b  bc  c  b2  c(c  b) �b ; c  ca  a  a  c (c  a ) �a Do ta có: 2 2 P �a 2b2 (a  ab  b2 )  a 2b � (a  b)2  3ab � (a  b  c)2  3ab � � ��a b � � � a b (1  3ab) Mặt khác theo BĐT Cơ-si ta có : 3 �3 � ab  ab   3ab � � �3 � �3 � 2  � 3ab �  � � � � ab � � ab � �2 � �2 � � � 27 � � a 2b (1 3ab) 243 P 243 � c0 � c (c  b )  � � � � � � a  ,b  c (c  a )  � � � � � �� Dấu đẳng thức xảy �3 c0 � �2 ab   3ab � � � � � �a  b  c  a  ,b  � � � � Vậy MaxP  �1 �  a, b, c   � ; ;0 �hoặc hoán vị chúng 243 �3 � �Việc đưa hai biến giúp ta tránh phức tạp đánh giá Tiếp tục xét toán sau Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách phân chia theo kỹ thuật nhỏ dạng toán BĐT giúp em học sinh có nhìn sâu sắc cách tiếp cận toán cách chủ động, hiệu 22 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Sau thực áp dụng vào giảng dạy nhận thấy em học sinh có nhiều thay đổi tự tin nhiều Điều thể qua việc em giải hầu hết tập tương tự tự minh tìm hiểu thêm toán khác Tuy nhiên việc phân chia, xếp mang tính chất tương đối tốn có nhiều cách giải Vì giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học giỏi ta khuyến khích học sinh giải toán BĐT nhiều cách khác nhằm phát huy tính sáng tạo em 23 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thực bồi dưỡng học sinh giỏi em nắm thêm nhiều kiến thức, em nắm vững kỹ thuật nhận dạng dạng toán Các em áp dụng cách sáng tạo kỹ thuật theo hướng phát triển nhận biết sai lầm hay mắc phải giải tốn BĐT Có thể nói với phương pháp làm thay đổi nhiều suy nghĩ, cách thức tiếp cận toán hay khó, giúp em say mê tìm tòi sáng tạo học tập Qua việc thực chuyên đề toán BĐT phương pháp cân hệ số, tự thân rút số kinh nghiệm sau: - Đối với giáo viên: Thường xuyên đọc sách, tự học ,tự nghiên cứu, nâng cao trình độ biến kiến thức nhân loại thành kiến thức cách viết chuyên đề nêu thành dạng bài, phương pháp giải cho từ dạng đó, phân tích sai lầm mà học sinh thường mắc phải từ tìm cách dạy khắc phục sai lầm Bồi dưỡng cho học sinh tính say mê học tập, khả tự đọc, tự nghiên cứu để nâng cao kiến thức cho Nên giới thiệu kiến thức bổ sung, dạng tốn hay thơng qua việc giảng dạy lớp - Đối với học sinh: Thường xun tự học, tự tìm hiểu để tìm tòi phương pháp giải cho loại tốn Sắp xếp theo trình tự định tìm điểm cần lưu ý giải mà dẫn tới sai lầm Sáng kiến kinh nghiệm '' Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức '' tiến hành giảng dạy cho học sinh đội tuyển toán trường THCS Văn Lang năm học 2011 - 2012 bước đầu thu kết đáng khích lệ, sau học xong chuyên đề phần lớn em nắm vững hình thành cho minh phương pháp giải số toán BĐT Tuy nhiên nghiên cứu bước đầu cá nhân tôi, mong đồng nghiệp hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để đề 24 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT tài tơi đạt kết cao khóa bồi dưỡng Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị Kính mong Ban giám hiệu trường THCS Văn Lang, Tổ chuyên môn tạo điều kiện để thực sáng kiến Kính mong tham gia trao đổi, góp ý để sáng kiến hoàn chỉnh đạt kết cao thực tiễn giảng dạy Việt Trì, ngày 10 tháng 01 năm 2012 Người viết Bùi Hải Quang 25 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Các giảng bất đẳng thức Cô-si – Nguyễn Vũ Lương 2) Tuyển tập đề thi Olympic 30-04- NXBGD 3) Sáng tạo bất đẳng thức-Phạm Kim Hùng 4) Tạp chí Tốn học tuổi trẻ- NXBGD 5) Toán nâng cao phát triển tốn 9- Vũ Hữu Bình 26 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT MỤC LỤC Phần I- ĐẶT VẤN ĐỀ Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1- Cơ sở lí luận .2 2- Thực trạng vấn đề 3- Các biện pháp thực để giải vấn đề 3.1- Thêm bớt biến số thích hợp để dấu đẳng thức xảy 3.2 Thêm bớt số hạng số dựa theo nguyên tắc dấu đẳng thức xảy 3.3 Lựa chọn thamsố 10 3.4 Cân hệ số dựa bậc hạng tử 14 3.5 Một số toán khác .19 4- Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .21 Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 23 1- Kết luận 23 2- Kiến nghị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 27 ... khử a tiến hành áp dụng BĐT Cô-si thông qua việc cân hệ số để loại bỏ b 20 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT Bài Cho a, b, c, d  Chứng minh ta có bất đẳng thức sau: a b c.. .Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận a) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số: Cho số không âm a, b Ta có a  b �2 ab Dấu đẳng thức xảy a  b b) Bất. .. 25 Cân hệ số sử dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh BĐT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Các giảng bất đẳng thức Cô-si – Nguyễn Vũ Lương 2) Tuyển tập đề thi Olympic 30-04- NXBGD 3) Sáng tạo bất đẳng thức- Phạm