PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG HƯNG TRƯỜNG THCS AN CHÂU - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán Thời gian làm : 90 phút - Bài (4,0 điểm) 3 99 100 99 100 3 3 3 Chứng minh : C< 16 Cho biểu thức : C Bài 2: (3 điểm) Cho x 11 x x 16 y 25 z Tìm x+y+z 16 25 Bài 3: (2 điểm) Tìm x, y Z biết 2xy+ 3x = Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài (5,0 điểm) Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC 1) Chứng minh BE = CD 2) Gọi M trung điểm DE, tia MA cắt BC H.Chứng minh MA BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? Bài (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A = x y z xy x yz y xz z - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2020-2021 99 100 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : C 99 100 3 3 3 Chứng minh : Biến đổi: C< 16 Đáp án 99 100 99 100 1 3C 3. 99 100 98 99 3 3 3 3 3 Điểm 0,25 Ta có 99 100 99 100 3C C 1 98 99 99 100 3 3 3 3 3 3 99 100 99 100 4C 98 99 99 100 3 3 3 3 3 2 100 99 100 4C 99 99 100 3 3 3 1 1 100 4C 99 100 3 3 Đặt 0,25 0,25 1 1 D 99 3 3 1 1 Ta có: 3D 3.1 99 98 3 3 Khi đó: 3D D 1 1 1 D 1 1 98 98 99 3 3 4D 399 - 99 4 D= 4.399 D= 0,25 1 1 1 98 1 99 3 3 3 1 1 1 D 98 99 3 3 3 Suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 4 Nên ta có 4C 4C 100 4.399 3100 0,25 100 99 100 4.3 0,25 3 100 C 100 99 4.3 25 C 99 100 16 3 - + 16 42.399 25 100 > nên Ta có 99 3 C Bài 2: (3 điểm) Cho 0,25 0,25 25 3100 0,25 25 3 99 100 < Vậy C < 16 3 16 16 0,25 x 11 x x 16 y 25 z Tìm x+y+z 16 25 Đáp án + Từ + Điểm 1đ = (2 – x)( + ) = x = + Thay x = = = = = 1đ = 1đ + x + y + z = 100 Bài 3: (2 điểm)Tìm x, y Z biết 2xy+ 3x = Đáp án Điểm + Biến đổi được: x(2y + 3) = + Chỉ x, y Zx 1.0 đ Ư(4) 2y + lẻ 0.5 đ + Lập bảng x -4 -2 -1 0.5 đ 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Đáp án a) Chỉ được; a + b + c + d = đpcm (hoặc tính P(1) = đpcm) b) + Rút được: + x = (1) + Biến đổi P = (3 + ) + ( + x) – 9x + = 3x( + x) + ( + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Điểm 1.0 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25đ Bài 5: ( điểm)Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Đáp án Gọi độ dài cạnh hình vng a (m) Thời gian hai cạnh đầu là: 2a/5(s) Thời gian cạnh thứ hai là: a/4(s) Điểm 0.25 đ 0.25 đ 0.25 0.25 đ Thời gian cạnh thứ là: a/3(s) Vì tổng thời gian 59 giây nên ta có: 0.5đ 2a/5+a/4+a/3=59 →a(2/5+1/4+1/3)=59 →a.59/60=59 →a=59:59/60=60 Vậy độ dài cạnh hình vng 60m Bài (5,0 điểm) 0.5đ N E M D F - Nếu hình vẽ sai khơng chấm hình - Nếu câu trước làm sai HS sử dụng kết câu trước để làm câu sau A I K B H C 1) (1,5 điểm ) Chứng minh : BE = CD + Ta có DAC DAB BAC ( Vì tia AB nằm tia AD AC ) Mà (Vì AB AD A ) BAD 900 Nên DAC 900 BAC (1) + Ta có BAE CAE BAC ( Vì tia AC nằm tia AB AE ) Mà CAE 900 (Vì AE AC A ) Nên BAE 900 BAC (2) Từ (1) (2) suy BAE DAC Xét ∆ ABE ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,25 0,25 0,25 0,50 BAE DAC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( hai cạnh tương ứng) 0,25 2) (2,5 điểm) Chứng minh: MA BC + Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F Xét ∆ MAE ∆ MDN có : MN = MA (Vì M trung điểm AN ) 0,25 AME DMN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M trung điểm DE ) Do ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy AE = DN ( hai cạnh tương ứng ) NDM MEA ( hai góc tương ứng ) Mà NDM MEA vị trí so le hai đường thẳng AE DN 0,25 Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) Suy ADN DAE 1800 (Vì hai góc phía ) (3) 0,25 DAE +DAB + BAC + EAC = 3600 + Ta lại có Hay DAE + BAC = 1800 (Vì DAB EAC 900 ) Từ (3) (4) ADN = BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) Nên AC = DN Xét ∆ ABC ∆ DAN có : AB = AD (GT ) 0,25 (4) AE = AC (GT) 0,25 ADN = BAC (chứng minh trên) Do Suy DNA = ACB Ta có 0,25 AC = DN (chứng minh trên) ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) ( hai góc tương ứng ) hay DNF = ACB DAF + BAD + BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay DAF + BAH = 900 ( Vì BAD 900 ) Trong ∆ ADF vng F có : (5) FDA + DAF = 900 ( Vì hai góc phụ ) Từ (5) (6) + Ta có (6) FDA = BAH ADN = NDF + FDA ( Vì tia DF nằm tia DA DN ) BAC = HAC + BAH ( Vì tia AH nằm tia AB AC ) Mà Nên 0,25 ADN = BAC FDA = BAH (chứng minh trên) 0,25 NDF = HAC Xét ∆ AHC ∆ DFN có : NDF = HAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 DNF = ACB (chứng minh trên) Do ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy DFN = AHC ( hai góc tương ứng ) Mà DFN = 900 (Vì DE MA F ) nên AHC 900 Suy MA BC H (đpcm) 0,25 3).(1,0 điểm) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MA BC H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông H ∆ AHC vuông H Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm B C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHB AHC ta có: AH2 = AB2 - BH2 0,25 0,25 AH2 = AC2 - CH2 AB2 - BH2 = AC2 - CH2 c2 - (a - x)2 = b2 - x2 Từ tìm HC = x = 0,25 a b2 c2 2a 0,25 Bài (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A = x y z xy x yz y xz z Đáp án x y z xz xyz z = xy x yz y xz z xyz xz z xyz xyz xz xz z xz xyz z xyz xz 1 xz z z xz xz z xyz xz Điểm 1đ 1đ Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ Hết - ...HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2020- 2021 99 100 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : C 99 100... (3 + ) + ( + x) – 9x + = 3x( + x) + ( + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Điểm 1.0 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25đ Bài 5: ( điểm)Một vật chuyển động... xz z xz xyz z xyz xz 1 xz z z xz xz z xyz xz Điểm 1đ 1đ Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ Hết