ÔN LUYỆN TOÁN LỚP 9.[r]
(1)ÔN LUYỆN TOÁN LỚP Baøi 1: Cho x, y là hai số thực thoả mãn : (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + Giải: Từ giả thiết (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 7 Suy ra: (x + y) + (x + y) + (x + y + )2 – 3 x+y+ 2 hay – 2 () 2 () – ⇒ + 10 = –y2 (x + y + )2 x+y+ ⇒ –4 P = x + y + –1 Vậy giá trị nhỏ P là – và giá trị lớn P là –1 Bài 2: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức sau: P = Giaûi: P= x 2+1 x − x+ x 2+1 x − x+ Ta coù: x – x + = + > với x ( ) x- 2 P= 3x +3 ( x − x+ ) = 2 ( x − x+1 ) + x +2 x+ ( x2 − x +1 ) = x 1 3 x2 x Giaù trò nhoû nhaát cuûa P laø x + = ⇒ x = -1 2x2 -2x+2-x2 +2x-1 ( x −1 )2 ( x − x+1 ) − ( x −1 ) 2− 2 x -x+1 x − x+ 2 x − x+1 P= = = Giá trị lớn P là x – = ⇒ x = Baøi 3: Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) Giaûi: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) 3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = (1) Xem (1) laø phöông trình baäc hai aån y thì (1) coù nghieäm nguyeân vaø chæ Δ ’ laø soá chính phöông Δ ’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2 0 –27x2 + 196 = k2 0 ⇒ 27x2 196 ⇒ x2 7 ⇒ x 0; 1 ; 2 (2) Neáu x = thì y = x = thì y = x = -1 thì y = 10 x = ± thì y Z Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Baøi 4: a) Chứng minh tích số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phöông Giaûi: a) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + với x nguyên döông Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2 (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2 (x2 + 3x + 1)2 – = k2 (x2 + 3x + 1)2 vaø k2 laø hai soá chính phöông hôn keùm ñôn vò neân (x2 + 3x + 1)2 = và k2 = ⇒ x = 0; x = -3 trái với giả thiết Baøi 5: Tìm số nguyên m để √ m2 +m+23 là số hữu tỉ Giaûi: Để √ m2 +m+23 là số hữu tỉ thì m2 + m + 23 phải là số chính phương Ñaët m2 + m + 23 = k2 (k Z) 2 4m + 4m + 92 = 4k 4m2 + 4m + + 91 = 4k2 (2k)2 – (2m + 1)2 = 91 (2k + 2m + 1).(2k – 2m – 1) = 91 Với m; k là số nguyên thì 2k + 2m + và 2k – 2m – phải là ước 91 ⇒ 2k + 2m+1=91 k − 2m −1=1 { Hoặc {m=−23 k=−23 {2k2 k+− 2m2m+1=1 −1=91 m=22 Hoặc {k=− 23 m 22 ⇔ k 23 ⇔ {m=−23 k=23 Hoặc 91 {2k2 k+−2m+1=− m−1=−1 Hoặc {2k2 k+− 2m2 m+1=−1 −1=− 91 ⇔ ⇔ (3) {2k2 k+−2m+1=13 2m −1=7 ⇔ {m=1 k =5 Hoặc 13 {2k2 k+−2m+1=− 2m −1=− Hoặc {m=−2 k =−5 {2k2 k−+2m2m+1=7 −1=13 m=1 {k=− ⇔ {m=−2 k=5 Hoặc {2k2 k−+2m2m+1=− −1=− 13 Vậy để √ m2 +m+23 là số hữu tỉ thì m { −23; − 2; 1; 22; } ⇔ ⇔ (4)