§èi tîng, ph¹m vi nghiªn cøu: - Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chơng trình toán THCS lớp 7 và 9 - Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến th[r]
(1)phÇn I Më ®Çu Lí chọn đề tài: Toán học là môn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lÜnh vùc kh¸c C¸c thµnh tùu cña to¸n häc lu«n gãp phÇn to lín vµo viÖc c¶i t¹o tù nhiªn, ®em l¹i lîi Ých phôc vô cho cuéc sèng cña loµi ngêi ngµy mét tốt đẹp To¸n häc lµ mét m«n khoa häc rÊt cÇn sù logic vµ ph©n tÝch giái, nã cã ứng dụng rộng rãi đời sống xã hội Toán học giúp cho ngời học tính to¸n nhanh, t tèt, tÝnh chÝnh x¸c cao – l«gic hîp lÝ, tÝnh khoa häc D¹y to¸n häc nh»m trang bÞ cho häc sinh mét hÖ thèng tri thøc khoa häc phæ th«ng tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiªn cøu vµ kh¸m ph¸ thÕ giíi xung quanh, gãp phÇn c¶i t¹o thÕ giíi, c¶i t¹o thiªn nhiªn mang l¹i cuéc sèng Êm no h¹nh phóc cho mäi ngêi Trong chơng trình toán bậc trung học sở, hai chủ đề lớn môn đại số là "Số" và "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chơng trình môn đại số phổ thông, lớp và nó là kiến thức trọng tâm môn đại số Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều Tuy bài tập hàm số thì thËt lµ nhiÒu d¹ng vµ kh«ng thÓ thiÕu c¸c kú kiÓm tra, kú thi Kh¸i niÖm hµm sè lµ kh¸i niÖm trõu tîng mµ thêi gian luyÖn tËp l¹i kh«ng nhiÒu, nªn kÕt qu¶ cña häc sinh kh«ng cao Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m ë bËc THCS vµ t×m hiÓu t©m lý cña đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập đồ thị và hàm số học sinh còn lúng túng chính vì tôi đã định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng toán hàm số và đồ thị hàm số" Mục đích nghiên cứu: Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị vµ ®a mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ c¸c bµi tËp cã liªn quan Bằng cách xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tîng häc sinh, ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh, chó ý söa sai cho c¸c em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số còn đợc coi là công cụ giải (2) quyÕt mét sè bµi to¸n kh¸c nh t×m cùc trÞ, gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh NhiÖm vô nghiªn cøu: Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến các đồng nghiÖm ®i tríc cã nhiÒu kinh nghiÖm, tiÕp xóc vµ trß chuyÖn víi häc sinh, trùc tiếp đánh giá tiếp thu kiến thức học sinh; tôi nhận thấy đa số các em cßn sö dông kiÕn thøc vÒ hµm sè viÖc gi¶i c¸c bµi tËp cã liªn quan còn máy móc, cha linh hoạt; nhiều em cha hiểu kĩ đợc kiến thức m¶ng kiÕn thøc vÒ hµm sè ChÝnh v× vËy, viÖc ¸p dông còng nh khai th¸c s©u kiến thức hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị, giải phơng trình, bất phơng trình học sinh còn gặp nhiều khó khăn – và đây là vấn đề – môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, sâu để cuối cùng đa chuyên đề thực hữu ích cho các đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tôi còn gặp nhiều thiếu sót mong các thầy cô góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện và đầy đủ h¬n §èi tîng, ph¹m vi nghiªn cøu: - Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán hàm số và đồ thị hàm số chơng trình toán THCS (lớp và 9) - Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức hàm số để giải số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị hàm số; xác định công thức hµm sè; Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: - Ph¬ng ph¸p quan s¸t s ph¹m: quan s¸t häc sinh cho c¸c em lµm bµi tËp, xét khả thực lực các em đến đâu, các em trao đổi nh nào? trao đổi gì? - Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy đợc víng m¾c cña häc sinh gi¶i mét sè d¹ng to¸n vÒ hµm sè - Ph¬ng ph¸p lÊy ý kiÕn chuyªn gia: Trùc tiÕp gÆp gì vµ trß chuyÖn víi c¸c gi¸o viªn d¹y trùc tiÕp hoÆc c¸c gi¸o viªn cã nhiÒu kinh nghiÖm - Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động học sinh: Vở bài tập và bài kiÓm tra cña häc sinh - Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch vµ tæng kÕt kinh nghiÖm gi¸o dôc PhÇn II Nội dung đề tài (3) Chơng I: số vấn đề hàm số và đồ thị hàm số Để làm tốt các bài tập hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinh cÇn n¾m v÷ng kh¸i niÖm hµm sè I Kh¸i niÖm hµm sè: Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm đại " Hàm số là ánh xạ từ tập hợp số đến tập hợp số" Tríc tiªn ta lµm quen víi ¸nh x¹: ¸nh x¹: a §Þnh nghÜa: Cho tập hợp X φ và Y φ : f là ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y lµ mét quy t¾c cho t¬ng øng mçi phÇn tö x X víi mét vµ chØ mét y Y KÝ hiÖu: f: X Y x y = f(x) Ta gäi X lµ tËp nguån cña ¸nh x¹ f Y là tập đích ánh xạ f PhÇn tö y = f(x) Y gäi lµ ¶nh cña x qua ¸nh x¹ f b C¸c lo¹i ¸nh x¹: * §¬n ¸nh ¸nh x¹: f: X Y x y = f(x) ánh xạ f là đơn ánh ⇔ ∀ x1, x2 X: x1 x2 thì f(x1) f(x2) HoÆc ⇔ ∀ x1, x2 X: x1 x2 th× f(x1) = f(x2) th× x1= x2 VÝ dô: f: R R x y = f(x) = 3x * Toµn ¸nh: ¸nh x¹ f: X Y x ¸nh x¹ f lµ toµn ¸nh ⇔ ∀ y Y th× ∃ x X: y = f(x) (x) = y HoÆc f lµ toµn ¸nh ⇔ ph¬ng tr×nh f(x) = y lu«n cã nghiÖm víi mçi y cho tríc VÝ dô: f: R R x Y y = f(x) = 2x Lµ mét toµn ¸nh v× ph¬ng tr×nh 2x = y lu«n cã nghiÖm x = y với y xác định (4) * Song ¸nh: ¸nh x¹ f: X Y x y = f(x) ánh xạ f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh Hµm sè: a Theo quan điểm đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và ánh xạ: Hàm số là ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y Trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa trung häc c¬ së (1991 - 2001) Kh¸i niÖm hàm số đợc trình bày sách giáo khoa lớp (đợc nhắc lại sách giáo khoa líp 9) nh sau: Một hàm số f từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là quy tắc cho tơng ứng mçi gi¸ trÞ x X mét vµ chØ mét gi¸ trÞ y Y mµ kÝ hiÖu lµ y = f(x) Ngêi ta viÕt: f: X Y x y = f(x) X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị hàm số f x Trong chơng trình sách giáo khoa (2001) định nghĩa khái niệm hàm số toán đã nêu rõ thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lợng biến thiên và nhận các giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x cho: Với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gäi lµ hµm sè cña x vµ x gäi lµ biÕn sè" * Chú ý: Nh hàm số dù đợc định nghĩa cách nào có thuéc tÝnh b¶n chÊt: + X vµ Y lµ hai tËp hîp sè + Sù t¬ng øng: øng víi mçi sè x X xác định số y Y + Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi + Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiªn phô thuéc b §å thÞ hµm sè: (Dùa trªn kh¸i niÖm tËp hîp) + Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x X + Chó ý: - Mỗi hàm số có đồ thị xác định và ngợc lại - §iÓm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM= f(xM) c C¸ch cho mét hµm sè: Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy hàm số có thể cho c¸c c¸ch: (5) + C¸ch 1: Cho quy t¾c t¬ng øng thÓ hiÖn bëi c«ng thøc y = f(x) + C¸ch 2: Cho quan hÖ t¬ng øng thÓ hiÖn bëi b¶ng gi¸ trÞ + Cách 3: Cho đồ thị hàm số II C¸c hµm sè ch¬ng tr×nh THCS: Hµm sè bËc nhÊt: a §Þnh nghÜa: Hàm số bậc là hàm số đợc cho công thức y = ax + b, đó a, b là các số xác định a 0, x R b TÝnh chÊt: + Tập xác định: R + Tính biến thiên: a > thì hàm số đồng biến R a < th× hµm sè nghÞch biÕn R c §å thÞ: + §å thÞ hµm sè y = ax + b (a 0, x R) là đờng thẳng qua điểm b A(0;b) vµ ®iÓm B( a ; 0) + Khi b = thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng qua gốc toạ độ Hµm sè bËc hai a Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho công thức y = ax2 + bx + c víi a, b, c lµ c¸c h»ng sè (a 0, x R) b TÝnh chÊt: - Tập xác định: R - TÝnh biÕn thiªn: a > 0: Hàm số đồng biến ( − b ; + ∞ ) và nghịch biến (- ∞ 2a ; −b ) 2a a < 0: Hàm số nghịch biến ( − b ; + ∞ ) và đồng biến (- ∞ 2a ; −b ) 2a c §å thÞ: (6) §å thÞ hµm sè y = ax2 + bx + c (a − 0, x R) là Parabol (P) có đỉnh là D( b ; - Δ ); nhận đờng thẳng x = − b 2a 4a 2a là trục đối xứng Chơng II: dạy học nội dung hàm số và đồ thị hàm số Dạng 1: tìm tập xác định hàm số §Þnh nghÜa: Tập xác định hàm số y = f(x) là tập các giá trị x để biểu thức f(x) cã nghÜa V× vËy: - Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R - Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ mÉu thøc 0} - Nếu f(x) có dạng thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ biÓu thøc c¨n 0} VÝ dô: + VÝ dô 1: Hµm sè y = 5x- 70 cã TX§: R + VÝ dô 2: Hµm sè y = x +2 cã TX§: {x x + VÝ dô 3: Hµm sè y = √ x +1 cã TX§: R/ x 0} {x ∈ R∨x ≥ − 14 } Bài tập: Tìm tập xác định hàm số: a y = x – √ x +2 b y = x +1 − x+5 x-3 c y = x+ √ x2 − 4+ √ − x D¹ng 2: t×m tËp gi¸ trÞ cña hµm sè TËp gi¸ trÞ cña hµm sè: f: X Y x y = f(x) Y cho ph¬ng tr×nh f(x) = y cã nghiÖm x X lµ tËp gi¸ trÞ y C¸ch gi¶i: + Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự Q để đánh giá các giá trị y + Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm tập xác định (7) VÝ dô: * VÝ dô 1: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = 2x – víi x Ta cã x -1 2x -2 2x – -7 hay y [-1; 1] Gi¶i -7 x 2x 2x-5 -3 hay y -3 VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = 2x – víi x [-1; 1] lµ y [-7; -3] * VÝ dô 2: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = |x − 6|+|7 − x| Gi¶i |x − 6|+|7 − x|≥|x −6+7 − x| =1 hay y VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = |x − 6|+|7 − x| víi x R lµ y R, y * VÝ dô 3: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2- 2x + víi x [2; 3] Gi¶i: Hàm số y = x2+ 2x + có a = > nên đồng biến với x VËy víi x [2; 3] ta cã y(2) y(3) ⇒ y VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2 + 2x + víi x [2; 3] lµ [3; 6] *VÝ dô 4: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2- |x| + Gi¶i: TX§ cña hµm sè lµ R XÐt ph¬ng tr×nh x2- |x| +3 = y ( |x| - 2)2 = y + Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm y + ⇔ y -1 øng dông: * øng dông 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña y = 6x – x2 – Gi¶i: Ta cã y = 2x – x2- = -(x2- 2x + 1) – = -(x – 1)2- - dÊu “ =” x¶y vµ chØ x = VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ Max y = -3 t¹i x = VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = x + x+ (1) x + x +2 Gi¶i: Hàm số có tập xác định: R vì x2 + x + = (x + )2 + 7 (8) Gi¶ sö y lµ mét gi¸ trÞ cña hµm sè ⇒ ph¬ng tr×nh x + x+ = y cã nghiÖm x + x +2 ⇔ (y - 1)x + (y - 1)x + 2y – = (2) cã nghiÖm +XÐt y = ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm +XÐt y ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm ⇔ Δ ⇔ (y -1)2- 4(y – 1)(2y - 6) ⇔ (y - 1)(23 – 7y) ⇔ 0 23 1< y 23 VËy gi¸ trÞ cña hµm sè lµ 1< y + Víi y = 23 ta cã x = − vËy hµm sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ Max y = 23 t¹i x = − + Chó ý: ë vÝ dô cã thÓ díi d¹ng: T×m x R để hàm số y = x + x+ nhận giá trị nguyên x + x +2 Biến đổi: y =1 + x + x+ 2 Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z ⇔ x2 + x + nhận giá trị là ớc nguyên Sai lÇm lêi gi¶i ë chç x R nªn x2 + x + cã thÓ nhËn gi¸ trÞ kh«ng nguyªn V× vËy lêi gi¶i trªn lµm mÊt nghiÖm cña bµi to¸n + C¸ch gi¶i tõ viÖc cã miÒn gi¸ trÞ 1< y 23 ta chØ y Z ⇔ y=2 hoÆc y = Gi¶i ph¬ng tr×nh x + x+ =2 ⇔ x2 + x + = ⇔ x = 1; x = -2 x + x +2 (9) x + x+ =3 x2 + x +2 ⇔ 2x2 + 2x = ⇔ x = 0; x = -1 VËy x {-2; -1; 0; 1} th× y Z * øng dông 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) (1) Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản cách vào miền giá trị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chung chóng: ¿ ¿ f (x )≥ m f (x )≥ m NÕu g( x) ≥ m víi ∀ x D th× f(x) = g(x) ⇔ g( x) ≥ m (2) ¿{ ¿{ ¿ ¿ NÕu ∃ x0 D tho¶ m·n (2) th× x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 6x – x2 – 2= |x − 1|+|x − 2|+|2 x − 3|+|4 x − 13| (1) +Tập xác định: R +Ta cã VT = 6x – x2 – = – (x - 3)2 dÊu b»ng x¶y vµ chØ x=3 VP = |x − 1|+|x − 2|+|2 x − 3|+|4 x − 13| dÊu b»ng x¶y vµ chØ + VËy ph¬ng tr×nh (1) ⇔ 13 x ¿ 6x -x − 2=7 ¿|x − 1|+|x − 2|+|2 x − 3|+|4 x − 13|=7 ¿{{ ¿ ⇔ x =3 KÕt luËn ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x – √ x −2 ) (3) Ta cã VT = – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16 − x − x [ ( ) ] 4 DÊu b»ng x¶y vµ chØ x = hoÆc x = §Æt √ x −2 = t ⇒ x = t + ta cã VP = 16(t – t + 2) 2 28 (10) = 16 + [( ) ] t− DÊu b»ng x¶y vµ chØ t = VËy ph¬ng tr×nh (3) ⇔ 28 +2 ⇔ x= ¿ VT =28 VP=28 ¿{ ¿ ⇔ x= x= ⇔ KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 4 Bµi tËp: Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè y = x2- 3x + trªn ®o¹n: a [-3;1] b [0;2] Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = Bµi 3: Gäi x, y lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ( 2 a b a b + −8 + b a b a ) ( ) ¿ x+ y=a+ x 2+ y =2 a2+ ¿{ ¿ Tìm a để x, y có giá trị lớn Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh a √ x +6 x +7+√ x2 +10 x+ 14=4 − x − x b √ x −2+ √ − x=x − x+11 Dạng 3: xác định công thức hàm số Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta đã biết hàm số và đồ thị có tơng ứng 1- nên ta xác định đợc công thức hàm số biết tính chất đồ thị tơng ứng a Xác định hàm số bậc y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tÝnh chÊt: §i qua ®iÓm A(x1;y1) vµ ®iÓm B(x2;y2) Gi¶i: V× A(x1;y1) d nªn ax1 + b = y1 B(x2;y2) d nªn ax2 + b = y2 (11) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ax 1+ b= y ax 2+ b= y gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã a, b ¿{ ¿ KÕt luËn c«ng thøc hµm sè * Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d qua ®iÓm A(1;1) vµ ®iÓm B(-1;2) Gi¶i: V× A(1;1) d nªn a.1 + b = B(-1;2) d nªn a(-1) + b = ¿ Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ a+ b=1 −a+ b=2 ¿{ ¿ b= ¿{ ¿ a=− ⇔ KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = − x + 2 b Đồ thị qua điểm A(x1;y1) và song song với đờng thẳng d' có phơng tr×nh y = a1x + b1 (a 0) Gi¶i: V× A(x1;y1) d nªn ax1 + b = y1 ⇒ b = y1 – ax1 V× d song song víi d' nªn a = a1 KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = a1x + y1 – ax1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1; ) và song song với đờng thẳng d' có phơng trình y = 2x - Gi¶i: V× A(1; ) d nªn a + b = Vì d song song với d' nên a = đó: b = − KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = 2x − c Đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) và vuông góc với đờng thẳng d' có ph¬ng tr×nh y = a1x + b1 (a 0) Gi¶i: (12) V× A(x1;y1) d nªn ax1 + b = y1 -1 V× d vu«ng gãc víi d' nªn aa1 = -1 ⇒ a = nªn b = y1+ x a1 a1 KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ: y = -1 x + y1 + a1 x a1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1;1) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng trình y = − x + 2 Gi¶i: V× A(1; 1) d nªn a + b = 1(*) V× d vu«ng gãc víi d' nªn aa1 = -1 ⇒ a = thay vµo (*) ta cã: b = -1 KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = 2x – d §å thÞ qua ®iÓm A(x1;y1) vµ tiÕp xóc víi Parabol (P): a'x2 + b'x + c' (a 0) Gi¶i: V× A(x1;y1) d nªn ax1 + b = y1 (1) Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phơng trình hoành độ giao ®iÓm: ax + b = a'x2 + b'x + c' cã nghiÖm kÐp ⇔ a'x2 + (b' – a)x + c' – b = cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ =(b' - a) - 4a'(c' – b) = (2) Giải hai hệ phơng trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d qua điểm A(-1;2) vµ tiÕp xóc víi Parabol Lêi gi¶i: v× (d) ®i qua ®iÓm A(-1;2) d nªn: –a + b = (1) Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + nên phơng trình hoành độ giao ®iÓm: ax + b = x2 + cã nghiÖm kÐp ⇔ x2 – ax + – b = cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ = a2 - 4(1 – b) = (2) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ -a+b=2 a2 + b=4 ¿{ ¿ ⇔ ¿ b=a+ a2 + 4( a+2)=4 ¿{ ¿ VËy hµm sè cÇn t×m lµ y = -2x ⇔ b=a+2 a+2 ¿ =0 ¿ ¿ ¿{ ¿ ⇔ ¿ b=0 a=−2 ¿{ ¿ (13) Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol(P) a §i qua ®iÓm ph©n biÖt A(x1;y1), B(x2;y2) , C(x3;y3) Gi¶i: V× A(x1;y1) (P)nªn ax12+ bx1+ c = y1 (1) V× B(x2;y2) (P)nªn ax22+ bx2+ c = y2 (2) V× C(x3;y3) (P)nªn ax32+ bx3+ c = y3 (3) Giải hệ gồm phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c KÕt luËn c«ng thøc hµm sè Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) qua ®iÓm ph©n biÖt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0) Gi¶i: V× A(-1;0) (P) nªn a- b+ c = (1) V× B(0;3) (P) nªn c = (2) V× C(1;0) (P) nªn a+ b+ c = (3) ¿ a −b +c=0 c=3 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: a+b+ c=0 ¿{{ ¿ ⇔ ¿ a=−3 b=0 c=3 ¿{ { ¿ VËy c«ng thøc hµm sè cÇn t×m lµ: y = - 3x2 + b (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) và qua điểm A(x1;y1) Gi¶i: V× A(x1;y1) (P) nªn ax12+ bx1+ c = y1 (1) -b x0 Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên 2a (2) - y0 4a (3) Giải hệ gồm ba phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c KÕt luËn c«ng thøc hµm sè Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) qua điểm A(-1; 2) và có đỉnh là D(1; 2) Gi¶i: (14) V× A(-1;2) (P) nªn a + b + c = (1) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên -b =1 2a (2) −Δ b2 −4 ac =− 2⇒ − =− 4a 4a (3) a b c 2 b 1 2a b 4ac 4a Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh ¿ a −b+ c=2 a+b=0 b − ac − a=0 ¿{{ ¿ ⇔ ⇔ ¿ a=1 b=−2 c=− ¿{{ ¿ VËy hµm sè cÇn t×m cã c«ng thøc y = x2- 2x – c (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a'x + b' Gi¶i: -b x0 Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên 2a (1) - y0 4a (2) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên phơng trình hoành độ: ax2 + bx + c = a'x+b' cã nghiÖm kÐp ⇔ ax2 + (b – a’)x + c - b' = cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ = (b - a' )2– 4a(c - b' ) = (3) Giải hệ gồm phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận D(1; 1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – Gi¶i: (15) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên -b =1 ; 2a −Δ b − ac =1 ⇒ − =1 4a 4a (2) Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x –2 nên phơng trình hoành độ ax2 + bx + c = 2x – cã nghiÖm kÐp ⇔ ax2 + (b – 2)x + c – = cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ = (b - )2 – 4a(c - ) = (3) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: (b 2)2 4a (c 2) 0 b 1 ⇔ b 4ac 8a 4b 0 ⇔ 2a b 0 ⇔ a 2a b 0 12a 4b 0 b 4ac 1 b 4ac 4a 0 b 4ac 4a 0 4a ¿ a=1 b=−2 c=2 ¿{{ ¿ VËy hµm sè cÇn t×m cã c«ng thøc y = x2 - 2x + Bµi tËp: Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = -2x – a Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và qua gốc toạ độ b Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và qua điểm N(-1;5) Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c qua O(0; 0) và có đỉnh là D(1;-1) Bµi 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + (a ) a Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đờng thẳng d: y = 2x + b Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol(P) và đờng thẳng d trên cùng mặt phẳng toạ độ Xác định công thức hàm số biết phơng trình hàm VÝ dô 1: T×m f(x) cña hµm sè biÕt f(1+ x ) = x2 – vµ f(0) = (16) Gi¶i: +Víi x ta đặt 1+ = t rút x theo t ta có: x = t-1 x t-1 ¿ Thay vµo c«ng thøc ban ®Çu ta cã f(t) = ( ) – ⇒ f(t) = ¿ t (2-t) t-1 ¿ V× t¬ng øng hµm sè kh«ng phô thuéc vµo kÝ hiÖu nªn coi f(x) = x-1 ¿ ¿ x (2-x ) ¿ +Với x = thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = VËy hµm sè cÇn t×m lµ f(x) = x-1 ¿ ¿ x (2-x ) ¿ VÝ dô 2: T×m biÓu thøc f(x) cña hµm sè biÕt: f(x) + 2f( x ) = x2 Tõ c«ng thøc ta thay x bëi x f Ta cã: 1 1 +2f = ⇒f +2f ( x )= x x x x x () ( )() () () Ta cã hÖ ®iÒu kiÖn víi f(x) nh sau: ¿ ¿ f (x)+2 f =x2 x 1 f +2 f (x)= x x ¿{ ¿ () () () ( 1x )=x f ( x )+ f ( ) = x x f (x )+2 f ⇔ ⇔ f ( x)= 2−x 3x ¿{ ¿ VËy c«ng thøc hµm sè lµ f(x) = − x2 3x Bµi tËp: Bài 1: Xác định biểu thức f(x) biết x −1 ¿2 ¿ x x vµ f(1) = f = ¿ x −1 a x x −1 ( ) ( ) c f ( x ) 2−x b f = 4-8x víi x 3x − x+ = 10x-4-5x2 x −( x +4 ) Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết vµ f(1) = vµ f(2) = -1 (17) ¿ f (2 x +1)+ g ( x +1 ) =2 x x x a f +g =x 2− x x −1 ¿{ ¿ ¿ f (3 x −1)+ g ( x −1 )=3 x b f ( x +1 ) + x g ( x +3 ) =2 x + x ¿{ ¿ DạNG 4: đồ THị HàM Số ( ) ( ) Nhắc lại đồ thị hàm số: a §Þnh nghÜa: §å thÞ hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x TX§ b Đồ thị: Hàm số bậc y = ax + b (a 0) là đờng thẳng C¸ch vÏ: - Lấy điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số Ch¼ng h¹n A(0; b ) vµ B(- b ; 0) a - Vẽ đờng thẳng qua A và B c §å thÞ hµm sè bËc hai: y = ax2 + bx + c (a + §Ønh D − b ; − Δ ( 2a a 0) lµ Parabol(P) cã: ) + Trục đối xứng: x = − b 2a + BÒ lâm quay lªn trªn a > 0; BÒ lâm quay xuèng díi a < d Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối (h×nh 1d) y ¿ x víi x ≥ |x| = -x víi x ≤0 ¿{ ¿ Ch¼ng h¹n: y = §å thÞ hµm sè thuéc hai tia ph©n gi¸c cña gãc vu«ng I vµ II (h×nh1d) x (18) e Đồ thị phần nguyên: y = |x| đó |x| là ký hiệu số nguyên lớn nhÊt kh«ng vît qu¸ x + §å thÞ hµm sè y = |x| víi –1 x < cã d¹ng bËc thang nh (h×nh e1) y= ¿ -1 víi -1 ≤ x <0 víi ≤ x <1 víi ≤ x< 2 víi ≤ x< ¿{{{ ¿ y -1 -1 x (H×nh e1) f NhËn xÐt: * Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng qua trục tung *Hàm số y = f( |x| ) có f(x) = f(-x) với x nên có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Vì vẽ cần: + Vẽ đồ thị y = f(x) với x + Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung * | y| =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà cần vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ VÝ dô: *Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x +3 + TX§: x R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > NghÞch biÕn víi x < Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ y = -1 x = + B¶ng gi¸ trÞ: x .0 y .3 -1 3 y (19) -1 x -1 Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đờng th¼ng x = 2, bÒ lâm quay lªn trªn *Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - |x| + Ta khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét các khoảng giá trị biến y = 2x - |x| = ¿ x víi x ≥ 3x víi x < ¿{ ¿ y + B¶ng gi¸ trÞ: x .0 -1 y .3 -3 + §å thÞ: -1 x x -1 -1 -3-1 §å thÞ hµm sè y = 2x - |x| cã d¹ng nh h×nh ë trªn øng dông: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè Nhận xét: Điểm thấp (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ (lớn nhất), đó hàm số nhận giá trị nhỏ (lớn nhất) Vì tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số tìm điểm cao (thấp nhất) đồ thị *VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = |x − 1|+|x − 2| Gi¶i: (20) Ta cã y = ¿ 2x −3 (x >2) (1≤ x ≤ 2) -2x +3 ( x <1) ¿{{ ¿ Đồ thị hàm số gồm các phần đờng thẳng y = 2x – (x > 2) y = 2x + (x < 1) vµ ®o¹n y = (1 x 2) VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè lµ Min y = x = hoÆc x = Bµi tËp Bµi 1: Cho hµm sè y = √ x2 − x+ 4+ √ x 2+ x +1 + ax a Xác định a để hàm số luôn đồng biến b Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm đợc Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = √ x2 − x+ 4+ √ x +6 x+ −3 √ x2 +2 x+1 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ (x;y) tho¶ m·n |x − 1| + | y −2| =1 Dạng 5: vị trí tơng đối các đồ thị C¬ së lÝ thuyÕt: +Điểm M(xM;yM) đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM = f(xM) + Vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung hai đồ thị Giả sử M(xM;yM) là điểm chung đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x) đồ thị hàm số y = f(x) và M đồ thị hàm số y = g(x) ⇒ M ⇒ yM= f(xM) vµ yM= g(xM) ⇒ (xM;yM) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ¿ y=f ( x) y=g( x ) ¿{ ¿ ⇒ Vậy vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vµo sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ¿ y=f ( x) y=g( x ) ¿{ ¿ (21) C¸ch gi¶i: a Bài toán xác định vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x), (f(x) vµ g(x) cã bËc 2) + Toạ độ điểm chung (nếu có) đồ thị hàm số là nghiệm hệ ¿ y=f ( x) (1) y=g (x) (2) ¿{ ¿ + Phơng trình hoành độ: f(x) = g(x) (3) + Số nghiệm phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) vµ y=g(x), (f(x) vµ g(x) cã bËc 2) Hai đồ thị cắt ⇔ phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt Hai đồ thị tiếp xúc ⇔ phơng trình (3) có nghiệm kép Hai đồ thị không cắt ⇔ phơng trình (3) vô nghiệm * Để biện luận vị trí tơng đối các đồ thị ta biện luận số nghiệm phơng trình (3) * Để xác định toạ độ điểm chung các đồ thị ta giải phơng trình (3) tìm hoành độ x = x0, dựa vào phơng trình (1) (2) để xác định tung độ tơng øng y = y0 (22) Chó ý: Vị trí tơng đối hai đờng thẳng d: y = ax + b và d1: y = (2m – 3)x + + d song song víi d1 ⇔ a = a1; b b1 + d c¾t d1 ⇔ a a1 + §Æc biÖt d vu«ng gãc víi d1 ⇔ aa1= -1 + d trïng víi d1 ⇔ a = a1; b = b1 VÝ dô: Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d1: y = (2m – 3)x + a Biện luận theo m vị trí tơng đối hai đờng thẳng Gi¶i: ¿ m=2m-3 2m≠ ¿{ ¿ ¿ m=3 m≠ ⇔ m = ⇔ ¿{ ¿ 2m – ⇔ m + d // d1 ⇔ + d c¾t d1 ⇔ m + Không có giá trị nào m để d trùng với d1 b Tìm các giá trị m để hai đờng thẳng vuông góc Xác định toạ độ ®iÓm chung cho tõng trêng hîp Gi¶i: + d vu«ng gãc víi d1 ⇔ m(2m – 3) = -1 ⇔ 2m2 – 3m + = ⇔ m = hoÆc m = + Víi m = ta cã d: y = x + vµ d1: y = -x + vu«ng gãc víi Toạ độ điểm chung d và d1 là nghiệm hệ ¿ y=x+ y=-x +2 ¿{ ¿ y 2 ⇔ x 0 Vậy: với m =1 hai đờng thẳng vuông góc với A(0; 2) + Víi m = ta cã d: y = x + vµ d1: y = -2x + vu«ng gãc víi (23) Toạ độ điểm chung d và d1 là nghiệm hệ ¿ y= x +1 y=-2x +2 ¿{ ¿ Vậy với m = hai đờng thẳng vuông góc với tạo B ⇔ y x 2 ( 25 ; 65 ) VÝ dô 2: Biện luận theo m vị trí tơng đối đồ thị các hàm số y = x2 - 4x + m (P) và y = 2x + (d) Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc Giải: Toạ độ điểm chung (P) và (d) là nghiệm hệ ¿ y = x - 4x + m y = 2x + ¿{ ¿ (1) (2) Phơng trình hoành độ: x2 - 4x + m = 2x + ⇔ x2 - 6x + m – = (3) + (P) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ⇔ ph¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ Δ = – m + > ⇔ m < 10 + (P) tiÕp xóc víi (d) ⇔ ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ =9–m+1=0 ⇔ m = 10 Víi m = 10 ph¬ng tr×nh (3) trë thµnh x2 - 6x + = ⇔ x = thay vµo (2) ta cã y = VËy víi m = 10 th× (P) vµ (d) tiÕp xóc víi t¹i ®iÓm A(3;7) + (P) kh«ng giao víi (d) ⇔ ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm ⇔ Δ = – m + < hay m > 10 VÝ dô 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – (P) vµ y = mx2 + (m + 2)x + 8(P' ) cã kh«ng qu¸ mét ®iÓm chung Giải: + Toạ độ điểm chung (nếu có) các đồ thị hàm số là nghiệm hÖ: ¿ y = x - 4x + y = mx +( m+2) x +8 ¿{ ¿ (1) (2) (24) + Phơng trình hoành độ: x2 – 4x – = mx2 + (m + 2)x + ⇔ (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = (3) + (P) vµ (P') cã kh«ng qu¸ mét ®iÓm chung ⇔ ph¬ng tr×nh (3) cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm - XÐt m = 1, ph¬ng tr×nh (3) cã d¹ng: 7x + 16 = ⇔ x = - 16 lµ nghiÖm nhÊt VËy víi m = 1: (P) vµ (P' ) c¾t tai mét ®iÓm - XÐt m 1: (P) vµ (P' ) cã kh«ng qu¸ mét ®iÓm chung ⇔ Δ ⇔ (m+6) – 64(m – 1) ⇔ m2 – 52m + 100 m 26 + ⇔ 26 – √ 576 m √ 576 VËy (P) vµ (P' ) cã kh«ng qu¸ mét ®iÓm chung ⇔ 26 - √ 576 m 26 + √ 576 øng dông: BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) * C¬ së lÝ thuyÕt: + Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x=x0 đó giá trị tơng ứng các vế lµ f(x0) = g(x0) = y0 + Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0;y0) Do đó các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng mặt phẳng toạ độ thì số điểm chung chúng đúng số nghiệm phơng trình (1) * C¸ch gi¶i bµi to¸n: + Biện luận số nghiệm phơng trình f(x) = g(x) (1) phơng pháp đồ thÞ + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' ) trên cùng mặt phẳng toạ độ + BiÖn luËn sè nghiÖm chung cña (C) vµ (C' ) ⇒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh * VÝ dô: (25) VÝ dô 1: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh |x − 1| + |x − 2| vµ y = m trên cùng mặt phẳng toạ độ y 1 x + Theo đồ thị ta có: m<1 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m=1 ph¬ng tr×nh (1) cã v« sè nghiÖm: x m>1 ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt VÝ dô 2: Víi gi¸ trÞ nµo cña a, ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nhÊt (1) |2 x − a| +1= |x +3| Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ |2 x − a| = |x +3| -1 a 2 x a x |2 x − a| x a x a 2 XÐt hai hµm sè y = = |x +3| vµ y= §å thÞ hµm sè cã d¹ng: x x 3 x x 3 -1= y (26) y= |2 x − a| y= |x +3| -1 -3 -4 -2 -1 a x -1 Từ đồ thị ta có: + NÕu a <-4 a >-2 ⇔ a<-8 a>-4 thì đồ thị cắt hai điểm ph©n biÖt nªn ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt + Nếu -4 < a < -2 ⇔ -8 < a < -4 thì hai đồ thị không có điểm chung nªn ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm + Vậy phơng trình (1) có nghiệm ⇔ hai đồ thị có điểm chung nhÊt: ¿ a =− a =− 2 ¿{ ¿ ¿ a=− b=− ¿{ ¿ ⇔ VÝ dô 3: Tìm tất các giá trị thực k để phơng trình: ( x- 1)2 = |x − k| có bốn nghiÖm ph©n biÖt Gi¶i: Ta cã (x - 1)2 = |x − k| ⇔ ( x-1 )2 = |x − k| ⇔ x- k = ± ( x-1 )2 (27) ⇔ ¿ -x + 4x-1=2k x - = 2k ¿{ ¿ (1) (2) y y=2k -2 -1 -1 Ta sử dụng phơng pháp tơng giao đồ thị để giải phơng trình a Ta xÐt hai hµm sè y = -x2+4x-1 vµ y=2k Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng toạ độ y = -x2+4x-1 lµ Parabol(P1) cã giao víi trôc tung lµ (0;-1) nhËn S(2; 3) lµ đỉnh y=2k là đờng thẳng (d) song song với trục 0x b XÐt hµm sè y=x2+1 vµ y=2k Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ y=x2+1 là Parabol(P2) có đỉnh là S'(0;1) y=2k là đờng thẳng song song với trục 0x x (28) Khi đó phơng trình (x-1)2=2 |x − k| có nghiệm phân biệt ⇔ (d) cắt (P1) vµ (P2) t¹i ®iÓm ph©n biÖt ⇔ ¿ 1<2 k <3 2k≠2 ¿{ ¿ ⇔ ¿ <k < 2 k≠1 ¿{ ¿ Bµi tËp: Bài 1: Chứng minh đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với Tìm toạ độ tiếp điểm a.(P): y=x2 vµ (D): y=4x-4 b.(C): y=x2-2x-3 vµ (C'): y=2x2+2x+1 (29) Bài 2: Chứng minh (P): y=mx2-2mx+(m-1) tiếp xúc với đờng thẳng cố định với m Híng dÉn: Các đờng thẳng x=a luôn cắt (P) điểm với a Nên dờng th¼ng (D) tiÕp xóc víi (P) nÕu cã sÏ cã d¹ng y=ax+b Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với m 0 ⇔ Δ =0 ∀ m ⇔ (2m+a)2- 4m(m - 1- b) =0 ∀ m ⇔ 4m(a+1+b)+ a2 = ∀ m ⇔ ¿ a+1+ b=0 a2 = ¿{ ¿ ⇔ a=0 b= -1 ¿ ¿{ ¿ Vậy đờng thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1) ∀ m Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5 Gọi (d) là đờng thẳng qua A(3;2) và hÖ sè gãc m a Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (p) hai điểm phân biệt B, C b Xác định m để BC có độ dài ngắn Chó ý: + NÕu B(xb; yb); C(xc; yc) th× BC2=(xb- xc)2 +(yb- yc)2 + NÕu BC > nªn BCMin ⇔ BC2Min Dạng 6: Điểm cố định (chùm đờng thẳng, chùm Parabol) * C¬ së lý thuyÕt: + §iÓm M (x0;y0) đồ thị hàm số y=f(x) ⇔ y0=f(x0) + Hµm sè y=f(x) (cã phô thuéc vµo tham sè m) lu«n ®i qua ®iÓm M (x0;y0) ⇔ y0=f(x0) víi mäi m + Ph¬ng tr×nh ax2+bx+c=0 cã nhiÒu h¬n hai nghiÖm ⇔ ¿ a=0 b=0 c=0 ¿{{ ¿ C¸ch gi¶i: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) qua víi mäi m (30) Giả sử M (x0;y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) qua với mäi m Ta có: y0=f(x0) (1) đúng với m + Biến đổi (1) phơng trình chính tắc ẩn m (coi x0;y0 là tham số) có nghiÖm víi mäi m suy c¸c hÖ sè cña ph¬ng tr×nh b»ng (2) Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn (2) t×m x0;y0 + (Thử lại) kết luận điểm cố định VÝ dô: Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x- 3m+2 qua với mäi m Gi¶i: Giả sử M(x0;y0) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua với ∀ m ⇔ y0=(2m+1)x0-3m+2 đúng với ∀ m ⇔ 2mx0-3m+x0-y0+2=0 đúng với ∀ m ⇔ (2x0-3)m+(x0-y0+2)=0 đúng với ∀ m ¿ ⇔ ⇔ y 0= ¿{ ¿ Vậy đờng thẳng qua điểm M( ; ) với 2 ¿ x −3=0 x − y 0+ 2=0 ¿{ ¿ x0 = ∀m VÝ dô 2: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 qua víi ∀ m Gi¶i: Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua với ∀ m ⇔ (-m2+m-2)y0=(m2+m-3)x0+2m-5 đúng với ∀ m ⇔ (x0+y0)m2+ (x0+y0+2)m -3x0+ 2y0- = đúng với ⇔ ¿ x 0+ y 0=0 x − y 0+ 2=0 −3 x +2 y −5=0 ¿{{ ¿ ⇔ ¿ x 0=−1 y 0=1 ¿{ ¿ ⇔ Vậy đờng thẳng qua điểm M(-1; 1) với VÝ dô 3: ∀m ∀m (31) Tìm điểm cố định Parabol(P): y = (m2-m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 qua với mäi m Gi¶i: Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (P) qua với m ⇔ y0 = (m2-m+2)x02+(2m+3)x0-4m2+1 đúng với ∀ m ⇔ (x02-4)m2 – (x02-2x0)m + 2x02 + x0 + - y0 = đúng với ∀ m ¿ x − 4=0 x − x =0 x +3 x 0+ 1− y 0=0 ¿ {{ ¿ ⇔ 2 ⇔ ¿ x =2 y 0=15 ¿{ ¿ VËy (P) ®i qua ®iÓm M(2; 15) víi mäi m Bµi tËp Bài 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng qua với giá trị tham sè a (d): y = (2m +1)x – 3m + b (b): (a-1)x + (2a+1)y = c (a): (2m+1)x + (3m-1)y = Bài 2: Tìm m để các đờng thẳng đồng quy (d1): 2x –3y = -1 (d2): (m-1)y = (m+1)x –2 (d3): (2m+1)x +(3m-1)y = Dạng 7: Quỹ tích đại số * C¬ së lý thuyÕt: + Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM =f(xM) thì M thuộc đồ thị hàm số y = f(x) + Hàm số và đồ thị nó tơng ứng là 1-1 C¸ch gi¶i bµi to¸n: Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m Gi¶i: + Biểu diễn toạ độ M theo tham số + Tõ biÓu thøc xM; yM khö tham sè m, biÓu diÔn yM= f(xM) + Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x) (32) * Chó ý: Khi tham sè m cã ®iÒu kiÖn th× tõ ®iÒu kiÖn cña tham sè chØ điều kiện x để giới hạn quỹ tích VÝ dô: VÝ dô 1: Tìm tập hợp giao điểm có hai đờng thẳng (d1): (m-1)x + 2y = (d2): mx + y = -4 Gi¶i: Toạ độ điểm chung M (d1) và (d2) là nghiệm hệ: ¿ (m− 1) x+ y =2 mx + y=− y ¿{ ¿ 11 m+1 ¿ m− y= m+1 ¿ ¿ ¿ ¿ (m− 1) x+ y =3 mx +2 y=− ¿{ ¿ ⇔ ⇔ ¿ −(m− 1) x=11 y=− mx − ¿{ ¿ ⇔ x=− (m 1) ¿ Ta cã 11 x M =− m+1 7m−4 yM = m+1 ¿{ ¿ ¿ 11 m+1 11 y M =7 − m+1 ¿{ ¿ x M =− ⇔ ⇒ yM-xM = ⇒ yM=xM + Bµi tËp Bµi 1: Cho Parabol(P) y = x2 Gọi A và B là giao điểm đờng thẳng y = 2x + m với (P) Tìm quỹ tích trung điểm AB m thay đổi Bài 2: Cho Parabol(P) y = x2 Tìm tập hợp điểm từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc đến (P) Bµi 3: Cho Parabol(P) y= x2 + 7x + T×m ®iÓm M trªn trôc tung cho hai tiÕp tuyÕn cña (P) qua M vu«ng gãc víi Híng dÉn: (33) +M Oy nên M có toạ độ M(0;a) + Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y= kx + a (1) là tiếp tuyến (P) ⇔ Phơng trình hoành độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = (2) có nghiệm kÐp ⇔ Δ = (7 – k)2 –4(6-a) = ⇔ k2 – 14k + 25 + 4a = (3) + Hai tiÕp tuyÕn qua M vu«ng gãc víi ⇔ Ph¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm k1.k2= -1 ⇔ 4a + 25 = -1 ⇔ a= − 13 Ch¬ng III: Bµi tËp tæng hîp Bài 1: Trong cùng mặt phẳng toạ độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (d) là đồ thị hàm số y = -x + m a Tìm a biết (P) qua A(2; 1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc b Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có, và tìm toạ độ tiếp điểm c Gọi B là giao điểm (d) câu với trục tung C là điểm đối xứng A qua trôc tung Chøng tá r»ng: + C n»m trªn (P) + Tam gi¸c ABC vu«ng c©n Híng dÉn: a (P): y = − x b Phơng trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là − x = -x + m ⇔ x2+4x-4m = Cho Δ = ta cã m = vµ tiÕp ®iÓm lµ A(2; 1) c Xác định các điểm: A(2;1); B(0;1); C(-2;-1) Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân Bµi 2: Cho Parabol(P): y = x2 – 4x + a Chứng minh đờng thẳng y = 2x – tiếp xúc với Parabol(P) b Giải đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + > 2x - Bµi 3: Cho Parabol(P): y = x2 , ®iÓm I(0;2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m a VÏ (P) b Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua I và M (34) c Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A; B víi m Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh Chøng minh r»ng tam gi¸c IHK vu«ng c©n Chứng minh độ dài đoạn AB > với m Híng dÉn: + §êng th¼ng (d) y = x +2 m (m 0) + Phơng trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là mx2+4x-4m = Δ >0 + Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác HIK vuông I + TÝnh kho¶ng c¸ch AB: AB2= [( x A+ xB )− x A xB ] cã (1+ m4 )>16 ⇒ AB >4 Bài 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol(P) y = -x2 + 4x – và đờng thẳng (d): 2y + 4x – 17 = VÏ (P) vµ (d) Tìm vị trí điểm A (P) và điểm B (d) cho độ dài đoạn AB ng¾n nhÊt Híng dÉn: AB ngắn tơng đơng với tiếp tuyến với (P) điểm A song song với đờng thẳng (d) + Viết phơng trình đờng thẳng (d') tiếp xúc với (P) và song song với (d) y = -2x + ⇒ A(3;0) + Viết phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') A Xác định giao điểm (d'') với (d) để tìm B(4; ) + Kho¶ng c¸ch AB = √5 lµ lín nhÊt Bài 5: Cho Parabol(P) y = x và hai điểm A;B thuộc B có hoành độ xA = -1; xB= Tìm M thuộc Parabol có hoành độ x |−1 ; 2| cho diÖn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt Híng dÉn: (35) + Khoảng cách tam giác AMB lớn tơng đơng với khoảng cách từ M đến AB lín nhÊt + Khoảng cách từ M đến AB lớn tơng đơng với M là điểm tiếp xúc đờng thẳng song song với AB với (P) Bµi kiÓm tra (Thêi gian: 60’) Câu 1: Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng: a, Hµm sè nµo lµ hµm sè bËc hai? A y = 2x -1 B y = x2 + 5x C y = 2x3 – x -6 D y = 6x x 5x b, Điểm thuộc đồ thị hàm số y = lµ: A M(0; 1) B N(-1; 1) C (0; -1) D (3; 5) c, §å thÞ hµm sè y = ax2 ®i qua ®iÓm A (2; -1) cã hÖ sè a b»ng: A B C D 4 x vµ y = 4x lµ: d, Vị trí tơng đối hai đờng thẳng y = A C¾t B Trïng C Song song víi D Vu«ng gãc víi C©u 2: a, Viết phơng trình đờng thẳng qua gốc toạ độ O và điểm M(2; 4) b, ViÕt ph¬ng tr×nh parabol d¹ng y = ax2 vµ ®i qua ®iÓm M (2; 4) c, Vẽ parabol và đờng thẳng trên cùng hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao ®iÓm cña chóng Câu 3: Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm phơng trình: 2x2 +1 = m Câu 4: Giải bất phơng trình sau đồ thị: x2 < x + §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Câu 1: 2đ (đúng câu đợc 0,5đ) C©u A b c d §¸p ¸n B C D D C©u 2: (4,5®) a, (1, 5®) Đờng thẳng qua gốc toạ độ có dạng: y = ax ( a khác 0) §å thÞ hµm sè ®i qua M(2; 4) nªn: = a Suy ra: a = (tho¶ m·n) VËy: §êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng: y = 2x b, (1,5®) §å thÞ hµm sè y = ax2 ®i qua M (2; 4) nªn ta cã: = a 22 Suy ra: a = (tho¶ m·n ®k a kh¸c 0) VËy: Ph¬ng tr×nh parabol cÇn t×m lµ: y = x2 c, (1,5®) - Vẽ chính xác và đẹp hai đồ thị hàm số trên đợc 1đ - Tìm giao điểm đúng đựơc 0,5đ (36) Cách 1: Dựa vào vị trí hai đồ thị trên hệ trục toạ độ vừa vẽ C¸ch 2: - Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = 2x và y = x2 là nghiệm x 0 x x 0 x( x 2) 0 x2 2 ph¬ng tr×nh: x2 = 2x + Với x1 = thay vào y = 2x ta đợc y1 = + Với x2 = thay vào công thức y = 2x ta đợc y2 = Vậy: Giao điểm hai đồ thị trên là A(0; 0) và B(2; 4) C©u 3: (1, 5®) Vẽ đồ thị y = 2x2 và y = m – - NÕu m < : v« nghiÖm - NÕu m = 1: ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm - NÕu m > 1: Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm C©u 4: (2®) Vẽ đồ thị parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = x+2 trên cùng hệ trục toạ độ Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm phơng trình: x x x 0 ( x 1)( x 2) 0 x 2 x2 = x + - Víi x = -1 th× y = - Víi x = th× y =4 đo đó (P) và (d) cắt hai điểm A(-1; 1) và B(2; 4) Đối chiếu trên hệ trục toạ độ vị trí hai đồ thị trên ta có VËy: NghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ -1< x <2 KÕt qu¶ thùc nghiÖm: (§èi víi 20 häc sinh líp 9C) Số HS cha áp dụng chuyên đề Số HS áp dụng chuyên đề §iÓm TB TØ lÖ §iÓm TB TØ lÖ 6/ 20 30% 14/20 70% PhÇn III: KÕt luËn chung Qua nh÷ng n¨m trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë bËc trung häc c¬ së vµ qua nhiều năm nghiên cứu đề tài "Một số dạng toán hàm số và đồ thị hàm số" tôi đã hiểu cách sâu sắc hàm số và đồ thị Xây dựng đợc hệ (37) thống bài tập phong phú Với hệ thống bài tập xếp từ dễ đến khó theo dạng có phơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc høng thó häc tËp cho häc sinh Lµm cho häc sinh kh«ng cßn thÊy sî "Hàm số" Đúng nh Ăng ghen đã nhận định " Các khái niệm định lợng biến thiên và hàm số đã đa t tởng biện chứng vào toán học và đó phạm vi ứng dụng toán học đã rộng và sâu hơn" Hiện toán häc cßn s©u s¾c vµ linh ho¹t h¬n rÊt nhiÒu so víi thêi kú ¡ng ghen Ch¬ng trình cải cách giáo dục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp nên học sinh líp tiÕp thu kh¸i niÖm " §å thÞ hµm sè" mét c¸ch tù nhiªn, dÔ hiÓu h¬n Đối với đối tợng học sinh khá giỏi có thời gian cần tiếp thu phát triển c¸c øng dông cña tõng d¹ng to¸n, n©ng cao yªu cÇu tõng bµi gióp c¸c em phát huy đợc lực học môn Toán Trên đây là nội dung đề tài mà tôi đã tìm hiểu Trong quá trình thực và trình bày đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót Vì tôi mong đợc góp ý thầy cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp T«i xin tr©n träng c¶m ¬n! Phó Thä, th¸ng 12 n¨m 2010 Ngêi thùc hiÖn NguyÔn TiÕn M¹nh (38) PhÇn IV: Tµi liÖu tham kh¶o Sách giáo khoa đại số lớp 7, đại số lớp Sách phát triển đại số 7, đại số 8, đại số (Vũ Hữu Bình) Trọng điểm đại số (Ngô Long Hậu – Trần Luận) Toán nâng cao đại số (Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ Dơng Thôy) Tài liệu chuyên toán đại số (Hoàng Chúng, Thiệu Hùng, Quang Khải) Gi¶i tÝch I (Hoµng Thôy) B¸o to¸n häc vµ tuæi trÎ C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n – tËp (T«n Th©n, Vò H÷u B×nh , NguyÔn Vò Thanh, Bïi V¨n Tuyªn) (39) Bµi so¹n: §å thÞ hµm sè y = ax (a 0) (líp 7) A Môc tiªu: * Học sinh hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số, đồ thị hàm số y = ax * Học sinh thấy đợc ý nghĩa đồ thị thực tiễn và nghiên cứu hµm sè * Biết cách vẽ đồ thị hàm số B ChuÈn bÞ cña GV vµ HS: * GV: §Ìn chiÕu vµ c¸c phim giÊy (hoÆc b¶ng phô) ghi bµi tËp, kÕt luËn * HS: Thíc th¼ng – b¶ng nhãm C TiÕn tr×nh d¹y häc: Hoạt động GV Hoạt động HS Hoạt động 1: Kiểm tra (8 phút) HS1: Ch÷a bµi tËp 37/68 SGK S1: a) C¸c cÆp gi¸ trÞ cña hµm sè lµ: (Đa đề bài lên màn hình) (0; 0); (1; 2); (2; 4) b) y D C B A 2 HS2: Thực yêu cầu ?1(Đa đề bài ?1 lªn mµn h×nh) GV yªu cÇu HS c¶ líp cïng lµm vµo vë Cho tªn c¸c ®iÓm lÇn lît lµ: M; N; P; Q; R x 0(0; 0) A(1;2) B(2; 4) C(3; 6) D(4; 8) HS2 vµ HS c¶ líp lµm a {(-2;3); (-1;2); (0;-1); (0,5;1); (1,5;-2) b y M N Q 1,5 (40) -2 -1 0,5 -1 -2 x P R (GV bố trí ?1 vị trí phù hợp để giữ HS nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n l¹i gi¶ng bµi GV nhËn xÐt cho ®iÓm HS Hoạt động2: Đồ thị hàm số là gì ?(7 phút) GV: HS2 võa thùc hiÖn ?1 SGK C¸c ®iÓm M, N, P, Q, R biÓu diÔn c¸c cÆp sè cña hµm sè y = f(x) Tập hợp các điểm đó gọi là đồ thị hàm số y= f(x) đã cho HS: Đồ thị hàm số y = f(x) đã GV yªu cÇu nh¾c l¹i cho lµ tËp hîp c¸c ®iÓm(M,N,P,Q,R ) Trë l¹i bµi lµm cña HS1 GV hái: §å thÞ cña hµm sè y = f(x) đợc cho bài 37 là gì? Vậy đồ thị hàm số y = f(x) là gì? GV đa định nghĩa đồ thị hàm số y=f(x) lªn mµn h×nh Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) đã cho ?1 GV: Vậy để vẽ đồ thị hàm số y = f(x) ?1, ta ph¶i lµm nh÷ng bíc nµo HS: §å thÞ cña hµm sè y = f(x) nµy lµ tËp hîp c¸c ®iÓm {O,A,B,C,D} HS: §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ t¬ng øng (x;y)trªn cïng mặt phẳng toạ độ HS: + Vẽ hệ trục toạ độ Oxy + Xác định trên mặt phẳng toạ độ, c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ (x;y) cña hµm sè Hoạt động3: Đồ thị hàm số y = ax (a 0) (19 phót) (41) XÐt hµm sè y = 2x, cã d¹ng y = ax víi a = -Hµm sè nµy cã bao nhiªu cÆp sè (x;y) - ChÝnh v× hµm sè y = 2x cã v« sè cÆp sè (x;y) nªn ta kh«ng thÓ liÖt kª đợc hết các cặp số hàm số Để tìm hiểu đồ thị hàm số này các em hãy hoạt động nhóm làm ?2 GV ®a ?2 lªn mµn h×nh HS: Hµm sè cã v« sè cÆp sè (x;y) HS hoạt động theo nhóm là ?2 (Giấy cña c¸c nhãm cã kÎ « vu«ng mê) Bµi lµm: a (-2;-4); (-1;-2); (0;0); (1;2); (2;4) b y -2 -1 -2 x -4 c Các điểm còn lại có nằm trên đờng GV yªu cÇu nhãm lªn tr×nh bµy bµi th¼ng qua hai ®iÓm (-2;-4) vµ (2;4) lµm §¹i diÖn nhãm lªn tr×nh bµy bµi KiÓm tra thªm bµi lµm cña vµi nhãm lµm kh¸c HS nhËn xÐt GV nhÊn m¹nh: C¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp sè cña hµm sè y = 2x ta nhận thấy cùng nằm trên đờng thẳng qua gốc toạ độ GV ®a lªn mµn h×nh mét mÆt ph¼ng toạ độ biểu diễn các điểm thuộc đồ (42) thÞ hµm sè y = 2x + Ngời ta đã chứng minh đợc rằng: §å thÞ hµm sè y = ax (a 0) lµ mét đờng thẳng qua gốc toạ độ GV yªu cÇu HS nh¾c l¹i kÕt luËn + Từ khẳng định trên, để vẽ đợc đồ thÞ cña hµm sè y = ax (a 0) ta cÇn điểm đồ thị + Cho HS lµm ?4 Đa đề bài lên màn hình HS nhắc lại kết luận đồ thị hàm số y = ax (a 0) Để vẽ đợc đồ thị hàm số y = ax (a 0) ta cÇn biÕt ®iÓm ph©n biÖt cña đồ thị HS c¶ líp lµm ?4 vµo vë Sau Ýt phót gäi HS lªn b¶ng tr×nh bµy y = 0,5x HS tù chän ®iÓm A a A(4;2) y b A GV cho kiÓm tra bµi lµm cña vµi HS + NhËn xÐt: (SGK) Yêu cầu HS đọc phần nhận xét SGK trang 71 + Ví dụ 2:Vẽ đồ thị hàm số y = -1,5x + GV: H·y nªu c¸c bíc lµm x NhËn xÐt bµi lµm cña b¹n + Một HS đọc to phần "nhận xét" SGK HS: + Vẽ hệ trục toạ độ Oxy + Xác định thêm điểm thuộc đồ thÞ hµm sè kh¸c ®iÓm O Ch¼ng h¹n A(2;-3) + Vẽ đờng thẳng OA, đờng thẳng đó là đồ thị hàm số y = -1,5x GV yªu cÇu HS lµm bµi tËp vµo vë Một học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm sè y = -1,5x Hoạt động4: Luyện tập củng cố (10 phút) GV: §å thÞ hµm sè lµ g×? HS: Nêu định nghĩa SGK + §å thÞ hµm sè y = ax (a 0) lµ ®- HS tr¶ lêi c©u hái êng nh thÕ nµo? + Muốn vẽ đồ thị hàm số y = ax ta cÇn lµm qua c¸c bíc nµo? + Cho HS lµm bµi tËp 39 trang 71 HS lµm bµi tËp vµo vë Hai HS lÇn lît lªn b¶ng SGK HS1: Vẽ hệ trục tọ độ Oxy và đồ thị hµm sè y = x; y =-x HS2:Vẽ đồ thị hàm số y = 3x; y =-2x (43) GV: Quan sát các đồ thị bài 39 trả lời HS: Nếu a >0, đồ thị nằm các góc bµi 40 SGK phần t thứ I và thứ III, a < đồ thÞ n»m ë gãc phÇn t thø II vµ thø IV GV cho HS quan sát đồ thị hàm số khác có dạng đờng th¼ng y y= |x| y=2x+3 -3 -1,5 -2 x y = -2 Hoạt động5: Hớng dẫn nhà + Nắm vững các kết luận và cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + Bµi tËp 41;42;43 trang 72,73 SGK 53;54;55 trang 52,53 SBT *********************************** Bµi so¹n: §å thÞ cña hµm sè y = ax2(a 0) (Líp 9) I Môc tiªu : HS biết đợc dạng đồ thị hàm số y=ax2( a 0 ) và phân biệt đợc chóng trêng hîp a > vµ a < Nắm vững tính chất đồ thị và liên hệ đợc tính chất đồ thị với tÝnh chÊt hµm sè Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2( a 0 ) II ChuÈn bÞ : GV : Thíc th¼ng, b¶ng phô (44) HS : Nghiªn cøu tríc bµi; GiÊy kÎ « vu«ng, thíc th¼ng, MTBT III Các hoạt động dạy học : ổn định tổ chức : GV kiÓm tra sÜ sè líp, t c¸ch HS KiÓm tra bµi cò : Gäi HS lªn b¶ng kiÓm tra : HS1 : §iÒn vµo « trèng x -3 -2 -1 y=2x HS2 : §iÒn vµo « trèng x -4 -2 -1 x y= GV nhËn xÐt cho ®iÓm Bµi míi : Hoạt động thầy và trò Hoạt động GV ®a VD VÝ dô : §å thÞ hµm sè y=2x2 Ta thÊy a = > x -3 y=2x2 18 -2 -1 0 Néi dung C¸c vÝ dô : : a, VÝ dô 1: SGK – 33 §å thÞ hµm sè y=2x2 B¶ng gi¸ trÞ t¬ng øng : SGK - 33 A(-3;18) ; B(-2;8) ;C(-1;2) ; O(0;0) ; C’(1;2) ; B’(2;8) ; A’(3;18) Vẽ đờng cong qua các điểm đó Yªu cÇu HS quan s¸t vµ vÏ vµo vë ? Hãy nhận xét dạng đồ thị hàm số trªn ? GV khẳng định : Ta gọi đờng cong trên lµ parabol GV treo b¶ng phô HS quan s¸t vµ lµm ?1 (SGK – 34) HS hoạt động theo nhóm §¹i diÖn c¸c nhãm tr¶ lêi GV chèt l¹i Đồ thị hàm số có dạng đờng cong - §å thÞ hµm sè n»m trªn trôc hoµnh - Các cặp điểm A,A’; B,B’;… đối xøng qua trôc tung - §iÓm thÊp nhÊt lµ O(0;0) GV tiÕp tôc ®a VD 2(SGK -34) x §å thÞ hµm sè y= Tõ b¶ng kiÓm tra lÊy c¸c ®iÓm b, VÝ dô 2: SGK - 34 x §å thÞ hµm sè y= B¶ng gi¸ trÞ t¬ng øng: SGK – 34 1 M(4;8);N(2;2);P(; );O(0;0);P’(1; ); N’(2;-2); M’(4;-8) Yêu cầu HS vẽ đờng cong (45) Yªu cÇu HS lµm ?2 ?2: SGK - 34 - §å thÞ hµm sè n»m díi trôc hoµnh Họat động : Nhận xét - Các cặp điểm M,M’; N,N’… đối ? Qua VD trªn, em cã NX g× vÒ vÞ trÝ xøng qua trôc tung - §iÓm cao nhÊt lµ O(0; 0) đồ thị hàm số y= ax2( a 0 ) ? HS lÇn lît tr¶ lêi NhËn xÐt: SGK - 35 GV chèt l¹i phÇn NX (SGK – 34 ?3: SGK – 35 HS đọc lại phần NX KÕt qu¶ : Yªu cÇu HS lµm ?3 a) D(3;-4,5) Hoạt động nhóm b) GV thu kÕt qu¶ cña c¸c nhãm vµ NX chung x x 10 x 10 GV nhÊn m¹nh toµn bé * Chó ý: SGK - 35 GV ®a chó ý Thùc hµnh vÏ: Chó ý : vẽ đồ thị hàm số y = ax2 tính chất đối xứng đồ thị hàm số nên ta chØ cÇn vÏ sè ®iÓm ë bªn ph¶i trôc Oy lấy đối xứng qua Oy -5 x ¸p dông víi hµm sè y= (SGK – 35) Sự liên hệ đồ thị và tính chất hàm sè ? §å thÞ hµm sè y=2x2 cho ta thÊy ®iÒu g× y x (a 0) cho ta - §å thÞ hµm sè thÊy ®iÒu g× ? HS lÇn lît tr¶ lêi GV chèt l¹i chó ý thø (SGK – 36) -4 -3 -2 -1 O -2 - §å thÞ hµm sè cho ta thÊy víi - a > 0, x âm và tăng thì đồ thÞ ®i xuèng chøng tá hµm sè nghÞch biÕn Khi x d¬ng vµ tăng thì đồ thị hàm số lên chứng tỏ hàm số đồng biến - NhËn xÐt t¬ng tù víi hµm sè y x (a 0) Cñng cè : Qua bài học hôm các em đã đợc học vấn đề gì ? - Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai ẩn - Một số kĩ tính toán và vẽ đồ thị hàm số y = ax2( a 0 ) GV nhÊn m¹nh Híng dÉn vÒ nhµ : - Xem lại các ví dụ đã làm lớp (46) - Làm các BT 4, 5, (Sgk và đọc mục “ Có thể em cha biết”, bài đọc thªm “Vµi c¸ch vÏ Parabol” (47) Môc lôc C¸c ý chÝnh Néi dung PhÇn I Më ®Çu PhÇn II Ch¬ng I I II Ch¬ng II Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu NhiÖm vô nghiªn cøu §èi tîng, ph¹m vi nghiªn cøu Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Nội dung đề tài Một số vấn đề hàm số và đồ thị hàm số Kh¸i niÖm vÒ hµm sè C¸c hµm sè ch¬ng tr×nh THCS Dạy học nội dung hàm số và đồ thị hàm số Dạng Tìm tập xác định hàm số D¹ng T×m gi¸ trÞ cña hµm sè Dạng Xác định công thức hàm số D¹ng §å thÞ hµm sè Dạng Vị trí tơng đối các đồ thị Dạng Điểm cố định Dạng Quỹ tích đại số Ch¬ng III PhÇn III PhÇn IV PhÇn V bµi tËp Tæng hîp Bµi kiÓm tra KÕt luËn chung Tµi liÖu tham kh¶o Bµi so¹n Trang 1 2 3 3 7 12 18 21 29 32 33 36 38 39 40 (48)