Chuyên đề Khoảng cách và góc

Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của ABC.. Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo y  t.[r]

Khoảng cách và góc Loại Khoảng cách A Tóm tắt lý thuyết Cho điểm M  x0 ;y  , đường thẳng  : ax  by  c  ( a  b  ) Khi đó khoảng cách d  M;  từ M đến  tính công thức d  M;    | ax0  by  c | a b B Các ví dụ Ví dụ [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trường hợp sau 1) M  13;14  và  : 4x  3y  15   x   2t 2) M  5; 1 và  :   y  4  3t Giải 1) d  M;    4.13  3.14  15  32  2) Từ PTTS  , khử tham số t , ta được:  : x7  2 y4   : 3x  2y  13   d  M;    3.5  2. 1  13  22  Ví dụ [ĐHA06] Cho các đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   , d : x  2y  Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d Giải M  d  tọa độ M có dạng M  2a;a  Ta có d  M;d1   Do đó 2a  a  12  12  a 1 d  M;d   2d  M;d  , d  M;d    a 1 2a  a  12   1  a  a  a1  a4 Lop12.net   a  1   a    a   11     a    a  1  2  a    M  22; 11    M  2;1 Vậy M  22;  11 M  2;1  Ví dụ [SGK10NC] Cho ba điểm A  3;0  , B  5;4  và P  10;2  Viết PTĐTH qua P đồng thời cách A và B Giải Giả sử  là đường thẳng cần tìm  qua P  phương trình  có dạng  : a  x  10   b  y    ( a  b  )   : ax  by  10a  2b  Ta có d  A;    3a 10a  2b a2  b  7a  2b a2  b , d  B;    5a  4b 10a  2b a2  b  15a  2b a2  b  7a  2b  15a  2b  b  2a d  A;    d  B;    7a  2b  15a  2b      7a  2b   15a  2b a  * Xét trường hợp b  2a : cho a   b   x  2x  14  * Xét trường hợp a  (  b  ):  : by  2b    : y   Ví dụ Cho tam giác ABC Biết A  2;0  , B  4; 2  , S ABC  10 và C nằm trên đường thẳng d : y  x Giải * Ta có S ABC  AB.d  C; AB  AB  10  d  C; AB   10 y * AB : x   2 d  C; AB    a  3a  12  32 Từ  1 và   suy   d  C; AB   10  AB   6; 2    a;a    1 AB : x  3y   C  d 2a  2S ABC Lại có AB  tọa độ C có dạng  2  2a    10  2a     10  2a   5 2a   C  2;  a      a  3  C  3; 3  Lop12.net Vậy C  2;2  C  3; 3    Ví dụ [ĐHB02] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , AB: x – 2y   và AB  2AD Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C , D biết A có hoành độ âm Giải * Gọi H là trung điểm AB  AH  AB , IH  AD  AH  2IH (do giả thiết 2 AB  2AD )  1 IH  d  I; AB   12 12   2   25   Từ  1 * Ta thấy AHI vuông H nên AI  AH  HI  25 và    AH   3 A  AB  tọa độ A có  2 dạng A  2a  2;a   AI  2a;  a  AI   2a    a   5a  10a  25 2 2   4 Từ   và   suy 5a  10a  25  25 4  A  2;0  a   a  2a      a   A  2;2   thoûa maõn   loại  * B  AB , BI  AI  B  2;2   xC  2xI  x A  x  2x I  xB  C  3;0  ,  D  D   1; 2    y D  2y I  y B  y C  2y I  y A Vậy A  2;0  , B  2;2  , C  3;0  , D   1; 2    : ax  by  c1  Ví dụ Cho  , ( a  b  ) Chứng minh công thức tính khoảng cách  : ax  by  c   2 d   1;   1 ,  d  1;    | c1  c | a2  b Giải Lấy M  x0 ;y     ax0  by  c  Ta có d   1;    d  M;    | ax0  by  c1 | a2  b2 |  ax0  by  c2    c1  c  | a2  b2  | c1  c | a2  b2 (ĐPCM) Lop12.net Ví dụ [SGKNC] Viết PTĐTH  ' song song và cách đường thẳng  : ax  by  c  khoảng h cho trước Giải  '/ /   phương trình  ' có dạng  ' : ax  by  c'  d   ';    h  | c  c' | a2  b2 h  c  c'  h a2  b  | c  c' | h a  b    2  c  c'   h a  b  c'  c  h a2  b   ' : ax  by  c  h a  b        2 2 c'  c  h a  b  ' : ax  by  c  h a  b    Vậy  ' : ax  by  c  h a  b2   ' : ax  by  c  h a  b  Lop12.net C Bài tập Bài Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d các trường hợp sau 1) M  1;1 , d : x  y   y 1 2) M  2;1  , d : x 1  1  x  2t 3) M  1;5  , d :  y   t Bài Cho M  x0 ;y  Chứng minh d  M;Ox   y , d  M;Oy   x0 Bài Cho P  2;5  và Q  5;1 Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng các từ Q tới đường thẳng đó Bài [CĐ09NC] Cho các đường thẳng 1:x  2y   và  :x  y   Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  Bài [ĐHB04] Cho hai điểm A  1;1 , B  4; 3  Tìm điểm C thuộc đường thằng x – 2y –  cho khoảng cách từ C đến AB Bài Biết diện tích ABC là S  , A  2;   , B  3; 2  và trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng có phương trình d : 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh C Bài [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A  1;4  và các đỉnh B , C thuộc đường thẳng x  y   Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC 18 Bài [ĐHD10NC] Cho điểm A  0;2  và  là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên  Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Bài Cho d : 3x  2y   Viết phương trình đường thẳng d ' các trường hợp sau 1) d  d,d '  2) d  d,d '  Lop12.net D Đáp số 2) 2 3) Bài 1) Bài d : x   d : 7x  24y  134  Bài Bài  C  7;3  C   43 ;  27  11 11 Bài C  1; 1 C  2; 10  Bài ĐS: B 11 ; , C ; B ; , C 11 ; Bài : Bài 1)  M  1; 1 M  ;  3  2  2   1 x  2  2  y   :   1 x 52 y  2) Lop12.net Loại Phân giác A Tóm tắt lý thuyết Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình  1: a1x  b1y  c1  ,  : a x  b 2y  c  Khi đó phương trình hai đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng là a1x  b1y  c1 a12  b12 a x  b y  c2   a22  b 22 B Một số ví dụ   Ví dụ [SGKNC] Cho ABC với A ;3 , B  1;2  và C  4;3  Viết phương trình đường phân giác góc A Giải Ta có x y3 AB :  3 1  AB : 4x  3y   , AC : y    phương trình các đường phân giác góc A là  4x  3y   y    4x  2y  13      4x  3y  y   4x  8y  17   0   d1   d2  Ký hiệu F  x;y  là vế trái PTĐTH d1 , ta có F  B  F  C    5   17   85   B và C nằm cùng phía d1  d1 là phân giác ngoài góc A  d là phân giác góc A Vậy phương trình đường phân giác góc A là d : 4x  8y  17  Ví dụ Cho 1 : 3x  y   và 1 : 2x  6y  1) Chứng minh 1 và  cắt và viết phương trình hai đường phân giác các góc tạo 1 và  2) Xác định phân giác góc tù tạo 1 và  Giải 1) Ta có 1 6  16   1 và  cắt Phương trình hai đường phân giác các góc tạo 1 và  là Lop12.net 3x  y    1    4x  4y   0   2x  2y      6  2x  6y Vậy phương trình hai đường phân giác các góc tạo 1 và  là: d1 : 4x  4y   và d : 2x  2y    28  2) Ta thấy A  0;7   1 Ta có d  A;d1   42      14   21 , d  A;d    21 2  22 2 Từ d  A;d1   d  A;d   d là phân giác góc tù tạo 1 và  Chú ý: Xét hai đường thẳng cắt 1 và  Giả sử d1 , d là hai đường phân giác các góc tạo 1 và  Lấy A  1   , tính các khoảng cách từ A đến d1 , d Khi đó +) Khoảng cách lớn là khoảng cách từ A đến phân giác góc tù, khoảng cách là khoảng cách từ A đến phân giác góc nhọn +) Hai khoảng cách trường hợp 1   Ví dụ [SGKNC] Cho hai đường thẳng 1 : x  2y   ,  : 3x  y   Viết PTĐTH  qua điểm P  3;1 và cắt 1 ,  A và B tam giác cân có đáy là AB Giải Ta thấy:  thỏa mãn yêu cầu bài toán   vuông góc với hai phân giác các góc tạo 1 và  Phương trình hai phân giác các góc tạo 1 và  là  x  2y   3x  y     10    x  2y  3x  y     0  10     2  1;       3 x     1 y   x  2  y     d1  22 d2       y  1    1 x     y    *   d2     2  1;      1  x        y  1    1 x     y    Vậy  :  2  1 x     y     :  2  1 x     y    *   d1      :2  :2  :2   : 2   x  3  Lop12.net C Bài tập Bài Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tạo hai đường thẳng d1 và d các trường hợp sau 1) d1 : x  2y   , d : x  3y    x  2t 2) d1 :  , d2 : x  y   y   t  x  3t x  t 3) d1 :  , d2 :  y   t  y  3t  : ĐS: 1)     :      1 x     3 y  1 x  2  y      : 2y  11  2)  3)   : 2x   230   : x  2y      : 2x  y   Bài Viết phương trình các đường phân giác ABC biết các cạnh nó nằm trên các đường thẳng có phương trình 3x  4y  , 4x  3y  và 5x  12y  101  Bài Cho A  1;2  , B  3; 4  và C  1; 2  Hãy lập phương trình các đường phân giác và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC x   t Bài Cho 1 : 3x  y   và  :  Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo y  t 1 và  Bài Lập phương trình đường thẳng qua P  2;  1 cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d1 : 2x  y   và d : 3x  6y   tạo tam giác cân có đỉnh là giao điểm d1 và d  d : 3x  y   ĐS:   d : x  3y   Bài [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông A , có đỉnh C  4; 1 , phân giác góc A có phương trình x  y –  Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương ĐS: BC : 3x  4y  16  Lop12.net Loại Góc hai đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a và b ký hiệu là  a, b  đơn giản là  a, b  và số đo nó định nghĩa sau: +) Nếu a và b cắt thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc Số đo nhỏ các góc đó gọi là số đo góc hai đường thẳng a và b +) Nếu a và b song song trùng thì ta quy ước số đo góc hai đường thẳng a và b 0 * Nhận xét: +)  a, b   90   +) Gọi u và v là các véc-tơ phương các đường thẳng a và b , ta có:       u, v  90   a, b   u, v  cos  a, b   cos u, v  1      u, v   90         a, b   180   u, v       cos  a,b   cos 180  u, v    cos u, v     Từ  1 và    cos  a,b   cos u, v      2    * Định lý:   1: a1x  b1y  c1 : a2 x  b y  c2 0 0  cos  1 ,    a1a2  b1b a12  b12 a22  b 22 * Nhận xét:     +) cos  1 ,    cos n1 , n , đó n1 và n là các véc-tơ pháp   tuyến 1 và  +) 1    a1a  b1b  10 Lop12.net B Một số ví dụ Ví dụ [SGKNC] Tìm góc hai đường thẳng 1 ,  các trường hợp sau  x  13  t  x   2t ' 1) 1 :  và  :  ;  y  2  2t y   t ' 2) 1 : x  và  : 2x  y  14  ; x   t 3) 1 :  và  : 2x  3y    y  4  3t  và góc hai Ví dụ [SGKNC] Cho ba điểm A  4; 1 , B  3;2  , C  1;6  Tính góc BAC đường thẳng AB , AC Ví dụ Cho điểm A  2;   Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng x  3y   góc 45 Ví dụ Xác định tọa độ đỉnh A tam giác ABC biết tam giác này cân A , AB ,  3 BC có phương trình là y  3x  , x  y  và AC qua M 0; Giải  3 AC qua M 0;  phương trình AC có dạng AC : ax  by  7b  ( a  b  ) Đưa phương trình AB , BC dạng tổng quát ta được: AB : 3x  y   , BC : x  y   Tam giác ABC cân A   ACB   ABC   cos ACB   cos ABC  31 10  ab a  b2 2  a 22ab 2 b  52 a b  3a  10ab  3b   1 * Thay b  vào  1 ta a  (loại) * Nếu b  chia hai vế  1 cho b và đặt t  a ta thu phương trình b t   3t  10t      t  3 11 Lop12.net +) t    a    b  3a b Cho a   b  3  AC : x  3y    AC không song song với AB (thỏa mãn)  3x  y    A  2;  A  AB  AC  A :   x  3y   +) t    a  3  a   3b b Cho b  1  a   AC : 3x  y    AC  AB (loại) Vậy A  2;  Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x – 2y   , BD : x – 7y  14  , AC qua M  2;1  Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Giải  x – 2y   B  AB  BD  B :   B 21 ; 13 5  x – 7y  14   AC qua M   phương trình AC có dạng: AC : a  x    b  y  1   AC : ax  by  2a  b  ( a  b  ) Ta có:  AC, AB    BD; AB   cos  AC, AB   cos  BD; AB   a  2b  a2  b    14 5.50  7a  8ab  b2   1 * Thay b  vào  1 ta a  (loại) * Nếu b  chia hai vế  1 cho b và đặt t  a ta thu phương trình b  t  1 7t  8t      t   +) t    a  1  a   b b Cho b  1  a   AC : x  y    AC không song song với BD (thỏa mãn)  x – 2y    A  3;  A  AB  AC  A :  x  y   12 Lop12.net x  y    I 7;5 I  AC  BD  I :  2 x – 7y  14      xC  2xI  x A  C  4;3  ,   y C  2y I  y A  x D  2x I  xB  D 14 ; 12  5 y  2y  y  D I B   +) t    a    b   7a b Cho a   b    AC : x  7y    AC  BD , loại 5 5 5 5 Vậy A  3;  , B 21 ; 13 , C  4;3  , D 14 ; 12 Ví dụ [ĐHA12] Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC , N là điểm trên  cạnh CD cho CN  2ND Giả sử M 11 ; 2  và đường thẳng AN có phương trình 2x  y   Tìm tọa độ điểm A Giải Giả sử hình vuông có cạnh là a Ta có 2 2 AM  AB  BM  a  a  5a , AN  AD2  DN  a  a  10a , 4 9 2 MN  CM  CN  a  4a  25a 36 5a2  10a2  25a2 36 a a 10   AM  AN  MN  Suy ra: cos MAN 2AM.AN  2  Ta có: A  AN  tọa độ A có dạng A  a;2a    AM 11  a;  2a 2  AN : 2x  y    AN  u  1;2       Từ  1 và   suy cos u; AM    là góc nhọn nên Ta thấy MAN     cos u, AM cos MAN      11  a   2a 2 2   11  a   2a  2        1      cos u, AM  cos MAN   13 Lop12.net     11  a   2a     2   11  a   2a      2   a    a   A  1; 1    A  4;5  14 Lop12.net C Bài tập Bài Cho d1 : y  k 1x  b1 và d : y  k x  b 1) Chứng minh d1  d  k 1k  1 2) Trong trường hợp d1 và d không vuông góc Chứng minh tan  d1 ,d   k1  k  k k Bài Tính góc d1 và d các trường hợp sau:  x  2t  x  2u 1) d1 :  , d2 :  y   t  y  2u  x  2t 2) d1 :  , d2 : x  y   y   t 3) d1 : x  2y   , d : x  4y   4) d1 : mx  y   , d : x  my  m   Bài Viết phương trình đường thẳng  các trường hợp sau:  x  2t 1)  qua M  1;1 và tạo với d :  góc 30o y   t 2)  qua M  1;1 và tạo với d : x  y   góc 45o D Đáp số Bài 1) cos  d1 , d2   3) cos  d1 ,d    10 85 2) cos  d1 , d2   4) cos  d1 , d2   2m   10 m2   Bài 1)  : x   75 y   75  ,  : x   75y   75  2)  : x    : y   15 Lop12.net