a Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác b Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM.. c Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC..[r]
(1)TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG (Chương trình nâng cao) a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) Định nghĩa:Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ , , tích có hướng hai véc tơ a, b là véc tơ xác định sau: a a3 a3 a1 a1 a2 a , b a b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 b b b b b b 3 1 2 Tính chất: j , k i ; k , i j i , j k ; 2.1 [ a , b ] [ b , a] 2.2 [ a , b ] a ; [ a , b ] b 2.3 a , b [ a , b] 2.4 cùng phương [a, b] a b sin a , b 2.5 Chứng minh: a a3 a3 a1 a1 a2 a , b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2 b1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 2.2 Ta có: và b b3 b3 b1 b1 b2 b; a ; ; a3b2 a2b3 ; a1b3 a3b1 ; a2b1 a1b2 [ a , b ] [ b , a] a2 a3 a3 a1 a1 a2 đó b a2b1 ).a3 2.3 Xét a , b a (a2b3 a3b2 ).a1 (a3b1 a1b3 ).a2 (a a1a2b3 a1a3b2 a2 a3b1 a1a2b3 a1a3b2 a2 a3b1 0 [a, b] a Hoàn toàn tương tự [a, b] b a a a a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 (0;0;0) b1 b2 b3 a, b cùng phương 2.4 [a, b] 2 2 2 2 (a.b) 2 a b sin a , b a b cos a , b a b a b a b (a.b) a b 2.5 Xét (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 ) (a2b3 a3b2 )2 (a3b1 a1b3 )2 (a1b2 a2b1 ) [a, b ] Ứng dụng tích có hướng: a , b [ a c 3.1 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: và đồng phẳng , b].c 0 [a, b] c [a, b].c 0 [a, b] c [ a, b] a [ a, b] b a , b c Ta có và đồng phẳng S ABC AB, AC 3.2 Diện tích tam giác ABC: 1 S ABC AB AC.sin BAC AB AC sin( AB, AC ) [ AB, AC ] 2 Ta có: SABCD AB, AD 3.3 Diện tích hình bình hành ABCD: (2) S ABCD 2.S ABD AB, AD 3.4 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD A ' B ' C ' D ' [ AB, AD] AA ' Gọi H là hình chiếu vuông góc hợp A’ trên mp(ABCD), là góc [ AB, AD] cùng phương với A ' H nên AA’ và A’H Vì cos cos( AA ',[ AB, AD ]) ABCD A ' B ' C ' D ' A ' H S ABCD AA '.cos S ABCD Ta có V AA ' [ AB, AD] cos( AA ',[ AB, AD]) AA '.[ AB, AD ] = [ AB, AC ] AD VABCD 3.5 Thể tích tứ diện ABCD: Từ khối tứ diện ABCD ta dựng khối hộp ACED.BC’E’D’ 1 VABCD VABC DB ' C ' VABEC DB ' E ' C ' [ AB, AC ] AD 6 Ta thấy [ IM , u ] d ( M , ) u 3.6 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : u Giả sử đường thẳng qua I và có véc tơ phương Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên , J là điểm xác định IJ u Ta có: [ IM , IJ ] [ IM , u ] 2S d ( M , ) MH MIJ IJ u u 3.7 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: [u1 , u2 ].M 1M h [u1 , u2 ] (3) u d M Giả sử qua 1 và có véc tơ phương , d qua M và có véc u tơ phương Dựng hình hộp M A1 B1C1.M A2 B2C2 hình bên Khoảng cách hai đường d1 và d chiều cao h khối hộp h Ta có Vhh S M1 A1B1C1 [ M A1 , M 1C1 ].M 1M [u1 , u2 ].M 1M h [ M A1 , M 1C1 ] [u1 , u2 ] Một số bài toán vận dụng tích có hướng: Những bài toán tích có hướng xoay quanh các chủ đề: Xét đồng phẳng ba véc tơ Tính diện tích tam giác, tứ giác Tính thể tích tứ diện, hình lăng trụ, hình hộp Tìm tọa độ các điểm đặc biệt tam giác Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo - a (4;3; 4), b (2; 1;1), c (1; 2; z ), d ( 3;1; 2) Bài 1: Trong không gian Oxyz cho a, b a và tìm z để các véc tơ , b, c đồng phẳng a) Tính b) Chứng minh các véctơ a, b, d không đồng phẳng c) Hãy biểu thị véc tơ u ( 13;14;15) theo các véc tơ a, b, d Hướng dẫn, đáp số: 4 4 [ a, b] ; ; (7; 4; 10) 1 1 2 1 a) Ta có: , [ a, b].c 15 10z [ a, b].c 0 z a, b, c đồng phẳng b) [ a, b].d 37 0 a, b, d không đồng phẳng 4m 2n p 13 m 2 3m n p 14 n 4m n p 15 p 5 u ma nb pd c) Giả sử , m, n, p , ta hệ Bài 2: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2) a) Chứng minh: A,B,C là đỉnh tam giác b) Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Hướng dẫn, đáp số: AB ( 2;3;1), AC ( 3; 4; 2) AB, AC (2;1;1) 0 a) Ta có nên AB, AC không cùng phương đó A, B, C tạo thành đỉnh tam giác 83 S ABC AB, AC AM 2 ; b) c) Tính theo các cách sau: (4) AH Cách 1: S ABC BC (4 3) (2 1) BC ( 1;1;1) Cách 2: (Áp dụng 3.6), đường thẳng BC qua B và có véc tơ phương AB, AC AH BC BH t BC AH BC 0 Cách 3: Xác định tọa độ H , sau đó tính độ dài AH Tọa độ H xác định từ hệ điều kiện: Bài 3: Cho các điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0) a) Chứng minh: A,B,C,D là các đỉnh tứ diện b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và BD c) Tính thể tích tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD) Hướng dẫn, đáp số: AB , AC ( 1; 1; 1) AB, AC AD 3 0 AC ( 1;1;0), AD( 3;1; 1) , a) Ta có AB ( 1;0;1), vì nên các véc tơ AB, AC , AD không đồng phẳng Do đó A, B, C, D là đỉnh tứ diện [ AC , BD] AB h [ AC , BD] b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo AC và BD là Ta có ( 2).( 1) ( 2).0 1.1 h 1 2 AC , BD ( 2; 2;1) ( 2) ( 2) nên Nhận xét: có thể tính h theo cách xác định đoạn vuông góc chung tính h khoảng cách từ AC đến () chứa BD và () //AC Tuy nhiên cách này dài cách tính trên Bài 4: Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1) a) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Hướng dẫn, đáp số: AB(2; 1;0), AC (2;0; 2), AB, AC (2; 4; 2) Tính a) I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và IA=IB, IA=IC và AB, AC , AI AI BI 2 AI CI 1 I ; ; AB , AC AI đồng phẳng, đó ta có: Từ đó tính 6 6 b) Gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác và AB CH , BC AH và AB, AC , AH đồng phẳng AB.CH 0 BC AH 0 2 I ; ; AB , AC AH Từ đó tính 3 Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(1;2;3) a) Tìm tọa độ S thuộc Oy để tứ diện SABC có thể tích (5) b) Tìm tọa độ hình chiếu H O trên mp(ABC) Bài 2: Cho điểm A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) a) Chứng minh: ABCD là hình thang b) Tính diện tích hình thang ABCD Bài 3: Cho tam giác ABC có A(0;4;1), B(1;0;1), C(3;1;-2) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 4: Cho hai điểm A(2;0; 1), B(0; 2;3) a) Tìm tọa độ C thuộc Oy để tam giác ABC có diện tích 11 b) Tìm tọa độ D thuộc (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB (6)