CHỦ ðỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỤNG NHIỀU ðẾN PHÉP BIẾN ðỔI LƯỢNG GIÁC Nếu thấy phương trình lượng giác không thuộc các dạng ñã xét ở trên, thì trước hết cần phần dùng các phép biế[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần 1: BỔ SUNG LÝ THUYẾT LƯỢNG GIÁC: A Công thức lượng giác: Hệ thức bản: sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 1 + tan a = ; + cot a = cos a sin a Công thức cộng: sin( a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b tan a + tan b tan( a + b) = − tan a.tan b Hệ quả: sin( a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b tan a − tan b tan( a − b) = + tan a.tan b π + tan x π − tan x tan + x = , tan − x = 4 − tan x 4 + tan x Công thức nhân: 3.1 Công thức nhân ñôi: sin2a = 2sina.cosa cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a tan a cot a − ; cot a = − tan a cot a − cos a + cos 2a − cos 2a 3.2 Công thức hạ bậc: sin a = ; cos a = ; tan a = 2 + cos 2a tan a − tan a Công thức nhân ba: sin 3a = 3sin a − 4sin a; cos 3a = cos3 a − 3cos a; tan 3a = − tan a a Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : 1− t2 a 2t 2t ðặt: t = tan (a ≠ π + 2kπ ) thì: sin a = ; a = ; tan a = cos 2 1+ t 1+ t 1− t2 tan 2a = Công thức biến ñổi: Công thức biến ñổi tổng thành tích: a+b a−b a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos sin a − sin b = cos sin 2 2 a+b a −b a+b a−b cos a + cos b = cos cos cos a − cos b = − 2sin sin 2 2 sin( a + b) sin( a − b) tan a + tan b = tan a − tan b = cos a.cos b cos a.cos b sin( a + b) sin(b − a ) cot a + cot b = cot a − cot b = sin a.sin b sin a.sinb π π sin a + cos a = 2.sin a + = 2.cos a − 4 4 (2) π π sin a − cos a = sin a − = − cos a + 4 4 Công thức biến ñổi tích thành tổng: 1 cos a.cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b)] sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] 2 sin a.cos b = [sin(a − b) + sin(a + b) ] B Phương trình lượng giác bản: Phương trình sinx = sina x = α + k 2π a/ sin x = sin α ⇔ (k ∈ Z ) x = π − α + k 2π sin x = a Ñieàu kieän : − ≤ a ≤ x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔ (k ∈ Z ) x = π − arcsin a + k 2π c/ sin u = − sin v ⇔ sin u = sin( −v ) b/ π d/ sin u = cos v ⇔ sin u = sin − v 2 π e/ sin u = − cos v ⇔ sin u = sin v − 2 Cc trường hợp ñặc biệt: sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) sin x = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z ) sin x = − ⇔ x = − sin x = ± ⇔ sin x = ⇔ cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = π π + k 2π (k ∈ Z ) + kπ ( k ∈ Z ) Phương trình cosx = cosa a/ cos x = cos α ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z ) b/ cos x = a Ñieàu kieän : − ≤ a ≤ cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π ( k ∈ Z ) c/ cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v ) π d/ cos u = sin v ⇔ cos u = cos − v 2 π e/ cos u = − sin v ⇔ cos u = cos + v 2 Cc trường hợp ñặc biệt: π + kπ ( k ∈ Z ) cos x = ⇔ x = k 2π ( k ∈ Z ) cos x = ⇔ x = cos x = − ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ Z ) cos x = ± ⇔ cos x = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ Z ) Phương trình tanx = tana a/ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ Z ) b/ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z ) c/ tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v) 2 (3) π d/ tan u = cot v ⇔ tan u = tan − v 2 π e/ tan u = − cot v ⇔ tan u = tan + v 2 Các trường hợp ñặc biệt: tan x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) tan x = ± ⇔ x = ± π + kπ ( k ∈ Z ) Phương trình cotx = cota cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z ) cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z ) Các trường hợp ñặc biệt: cot x = ⇔ x = π Phần 2: Các dạng bài tập: + kπ (k ∈ Z ) cot x = ± ⇔ x = ± π + kπ ( k ∈ Z ) CHỦ ðỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ðỐI VỚI SINX VÀ COSX A Lý thuyết bản: Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c ðiều kiện có nghiệm: a + b ≥ c Cách giải: có hai cách a a c a) Phương pháp 1: ðưa phương trình dạng sin x + cos x = hay 2 2 a +b a +b a + b2 c sin( x + α ) = a + b2 x x x x b) Phương pháp 2: xét hai khả năng: cos = , cos ≠ Với cos ≠ , ñặt tan = t qui 2 2 phương trính ñã cho phương trình bậc với t B Bài tập: x x + cos )2 + cos x = 2 (1 − 2sin x) cos x Bài: (KA-09) = (1 + 2sin x)(1 − sin x ) Bài: (KD-07) (sin Bài: (KB-09) sin x + cos x.sin x + cos x = 2(cos x + sin x) Bài: (KD-09) cos x − sin x.cos x − sin x = Bài: 4(sin x + cos x) + sin x = ðS: x = − ðS: x = − ðS: x = − ðS: x = π π 18 π +k 2π + k 2π , x = π 18 ðS: x = − + k 2π , x = +k π π +k Bài: 2(sin x + cos x) cos x = + cos x 12 ðS: vô nghiệm Bài: Giải phương trình (1 + 3) sin x + (1- 3) cos x = ( PP 2) ðS: x = π 42 ,x = + k 2π , x = π ,x = − π π + k 2π +k π π 2π +k +k π π 5π + k 2π π π Bài: Tìm m ñể phương trình sin x + m cos x = − m có nghiệm thuộc − ; ðS: −1 ≤ m ≤ (PP 2) 2 (4) CHỦ ðỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP BẬC 2, BẬC ðỐI VỚI SINX VÀ COSX A Lý thuyết: Dạng phương trình: a) Phương trình ñẳng cấp bậc ñối với sinx và cosx dạng: a sin x + b sin x cos x + c cos x + d = b) Phương trình ñẳng cấp bậc ñối với sinx và cosx dạng: a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos3 x = ( dạng suy rộng: a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos3 x + ( m sin x + n cos x) = Cách giải: Kiểm tra xem cosx=0 có là nghiệm phương trình không? Sau ñó xét trường hợp cos x ≠ ðặt tanx=t, ñưa phương trình ñại số với ẩn t B Bài tập: Bài : (KB-08) sin x − cos3 x = sin x cos x − cos x sin x ðS: x = − ðS: x = − Bài: sin x.(tan x + 1) = 3sin x(cos x − sin x) + π Bài : cos3 x + = cos x 3 π π + kπ , x = + kπ , x = ± ðS: x = kπ , x = π π π +k π + kπ + kπ , x = π + kπ π + kπ Bài : Cho phương trình sin x + (2m − 2) sin x cos x − ( m + 1) cos x = m Tìm m ñể phương trình có nghiệm ðS: −2 ≤ m ≤ Bài : Cho phương trình mcos x − sin x cos x + m − = Tìm m ñể phương trình có nghiệm thuộc π 0; 4 tan x + tan x + = m , SD PP hàm số ðS: < m < HD: ñưa PT dạng tan x + ðS: x = Bài : sin x + cos x − sin x = CHỦ ðỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX A Lý thuyết bản: Dạng phương trình a (sin x + cos x) k + b(sin x cos x ) m + c = (1) a (sin x − cos x) k + b(sin x cos x) m + c = (2) Cách giải: t ≤ Với phương trình 1: ñặt t = sin x + cos x → t = t ≤ Với phương trình 1: ñặt t = sin x − cos x → t = B Các dạng bài tập: π và sin x cos x = sin( x + ) π và sin x cos x = sin( x − ) ðS: x = k 2π , x = − Bài : (1 + sin x).cos x + (1 + cos x).sin x = + sin x Bài : + sin x + cos3 x = sin x Bài : + tan x = 2 sin x π t −1 1− t2 + kπ , x = ðS: x = π + k 2π , x = − ðS: x = π π + k 2π + k 2π 11π 5π π + k 2π , x = − + k 2π , x = + k 2π 12 12 4 (5) kπ 3 Bài : Cho phương trình sin x − cos x = m Tìm m ñể phương trình có nghiệm Bài : sin x − cos x + 4sin x = ðS: x = ðS: −1 ≤ m ≤ CHỦ ðỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỤNG NHIỀU ðẾN PHÉP BIẾN ðỔI LƯỢNG GIÁC Nếu thấy phương trình lượng giác không thuộc các dạng ñã xét trên, thì trước hết cần phần dùng các phép biến ñổi lượng giác thông dụng: CT cộng, CT nhân, CT biến tổng thành tích, biến tích thành tổng, VT hạ bậc ) ñể ñưa phương trình ban ñầu các dạng trên ñưa phương trình tích mà thừa số có dạng phương trình 2π π Bài : (KD-08) sin x(1 + cos2 x) + sin x = + cos x ðS: x = ± + k 2π , x = + kπ k π π π π 2π ðS: x = Bài : (KB-07) sin 2 x + sin x − = sin x ,x = +k ,x = +k 18 18 6 2(cos x + sin x) − sin x.cos x 5π =0 ðS: x = + k 2π Bài : (KA-06) − sin x kπ ðS: x = Bài : (KA-05) cos x.cos x − cos x = x x π π ðS: x = π + k 2π , x = − + kπ Bài : (KD-03) sin − tan x − cos = 2 4 π 2π π 2π Bài : sin x(1 − 4sin x) = ðS: x = + k ,x = +k 14 10 DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Bài: (KD-04) (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x − sin x Bài: (KB-05) + sin x + cos x + sin x + cos x = Bài: (CðSP MGTW -04) + cos x − cos x = sin x + sin x Bài: (ð52?) + sin x + cos x + tan x = Bài: (TK-03) − tan x(tan x + sin x) + cos x = cos x(cos x − 1) = 2(1 + sin x) sin x + cos x Bài: (KB-02) sin x − cos x = sin x − cos x cos x Bài: ( KA-03) cot x − = + sin x − sin x + tan x π x x Bài: (KD-03) sin − tan x − cos = Bài: (TK-04) sin x.sin x = cos x.cos x Bài: (TK-03) π Bài: (TK-06) sin(2 x − ) + sin x + = Bài: (TK-06) cos x + sin x + sin x = Bài: (TK-06) sin x + sin x + 3sin x + cos x = Bài: (TK-06) (2sin x − 1) tan 2 x + 3(2 cos x − 1) = Bài: (TK-06) cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x ) = Bài: (CðSP KA-04) sin x + cos3 x = sin x − cos x Bài: (ð43) cos x.cos x = cos x.cos x (6) cos x(cos x − 1) 3π Bài: (CðGTVT-05) Tìm x thuộc 0; thỏa mãn: = 2(1 + sin x) sin x + cos x Bài: (ð 52) + sin x + cos x + tan x = Bài: ( ð 54) tan x + cos x.cot x = cot x Bài: ( ð 57) sin x = sin x + cos x Bài: ( ð 58) + cos x + cos x = Bài: (KA-07) (1 + sin x).cos x + (1 + cos x).sin x = + sin x Bài: (KB-07) sin 2 x + sin x − = sin x Bài: (KB-08) sin x − cos3 x = sin x cos x − cos x sin x 1 7π Bài: KA-08 + = 4sin( − x ) π s inx sin( x − ) Bài: KD-08 2sin x(1 + cos2 x) + sin x = + cos x Bài: Thi thử 09 3(2 cos x + cos x − 2) + (3 − cos x) sin x = + sin x + cos x Bài: KA-2011 = sin x sin x + cot x s in2x + cos x − sin x − Bài: KD-2011 =0 tan x + Bài: KB-2011 sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ Bài: (ð 49) cos x + cos x − = Bài: KD-06 cos x + cos x − cos x − = Bài: KD-02 Tìm x thuộc [ 0;14] nghiệm phương trình cos x - cos x + 3cos x - = Bài: ð72 sin x + cos3 x = − sin x 2 sin x Bài: KA-05 cos x.cos x − cos x = 2(cos6 x + sin x) − sin x.cos x Bài: KA-06 =0 − 2sin x Bài: TK-02 Xác ñịnh m ñể phương trình : 2(sin x + cos x) + cos4 x + 2sin x + m = có ít Bài: KB-03 cot x − tan x + 4sin x = π nghiệm thuộc 0; 2 sin x + cos x 1 Bài: TK-02 = cot x − 5sin x 8sin x Bài: TK-03 cos x + cos x(2 tan x − 1) = Bài: TK-03 3cos x − 8cos x + cos x + = cos x Bài: TK-03 cot x = tan x + sin x Bài: KB-04 5sin x − = 3(1 − sin x) tan x π π Bài: KD-05 sin x + cos x + cos( x - ).sin(3 x − ) − = 4 Bài: TK-04 − sin x + − cos x = (7) π cos x − Bài: TK-05 tan( + x) − tan x = cos x 2 Bài: TK-05 sin x.cos x + cos x(tan x − 1) + 2sin x = x Bài: KB-06 cot x + sin x(1 + tan x.tan ) = Bài: Cð Tr Hình KA-05 cos2 x + cos x(2 tan x − 1) = Bài: Cð KTCNII-06 sin x + cos3 x = 2(sin x + cos x) − Bài: ð65 (1 + sin x)(1 + cos x) = 3π sin x Bài: ð 80 tan( − x) + =2 + cos x CHỦ ðỀ 5: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THUỘC MỘT MIỀN CHO TRƯỚC Với các dạng toán này, PP giải sau: Bước 1: Giải phương trình lượng giác bình thường Bước 2: Với nghiệm tìm ñược, ñể xác ñịnh số k công thức nghiệm ta giải BPT ( tìm nghiệm nguyên) Bước 3: Thay giá trị k tìm ñược vào công thức nghiệm bước cos x + sin x Bài : (KA-02) Tìm nghiệm thuộc ( 0; 2π ) phương trình: sin x + = cos2 x + + 2sin x ðS: x = Bài : (KD-02) Tìm x thuộc [ 0;14] nghiệm phương trình cos x - cos x + 3cos x - = ðS: x = π ,x = π ,x = 5π 3π 5π 7π ,x = ,x = 2 2 cos x − cos x − Tìm tổng các nghiệm PT trên [1;70] Bài : Cho phương trình cos x − tan x = cos x ðS: 363π BÀI TẬP TỰ GIẢI π 2π π 2π +k ,x = +k 18 3 π α x = − + kπ (cos α = , sin α = ) 5 π 2π 2π 2π x= +k ,x = +k π π x = + kπ , x = ± + kπ π x = + kπ Bài 1: 4sin x − = 3sin x − cos x ðS: x = Bài 2: 2sin x + 3cos x + 16sin x cos x − = ðS: Bài 3: sin 3x + ( − 2) cos x = ðS: Bài 4: 4sin x + 3cos3 x − 3sin x − sin cos x = ðS: π sin x + = 2sin x 4 Bài 6: sin x − cos x + sin x = ðS: Bài 5: ðS: x = π Bài 7: sin x + sin( x − ) = π + k 2π , x = π + k 2π , x = π − α + k 2π , x = ðS: x = π 5π + α + k 2π (sin α = ) + kπ , x = π + k 2π , x = π + k 2π (8) Bài 8: Tìm m ñể phương trình sin x + 4(cos x − sin x) = m ðS: −4 − ≤ m ≤ − Bài 9: cos x + = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) ðS: x = Bài 10: sin x + cos3 x = 2(sin x + cos5 x) ðS: x = Bài 11: cos x − 8cos x + = cos x π π + k 2π , x = π + k 2π +k π ,x = ðS: x = k 2π , x = ± π π + kπ + k 2π π x Bài 12: Tìm nghiệm thuộc khoảng (-2;4) phương trình: sin x cos x + 2sin 2 x = − 4sin − 2 ðS: x = π 1 − = cot x Bài: DB KA-07 sin x + sin x − 2sin x sin x π π Bài: DB KA-08 sin(2 x − ) = sin( x − ) + 4 π π Bài: DB-KB-08 2sin( x + ) − sin(2 x − ) = x Bài: (DB KB-08) 3sin x + cos x + sin x = 4sin x.cos 2 4 Bài: (DB KD-08) 4(sin x + cos x) + cos x + sin x = Bài: (DB-KA-08) tan x = cot x + cos 2 x (1 − 2sin x) cos x Bài: (KA-09) = (1 + 2sin x)(1 − sin x ) Bài: (KB-09) sin x + cos x.sin x + cos x = 2(cos x + sin x) Bài: (KD-09) cos x − 2sin x.cos x − sin x = Bài: (DB KD-07) (1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x Bài: (DB KD-07) 2 sin( x − π ).cos x = 12 sin x cos x Bài: (DB-KB-07) + = tan x − cot x cos x sin x 5x π x π 3x Bài: (DB-KB-07) sin( − ) − cos( − ) = cos 4 2 Bài: (DB-KA-07) cos x + sin x.cos x + = 3(sin x + cos x) π (1 + sin x + cos x).sin( x + ) = cos x Bài: (KA-2010) + tan x Bài: (KB-2010) (sin x + cos x) cos x + cos x − sin x = Bài: (KD-2010) sin x − cos x + 3sin x − cos x − = (9)