1Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng ba điểm N, P, D thẳng hàng 2Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A[r]
(1)TĐ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012 MÔN THI: TOÁN (cho tất các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I Câu II 1) Giải phương trình √ x+ 9+ 2012 √ x +6=2012+ √ ( x +9 ) ( x +6 ) 2) Giải hệ phương trình ¿ x 2+ y +2 y=4 x+ y + xy=4 ¿{ ¿ 1) Tìm tất các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đẳng thức: ( x+ y+ )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) 2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= x2 y2 + y x Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không qua O).Giả sử P là điểm thuộc đoạn thẳng AM cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC điểm N khác M 1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O Chứng minh ba điểm N, P, D thẳng hàng 2)Đường tròn đường kính MP cắt MD Q khác M.Chứng minh P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN Câu IV Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ; a+b ≥ c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q= ab+a+ b+c (ab − 1) (a+1)(b+1)(c +1) Trường THCS TT Thanh Ba (2) TĐ HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu a) ĐK : x ≥ -6 √ x+ 9+ 2012 √ x +6=2012+ √( x +9 ) ( x +6 ) √ x+ 9(1− √ x +6)+2012( √( x +6 ) −1)=0 (− √ x +9+2012)(√ ( x+6 ) − 1)=0 Vậy PT có hai nghiệm x = -5 ; x= 4048135 ¿ x + y +2 y=4(1) x+ y + xy=4(2) ¿{ ¿ b) x y y 4 x y xy 8 Cộng vế với vế hai PT được: x y x y xy 12 0 x y x y 0 x y x y 0 x y 2 * x y ** Từ (*) có x 2 y thay vào PT (2) và giải PT y1 0; y2 1 từ đó x 2; x2 1 tìm Từ (**) có x y thay vào PT (2) PT vô nghệm Vậy HPT đã cho có hai nghiệm x; y 1;1 ; 2;0 Bài 2: phần 1: ( x+ y+ )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) ( x+ y+ )( xy+ x + y ) =2 ( x + y +1 ) +3 ( x+ y+ )( xy+ x + y −2 ) =3 (I) Hoặc ¿ ¿ x + y +1=− x+ y +1=−1 x+ y+ xy − 2=− hoặc (II) x+ y+ xy − 2=− ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y +1=1 x + y +1=3 (III) x+ y+ xy − 2=3 hoặc (IV) x+ y+ xy − 2=1 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Giải các hệ pt trên ta thấy hệ (II) có nghiệm (x;y) =(-1;-1) các hpt I; III; IV không thỏa mãn (x;y) nguyên Trường THCS TT Thanh Ba (3) TĐ Vậy có cặp số (x;y) =(-1;-1) thỏa mãn đề bài Phần 2: 3 Ta có ( √ x+1 ) ( √ y +1 )=¿ √ xy + √ x+ √ y +1 ≥3 √ √ xy √ x √ y+1=3 √ xy +1 √3 xy+ 1≥ ⇔ √3 xy ≥1 ⇒ √ xy ≥1 x2 y2 x2 y2 + ≥2 =2 √ xy ≥ y x xy √ Vậy GTNN P=2 x = y = P= Câu D A O P Q B C N M Có DNM PNM 90 => D; P; N thẳng hàng (đpcm) b) Có tứ giác MNPQ nội tiếp => NPM NQM Tứ giác MNAD nội tiếp =>NAM=NDM Mà NPM NAM PNA a) NQM NDM QND PNA QND PAD PQD 90 Có NP là phân giác QNA (1) Tứ giác PQDA nội tiếp QAP PQD Mà QPD MAN (cùng chắn cung MN (O) ) Trường THCS TT Thanh Ba (4) TĐ ANP PAQ PA là phân giác QAN (2) Từ (1);(2) => P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN Bài4: Không tính tổng quát ta có thể đặt ¿ a=1+ β> b=2+ β> c=3+ β> ⇒ ¿{{ ¿ Q= ab+a+ b+c (ab − 1) (a+1)(b+1)(c +1) vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ®Çu bµi = β 3+ β +18 β+ 10 β +9 β +26 β+ 24 a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ; a+b ≥ c ⇒0≤ β≤1 Do đó ta có bài toán sau : Cho ≤ β ≤1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = β3 + β +18 β+ 10 ThËt vËy ta cã β +9 β +26 β+ 24 Víi mäi β ∈ [ 0; ] th× β 2+51 β +86>0 Mµ theo gi¶ thiÕt cã β ≥ ⇒ β ( β2 +51 β+ 86 ) ≥ ⇔ β +51 β +86 β ≥0 ⇔ ( 12 β −5 β3 ) + ( 96 β − 45 β 2) + ( 216 β −130 β ) ≥0 3 ⇔ 12 β + 96 β +216 β ≥5 β +45 β + 130 β ⇔ 12 β 3+ 96 β2 +216 β +120 ≥5 β +45 β +130 β+120 ⇔ 12 ( β 3+ β2 +18 β +10 ) ≥5 ( β +9 β 2+ 26 β+24 ) β +8 β +18 β +10 5 v× β 3+ β2 +26 β +24> ⇔ ≥ ⇒Q ≥ 12 β + β +26 β +24 12 víi mäi β ∈ [ 0; ] VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q lµ 12 a = ; b = ; c = Bài giải trên em có thể chưa chuẩn xác, mong nhận góp ý thầy cô giáo và các bạn Thầy cô nào đã có đề và đáp án vòng môn toán trường Sư Phạm và KHTN thì gửi lên cho em với Em xin cám ơn!!!!! Trường THCS TT Thanh Ba (5)