Tính chất của số phức phần này là kiến thức của cả BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT TRIỂN.. Phép chia hai số phức.[r]
(1)12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC DẠNG PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tính chất số phức (phần này là kiến thức BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT TRIỂN) Các kiến thức số phức • Tập hợp số phức: C • z là số thực ⇒ phần ảo z (b = 0) • z là ảo ⇒ phần thực z (a = 0) • Số vừa là số thực vừa là số ảo • Hai số phức nhau: Cho số phức z1 = a + b · i và z2 = c +®d · i a=c Khi đó z1 = z2 ⇔ a + b · i = c + d · i ⇔ (phần thực nhau, phần ảo nhau) b=d Các phép toán số phức: Cho số phức z1 = a + b · i và z2 = c + d · i Khi đó Phép cộng hai số phức z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) · i Phép trừ hai số phức z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) · i Phép nhân hai số phức z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i k.z = k · (a + bi) = ka + kbi Phép chia hai số phức z1 z1 · z z1 · z (a + bi) · (c − di) (ac + bd) + (bc − ad)i ac + bd bc − ad = = = = = + i 2 2 z2 z2 · z |z2 | c +d c +d c + d2 c + d2 h Geogebra Pro Trang 124 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN • Số phức (dạng đại số ): z = a + bi (a, b ∈ R), a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = −1) (2) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Mô-đun số phức z là |z| = p a2 + b • |z · z | = |z||z | z0 |z| • | |= z |z | • ||z| − |z || ≤ |z + z | ≤ |z| + |z | • ||z| − |z || ≤ |z − z | ≤ |z| + |z | Số phức liên hợp: Số phức liên hợp z = a + bi là z̄ = a − bi • z̄¯ = z Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA • z + z = z̄ + z • z − z = z̄ − z • z̄ · z = z · z • z 0 = z z0 • z · z̄ = a2 + b2 z Tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân: Cho cấp số nhân có công bội q , số hạng đầu u1 Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un , đó Sn = u1 (1 − q n ) (q 6= 1) 1−q BÀI TẬP MẪU Ví dụ (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Mô-đun số phức + 2i √ √ A B C D Lời giải Sử dụng công thức tính mô đun số phức để làm √ √ Ta có |1 + 2i| = 12 + 22 = Chọn phương án C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN √ Câu Cho số phức z = − i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 2 √ √ −1 A z · z̄ = −|z| B z̄ = + i C |z| = i D |z| = 2 Lời giải √ √ −1 Ta có z̄ = + i suy “ z̄ = + i” sai 2 2 z z̄ = 1…suy “ z · z̄ = −|z|” sai √ |z| = + = 1; suy “ |z| = i” sai, “ |z| = 1” đúng 4 Chọn phương án D h Geogebra Pro Trang 125 (3) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Cho số phức z thỏa mãn (1 − i)z + 4z̄ = − 7i Khi đó, mô-đun z bao nhiêu? √ √ A |z| = B |z| = C |z| = D |z| = Lời giải Giả sử z = a + bi(a, b ∈ R) (1 − i)z + 4z̄ = − 7i ⇔ (1 − i)(a + bi) + 4(a − bi) = − 7i ⇔ a + bi − + b + 4a − 4bi = − 7i ⇔ (5a + b) − (a + 3b)i = − 7i ® ⇔ √ √ − a − 3b = −7 ⇔ a=1 ⇒ z = + 2i b=2 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Vậy |z| = 12 + 22 = Chọn phương án B ® 5a + b = Câu Cho hai số phức z và z Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A z̄ + z = z + z B |z · z | = |z| · |z | C z · z0 = z · z0 D |z + z | = |z| + |z | Lời giải • Với hai số phức z và z , ta có: |z + z | ≤ |z| + |z | nên phương án D sai Chọn phương án D Câu Cho hai số phức z1 = + i và z2 = −5 + 2i Tính mô-đun số phức z1 + z2 √ √ A B −5 C D − Lời giải Ta có p z1 + z2 = (1 + i) + (−5 + 2i) = −4 + 3i ⇔ |z1 + z2 | = (−4)2 + 32 = Chọn phương án A Câu √ Cho số phức z thỏa mãn (2z − 1)(1 + i) + (z̄ + 1)(1 √ − i) = − 2i Giá trị√của |z| là A B √ C D Lời giải Gọi z = a + bi(a, b ∈ R) ta có: (2z − 1)(1 + i) + (z̄ + 1)(1 − i) = − 2i ⇔ [(2a − 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) − bi](1 − i) = − 2i ⇔ (2a − 2b − 1) + (2a + 2b − 1)i = (a − b + 1) − (a + b + 1)i = − 2i ® ⇔ (3a − 3b) + (a + b − 2) = − 2i ⇔ 3a − 3b = a+b=0 ⇔ a = b = − √ Vậy |z| = h Geogebra Pro Trang 126 (4) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án D Câu Cho số phức z = (3 − 2i)(1 + i)2 Môđun w = iz + z̄ là √ A B 2 C Lời giải Ta có ® z = (3 − 2i)(1 + i)2 = (3 − 2i)2i = + 6i ⇔ Mà w = iz + z̄ = −6 + 4i + − 6i = −2 − 2i ⇒ |w| = Chọn phương án B D iz = i(4 + 6i) = −6 + 4i z = − 6i p (−2)2 + (−2)2 = √ √ = 2 √ ( + i)3 Câu Cho số phức z thỏa z̄ = Môđun số phức z̄ + iz là i − √ √ A 2 B C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ D 16 Lời giải √ ( + i)3 Ta có z̄ = = − 4i ⇒ z = + 4i i−1 Suy z̄ + iz = − 4i + i(4 + 4i) = ⇒ |z̄ + iz| = Chọn phương án C Câu Cho z = − 2i và w = + i Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? w A = B |z · w| = |z| · |w| = z z |z| C = = w |w| D z · w = z · w = + 3i Lời giải • w 2+i = = i z − 2i ( |z · w| = |4 − 3i| = • • |z| · |w| = 12 42 + (−3)2 = + (−2)2 · p 22 + 12 = z p = | − i| = 02 + (−1)2 = w √ |z| = √ =1 |w| ® • p p z · w = − 3i = + 3i z̄ · w̄ = (1 + 2i)(2 − i) = + 3i ⇒ ⇒ |z · w| = |z| · |w| = z |z| = = w |w| ⇒ z · w = z · w = + 3i Chọn phương án A Câu Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = A B Lời giải h Geogebra Pro √ và z là số ảo? C D Trang 127 (5) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Ta có |z| = a2 + b2 và z = a2 − b2 + 2abi Yêu cầu bài toán thỏa mãn và ® ® ® a +b =2 a2 − b = a =1 ⇔ b2 = a = ±1 ⇔ b = ±1 Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện bài toán Chọn phương án C √ Câu 10 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức |z − (2 + i)| = 10 và z · z̄ = 25 A z = + 4i; z = B z = + 4i; z = −5 C z = −3 + 4i; z = D z = − 4i; z = −5 Lời giải Gọi z = a + bi với a, b ∈ R ⇒ z̄ = a − bi √ 10 ⇔ |a − + (b − 1)i| = ⇔ √ 10 √ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10 p ⇔ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10(∗) Ta có z · z̄ = 25 ⇔®(a + bi)(a − bi) = 25 ⇔ a2 +® b2 = 25(∗∗) ® Từ (∗) và (∗∗) ⇒ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10 a2 + b2 = 25 Vậy z = + 4i; z = ⇔ a=3 ∨ b=4 a=5 b=0 Chọn phương án A Câu 11 Cho√số phức z = a+bi(a, b ∈ R) thỏa mãn 7a+4+2bi = −10+(6−5a)i Tính P = √ (a+b)|z| √ √ −4 29 72 AP= B P = 24 17 C P = 12 17 DP= 49 Lời giải Ta có ® (7a + 4) + 2bi = −10 + (6 − 5a)i ⇔ √ Suy P = (a + b)|z| = (a + b) a2 + b2 = (−2 + 8) Chọn phương án C 7a + = −10 2b = − 5a ® ⇔ a = −2 b = √ (−2)2 + 82 = 12 17 p Câu 12 Cho số phức z1 = − 2i, z2 = + i Mô-đun số phức w = z1 − 2z2 + là √ √ A |w| = B |w| = C |w| = D |w| = 13 Lời giải Ta có: w = z1 − 2z2 + ⇔ w = − 2i − 2(2 + i) + = −4i ⇔ |w| = p (−4)2 = Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 128 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN |z − (2 + i)| = (6) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2+i)z+ có giá trị là A 10 Lời giải Ta có B −10 (2 + i)z + 1−i = 5−i Mô-đun số phức w = 1+2z+z 1+i D −100 C 100 1−i (1 − i)2 = − i ⇔ (2 + i)z + =5−i 1+i (1 + i)(1 − i) −2i ⇔ (2 + i)z + =5−i ⇔ (2 + i)z = 5 =2−i ⇔z= 2+i Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy ⇒ w = + 2z + z = (1 + z)2 = (3 − i)2 = − 6i ⇔ |w| = Chọn phương án A p 82 + (−6)2 = 10 Câu 14 Cho số phức z thỏa z = 2i − Mô-đun số phức z 2020 là A 24040 B 22020 C 26060 Lời giải Ta có: D 23030 z 2020 = 22020 (i − 1)2020 = 22020 (−2i)1010 = 23030 i ⇒ z 2020 = 23030 Chọn phương án D Câu 15 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: |z|2 + |z|2 = 50 và z + z = A B C Lời giải Đặt z = x + yi(x, y ∈ R), ta có z̄ = x − yi, |z|2 = |z̄|2 = x2 + y Ta có: ® |z|2 + |z̄|2 = 50 z + z̄ = ® ⇔ x2 + y = 25 x=4 ® ⇔ D x=4 y = ±3 Vậy có số phức thỏa yêu cầu đề bài Chọn phương án B Câu 16 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? A (1 + i)2020 = 21010 B √ (1 + i)2020 − i = 1009 C (1 + i)2020 − 21010 i = 21010 D (1 + i)2020 = (1 − i)2020 Lời giải (1 + i)2020 = (2i)1010 = 21010 Suy A đúng √ Do đó (1 + i)2020 − 21010 i = 21010 − 21010 i = 21010 Suy C sai Chọn phương án C h Geogebra Pro Trang 129 (7) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 17 Có bao nhiêu số phức z thỏa z−i z+1 = và =1 i−z 2+z A B C D Lời giải z+1 ® ® = x = − i−z |z + 1| = |i − z| x = −y ⇒ z = − + i ⇔ ⇔ ⇔ Ta có: 2 z−i |z − i| = |2 + z| 4x + 2y = −3 y = =1 2+z Chọn phương án A Câu 18 Cho số phức z = A −m + i , m ∈ R Tìm |z|max − m(m − 2i) B C D −m + i m i Ta có: z = = + ⇒ |z| = − m(m − 2i) m +1 m +1 … m2 ≤ ⇒ |z|max = ⇔ m = +1 Chọn phương án C Câu 19 Cho số phức z = + i2 + i4 + · · · + i2n + · · · + i2020 , n ∈ N Mô-đun z A B 2020 C 1010 D Lời giải Ta có i2 + i4 + · · · + i2n + · · · + i2020 là tổng cấp số nhân có công sai q = i2 , gồm 1010 số hạng z = + i2 − (i2 )1010 = ⇒ |z| = 1 − i2 Chọn phương án D Câu 20 Cho số phức z có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn z +(1−i)5 · z̄ − + 20i Khi đó mô-đun số phức w = + z + z + z có giá trị bao nhiêu? √ A 25 B C D 2−i i6 3 = Lời giải Ta có 3 • 2−i = (2 + i)3 = + 12i + 6i2 + i3 = + 11i • (1 − i)5 = (1 − i) · (1 − i)2 2 = (1 − i) · (−2i)2 = −4 + 4i Gọi z = x + yi Khi đó 2−i z + (1 − i)5 · z̄ − i6 3 = + 20i ⇔ x + yi + (−4 + 4i) · (x − yi) = + 9i ⇔ (x − 4x + 4y) + (4x + 5y)i = + 9i ® ⇔ x − 4x + 4y = 4x + 5y = h Geogebra Pro ® ⇔ x=1 ⇒z =1+i y=1 Trang 130 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải (8) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy w = + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 = 5i ⇒ |w| = Chọn phương án B h Geogebra Pro Trang 131 (9) 12 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN D 11 C B 12 C D 13 A A 14 D D 15 B B 16 C C 17 A A 18 C C 19 D 10 A 20 B 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN h Geogebra Pro Trang 132 (10)