Phương pháp lặp Banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Phương pháp lặp Banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân

đạihọcthái nguyên

trường đạihọc khoahọc

-PhanThế Nghĩa

cho BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN

luậnvăn thạcsĩtoán họcứng dụng

Thái Nguyên-2009

đạihọcthái nguyên

trường đạihọc khoahọc

-PhanThế Nghĩa

cho BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN

Chuyên ngành:Toán ứng dụng

Mã số:60.46.36

luậnvăn thạcsĩtoán họcứng dụng

NGUờIHướNGDẫN KHOAHọC: TS.PHạMNGọC ANH

Thái Nguyên-2009

1

Chương1.Bài toánBấtđẳng thứcbiếnphân

1.3. Sự tồntại nghiệm của bài toán VI 18Chương2.Phương pháplặpBanachgiải bàitoán(VI)

đơn điệumạnh

2.1. Tính không giãn của ánh xạ nghiệm 23

Chương3.Phương pháplặpBanachgiải bàitoán

đồng bức

3.1. Tính không giãn của ánh xạ nghiệm 30

3.3. Kết quả tính toán thửnghiệm

3.3.1 Mô hình cân bằng bán độc quyền 38

3.3.2 Kết quả tính toán thử nghiệm 43

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học-Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Ngọc Anh Tác giả xin bày tỏ

lòng kính trọng vàbiết ơn sâusắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn trong suốt

thời gian tác giả làm luận văn.

tác giảthườngxuyênnhậnđược sựquantâmgiúpđỡvàđónggópnhữngýkiến

quý báu của PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy và các

thầy cáccô trong trường Đạihọc Khoa học-Đại họcThái Nguyên Từđáy lòng

mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến các thầy các cô.

Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơntớicác thầy, các cô khoaKhoa học Cơ bản,

Ban Chấp Hành Đoàn trường Cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên đã đã tạo

điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian làm cao học.

Xin chânthànhcảm ơnanh chịem họcviêncaohọc vàbạn bèđồngnghiệp

gần xađã traođổi, độngviên vàkhíchlệ tácgiả trongquá trìnhhọctập, nghiên

cứu vàlàm luận văn.

Luận văn sẽ không hoàn thành được nếu không có sự thông cảm, giúp đỡ

của những người thân trong gia đình tác giả Đâylà món quà tinh thần, tác giả

xin kính tặng gia đình thân yêu của mình với tấm lòng biết ơn chân thành và

sâu sắc.

Tác giả

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R n không gian Euclide n-chiều

|β| trị tuyệt đối của số thực β

argmin{f (x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên CA T

ma trận chuyển vị của ma trận A

Lời nói đầu

Theo Harkervà Pang, bài toán bất đẳng thức biến phânđược giới thiệu lần

đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia Những nghiên cứu đầu

toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm

riêng Bài toán biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của

nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities

and their application" của Kinderlehrer và Stampacchia xuất bản năm 1980 và

trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to

free boundary problems" của Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984.

Năm 1979 Michael J Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và

năm 1980 Defermos chỉ ra rằng: Điểm cần bằng của bài toán này là nghiệm

của bài toán bất đẳng thức biến phân Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân

được phát triển và trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các

bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều

bài toán khác (xem [7]).

Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với các bài toán tối

ưu khác Bài toán bù phi tuyến, xuất hiện vào năm 1964 trong luận án tiến sĩ

của Cottle, là một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân

(xem [5]) Gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là một đề tài được

nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò của nó trong lý thuyết toán học và

trong các ứng dụng thực tế (xem [5, 7]).

Mộttrongcáchướngnghiêncứuquantrọngcủabàitoán bấtđẳngthứcbiến

phân là việc xây dựng các phương pháp giải Thông thường các phương pháp

giải được chia thành các loại sau: Loại thứ nhất là các phương pháp chuyển

bài toán về hệ phương trìnhvà dùng cácphương pháp thông dụng như phương

pháp Newton, phương pháp điểm trong để giải hệ phương trình này Loại thứ

hai là phương pháp có tính chất kiểuđơn điệu Điểnhình của phương phápnày

là các phương pháp gradient sau này được tổng quát bởi Cohen thành nguyên

lýbài toánphụ(xem [5]),phương phápđiểmgần kềcủaRockafellar(xem [3]),

phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov(xem [5]), Các phươngpháp này kháhiệu

quả, dễ thực thi trên máy tính nhưng các điều kiện hội tụ chỉ được đảm bảo

dưới các giả thiết khác nhau về tính chất đơn điệu Loại thứ ba là các phương

pháp được dựa trên kỹ thuật hàm chắn (xem [5]) Nội dung chính của phương

pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phânvềcực tiểu của hàm chắn

và sau đó sử dụng kỹ thuật tối ưu trơn hoặc không trơn để tìm cực tiểu của

hàm chắn Phươngpháp này có thể giải được các bài toán với các giả thiết rất

nhẹ Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của thuật toán được đề xuất là chậm (xem [5]).

Loại thứtưlà cácphương pháp dựatrên cáchtiếp cậnđiểm bất động.Nội dung

chính của phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân về tìm

điểm bất động của ánh xạ nghiệm.

Luận văn này trìnhbày phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

thông qua tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm được viết trong bài báo "P.

N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot (2005), On the

contrac-tion and nonexpansiveness properties of the marginal mapping in generalized

variational inequalities involving cocoercive operators, in: Generalized

Con-vexity and Generalized Monotonicity and Applications Eds A Eberhard, N.

Hadjisavvas and D T Luc, Springer, pp 89-111".

Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba

chương Chương 1 có tiêu đề là "bài toán bất đẳng thức biến phân" Chương

này nhắc lại các kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân, các ví

dụ, các kiến thức liên quan và các ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến

phân Chương 2 gồm hai phần cơ bản: Phần thứ nhất trình bày mối quan hệ

giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ nghiệm Phần

thứ hai chỉ raánh xạ nghiệm là co khihàm giá là đơn điệu mạnh và Lipschitz.

Chương 3 trình bày phương pháp lặp Banach cho ánh xạ đồng bức và một vài

tính toán ứng dụng của thuật toán được đề xuất Khi đó, ánh xạ nghiệm chỉ là

không giãn và việc tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn được tìm theo

kiểu điểm bất động của Nadler.

Ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi sẽ được dùng cho các

chương tiếp theo.

Định nghĩa 1.1 • Tập con C ⊂ R n

được gọi là tập lồi, nếu

λx + (1 − λ)y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1).• Tập con C ⊂ R n

được gọi là nón, nếu

λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ 0.• Cho C ⊂ R n

là một tập lồi và x ∈ C, nón pháp tuyếnngoài của C tại x, kýhiệu N C (x), được xác định bởi công thức

N C (x) := {w ∈ R n : hw, y − xi ≤ 0 ∀y ∈ C}.

Cho C ⊂ R n

là một tập lồi, ánh xạ f : C → R n

Khi đó,

Định nghĩa 1.2 • Miền hữu hiệu của f, ký hiệu dom f, được xác định bởi

domf := {x ∈ R n : f (x) < +∞}.• f được gọi là chính thường, nếu

domf 6= ∅, f (x) > −∞ ∀x ∈ C.• f được gọi là hàm lồi trên C, nếu

f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 ) ∀x 1 , x 2 ∈ C, λ ∈ [0, 1].• f được gọi là hàm lồi chặt trên C, nếu

f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) < λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 ) ∀x 1 6= x 2 ∈ C, λ ∈ (0, 1).• f được gọi là hàm lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C, nếu ∀x 1 6= x 2 ∈ C, λ ∈(0, 1), ta có

Khi đó, f được gọi là khả dưới vi phântrên C, nếu ∂f (x) 6= ∅ ∀x ∈ C.

Ví dụ 1.1 Cho C là một tập lồi khác rỗng của không gian R n Xét hàm chỉtrên tập C

δ(x) :=

{w ∈ R n : ||w|| = 1, hw, xi = ||x||} nếu x 6= 0,¯

trong đó B(0, 1)¯ là hình cầu đóng, tâm tại 0 và bán kính 1.

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1 Với x 6= 0, ta cần chứng minh

suy ra

Mặt khác

||λz + x|| − ||x|| ≥ hw, λz + x − xi = hw, λzi ∀λ > 0, z ∈ R n

Suy ra

||z +xλ|| −

1.2 Phátbiểu bài toánvà ví dụ

"Bài toánbất đẳng thức biến phân" là một trong những bài toán được quan

tâm nhiềutrongtoán họcnóichungvàđặcbiệt trongngànhtốiưutính toánnói

riêng Luận văn này sẽ trình bày một phương pháp giải bài toán bất đẳng thức

biến phân trong không gian hữu hạn chiều Chương này bao gồm việc nhắc lại

các kiến thức cơ bản nhất về bài toán bất đẳng thức biến phânsẽ được sử dụng

cho các chương sau Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu

hạn chiều có thể được phát biểu như sau:

Cho C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian Euclideann-chiều R n, F : C → R n

là ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân

(viết tắt là: VI) là bài toán tìm điểm x ∗ ∈ C, sao cho:

Tập nghiệm của VI ký hiệu là S ∗.

Định nghĩa 1.3 Cho C là tập lồi, đóng trong R n, và cho F : C → R n

là một

ánh xạ Khi đó, F được gọi là:(a) đơn điệu trên C, nếu:

Ta nhắclại kết quả tương đương sau:

Nhận xét 1.1 Cho C là một tập lồi và F : C → R n là một ánh xạ khả vi liêntục trên tậpmở chứa C Khi đó,

i) F đơn điệu trên C khi và chỉ khi ∇F (x)là nửa xác định dương trên C hay

hy, ∇F (x)yi ≥ 0 ∀y ∈ C.

ii) F đơn điệuchặt trên C khi và chỉ khi ∇F (x)là xác định dương trênC hay

hy, ∇F (x)yi > 0 ∀y ∈ C, y 6= 0.

iii) F đơn điệu mạnh trên C khi và chỉ khi ∇F (x) là xác định dương đều trên

C hay tồn tại β > 0 sao cho

hy, ∇F (x)yi > β||y||2 ∀y ∈ C, y 6= 0.

Các ví dụ dưới đây cho ta thấy được cách tiếp cận của bài toán bất đẳng

TH1: Nếu x 0 ∈ (a, b), theo định lý Fermat, ta có f 0 (x 0 ) = 0.TH2: Nếu x 0 = a, f 0 (x 0 ) = lim

f(x)−f (x0)x−x0 ≥ 0.

TH2: Nếu x 0 = b, f 0 (x 0 ) = lim

f(x)−f (x0)x−x0 ≤ 0.Kết hợp lại, ta có thể viết: x 0 là nghiệm của bài toán

f 0 (x 0 ).(x − x 0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C.

Như vậy x 0 là nghiệmcủa bàitoán bất đẳng thứcbiến phânVI vớiF = f 0 trên

C = [a, b].

Bây giờ, ta xét ví dụ tổng quát hơn

Ví dụ 1.4 Cho f (x) là một hàm thực khả vi trên tập mở chứa C ⊆ IRn

x∈C f (x)

khi và chỉ khi x 0 lànghiệm của bàitoán bất đẳng thức VIvới F (x) := ∇f (x).

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ Mệnh đề 1.1 Do f là hàm lồitrên C, nên

Ví dụ 1.5 (Bài toán bù, ký hiệu CP)

Cho C = R n+ và F : C → R n Bài toán được đặt ra là: Tìm điểm x 0 ∈ C

sao cho

F (x 0 ) ∈ C,hF (x 0 ), x 0 i = 0.

Mệnh đề 1.3 x 0 ∈ C = R n

+ là nghiệm của bài toán bù CP khi và chỉ khi x 0

là nghiệm của bài toán VI hay

hF (x0), x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ C.

Chứng minh (⇒) Giả sử x 0 là nghiệm của bài toán bù CP hay

vào bất đẳng thức biến phân, ta có

Dưới đây ta xét hai ví dụ thực tế của bài toán VI.

Ví dụ 1.6 Bài toán cân bằng mạng giao thông

Xét một mạng giao thông được cho bởimột mạng luồng hữu hạn Gọi

•N: tập hợp các nút của mạng.

•A: làtập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn đường).

Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅ Mỗi phần tử của O được gọi làđiểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích Mỗi điểm nguồnvà điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi

là một tuyếnđường) Ký hiệu:

•f i

a là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A Đặt f làvéc tơ có các thành phần là f i

a với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các phươngtiện giaothông.

w là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trêntuyến w ∈ O ì D.

Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thoả mãn

d iw =X

trongđó,P w kýhiệutậphợpcáctuyếnđườngcủaw = (O, D)(nốiđiểmnguồn

O và điểm đíchD) Theophươngtrình (2.18),thìnhu cầusử dụng loại phươngtiện i trên tuyến đường w bằng đúng tổng mật độ giao thông của phương tiệnđótrênmọi tuyếnđườngnốiđiểm nguồnvà điểmđích củatuyếnđường đó.Khi

1 nếu a ∈ p,0 nếu a /∈ p.

Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt

a (i ∈ I, a ∈ O ì D) Một cặp (d ∗ , f ∗ ) thoả mãn các điềukiện (2.18) và (2.21) được gọi là điểm cân bằng của mạng giao thông nếu

c ip (f ∗ ) =

λ i

w (d ∗ ) khi x ip > 0,> λ i

w (d ∗ ) khi x ip = 0,

với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằngđối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp

nhất khi có lưulượng giao thông trên tuyến đó Trái lại, chi phí sẽ không phải

Ví dụ 1.7 Bài toán kinh tế bán độc quyền

Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận pi củamỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công ty

trong đó p(P n

j=1 x j ) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sảnphẩm, còn hàm chi phí của mỗi công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuấtcủa công ty đó.

Đặt U i ⊂ IR, (i = 1, , n) là tập chiến lược của công ty i Lẽ dĩ nhiên,mỗi công ty cần xácđịnh cho mìnhmột mức độsảnxuất để đạtđượclợi nhuận

cao nhất Tuy nhiên, trongtrường hợp tổngquát,việctất cảcác côngty đềucó

lợi nhuận cực đạilà khó có thể được Vì vậy người ta dùng đến khái niệm cân

Một điểm x ∗ = (x ∗1 , , x ∗n ) ∈ U := U 1 ì ì U n được gọi là điểm cânbằng Nash nếu

f i (x ∗1 , , x ∗i−1 , y i , x ∗i+1 , , x ∗n ) 6 f i (x ∗1 , , x ∗n ) ∀y i ∈ U i , ∀i = 1, , n.

Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của

mỗi công ty là affine có dạng

p i (σ) ≡ p(σ) = α 0 − βσ, α 0 ≥ 0, β > 0, với σ =P ni=1 x i ,h i (x i ) = à i x i + ξ i , à i ≥ 0, ξ i ≥ 0 (i = 1, , n).

Ta đặt

A =

, ˜A =

0 β β β

β β β 0

Tìm điểm x ∈ U sao cho

h ˜Ax + à − α, y − xi + yTAy − xTAx ≥ 0 ∀y ∈ U.

1.3 Sự tồn tại nghiệm củabài toánVI

Sự tồn tại nghiệm của bài toán VI phụ thuộc vào hàm giá F và miền ràngbuộc C Trong mục này, ta chỉ xét hàm F là liên lục trên tập mở chứa C vàmiền ràng buộc C là một tập lồi đóng trong không gian Rn.

§Þnh nghÜa 1.4 Cho C ⊆ R n Mét ¸nh x¹ F : C → R n ®­îc gäi lµ cã ®iÒukiÖn bøc trªnC, nÕu tån t¹ix ∗ ∈ C sao cho

hF (x0), y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ C0.

Từ x ∗ ∈ C 0 suy ra

hF (x 0 ), x ∗ − x 0 i ≥ 0.

Kết hợp điều này với bất đẳng thức 1.6, ta có ||x 0 || 6= R hay ||x 0 || < R Khiđó, tồn tại  ∈ (0, 1) saocho x  := x 0 + (1 − )x ∗ ∈ C 0 Thayx 

vào bài toán

bất đẳng thức biến phânVI, ta nhận được

2

Chương 2

giải bài toán (VI) đơn điệu mạnh

Như ta đã biết, phương pháp lặp theo nguyên lý ánh xạ co Banach là một

kết quả nổitiếng và là phương pháp cơ bản,rất hiệuquả để tính điểmbất động

của một ánhxạ co Nguyênlý nàysauđóđược mởrộngNadler(xem [2], Định

lý 14).

Trong chương này, chúng ta sẽ dùng cách tiếp cận điểm bất động theo

phương pháp lặp của nguyên lý ánh xạ co Banach để giải bài toán bất đẳng

thức biến phân VI được định nghĩa ở Chương1 Ta sẽ xét trường hợp khi F làánh xạ đơn điệu mạnh.

Các thuật toán thu được ở chương này khá đơn giản so với các thuật toán

giải bài toán bất đẳng thức biến phân ở [5] Cách tiếp cận này còn cho phép

đánh giá được tốc độhội tụ của thuật toán một cáchđơn giản nhờ vào nguyên

lý ánh xạ co Banach.

Để tiện theo dõi việc trình bày phương pháp giải bài toán bất đẳng thức

biến phânVI bằng nguyên lý ánh xạ co Banach, ta nhắc lại một số định nghĩa

Tuy nhiên, một khó khăn của bài toán này là trong trường hợp tổng quát,hàm

g 1 có thể không khả vi Để giải quyết khó khăn này, Fukushima đã đề xuấthàm chắn mới có dạng

g 2 (x) = max{−1

2hy − x, G(y − x)i − hF (x), y − xi | y ∈ C}, (2.8)trong đó, G là một ma trận đối xứng,xác định dương.

Cũng như đối với hàm chắn g 1, ta có g 2 (x) ≥ 0 với mọi x ∈ C và bài toán VIcó thể được viếtdưới dạng bài toán tối ưu

Hàm g 2 được xác định bởi công thức (2.8) là khả vi trên C với F là hàm khảvi Khi đó, có thể dùng phương pháp tối ưu để giải bài toán VI thông qua việc

giải bài toán trơn (2.8).

Dựa vào cáchxây dựng các hàm chắn ởtrên, với mỗi x ∈ C, đặt y = h(x)

là nghiệm duy nhất của bài toán qui hoạch lồi mạnh

2hy − x, G(y − x)i + hF (x), y − xi | y ∈ C}, (2.10)trong đó G là một ma trận đối xứng, xác định dương Do C khác rỗng, lồi,đóng và hàm mục tiêu của bài toán (2.10) lồi mạnh, nửa liên tục dưới trên C,nên h(x)được xác định và duy nhất.

Kết quả sau đây chỉ ra rằng điểm x∗ là nghiệmcủa bài toán VI khi và chỉkhi x∗ là điểm bất động của ánh xạ h.