Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp huyện năm 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp huyện năm 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG HƯNG TRƯỜNG THCS AN CHÂU - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán Thời gian làm : 90 phút - Bài (4,0 điểm) 3 99 100     99  100 3 3 3 Chứng minh : C< 16 Cho biểu thức : C   Bài 2: (3 điểm) Cho  x 11  x x  16 y  25 z      Tìm x+y+z 16 25 Bài 3: (2 điểm) Tìm x, y  Z biết 2xy+ 3x = Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài (5,0 điểm) Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC 1) Chứng minh BE = CD 2) Gọi M trung điểm DE, tia MA cắt BC H.Chứng minh MA  BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? Bài (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A = x y z   xy  x  yz  y  xz  z  - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2020-2021 99 100 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : C       99  100 3 3 3 Chứng minh : Biến đổi: C< 16 Đáp án 99 100  99 100 1 3C  3.      99  100        98  99 3  3 3 3 3 Điểm 0,25 Ta có 99 100   99 100   3C  C  1      98  99         99  100  3  3 3 3   3 3 99 100 99 100 4C       98  99       99  100 3 3 3 3 3  2       100 99  100 4C                   99  99   100   3  3   3   1 1 100 4C       99  100 3 3 Đặt 0,25 0,25 1 1 D       99 3 3  1  1 Ta có: 3D  3.1      99        98  3  3   Khi đó: 3D  D       1 1  1   D    1  1              98  98   99   3  3   4D   399    - 99  4  D= 4.399 D= 0,25 1   1 1    98   1      99  3   3 3  1 1 1 D       98       99 3 3 3 Suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 4 Nên ta có 4C    4C   100  4.399  3100 0,25 100  99  100 4.3 0,25 3 100   C     100  99  4.3  25 C   99  100 16 3  - + 16  42.399 25  100 > nên Ta có 99 3 C Bài 2: (3 điểm) Cho 0,25 0,25 25   3100  0,25  25  3   99  100  < Vậy C < 16  3  16 16 0,25  x 11  x x  16 y  25 z      Tìm x+y+z 16 25 Đáp án + Từ + Điểm 1đ =  (2 – x)( + ) =  x = + Thay x =  = = = = 1đ = 1đ +  x + y + z = 100 Bài 3: (2 điểm)Tìm x, y  Z biết 2xy+ 3x = Đáp án Điểm + Biến đổi được: x(2y + 3) = + Chỉ x, y Zx 1.0 đ Ư(4) 2y + lẻ 0.5 đ + Lập bảng x -4 -2 -1 0.5 đ 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Đáp án a) Chỉ được; a + b + c + d =  đpcm (hoặc tính P(1) =  đpcm) b) + Rút được: + x = (1) + Biến đổi P = (3 + ) + ( + x) – 9x + = 3x( + x) + ( + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Điểm 1.0 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25đ Bài 5: ( điểm)Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Đáp án Gọi độ dài cạnh hình vng a (m) Thời gian hai cạnh đầu là: 2a/5(s) Thời gian cạnh thứ hai là: a/4(s) Điểm 0.25 đ 0.25 đ 0.25 0.25 đ Thời gian cạnh thứ là: a/3(s) Vì tổng thời gian 59 giây nên ta có: 0.5đ 2a/5+a/4+a/3=59 →a(2/5+1/4+1/3)=59 →a.59/60=59 →a=59:59/60=60 Vậy độ dài cạnh hình vng 60m Bài (5,0 điểm) 0.5đ N E M D F - Nếu hình vẽ sai khơng chấm hình - Nếu câu trước làm sai HS sử dụng kết câu trước để làm câu sau A I K B H C 1) (1,5 điểm ) Chứng minh : BE = CD + Ta có DAC  DAB  BAC ( Vì tia AB nằm tia AD AC ) Mà (Vì AB  AD A ) BAD  900 Nên DAC  900  BAC (1) + Ta có BAE  CAE  BAC ( Vì tia AC nằm tia AB AE ) Mà CAE  900 (Vì AE  AC A ) Nên BAE  900  BAC (2) Từ (1) (2) suy BAE  DAC Xét ∆ ABE ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,25 0,25 0,25 0,50 BAE  DAC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( hai cạnh tương ứng)  0,25 2) (2,5 điểm) Chứng minh: MA  BC + Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F Xét ∆ MAE ∆ MDN có : MN = MA (Vì M trung điểm AN ) 0,25 AME  DMN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M trung điểm DE ) Do ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy AE = DN ( hai cạnh tương ứng ) NDM  MEA ( hai góc tương ứng ) Mà NDM MEA vị trí so le hai đường thẳng AE DN 0,25 Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) Suy ADN  DAE  1800 (Vì hai góc phía ) (3) 0,25 DAE +DAB + BAC + EAC = 3600 + Ta lại có Hay DAE + BAC = 1800 (Vì DAB  EAC  900 ) Từ (3) (4)  ADN = BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) Nên AC = DN Xét ∆ ABC ∆ DAN có : AB = AD (GT ) 0,25 (4) AE = AC (GT) 0,25 ADN = BAC (chứng minh trên) Do Suy DNA = ACB Ta có 0,25 AC = DN (chứng minh trên) ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) ( hai góc tương ứng ) hay DNF = ACB DAF + BAD + BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay DAF + BAH = 900 ( Vì BAD  900 ) Trong ∆ ADF vng F có : (5) FDA + DAF = 900 ( Vì hai góc phụ ) Từ (5) (6) + Ta có  (6) FDA = BAH ADN = NDF + FDA ( Vì tia DF nằm tia DA DN ) BAC = HAC + BAH ( Vì tia AH nằm tia AB AC ) Mà Nên 0,25 ADN = BAC FDA = BAH (chứng minh trên) 0,25 NDF = HAC Xét ∆ AHC ∆ DFN có : NDF = HAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 DNF = ACB (chứng minh trên) Do ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy DFN = AHC ( hai góc tương ứng ) Mà DFN = 900 (Vì DE  MA F ) nên AHC  900 Suy MA  BC H (đpcm) 0,25 3).(1,0 điểm) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MA  BC H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông H ∆ AHC vuông H Đặt HC = x  HB = a - x ( Vì H nằm B C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHB AHC ta có: AH2 = AB2 - BH2 0,25 0,25  AH2 = AC2 - CH2 AB2 - BH2 = AC2 - CH2  c2 - (a - x)2 = b2 - x2 Từ tìm HC = x = 0,25 a  b2  c2 2a 0,25 Bài (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A = x y z   xy  x  yz  y  xz  z  Đáp án x y z xz xyz z      = xy  x  yz  y  xz  z  xyz  xz  z xyz  xyz  xz xz  z  xz xyz z xyz  xz     1  xz  z z   xz xz  z  xyz  xz  Điểm 1đ 1đ Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ Hết - ...HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 202 0-2 021 99 100 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : C       99  100... + Lập bảng x -4 -2 -1 0.5 đ 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Đáp án... = x  HB = a - x ( Vì H nằm B C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHB AHC ta có: AH2 = AB2 - BH2 0,25 0,25  AH2 = AC2 - CH2 AB2 - BH2 = AC2 - CH2  c2 - (a - x)2 = b2 - x2 Từ tìm