Đang tải... (xem toàn văn)
Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a Bài 5... Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt AQ tại K.[r]
(1)PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐÊ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài 150 phút Bài Giải các phương trình a) x2 + 2x + = x 2x 2x b) 2x 4x 2x 4x 4 2 Bài Cho a và b là các số thoả mãn: ( a 2011 a)( b 2011 b) 2011 2 a) Chứng minh: ( b 2011 b) ( a 2011 a) b) Tính: P = a2011 + b2011 + 2011 Bài Cho a, b, c, d là các số dương, chứng minh: a b b c c d d a 0 a) b c c d d a a b a b c a d b d c d b) b c a b d c d a d Bài Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM Q a) Chứng minh QAB = BAP b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC H Tính giá trị nhỏ diện tich tam giác AHC theo a Bài Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x y3 x y 3xy 17 Hết (2) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Bài a) Đáp án Điểm điểm x 1 x x 1 2 x 2x 2x x + 2x + = Với ĐKXĐ: x -1 Phương trình trở thành b) x 1 x 1 x x 1 x x 1 0 x x x x = (TMĐK) Vây phương trình có nghiệm x = , ta được: 4x 4x 4x 18 10 4x 8 4x 4x 1 4x 10 4x 25 8 ( x 1) ( x 5) 8 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ điểm 2 Từ ( a 2011 a)( b 2011 b) 2011 1đ 2 2 ( a 2011 a)( a 2011 a)( b 2011 b) 2011( a 2011 a) 0,5 đ 2 2 (a 2011 a )( b 2011 b) 2011( a 2011 a) 0,5 đ 2 2011( b 2011 b) 2011( a 2011 a) Bài 3: 0,5 đ 4x 4x 8 (*) Với ĐKXĐ x phương trình (*) trở thành x 2 hay x 1 4x - = x = (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = b) 1đ 2x 4x 2x 4x 4 Nhân hai vế phương trình với Bài 2: a) 1đ 2 ( b 2011 b) ( a 2011 a) (1) 2 Tương tự ta có: ( a 2011 a) ( b 2011 b) (2) Từ (1) và (2) a = - b Nên P = a2011 + b2011 + 2011 = a2011 - a2011 + 2011 = 2011 a) 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ điểm 0,5 đ a b b c c d d a 1 1 1 4 cd d a a b BĐT tương đương b c a c b d c a d b 4 bc cd d a a b a c b d 4 b c d a cd a b 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ (3) b) Bài 4: 1 Áp dụng BĐT phụ x y x y (HS phải chứng minh) ta có: 1 a c b d b c d a c d a b 4 b d a c a b c d a b c d = Dấu “=” xảy và a = b= c = d 0,5 đ 0,5 đ Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả sử a b c a b b c b a b c 1 c a a Ta có: b c a = b a 0,5 đ a b 2ab ab c bc ac (a b) (a c)(b c) ab ac ab ac = = (1) (a b) (a c)(b c) a d b d cd 3 Tương tự ta có b d c d a d = (a d)(b d) (a d)(c d) Vì a, b, c, d > và a b c (a b) (a c)(b c) (a b) (a c)(b c) ac (a d)(b d) (a d)(c d) (3) Nên ab a b c a d b d c d Từ (1), (2) và (3) suy b c a b d c d a d Dấu “=” xảy a = b = c 0,5 đ (2) 0,5 đ 0,5 đ điểm a) 2đ b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt AQ K QK QM QM QB QK QB QA QD QD QP QA QP KB //AP Ta có: ; KBA BAP (sole trong) (1) KBA cân K (Trung tuyến KM vừa là đường cao) Nên QAB KBA (2) Từ (1) và (2) suy QAB BAP (Đpcm) HB AB AHB CMB (g – g) MB CB HB CB = MB AB a a2 a (không đổi) = 1đ 1đ (4) Bài 5: a Ta có SAHC = AB HC = HC Do đó (SAHC)min HC Min Vì HC = HB + BC nên HC Min HB = CB (vì HB CB không đổi) Lúc đó: Tam giác AHC cân A a a2 a2 Vì HB CB HB2 HB = Vậy SAHC = 2a 2 0,25 đ 0,25 đ x y3 x y 3xy 17 x y x xy y2 2 x xy y2 xy 17 x 0,25 đ y x xy y xy 17 Do x, y N nên xy + 17 > và x xy y Suy ra: x – y – > Vì x y + (1) 2 2 Lại có x xy y xy 17 nên x y 17 (2) điểm Từ (1) và (2) x và x N, nên x {3; 4} *) Nếu x = từ (1) y = *) Nếu x = từ (1) y = y = Trong các cặp số (x; y) {(3; 0); (4; 0); (4; 1)} có cặp (4; 1) thỏa mãn bài toán Vậy x = 4; y = 0,25 đ (5)