Đề và đáp án HSG toán 10 năm 2020 2021

Biết rằng Minh Khôi có 5000 thanh đồ chơi, mỗi thanh có chiều dài 10cm và Minh Khôi muốn dùng các thanh này (không nhất thiết dùng hết các thanh) để xếp thành một tháp lớn nhất (tháp phả[r]

SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH KIỂM TRA CHỌN HSG VÒNG TRƯỜNG TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM HỌC 2020 - 2021

MƠN TỐN – KHỐI 10

THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: a (x 3) 1 x x 4 x2x2 6x

b   



    

    

y x x

x

y y x

x x

1

2

3

3

Câu 2: (5,0 điểm)

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A1; , B  2; 3 C2;  a Tìm tọa độ điểm F để FA FB   3FC 0.

b Xác định vị trí M để MA3MB MC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

nhỏ , biết M m m  , 1 điểm di động

c Tìm tọa độ điểm D để ABDC hình thang có hai đáy AC BD, diện tích hình thang

Câu 3: (3,0 điểm)

a Tìm giá trị lớn

1

yz x zx y xy z

P

xyz

- + - +

-=

b Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 3xyz xy yz zx  

Chứng minh      

2 2

1 1

4

3 3

x x y y z z  Câu 4: (3,0 điểm)

Cho bảng vng kích thước 100x100 mà ô điền ký tự A, B, C, D cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, cịn hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh nằm cạnh bảng bốn ô vuông đơn vị bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C, D “bảng tốt”.

b Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho ln có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt

Câu 5: (3,0 điểm)

Minh Khôi dùng đồ chơi xếp thành tháp 1,2,3,… có hình dạng tuân theo quy luật hình vẽ:

Với số nguyên dương n, gọi f n  số đồ chơi cần có để xếp thành tháp n Ví dụ: f 1 3,f 2 10,f 3 21,

a Viết cơng thức tính f n 1   theo f n  n.

b Viết cơng thức tính f n theo n

c Biết Minh Khơi có 5000 đồ chơi, có chiều dài 10cm Minh Khơi muốn dùng (không thiết dùng hết thanh) để xếp thành tháp lớn (tháp phải có hình dạng tn theo qui luật hình vẽ Hỏi tháp lớn mà Minh Khơi xếp có chiều cao ?

HẾT

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm. Họ tên học sinh: ……….…….……….… Lớp:……… ……….

SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH ĐÁP ÁN KT HSG VỊNG TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM HỌC 2020 - 2021

MƠN TỐN – KHỐI 10

THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề)

1

a Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4

Phương trình (1) (x 3)( 1x1) x( 4 x1) 2 x2 6x 0,5 đ

6,0 điểm

2

3

( 3)

1

1

( 3)

1

( 3)

1

2 (2)

1

x x

x x x x

x x x x x x x x x x                                      0,5*3 đ

( 3) 0;

x x   x x (Thỏa mãn điều kiện). 0,5 đ Với điều kiên −1 ≤ x ≤ 4 ta có

1

1

1 1 1 1 2

1 1

4 1 1

4 x x x x x x                               

 Dấu " "

khơng xảy nên phương trình (2) vơ nghiệm

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 0 x 3

0,5 đ

b Phương trình thứ ⇔(x3+3 x2+3 x+1)+ x+1= y3+y ⇔( x +1)3

+( x+1 )= y3+y Đặt a=x+1 ta a3

+a= y3+y

⇔( a− y)(a2+ay + y2+1)=0⇔ a − y=0 Vì a2+ay + y2+1=(a+2y)

2 +3 y

2

4 +1>0 ;∀ a , y

0,5đx3

Ta y=x +1 thay vào pt thứ hai ta 6√x −1+x +8=4 x2 ĐK: x ≥ 1

⇔(√x − 1+3)2=(2 x )2 ⇔√x − 1+3=2 x

0,5đx2

⇔√x − 1=2 x −3⇔{ x ≥

3

x −1=(2 x − 3)2

⇔ x=2 ⇒ y=3

Kết luận: Hệ pt có nghiệm ( x ; y )=(2; ) 0,5 đ

2

a

 

 

1

3

1 3

0

x x x

FA FB FC

y y y

x y                                                                                 

    0,5

Vậy

7 0;

5

F  

  0,5 đ

b MA3MB MC CA3MB

                                                                      0,5 đ    

1;0 , ;2

1 169 13

3 18

6 2

CA MB m m

CA MB m

                                               0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Dấu “=” xảy

1 m  Vậy ; 6

M 

  0,5 đ

c Gọi D x y ; 

2 6.1

6

3 6.0

x x

BD AC BD AC

y y                                              0,5 đ

Vậy D4;3 0,5

3 a P xác định x 1,y 4,z 9   .

Ta có



 

 x 1 y 4 z P

x y z

0,5 đ

3,0 điểm

Áp dụng Bđt Cơsi ta có:

  

 x 1 x 1 x

2 x 2

  

 y 4 y 1 y

2 y

  

 z 9 z 1 z

2 z  

11 P

12

 Max P=

11

12, đạt x=2, y=8, z=18

0,5đ

0,5đ b Ta có

1 1

3xyz xy yz zx

x y z

      

Đặt

1 1

, ,

a b c a b c

x y z

      

Ta có

     

     

2 2

2 2

3 3

2 2

1 1

4

3 3

3

3 3

1 1

3

x x y y z z

a b c

a b c

a b c

b c a c a b

  

  

   

     

  

     

     

   

  

     

 

3 3

2 2

3 3

, ,

8 8 8

1

.3

4 4

a b c b c a b a c a c b c a b a b c

b c a c a b

VT a b c

     

        

  

     

0,5đ

0,5đ

4

a) Khơng tính tổng qt, giả sử ô cột điền A,B,C,D

Khi đó, thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vng 2x2 chứa sẵn A,B,C Do đó, ta điền tiếp cột theo thứ tự C, D, A, B Cứ thế, ta điền tiếp cho cột 3,4

1,0 đ

3,0 điểm

1,0 đ

Tuy nhiên, ta thấy hàng khơng thỏa mãn chứa hai loại ký

tự Vậy nên khơng có cách điền thỏa mãn điều kiện nêu 0,5đ b) Giả sử phản chứng cặp cột tùy ý có 25 cặp ô

ký tự Cố định cột 1, xét 99 cột lại

Gọi T số (a,b) cột a  có thứ b từ xuống ký2 tự Theo giả sử T 99 25.

Mặt khác, theo giả thiết T=100.24 (tính theo hàng)

Suy 100.24 > 99.25, điều vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề

0,5 đ

5 (3,0 điểm)

            

f n f n 2n 2n f n 4n 0,5đx2

3,0 điểm

  2

f n 2n n 0,5x2đ

   

f 50 5050,f 49 4851 0,5đ

suy tháp lớn mà Minh Khơi xếp tháp 49 tháp

Đáp án hướng dẫn chấm điểm gồm có 03 trang. Học sinh giải cách khác đúng, hợp lí logic cho điểm tối đa.