chuyen de khoang cach trong khao sat

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó tới đường thẳng d : x+y+2=0 bằng nhau.. - Gọi là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số..[r]

CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Cho hai điểm Cho điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2   AB  M  x0 ; y0   x2  x1    y2  y1  và đường thẳng d : Ax +By+C=0 , thì khoảng cách từ M đến d :  h M;d   Ax  By0  C A2  B Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận đứng : x=a là h  x0  a M x ;y hy  b Khoảng cách từ  0  đến tiệm cận ngang : y=b là : Chú ý : Hai điểm A và B thường là hai điểm cực đại , cực tiểu là giao đường thẳng với đường cong (C) nào đó Vì trước áp dụng công thức , ta cần phải tìm tọa độ chúng ( Tìm điều kiện tồn A và B ) - Nhớ điều kiện tồn hai điểm cực trị cho hàm phân thức và hàm đa thức - Khi tìm giao hai đường : Lập phương trình hoành độ điểm chung , sau đó tìm điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt II CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP A.ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B cho khoảng cách AB ngắn CÁCH GIẢI - Giả sử (C) có tiệm cận đứng : x=a Do tính chất hàm phân thức , đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Cho nên gọi hai số  ,  là hai số dương - Nếu A thuộc nhánh trái xA  a  xA a    a  (C ) , và - B thuộc nhánh phải xB  a  xB a    a  (C ) - Tính : y A  f ( xA ); yB  f ( xB ) ; Sau đó tính 2 AB  xB  x A    yB  y A    b      a       yB  y A  AB  g   a  b  ;   ;   - Khi đó AB có dạng : cần tìm Áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta có kết VÍ DỤ ÁP DỤNG y x  x 1 x  C x x Ví dụ ( ĐH-NGoại Thương -99) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác , cho AB ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A thuộc nhánh trái xA   với số   , đặt 1 1    1     1 xA  1    - Tương tự B thuộc nhánh phải xB   với số  >0 , đặt : 1 xB 1   ;  yB  xB  1    1     2 xB  1    x A 1     y A  x A  - Vậy 2 AB  xB  xA    yB  y A   1                                 2 2   1   2 2 g ( ;  )                            2       2                  g ( ;  )  2  2      2  8   8  4.8 8         AB   - Dấu đẳng thức xảy :        ;     2 8       1 1     A   ;1    ; B   ;1    2 2    - Do đó ta tìm hai điểm :  y x  3x  13 x   x x  C Ví dụ 2.( ĐH-GTVT-98) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A thuộc nhánh trái xA   với số   , đặt 13 13 13 7    7    xA  2    - Tương tự B thuộc nhánh phải xB   với số  >0 , đặt : x A 2     y A  x A   xB 2   ;  yB xB   13 13 2     7    xB  2    1  2 - Vậy 2 AB  xB  x A    yB  y A   13                       13     7       2   13 13  13  26 169  2 2 g ( ;  )                                  2                 26 169  52 g ( ;  )  2  2      8   104 104  104        AB  104  104 2 26  26 - Dấu đẳng thức xảy :           522 ;  338 8      338  13   13   A   338;7  338   ; B   338;7  338   338   338  - Do đó ta tìm hai điểm :  y x  3x  x   x 1 x 1 C Ví dụ (ĐH-SPTPHCM-2000) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A thuộc nhánh trái x A    với số   , đặt 1      1    xA     1  - Tương tự B thuộc nhánh phải xB    với số  >0 , đặt : xA 1     y A  xA   xB 1   ;  yB  xB   1      1    xB     1   1  2 - Vậy 2 AB  xB  x A    y B  y A   1                                   2 2   1   2 g ( ;  )                                2      2               g ( ;  )  2  2      2  8   8  4.8 8         AB   - Dấu đẳng thức xảy :        ;     2 8       1 1     A    ;1    ; B    ;1    2 2    - Do đó ta tìm hai điểm :  x2 y x   C x x Ví dụ 4.( ĐH-An ninh-98) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A thuộc nhánh trái xA   với số   , đặt 1 1     2    xA  1    - Tương tự B thuộc nhánh phải xB   với số  >0 , đặt : x A 1     y A  x A   xB 1   ;  yB xB   1 1     2    xB  1     1  2 - Vậy 2 AB  xB  xA    yB  y A   1                                 2 2   1   2 2 g ( ;  )                            2       2                  g ( ;  )  2  2      2  8   8  4.8 8         AB   - Dấu đẳng thức xảy :     8      ;     2      1  A1 ;   2 - Do đó ta tìm hai điểm :  y x 3 1  x x C 1     ; B 1 ;    2    Ví dụ Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A thuộc nhánh trái x A   với số   , đặt 6 1  1   1 xA  3    - Tương tự B thuộc nhánh phải xB   với số  >0 , đặt : x A 3     y A 1  xB 3   ;  yB 1  6 1  1  xB  3     2 Vậy : 2 AB  xB  x A    yB  y A   6                               2 2 6 6    2 2 g ( ;  )                              2    36   2               g ( ;  )  2  2    36   2  148   8  4.148 8  37        AB   37 - Dấu đẳng thức xảy :        ;     37 148      37      A  ;1  ;1  ;B3  37 37   37 37  - Do đó ta tìm hai điểm :  BÀI TOÁN Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x) Tìm trên (C) điểm M cho a Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ b Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ ( Hay : Khoảng cách từ M đến trục hoành k lần khoảng cách từ M đến trục tung ) c Khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ CÁCH GIẢI A Đối với câu hỏi : Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  d x  y - Gọi M(x;y) với y=f(x) thì tổng khoảng cách từ M đến hai trục là d - Xét các khoảng cách từ M đến hai trục M nằm các vị trí đặc biệt : Trên trục hoành , trên trục tung - Sau đó xét tổng quát ,những điểm M có hoành độ , tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm trên hai trục , để suy cách tìm GTLN-GTNN d x2  2 y x   x x Ví dụ Cho hàm số  C a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm điểm M trên (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Xét điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0    x  0  x   x   M  2; ; M  2;0   d    - Khoảng cách từ M đến hai trục là d - Xét điểm M nằm trên trục Oy : cho x=0 , y= , suy tồn điểm M(0;1) Vậy khoảng cách từ M đến hai trục là d = 0+1=1 < - Xét điểm M có hoành độ : x   d  x  y  - Xét điểm M có hoành độ thỏa mãn : x   Trường hợp :   x  0; y   d  x  y  x  x   2 2   y '  0 x x  x  2 Chứng tỏ hàm số nghịc biến Do mind =y(0)=1 Có điểm M(0;1)  Trường hợp :  x  2; y   d x  x   2 2 x   ; y ' 2  0  x 1  x 3 x x  x  2 Bằng cách lập bảng biến thiên , ta suy mind = y(0)=1 Có điểm M(0;1) - Kết luận : Trên (C) có đúng điểm M(0;1) có tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cân là nhỏ y x  3x  x 1  x2 x2  C Ví dụ Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên đồ thị (C) điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị b.- Xét điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0 ,  x  3x  0;  9  12   Vô nghiệm Không có điểm M nào nằm trên trục Ox - Xét điểm M nằm trên trục Oy , cho x=0 suy y=3/2 Tồn điểm M(0;3/2) Khoảng cách từ M đến hai trục là d=0+3/2=3/2 - Xét điểm M có hoành độ lớn 3/2  d x  y  - Xét điểm M có hoành độ nhỏ 3/2 :  Với 0x   y>3/2 ; d= x  y  3/2 1  x  0; y   d  x  x   1  ; d '  0 2 x2 x2  x  2  Với Chứng tỏ hàm số nghịc biến Suy mind =y(0)= 3/2 Có điểm M(0;3/2) - Kết luận : Trên (C) có đúng điểm M(0;3/2 ) mà tổng khoảng cách từ M đến hai trục là nhỏ y x2 1  x x C Ví dụ Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục là nhỏ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Tìm điểm M nằm trên trục Ox : cho y=0 suy x = -2 Tồn điểm M(2;0)  d M    2 - Tìm điểm M nằm trên trục tung : cho x = , suy y=-2/3  d M 0   2  2 3 2  dM  x  y  3 - Xét điểm M có hoành độ : 2 x  ; y    y  (*) 3 - Xét điểm M có hoành độ thỏa mãn : 2 x  dM  x  y  Do (*) cho nên : +) Trường hợp : 2 5   x  0;   y   d M  x   ; d 'M   3 x  x  3 x  +) Trường hợp :  x 3  d 'M 0    x 3  Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với   x    ;0  d M d M (0)    Vậy Trên (C) có điểm M(-2/3;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán B Đối với câu hỏi : Tìm m trên (C) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy CÁCH GIẢI y k x - Theo đầu bài ta có :  y kx    y  kx  g  x; k  0   h  x; k  0 - Bằng phương pháp tìm GTLN-GTNN hàm số ta có kết MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG x  x  15 y x    C x 3 x 3 Ví dụ Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) điểm M cho khoảng cách từ M đến trục Ox hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Theo giả thiết :  x  x  15  2 x   61   61   x  x  15 0  y 2 x x  x x        2 x  11x 15 0  x  x  15  y  x   vô n  x  x 3   61   61 x  x 2 Như trên (C) có hai điểm M với hoành độ chúng là : y x 1  x 1 x 1  C Ví dụ 2.Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) điểm M cho khoảng cách từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Theo giả thiết ta có :  x  x  3 x  y 3x     y  x  x   x  x   3x  x  0   x  x     vô n   x    10  x    10  3 x   10   10  x 3 , thỏa mãn yêu cầu bài Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ : toán C Đối với câu hỏi : * Tìm M trên (C) cho khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ CÁCH GIẢI - Tìm tọa độ hai tiệm cận I(a;b)  2 - Tính khoảng cách IM cách : IM  x  a; y  b   IM  x  a    y  b  g  x; a, b  - Sử dụng phương pháp tìm GTLN-GTNN hàm số ta có kết MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG x2  2x  y x   x x Ví dụ 1.( ĐH-Ngoại ThươngA-2001) Cho hàm số  C a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm M trên (C) cho khoảng cách từ M đến I là nhỏ ( với I là giao hai tiệm cận ) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Tọa độ I là giao hai tiệm cận : I=(1;4) - Gọi M(x;y) thuộc (C) , ta có :  1      IM  x  1; y    IM g ( x)  x  1   x      x  1   x    x  x  1   1 2  g ( x)  x  1   x  1   2  x  1   2  2 2  x  1  x  1 2  IM 2  2 Đạt :  x 1   1   x  1  ;   x  1    2   x  1  x 1  1 - Như trên (C) tìm hai điểm M có hoành độ : x=1- và x = 1+ thỏa mãn yêu cầu bài toán y x  x 1 x  x x C Ví dụ (ĐH-SPII-2001) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm A(x;y) thuộc (C) với (x>1) cho khoảng cách từ A đến I đạt GTNN ( với I là giao hai tiệm cận ) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Giao hai tiệm cận là I (1;1) - M là điểm thuộc (C) suy M(x; y) ( x>1) - Theo giả thiết ta có :  1 2    IM  x  1; y  1  IM  x  1   x     x  1   x  1  2 x    x  1 2  g ( x ) IM 2  x  1   x  1 IM   2 -Do đó :  2  2;  g ( x) 2  2  x 1   1   x  1    x  1  ;   2   x  1 x    - Kết luận : Trên (C) có hai điểm M có hoành độ là : x= cầu bài toán 1 1 1  và x= , thỏa mãn yêu BÀI TOÁN Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 Tìm điểm I trên (C) cho khoảng cách từ I đến d là ngắn CÁCH GIẢI - Gọi I thuộc (C)  I  x0 ; y0  f ( x0 )  - Tính khoảng cách từ I đến d : g ( x0 ) h  I ; d   Ax  By0  C A2  B - Khảo sát hàm số y  g ( x0 ) , để tìm minh MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG y x2  x  x   x2 x2  C Ví dụ 1.Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm điểm M trên (C) cho khoảng cách từ M đến d : y+3x+6=0 là nhỏ ? GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Gọi M là điemr thuộc (C) , thì : - Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) :  h( M ; d )  g ( x )  3x  y  10  M  x; y     y x    x2  1 1 3x   x     x  2  x2 x2 10 10 +) Khi x>-2 ,x+2>0  4( x  2)  1 4  4( x  2)  ;   x  2 x2 x2   x      x   2 2 10 , x=-3/2 Vậy : minh(M;d)= +) Khi x<-2 , thì x+2<0    x  2  1 4    x    ;   x   1  x  x2  x  2 Do đó minh(M;d)= 10 x=-3 Tóm lại : minh(M;d)= 10 x=-1 và x=-3 Có hai điểm M là M(-1;2) và M(-3;-2) y mx   Cm  x Ví dụ ( ĐH-KA-2005)Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 C b Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng tiệm cận xiên  m  GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Ta có : - y ' m  1 0  x   m0 x m Qua bảng biến thiên , ta thấy điểm cực tiểu là   M  ;2 m   m  C - Tiệm cận xiên  m  là d : y=mx m - Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) : h( M ; d )  2 m m m2 1  m m2 1  m m 1 m m    ;  m  2m  0;  m 1  m 1 m 1 2 - Theo giả thiết : - Kết luận : Với m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán y x   m  1 x  m  1 x  m  x 1 x 1  Cm  Ví dụ 3.(ĐH-KB-2005 ) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Chứng tỏ với m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách chúng 20 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) y ' 1   x  1  0   x 0   x  2  x  1  x  1  Không phụ thuộc vào m , hay nói b Ta có : cách khác là với m hàm số luôn có cực đại A(-2;m-3 ) và điểm cực tiểu B(0;m+1) - Khoảng cách hai điểm cực đại và cực tiểu là AB  AB g ( x; m) 4  42 20  AB  20  dpcm  4.BÀI TOÁN Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d : y=kx+m Tìm m để d cắt (C) hai điểm A,B cho : -AB là số a - AB ngắn CÁCH GIẢI -b1: Tìm điều kiện (*) m để phương trình hoành độ điểm chung : f(x)=kx+m (1) có hai nghiệm -b2 : Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  AB   x2  x1  là hai giao điểm d và (C) thì x1; x2 là hai nghiệm (1)   y2  y1  g ( x1  x2 ; x1 x2 ; m)  2 -b3: Tính -b4: Áp dụng Vi-ét cho (1) , thay vào (2) , ta : h(m)=0 Giải phương trình này ta có kết MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA  x   x  C Ví dụ 1.(ĐH-Cần Thơ-98) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Chứng minh với m đường thẳng d : y=2x+m luôn cắt (C) hai điểm A,B có hoành độ x1 , x2 Tìm m để khoảng cách  x2  x1  đạt giá trị nhỏ c Tìm m để khoảng cách AB đạt GTNN GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Hoành độ A,B x1 , x2 là hai nghiệm phương trình :   x 3 3 2 x  m;   x   m  0;  g ( x; m) 3 x   m   x  m  0 x x    m    12( m  3)   m  72  0m  R   g (1; m)   Điều kiện để có A,B : - Khi đó :  x2  x1     m  72 12  m 0 6 2 AB  x2  x1     x2  m    x2  m    x2  x1  b Khoảng cách - Vậy : AB  x2  x1  m  72 12  m 0 y x   m  1 x  3m  x  Cm  Ví dụ 2.(DB-ĐHKD-2003) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Tìm m để Cm cắt trục Ox hai điểm A,B cho AB ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Nếu Cm cắt trục Ox hai điểm A,B thì :  1  g ( x; m) x   m  1 x  3m  0  1 có hai nghiệm x khác   m  1   3m    m  10m      m   g (1; m) 4m  0 - Khoảng cách AB  x2  x1    m2  10m   m    m 1  m  5 32  m   32 (*)  32  AB 32 y x  2x  4 x  x x  C Ví dụ 3.(ĐHKD-2003) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2-2m cắt (C) hai điểm A,B cho AB=2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.- Phương trình hoành độ điểm chung (C) và d là x2  2x   mx   2m;  g ( x; m)  m  1 x    m  x  4m  0  1 x - Để tồn A,B thì :  m  0     ' 4   m    m  1  4m      g (2; m)    m 1  m   *   4m   - Khi đó :  AB   AB   x2  x1  2  m  x2  x1   x2  x1  m  1  m  1 m m2   ' 4m  m2   m2  m m 2   m  1  m  1  m  1 ;   m  1  4m    m  1  0  m  0   m 1  4m  m  0 Vi phạm điều kiện (*) Cho nên không tồn m mx   m  3 x   2m y mx  m   x x Ví dụ 4.(ĐH-Duy Tân-2001) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Tìm m đẻ đồ thị (1) cắt trục Ox hai điểm M,N cho MN ngắn GIẢI a.Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Nếu (1) cắt trục Ox hai điểm M,N thì :  g ( x; m) mx   m  3 x  0   có hai nghiệm x khác  Cm  m      m  3  4m    g (2; m) 6m  0   m 0  m  2m    m 0  m  (*)  m   Khi đó :  m  1   m  2m  9  MN  x2  x1    MN  1   2 a m m m m 1 t   g (t ; m) 1  2t  9t  g '(t ; m) 2(1  9t ) 0  t  ; g ( ; m)  m 9 - Đặt -  MN  2 1  ;  t     m  9 m Thỏa mãn (*) y  x  3x   x  1  C Ví dụ ( ĐH-KA-2004) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm m để đường thẳng d : y=m cắt (C) A,B cho AB=1 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Nếu d cắt (C) A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm phương trình :   x  3x  2m  x  1 0;  g ( x; m)  x   2m   x   m 0  1 Có hai nghiệm khác 1  m      2m      2m   *   4m  m        g (1; m) 1 0 m   A  x1 ; m  ; B  x2 m   AB  x2  x1   - Khi đó  1 m   AB  4m  4m  1;  4m2  4m  0  m2  m  0    1 m   Thỏa mãn (*) y x 1  C x Ví dụ 6.( ĐH-QGA-2000) Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) điểm M ( có hoành độ x>1) cho tiếp tuyến M tạo với hai tiệm cận tam giác có : +) Chu vi nhỏ +) Một tam giác có diện tích không đổi GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Gọi M  x0 ; y0   (C )  y0 x0   x0    1 y   x  x0   x0   2  x0    x0  1  - Tiếp tuyến M có PT :  * và I là giao hai tiệm cận - Tọa độ I (1;2)      yB 2     B  1;   x0   x0     - Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng : x=1 điểm B - Tiếp tuyến cắt tiệm cận xiên : y=x+1 điểm A   1  1  x  x0   x0    x A   x A 1  x0  A  x0  1; x0  2 A x0    x0  1  1  S  IA.IB.sin 450  IA.IB  1 +) Diện tích tam giác AIB là S  IA  x0  2; x0    IA2 8  x0  1  IA  x0  2 Ta có :    2 IB  0; ;  IA.IB  x0  2 4   IB  x  x  x  0   Tương tự :  S  2.4 2  dvdt  Không phụ thuộc vào vị trí điểm M +) Gọi chu vi tam giác IAB là P = IA+IB+AB Nhưng AB IA2  IB  IA.IB.cos450 2 IA.IB  IA.IB IA.IB       4  4 2  ( Dáu đẳng thức xảy IA=IB (a) ) - Mặt khác : IA  IB 2 IA.IB 2 2 Đấu đẳng thức xảy : IA=IB -Do đó : P 2     2  2   P 2  2  x0 1   y0 2    2 x0     x0  1    x0   4  x0 1   y0 2   - Xảy :     M   2; y0 2    M   2; y0 2    2 2   Như có hai điểm M : y x 1 2   C x2 x2 Ví dụ 7.Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) hai điểm A,B cho AB nhỏ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Nếu d cắt (C) A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm phương trình :  x 1  x  m;  g ( x; m) x  (4  m) x   2m 0  1 x2 có hai nghiệm khác -2 m  12      m     2m       m   * m   g (  2; m) 2m  0  2 - Khi đó A  x1 ;  x1  m  ; B  x2 ;  x2  m   AB  x2  x1    x1  x2  2  x2  x1  AB  x  x    m  12  22 2 6;  m 0 - Vậy : Khi m = thì AB nhỏ y x  2mx   2m  x  2m   x 1 x 1  Cm  Ví dụ Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó tới đường thẳng d : x+y+2=0 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 1 b Tập xác định : D=R\   y'  x  x  2m   x  1 - Đạo hàm : - Hàm số có cực đại , cực tiểu , thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt khác -1  g ( x; m)  x  x  2m  0  1 ( có hai nghiệm  ' 3  2m    m  g ( 1; m) 2m  0 A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  x1 , x2  )  * - Gọi là hai điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2  là hai nghiệm phương trình (1) Theo định lý Vi-ét : x1  x2  2; x1.x2  2m - Mặt khác đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : y=2x+m , cho nên : y1 2 x1  m; y2 2 x2  m  A  x1 ; x1  m  ; B  x2 ; x2  m  - Theo giả thiết : x1  y1  2  x2  y2  2  x1  y1   x2  y2   3x1  2m   x2  2m  2   x1  2m     x2  2m   0   x1  x2    x1  x2  4m    0   x1  x2  4m   0  x1 2      4m  0  m  Thỏa mãn (*) m  Vậy giá trị m cần tìm là : y  x  mx  x  m  Ví dụ Cho hàm số  Cm  a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b Chứng minh với m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu Tìm m để khoảng cách các diểm cực đại , cực tiểu là nhỏ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tập xác định : D=R - Ta có đạo hàm : y '  x  2mx  - Xét : g ( x; m) x  2mx  0  1   ' m   0m  R Chứng tỏ hàm số luôn có CĐ,CT m 2 1 y  x   y '  m2  1 x  m  3 3 3 - Bằng phép chia đa thức : Cho nên đường thẳng qua 2 y   m  1 x  m  3 hai điểm cực trị có PT : 2 2     A  x1 ;   m  1 x1  m  1 ; B  x2 ;   m  1 x2  m  1 3 3    - Gọi hai điểm cực trị là :   AB   x2  x1  2 2 '       m  1  x2  x1    x2  x1   m 1    m 1 9    AB 2 m  1  m  1 2  t m2  1  AB  f (t ) 2 m 2   1    m  1    4 t  t  g (t )  t  t ; g '(t ) 4t   0t 1 - Đặt : Hàm số g(t) luôn đồng biến Do đó ming(t)=g(1)=7/3 - Vậy AB 2 21 2  t 1;  m  1  m 0 3 y x3  3x  C   Ví dụ 10.Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Cho điểm I(-1;0) Xác định các tham số thực m để đường thẳng d : y=mx+m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt I,A,B cho AB < 2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tọa độ ba điểm là ba nghiệm phương trình :  x    x  x 2  m 2  x x  m( x  1);   x  1  x  x   m  0      g ( x; m)  x    m 0  1  x 2  m  m  - Do đó A,B có hoành độ là hai nghiệm (1) A  x ; mx  m  ; B  x ; mx  m   AB   x2  x1  1 2 - Gọi - Theo giả thiết : AB < 2  x2  x1    m   2;   m   m  2  m  x2  x1   x2  x1 m2 1 m2   2  m  m  1  2  m3  m     m  1  m  m     m  Kết hợp với m>0 , ta có : 0<m<1 là đáp số bài toán y x 1 2  x x  C Ví dụ 11 Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Gọi d là tiếp tuyến (C) M(0;1) Hãy tìm trên (C)những điểm có hoành độ x>1 mà khoảng cách từ đó đến d là ngắn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) y '  b.Ta có :  x  2  y '(0)  - Phương trình tiếp tuyến d M : - Gọi M  x; y   (C ) y  5  x     x 1;  x  y  0 4 với x>1 Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) thì : 5x  y  1  20  5x  y   5x    5x     x 2 x 25  16 41 41 41  20 20  g ( x) 5 x   0  x 0  x 4  x  1 ; g '( x) 5  x  x  2  h( M ; d )   - Bằng cách lập bảng biến thiên , ta thấy ming(x)=g(4)=34  9 34    : A  4;    C  41  2 - Kết luận : x=4 và y= 2 x 1 y 2   C x x Ví dụ 12 Cho hàm số h( M ; d )  a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm hai điểm M,N thuộc (C) cho tiếp tuyến M,N song song với và khoảng cách hai tiếp tuyến là lớn GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Tập xác định : D=R\  2 y '  - Đạo hàm :  x  2 M  x1 ; y1  ; N  x2 ; y2    C  k M   x1   - Gọi : - Nếu hai tiếp tuyến song song với :  kM k N      x1    x2   x1  x2  0  1  x1  x2  ; k N   x2   2 2   x2     x1   0   x2  x1   x2  x1   0 - Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn MN vuông góc với hai tiếp tuyến :    x2  x1  y2  y1       2  2   x2  x1  x2  x1    x2    x1     x2  x1   x2    x1    x2    x1   5  k MN k M    x2    x1    x1   Từ (1) x2  2  x1  kMN kM  1; k MN   kM    x1   5   x1  x1     25 x14  6.25 x13  25.16 x12  8.25 x1  0 25   x1    x1    x1   y 2x    1 x 1 x C Ví dụ 13.Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Gọi d là đường thẳng qua M(1;3) có hệ số góc là k Tìm k để d cắt (C) hai điểm A,B cho AB = 10 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Đường thẳng d : y=k(x-1)+1 - Nếu d cắt (C) A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm phương trình :  2x  kx   k ;  g ( x; k ) kx    2k  x  k  0 1 x k 0      2k   k  k      g (1; k ) 6 0   1 ( có hai nghiệm phân biệt khác1 ) k 0   9  24k  k 0   k  24  * - Với điều kiện (*) thì d cắt (C) hai điểm A,B A  x1 ; kx1   k  ; B  x2 ; kx2   k   AB  - Gọi - Theo giả thiết :  AB   24k k 2  k  x2  x1   x2  x1 k 1 k  3 10    24k   k  1 90k  24k  81k  24k  0  k    k  3  8k  3k  1 0    k  k     x2  x1   k    k    41  k    41  16 16  ** - Vậy với k thỏa mãn (**) thì d cắt (C) A,B và AB= 10 y  x  3x  C   Ví dụ 14 Cho hàm só a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M cắt (C) N mà MN= GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) - Đạo hàm : y ' 3 x  0  x   x 1 M x ; y  C  y x3  3x  0 - Gọi  0    - Tiếp tuyến d M có phương trình : y  x02  3  x  x0   x03  3x0  3  x0  1   x0  1  x  x0    x02  x0    - Nếu d cắt (C) N thì :  x  x   x0  3  x  x0   x0  3x0   x3  x03   x  x0    x02  3  x  x0  0   x  x0    x  xx0  x02     3x02  3  0  x  x0  x  x0 0  x x0    x  x0    x  x0  x  xx0  x0 0  x  x  - Như , điểm N là điểm có hoành độ là : - Ta có : MN    5x0     x0  1   xN  x0  N  x0 ;  x0  1  x0     x0  1  x0    2  x0    2  MN  25 x02    65 x02  15 x0  5 x0    13x0  5 x0 169 x02  78 x0  10 - Theo giả thiết :  x0 169 x02  78 x0  10 2   25 x02   169 x02  78 x0  10  24 y 3x  3  x x C Ví dụ 15 Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường thẳng qua M(1;3) cắt (C) hai điểm phân biệt A,B cho AB= GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi d là đường thẳng qua M có hệ số góc là k , thì d : y=k(x-1)+3 (1) - Nếu d cắt (C) hai điểm A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm phương trình :  3x  kx   k  g (k ; x) kx  kx  k  0 x  2 Có hai nghiệm phân biệt khác k 0    ' k  k  k  1    g (1; k )  0   k 0  k 0  k   * A  x1 ; kx1   k  ; B  x2 ; kx2   k   AB   x2  x1  - Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (2)  AB  - ' k k 1  k 1 2 3;  a k  k  3k  k  3k  0  k  5 2  k  x2  x1   x2  x1 k  k 1  k  k 3 2 - Vậy đáp số : 2x y 2  x x Ví dụ 16 Cho hàm số k 3 3 k 1 Với  k  k  1 3k 3 Thỏa mãn (*)  k  C a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y=mx-m+2 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho đoạn AB có độ dài nhỏ GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Nếu d cắt (C) A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm phương trình :  2x mx  m   g ( x; m) mx  2mx  m  0 x m 0    ' m  m  m      g (1; m)  0  m   m0   2m   1 có hai nghiệm x khác  * - Với điều kiện (*) thì d cắt (C) A,B có hoành độ là hai nghiệm (1) - Gọi A  x1 ; mx1  m   ; B  x2 ; mx2  m    AB   x2  x1  2  m2  x2  x1   x2  x1 2m  m  1  m2  1 ' 2m 2  AB  m 1  m  2 2 2 4 a m m2 m m2 1 - Vậy AB=4 m=1 y x3  3x 1 C   Ví dụ 17 Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Tìm hai điểm A,B trên (C) cho tiếp tuyến A,B song song với và AB = GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2 b.Ta có y ' 3x  x  k A 3x1  x1 ; kB 3x2  x2 - Nếu hai tiếp tuyến A,B song song thì :  x1  x2  x22  x2 3 x12  x1;   x2  x1   x2  x1   0    x1  x2 2  * A, B  (C )  y1  x13  3x12  1; y2 x23  3x22   y2  y1  x2  x1    x12  x1 x2  x22    x1  x2   - Do  y2  y1  x2  x1    x1  x2    x1  x2   x1 x2   x2  x1    3.2  x1 x2    x2  x1    x1 x2   **    AB   x2  x1  2   y2  y1    x2  x1    x2  x1    x1 x2   x2  x1    x1 x2  Theo giả thiết : 2 x2  x1    x1 x2  4   x2  x1  1    x1 x2   32   2    x1  x2   x1 x2  1    x1 x2   32;    x1 x2 x1  x2 2 - Đặt t= , và thay   4t    4t  t   32 0;  t (do *)ta có :  3t  t  0   t 1  t  3 0  t    x1    x1  x2 2  x2 3  X  X  0  X   X 3      x 3  x1 x2     x2  - Vậy ta có hệ : A   1;  3 ; B  3;1  A  3;1 ; B   1;   - Do đó tồn hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán