ve duong phu trong hinh hoc THCS

BẢY CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Cách thứ nhất: Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một tia, vẽ t[r]

Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên BẢY CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Cách thứ nhất: Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn Ta thường nối hai điểm để tạo thành đoạn thẳng, kẻ tia đối tia, vẽ thêm đường tròn, , chẳng hạn: - Khi có trung điểm cạnh tam giác, ta ta thường kẻ đường trung tuyến, đường trung bình - Khi cần tạo góc ngoài tam giác, ta thường kẻ tia đối tia chứa cạnh tam giác - Kẻ hai đường chéo tứ giác - Kẻ đường trung bình hình thang có trung điểm hai cạnh bên - Kẻ đường kính đường tròn đề bài có đề cập đến bán kính qua tiếp điểm - Kẻ dây chung hai đường tròn cắt nhau, kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc - Khi có phần đường tròn, có trường hợp cần vẽ đường tròn b = α Các đường trung trực AB, AC Ví dụ Cho tam giác nhọn 4ABC, A [ cắt I Tính BIC Hướng dẫn giải (h.1a) Nối I với A, với B, với C, với trung điểm D AB, với trung điểm E AC A A D E I x 1 C B E D C B b) a) Hình 1: Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Kẻ tia Ix là tia đối tia IA b1 = B b1 Do đó BIx d =A b1 + B b1 = 2A b1 4IDA = 4IDB (c.g.c) ⇒ A d = 2A b2 Chứng minh tương tự: CIx   d d b b b b Từ (1), (2) suy BIx + CIx = 2A1 + 2A2 = A1 + A2 = 2α (1) (2) [ = 2α Vậy BIC Ví dụ Cho 4ABC có BC = 3cm Gọi D, E là trung điểm AB, AC Chứng minh chu vi tam giác ADE lớn 3cm Hướng dẫn giải (h.1b) Nối DE, BE Ta có Chu vi ADE = AD + DE + AE = BD + DE + EC (1) Ta có BD + DE > BE (quan hệ ba cạnh 4BDE) và BE + EC > BC (quan hệ ba cạnh 4BEC) nên từ (1) suy chu vi 4AED > BE + EC > BC = 3cm b = 50◦, C b = 20◦, AH vuông góc với BC (H ∈ BC) Ví dụ Cho 4ABC có B \ cắt AC AHC \ cắt AC D Tính HBD \ Tia phân giác AHC Hướng dẫn giải (h.2a) Kẻ tia đối Ax tia AB Ta có E H D x A D A I B H C K C B a) b) Hình 2: b (góc ngoài 4ABC) [ = ABC [ +C CAx = 50◦ + 20◦ = 70◦ b = 90◦ − 20◦ = 70◦ \ = 90◦ − C CAH Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên [ nên AD là tia phân giác HAx 4ABH có AD, HD là các đường phân giác các góc ngoài cắt D \ nên BD là phân giác ABH \ = ABC [ : = 50◦ : = 25◦ Do đó HBD b = 120◦ Ở phía ngoài ta giác đó, vẽ các tam giác Ví dụ Cho 4ABC có A ABD, ACE Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm DE, AB, AC Chứng minh 4HIK là tam giác Hướng dẫn giải (h.2b) [ + CAE [ = 120◦ + 60◦ = 180◦ nên B, A, E thẳng hàng Ta có BAC Tương tự D, A, C thẳng hàng Vẽ đoạn thẳng EK 4ACE có EK là đường trung tuyến nên là đường 4DKE vuông K có KH là đường trung tuyến nên KH = DE Tương tự, vẽ đoạn thẳng DI, ta IH = DE IK là đường trung bình 4ABC nên IK = BC 4ABC = 4ADE (c.g.c) ⇒ BC = DE Từ (1), (2), (3), (4) suy KH = IH = IK nên 4HIK là tam giác cao (1) (2) (3) (4) Ví dụ Cho 4ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E Gọi M \ là trung điểm BE Tính AHM Hướng dẫn giải (h.3a) Vẽ đoạn thẳng DM Các tam giác vuông ABE, BDE có AM, DM là hai đường A A K E M O H B D H B C M a) b) Hình 3:  trung tuyến ứng với cạnh huyền BE nên AM = DM = BE \ = DHM \ = 90◦ : = 45◦ 4AHM = 4DHM (c.c.c) ⇒ AHM  C Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Ví dụ Cho 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB 6= AC, trực tâm H Gọi M là trung điểm BC, tia MH cắt đường tròn (O) K Chứng minh AK⊥KH Hướng dẫn giải (h.3b) Kẻ đường kính AF Ta có F B⊥AB và CH⊥AB nên F B//CH Tương tự F C//BH Suy BHCF là hình bình hành Ta lại có M là trung điểm BC nên M là trung điểm F H Do đó ba điểm F, M, H thẳng hàng \ = 90◦ Vậy AK⊥KH 4AKF nối tiếp đường tròn đường kính AF nên AKF Ví dụ Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với điểm I nằm đường tròn (C thuộc cung nhỏ AB) Chứng minh IA2 + IB + IC + ID2 = 4R2 Hướng dẫn giải (h.4a) Điều phải chứng minh IA2 +IB +IC +ID2 = (2R)2 gợi ý cho ta vẽ đường kính, A 60◦ C A E E D B I O B C O m D b) a) Hình 4: chẳng hạn kẻ đường kính DE Vẽ đoạn thẳng EC, ta có EC⊥CD, mà AB⊥CD nên EC//AB _ _ Suy AC=BE (hai cung chắn hai dây song song), đó AC = BE Vẽ các đoạn thẳng AC, BD Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông IAC, IBD ta có IA2 + IC = AC IB + ID2 = BD2 Vẽ đoạn thẳng BE Ta có IA2 + IB + IC + ID2 = AC + BD2 = BE + BD2 = DE = (2R)2 = 4R2 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên b = 60◦ Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ nửa Ví dụ Cho 4ABC nhọn A đường tròn (O) đường kính BC, nó cắt AB và AC theo thứ tự D và E Chứng minh 4DOE là tam giác Hướng dẫn giải (h.4b) Vẽ thêm cung nửa đường tròn BmC Theo tính chất góc có đỉnh bên ngoài đường tròn, ta có _ _ _ ◦ 180 − sđ DE sđ BmC − sđ DE b= hay 60◦ = A 2 _ \ = 60◦ Suy sđDE = 60◦, tức là DOE 4DOE cân có góc 60◦ nên là tam giác Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) nối tiếp đường tròn (O; R) có AD = BC = R, tâm O nằm hình thang Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm OA, OB, CD Chứng minh 4MIN là tam giác Hướng dẫn giải (h.5) Vẽ các đoạn thẳng OI, OC, OD 4COD có OI là đường trung tuyến nên B B A N M E O D I a) C A D K H C b) Hình 5: [ = IOC [ IOD (1) \=\ Các tam giác OAD, OBC nên AOD BOC = 60◦ (2) [ Từ (1), (2) suy \ MOI = N OI 4MOI = 4N OI (c.g.c) ⇒ MI = N I Vẽ đoạn thẳng DM 4AOD có DM là đường trung tuyến nên DM⊥OA và \ = 30◦ \ = ODA ODM \ + OID [ = 90◦ + 90◦ = 180◦ nên là tứ giác nội tiếp, suy Tứ giá OMDI có OMD \ = ODM \ = 30◦ OIM [ = 30◦ Vẽ đoạn thẳng CN Tương tự ta có OIN \ = 30◦ + 30◦ = 60◦ nên là tam giác 4MIN có MI = N I và MIN Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Cách thứ hai: Vẽ giao điểm hai đường Hãy chú ý đến vẽ giao điểm hai đường thẳng hình vẽ tạo các tam giác, tứ giác liên quan đến các quan hệ nêu đề bài; vẽ giao điểm đường thẳng và đường tròn hình vẽ tạo các cung có liên quan đến các kiện đề bài Vẽ giao điểm hai đường thẳng hình vẽ tạo hình có lợi chứng minh (tạo tam giác đặc biệt, tam giác nhau, tam giác đồng dạng, cung hay bù nhau, ) b cắt AC D Đường Ví dụ 10 Cho 4ABC vuông A, tia phân giác B vuông góc với DB D cắt BC E Kẻ EH⊥AC Chứng minh AD = DH Hướng dẫn giải (h.5b) Gọi K là giao điểm BA và DE 4BDK = 4BDE (c.g.c) ⇒ DK = DE 4ADK = 4HDE (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AD = DH Cách khác: Có thể kẻ DG⊥BC dùng đoạn thẳng DG làm trung gian để chứng minh AD = DH Cách giải này dùng đến kiến thức trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông Ví dụ 11 Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc đường chéo AC Kẻ ME⊥AD, MF ⊥CD Chứng minh BM⊥EF Hướng dẫn giải (h.6a) Kéo dài BM cắt EF H Để chứng minh MH⊥EF , ta chứng minh A E H B M A B 1 K M K 1 D H F C D C F b) a) Hình 6: c1 + Fb1 = 90◦ M c1 , ta kéo dài EM cắt BC K Ta có Để tạo góc phụ với M G Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên c1 + M c2 = 90◦ nên cần chứng minh Fb1 = M c2 M Xét các tam giác vuông EMF và BKM có ( ME = MK (cùng AE) b MF = MK (M thuộc tia phân giác C) c2 Do đó 4EMF = 4BKM (c.g.c) ⇒ Fb1 = M c1 + M c2 = 90◦ nên M c1 + Fb1 = 90◦ Ta lại có M Vậy MH⊥EF , tức là BM⊥EF Ví dụ 12 Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm Trên tia đối tia CD lấy các điểm F và G cho CF = 3cm, CG = 12cm Gọi M là giao điểm \ = 90◦ BF và AG Chứng minh AMC Hướng dẫn giải (h.6b) Gọi K là giao điểm AM và BC Ta đã có b1 = C b1 [ = 90◦ nên để chứng minh AMC \ = 90◦ cần chứng minh A ABC Gọi H là giao điểm CM và AB, ta chứng minh 4ABK = 4CBH \ = CBH \ = 90◦, AB = CB, cần chứng minh BK = BH Ta Ta đã có ABK tính BK và BH Áp dụng định lý Ta-lét với AB//CG ta có BA BK BK BK = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ BK = 2cm KC CG 12 BK + KC 1+2 Áp dụng định lý Ta-lét với AH//CG ta có BH BM BA BH = = = = ⇒ = ⇒ BH = 2cm CF MF CF 3 \ = CHB \ Suy BK = BH, đến đây ta có 4ABK = 4CBH (c.g.c) ⇒ AKB \ = CKM \ (đối đỉnh) mà AKB \ + KCM \ = BAK \ + BKA \ = 90◦ hay AMC \ = 90◦ Do đó CKM Ví dụ 13 Cho 4ABC vuông A, AB = 6cm, AC = 8cm Các tia phân b và C b cắt I Gọi M là trung điểm BC Chứng minh giác B \ = 90◦ BIM Hướng dẫn giải (h.7a) b1 = B b2 nên để chứng minh BIM b ta chứng \ = 90◦ (tức là BIM \ = A), Ta có B c2 = D b , đó D là giao điểm BI và AC minh M Ta chứng minh 4ICM = 4ICD, muốn cần chứng minh MC = DC Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có BC = AB + AC = 62 + 82 = 100 = 102 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A I D M B A D C B C E b) a) Hình 7: nên BC = 10cm, suy BM = MC = 5cm Theo tính chất đường phân giác ta có AB AD + DC 3+5 8 AD = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ DC = 5cm DC BC 10 DC DC \ = 90◦ Do đó MC = DC, từ đó ta chứng minh BIM b = 120◦, B b=D b = 90◦, AB = 2, 5cm, AD = 4cm Ví dụ 14 Tứ giác ABCD có A Tính độ dài CD Hướng dẫn giải (h.7b) b = BAD \ − 90◦ = 120◦ − 90◦ = 30◦ Gọi E là giao điểm DA và CB Ta có E Ta tính √ ◦ √ AE = 5cm, DE = 9cm, CD = DE tan 30 = · = 3 (cm) b C b nhọn) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Ví dụ 15 Cho 4ABC (các B, \ = OAC [ Chứng minh BAH Hướng dẫn giải (h.8a) Kéo dài AH và AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự D và K Ta có _ _ BC⊥AD, DK⊥AD nên BC//DK, suy BD=CK (hai cung chắn hai dây song song) \ = KAC \ (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau), tức là BAH \= Do đó BAD [ OAC b C b là góc tù, bài toán đúng Lưu ý Trong trường hợp B b = 90◦, hai góc BAH b \ và OAC [ là góc A Trong trường hợp C b = 90◦, hai góc BAH \ và OAC [ là "góc không" Trong trường hợp B Ví dụ 16 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên đường vuông góc với AB điểm O, lấy điểm C nằm nửa đường tròn Gọi D là giao điểm thứ Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A H 1 E F C O B D 1 C H A O B K D a) b) Hình 8: hai AC với nửa đường tròn Lấy điểm E thuộc cung AD Vẽ đường tròn (C; CA) và vẽ dây BH đường tròn đó cho BH qua E Chứng minh DE⊥AH Hướng dẫn giải (h.8b) b1 + ADE b1 = ADE \ = 90◦ Ta đã có B \ (hai góc nội tiếp (O) Cần chứng minh A b1 + B b1 = 90◦ cùng chắn cung AE), đó cần chứng minh A b1, B b1 là góc nội tiếp đường tròn (C) Ta kéo dài AD cắt Các góc A b1 chắn cung HF đường tròn (C) F để có A Ta có _ _ 180◦ sđ AH + sđ HF b b = = 90◦ B1 + A = 2 b1 = 90◦ Vậy DE⊥AH \+A Suy ADE Cách thứ ba: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Trong tam giác, có trung điểm cạnh, ta thường vẽ thêm trung điểm cạnh khác Trong hình thang, có trung điểm cạnh bên, ta thường vẽ thêm trung điểm cạnh bên thứ hai Việc vẽ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra: - Một tam giác tam giác bài toán; - Một tam giác cân thuận lợi chứng minh; Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên - Tổng (hiệu) hai đoạn thẳng b cắt cạnh BC D Ví dụ 17 Cho 4ABC có AB < AC Tia phân giác A Chứng minh DC > DB Hướng dẫn giải (h.9a) Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Do AB < AC nên E nằm A B B E 2 C D a) A M C b) E Hình 9: A và C b1 = E b1 Suy B b2 = E b2 4ADB = 4ADE (c.g.c) nên DB = DE và B b2 > C b (góc ngoài 4ABC) nên E b2 > C b Ta lại có B b2 > C b nên DC > DE Theo chứng minh trên DB = DE 4DEC có E Do đó DC > DB \ Ví dụ 18 Cho 4ABC vuông A, gọi M là trung điểm AC So sánh ABM \ và MBC Hướng dẫn giải (h.9b) Trên tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MB b1 = E b1 4AMB = 4CME (c.g.c) suy AB = CE và B Do BC > AB nên BC > CE b>B b2 4BCE có BC > CE nên E b1 > B b2, tức là ABM \ > MBC \ Từ (1), (2) suy B (1) (2) Ví dụ 19 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo và cắt O, đoạn thẳng MN (nối trung điểm M AD và trung điểm N BC) cắt AC, BD hai điểm H, G (không trùng với O) Chứng minh OG = OH Hướng dẫn giải (h.10a) Gọi I là trung điểm AB IM là đường trung bình 4ABD nên IM//BD BD và IM = 10 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A B I E O M 1 A N G H D B C a) D M C b) Hình 10: IN là đường trung bình 4ABC nên IN//AC và IN = Do Do Do Từ c1 = N b1 AC = BD nên IN = IM, 4IMN cân và M c1 = OGH \ (đồng vị) IM//BD nên M b1 = OHG \ (đồng vị) IN//AC nên N \ = OHG, \ đó OG = OH (1), (2), (3) suy OGH AC (1) (2) (3) [ = α Lấy điểm D thuộc cạnh AC Ví dụ 20 Cho 4ABC có AB < AC, BAC AB + AC \ theo α Gọi M là trung điểm BC Tính MDC cho CD = Hướng dẫn giải (h.10b) Để làm xuất tổng AB + AC, ta lấy điểm E trên tia đối tia AC cho AE = AB, đó CE = AB + AC, đó D là trung điểm CE [ b = ABE [ = BAC = α 4ABE cân A nên E 2 b (đồng vị) \ =E MD là đường trung bình 4EBC nên MD//BE ⇒ MDC \ = α Do đó MDC Ví dụ 21 Cho 4ABC vuông A, AC = 6cm, đường cao AH Gọi I là trung điểm HC Đường vuông góc với AI I và đường vuông góc với AB B cắt K Tính BK Hướng dẫn giải (h.11a) Gọi N là trung điểm AH IN là đường trung bình 4AHC nên IN//AC Ta lại có AB⊥AC nên IN ⊥AB 4ABI có AH⊥BI, IN ⊥AB nên N là trực tâm, suy BN ⊥AI Ta có BN ⊥AI, KI⊥AI nên BN//KI Ta có IN ⊥AB, KB⊥AB nên IN//KB AC = = (cm) Tứ giác BN IK là hình bình hành, suy BK = IN = 2 11 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A A N B 6, 5 H I C N 6, M B K C b) a) Hình 11: Ví dụ 22 Tính diện tích 4ABC, biết AB = 5cm, AC = 13cm, đường trung tuyến AM = 6cm Hướng dẫn giải (h.11b) AC = · 13 = 6, 5(cm) 2 AB = = 2, 5(cm) Do MN là đường trung bình 4ABC nên MN = 2 2 2 \ = 90◦ 4AMN có AM + MN = + 2, = 42, 25 = 6, = AN nên AMN (định lý đảo Py-ta-go) Ta có Gọi N là trung điểm AC, ta có AN = 1 SAM N = AM · MN = · · 2, = 7, 5(cm2); 2
SAM C = 2SAM N = · 7, = 15 cm2 ;
SAM C = 2SAM N = · 15 = 30 cm2 Ví dụ 23 Cho 4ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là điểm chính cung BAC Kẻ IH⊥AC Chứng minh CH = HA + AB A I A I H E O B D E K C B C a) b) Hình 12: Tìm cách giải Để chứng minh CH = HA + AB, ta đặt trên CH đoạn AB, chứng 12 Trần Văn Lợi minh đoạn còn lại HA Hướng dẫn giải (h.12a) Trên CA lấy điểm E cho ta chứng minh IE = IA Xét 4ICE và 4IBA có    IC = IB [ = IBA [ ICE   CE = BA Trường THCS Định Liên CE = AB, ta chứng minh HE = HA Muốn _ _ (do IC=IB) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung) (cách lấy điểm E) Do đó 4ICE = 4IBA (c.g.c) ⇒ IE = IA Đường xiên IE = IA nên hình chiếu HE = HA Do đó HE + CE = HA + AB, hay CH = HA + AB Ví dụ 24 Cho 4ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AC Gọi K là giao điểm BE và CD ◦ \ = 90 Chứng minh AKD Hướng dẫn giải (h.12b) \ = 90◦ Ta chứng minh tứ giác AEKD nội tiếp và AED Vẽ đoạn thẳng ED Gọi  I là trung điểm AD  [ = 60◦ nên là tam giác 4AIE có AI = AE = cạnh 4ABC và IAE đều, suy EI = IA = ID \ = 90◦ 4AED có EI = IA = ID nên AED (1) [ = BDC, \ đó AEKD là tứ giác nội tiếp (2) 4AEB = 4BDC (c.g.c) ⇒ AEB \ = AED \ = 90◦ (các góc nội tiếp cùng chắn cung Từ (1), (2) suy AKD đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEKD) Ví dụ 25 Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi I là trung điểm AC, gọi D là giao điểm thứ hai BI với đường tròn, gọi E là giao điểm thứ hai AD với đường tròn Chứng minh BE//AC Hướng dẫn giải (h.13) Khai thác yếu tố IA = IC, ta vẽ điểm K cho I là trung điểm DK Khi b1 = C b1 đó AKCD là hình bình hành, suy A b1 = B b1 (góc tạo tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn Ta lại có C b1 = B b1 Suy ABCK là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc) cung) nên A b2 = C b2 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung) Tứ giác ABCK nội tiếp nên B 13 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên B E O D A 1 I C K Hình 13: b2 = E b (góc tạo tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn Ta lại có B b2 = A b2 (so le trong, AD//CK) nên E b=A b2 cung), C b=A b2 nên BE//AC Hai góc so le E Cách thứ tư: Vẽ tia phân giác góc, vẽ góc góc cho trước Ta thường vẽ tia phân giác góc góc đó gấp đôi góc khác bài toán Việc vẽ góc góc cho trước nhằm tạo tam giác cân, hình thang cân, hai tam giác nhau, hai tam giác đồng dạng Ví dụ 26 a) Chứng minh định lý: Nếu tam giác vuông có góc 30◦ thì cạnh đối diện với góc đó nửa cạnh huyền b = 30◦ Lấy điểm D thuộc cạnhBC cho b) Cho 4ABC vuông A có B \ = 15◦ Chứng minh tổng AC + CD nửa chu vi 4ABC BAD Hướng dẫn giải (h.14) b = 30◦ (h.14a) a) Xét 4ABC vuông A có B \ = 30◦ Vẽ điểm D trên cạnh BC cho BAD b = BAD \ nên là tam giác cân đó AD = BD 4ABD có B (1) b=\ 4ACD có C CAD = 60◦ nên là tam giác đều, suy AD == AC = CD (2) Từ (1), (2) suy AC = BD = CD tức là AC = BC ◦ b \ \ b) (h.14b) Kẻ AH⊥BC Ta có CAH = B = 30 (cùng phụ với BAH); \ = 90◦ − 15◦ − 30◦ = 45◦ nên 4DAH vuông cân DAH Đặt AH = b thì DH = b b = 30◦ nên AH = AB (theo câu a), đó AB = 2b 4ABH vuông có B 14 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên B B D D 4a b 2b H b C A A a) a 2a C b) Hình 14: Đặt CH = a, theo câu a ta có AC = 2CH = 2a, BC = 2AC = 4a Chu vi 4ABC AC + AB + BC = 2a + 2b + 4a = 6a + 2b AC + CD = 2a + a + b = 3a + b Từ (1), (2) suy AC + CD nửa chu vi 4ABC (1) (2) Ví dụ 27 Cho 4ABC vuông cân A Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho AD = AE Gọi K là điểm thuộc cạnh BC Chứng minh KE + KD ≥ AB Hướng dẫn giải (h.15a) [ = DAK \ Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ điểm I cho EAI A A D D I E I 34 E K B K H C B C b) a) Hình 15: [ + EAK \ = 90◦ và 4IAK vuông cân A và AI = AK, đó EAI 4EAI = 4DAK (c.g.c) ⇒ EI = KD, đó KE + KD = KE + EI Ta lại có KE + EI ≥ KI (bất đẳng thức tam giác), √ KI = KA (KI là cạnh huyền tam giác vuông cân) KA ≥ AH (AH là đường cao 4ABC) 15 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Từ các kết trên suy √ √ KE + KD = KE + EI ≥ KI = KA ≥ AH = AB Vậy KE + KD ≥ AB Xảy đẳng thức KE + KD = AB K ≡ H và D là trung điểm AB, E là trung điểm AC Ví dụ 28 Cho 4ABC vuông A Lấy điểm D thuộc cạnh AB cho \ ACD = 1[ [ = ABC [ Gọi I là giao điểm ACB Lấy điểm E thuộc cạnh AC cho ABE 3 BE và CD Tính số đo các góc 4DIE Hướng dẫn giải (h.15b)  b b [ [ [ = 120◦, đó DIE [ = 120◦ IBC + ICB = B + C = · 90◦ = 60◦ nên BIC 3 Gọi K là giao điểm các đường phân giác 4IBC [ = BIC [ = 120◦ nên Ib1 = Ib2 = Ib3 = Ib4 = 60◦ Do DIE 4BID = 4BIK (g.c.g) ⇒ ID = IK Chứng minh tương tự IE = IK [ = 120◦ nên IDE [ = IED [ = 30◦ 4DIE có IE = IK (= IK) và DIE b = B, b D b > C b Chứng minh BC > AD Ví dụ 29 Cho tứ giác AKCD có A Hướng dẫn giải (h.16a) b=B b và D b >C b⇒A b+D b >B b + C b Từ A A B α C D a) A x E Hình 16: B K D C b) b+ B b+C b+D b = 360◦ nên A b+ D b > 180◦ Ta lại có A b ta có A b + α = 180◦ ⇒ D b > α Gọi α là góc bù với A, \ = α Trên tia BC lấy điểm E cho ADE \<\ Do ADE ADC nên E nằm B và C, ta có BC > BE (1) b + ADE b=B b nên là hình \ = 180◦ nên AB//DE Hình thang ABED có A Do A thang cân, suy AD = BE (2) Từ (1), (2) suy BC > AD 16 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên b < B b Chứng minh Ví dụ 30 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có A AC > BD Hướng dẫn giải (h.16b) \ = BAD \ Trên tia DC lấy điểm K cho ABK \ < ABC [ nên ABK \ < ABC, [ suy K nằm D và C Do BAD Hình thang ABKD có hai góc kề đáy nên là hình thang cân, suy AK = BD (1) \ và Ta chứng minh AC > AK cách xét 4AKC và so sánh các AKC ACK Gọi Dx là tia đối tia DC Ta có \ = BDx [ (dễ chứng minh) AKC [ > BCK \ > ACK \ BDx \ > ACK, \ đó AC > AK Suy AKC Từ (1), (2) suy AC > BD (2) Ví dụ 31 Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) tiếp xúc ngoài A Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) B và cắt đường tròn (O0 ) C và D (C nằm B và D) Tia DA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Chứng minh [ AB là tia phân giác CAE Hướng dẫn giải (h.17a) [ = EAB [ (góc tạo tiếp tuyến với Gọi Bx là tia đối tia BC, ta có EBx x F B E C O A G A D O K D I F E H O B C a) b) Hình 17: dây và góc nội tiếp cùng chắn cung) (1) [ = EBx [ Ta chứng minh BAC Gọi F là giao điểm thứ hai tia BA và đường tròn (O0 ) Ta chứng minh 17 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên b=A b1 = A b2 = D b ) nên EBx [ =F \ BE//DF (kẻ tiếp tuyến chung A, ta có E DC (đồng vị) \ [ (cùng bù với CAF [ ) Suy EBx [ = BAC [ Ta lại có F DC = BAC (2) [ = BAC [ Do đó AB là tia phân giác CAE [ Từ (1), (2) suy EAB Ví dụ 32 Cho đường tròn (O), các đường kính AB và CD Gọi I là điểm \ và nằm đường tròn (O) Vẽ các dây BE và CF qua I nằm AOD [ = IF [ Gọi K là giao điểm OI và DE Chứng minh IEK K Hướng dẫn giải (h.17b) b = Fb, ta chuyển Fb vị trí đối xứng với với nó qua OK Để chứng minh E [ = OIC [ Kẻ dây HG qua I, ta Lấy điểm H trên đường tròn (O) cho OIH [ = IF [ có H đối xứng với C qua OK, G đối xứng với F qua OK, suy IGK K(1) [ = IEK [ cách chứng minh IGEK là tứ giác nội tiếp Ta chứng minh IGK b1 [ =H Ta có CH⊥KO và CH⊥DH nên KO//DH ⇒ GIK (2) b bù GEK \ GEDH là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên H (3) [ bù GEK, \ đó IGEK là tứ giác nội tiếp, suy Từ (2), (3) suy GIK [ = IEK [ IGK (4) [ = IF [ Từ (1), (4) suy IEK K Cách thứ năm: Vẽ đường thẳng vuông góc Vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước là cách vẽ đường phụ thường dùng Cách vẽ đó tạo tam giác vuông, từ đó khai thác các tính chất tam giác giác vuông, làm xuất các tam giác vuông nhau, các tam giác vuông đồng dạng Trong trường hợp có điểm thuộc tia phân giác góc ta thường vẽ đường thẳng vuông góc để sử dụng tính chất tia phân giác Trong trường hợp có các góc 30◦, 45◦, 60◦, 120◦, 135◦, cách vẽ đường thẳng vuông góc tạo tam giác vuông đặc biệt "nửa tam giác đều" hay tam giác vuông cân Trong các bài toán đường tròn, ta thường kẻ đường vuông góc từ tâm đến dây đường tròn Khi có hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta thường kẻ tiếp tuyến chung tiếp điểm hai đường tròn Ví dụ 33 Cho góc vuông xOy và điểm A thuộc tia phân giác góc vuông đó [ = 90◦ Chứng minh Lấy điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho BAC AB = AC 18 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Hướng dẫn giải (h.18a) Giả sử OB ≥ OC Kẻ AH⊥Ox, AK⊥Oy y A K A E 12 C H x O H B B K D C b) a) Hình 18: 4AOH = 4AOK (cạnh huyền - góc nhọn) nên AH = AK b1 = A b2 (cùng phụ với CAH) \ nên 4AHB = AKC \ (c.g.c) ⇒ AB = AC Ta lại có A b = α, tia phân giác A b cắt BC D Ví dụ 34 Cho 4ABC (AB < AC), A \ = α Chứng minh DB = DE Lấy điểm E trên cạnh AC cho CDE Hướng dẫn giải (h.18b) Kẻ DH⊥AB, DK⊥AC 4ADH = 4ADK (cạnh huyền - góc nhọn) nên DH = DK \ + BDE \ = 180◦ mà CDE \ = BAC [ nên BAC [ + BDE \ = 180◦ Ta có CDE (1) b1 + ADH b2 + ADK \ = 90◦ và A \ = 90◦ nên BAC [ + HDK \ = 180◦ Ta có A (2) b1 = D b \ = HDK, \ đó D Từ (1), (2) suy BDE 4BDH = 4EDK (g.c.g) ⇒ BD = DE Ví dụ 35 Cho 4ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh AB Qua B kẻ BH⊥CD (H ∈ \ CD), BH cắt CA E Chứng minh HA là tia phân giác CHE Hướng dẫn giải (h.19a) Kẻ AI⊥BE, AK⊥HC Các tam giác ABI và ACK có cạnh huyền AB = AC b1 = C b1 (cùng phụ với E) b góc nhọn B Do đó 4ABI = 4ACK ⇒ AI = AK \ nên HA là phân giác CHE \ Điểm A cách hai cạnh CHE Ví dụ 36 Cho hình vuông ABCD Gọi E, G, F theo thứ tự là các điểm thuộc các cạnh AB, AD, CD, kẻ đường thẳng vuông với EF , cắt đường thẳng BC H Chứng minh EI = GH 19 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên B H A D B K G I A E E M C D a) H C K F b) Hình 19: Hướng dẫn giải (h.19b) Để tao hai tam giác vuông có cạnh huyền là EF và GH, ta kẻ EK⊥CD, HM⊥AD b1 = H b (cùng phụ với hai góc nhau), EK = MH (cùng cạnh Ta có E hình vuông) Do đó 4EKF = 4HMG (g.c.g) ⇒ EF = GH b = 60◦, C b < 90◦, BC = a, AC = b, AB = c Chứng Ví dụ 37 Cho 4ABC có B minh diện tích hình chữ nhật có kích thước a và c a2 + c2 − b2 Hướng dẫn giải (h.20a) Kẻ đường cao AH Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB y A 12 H A c 60◦ H B a a) b A I x C K O B M B H M c) b) Hình 20: ta có b2 = AH + HC = AH + (a − BH)2 = AH + a2 − 2a · BH + BH c = AH + BH + a2 − 2a · 2 = c + a − ac Vậy ac = a2 + c2 − b2 20 C Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Ví dụ 38 Cho góc vuông xOy, điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B cố định thuộc tia Ox cho OB = OA Điểm M chạy trên tia Bx Đường vuông góc với 1 + có giá trị không đổi OB B cắt AM I Chứng minh AI AM Hướng dẫn giải (h.20b) Kẻ đường vuông góc với AM A, cắt BO K Kẻ IH⊥OA 4AOK và IHA có b = 90◦ \=H AOK OA = HI (cùng OB) b1 = Ib1 (cùng phụ với A b2 ) A Do đó 4AOK = 4IHA (g.c.g) ⇒ AK = AI Theo hệ thức lượng tam giác vuông AKM, ta có 1 1 1 + = nên + = , không đổi AK AM AO2 AI AM AO2 Ví dụ 39 Cho 4ABC nhọn có tan B = tan C Chứng minh đường trung tuyến AM cạnh AB Hướng dẫn giải (h.20c) AH AH Kẻ AH⊥BC Ta có tan B = , tan C = HB HC AH AH =3· ⇒ HB = HC Do tan B = tan C nên HB HC 1 Do đó HB = BC = BM Vậy HB = HM ⇒ AB = AM Ví dụ 40 Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) cắt A và B Điểm M nằm trên đường tròn (O0 ) và nằm ngoài đường tròn (O) Các tia MA, MB cắt đường tròn (O) theo thứ tự C, D (khác A, B) Chứng minh O0 M⊥CD Hướng dẫn giải (h.21a) \ = ABM \ (góc tạo Kẻ Mx⊥O0 M (Mx khác phía với B CM) Ta có CMx tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn cung) b = ABM b Hai góc so le \ (ABCD là tứ giác nội tiếp) Suy CMx \ = C C nên Mx//CD Ta lại có Mx⊥O0 M nên O0 M⊥CD Ví dụ 41 Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) ngoài Gọi AB, CD là các tiếp tuyến chung ngoài, A và C thuộc (O), B và D thuộc (O0 ) Gọi I là trung 21 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên x A C K B A O0 M O O F I N O0 H B M C D a) E D b) Hình 21: điểm OO0 Gọi giao điểm thư hai cúa CB với các đường tròn (O), (O0 ) theo thứ tự là E, F Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn; b) CE = BF Hướng dẫn giải (h.21b) a) Kẻ IK⊥AB Hình thang OABO0 có OI = IO0 và IK//OA//O0B nên AK = KB Điểm I thuộc đường trung trực AB nên IA = IB Chứng minh tương tự IC = ID Do đường nối tâm OO0 là trục đối xứng hình gồm hai đường tròn (O) và (O0 ) nên AB và CD đối xứng với qua OO0 , đó IA = IC Vậy IA = IB = IC = ID, tức bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng đường tròn (I; IA) b) Kẻ IH, OM, O0 N vuông góc với CB Ta có OI = IO0 và OM//IH//O0N nên theo tính chất đường thẳng song song cách thì MH = HN (1) Do IC = IB nên HC = HB (2) Từ (1), (2) suy HC − MH = HB − HN , tức là CM = N B Ta lại có CE = 2CM, BF = 2N B nên CE = BF Cách thứ sáu: Vẽ đường thẳng song song Việc vẽ thêm đường thẳng song song với đường thẳng cho trước nhằm: - Tạo đường thẳng trung gian để chứng minh hai đường thẳng song song 22 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên - Tạo hình bình hành cần "dời song song" đoạn thẳng đến vị trí thuận lợi - Sử dụng định lý Ta-lét để có các đoạn thẳng tỷ lệ b+ C b+B b = 360◦ Ví dụ 42 Cho h.22a, đó Ax//By Chứng minh A Hướng dẫn giải (h.22b) b+ C b1 = 180◦ Kẻ Cm//Ax, ta có A A (1) A x C C y B x m y B a) b) Hình 22: b+C b2 = 180◦ Ta có Ax//By và Cm//Ax nên Cm//By, suy B Từ (1), (2) suy b+C b1 + C b2 = 360◦ A b+ C b+B b = 360◦ Do đó A (2) b Qua trung điểm Ví dụ 43 Cho 4ABC (AB < AC), Ax là tia phân giác A M BC, kẻ MH⊥Ax, cắt AB và AC theo thứ tự D và E Chứng minh BD = CE Hướng dẫn giải (h.23a) b1 (đồng vị) \ =E Kẻ BK//AC thì BKD D A M B A E C KH B 1 12 K H x D a) b) E Hình 23: b=E b1 4AHD = 4AHE (g.c.g) nên D 23 C N Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên b đó 4BKD cân, BD = BK \ = D, Suy BKD b \ = C BK//AC nên KBM 4KBM = 4ECM (g.c.g) nên BK = CE Từ (1), (2) suy BD = CE (1) (2) Ví dụ 44 Cho 4ABC (AB < AC) Trên cạnh CA lấy điểm I cho CI = AB Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AI Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BC Gọi K là giao điểm DI và EC, gọi N là giao điểm BK và AC Chứng minh 4BCN là tam giác cân Tìm cách giải (h.23b) b1 = N b Đề bài cho AB = CI nên Để chứng minh 4BCN cân ta chứng minh B ta "dời" đoạn thẳng AB đến vị trí thuận lợi cách vẽ qua C đến đường b2 = N b , vừa tạo thẳng song song với AB, cắt DK H Cách vẽ này vừa tạo B b2 = E b=C b1 Như cần chứng minh HK là tia phân giác BHC \ C Hướng dẫn giải Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt DK H Đặt Ib1 = Ib2 = α b = Ib2 = α ⇒ A b1 = 2α, C b3 = A b1 = 2α, 4ADI cân nên D b1 = C b3 − Ib1 = 2α − α = α đó H b nên CH = CI = AB 4CIH có Ib1 = H \= Tứ giác ABHC có AB//CH, AB = CH nên là hình bình hành, suy BHC b1 = 2α A b = α nên HK là tia phân giác H b Ta lại có H b=C b1 Ta lại có E b=C b2 (so le trong, BE//CH) nên 4BEC có BC = BE nên E b1 = C b2 C b và H b nên B b1 = B b2 4BCH có K là giao điểm các tia phân giác C b2 = N b (so le trong, BH//AN ) nên B b1 = N b Ta lại có B Vậy 4BCN là tam giác cân Ví dụ 45 Tính diện tích hình thang ABCD (AB//CD) biết AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm, AC = 12cm Hướng dẫn giải (h.24a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E ABEC là hình bình nên CE = AB = 4cm, BE = AC = 12cm \ = 90◦ (định lý 4BDE có BD2 + BE = 52 + 122 = 169 = 132 = DE nên DBE Pi-ta-go đảo) Ta lại có BE//AC nên BD⊥AC Hình thang có hai đường chéo vuông góc với nên có diện tích ·5·12 = 30(cm2) 24 Trần Văn Lợi A Trường THCS Định Liên B 12 D a) C E B A x x x D E b) C Hình 24: b = 120◦, AB = c, AC = b Tính độ dài đường phân Ví dụ 46 Cho 4ABC có A giác AD Hướng dẫn giải (h.24b) b1 = A b1 = 60◦ Kẻ DE//AB thì D 4ADE có hai góc 60◦ nên là tam giác Đặt AD = DE = AE = x DE//AB nên theo định lý Ta-lét ta có DE CE x b−x bc = hay = ⇔x= AB CA c b b+c Vậy AD = bc b+c Ví dụ 47 Cho 4ABC có AC = 2AB, đường phân giác AD Lấy điểm I trên đoạn thẳng AD cho AI = AD Gọi E là giao điểm BI và AC Tính tỷ AE số EC Hướng dẫn giải (h.25a) AE EK AE dạng · Kẻ DK//BE Ta viết EC EK EC AI AE = = Do BE//DK nên theo định lý Ta-lét EK ID BD AB Theo tính chất đường phân giác: = = DC AC BD EK EK = = ⇒ = Do DK//BE nên theo định lý Ta-lét KC DC EC AE EK 2 AE Từ (1), (2) suy · = · = , tức là = EK EC 3 EC (1) (2) Ví dụ 48 Cho 4ABC cân A, đường phân giác BD Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = CB Gọi I là điểm thuộc cạnh BC, gọi K là giao điểm EI và AB, gọi H là giao điểm KC và BD Chứng minh HI//AC 25 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A A K E K I B H D C B C a) D N I b) E Hình 25: Hướng dẫn giải (h.25b) KH KI Ta chứng minh = HC IE KH KI Ta có BH là đường phân giác 4BKC nên = (1) HC IE KN KB KI = = (2) Kẻ KN//AE (N ∈ BC), ta có IE CE BC ( vì KN = KB, CE = BC) KH KI Từ (1), (2) suy = , đó HI//CE, tức là HI//AC HC IE Ví dụ 49 Cho hình thang ABCD (AB//CD) Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự E, F chia hình thang ABCD thành hai hình thang có diện tích Chứng minh EF trung bình cộng bình phương hai đáy hình thang ABCD Hướng dẫn giải Trường hợp AB = CD, ta có EF = AB = CD nên EF = AB + CD2 Trường hợp AB 6= CD, giả sử AB < CD (h.26a) Gọi BH là đường cao hình thang ABEF (có diện tích S1 ), F K là đường cao hình thang EF CD (có diện tích S2 ) Đặt CD = a, AB = b, EF = x Ta có (b + x) · BH , (a + x) · F K a+x BH = Do S1 = S2 nên (b + x) · BH = (a + x) · F K ⇒ FK b+x Kẻ BG//AE (G ∈ EF ), kẻ F I//ED (I ∈ CD) Ta có S1 = S2 = 26 (1) Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên m C B A A E G H D B E F K D I K C a) n b) Hình 26: 4BGF v 4F IC (g.g) nên tỷ số hai đường cao tỷ số đồng dạng: GF x−b BH = = FK IC a−x (2) a+x x−b = , đó a2 − x2 = x2 − b2 b+x a−x 2 AB + CD2 b + a 2 , tức là EF = Vậy x = 2 Từ (1), (2) suy Ví dụ 50 Cho đoạn thẳng AB Vẽ hai phía AB các cung chứa góc α là AmB và AnB Lấy điểm C thuộc cung AmB (CA < CB), điểm D thuộc cung \ = AED \ AnB (DA < DB) Vẽ hình bình hành CBDE Chứng minh ABD Tìm cách giải (h.26b) \ = AED, \ ta tạo góc AED \ cách vẽ hình Để chứng minh ABD \ = AED \ Chỉ cần chứng minh AKD \ = ABD \ bình hành AEDK, đó AKD cách chứng minh điểm K nằm trên cung AnB Hướng dẫn giải Vẽ hình bình hành AEDK, ta có AK//ED, AK = ED (1) CBDE là hình bình hành nên CB//ED, CB = ED (2) Từ (1), (2) suy AK//CB, AK = CB, đó ACBK là hình bình hành \ = ACB [ = ADB \ nên K nằm trên cung AnB, suy ABD \ = AKD \ ta có AKB \ = AKD \ (góc đối hình bình hành) nên ABD \ = AED \ Ta lại có AED Ví dụ 51 Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến KA với đường tròn Trên đoạn KO lấy điểm B nằm đường tròn Gọi C là điểm đối xứng với B qua O Vẽ dây AD qua B, vẽ dây AE qua C Gọi I là giao điểm DE và KO Chứng minh BK = CI 27 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A K B D G 1 O C 1 I E H Hình 27: Hướng dẫn giải (h.27) Kẻ dây AG//BC, ta chứng minh 4ABK = 4GCI \ = GCI [ Do tính đối xứng qua đường trung trực BC nên AB = GC và ABK (1) Vẽ dây DH//BC Do A và G, B và C, D và H đối xứng hau qua đường trung trực BC và A, B, D thẳng hành nên G, C, H thẳng hàng Ta có b1 = D b (hai góc nội tiếp cùng chắn cung) G = Ib1 (so le trong, DH//KI) b1 = A b1 = K b nên GCEI là tứ giác nội tiếp, suy Ib2 = E \ = CGI [ Từ (1), (2) suy BAK Từ (1), (3) suy 4ABK = 4GCI (g.c.g), đó BK = CI (2) (3) Cách thứ bảy: Vẽ tam giác Trong cách vẽ tam giác, cách vẽ thêm tam giác vẽ tam giác vuông cân có hiệu Ví dụ 52 Cho 4ABC vuông cân A Vẽ điểm D nằm tam giác đó cho \ DAC = \ DCA = 15◦ Chứng minh BA = BD Hướng dẫn giải (h.28a) [ = IBA [ = 15◦ Vẽ 4IAB có điểm I nằm 4ABC và IAB Ta có 4IAB = 4DAC (g.c.g) ⇒ AI = AD Ta lại có [ = 90◦ − IAB [ − DAC \ IAD = 90◦ − 15◦ − 15◦ = 60◦ 28 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên B E 12 I A K D A C a) B C b) Hình 28: [ = 60◦ nên 4IAD suy IA = ID và AID Ta có [ = 360◦ − AIB [ − AID [ BID = 360◦ − 150◦ − 60◦ = 150◦ 4BIA = 4BID (c.g.c) nên BA = BD b = 110◦ Vẽ điểm K nằm tam giác đó Ví dụ 53 Cho 4ABC cân A, A \ = 25◦, BCK \ = 30◦ Chứng minh BA = BK cho CBK Hướng dẫn giải (h.28b) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ 4EBC Ta có   ◦ [ = 180 − BAC [ :2 ABC = (180◦ − 110◦) : = 35◦ b1 = EBC b2 \ − ABC [ = 60◦ − 35◦ = 25◦ = B nên B \ 60◦ BEC b b b1 Ta lại có 4AEB = 4AEC (c.c.c) ⇒ E1 = E2 = = = 30◦ = C 2 4ABE = 4KBC (g.c.g) ⇒ BA = BK Ví dụ 54 Cho 4ABC vuông cân A và điểm M nằm tam giác đó có \ = 135◦, MA = 1cm, MC = 2cm Tính độ dài MB cách vẽ tính chất AMC 4MAD vuông cân A (D và M nằm khác phía AC) Hướng dẫn giải (h.29a) Ta có 29 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên D B A α c M A C D α α B a) h R b O A 2α B C H K C b) c) Hình 29: \ = AMC \ − AMD \ = 135◦ − 45◦ = 90◦ CMD MD2 = AM + AD2 = + = √ Suy CD2 = MD2 + MC = + 22 = nên CD = (cm) b1 = A b2 (cùng 90◦ − MAC) \ Ta có A √ 4MAB = 4DAC (c.g.c) nên MB = CD = (cm) b = 2B, b AB = 5cm, AC = 4cm Tính độ dài BC Ví dụ 55 Cho 4ABC có A Tìm cách giải (h.29b) b = α, A b = 2α Ta tạo 4DBC có D b = α, DBC \ = 2α, muốn 4BAC có B 4ABD cân A Hướng dẫn giải Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AB b = DBA \ = BAC [ 4ABD cân A nên D b = α, DBC [ = α thì BAC [ = 2α, D \ = α + α = 2α Đặt ABC Do đó 4BAC v 4DBC (g.g), suy AC BC BC = ⇒ = ⇒ BC = 36 ⇒ BC = 6(cm) BC DC BC 5+4 Ví dụ 56 Cho 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O : R), đường cao AH = h Đặt BC = a, AC = b, AB = c Gọi S là diện tích 4ABC Chứng minh rằng: a) bc = 2Rh; b) S = abc 4R Hướng dẫn giải (h.29c) a) Cần tạo hai tam giác đồng dạng có các cạnh liên quan đến b, c, h, 2R 30 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên b (hai góc nội tiếp cùng chắn cung), \ = B Kẻ đường kính AK Ta có AKC \ = AHB \ (= 90◦) nên 4ACK v 4AHB (g.g) ACK AK AC 2R b suy = ⇒ = ⇒ bc = 2Rh AB AH c h bc abc = b) Từ câu a) suy S = ah = a · 2 2R 4R Lưu ý: Bài toán đúng bỏ điều kiện 4ABC nhọn 31