SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Kì thi Tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp 10 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂNThời gian làm bài:150 phút ( không kể thời gian phát đề) Câu ( điểm) Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: x − x + x − x + 16 = x + − x − = 24 x + x + y − x y − x = 2 x + y − xy − = Câu ( điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x − (m + 2) x + 2m − có đồ thị (P); tham số m Chứng minh với giá trị m phương trình f ( x + 1) = có hai nghiệm phân biệt Tìm giá trị m để đường thẳng y = −10 cắt ( P ) hai điểm có hoành độ x1 x2 cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Câu (4 điểm) Tính giá trị sau A = sin 930.sin 4230 + cos2430.cos87 + sin150.sin 750 Chứng minh 2cos3x.cosx-2cos 2 x − cos x + sin x = −1 Câu ( điểm) Chọ họ đường cong (Cm ) có phương trình x + y − 2mx + 2(3 − m) y + = Tìm giá trị m để (Cm ) đường tròn Khi đó, tìm quỹ tích tâm họ đường tròn (Cm ) Khi (Cm ) đường tròn; tìm giá trị m để đường thẳng ∆ : x + y + = cắt (Cm ) hai điểm phân biệt Viết phương trình đường thẳng qua tâm I (Cm ) cắt ∆ H cho IH có độ dài nhỏ Câu 5( điểm) Cho ∆ABC có điểm C (−2;1) phương trình hai đường cao x − y + = x − y + = Tìm toạ độ trọng tâm ∆ABC Hết SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH 10 Kì thi Tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂN Thời gian làm bài:150 phút ( không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (6 đ) Điều kiện x ∈ [-3;3] , pt tương đương với x( − x − 5) − [(9-x ) − 25]=0 Suy ( − x − 5)( x − − x − 5)=0 ………………………………………………………….1.0 Giải phương trình − x − 5=0 x − − x − = …………………………… 0.5 Kết luận phương trình vô nghiệm……………………………………………… 0.5 2 Điều kiện x ≥ , chuyển vế bình phương hai vế …………………………………0.5 ta phương trình 14 − x = (24 x + 1)(3 x − 2) ……………………………………….0.5 Kết luận phương trình có nghiệm x=1 ………………………………………………….1.0 ( x − y )( x − 4) = Hệ phương trình tương đương với 2 x + y − xy − = …………………………………………………………………….0.5 Với x= y suy x − = ta ( 5; 5);( − 5; − 5) ……………………………….0.5 Với x =2 suy y − y + = ta (2;1); (2;3) ……………………… 0.5 Với x = -2 suy y + y + = ta (−2; −1); (−2; −3) …………………0.5 Câu (4 đ) f ( x + 1) = ( x + 1) − (m + 2)( x + 1) + 2m − ………………………………………………0.5 Đặt t = x +1, y = f (t ) = t − (m + 2)t + 2m − có ∆ = m − 4m + 40 > 0, ∀m ……………0.5 Pt f (t ) = có nghiệm với t nên phương trình f ( x + 1) = có nghiệm với x…………………………………………………………………………………0.5 Pt hoành độ giao điểm x − ( m + 2) x + 2m + = , điều kiện để (P) cắt đường thẳng hai điểm phân biệt ∆ > hay m − 4m > ……………………………………………1.0 x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (m + 2) − 2(2m + 1) = m + ≥ ………………………… 1.0 2 Từ suy m = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ 2, so sánh với điều kiện ta giá trị m thoả toán……………………………………………………0.5 Câu (4 đ) A = sin 930.sin 4230 + cos2430.cos87 + sin150.sin 750 = cos30 sin 630 − cos630.sin 30 + sin150.cos150 1.0 +1 = sin(630 − 30 ) + sin 300 = .1.0 Vế trái 2cos3x.cosx-2cos 2 x − cos x + sin x = cos4x+cos2x-(1+cos4x)-(cos x − sin x) 1.0 = cos4x+cos2x-1-cos4x-cos2x = -1 1.0 Câu ( 4đ) (Cm ) đường tròn a + b − c > ⇔ m + (3 − m) − > ⇔ 2m − 6m + > m ∈ (−∞;1) ∪ (2; +∞) …………1.0 Tâm I ( m; m-3) thoả mãn pt x − y − = ………………………………………… 0.5 Quỹ tích đường thẳng x − y − = ứng với x ∈ ( −∞;1) ∪ (2; +∞) Tức đường thẳng x − y − = trừ phần đồ thị ứng với giá trị x đoạn [1;2] ….…………….0.5 Với m ∈ (−∞;1) ∪ (2; +∞) (Cm ) đường tròn có tâm I ( m; m-3) bán kính R = 2m − 6m + 2m + …………………………………… 0.5 1 Tìm m để d ( I ; ∆) bé bán kính R m ∈ (−∞; ) , kết luận m ∈ (−∞; ) …………….0.5 5 IH ngắn H hình chiếu I lên ∆ , đường thẳng IH vuông góc với ∆ nên có Khoảng cách từ tâm I đến ∆ d ( I ; ∆) = vtpt (1;-1) qua I.……………………………………………………………… 0.5 Kết luận đường thẳng có phương trình x-y-3=0 ……………0.5 Câu 5( đ) Vì toạ độ C không thoả hai pt đường cao nên hai đường cao không qua C Giả sử BH: x − y + = , AH: x − y + = Vì AC vuông góc với BH qua C nên có pt x+y+1 =0………………………….0.5 Vì BC vuông góc với AH qua C nên có pt 3x+y +5=0 x − 3y + = ta A(−3; 2) ………………………………… 0.5 x+y +1 =0 Toạ độ A thoả pt x − y + = ta B(−3; 4) ……………………………………0.5 3x+y +5=0 −8 Toạ độ trọng tâm G ( ; ) ………………………………………………………….0.5 3 Toạ độ B thoả pt ...SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH 10 Kì thi Tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂN Thời gian làm bài:150 phút ( không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (6 đ) Điều kiện... 2(2m + 1) = m + ≥ ………………………… 1.0 2 Từ suy m = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ 2, so sánh với điều kiện ta giá trị m thoả toán……………………………………………………0.5 Câu (4 đ) A = sin 930.sin 4230 + cos2430.cos87 + sin150.sin... Với m ∈ (−∞;1) ∪ (2; +∞) (Cm ) đường tròn có tâm I ( m; m-3) bán kính R = 2m − 6m + 2m + …………………………………… 0.5 1 Tìm m để d ( I ; ∆) bé bán kính R m ∈ (−∞; ) , kết luận m ∈ (−∞; ) …………….0.5 5 IH ngắn