Bộ đề và đáp án môn toán chuyên thi vào lớp 10 sở GDDT TP hà nội

Chứng minh trong 25 phần tử bất kì của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.. Gọi 'O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ; K là giao điểm của HM v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2014 – 2015 Môn thi : Toán

Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài : 150 phút (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 3

(5 2) 2( 2 1 1) 0

x x   x   2) Giải hệ phương trình

2

(4 1) 2 3

( 12 ) 4 9

Bài III (1,5 điểm)

Với ba số dương x y z, , thỏa mãn x  y z 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho tam giác đềuABC nội tiếp đường tròn  O , H là trung điểm của BC. M là điểm

bất kì thuộc đoạn thẳng BH ( M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho

.

CNBM Gọi I là trung điểm của MN.

1) Chứng minh bốn điểm ,O M H I cùng thuộc một đường tròn , ,

2) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều

3) Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất

Bài V (1,0 điểm)

Cho bảng ô vuông kích thước 3 n (3 hàng; n cột, n là số tự nhiên lớn hơn 1) được

tạo bởi các ô vuông nhỏ kích thước 1 1  Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi một trong hai màu

xanh hoặc đỏ Tìm số n bé nhất để với mọi cách tô màu như thế luôn tìm được hình chữ nhật

tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ nhật đó cùng màu

-Hết -

Lưu ý : Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh :……… Số báo danh : … …… …… Chữ kí của giám thị 1 : ……… Chữ kí của giám thị 2 : ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2014 – 2015

Môn thi : Toán

Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 150 phút

(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Bài I (2,0 điểm)

a a   a  luôn tìm được ít nhất 3 số bằng nhau

Bài III (1,5 điểm)

Với ba số dương , ,x y z thỏa mãn x  y z 1, chứng minh

CN BM Gọi I là trung điểm của MN

1) Chứng minh bốn điểm ,O M H I cùng thuộc một đường tròn , ,

2) Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất

3) Khi điểm M thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác

IAB không đổi

Bài V (1,0 điểm)

Cho tập hợp A gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 36 Chứng minh trong 25 phần tử bất

kì của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau

- Hết -

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… Chữ kí của giám thị 1:……… Chữ kí của giám thị 2:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Năm học 2016 – 2017

Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 08 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút

B

x x

x





 3) Tìm x để biểu thức P  A B có giá trị là số nguyên

Bài III (2,0 điểm)

a) Chứng minh ( )d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt với mọi m

b) Gọi x và 1 x là hoành độ các giao điểm của ( )2 d và ( ) P Tìm m để (x11)(x2 1) 1

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( )O và một điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với

đường tròn ( )O ( B là tiếp điểm) và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I

( I khác , C I khác O ) Đường thẳng AI cắt ( ) O tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và ) E

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE

1) Chứng minh bốn điểm , , ,A B O H cùng nằm trên một đường tròn

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh : ……… Số báo danh:…… ……….……

Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1 : Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2 :

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Năm học 2016 – 2017

Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 08 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút

B

x x

x





 3) Tìm x để biểu thức P  A B có giá trị là số nguyên

Bài III (2,0 điểm)

a) Chứng minh ( )d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt với mọi m

b) Gọi x và 1 x là hoành độ các giao điểm của ( )2 d và ( ) P Tìm m để (x11)(x2 1) 1

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( )O và một điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với

đường tròn ( )O ( B là tiếp điểm) và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I

( I khác , C I khác O ) Đường thẳng AI cắt ( ) O tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và ) E

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE

1) Chứng minh bốn điểm , , ,A B O H cùng nằm trên một đường tròn

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh : ……… Số báo danh:…… ……….……

Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1 : Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2 :

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: Toán Ngày thi: 08 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM (ĐỀ CHÍNH THỨC)

Bài I

2,0 điểm

Thay x25 vào biểu thức A 0,25 Tính được 7

2,0 điểm Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình 2,0

Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là x  m Đk x0 0,25 Chiều rộng mảnh vườn là 720

Chiều dài mảnh vườn sau khi tăng 10 m là 1 0x  m 0,25 Chiều rộng mảnh vườn sau khi giảm 6 m là 720 6

x   m 0,25

x

x x x

y y

x y

2a) Chứng minh ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt … 0,5

a) Hoành độ giao điểm của ( )d và ( ) P là nghiệm của phương trình:

 

x  xm  x  xm   0,25 Xét  2  2  2

Δ 3  4 m  1 4m  5 0 , m Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m hay ( )d

luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt m

90

ABO 0,25 + Chứng minh được 0

90

AHO 0,25 + Suy ra bốn điểm , , ,A B O H

cùng nằm trên một đường tròn đường kính AO

0,25

H

E D

C

B

O A

I

2) Chứng minh AB BD

+ Chứng minh được ABD AEB 0,25

+ Xét ABD và AEB có EAB chung 0,25

+ Chứng minh được ABD đồng dạng AEB (g.g) 0,25

+ Suy ra AB BD

+ Tứ giác ABOH nội tiếp suy ra OBH OAH mà OAH HEK

(do EK // AO ) suy ra HBK HEK 0,25

+ Suy ra tứ giác BHKE nội tiếp 0,25

+ Chứng minh được BKH BCD (cùng bằng BEH ) 0,25

Gọi giao điểm tia CE và tia AO là Q , Tia EK và CD tại điểm M

+ Xét DEM có HK // DM và H là trung điểm của đoạn DE Suy

ra K là trung điểm của đoạn thẳng ME

+ Chứng minh được COE BOF(g.c.g)OEOF.

Mà OBOC OEOBOCOEOF Suy ra tứ giác BECF

C

B

O A

I

M

Q

F P

K H

E D

C

B

I

Bài V

0,5 điểm Tìm giá trị lớn nhất của P x y. 0,5

Điều kiện x 6 và y 6

Từ giả thiết ta có P x 6 y6Nên P0 và 2   

10

x y

x y

x y

- Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

- Bài IV: Thí sinh vẽ sai hình trong phạm vi câu nào thì không tính điểm câu đó

Lời giải cách khác Bài V:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2016 – 2017

Môn thi : TOÁN

Ngày thi : 09 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài : 150 phút

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Bài I (2,0 điểm)

Bài III (2,0 điểm)

1) Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , a2b2 c2 3 Chứng minh

1) Chứng minh hai tam giác BPC và ' CPB đồng dạng '

2) Các đường phân giác của các góc BPC CPB lần lượt cắt ', ' AB AC tại các ,

điểm E và F Gọi 'O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ; K là giao điểm của

HM và AO '

a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp

b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ( ')O cắt nhau tại một

điểm nằm trên đường tròn ( )O

Bài V (1,0 điểm)

Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn Chứng minh tồn tại hai

số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không

thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau

-Hết -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh : ……… Số báo danh :…… ……….……

Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1 : Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2 :

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 09 tháng 6 năm 2016

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

chia 3 dư 1 và x chia 3 dư 0 hoặc 12  2

2.4 k x chia 3 dư 0 hoặc 2

1 3 ,

m  b a b 

 2 2

0,25

3

IV

1 Chứng minh hai tam giác BPC' và CPB' đồng ạng 1,0

Gọi L là điểm đối xứng của A qua

OBHCL là hình bình hànhHL đi qua trung điểm của BC

PF  HF  là phân giác của góc

EPF PH đi qua điểm chính giữa của cung EF không chứa A

Lại có ΔAEF cân tại AAO' là phân giác EAFAO' đi qua điểm chính giữa

của cung EF không chứa A

0,25

Từ đó K là giao điểm AO với ' PH thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔAEF

Gọi D là điểm chính giữa của cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp

ΔABC , Q là điểm đối xứng của D qua BC tứ giác BHQC nội tiếp

0,25 Gọi E' là giao điểm của HQ và ABBHE'QCB

0,25

Tương tự DF là tiếp tuyến đường tròn  O

Do đó các tiếp tuyến của đường tròn  O tại E và F cắt nhau tại điểm D nằm

trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC

0,25

V Cho 2017 số hữu tỷ ương được viết xung quanh một đường tròn 1,0

Giả sử ta không thể tìm được hai số như thế

Không mất tính tổng quát ta cho là các số đều là số nguyên dương và không cùng

chẵn

0,25

Gọi S là tổng của tất cả các số trong đề bài Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu S là số chẵn

Ta có các số không thể cùng là số lẻ, suy ra có ít nhất một số chẵn, do đó có hai số

cạnh nhau khác tính chẵn lẻ, bỏ đi hai số này ta thấy các số còn lại không thể chia

thành hai nhóm mà tổng các số ở hai nhóm bằng nhau

0,25

Trường hợp 2: Nếu S là số lẻ

Tồn tại hai số cạnh nhau có cùng tính chẵn lẻ (vì nếu không chúng sẽ chẵn-lẻ luân

phiên, không thể xảy ra điều này vì 2017 là số lẻ), bỏ đi hai số này ta thấy các số

còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở hai nhóm bằng nhau

0,25

Vậy luôn tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn để khi bỏ hai số

đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi

nhóm bằng nhau

0,25

Chú ý :1) Nếu thí sinh có cách giải đúng mà khác với hướng dẫn chấm thì giám khảo thống nhất chia

điểm dựa vào hướng dẫn chấm dành cho câu hay ý đó

2) Bài IV : học sinh không có hình vẽ tương ứng thì không cho điểm

3) Điểm tổng toàn bài để lẻ đến 0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi : TOÁN

Ngày thi : 09 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài : 150 phút

(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình  2 2

2x1  9 4 x x 2) Giải hệ phương trình

Bài III (2,0 điểm)

1) Tìm t t cả các cặp số nguyên dương ( ; )m n sao cho (2 m1) n và (2n1) m.2) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  1 Chứng minh

1 1 1 1 .4

Cho đường tròn ( )O và điểm M nằm ngoài đường tròn Từ M kẻ các tiếp

tuyến MA MB, với đường tròn (A B, là các tiếp điểm) Đường thẳng qua M cắt đường

tròn ( )O tại C và D ( MCMD) sao cho điểm O nằm trong tam giác BCD Gọi E là

điểm đối xứng của C qua O Gọi S là giao điểm của EA và BC

1) Chứng minh hai tam giác OAC và MAS đồng dạng

2) Đường thẳng SD cắt ( )O tại điểm thứ hai K. Chứng minh tam giác BKC cân 3) Gọi N giao điểm của MO và AE Chứng minh NDDA

Bài V (1,0 điểm)

Cho 101 số nguyên dương có tổng bằng 300 được viết trên một đường tròn Chứng minh luôn tồn tại một dãy các số viết liền nhau có tổng bằng 100

-Hết -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh : ……… Số báo danh :…… ……….……

Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1 : Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2 :

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 09 tháng 6 năm 2016

(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

2

1 2

1 0

1

x y

3 0

1

x y

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ; )m n sao cho (2 m1) n và (2n1) m 1,0

Giả sử m n là một cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán Vì ;  2m 1 và 2n 1 là các

số lẻ nên m và n là các số lẻ Không mất tính tổng quát, giả sử m n

 (2) không thể xảy ra

Thử lại ta được các cặp m n thỏa mãn là ;       1;1 , 3;5 , 5;3

90

Từ (1) và (2) ΔAOM đồng dạng ΔACF

BNM  ANM SNM  NAH  EABBECSBM

H là giao điểm của AB và OM

tứ giácBMSN nội tiếp, mà tứ giác MSDB nội tiếp N nằm trên

0,5

Xét tam giác DEN và tam giác DCA có:

Gọi các số nguyên dương theo thứ tự trên đường tròn là a a1; 2; ;a101

TH2: Nếu trong các số S S1, 2, ,S100 không tồn tại số nào chia hết cho

100, theo nguyên tắc Đirichlet tồn tại hai số cùng số dư khi chia cho

- Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

- Bài IV: Thí sinh vẽ sai hình trong phạm vi câu nào thì không tính điểm câu đó

UBND QUẬN LONG BIÊN ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 - THPT

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

3) Tìm các giá trị nguyên của x để hiệu A – B có giá trị là số tự nhiên

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một canô chạy trên sông 5 giờ, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 63 km Một lần khác, cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 84 km Tính vận tốc riêng của canô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của canô không đổi

x y x

1) Chứng minh: Tứ giác CDNE nội tiếp

2) Chứng minh: Ba điểm C, K, N thẳng hàng và CD.BD = KD.DE

3) Tiếp tuyến tại N của nửa đường tròng (O) cắt đường thẳng d tại F

đường thẳng cố định

Bài 5: (0,5 điểm)

Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x.y=2

2

M

x y x y

   

UBND QUẬN LONG BIÊN

TRƯỜNG THCS ĐỨC GIANG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 - THPT

NĂM HỌC: 2015-2016 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 120 PHÚT Đáp án- Biểu điểm chấm

2 3

0,25đ 0,25đ 2.Rút gọn biểu thức B

1

3

33

1

1

3

33

56

2

3

1:

33

5)

3(

2

3

1:

33

53

2

3

1:

9

53

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

B

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

3.Tìm các giá trị nguyên của x để hiệu A-B có giá trị là số tự nhiên

+Tìm ra x = 0

0,25đ 0,25đ

Bài 2

(2 điểm)

Gọi vận tốc riêng của cano là x (km/h) Gọi vận tốc dòng nước là y (km/h) (x > y > 0) Vận tốc cano xuôi dòng là : x+y (km/h)

Vận tốc cano ngược dòng là: x-y (km/h)

Ta có phương trình:

0,25đ

0,25đ 0,25đ

5 63 54







 y x y x

Thời gian cano xuôi dòng 108km là:

y

x 

108 (h)

Thời gian cano ngược dòng 84km là:

y

x 

84 (h)

Ta có phương trình:

8 84





 y x y x

56354

y x y x

y x y x

Giải hệ phương trình tìm được

Vậy vận tốc riêng của cano là 24km/h

0,25đ

0,25đ

0,5đ 0,25đ

a x







 2 1

1

b a

b a

Giải hệ phương trình ta được

b a

3 1 3

2 2 1

y

x y

x x

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0.0

2 1

x x

2 3

x   

) ( 7

0 50 ) 2 ( 15 125

) (

10 ) (

3 2 1

tm m

m

x x x

x x x x

DC BD

3)

Chứng minh

Từ (1) và(2)  F là trung điểm của KE

OFMN

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 4)

Gọi H là điểm đối xứng với C qua D

Chứng minh tứ giác BEKH nội tiếp

0,25đ 0,25đ

Bài 5

(0,5

điểm)

y x y x

y x

y x

y x

y x y x M

8 2

2

2

3 2

2

2

3 2

1

4

5 2

5

4 2

2 2 2

y x

xy y

x

4 11

4 2

8 2

y x

0,25đ

0,25đ