De thi va dap an HSG lop 12(08-09) moi hay dung lien.doc

1 Bài 1: (3.0 điểm) 1. Giải phơng trình: 2 2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x)+ + = + (1) 2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6 + + = Chứng minh tam giác ABC đu. Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l + = (không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố đnh Bài 3: (3.0 điểm) 1.Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau: 6 3 2 2 2 2 3 15 3 ( 5)x z x z x y z y + = + 2. Chứng minh rằng: 2009 2007 2007 2009+ chia hết cho 8. Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (U n ) xác định bởi: 1 1 2 1 1 (1) 1 n n n U a U U U + = ỡ ù ù ù ù + ớ ù = - ù ù + ù ợ trong đó -1 <a < 0 1. Chứng minh rằng: - 1 < U n < 0 với n" ẻ Ơ và (U n ) là một dãy số giảm. 2. Tìm Lim U n Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + + + + Bài 6: (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định 2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. Bài 7: (3.0 điểm) 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0, 1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu: a. Chúng đợc mắc song song. b. Chúng đợc mắc nối tiếp. -Hết- 1 ĐáP áN Và THANG ĐIểM Điểm ĐáP áN 3.0 Bài 1: 1.5 Bài 1.1. Giải phơng trình: 2 2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x)+ + = + (1) 0.5 (1) 2 cos2x 3 sin 2x 3(sin x 3 cos x)+ + = + 1 3 1 3 2 2 cos2x sin 2x 6 sin x cos x 2 2 2 2 + + = + ữ ữ ữ ữ 2 2 cos 2x 6 cos x 3 6 + = ữ ữ 0.5 1 cos 2x 3cos x 3 6 + = ữ ữ 2 2 cos x 3 cos x 6 6 = ữ ữ 3 cos x 0 v cos x (loaùi) 6 6 2 = = ữ ữ 0.5 2 6 2 3 x k x k = + = + , k Z. Vậy phơng trình c 1 họ nghiệm là: 2 3 x k = + , k Z. 1.5 Bài 1.2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6 + + = Chứng minh tam giác ABC đều 0.5 Trong mọi tam giác nhọn ta luôn có : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 1 1 1 1 tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB + + = (1) Đặt 1 1 1 x ,y ,z tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB = = = thì từ (1) ta có: x + y + z = 1 (2) Mặt khác: 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 x x tg B.tg C 1 tg B.tg C tg B.tg C 1 x y z 1 tgB.tgC = = = + 0.5 Tơng tự: 3 3 3 2 2 1 y tg C.tg A tg C.tg A z x = + và 3 3 3 2 2 1 z tg A.tg B tg A.tg B x y = + Giả thiết bài toán trở thành 3 3 3 x y z 1 P y z z x x y 6 = + + = + + + Theo bất đẳng thức Cauchy: 3 3 3 x y z 1 1 y z x 1 1 z x y 1 1 x, y, z y z 12 18 2 z x 12 18 2 x y 12 18 2 + + + + + + + + + + + + 0.5 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta đợc: do(2) 1 1 1 1 P (x y z) (x y z) P 6 6 2 6 + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z 3 = = = Khi đó tgA = tgB = tgC hay ABC đều (đpcm). 3.0 Bài 2: 2 Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l + = (không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định 0.5 0.5 Kẻ đờng phân giác trong của góc BAC là At. Do A,B, C cố định => At cố định. Gọi I là giao điểm của At với MN. Ta có: S AMN = S AMI + S ANI 0.5 1 1 1 . .sin . . sin 2 2 2 2 2 A A AM AN A AM AIsin AN AI = + 0.5 1 1 1 1 2 cos . 2 A AI AM AN l = + = ữ (không đổi) 0.5 2 cos 2 A AI l = (không đổi) => I cố định và I MN 0.5 Vậy đờng thẳng MN qua 1 điểm cố định. 3.0 Bài 3: 1.5 Bài 3.1. Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau: 6 3 2 2 2 2 3 15 3 ( 5)x z x z x y z y + = + 0.5 0.5 áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc Dấu xảy ra 0.5 Từ phơng trình: ( phơng trình ớc số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra ) Đ áp số : nghiệm phơng trình là 1.5 Bài 3.2. Chứng minh rằng: 2009 2007 2007 2009+ chia hết cho 8. 0.5 Ta c : 2009 2007 2009 2007 2007 2009 (2007 1) (2009 1)+ = + + - 0.5 (2007 1). (2009 1).M N= + + - (M, N là các đa thức) 0.5 2008( ) 8M N= + M vì 2008 chia hết cho 8 (đccm) 3.0 Bài 4: 1.5 Bài 4.1. Chứng minh rằng: - 1 < U n < 0 (2) với n" ẻ Ơ và (U n ) là một dãy số giảm. 0.5 CM bằng quy nạp: - với n = 1 thì U 1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1. - Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < U n < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1. 0.5 Từ (2) ta có: 0 < U n + 1 < 1 (*) Do đó 2 1 0 1 1 n n U U + < < + và 2 1 1 1 0 1 n n U U + - < - < + tức là: - 1 < U n+1 < 0 Vì - 1 < U n < 0 nên U n + 1 và 2 0 n U > với n" 0.5 T (1) suy ra: 1 2 1 ( 1) 1 1 n n n n n U U U U U + + = < + - = + 3 Vậy U n là dãy giảm. 1.5 Bài 4.2. Tìm lim Un 0.5 Đặt 2 1 1; 1 n n V U q a = + = + ta c : 0 < q < 1, V n > 0 và 1 . n n V qV n + Ê " 0.5 Ta có: 2 1 . ( 1).V V q a qÊ = + 2 3 2 1 . ( 1). . 0 ( 1). n n V V q a q V a q n - = = + Ê Ê + " 0.5 Vì Lim (a + 1). q n - 1 = (a + 1). Lim q n - 1 nên Lim V n = 0 Hay Lim U n = - 1 Câu hỏi thêm của bài này: CMR : 1 2 1 0 1 ( 1) 1 n n U U n a + < + Ê + " + Từ đẳng thức (1) suy ra: 1 2 1 1 ( 1) (3) 1 n n n U U n U + + = + " + Vì U n là dãy giảm; -1 < U n < 0 với mọi n và U 1 = a nên: 1 0 n U a- < Ê < với n" từ đó suy ra: 2 2 n n U a U a Do đó: 2 2 1 1 1 1 n n U a Ê " + + và từ (3) ta có: 1 2 1 1 ( 1) 1 n n U U n a + + Ê + " + Theo chứng minh trên ta có: 1 2 1 0 1 ( 1) 1 n n U U n a + < + Ê + " + 2.0 Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + + + + 0.5 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a VT bc ac ab c ab a bc b ac + + + = + + + + + + + + 0.5 Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a bc c c ab b b ac bc bc ab ab ac ac + + + = - = - = - 0.5 Nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 a bc b ac c ab a b b c c a VT bc ac ab c ab a bc b ac + + + + + + = + + + + + - + + + Do 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2b c bc c a ac a b ab+ + + 0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 9 2 2 2 2 2 a bc bc b ac ac c ab ab VT bc ac ab a bc b ac c ab + + + + + + + + - + + + + + - = Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 3.0 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1.5 6.1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định 0.5 4 A E B K H F D C 0.5 Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF . ∆ DFC = ∆ DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90 0 ; DC = BC ) ⇒ CF = CK . Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK . 0.5 Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau . CH không đổi, C cố định, CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đ tròn cố định ( C , a ) 1.5 6.2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. 0.5 ∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90 0 ; CF chung ; CH = CD = a ) ⇒ S HCF = S DCF Chứng minh tương tự ta có: S HCE = 1/2S BCE do đó S HCF + S HCE = S DCF + S BCE 0.5 ⇒ S CEF = S CDFEB ⇒ S CEF = 1/2 ( a 2 – S AEF ) S AEF ≥ 0 ⇒ S CEF ≤ 1/2 a 2 . Dấu “=“ xảy ra “⇔ S AEF = 0 0.5 ⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D . Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S CEF đạt giá trị lớn nhất . 3.0 Bài 7: 1.5 7.1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 1.5 Kết quả: 14406 1.5 7.2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu: a. Chúng được mắc song song. b. Chúng được mắc nối tiếp. 1.5 Kết quả: a. P=0,02 b. P=0,28 5 . có: S AMN = S AMI + S ANI 0.5 1 1 1 . .sin . . sin 2 2 2 2 2 A A AM AN A AM AIsin AN AI = + 0.5 1 1 1 1 2 cos . 2 A AI AM AN l = + = ữ (không. tgB = tgC hay ABC đều (đpcm). 3.0 Bài 2: 2 Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho 1 1 1 AM AN l + =