Đề thi và đáp án HSG lớp 10 Vĩnh Phúc môn toán (dành cho học sinh chuyên)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1 (3,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) 4 x x y y x y y x xy  + − + + − = + +   + =   2. Tìm tất cả hàm số :f →¡ ¡ thoả mãn: ( ) ( ) ,f x y f x y x y+ = + ∀ ∈ ¡ và 2 1 ( ) 0 f x f x x x   = ∀ ≠  ÷   . Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q sao cho ( ) ( ) 7 4 7 4 p p q q − − chia hết cho pq . Câu 3 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng đường ∆ đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi 1 2 ,I I và 3 I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn 1 ( )I song song với CD (gần CD hơn) cắt ∆ tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác 1 2 3 .I I I Câu 4 (2,0 điểm). Xét các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 3 20.a b c + + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 9 4 2 L a b c a b c = + + + + + × Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi , ,m n X m n∈ < thì tồn tại k X∈ sao cho 2 .n mk= —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………………. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 2,0 điểm (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1) 4 (2) x x y y x y y x xy  + − + + − = + +   + =   Điều kiện xác định: 1 1 ; 4 4 x y≥ ≥ (2) (4 1) 4 1 4 1 x y x y x x y y x ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − thay vào (1) ta được 0,5 (2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3) x y x y x y y x + + + = + + 0,5 Do (2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3) x y x y x x y x + + + ≥ + + 0,5 Suy ra (1) (2 3) (2 3) ( )(2 2 3) 0x x y y x y x y⇔ + = + ⇔ − + + = x y⇔ = thay vào (2) ta được 2 0 ( ) 2 0 1 1 2 2 x x x x y =   − = ⇔  = ⇒ =  lo¹i Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 1 ; 2 2    ÷   . 0,5 2 1,0 điểm Ta có: ( ) ( ) ( ) (0) .f x y f x y f y f y y+ = + ⇒ = + ∀ ∈ ¡ ( )f x a x⇒ = + với (0)a f= . 0,25 1 1 1 (0) 0.f f a x x x x   = + = + ∀ ≠  ÷   Mặt khác 2 2 2 1 ( ) (0) 0 f x f x a x f x x x x x + +   = = = ∀ ≠  ÷   . 0,25 2 2 1 0 0 0. a x a x ax a x a x x + ⇒ + = ∀ ≠ ⇔ = ∀ ≠ ⇔ = 0,25 Vậy ( ) .f x x x= ∀ ∈ ¡ 0,25 2 2,0 điểm . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian. báo danh………………. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I. LƯU Ý CHUNG: