Vậy DE nhỏ nhất khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC.[r]
(1)UBND HUYỆN KINH MƠN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN - LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu Đáp án Điểm
Câu 2.0 điểm 1) 0.75 điểm
Với x > 0, y > ta có:
3
3
x + y x + x y + y
1 1
A = + + + :
x y
x y x + y x y + xy
0,25
( x + y) x - xy + y + xy x + y
x + y 1
= + + :
x y
xy x + y xy(x + y)
= +x + y : ( x + y)(x + y) xy
xy xy(x y)
0,25
=
2
x + y xy
xy x + y =
x + y xy
0,25
2) 1.25 điểm
8 + 15 - 15
x =
-2 0,25
16 + 15 16 - 15
x =
-4
15 +1 15 -1
=
-2 = 0,25
3
y = + 13 + 5- 13
y = + 13 + - 13 + - 13 y 3 3 2
0,25 y = 10 - 9y 3 y + 9y -10 = 3 y -1 y + y +10 = 0 y = 0,25
A=
1
1 0,25
Câu 2.0 điểm 1) 1.0 điểm
Giải phương trình: 2 2x 1 x22x
ĐK:
x PT 2x 1 2x 1 1 x2 2x 1 12 x2 0,25
1 1
2 1 1 (1)
2 1 1 (2)
x x x x
x x x x
x x x x
0,25
Giải (1): 2 2
1
1
2 1 2
2 ( 1)
2
x
x x
x x x
x x x x
x 2 x 0,25
Giải (2) 2x 1 x 1vô nghiệm
x
Vậy phương trình có nghiệm x 2
(2)2) 1.0 điểm
Với x, y, z > ta có xy + yz + xz = x2 + xy + yz + xz = + x2
+ x2 = (x + y)(x + z)
Tương tự ta có
1 + y2 = (y + x)(y + z); + z2 = (z + x)(z + y)
0,25
x (1+ y )(1+ z )2 2 = x (y + x)(y + z)(z + x)(z + y) = xy + xz
1+ x (x + y)(x + z) 0,25
2
2
(1+ z )(1+ x ) (z + x)(z + y)(x + y)(x + z)
y = y = xy + yz
1+ y (y + x)(y + z)
2
2
(1+ x )(1+ y )
z = yz + xz
1+ z 0,25
P = 2(xy + yz + xz) = 0,25
Câu 2.0 điểm
1) 1.0 điểm
0 10 2
2 y xy x y x
[x2 2x(y1)(y1)2] – (4y2 8y4)70 0,25
(xy1)2 (2y2)2 70
(3yx1)(yx3)7 0,25
Do x, y nguyên nên ta có: 3yx1 yx3 ước Do ta có bảng sau:
3y + x + 1 -1 -7
y – x + -7 -1
0,25 Giải trường hợp, ta được: (x,y) {(7; -3), (1; -3), (3; 1), (-3 ; 1)} 0,25
2)
1.0 điểm
Ta có
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2
= n2 (n4 - n2 + 2n +2)
= n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)]
= n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] 0,25
= n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) 0,25
Với nN, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2
(n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 0,25
n2 - 2n + khơng phải số phương
n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) hay n6 - n4 + 2n3 + 2n2 số
phương
(3)Câu 3.0 điểm
Vẽ hình :
H P
Q
K N
I C
B A
D
M
1a) 1.0 điểm
Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt đường thẳng CD I Ta có IAD DAM IAM 90· · · 0và BAM DAM BAD 90· · · 0
IAD BAM· ·
0,25
Xét AID AMB có IAD BAM· · ; AD = AB ADI ABM· ·
AID = AMB (g-c-g) AI = AM 0,25
XétAIK vuông A có AD đường cao 12 + 2 = 12
AI AK AD
0,25 Mà AD = AB AI = AM
2
1
AB AD AM AK
0,25
1b)
1.0 điểm
b) Gọi BD cắt AN, AM thứ tự P Q MP cắt NQ H Chứng minh AH MN
Xét DPN APQ có PDN PAQ· · 450 ; DPN· ·APQ (đ.đ)
DPN đồng dạng với APQ DP NP AP PQ
Xét APD QPN ·APD QPN· (đ.đ) DP NP AP PQ APD đồng dạng với QPN
· · 450 · 450
PNQ ADP hay ANQ
Xét QAN có QAN· ·ANQ450 QAN vng Q NQAM
Chứng minh tương tự ta MPAN
0,25
0,25 0,25
Xét AMN có MP AN NQ AM, NQ cắt MP H nên H trực tâm
(4)2)
C A
B
E D
Đặt AB = AC = a; (a > 0) , AE = BD = x (0 x a )
1.0 điểm
Ta có AD = AB - BD = a - x
Áp dụng định lý Pytago tam giác ADE vuông A, ta có:
2 2 2 2
2
2 2
2
( ) 2
2( -ax+ )
4 2 2
DE AD AE DE a x x x ax a
a a a a a
DE x x
2
a DE
Dấu "=" xảy
a
x D E, trung điểm AB, AC Vậy DE nhỏ D, E trung điểm AB, AC
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu 1.0 điểm
Do xyz =1 nên ta có
1 1
1 1
xy yz zx xy yz zx
M M
x y z xyz x xyz y xyz z
y z x
M
yz xz xy
Do x,y, z số dương thỏa mãn xyz =1 nên ta đặt
; ; ( 0; 0; 0)
xy ; ; ,
a b c
x y z ab bc ca
b c a
a b c
yz zx xyz
c a b
Khi
1 1 1 1 1
a b c
x y z b c a
M M
a b c
xy yz xz
c a b
ac ab bc
M
ab bc bc ca ac ab
0,25
Chứng minh bất đẳng thức : Với x,y,z dương ta có x y z 1
x y z
Dấu “=” xảy x = y = z 0,25
(5)1 1
3 (ab bc ca)( )
1 1
3 (2ab 2bc 2ca)( )
2
9
3
2
ac ab bc
M
ab bc bc ca ac ab M
ab bc bc ca ca ab M
ab bc bc ca ca ab M
0,25
Dấu “=” xảy
1
ab bc bc ca ca ab a b c x y z Vậy GTNN M
2 x y z
0,25
Ghi chú: