đề và đáp án HSG lớp 10 ( cực hay !)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3điểm) Giải phương trình: 2 2 3 3 2 3 2 ( 1) 2 x x x x + − − + = + Bài 2: (3,5điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 8 2 4 x y xy x y  + + =   + =   Bài 3: (3,5điểm) Cho a và b là hai số thực dương , m là số tự nhiên. Chứng minh: 1 1 1 2 m m m b a a b +     + + + ≥  ÷  ÷     Bài 4: (3điểm) Tìm m để phương trình: 2 2 3 0x mx m − + − = có hai nghiệm 1 2 ,x x là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 2. Bài 5: (3,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , gọi l là đường phân giác trong của góc A. Chứng minh: 2bc l b c = + Bài 6: (3,5điểm) Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(4;6) cắt trục Ox , Oy theo thứ tự tại ( ) ( ) a;0 , 0;A B b (với a > 0 , b > 0) và sao cho diện tích tam giác OAB bé nhất. ……………………Hết………………… ĐÁP ÁN Bài1: Giải phương trình *Đưa pt về: 2 2 2 3 3 2 2 3 2 0x x x x− + − − + = *Đặt : 2 2 3 2,t x x t o= − + ≥ 3đ 05 05 05 *Nên: 1 1 1 2 4 2 m m m m b a a b +     + + + ≥ =  ÷  ÷     Bài 4: Định m 075 3đ *Đưa pt về: 2 2 1 0t t− + = *Giải được: 1t = *Giải được: 1 1, 2 x x= = *Kết luận. Bài2: Giải hệ phương trình *Điều kiện: 0, 0x y≥ ≥ *Đặt: , .S x y P x y xy= + = = *Theo đề: S = 4 *Nên: x + y = 16 – 2P *Phương trình thứ nhất của hệ trở thành: 2 (x+y) 2 2 8 2xy xy− + = *Hay: ( ) 2 2 16 2 2 2 8 2P P P− − + = ( ) 2 2 32 128 8 2 2P P P⇔ − + = − 2 32 128 8P P P⇔ − + = − ( ) 2 2 8 32 128 8 P P P P ≤   ⇔  − + = −   4P ⇔ = *Nên ;x y là nghiệm của pt: 2 1 2 4 4 0 2X X X X− + = ⇔ = = *Kết luận:Nghiệm của hệ: 4 4 x y =   =  Bài 3:Chứng minh bđt * a > 0,b > 0 nên 1 0,1 0 b a a b + > + > *Áp dụng bđt Cosi : 1 1 2 1 1 m m m m b a b a a b a b         + + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷  ÷         *Hay: 1 1 2 2 m m m b a b a a b a b       + + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       * Áp dụng bđt Cosi cho 2 số 0, 0 b a a b > > : 05 05 05 35đ 025 025 025 025 025 05 025 05 025 025 05 3đ 05 075 05 05 3,5đ *Điều kiện: 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ ≥   < ≤ ⇔ >   >  ( ) 2 2 2 4 3 0 3 0 0 m m m m  − − ≥   ⇔ − >   >   2 2 4 3 0 m m m  ≤  ⇔ >   >  3 2m⇔ < < *Theo Pitago và giả thiết: 2 2 1 2 4x x+ = ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 4 2 2 x x x x m m m m ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ± *Kết luận:Không có giá trị nào của m để 1, 2 x x Là hai cạnh góc vuông của một tam giác có cạnh huyền là 2. Bài 5: Chứng minh *Ta có: 1 2 ABC S bc= 1 1 2 sin 45 2 2 2 ABD S cl cl= = o 1 1 2 sin 45 2 2 2 ACD S bl bl= = o ABC ABD ACD S S S= + *Nên: 2 2 2 2 bc cl bl= + ( ) 2 2 2 bc l b c bc l b c ⇔ = + ⇔ = + 05 05 05 05 025 025 025 025 025 025 3,5đ 05 05 05 05 05 05 05 Ta có: 2 b a a b + ≥ Bài 6:Viết phương trình đường thẳng d *Ta có pt AB có dạng: 1 x y a b + = * ( ) 4 6 4;6 1M AB a b ∈ ⇒ + = *Mà : 4 6 24 2 a b ab + ≥ (Theo Cosi) *Nên: 24 1 24 1 2 96 4 ab ab ab ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ *Do đó: 48dt OAB∆ ≥ *Dấu “ = “ xảy ra khi: 4 6 3 2 a b a b = ⇔ = *Suy ra: 8 8( ai) a a lo =   = −  *Nên: 8 12a b = ⇒ = *Diện tích tam giác OAB bé nhất là 48 khi : 8, 12a b= = *Vậy pt AB là: 1 8 12 x y + = 05 025 025 05 025 05 025 025 05 025 *Kết luận. . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình: 2 2 3 3 2 3 2 ( 1) 2 x. trình của đường thẳng d đi qua điểm M(4;6) cắt trục Ox , Oy theo thứ tự tại ( ) ( ) a;0 , 0;A B b (với a > 0 , b > 0) và sao cho diện tích tam giác OAB