Bai 3 chu de 3 do thi va ham so on luyen thi vao lop 10 mon toan

viii Đường thẳng thu được ở ý i cắt hai trục tọa độ tạo thành OCD.. Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng này và cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích gấp 4

BÀI 3 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hàm số bậc nhất

a) Khái niệm

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng yax b với a 0

b) Tính chất

- Hàm số bậc nhất yax b với a 0

+ Đồng biến trên  khi a 0;

+ Nghịch biến trên  khi a 0

- Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng:

+ Với b 0,đường thẳng đó đi qua các điểm (0; 0) và (1; );a

+ Với b 0, đường thẳng đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm

; 0

b a



và (0; ).b

- Ta có a là hệ số góc của đường thẳng d y ax b:  

+ Nếu a 0, góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và d là góc nhọn  và

tan ;

a 

+ Nếu a 0, góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và d là góc tù  và

0

tan(180 )

a  

- Cho hai đường thẳng d y ax b:   và d y a x b' :  '  '

+ d trùng ' ';

'

a a d

b b

 

 





+ d song song ' ';

'

a a d

b b

 

 





+ d cắt 'd  a a';

+ d cắt d’ tại một điểm trên trục tung ';

'

a a

b b

 







+ d vuông góc d'a a ' 1

Độ dài đoạn thẳng AB với ( A x y A; A), (B x y là B; B) AB (x Bx A)2(y By A) 2

Độ dài đoạn thẳng OA với A x y( A; A) và (0; 0)O là

2 2

A A

OA x y

2 Hàm số bậc hai

- Hàm số bậc hai yax2 với a 0 có đồ thị là một đường cong có đỉnh là gốc tọa độ

O, nhận trục tung làm trục đối xứng

+ Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành; (0; 0)O là điểm thấp nhất + Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành; (0; 0)O là điểm cao nhất

- Hàm số bậc hai y ax 2 (a0) :

+ Nếu a 0 thì đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0;

+ Nếu a 0 thì đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0

- Cho đường thẳng d y mx n:   và parabol ( ) :P y ax 2 với a 0 Khi đó phương

trình hoành độ giao điểm của d và (P) có dạng ax2mx n 0 (*) với 2

4

STT Vị trí tương đối

của d và (P) Biệt thức  Ghi chú

1 d tiếp xúc với (P)  0

Hoành độ tiếp điểm

2

m x a

2 d không cắt (P)  0

3 d cắt (P) tại hai

điểm phân biệt  0

Hoành độ các giao điểm là nghiệm của (*)

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

1A Cho đường thẳng d y: (m2)x m 3 và parabol ( ) :P y mx 2 và m 0 là tham

số

a) Khi m   hãy: 1,

i) Vẽ (P) và d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

ii) Tính diện tích tam giác OMN với M N là các giao điểm của , d và ( ).P b) Tìm giá trị của m để:

i) d đi qua ( 2; 2) K  ;

ii) Ba đường thẳng d y1: 2x3,d2:y  x 1 và d đồng quy;

iii) d tạo với đường thẳng y 2 một góc 0

135 ;

iv) d song song với đường thẳng  , biết  đi qua I(1; 2) và vuông góc với

đường thẳng ' : 2x y  3 0;

v) (P) đi qua điểm cố định của d;

vi) d cắt các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2m2 ; vii*) Khoảng cách từ (0; 0)O đến d lớn nhất

viii) Đường thẳng thu được ở ý i) cắt hai trục tọa độ tạo thành OCD Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng này và cắt 2 trục tọa

độ tạo thành tam giác có diện tích gấp 4 lần diện tích OCD

c) Viết phương trình đường thẳng d song song với 3 d y1: 2x3 và đi qua điểm

cố định của d

d) Chứng minh với mọi m0,d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

e) Gọi A x y và ( ;1 1) B x y là các giao điểm của d và (P) ( ;2 2) Hãy tìm:

i) Hệ thức độc lập giữa x và 1 x không phụ thuộc vào m 2

ii) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x 12x22

g) Gọi A x y( ;1 1), ( ;B x y là các giao điểm của d và (P) Hãy tìm m để: 2 2)

i) A và B nằm về hai phía trục tung;

ii) A và B nằm cùng phía của đường thẳng x 1;

iii) x và 1 x thỏa mãn hệ thức 2 x12x2;

iv) AB song song với đường thẳng d4:y3x2017 Tính diện tích tam giác

OAB với m vừa tìm được

h) Khi m 2,gọi M, N là giao điểm của d với hai trục tọa độ Tìm m để diện tích OMN

 nhỏ nhất

1B Cho parabol ( ) :P y2x2 và đường thẳng d y: (m3)x m với m là tham số

a) Khi m 2, hãy:

i) Vẽ (P) và d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

ii) Tính diện tích tam giác OMN với M N là các giao điểm của , d và ( ).P b) Tìm giá trị của m để :

i) d đi qua M ( 1 2) và d/ /d y1: 2x3

ii) d tạo với Ox một góc 60 0

iii) d cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2

iv*) Tìm m để khoảng cách từ (0; 0) O đến d lớn nhất

c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với 3 d2:y 2x1 và đi qua điểm

cố định của d

d) Chứng minh d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

e) Gọi A x y và ( ;1 1) B x y là tọa độ các giao điểm của d và (P) ( ;2 2)

i) Tìm hệ thức độc lập giữa x x không phụ thuộc vào m 1, 2

ii) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

1 1

;

Q

 

iii) Tìm m để A, B có hoành độ âm;

iv) Tìm m để 2 2

3

2

x mx x mx 

v) Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB với trục Oy, tìm m để CA2CB

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

2 Cho parabol ( ) : 1 2

2

P y x và đường thẳng d y: 3x2m5 với m là tham số

a) Khi  1

, 2

m hãy:

i) Vẽ (P) và d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy;

ii) Tìm diện tích tam giác OMN với M N, là các giao điểm của d và ( ).P b) Tìm giá trị của m để :

i) (P) và d tiếp xúc với nhau;

ii) d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B Tìm m để OAB vuông ở O

iii) Giao điểm của 1: 2 1; 2: 2

3

d y x d y x thuộc d;

iv) Khoảng cách từ (0; 0)O đến d nhỏ nhất

c) Tìm giá trị tan của góc tạo bởi d với tia Ox

d) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với 3 d và đi qua điểm cố định của đường thẳng d4:y(m2)x m

e) Trong trường hợp d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, gọi A x y( ;1 1); ( ;B x y là tọa độ 2 2)

hai giao điểm Tìm m để:

i) y1y20;

ii) Biểu thức 2 2 2

1 2 ( 1 2)

Q x x  x x đạt giá trị nhỏ nhất;

iii*) Biểu thức

2 2

m E

  đạt giá trị nhỏ nhất (với 0)

m 

BÀI 3 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1A a) Với m  1, ta có d y:  3x2 và (P): y x2

i) HS tự vẽ hình

ii) Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của PT :

2

x  x 

Giải PT tìm được x11, x2 2

Tọa độ hai giao điểm M(1; 1) và (2; 4).N 

Cách 1 Ta có (1; 0) H (2; 0)K lần lượt là hình chiếu của M và N lên trục Ox

Dựa vào hình vẽ ta có SMON SNOKS MNKHSMOH

Từ đó tính được SMON 1 (đvdt)

Cách 2 Đường thẳng này cắt Oy tại (0; 2) P

b) i) Do d đi qua K nên thay x 2;y2 vào PT của d

y m x m 

Từ đó giải PT tìm được m 5

ii) Tìm được 2 5;

3 3

T 

là tọa độ giao điểm của d d 1, 2

Vì ba đường thẳng đồng quy nên đường thẳng d đi qua T

Từ đó thay tọa độ của T vào PT của d, tìm được m  8

Với m  8 thì d y:  10x5 phân biệt với d d 1, 2

iii) Nhận thấy đường thẳng y 2 song song Ox nên từ giả thiết suy ra d tạo với tia

Ox một góc 1350

Vì 1350 900 nên ta sử dụng công thức

0

tan(180 )

Từ đó thu được 0

m    Thực hiện tra bảng hoặc bấm máy tính ta được

0

tan 45 1 suy ra m 1

iv) Vì    ' Hệ số góc của  là 1

2

a  

Vì  đi qua (1; 2)I nên ta tìm được PT của : 1 5

Ta có 2 0.5

3 2.5

m d

m

  

 



 Từ đó tìm được 3

2

m 

v) Tìm được ( 1; 5)I  là điểm cố định của d

Thay tọa độ của I vào (P) tìm được m 5

vi) Với m 2

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy

Ta có công thức tính

2

OMN

m

m





Từ giả thiếtSOMN 2 m2

Giải PT ẩn m tìm được 7; 1

3

m m (đều TMĐK m 2)

vii) Gọi H là hình chiếu của O lên d

Ta có OHOI 26 ( ( 1; 5)I  là điểm cố định của d)

Suy ra OHmax 26khi dOM

Sau khi viết PT đường thẳng OM ta tìm được 11

5

m 

viii*)) Phương trình d y: 3x8

d cắt Oy, Ox lần lượt tại (0; 8); 8; 0

3

D C  

Đường thẳng cần tìm có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có trị tuyệt đối tung

độ gấp đôi là 16 và 16

Hai đường thẳng cần tìm là y3x16;y3x16

c) Từ giả thiết d3 nên hệ số góc của d1 d là 3 a 2

Vì d đi qua ( 1; 5)3 I  là điểm cố định của d nên ta tìm được PT của d3:y2x7 phân biệt với d 1

d) PT hoành độ giao điểm của d và (P) là:

2 (m 2)x ( 3) 0

mx    m  với (m 0)

Dễ dàng chứng minh được  0 với mọi m 0 nên đường thẳng d luôn cắt (P) tại

2 điểm phân biệt

e) i) Từ PT hoành độ giao điểm của d và (P)

Ta có x1 x2 1 2

m

m

  

Suy ra hệ thức độc lập 3(x1x2) 2 x x1 25

ii) Biến đổi

2 2

2 1 11 11

m

Q       

Vậy min 11 4

4

Q  m 

g) i) Để A, B nằm về hai phía Oy thì x x 1 2 0

Giải BPT m 3 0

m



  tìm được 0

3

m m



 



ii) Hai điểm A, B nằm về hai phía đường thẳng x 1 khi

1 1 2 (1 1)(1 2) 0

x  x  x x  Giải BPT m 1 0

m



 tìm được m 0 hoặc m  1

Suy ra: Để 2 điểm A, B nằm cùng phía của đường thẳng x 1 thì  1 m0

iii) Từ giả thiết x12x2 kết hợp x1 x2 m 2

m



Giải được 1 2( 2), 2 2

  thay vào x x1 2 m 3

m



  Giải PT

2 2

(3 )

m m

  thu được m  1 hoặc 8

11

m 

iv) Từ giả thiết AB d 4 hay d d 4 tìm được m 5.

Cách 1 Tìm được tọa độ hai giao điểm 8 64;

5 5

A 

  và ( 1; 5).B 

Gọi H, K là hình chiếu của A,B trên Ox 8; 0 , ( 1; 0)

5

H  K

 

Ta có công thức tính diện tích

AOB ABHK AOK BOH

S S S S

Từ đó tính được 52

5

ABO

S  (đvdt)

Cách 2 Đường thẳng d cắt Oy ở (0; 8) N

AOB AON BON

S S S  ON x  ON x

h) Với m 2, có

3

; 0 , (0; 3)

2

m

m



Ta có

2

OMN

m





Vậy Smin 10

 khi m 7

1B Tương tự 1A

a) i) HS tự vẽ hình

ii) Ta có SMON S MOH S NOKS MNKH , với H và K là hình chiếu vuông góc của M, N

lên Ox Từ đó tính được 3

2

S  (đvdt)

b) i) m

ii) Tìm được m  3 3

iii) ĐK m 3 Ta có d cắt Oy, Ox tại (0; ), ; 0

3

m

E m F

m

  

  

Xây dựng công thức tính

2

1

OEF

m S

m



Từ đó giải được m  6 hoặc m 2 (đều TMĐK)

iv*) Tìm được điểm cố định mà d đi qua là ( 1; 3) I 

Từ đó suy ra khoảng cách lớn nhất bằng 10 khi 10

3

m 

c) Tìm được đường thẳng d : 3 1 7

y x

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

2

2x (m3)x m 0, có 2

(m 1) 8 0

    

 d luôn cắt (P) tai hai điểm phân biệt

e) i) Tìm được hệ thức: 1 2 1 2 3

2

x x x x  

ii) Ta có

2

3 1 8

Q m

   

8 9

Q

  khi m 9

iii) Giả thiết x10 và x  hay 2 0 1 2

1 2

0 0

x x

x x







Từ đó tìm được: 0m3

iv) Biến đổi về PT:

3

2

x x  m x x x x m x x 

Từ đó giải được 1, 3 33

4

m m 

v) Có (0; )C m mà 1 2

2

2

 



Trường hợp 1 x12x2, không tìm được m

Trường hợp 2 x1 2 ,x2 tìm được 7 13

2

m 

2 a) i) HS tự vẽ hình

ii) Cách 1 Ta có SMON S ONKSMOHS KHMN , với H,K là hình chiếu của M, N lên Ox

Từ đó tính được S  (đvdt) 4

Cách 2 Có M(2; 2); (4; 8)N cắt Oy ở (0; 4). C 

OMN OCN OCM

(đvdt)

b) i) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d :

x  x m  , tính được  ' 4m1

Để (P) và d tiếp xúc thì ' 0 1

4

m

ii) Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ' 0 1

4

m

+) A x y( ;1 1); ( ;B x y2 2);AOBvuông ở O nên

OA OB AB x y x y  x x  y y

Tìm được

5 2

m 

hoặc

7 2

m 

iii) Tìm được M  ( 9; 7) là giao điểm của d d 1, 2

Từ M thuộc d tìm được 25

2

m 

iv) Khoảng cách nhỏ nhất  (0; 0)  d Tìm được khi 5

2

m 

c) Do a  3 0, sử dụng công thức tan  a 3

d) Tìm được ( 1; 2)I  là điểm cố định của d 4

Vì các đường thẳng d là song song với nhau nên

d d a  

Từ đó tìm được PT đường thẳng 3: 1 5

d y  x

e) Câu b ý ii) có 1

4

m  thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Từ đó ta có x1x2 6 và x x1 2 10 4  m

i) Ta có y1y2 3(x1x2) 4 m100m 2

Kết hợp điều kiện 1

4

m  suy ra m

ii) Biến đổi Q16m272m1164m9235

min 35

Q

  khi 9

4

m  (TMĐK 1

4

m  )

iii) Với 1,

4

m 

do x x là 2 nghiệm nên 1, 2 x126x1(4m10) 0 và

2

x  x  m 

Ta có x126x24m 6x1(4m10)  6x24m6(x1x2) 10 26

2 2

26 2 26

m E

m

min 2

E 

khi m  26.

Đây là tài liệu trích trong cuốn “Ôn luyện thi vào lớp 10 Môn Toán”

do Công ty Cổ phần Giáo dục Fermat phát hành

Cuốn sách nằm trong bộ sách dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10:

Để đặt mua sách xin liên hệ theo hotline 0984 208 495 (Mr Tuấn) hoặc:

Fermat Education

Địa chỉ: Số 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội

Fanpage: www.fb.com/fermateducation.Facebook: www.fb.com/tailieudayhoctoan