Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7 cấp huyện năm 2019 2020 phòng GDĐT

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG HƯNG TRƯỜNG THCS AN CHÂU - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán Thời gian làm : 90 phút - Bài (4,0 điểm) 3 99 100     99  100 3 3 3 Chứng minh : C< 16 Cho biểu thức : C   Bài 2: (3 điểm) Cho  x 11  x x  16 y  25 z      Tìm x+y+z 16 25 Bài 3: (2 điểm) Tìm x, y  Z biết 2xy+ 3x = Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài (5,0 điểm) Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC 1) Chứng minh BE = CD 2) Gọi M trung điểm DE, tia MA cắt BC H.Chứng minh MA  BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? Bài (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A = x y z   xy  x  yz  y  xz  z  - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2020-2021 99 100 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : C       99  100 3 3 3 Chứng minh : Biến đổi: C< 16 Đáp án 99 100  99 100 1 3C  3.      99  100        98  99 3  3 3 3 3 Điểm 0,25 Ta có 99 100   99 100   3C  C  1      98  99         99  100  3  3 3 3   3 3 99 100 99 100 4C       98  99       99  100 3 3 3 3 3  2       100 99  100 4C                   99  99   100   3  3   3   1 1 100 4C       99  100 3 3 Đặt 0,25 0,25 1 1 D       99 3 3  1  1 Ta có: 3D  3.1      99        98  3  3   Khi đó: 3D  D       1 1  1   D    1  1              98  98   99   3  3   4D   399    - 99  4  D= 4.399 D= 0,25 1   1 1    98   1      99  3   3 3  1 1 1 D       98       99 3 3 3 Suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 4 Nên ta có 4C    4C   100  4.399  3100 0,25 100  99  100 4.3 0,25 3 100   C     100  99  4.3  25 C   99  100 16 3  - + 16  42.399 25  100 > nên Ta có 99 3 C Bài 2: (3 điểm) Cho 0,25 0,25 25   3100  0,25  25  3   99  100  < Vậy C < 16  3  16 16 0,25  x 11  x x  16 y  25 z      Tìm x+y+z 16 25 Đáp án + Từ + Điểm 1đ =  (2 – x)( + ) =  x = + Thay x =  = = = = 1đ = 1đ +  x + y + z = 100 Bài 3: (2 điểm)Tìm x, y  Z biết 2xy+ 3x = Đáp án Điểm + Biến đổi được: x(2y + 3) = + Chỉ x, y Zx 1.0 đ Ư(4) 2y + lẻ 0.5 đ + Lập bảng x -4 -2 -1 0.5 đ 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Đáp án a) Chỉ được; a + b + c + d =  đpcm (hoặc tính P(1) =  đpcm) b) + Rút được: + x = (1) + Biến đổi P = (3 + ) + ( + x) – 9x + = 3x( + x) + ( + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Điểm 1.0 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25đ Bài 5: ( điểm)Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Đáp án Gọi độ dài cạnh hình vng a (m) Thời gian hai cạnh đầu là: 2a/5(s) Thời gian cạnh thứ hai là: a/4(s) Điểm 0.25 đ 0.25 đ 0.25 0.25 đ Thời gian cạnh thứ là: a/3(s) Vì tổng thời gian 59 giây nên ta có: 0.5đ 2a/5+a/4+a/3=59 →a(2/5+1/4+1/3)=59 →a.59/60=59 →a=59:59/60=60 Vậy độ dài cạnh hình vng 60m Bài (5,0 điểm) 0.5đ N E M D F - Nếu hình vẽ sai khơng chấm hình - Nếu câu trước làm sai HS sử dụng kết câu trước để làm câu sau A I K B H C 1) (1,5 điểm ) Chứng minh : BE = CD + Ta có DAC  DAB  BAC ( Vì tia AB nằm tia AD AC ) Mà (Vì AB  AD A ) BAD  900 Nên DAC  900  BAC (1) + Ta có BAE  CAE  BAC ( Vì tia AC nằm tia AB AE ) Mà CAE  900 (Vì AE  AC A ) Nên BAE  900  BAC (2) Từ (1) (2) suy BAE  DAC Xét ∆ ABE ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,25 0,25 0,25 0,50 BAE  DAC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( hai cạnh tương ứng)  0,25 2) (2,5 điểm) Chứng minh: MA  BC + Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F Xét ∆ MAE ∆ MDN có : MN = MA (Vì M trung điểm AN ) 0,25 AME  DMN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M trung điểm DE ) Do ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy AE = DN ( hai cạnh tương ứng ) NDM  MEA ( hai góc tương ứng ) Mà NDM MEA vị trí so le hai đường thẳng AE DN 0,25 Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) Suy ADN  DAE  1800 (Vì hai góc phía ) (3) 0,25 DAE +DAB + BAC + EAC = 3600 + Ta lại có Hay DAE + BAC = 1800 (Vì DAB  EAC  900 ) Từ (3) (4)  ADN = BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) Nên AC = DN Xét ∆ ABC ∆ DAN có : AB = AD (GT ) 0,25 (4) AE = AC (GT) 0,25 ADN = BAC (chứng minh trên) Do Suy DNA = ACB Ta có 0,25 AC = DN (chứng minh trên) ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) ( hai góc tương ứng ) hay DNF = ACB DAF + BAD + BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay DAF + BAH = 900 ( Vì BAD  900 ) Trong ∆ ADF vng F có : (5) FDA + DAF = 900 ( Vì hai góc phụ ) Từ (5) (6) + Ta có  (6) FDA = BAH ADN = NDF + FDA ( Vì tia DF nằm tia DA DN ) BAC = HAC + BAH ( Vì tia AH nằm tia AB AC ) Mà Nên 0,25 ADN = BAC FDA = BAH (chứng minh trên) 0,25 NDF = HAC Xét ∆ AHC ∆ DFN có : NDF = HAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 DNF = ACB (chứng minh trên) Do ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy DFN = AHC ( hai góc tương ứng ) Mà DFN = 900 (Vì DE  MA F ) nên AHC  900 Suy MA  BC H (đpcm) 0,25 3).(1,0 điểm) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MA  BC H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông H ∆ AHC vuông H Đặt HC = x  HB = a - x ( Vì H nằm B C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHB AHC ta có: AH2 = AB2 - BH2 0,25 0,25  AH2 = AC2 - CH2 AB2 - BH2 = AC2 - CH2  c2 - (a - x)2 = b2 - x2 Từ tìm HC = x = 0,25 a  b2  c2 2a 0,25 Bài (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A = x y z   xy  x  yz  y  xz  z  Đáp án x y z xz xyz z      = xy  x  yz  y  xz  z  xyz  xz  z xyz  xyz  xz xz  z  xz xyz z xyz  xz     1  xz  z z   xz xz  z  xyz  xz  Điểm 1đ 1đ Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ Hết - ...HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2020- 2021 99 100 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : C       99  100... (3 + ) + ( + x) – 9x + = 3x( + x) + ( + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Điểm 1.0 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25đ Bài 5: ( điểm)Một vật chuyển động... xz  z  xz xyz z xyz  xz     1  xz  z z   xz xz  z  xyz  xz  Điểm 1đ 1đ Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ Hết