PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020- 2021 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị biểu thức sau: 11 13 15 17 19 10 15 21 28 36 45 2 1 0,25 0,4 11 : 2020 B= 7 2021 0,875 0,7 1,4 11 1 1 c a b Cho a + b + c = 2021 = Tính C = a b b c c a 90 ab bc ca A = 2 Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết: a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n số tự nhiên b 2019 x 2020 x 2021 x Câu 3.(4 điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - = x2 + 2y b) Cho a,b,c,d số nguyên thỏa mãn: a + b3 = 2(c3 - 8d3) Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho Câu 4.(6 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC AF = AC Chứng minh: a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM EF 15 n2 1 Câu 5.(2 điểm).Chứng tỏ S = không số tự nhiên với n N 16 n2 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi : Tốn Nội dung Ý Điểm 1.a (1,5) 11 13 15 17 19 = 10 15 21 28 36 45 11 13 15 17 19 21 =2 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 2 9 10 2 2 3 10 1.b (1,5) 2 1 0,25 0,4 11 : 2020 = B= 7 2021 0,875 0,7 1,4 11 1 2 2 11 : 2020 = : 2020 7 7 7 2021 7 2021 11 10 A = 2 (4,5đ) (1,5) a (1,5) (3,5) b (2đ) 0,5đ 1đ 1,5đ Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c); c = 2021-(a+b) 0,5đ c a b 1 = 2021( )-3 ab bc ca ab bc ca 1751 = 2021 -3 = 90 90 n+1 n+11 a (x +2) = (x + 2) Suy ra: x 2n1 x 210 Từ tìm 0,5đ => C = 0,5đ 1,5đ x = -2; x= -1; x = -3 b 2019 x 2020 x 2021 x Ta có 2020 x ; 2019 x 2021 x x 2019 2021 x Do ( x 2019)(2021 x) 2020 x để 2019 x 2020 x 2021 x 1đ 1đ Suy x = 2020 a 3xy - = x2 + 2y a (2,0đ) (4đ) y(3x - 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên suy x2 + chia hết cho 3x - 9(x2 + 5) chia hết cho 3x - 9x2 -6x + 6x - +49 chia hết cho 3x - 49 chia hết cho 3x - 3x - 49;7;1;1;7;49 x 1,3,17 thay vào (1) y 6;2;6 Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6) 0.5 0.5 0,5 0,5 b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3 Mà 3c3 - 15d3 chia hết a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho (1) b 2,0 1đ Lại có a a3 (mod3) b b3(mod3); c c3(mod3); d d3(mod3) 0,5 suy a + b+ c +d a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) 0,5 (2) Từ (1) (2) suy a +b +c + d chia hết cho Vẽ hình xác viết GT,KL A A E F C M B 0,5 A K a (1,5đ) (6đ) b (2đ) c (2,0đ) 0,5 ∆ABF = ∆AEC (c-g-c) FB = EC Trên tia đối tia MA lấy điểm K cho AK = 2AM Ta có ∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB =>ACK + CAB = EAF + CAB = 1800 =>ACK = EAF Xét tam giác ∆EAF ∆KCA có AE = AB = CK, ACK = EAF , AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c) => EF = AK = 2AM Từ ∆EAF = ∆KCA =>CAK = AFE =>CAK + FAK = AEF + FAK =900 => AK EF 15 n 1 1 1 1 n 1 = 2 16 n n 1 1 = (n - 1) - ( ) n 2 2 0,5 1đ 1đ S= (2đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 => S < n - (1) 1 1 1 1 < = 1- S > n- - = n - (2) Từ (1) (2) suy S không số nguyên 0,5 ...PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán Nội dung Ý Điểm 1.a (1,5) 11 13 15 17 19 = 10... 0,4 11 : 2020 = B= 7 2021 0, 875 0 ,7 1,4 11 1 2 2 11 : 2020 = : 2020 7 7 7 2021 7 2021 11 10 A = 2 ... x 2020 x 2021 x Ta có 2020 x ; 2019 x 2021 x x 2019 2021 x Do ( x 2019) (2021 x) 2020 x để 2019 x 2020 x 2021 x 1đ 1đ Suy x = 2020 a