Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc dành cho các bạn học sinh lớp 10 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.

PHỊNG GD-ĐT SƠNG LƠ KÌ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi : 06/11/2019 Câu (2 điểm) Cho biểu thức: P  x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P  Câu (2 điểm) Cho biết x  2019  x y  2019  y  2019   Tính giá trị biểu thức A  x 2019 y 2019  Câu (2 điểm) Giải phương trình: x  x   x   Câu (2 điểm) Tìm tất số nguyên  x; y  thỏa mãn:  x  2019  y  y  1 y   y  3 Câu (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho  p  p  p3  p số tự nhiên Câu (2 điểm) Các cạnh a, b, c tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức: abc 1 1 với p  Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Vì sao?    p p a p b p c Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 1 Tìm giá trị nhỏ P     2 a b c a b c Câu (4 điểm) Qua điểm K nằm ngồi đường trịn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) A B (A nằm K B, AB < 2R) Gọi d đường trung trực KB, H hình chiếu O d Gọi I trung điểm OK, N trung điểm AB, M giao điểm d KB a) Chứng minh tứ giác OHMN hình chữ nhật AK = 2OH b) Tính IH theo R Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm AC Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC D Chứng minh DB  2DC Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho điểm phân biệt Hai điểm điểm nối với đoạn thẳng màu xanh màu đỏ Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh màu ==== HẾT ==== Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh .SBD: Phòng thi PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2019 – 2020 Môn Toán – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Hướng dẫn chấm Câu Điều kiện để P xác định : x  0; x  4; x  P  x 9  x 3   x 3   x  3 x  2  x x 2     x   x 1  x 2  x  3 x 1   x  2 x 2 Với x  0; x  4; x  , ta có P   x 2 Điểm  0,25 x 1 0,25 0,5 x 3 x 1   x 3  x 9 x 3 0,5 Kết luận:  x  x  P   Ta có: x  2019  x2    2019  x  x y  2019  y  2019  2019  x  x   y  2019  y  2019  x2  x (1) Tương tự ta có: x  2019  x  2019  y  y Từ (1) (2) suy x  y   x   y 2 0,5 0,5 (2) 0,5  A0 ĐKXĐ x 0,5 0,5 0,5  1 1 x  x   x     x     2 4 2  1 1  x     (vì x     ) 4  x   (tmđk)   0,5 0,5 0,5 Phương trình cho tương đương  x  2019    y  y  y  y   Đặt t  y  y Khi pt trở thành:  x  2019  t  t  2   x  2019  t  2t + Nếu t  ta có t  t  2t  t  2t   t  t  2t  t  1 t   x  2019    t  1 ( vơ lí) 2 + Nếu t  ta có y  y   y  y  3   3  y  Vì y  Z nên y 3; 2; 1;0 Suy  x; y   2019;0 ,  2019; 1 ,  2019; 2  2019; 3 2 0,5 0,5 0,5 0,5 Theo ta có  p  p  p3  p  n2  n  N *   p  p  p3  p  4n2 (1) 0,5 Suy ra:  p  p    2n    p  p   2 0,5  p2  p  2n  p2  p   2n  p2  p  Theo (1) ta có  p  p  p3  p   p  p  1 0,5 p  p    p  ( p số nguyên tố p  ) Thử lại với p  ta có  p  p  p3  p    32  33  34  11 (tm) Vậy p  0,5 0,5 1 1    p p c p a p b pc p p b p  a   p  p  c   p  a  p  b   2p c a b  p  p  c   p  a  p  b   ab a b   a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  c  b  ab  0,5 a b  0,5 2a   4ab 2b  a  b   c2 c2   a  b   2b  a  b   a  b2  2ab  c  c  b2  a 2 0,5 Suy tam giác ABC vuông A Ta có: P 1 1 1 27  2 2     a b c ab bc ca abc  a  b  c   ab  bc  ca 2 27  ab  bc  ca   (1) a  b2  c 2 0,5 Áp dụng AM-GM ta có  a  b  c   ab  bc  ca  2 27  ab  bc  ca   a  b2  c  2ab  2bc  2ca     27   0,5  a  b2  c (2) Từ (1) (2) suy P  a  b2  c  1  t  với t  a2  b2  c2  2 a b c t t 8t 10    t 3 0,5 Khi P    Dấu “=” t   a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P a  b  c  8a 10 0,5 B N C K M A O I H d 0,5 Chứng minh OHMN hình chữ nhật, KB AB KA    KA  2OH 2 KA Gọi C trung điểm KA ta có KC  Do OH =KC 0,5 OH = MN=MB-NB= 0,5 HOI= CKI( c-g-c) Suy IH = IC (1) 8b Do IC đường trung bình OKA nên IC  OA R  2 0,5 R Từ (1) (2) Suy IH  A M H B C D K Kẻ CK vng góc AD, K  AD Gọi H giao điểm AD với BM Vì BH//CK nên Mặt khác DC CK  (1) DB BH DC CK HM   (2) DB BH BH 0,5 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao ta có: AM HM BM HM  AM       ,thay vào (2) ta DB  2DC AB BH BM BH  AB  0,5 10 Giả sử điểm A, B, C, D, M, N đường tròn Từ điểm vẽ đến điểm lại đoạn thẳng có đoạn thẳng màu Giả sử đoạn thẳng AB, AC, AD màu đỏ( màu xanh 0,5 lập luận tương tự) Xét tam giác BCD có cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ tam giác ABC có 0,5 cạnh màu đỏ Trái lại tam giác ABC có ba cạnh màu xanh  ...PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 20 19 – 2020 Mơn Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Hướng dẫn chấm Câu Điều... x ? ?9 x 3 0,5 Kết luận:  x  x  P   Ta có: x  20 19  x2    20 19  x  x y  20 19  y  20 19  20 19  x  x   y  20 19  y  20 19  x2  x (1) Tương tự ta có: x  20 19  x  20 19 ...  20 19    y  y  y  y   Đặt t  y  y Khi pt trở thành:  x  20 19? ??  t  t  2   x  20 19? ??  t  2t + Nếu t  ta có t  t  2t  t  2t   t  t  2t  t  1 t   x  20 19  